Зенкин В. Распределение простых чисел. Элемента..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Â.È.ÇÅÍÊÈÍ
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÅÌÅÒÎÄÛ
Êàëèíèíãðàä,2008ã.
c

Â.Çåíêèí,Êàëèíèíãðàä,2008ã.
Íàáîð,èëëþñòðàöèèèâ¸ðñòêààâòîðà.
Îãëàâëåíèå
Ñïèñîêèñïîëüçóåìûõîáîçíà÷åíèé
...............................5
Ââåäåíèå.Ïîñòàíîâêàçàäà÷è.
.....................................7
I.ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
10
1.Ïðîñòåéøèåñâîéñòâàôóíêöèè

(
x
)
...........
10
2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà
.....................
12
3.ÐåøåòîËåæàíäðà
......................
16
4.Êðèòåðèèïðîñòîòû
.....................
18
5.Áåñêîíå÷íîñòüìíîæåñòâàïðîñòûõ
............
21
6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë
...
24
Çàäà÷èêãëàâå
I
..................................................28
II.ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
33
1.Ôóíêöèè×åáûø¸âà
.....................
33
2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà
...................
37
3.ÏîñòóëàòÁåðòðàíà(òåîðåìà×åáûø¸âà)
........
44
4.Ñëåäñòâèÿèçòåîðåì×åáûø¸âà
..............
47
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ
.............
50
Çàäà÷èêãëàâå
II
.................................................58
III.ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
60
1.Ïðîñòûå÷èñëà­áëèçíåöû
.................
60
2.ÒåîðåìàÁðóíà
........................
63
Çàäà÷èêãëàâå
III
................................................68
IV.ÏÐÎÑÒÛÅÂÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÕÏÐÎÃÐÅÑÑÈßÕ
70
1.ÐåøåòîÑåëüáåðãà
......................
70
2.Ïðîñòûå÷èñëàâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ
....
74
V.ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
78
1.ÔîðìóëàÑåëüáåðãà
.....................
78
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë
81
VI.ÄÇÅÒÀ­ÔÓÍÊÖÈß
92
1.ÒîæäåñòâîÝéëåðà
......................
92
2.Äçåòà­ôóíêöèÿÐèìàíà
...................
94
Çàäà÷èêãëàâå
VI
................................................95
VII.ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
97
1.Çàäà÷èãëàâûI
........................
97
4
2.Çàäà÷èãëàâûII
.......................
103
3.Çàäà÷èãëàâûIII
.......................
109
4.Çàäà÷èãëàâûVI
.......................
110
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì
.....................
113
5.1.Áàçîâûéêëàññ
....................
113
5.2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà
................
115
5.3.Êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëà
.........
117
5.4.ÐåøåòîÁðóíà
....................
120
5.5.Ïðîñòûåâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ
....
123
5.6.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè
............
126
5.7.Ñ÷àñòëèâûå÷èñëà
.................
132
VIII.ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
134
A.ÒÅÎÐÈß×ÈÑÅË
134
1.Äåëèìîñòü÷èñåë
.......................
134
2.Îñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêè
..............
135
3.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè
.................
136
4.Çàêîíîáðàùåíèÿ÷èñëîâûõôóíêöèé
..........
140
B.ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
142
1.Êîíå÷íûåñóììû
.......................
142
2.Ñâîéñòâàôóíêöèè
[
x
]
....................
143
3.×èñëîâûåðÿäû
........................
144
4.Ïðåäåëûè
O
­ñèìâîëèêà
..................
147
5.Ôîðìóëàáèíîìà
.......................
148
6.Îñëîæíîñòèàëãîðèòìîâ
..................
149
Òàáëèöàïðîñòûõ÷èñåë
.........................................151
Ñïèñîêèëëþñòðàöèé
...........................................156
Ïðåäìåòíûéóêàçàòåëü
..........................................156
Ëèòåðàòóðà
......................................................158
Ñïèñîêèñïîëüçóåìûõîáîçíà÷åíèé
d
j
ad
äåëèò
a
,ðàâíîñèëüíîñóùåñòâîâàíèþ
öåëîãî
a
1
,òàêîãî,÷òî
a
=
da
1
;
a
.
.
.
ba
äåëèòñÿíà(êðàòíî)
b
,ðàâíîñèëüíî
ñóùåñòâîâàíèþöåëîãî
a
1
,òàêîãî,÷òî
a
=
ba
1
;
[
x
]
öåëàÿ÷àñòüâåùåñòâåííîãî÷èñëà
x
,íàèáîëü­
øååöåëîå÷èñëî,íåïðåâîñõîäÿùåå
x
;
f
x
g
äðîáíàÿ÷àñòü
x;
f
x
g
=
x

[
x
]
;
f
n
jAg
ìíîæåñòâîýëåìåíòîâ
n
,èìåþùèõñâîéñòâî
A
;
(
a;b
)
íàèáîëüøèéîáùèéäåëèòåëü÷èñåë
a
è
b
,åñëè,
â÷àñòíîñòè,
(
a;b
)=1
,òî
a
è
b
íàçûâàþò
âçàèìíîïðîñòûìè
;
[
a;b
]
íàèìåíüøååîáùååêðàòíîå÷èñåë
a
,
b
,ÍÎÊè
ÍÎÄñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì
[
a;b
]=
ab=
(
a;b
)
;

(
x
)
êîëè÷åñòâîïðîñòûõ,íåïðåâîñõîäÿùèõ
x
;

2
(
x
)
êîëè÷åñòâîáëèçíåöîâ,íåïðåâîñõîäÿùèõ
x
;
P
k
6
x
;
Q
k
6
x
ñóììà,ïðîèçâåäåíèåïîâñåìíàòóðàëüíûì
÷èñëàì,íåïðåâîñõîäÿùèì
x
;
P
p
6
x
;
Q
p
6
x
ñóììà,ïðîèçâåäåíèåïîâñåìïðîñòûì÷èñëàì,
íåïðåâîñõîäÿùèì
x
;
P
d
j
a
;
Q
d
j
a
ñóììà,ïðîèçâåäåíèåïîâñåìäåëèòåëÿì
a
;
P
p
;
Q
p
ñóììà,ïðîèçâåäåíèåïîâñåìïðîñòûì÷èñëàì;
A
N
=
BA
ðàâíî
B
íàîñíîâàíèè
N
,ãäå
N
îáîçíà÷àåò
íîìåðôîðìóëûèëèóòâåðæäåíèÿ;
A
def
=
BA
îáîçíà÷åíî÷åðåç
B
;

(
n
)
êîëè÷åñòâîäåëèòåëåé÷èñëà
n
,ñì.ñòð.
138
;

(
n
)
ñóììàäåëèòåëåé÷èñëà
n
,ñì.ñòð.
138
;

(
n
)
ôóíêöèÿ̸áèóñà,ñì.ñòð.
138
;
'
(
n
)
ôóíêöèÿÝéëåðà,ñì.ñòð.
139
;

(
x
)
;
(
x
)
ôóíêöèè×åáûø¸âà,ñì.ñòð.
33
;
(
n
)
ôóíêöèÿÌàíãîëüäòà,ñì.ñòð.
78
;

(
s
)
äçåòà­ôóíêöèÿÐèìàíà,ñì.ñòð.
94
;
a

b
(mod
m
)
a
ñðàâíèìîñ
b
ïîìîäóëþ
m
,ðàâíîñèëüíî
äåëèìîñòè
(
a

b
)
.
.
.
m
;
j
A
j
êîëè÷åñòâîýëåìåíòîâìíîæåñòâà
A
.
Äåëèòåëèïîäðàçóìåâàþòñÿòîëüêîïîëîæèòåëüíûìè.Áóêâàìè
p
,
q
,èíîãäàñèíäåêñîì,îáû÷íîáóäóòîáîçíà÷àòüñÿïðîñòûå÷èñëà,
k
,
l
,
m
,
n
—íàòóðàëüíûå,
x
,
y
,
z
—âåùåñòâåííûå.Íà÷àëîèêîíåöäîêà­
çàòåëüñòâàòåîðåìîòìå÷àþòñÿçíàêàìè
.
è
/
ñîîòâåòñòâåííî.Äëÿ
âñåõçàäà÷èìåþòñÿðåøåíèÿ.Çàäà÷èñîçâ¸çäî÷êîé,äëÿðåøåíèÿ
òðåáóþòçíàíèé«íåýëåìåíòàðíîãî»ìàòåðèàëà(ñì.Ââåäåíèå).
Ðÿäïðîñòûõ
2
;
3
;
5
;
7
;:::
èçäàâíàèíòåðåñîâàëëþäåé.
Ã.Äýâåíïîðò.Âûñøàÿàðèôìåòèêà.
Âñÿêèé,êòîèçó÷àåòïðîñòûå÷èñëà,áûâàåòî÷àðîâàíèìè
èîäíîâðåìåííîîùóùàåòñîáñòâåííîåáåññèëèå.Îïðåäåëåíèå
ïðîñòûõ÷èñåëòàêïðîñòîèî÷åâèäíî;íàéòèî÷åðåäíîåïðî­
ñòîå÷èñëîòàêëåãêî;ðàçëîæåíèåíàïðîñòûåñîìíîæèòå­
ëè—òàêîååñòåñòâåííîåäåéñòâèå.Ïî÷åìóæåòîãäàïðî­
ñòûå÷èñëàñòîëüóïîðíîñîïðîòèâëÿþòÿíàøèìïîïûòêàì
ïîñòè÷üïîðÿäîêèçàêîíîìåðíîñòüèõðàñïîëîæåíèÿ?
×.Óýçåðåëë.Ýòþäûäëÿïðîãðàììèñòîâ.
Âñåâîïðîñû,çàâèñÿùèåîòçàêîíàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ
÷èñåëâðÿäó
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
;
10
;
11
;
12
;:::;
ïðåäñòàâëÿþòâîîáùåáîëüøèåòðóäíîñòè.Òåçàêëþ÷åíèÿ,
êîòîðûåìîæíîñäåëàòüñî÷åíüáîëüøîéâåðîÿòíîñòüþíà
îñíîâàíèèòàáëèöïðîñòûõ÷èñåë,÷àùåâñåãîîñòàþòñÿáåç
ñòðîãîãîäîêàçàòåëüñòâà.
Ï.Ë.×åáûø¸â.Îïðîñòûõ÷èñëàõ.
Äîñèõïîðìàòåìàòèêèòùåòíîïûòàëèñüîáíàðóæèòüâïî­
ñëåäîâàòåëüíîñòèïðîñòûõ÷èñåëêàêîé­ëèáîïîðÿäîê,èìû
èìååìâñåîñíîâàíèÿâåðèòü,÷òîçäåñüñóùåñòâóåòêàêàÿ­
òîòàéíà,âêîòîðóþ÷åëîâå÷åñêèéóìíèêîãäàíåïðîíèêíåò.
Ë.Ýéëåð.Operaomnia.
Ââåäåíèå.Ïîñòàíîâêàçàäà÷è
Ðàñïðåäåëåíèåïðîñòûõ÷èñåë
—ðàçäåëòåîðèè÷èñåë,âêîòîðîì
èçó÷àþòñÿçàêîíîìåðíîñòèðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåëñðåäè÷è­
ñåëíàòóðàëüíîãîðÿäà.
Êàêèçâåñòíî
1
,ëþáîåíàòóðàëüíîå÷èñëî
n
ìîæåòáûòüåäèíñòâåí­
íûìîáðàçîìïðåäñòàâëåíîââèäå
n
=
p
e
1
1
p
e
2
2
:::p
e
k
k
;
ãäå
p
i
—ðàçëè÷íûåïðîñòûå÷èñëà;
e
i
—ïîêàçàòåëèèõñòåïåíåé,
i
=1
;
2
;:::;k
.Òàêèìîáðàçîì,ìíîæåñòâîïðîñòûõ÷èñåëîáðàçóåò
ìóëüòèïëèêàòèâíûéáàçèñìíîæåñòâàíàòóðàëüíûõ÷èñåë.Äðóãèìè
ñëîâàìè,ëþáîåíàòóðàëüíîå÷èñëîìîæåòáûòüïîëó÷åíîïåðåìíî­
æåíèåìíåêîòîðîãîêîëè÷åñòâàïðîñòûõ÷èñåëèýòîòíàáîðïðîñòûõ
óíèêàëåí
äëÿäàííîãîíàòóðàëüíîãî÷èñëà.Ýòîòôàêòâûðàæàåòèñ­
êëþ÷èòåëüíóþâàæíîñòüïðîñòûõ÷èñåëäëÿàðèôìåòèêèè,ñëåäîâà­
òåëüíî,äëÿìàòåìàòèêèâöåëîì
2
.
Ìíîãèåâîïðîñû,îòíîñÿùèåñÿêïðîñòûì÷èñëàì,ïîìèìîñîá­
ñòâåííîòåîðèè÷èñåë,òåñíîñâÿçàíûñîìíîãèìèòðóäíåéøèìè,äî
íàñòîÿùåãîâðåìåíè(2008ã.)íåðåø¸ííûìè,ïðîáëåìàìèèçðàç­
ëè÷íûõîáëàñòåéìàòåìàòèêè,òàêèìè,êàê
ãèïîòåçàîíóëÿõäçåòà­
ôóíêöèèÐèìàíà
èçàäà÷àîá
ýêâèâàëåíòíîñòèàëãîðèòìè÷åñêîéñëî­
æíîñòèêëàññîâ
P
è
NP
.
Âïîñëåäíååâðåìÿ,ñðàçâèòèåìêîìïüþòåðíîéòåõíèêèèÈíòåð­
íåòà,ïðîáëåìàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåëïðèîáðåëàèâàæíîå
ïðàêòè÷åñêîåçíà÷åíèåïîñêîëüêóîíàíàïðÿìóþñâÿçàíàñíàäåæíî­
ñòüþòàêíàçûâàåìûõ
êðèïòîãðàôè÷åñêèõñèñòåìñîòêðûòûìêëþ­
÷îì
,êîòîðûåèñïîëüçóþòñÿïðèïåðåäà÷åñåêðåòíîéèíôîðìàöèè
ïîîòêðûòûìêàíàëàìñâÿçè.Íàïðèìåð,êðèïòîãðàôè÷åñêàÿñòîé­
êîñòüøèðîêîïðèìåíÿåìîéâíàñòîÿùååâðåìÿñèñòåìûøèôðîâà­
íèÿRSA
3
îñíîâàíàíàâû÷èñëèòåëüíîéñëîæíîñòèðàçëîæåíèÿíà
ïðîñòûåìíîæèòåëèáîëüøèõíàòóðàëüíûõ÷èñåë.
Îñíîâíàÿïðîáëåìàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõçàêëþ÷àåòñÿâòîì,
÷òîäîñèõïîðíåèçâåñòíîêàêîé­ëèáî
ïðàêòè÷åñêèïîëåçíîé
4
ôîð­
ìóëûäëÿ
n
­ãîïðîñòîãî÷èñëà
p
n
,ñïîìîùüþêîòîðîéïîçàäàííîìó
1
Îñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêè—ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
135
2
Ãðå÷.
pr
~
wtos

ariqm

os
—ïðîñòîå÷èñëî,áóêâàëüíîîçíà÷àåò«ïåðâîå»,«ãëàâ­
íîå»,«îñíîâíîå»,«÷èñòîå»÷èñëî.
3
Íàçâàíàïîèìåíàìå¸àâòîðîâ:Ð.Ðèâåñò(R.L.Rivest),À.Øàìèð(A.Shamir),
Ë.Àäëåìàí(L.M.Adleman)[
16
,ñòð.101].
4
Âïîñëåäñòâèèýòîïîíÿòèåáóäåòóòî÷íåíî,ñì.ñòð.
21
.
8
íîìåðó
n
ìîæíîíàéòèñàìî÷èñëî
p
n
.Ïîýòîìóãëàâíîéçàäà÷åéðàñ­
ïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåëÿâëÿåòñÿíàõîæäåíèå
íàèëó÷øåãîàñèìï­
òîòè÷åñêîãîâûðàæåíèÿ
äëÿ
p
n
èëèäëÿôóíêöèèèõðàñïðåäåëåíèÿ

(
x
)
,ðàâíîéêîëè÷åñòâóïðîñòûõ,íåïðåâîñõîäÿùèõçàäàííîãîâå­
ùåñòâåííîãî÷èñëà
x
.
Ïîÿñíèìñêàçàííîå.Îáîçíà÷èì
(
a
n
;x
)
êîëè÷åñòâî÷ëåíîâïîëî­
æèòåëüíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè
a
n
,íåïðåâîñõîäÿùèõâåùåñòâåííî­
ãî
x
.Íåòðóäíî,íàïðèìåð,íàéòèêîëè÷åñòâîíå÷¸òíûõ÷èñåë
(2
n

1
;x
)
,ðàâíîå
[(
x
+1)
=
2]
èëèêîëè÷åñòâîêâàäðàòîâ
(
n
2
;x
)
,ðàâíîå
[
p
x
]
.Ëåãêîóáåäèòüñÿ,÷òîýòàçàäà÷àñâîäèòñÿêðåøåíèþîòíîñè­
òåëüíî
n
óðàâíåíèé
2
n

1=
x
,
n
2
=
x
,ñîîòâåòñòâåííî,èïîñëå­
äóþùåìóâçÿòèþöåëîé÷àñòè.Äëÿñëó÷àÿ
(
p
n
;x
)=

(
x
)
ïîëó÷èì
óðàâíåíèå
5
p
n
=
x
,òî÷íîåðåøåíèåêîòîðîãîîòíîñèòåëüíî
n
íåíàé­
äåíî,ïîñêîëüêóíåèçâåñòíûñêîëüêî­íèáóäüïðèãîäíûåïðàêòè÷å­
ñêèòî÷íûåôîðìóëûäëÿ
p
n
è

(
x
)
.
Ðàññìîòðåíèåòàáëèöûïðîñòûõ÷èñåë
6
ïîçâîëÿåòçàêëþ÷èòü,÷òî
îíèïîìåðåóäàëåíèÿîòíà÷àëàíàòóðàëüíîãîðÿäàâñòðå÷àþòñÿâ
ñðåäíåìâñ¸áîëååðåäêî—ñðåäèïåðâîãîäåñÿòêàíàòóðàëüíûõ÷è­
ñåëèìååòñÿ
4
ïðîñòûõ,âïåðâîéñîòíå—
25
ïðîñòûõ,âïåðâîéòû­
ñÿ÷å—
168
èò.ä.Ïðèýòîì,îäíàêî,âñàìûõðàçíûõìåñòàõòàáëèöû
îáíàðóæèâàþòñÿ
ïðîñòûå÷èñëà­áëèçíåöû
(ïðîñòûå÷èñëà,îòëè÷à­
þùèåñÿäðóãîòäðóãàíàäâååäèíèöû),âòîì÷èñëåèî÷åíüáîëüøèå
ïîâåëè÷èíå.
Ñäðóãîéñòîðîíû,íåñìîòðÿíàîòìå÷åííóþíåðàâíîìåðíîñòü,
ìîæíîçàìåòèòüîïðåäåë¸ííóþðåãóëÿðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ
÷èñåë«âñðåäíåì».
x

(
x
)
x=
(
x
)
x

(
x
)
x=
(
x
)
10
4
2
;
5
10
6
78498
12
;
7
10
2
25
4
;
0
10
7
664579
15
;
0
10
3
168
6
;
0
10
8
5761455
17
;
4
10
4
1229
8
;
1
10
9
50847534
19
;
7
10
5
9592
10
;
4
10
10
455052512
22
;
0
Äåéñòâèòåëüíî,âïðèâåä¸ííîéòàáëèöåíåòðóäíîóñìîòðåòüçàêî­
íîìåðíîñòü:ïðèïåðåõîäåîòîäíîéñòåïåíèäåñÿòèêïîñëåäóþùåé
îòíîøåíèå
x=
(
x
)
óâåëè÷èâàåòñÿïðèìåðíîíàîäíóèòóæåâåëè÷è­
5
Ýòîóðàâíåíèåðàâíîcèëüíî,ââèäóî÷åâèäíîãîòîæäåñòâà

(
p
n
)=
n
,ñîîòíî­
øåíèþ
n
=

(
x
)
.
6
Ñì.òàáëèöûíàñòð.
151
.
9
íó
ln10

2
;
3
.Ñëåäîâàòåëüíî,ìîæíîïðåäïîëîæèòü
7
,÷òî

(
x
)

x
ln
x
;x
�!1
:
Îêàçûâàåòñÿ,ýòîñîîòíîøåíèå
8
,íàçûâàåìîå
àñèìïòîòè÷åñêèì
çàêîíîìðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë
,äåéñòâèòåëüíîâûïîëíÿåòñÿ.
Åãîäîêàçàòåëüñòâîÿâëÿåòñÿîäíîéèçîñíîâíûõöåëåéýòîéêíèãè.
Èçó÷àÿïîâåäåíèåôóíêöèè

(
x
)
,íàðÿäóñàðèôìåòè÷åñêèìèìå­
òîäàìè,÷àñòîèñïîëüçóþòòàêæåòåîðèþôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïå­
ðåìåííîãî,àáñòðàêòíóþàëãåáðó,òåîðèþâåðîÿòíîñòåéèïðî÷åå.Îä­
íàêî,èìåííîàðèôìåòè÷åñêèåìåòîäû,î÷åâèäíî,íàèáîëååïîëíî
ñîîòâåòñòâóþòïðèðîäåäàííîéïðîáëåìû.Ïðèýòîìàðèôìåòè÷å­
ñêèåìåòîäûíàçûâàþò
ýëåìåíòàðíûìè
,÷òîäàëåêîíåâñåãäàîçíà­
÷àåòèõïðîñòîòóâîáû÷íîìïîíèìàíèè.Âñþäóâêíèãåèçëîæåíèå
áóäåòýëåìåíòàðíûì(íàñòîëüêî,íàñêîëüêîýòîâîçìîæíî)âýòîì
ñìûñëå.Äëÿïîíèìàíèÿìàòåðèàëàäîñòàòî÷íîçíàíèéîñíîâòåî­
ðèè÷èñåëèìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà.Âñåíåîáõîäèìûåñâåäåíèÿ
ïîýòèìïðåäìåòàìïðèâåäåíûâñîîòâåòñòâóþùèõÏðèëîæåíèÿõ.
7
«Íèêàêàÿèç÷àñòåéòåîðèèïðîñòûõ÷èñåëíåÿâëÿåòñÿäåéñòâèòåëüíîïðîñòîé,
íîäîíåêîòîðîãîìîìåíòàïðîñòûåàðãóìåíòû,õîòÿîíèäîêàçûâàþòî÷åíüìàëî,
âäåéñòâèòåëüíîñòèíåââîäÿòíàñâçàáëóæäåíèå.»Ã.Õàðäè.Äâåíàäöàòüëåêöèéî
Ðàìàíóäæàíå.Ì.,2002,ñòð.29.
8
Íåêîòîðûåó÷¸íûå(íàïðèìåð,Í.ÀáåëüèÐ.Êóðàíò)ñ÷èòàëèåãîíàèáîëååçà­
ìå÷àòåëüíûìñîîòíîøåíèåìâîâñåéìàòåìàòèêå.Àâòîðýòîéêíèãèïîëíîñòüþ
ðàçäåëÿåòäàííîåìíåíèå.
I.ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈß
ÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
§1.Ïðîñòåéøèåñâîéñòâàôóíêöèè

(
x
)
Ïåðå÷èñëèìïðîñòåøèåñâîéñòâàôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿïðî­
ñòûõ÷èñåë

(
x
)
,ðàâíîéêîëè÷åñòâóïðîñòûõ,íåïðåâîñõîäÿùèõâå­
ùåñòâåííîãî÷èñëà
x
.Âñåýòèñâîéñòâàñëåäóþòíåïîñðåäñòâåííîèç
îïðåäåëåíèÿôóíêöèè

(
x
)
—ñì.ãðàôèê
I.1
.
Ðèñ.I.1.Ôóíêöèÿ

(
x
)
,
x
6
100
.
1.

(
x
)=


[
x
]

äëÿëþáîãîâåùåñòâåííîãî
x

0
.
2.

(
p
n
)=
n
,ãäå
p
n

n
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå÷èñëî.
3.

(
k
)


(
k

1)=

1
;
åñëè
k
—ïðîñòîå
0
;
åñëè
k
—ñîñòàâíîå
:
4.
Íåïîñðåäñòâåííîåñëåäñòâèåèçïðåäûäóùåãîïóíêòà:
X
p
6
x
f
(
p
)=
X
k
6
p

(
x
)


(
k
)


(
k

1)

f
(
k
)
:
1.Ïðîñòåéøèåñâîéñòâàôóíêöèè

(
x
)
11
5.

(
x
)
x
äëÿëþáîãî
x�
0
è,ñîîòâåòñòâåííî,
p
n
�n
äëÿëþáîãî
n
,ò.ê.íåâñåíàòóðàëüíûå÷èñëàïðîñòûå.
Äàëååíàýòèñâîéñòâàíåâñåãäàáóäóòÿâíûåññûëêè.
Ïðîâåä¸ìãðóáóþîöåíêóñíèçóôóíêöèè

(
x
)
.Äëÿýòîãîðàññìîò­
ðèììíîæåñòâî
n
ïåðâûõíàòóðàëüíûõ÷èñåë
1
;
2
;
3
;:::;n:
(I.1)
Ïóñòü
Q
—ìíîæåñòâîâñåõêâàäðàòîââ(
I.1
),êðîìå
1
2
.Î÷åâèäíî,÷òî
j
Q
j
6
p
n
.Îáîçíà÷èì
L
—ìíîæåñòâîâñåõ÷èñåëâ(
I.1
)
ñâîáîäíûõîò
êâàäðàòîâ
(ò.å.íåäåëÿùèõñÿíèíàêàêîéïîëíûéêâàäðàò).ßñíî,
÷òîâñå÷èñëàèç
L
ñîäåðæàòñÿñðåäèâñåõäåëèòåëåéïðîèçâåäåíèÿ
p
1

p
2

:::

p

(
n
)
;
ïîýòîìó,
j
L
j
ðàâíîêîëè÷åñòâóâñåõïîäìíîæåñòâ

(
n
)
­ýëåìåíòíîãî
ìíîæåñòâà,ò.å.(ñì.
B.18
)
j
L
j
=

(
n
)
X
k
=0
C
k

(
n
)
=2

(
n
)
:
Ïóñòü
M
—ìíîæåñòâî,îáðàçîâàííîåïðîèçâåäåíèåìâñåõðàçëè÷­
íûõïàð÷èñåëèçìíîæåñòâ
Q
è
L
:
M
def
=
f
ql
j
q
2
Q;l
2
L
g
:
Ëåãêîâèäåòü,÷òîìíîæåñòâî(
I.1
)ñîäåðæèòñÿâ
M
è
j
M
j
=
j
Q
jj
L
j
.
Îòñþäàèìååìíåðàâåíñòâî
n
6
p
n
2

(
n
)
èëè
2

(
n
)

p
n;
(I.2)
îòêóäàèï.
5
ïîëó÷àåìäîâîëüíîñëàáóþ,êàêóâèäèìäàëåå,îöåíêó
1
ln4
ln
n
6

(
n
)
n:
(I.3)
Çàìåíÿÿâ(
I.3
)
n
!
p
n
èèñïîëüçóÿäðóãîåíåðàâåíñòâîèçï.
5
ïîëó­
÷èìñòîëüæåãðóáóþîöåíêóäëÿ
n
­ãîïðîñòîãî÷èñëà
np
n
6
4
n
:
(I.4)
12ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
§2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà
Îïðåäåëåíèå2.1.
Íàòóðàëüíîå÷èñëî
p
,áîëüøåååäèíèöû,íàçû­
âàþò
ïðîñòûì
,åñëèîíîíåèìååòäåëèòåëåé,îòëè÷íûõîò
1
è
p
.Íà­
òóðàëüíîå÷èñëî,áîëüøåååäèíèöû,íàçûâàþò
ñîñòàâíûì
,åñëè,êðîìå
1
èñàìîãîñåáÿ,îíîèìååòèäðóãèåäåëèòåëè.Åäèíèöàíåïðè÷èñëÿ­
åòñÿíèêïðîñòûì,íèêñîñòàâíûì÷èñëàì.
Òàêèìîáðàçîì,÷òîáûâûÿñíèòüïðîñòîåèëèñîñòàâíîåäàííîå
÷èñëî
a
,íóæíî(åñëèèñõîäèòüèçîïðåäåëåíèÿ),ïðîâåðèòüäåëè­
ìîñòü
a
íàâñååãîâîçìîæíûåäåëèòåëè:
2
;
3
;:::;a

1
.Íîíàñàìîìäå­
ëåêîëè÷åñòâîèñïûòàíèéìîæíîçíà÷èòåëüíîóìåíüøèòü,åñëèïðè­
íÿòüâîâíèìàíèåñëåäóþùèåäâàïðîñòûõóòâåðæäåíèÿ:
a.
Íàèìåíüøèé,îòëè÷íûéîòåäèíèöûäåëèòåëüíàòóðàëüíîãî
÷èñëà,áîëüøåãîåäèíèöû,åñòü÷èñëîïðîñòîå.
.
Ïóñòü
q
—íàèìåíüøèéäåëèòåëü÷èñëà
a
,
q�
1
;a�
1
.Ïðåä­
ïîëîæèâ,÷òî
q
—ñîñòàâíîå,ïîëó÷èì,÷òîîíîèìååòíåêîòîðûéäå­
ëèòåëü
q
1
,òàêîé,÷òî
1
q
1
q
.Íîòîãäà
a
,âñèëóäåëèìîñòèíà
q
,
äåëèòñÿòàêæåèíà
q
1
,÷òîïðîòèâîðå÷èòòîìó,÷òî
q
—íàèìåíüøèé
äåëèòåëü÷èñëà
a
.
/
b.
Ïóñòü
q
—íàèìåíüøèé,îòëè÷íûéîòåäèíèöûäåëèòåëüñî­
ñòàâíîãî÷èñëà
a
,òîãäà
q
6
p
a
.
Åñëè
q
–äåëèòåëü
a
,òî
a
=
qa
1
,ãäå
a
1

q
,ò.ê.ïîóñëîâèþ
q
—íàèìåíüøèéèçäåëèòåëåé.Îòêóäàèñëåäóåòòðåáóåìîåíåðà­
âåíñòâî.
/
Ñëåäîâàòåëüíî,äëÿòîãî,÷òîáûâûÿñíèòüïðîñòîåèëèñîñòàâíîå
÷èñëî
a
äîñòàòî÷íîïðîâåðèòüåãîäåëèìîñòüíàêàæäîåèçïðîñòûõ
÷èñåë
2
;
3
;
5
;
7
;
11
;:::;p
6
p
a:
(I.5)
Åñëè
a
íåäåëèòñÿíèíàîäíîèç÷èñåë(
I.5
),òîîíîïðîñòîå,èíà÷å—
ñîñòàâíîå.Äðóãèå÷èñëàíåòíóæäûïåðåáèðàòü.Òàêîéñïîñîáîïðå­
äåëåíèÿïðîñòîòû÷èñëàíàçûâàåòñÿ
ìåòîäîìïðîñòîãîäåëåíèÿ
.
Äëÿåãîðåàëèçàöèè,î÷åâèäíî,òðåáóåòñÿ
O

p
a

àðèôìåòè÷åñêèõ
îïåðàöèé.Èñïîëüçóÿáîëååòîíêèåìåòîäû,íàïðèìåðñïîñîáÄ.Øå­
íêñà,ìîæíîóìåíüøèòüýòóîöåíêóäîâåëè÷èíûïîðÿäêà
O

4
p
a

1
.
1
D.Shanks.Classnumber,atheoryoffactorizationandgenera.Proc.ofSymp.in
PureMath.20(1969),415–440.
2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà13
Ïðèìåð.Äîêàæåì,÷òî÷èñëî
397
ÿâëÿåòñÿïðîñòûì.Ïîñêîëüêó
âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî
p
397

20
,òîäîñòàòî÷íîèñïûòàòüïðî­
ñòûå÷èñëà:
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
13
,
17
,
19
.Òàêêàê
397
íåäåëèòñÿíèíàîäíî
èçýòèõ÷èñåë,òîîíîïðîñòîå.
Íàýòèõæåñîîáðàæåíèÿõîñíîâàíìåòîä,íàçûâàåìûé
ðåøåòîì
Ýðàòîñôåíà
.×òîáûîïðåäåëèòüâñåïðîñòûå÷èñëàîòðåçêà
[2
;N
]
âíà÷àëåâû÷¸ðêèâàþòâñå÷èñëà,äåëÿùèåñÿíà
2
,çàèñêëþ÷åíèåì
ñàìîé
2
,çàòåì—âñå÷èñëà,êðàòíûåíàèìåíüøåìóèçîñòàâøèõñÿ,
áîëüøåìó
2
(ýòî÷èñëî
3
),êðîìåñàìîãî÷èñëà,ïîòîì—âñå÷èñëà,
äåëÿùèåñÿíàíàèìåíüøååèçîñòàâøèõñÿïîñëåâû÷¸ðêèâàíèÿíà
ïðåäûäóùåìøàãåèò.ä.Ïðîöåññïîâòîðÿåòñÿäîòåõïîð,ïîêàïîñëå
ïîñëåäíåãîâû÷¸ðêèâàíèÿíàìåíüøååèçîñòàâøèõñÿ÷èñåëíåñòà­
íåòáîëüøå
p
N
.Ëåãêîâèäåòü,÷òîâñåíåâû÷åðêíóòûå(îñòàâøèåñÿ
ïîñëå«ïðîñåèâàíèÿ»)÷èñëàáóäóòâñîîòâåòñòâèèñóòâåðæäåíèÿìè
a
,
b
ïðîñòûìè,ò.ê.õîòÿáûîäèíèçïðîñòûõäåëèòåëåéñîñòàâíûõ
÷èñåëâñòðå÷àåòñÿâñîîòâåòñòâóþùåéïîñëåäîâàòåëüíîñòè(
I.5
).
Ïðèìåð.Íàéòèâñåïðîñòûå,íåïðåâîñõîäÿùèå
30
.
2
;
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
;
9
;
10
;
11
;
12
;
13
;
14
;
15
;
16
;
17
;
18
;
19
;
20
;
21
;
22
;
23
;
24
;
25
;
26
;
27
;
28
;
29
;
30
:
Çäåñü,òàêêàê
p
30

6
,âû÷¸ðêèâàëèñüëèøü÷èñëà,êðàòíûå
2
,
3
è
5
.
Æèðíûìøðèôòîìâûäåëåíûíàéäåííûåïðîñòûå÷èñëà.
ÎïèøåììåòîäðåøåòàÝðàòîñôåíàáîëååïîäðîáíî.Äëÿîïðå­
äåëåíèÿêîëè÷åñòâà

(
x
)
ïðîñòûõ÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõâåùå­
ñòâåííîãî
x
èíàõîäÿùèõñÿñðåäè
[
x
]

1
íàòóðàëüíûõ÷èñåëîòðåçêà
[2;
x
]
,âñîîòâåòñòâèèñàëãîðèòìîìÝðàòîñôåíàíàïåðâîìøàãåâû­
÷åðêíåìâñå
[
x=
2]
÷èñåë,êðàòíûõ
2
,êðîìåñàìîé
2
,ò.å.âñåãî
h
x
2
i

1
÷èñåë.Íàâòîðîìøàãåâûáðîñèìâñå
[
x=
3]

1
÷èñåë,äåëÿùèõñÿíà
3
,
êðîìåñàìîãî÷èñëà
3
.Ïðè÷åìâû÷åðêèâàòüáóäåìòîëüêîòå÷èñëà,
êîòîðûåíåáûëèóäàëåíûíàïåðâîìøàãå.Ò.î.íàýòîìøàãåáóäåò
îòáðîøåíî
h
x
3
i

1

h
x
2

3
i
÷èñåë.Íàòðåòüåìøàãå,àíàëîãè÷íî,áóäóòâû÷åðêíóòû
h
x
5
i

1

h
x
2

5
i

h
x
3

5
i
+
h
x
2

3

5
i
14ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
÷èñåë.Ïîñëåäíååñëàãàåìîåïîëó÷àåòñÿïîòîìó,÷òî«âîçâðàùàÿíà­
çàä»âûáðîøåííûå÷èñëà,êðàòíûå
2

5
è
3

5
(èìñîîòâåòñòâóþòñëà­
ãàåìûå

[
x=
(2

5)]
è

[
x=
(3

5)]
)ìûäâàæäûïîñ÷èòàëè÷èñëà,äåëÿ­
ùèåñÿíà
2

3

5
.È,âîîáùå,ïðèâû÷åðêèâàíèè
[
x=p
i
]
÷èñåë,êðàòíûõ
p
i
,
[
x=
(
p
i
p
j
)]
÷èñåë,êîòîðûåäåëÿòñÿíà
p
i
p
j
,âû÷åðêèâàåòñÿäâàæäû,
ïîýòîìóíóæíîïðèáàâèòüê÷èñëóîñòàþùèõñÿýòîêîëè÷åñòâî.Ïðè
ýòîì,îäíàêî,
[
x=
(
p
i
p
j
p
k
)]
÷èñåëáóäóòïðèáàâëåíûäâàæäûè,ñëåäî­
âàòåëüíî,ñíîâàíóæíîîòíÿòüýòîêîëè÷åñòâî.
Ïðîäîëæàÿòàêèìîáðàçîìïîëó÷èì
2

(
x
)=[
x
]

1+

(
p
x
)

X
p
j
P

x
p

+
X
p
i
p
j
j
P

x
p
i
p
j



X
p
i
p
j
p
k
j
P

x
p
i
p
j
p
k

+

+(

1)
r

x
p
1
p
2
:::p
r

;
(I.6)
ãäåñóììûáåðóòñÿïî
ðàçëè÷íûì
ïðîñòûì÷èñëàì,
P
=
p
1

p
2
:::p
r
=
Y
p
6
p
x
p;
p
1
;p
2
;:::;p
r
—âñåïðîñòûå÷èñëà,íåïðåâîñõîäÿùèå
p
x
,àâåëè÷è­
íà

(
p
x
)=
r
ñëàãàåòñÿèçåäèíèö,ïîëó÷åííûõíàìèíà
1
;
2
;:::;r
­õ
øàãàõàëãîðèòìàðåøåòàÝðàòîñôåíà.
Êñîîòíîøåíèþ(
I.6
)ìîæíîïðèäòèèáîëååôîðìàëüíî.Èñïîëü­
çóÿòåîðåìó̸áèóñà(Ïðèëîæåíèå,ñòð.
140
),ãäåâêà÷åñòâå
k
i
âçÿ­
òû÷èñëà
(
i;P
)
;P
=
Q
p
6
p
x
p;i
6
x

f
(
k
i
)
ïîëîæèìðàâíûìè1äëÿ
âñåõ
k
i
,ïîëó÷èì
3
S
d
=
X
(
i;P
)
.
.
.
d
1=
h
x
d
i
;
òàêêàêóñëîâèå
(
i;P
)
.
.
.
d
âäàííîìñëó÷àåðàâíîñèëüíî
i
.
.
.
d
.Ðàññìîò­
ðèìñóììó
S
=
X
(
i;P
)=1
1
:
2
Ïðèâåä¸ííîåâûøåðàññóæäåíèå,ïî­ñóùåñòâó,ÿâëÿåòñÿðåàëèçàöèåéò.í.
ïðèíöèïà«âêëþ÷åíèÿ­èñêëþ÷åíèÿ»,îáîáùàþùåãîî÷åâèäíîåòîæäåñòâî
j
A
[
B
j
=
j
A
j
+
j
B
j�j
A
\
B
j
:
Ñì.,íàïðèìåð,[
12
]èçàäà÷ó
I.2
,ñòð.
28
.
3
Äëÿñîêðàùåíèÿçàïèñèâñþäóâñóììàõîïóùåíîóñëîâèå:
1
6
i
6
x
.
2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà15
Âñîîòâåòñòâèèñóòâåðæäåíèåì
b
óñëîâèþ
(
i;P
)=1
óäîâëåòâîðÿþò
òîëüêîòå÷èñëà
i;i
=1
;
2
;:::;
[
x
]
,êîòîðûåÿâëÿþòñÿïðîñòûìèè
ïðåâîñõîäÿò
p
x
.Ñëåäîâàòåëüíî,
S
=

(
x
)


(
p
x
)+1
èïîëó÷àåì
òîæäåñòâî

(
x
)


(
p
x
)+1=
X
d
j
P

(
d
)
h
x
d
i
;
(I.7)
èëè,÷òîòîæåñàìîå,

(
x
)


(
p
x
)+1=[
x
]

X
1
6
i
6
r

x
p
i

+
X
1
6
ik
6
r

x
p
i
p
k



X
1
6
ikl
6
r

x
p
i
p
k
p
l

+
:::
+(

1)
r

x
p
1
p
2
:::p
r

;
(I.8)
ãäå
p
1
;p
2
;:::;p
r
—âñåïðîñòûå÷èñëà,íåïðåâîñõîäÿùèå
p
x
.
ÎöåíèìâðåìÿâûïîëíåíèÿàëãîðèòìàðåøåòàÝðàòîñôåíà.Ïðî­
ãðàììóñîñòàâèìòàê,÷òîáûèçáàâèòüñÿîòâåñüìàíàêëàäíûõïîâðå­
ìåíèîïåðàöèéäåëåíèÿ.Âñå÷èñëàèç
[2;
N
]
áóäåìõðàíèòüââèäå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèáèòîââñòðóêòóðåstd::vector
bool

èçÑòàí­
äàðòíîéáèáëèîòåêèøàáëîíîâC
++
STL,õîðîøîîïòèìèçèðîâàí­
íîéäëÿýòèõöåëåé[
15
].Íîìåðàáèòîâáóäóòñîîòâåòñòâîâàòü÷èñ­
ëàìèç
[2;
N
]
.Ïåðâîíà÷àëüíîóñòàíîâèìâñåáèòûïîñëåäîâàòåëüíî­
ñòèsieve
,àçàòåìñáðîñèìáèòû,ñîîòâåòñòâóþùèåñîñòàâíûì÷èñ­
ëàì,òàê÷òîâðåçóëüòàòåóñòàíîâëåííûìèîêàæóòñÿòîëüêîáèòû,
ñîîòâåòñòâóþùèåïðîñòûì÷èñëàì.
Íàïðèìåð,ïðè
N
=30
ñîîòâåòñòâåííîïîëó÷èì
11111111111111111111111111111
11010100010100010100010000010
Çäåñüïåðâûéáèòñîîòâåòñòâóåò
2
,âòîðîé—
3
.òðåòèé—
4
èò.ä.


std::vector
bool
�Erato_sieve(
int
N)
{
int
sqrt_N=(
int
)sqrt(N);
std::vector
bool
�sieve(N

1,1);
//sieve

11...1;
for
(
int
i=2;i=sqrt_N;i++)
{
//ñîñòàâíûå÷èñëà
if
(sieve[i

2])
//îáíóëÿþòñÿ;
for
(
int
j=i+i;j=N;j+=i)
sieve[j

2]=0;
}
}


16ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
Åñëè,êàêîáû÷íî,ñ÷èòàòü,÷òîâñåàðèôìåòè÷åñêèåîïåðàöèèâû­
ïîëíÿþòñÿçàâðåìÿ,îãðàíè÷åííîåêîíñòàíòîé(
B.6
,ñòð.
149
),òî
âíóòðåííèéöèêë
for
áóäåòðåàëèçîâàíçàâðåìÿ
O
(
N=i
)
,ãäå
i
ïðîáå­
ãàåòòîëüêîïðîñòûåçíà÷åíèÿ,íåïðåâîñõîäÿùèå
p
N
.Ñëåäîâàòåëü­
íî,âðåìÿâûïîëíåíèÿàëãîðèòìàìîæíîîöåíèòüêàê
O
0
@
X
p
6
p
N
N
p
1
A
;
îòñþäà,ïîëüçóÿñüôîðìóëîéÌåðòåíñà(
II.43
),ïîëó÷èìòðåáóåìóþ
îöåíêóââèäå
O
(
N
lnln
N
)
:
ÏðîãðàììíàÿðåàëèçàöèÿìåòîäàðåøåòàÝðàòîñôåíàïðèáîëü­
øèõçíà÷åíèÿõ
N
çàòðóäíÿåòñÿòåì,÷òîíåîáõîäèìáîëüøîéîáú¸ì
ïàìÿòèäëÿõðàíåíèÿìàññèâà÷èñåë
2
;:::;N
.Ñóùåñòâóþòìîäèôè­
êàöèèàëãîðèòìà,ðàáîòàþùèåòàêæåáûñòðî,íîòðåáóþùèåçíà÷è­
òåëüíîìåíüøåìàøèííîéïàìÿòè.
§3.ÐåøåòîËåæàíäðà
Òîæäåñòâà(
I.7
)è(
I.8
),ïî­ñóùåñòâó,ÿâëÿþòñÿàíàëèòè÷åñêîé
ôîðìîéçàïèñèðåøåòàÝðàòîñôåíà,íîïðàêòè÷åñêè,äëÿòîãî,÷òî­
áû,ïî­êðàéíåéìåðå,îöåíèòüôóíêöèþ

(
x
)
,èõèñïîëüçîâàòüòðóä­
íî.Îñíîâíàÿñëîæíîñòü,î÷åâèäíî,ñâÿçàíàñî«ñïåöèôèêîé»ôóíê­
öèé,ôèãóðèðóþùèõâïðàâîé÷àñòèôîðìóë(
I.7
),(
I.8
).Äåéñòâè­
òåëüíî,åñëèìûïîïûòàåìñÿçàìåíèòüöåëûå÷àñòèâåëè÷èíñàìèìè
ýòèìèâåëè÷èíàìè,òîïîëó÷èìîøèáêóïîðÿäêà
O
(
x
)
,÷òîñîïîñòà­
âèìîñ

(
x
)
,òàêêàê

(
x
)
x
.Òåìíåìåíåå,ñóùåñòâóþòýôôåêòèâ­
íûåìîäèôèêàöèèìåòîäàðåøåòà
1
,ïîçâîëÿþùèåïðîÿñíèòüïîâåäå­
íèå

(
x
)
èðåøàòüäðóãèå,ñâÿçàííûåñäàííîéçàäà÷åé,ïðîáëåìû.
Èñòîðè÷åñêèïåðâàÿòàêàÿìîäèôèêàöèÿàëãîðèòìàðåøåòàÝðà­
òîñôåíàïðèíàäëåæèòÀ.Ëåæàíäðó.Îíàïîçâîëÿåòãðóáîîöåíèòü

(
x
)
èäîêàçàòü,÷òî

(
x
)=
o
(
x
)
;x
!1
;
(I.9)
òîåñòü,äðóãèìèñëîâàìè,ìîæíîñêàçàòü,÷òîïðîñòûõ÷èñåë«áåñêî­
íå÷íîìåíüøå»,÷åìíàòóðàëüíûõ.
1
ÐåøåòîËåæàíäðà,Áðóíà,Ñåëüáåðãà,Áîëüøîåðåøåòîèäð.ÌåòîäÁðóíàáó­
äåòèñïîëüçîâàíâãëàâå
III
,ðåøåòîÑåëüáåðãà—â
IV
­îé.
3.ÐåøåòîËåæàíäðà17
Ïóñòü
z
—ïðîèçâîëüíîåïîëîæèòåëüíîåâåùåñòâåííîå÷èñëî,ìå­
íüøåå
p
x
,âåëè÷èíàêîòîðîãîáóäåòîïðåäåëåíàïîçäíåå,è
P
z
def
=
Y
p
6
z
p;
òîãäàäëÿâñåõïðîñòûõèçîòðåçêà
[
z;x
]
âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî
X
d
j
(
P
z
;n
)
n
6
x

(
d
)=1
;
(I.10)
ò.ê.
(
P
z
;n
)=1
äëÿâñåõ
n
6
x
.Ïîýòîìó,ïîàíàëîãèèñìåòîäîì
ðåøåòàÝðàòîñôåíà
2
,èìååì

(
x
)


(
z
)=
X
d
j
P
z

(
d
)
h
x
d
i
6
X
d
j
P
z

(
d
)
x
d
+2
z
;
(I.11)
ïîñêîëüêó,åñëèîïóñòèòüçíàêöåëîé÷àñòè,òîóêàæäîãîñëàãàåìîãî
ïîëó÷èòñÿïîãðåøíîñòü,ìåíüøàÿ
1
,àóâñåéñóììûîøèáêàáóäåò
ìåíüøå,÷åì(ñì.
B.18
)
[
z
]
X
k
=0
C
k
[
z
]
=2
[
z
]
:
Îöåíèìñóììóâïðàâîé÷àñòèíåðàâåíñòâà(
I.11
)
X
d
j
P
z

(
d
)
d
(
A:
13
)
6
Y
p
6
z

1

1
p

=
Y
p
6
z

1
1

1
=p


1
=
=
Y
p
6
z

1+
1
p
+
1
p
2
+
:::


1
6

X
n
6
z
1
n
!

1
ëåììàÏ.
1
:
2
6
ëåììàÏ.
1
:
2
6

Z
z
2
dt
t


1
6
C

1
ln
z

:
Ïîäñòàâëÿÿíàéäåííóþîöåíêóâ(
I.11
)ïîëó÷èì

(
x
)


(
z
)
6
C
x
ln
z
+2
z
;
èëè

(
x
)
6
C
x
ln
z
+2
z
+

(
z
)
C
x
ln
z
+2
z
+
z;
2
Íîòåïåðüìûîñòàíàâëèâàåìñÿðàíüøå,íåäîõîäÿäîãðàíèöû
p
x
.Âðåçóëüòàòå
ïîñëåâûñåèâàíèÿìîãóòîñòàòüñÿèíåêîòîðûåñîñòàâíûå÷èñëà.
18ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
îòêóäà

(
x
)
x
C
1
ln
z
+
2
z
x
+
z
x
:
Èçïîñëåäíåãîíåðàâåíñòâàñëåäóåò,÷òîåñëèâûáðàòüâêà÷åñòâå
z
ôóíêöèþîò
x
,òàêóþ,÷òîáûïðè
x
!1
îäíîâðåìåííîâûïîëíÿëîñü
z
!1
;
2
z
x
!
0
;
(I.12)
òîïîëó÷èìñîîòíîøåíèå(
I.9
).Óñëîâèÿì(
I.12
)óäîâëåòâîðÿåò,íà­
ïðèìåð
3
,
z
=ln
p
x
è,ïîýòîìó,èìååìîöåíêó

(
x
)=
O

x
lnln
x

:
(I.13)
§4.Êðèòåðèèïðîñòîòû
Ðàññìîòðèìäðóãèå,îòëè÷íûåîòìåòîäàïðîñòîãîäåëåíèÿ,ñïî­
ñîáûîïðåäåëåíèÿïðîñòîòûäàííîãîíàòóðàëüíîãî÷èñëà.Âåðîÿòíî
íàèáîëååèçâåñòíûéïðèçíàêïðîñòîòûäà¸òñÿñëåäóþùåéòåîðåìîé.
Òåîðåìà4.1(Âèëüñîí).
Åñëè
p
—ïðîñòîå,òî
(
p

1)!+1

0(mod
p
)
;
(I.14)
àåñëè
p
—ñîñòàâíîå,òî(
I.14
)íåâûïîëíÿåòñÿ.
.
Ïóñòü
p
—ïðîñòîå,
p�
3
(äëÿñëó÷àåâ
p
=2
;p
=3
óòâåð­
æäåíèåíåòðóäíîïðîâåðèòüíåïîñðåäñòâåííûìâû÷èñëåíèåì).Äî­
êàæåì,÷òîâñå÷èñëà
2
;
3
;:::;p

2
(I.15)
ðàñïàäàþòñÿíàïàðû÷èñåë
1
,ïðîèçâåäåíèåêîòîðûõäà¸òïðèäåëå­
íèèíà
p
îñòàòîê
1
.Ïóñòü
q
ïðîáåãàåòðÿä(
I.15
),òîãäàïîñëåäñòâèþ
èçòåîðåìû
1.2
(ñòð.
134
)íàéäóòñÿ
åäèíñòâåííûå
öåëûå
u;v
,òàêèå
÷òî
qu

pv
=1
;
1
6
up
3
Ãîäèòñÿëþáîå
z
=

ln
x
,ïðèëþáîìâåùåñòâåííîìïàðàìåòðå

,óäîâëåòâîðÿ­
þùåìóñëîâèþ
0

1
=
ln2
.
1
Çäåñüñóùåñòâåííî,÷òî
p
—ïðîñòîå÷èñëî.Ïðèñîñòàâíîì
p
òàêîåðàçáèåíèå
íàïàðûáóäåòíåâîçìîæíî.
4.Êðèòåðèèïðîñòîòû19
Ñëåäîâàòåëüíî,ìíîæåñòâî÷èñåë(
I.15
)ìîæíîðàçáèòüíàòàêèåïà­
ðû
(
q
i
;
q
i
)
;i
=1
;
2
;:::;
(
p

3)
=
2
,äëÿêîòîðûõ
q
i
q
i
=
pv
i
+1
;i
=1
;
2
;:::;
(
p

3)
=
2
(I.16)
Ïåðåìíîæàÿ(
I.16
)ïîâñåâîçìîæíûìçíà÷åíèÿì
i
ïîëó÷èì
(
p

2)!=
pV
+1
;
ãäå
V
—íåêîòîðîåíàòóðàëüíîå÷èñëî.Ïîñëåóìíîæåíèÿîáåèõ÷à­
ñòåéïîñëåäíåãîðàâåíñòâàíà
p

1
èìååì
(
p

1)!=
p
(
p

1)
V
+
p

1
;
èëè
(
p

1)!+1=
p

(
p

1)
V
+1

;
òîåñòüñîîòíîøåíèå(
I.14
).
Ïóñòüòåïåðü
p
—ñîñòàâíîå,òîãäàîíîèìååòïðîñòîéäåëèòåëü
p
1
,ïðè÷¸ì
p
1
p
è,ñëåäîâàòåëüíî,
(
p

1)!
.
.
.
p
1
.Òîãäàïîëó÷èì,÷òî
(
p

1)!+1
íåäåëèòñÿíà
p
1
è,òåìáîëåå,íà
p
.
/
Èñïîëüçóÿýòîòêðèòåðèéíåòðóäíîïîëó÷èòüâûðàæåíèåäëÿ
ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõâÿâíîìâèäå.Äåéñòâèòåëüíî,ïðè
ñîñòàâíîì
k
,î÷åâèäíî,
(
k

1)!
2
.
.
.
k
,ò.ê.âýòîìñëó÷àåâñåïðîñòûå
äåëèòåëè
k
íåïðåâîñõîäÿò
p
k
è,ñëåäîâàòåëüíî,âõîäÿòâïðîèçâå­
äåíèå
(
k

1)!
2
.Âñëó÷àåïðîñòîãî
k
ïîòåîðåìåÂèëüñîíàèìååì
(
k

1)!+1=
kL;
ãäå
L
—íåêîòîðîåíàòóðàëüíîå÷èñëî.Îòñþäà
(
k

1)!
2
=
k
2
L
2

2
kL
+1
:
È,âýòîìñëó÷àå,
(
k

1)!
2

k

(
k

1)!
2
k

=1
;
àïðèñîñòàâíîì
k
ýòîæåâûðàæåíèåðàâíî
0
.Ïîýòîìó,âñïîìèíàÿ
ñâîéñòâî
3
(ñòð.
10
),èìååìòîæäåñòâî

(
k
)


(
k

1)=(
k

1)!
2

k

(
k

1)!
2
k

;
îòêóäà,ñóììèðóÿïî
k
îò
2
äî
n
,ïîëó÷èìâÿâíîìâèäå

(
n
)=
n
X
k
=2

(
k

1)!
2

k

(
k

1)!
2
k

!
:
(I.17)
20ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
Îïðåäåëåíèåïðîñòîòû÷èñëàïîòåîðåìåÂèëüñîíà,î÷åâèäíî,áî­
ëååòðóäî¸ìêî,÷åììåòîäïðîñòîãîäåëåíèÿ,ïîñêîëüêó
(
p

1)!
î÷åíü
ñèëüíîðàñò¸òñðîñòîì
p
.Íàïðèìåð,÷òîáûîïðåäåëèòüïðîñòîòó
÷èñëà
101
,ïîëüçóÿñüòåîðåìîéÂèëüñîíà,ïîòðåáóåòñÿ
99
îïåðàöèé
óìíîæåíèÿ,îäíîñëîæåíèåèîäíàîïåðàöèÿäåëåíèÿ
2
,àïîìåòîäó
ïðîñòîãîäåëåíèÿ—
4
äåëåíèÿíà÷èñëà
2
;
3
;
5
;
7
èåù¸
5
îïåðàöèéäå­
ëåíèÿ,÷òîáûíàéòèýòè÷èñëàïðèïîìîùèðåøåòàÝðàòîñôåíà.Òà­
êèìîáðàçîì,êðèòåðèéïðîñòîòû,îñíîâàííûéíàòåîðåìåÂèëüñîíà,
àðàâíîèôîðìóëà(
I.17
),èìååòëèøüòåîðåòè÷åñêîåçíà÷åíèå.
Ñóùåñòâóþòèäðóãèåêðèòåðèèïðîñòîòû÷èñëà,òàêæåìàëîïðè­
ãîäíûåäëÿïðàêòèêè.Íàïðèìåð
n

1
Y
i
=2
n

1
Y
j
=
i
(
n

ij
)

6
=0
;
åñëè
n
—ïðîñòîå
;
=0
;
åñëè
n
—ñîñòàâíîå
:
Èçâåñòíûðàçëè÷íûåôîðìóëûèäëÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ
âåëè÷èí
p
n
è

(x)
3
,àòàêæåðàçëè÷íûõèõêîìáèíàöèé,êàê­òî:
1.Ôîðìóëà
Ñåðïèíñêîãî
p
n
=[10
2
n

]

10
2
n

1
[10
2
n

1

]
;
ãäå

=
1
X
k
=1
p
k
10

2
k
:
Ýòàôîðìóëàíåãîäèòñÿäëÿâû÷èñëåíèÿ
n
­ãîïðîñòîãî,ò.ê.äëÿòî­
ãî,÷òîáûíàéòèíóæíîåêîëè÷åñòâîäåñÿòè÷íûõçíàêîâ

íàïåð¸ä
òðåáóåòñÿçíàòüäîñòàòî÷íîìíîãîïðîñòûõ÷èñåë.
2.
Ìèëëñ
4
ïîêàçàë,÷òîñóùåñòâóåòïîëîæèòåëüíàÿêîíñòàíòà
C
,
òàêàÿ,÷òîâûðàæåíèå
[
C
3
x
]
äà¸òäëÿâñåõâåùåñòâåííûõ
x
òîëüêîïðîñòûå÷èñëà.Ýòàôîðìó­
ëà,êîíå÷íî,òàêæåíåìîæåòñëóæèòüäëÿîïðåäåëåíèÿïðîñòûõ,ïî­
ñêîëüêóïðîñòûå÷èñëàíóæíîçíàòü
ïåðåä
òåì,êàêâû÷èñëèòüñíóæ­
íîéòî÷íîñòüþâåëè÷èíó
C
.
2
È,êðîìåýòîãî,ïðèä¸òñÿèìåòüäåëîñ÷ðåçâû÷àéíîäëèííûìè÷èñëàìè,òèïà
100!=93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895
217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916
864000000000000000000000000
;
÷òîåù¸áîëüøåóâåëè÷èâàåòâû÷èñëèòåëüíûåòðóäíîñòè.
3
«
:::
itispossibletodeviseanumberof‘formulae’for
p
n
whichare,fromourpoint
ofviewnomorethancuriosities».[
12
,p.6].
4
W.H.Mills.Aprime­representingfunction.Bull.Amer.Math.Soc.53(1947)604.
5.Áåñêîíå÷íîñòüìíîæåñòâàïðîñòûõ21
3.Íåòðóäíîïðèâåñòèèäðóãèåôîðìóëûñòàêèìèæåíåäîñòàò­
êàìè,íàïðèìåð:
p
n
=
1
n

1

n

1
X
k
=1
p
k
+
p
n

1
X
k
=2

(
k
)
!
;n�
1;
(I.18)
p
n

1
Y
k
=2

(
k
)=(
n

1)
p
n
n

1
Y
k
=2

1

1
k

p
k
;n�
1
:
(I.19)
Òàêèìîáðàçîì,ñåé÷àñìûìîæåìóòî÷íèòüïîíÿòèåòðåáóþùåé­
ñÿ«ôîðìóëûïðîñòîãî÷èñëà».Ïîäíåéáóäåìïîíèìàòüëèáîàíà­
ëèòè÷åñêîåâûðàæåíèå,ïîçâîëÿþùååâû÷èñëèòüçíà÷åíèÿ
p
n
èëè

(
x
)
5
,ëèáîàëãîðèòì,ñïîìîùüþêîòîðîãîìîæíîíàéòèýòèâåëè­
÷èíû
ñóùåñòâåííîáûñòðåå
,÷åìïðèèñïîëüçîâàíèèèçâåñòíîãîñ
IIIâåêàäîí.ý.ìåòîäàðåøåòàÝðàòîñôåíà.
§5.Áåñêîíå÷íîñòüìíîæåñòâàïðîñòûõ
Òåîðåìà5.1.
Ñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ÷èñåë.
.
I(Åâêëèä
1
).
Ïóñòüèìååòñÿòîëüêîêîíå÷íîåêîëè÷åñòâîïðî­
ñòûõ÷èñåë
p
1
;p
2
;:::;p
r
:
(I.20)
Ðàñììîòðèì÷èñëî
N
=
p
1
p
2
:::p
r
+1
.Ýòî÷èñëîíåäåëèòñÿíèíàîä­
íîèç÷èñåë(
I.20
)è,î÷åâèäíî,áîëüøåëþáîãîèçíèõ,ñëåäîâàòåëüíî,
îíîïðîñòîå,÷òîïðîòèâîðå÷èòäîïóùåíèþ.
II(Ýéëåð
2
).
Ñíîâàïðåäïîëàãàÿ,÷òîñóùåñòâóåòëèøüêîíå÷íîå
÷èñëîïðîñòûõ(
I.20
),ñîñòàâèìïðîèçâåäåíèå
r
Y
k
=1

1

1
p
k


1
=
r
Y
k
=1

1
1

1
=p
k

=
r
Y
k
=1

1+
1
p
k
+
1
p
2
k
+
:::

;
(I.21)
5
èëè,ïîêðàéíåéìåðå,îöåíèòüýòèâåëè÷èíû.
1
«Íà÷àëà»,êí.IX,IIIâ.äîí.ý.Âòå÷åíèåáîëåå
2000
ëåòýòîáûëåäèíñòâåííûé
ñòðîãîäîêàçàííûé
ðåçóëüòàò,îòíîñÿùèéñÿêðàñïðåäåëåíèþïðîñòûõ÷èñåë.
2
1737ã.«Êîíå÷íî,ýòîäîêàçàòåëüñòâîãîðàçäîçàïóòàííååèèñêóññòâåííåå,÷åì
äàííîåÅâêëèäîì.Íîîíîñòîëüæåïðèâëåêàòåëüíî,êàêòðóäíûéïîäú¸ìíàâåð­
øèíóãîðû,êîòîðàÿìîãëàáûáûòüäîñòèãíóòàñäðóãîéñòîðîíûïîêîìôîðòà­
áåëüíîéäîðîãå»Ð.Êóðàíò,Ã.Ðîááèíñ.×òîòàêîåìàòåìàòèêà?Ì.,2001,ñòð.510.
22ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
ãäåâñåðÿäûñïðàâààáñîëþòíîñõîäÿòñÿè,ïîýòîìó
3
,èõìîæíîïî­
÷ëåííîïåðåìíîæàòü,ïîëó÷èâïðèýòîìðÿäâèäà
X
0
1
n
:
(I.22)
Ñóììèðîâàíèåçäåñüâåä¸òñÿïî÷èñëàì
n
,êîòîðûåÿâëÿþòñÿâñå­
âîçìîæíûìèïðîèçâåäåíèÿìè÷èñåë(
I.20
)èèõñòåïåíåé,àòàêæå
ïî
n
=1
.Íîïîîñíîâíîéòåîðåìåàðèôìåòèêè
ëþáîå
íàòóðàëüíîå
÷èñëîìîæåòáûòüïðåäñòàâëåíîâòàêîìâèäå.Ñëåäîâàòåëüíî,(
I.22
)
åñòüíè÷òîèíîå,êàêãàðìîíè÷åñêèéðÿä,÷ëåíûêîòîðîãîçàïèñà­
íû,áûòüìîæåò,âäðóãîìïîðÿäêå.Àïîñêîëüêóãàðìîíè÷åñêèéðÿä
ðàñõîäèòñÿ
4
,òîïîëó÷åíîïðîòèâîðå÷èå,èáîâïðîèçâåäåíèè(
I.21
)
ó÷àñòâóåòëèøüêîíå÷íîå÷èñëîñîìíîæèòåëåé.
/
Áåñêîíå÷íîñòüìíîæåñòâàïðîñòûõ÷èñåëìîæåòáûòüäîêàçàíà
èìåíååïðÿìûìèñïîñîáàìè.Íàïðèìåð,äëÿýòîãîäîñòàòî÷íîóêà­
çàòüêàêóþ­ëèáîïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ñîäåðæàùóþáåñêîíå÷íîìíî­
ãî
âçàèìíîïðîñòûõ
÷èñåë.
Òåîðåìà5.2(Ãîëüäáàõ).
Ëþáûåäâà
÷èñëàÔåðìà
F
n
=2
2
n
+1
;n
=0
;
1
;
2
;:::
ÿâëÿþòñÿâçàèìíîïðîñòûìè.
.
Èçðåêóððåíòíîãîñîîòíîøåíèÿäëÿ÷èñåëÔåðìà
F
n
=(
F
n

1

1)
2
+1
;F
0
=3
ïîëó÷èì
F
n

2=(
F
n

1

1)
2

1=(
F
n

1

2)
F
n

1
:
Ïðîäîëæàÿòàêèìæåîáðàçîì,èìååì
F
n

2=(
F
n

2

2)
F
n

2
F
n

1
=(
F
n

3

2)
F
n

3
F
n

2
F
n

1
=
=
:::
=
F
n

1
F
n

2
:::F
0
;
òîåñòü
F
n

2
äåëèòñÿíàâñåïðåäøåñòâóþùèå
F
n
÷èñëàÔåðìà.Ñëå­
äîâàòåëüíî,
(
F
n
;F
k
)
6
2
;
0
6
kn
,îòêóäàñëåäóåò
(
F
n
;F
k
)=1
,òàê
êàêâñå÷èñëàÔåðìà,î÷åâèäíî,íå÷¸òíû.
/
Ñëåäñòâèå.
Ïðîñòûõ÷èñåëáåñêîíå÷íîìíîãî,èíà÷åíåìîãëîáû
ñóùåñòâîâàòüáåñêîíå÷íîìíîãîïîïàðíîïðîñòûõ÷èñåë.Äåéñòâè­
òåëüíî,òàêêàêóäâóõâçàèìíîïðîñòûõ÷èñåëíåòîáùèõïðîñòûõ
3
Cì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
147
.
4
Ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
146
.
5.Áåñêîíå÷íîñòüìíîæåñòâàïðîñòûõ23
äåëèòåëåé,òîâçÿâïîîäíîìóòàêîìóäåëèòåëþäëÿêàæäîãî
F
n
ïî­
ëó÷èìáåñêîíå÷íîåìíîæåñòâî÷èñåë
5
.
Èòàê,ïðîñòûõ÷èñåëáåñêîíå÷íîìíîãî,íî«íàñêîëüêîìíîãî»?
Êàêîâàèõ«ïëîòíîñòü»âíàòóðàëüíîìðÿäó?×àñòè÷íîýòîòâîïðîñ
ïðîÿñíÿåòñëåäóþùÿÿòåîðåìà
Òåîðåìà5.3(Ýéëåð).
Ðÿä
X
p
1
p
;
ãäåñóììàáåð¸òñÿïîâñåìïðîñòûì÷èñëàì,ðàñõîäèòñÿ.
.
ÏîëüçóÿñüèçâåñòíûìðàçëîæåíèåìâðÿäÒåéëîðàôóíêöèè
ln(1

t
)
ïðè
0
t
1
,ïîëó÷èì


ln(1

t
)+
t

=
t
2
2
+
t
3
3
+
t
4
4
+
:::
t
2
2

1+
t
+
t
2
+
:::

=
t
2
2(1

t
)
:
Îòêóäà,ïîëàãàÿ
t
=1
=p
,èìååì
ln

1

1
p


1

1
p
+
1
2
p
(
p

1)
(I.23)
Äàëåå,èñïîëüçóÿôîðìóëû(
I.21
)è(
I.22
),àòàêæåëåììó
1.2
Ïðèëî­
æåíèÿB,ïîëó÷èì
Y
p
6
x

1

1
p


1
=
X
0
1
n

X
n
6
x
1
n
(
B:
2
)

Z
[
x
]+1
1
dt
t

ln
x
Ëîãàðèôìèðóÿïîñëåäíååíåðàâåíñòâî,èìååì
X
p
6
x
ln

1

1
p


1

lnln
x;
(
x�
1)
(I.24)
Èçíåðàâåíñòâà(
I.23
)ñëåäóåò,÷òî
X
p
6
x
1
p

X
p
6
x
ln

1

1
p


1

1
2
X
p
6
x
1
p
(
p

1)
(
I:
24
)

(
I:
24
)

lnln
x

1
2
X
p
6
x
1
p
(
p

1)

lnln
x

1
2
1
X
n
=2
1
n
(
n

1)
;
5
Ìîæíîïðèâåñòèèäðóãèåáåñêîíå÷íûåìíîæåñòâàïîïàðíîïðîñòûõ÷èñåë,íà­
ïðèìåð—ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÑèëüâåñòðà(J.Sylvester)
a
n
+1
=
a
2
n

a
n
+1
;a
1
=2
:
24ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
ãäåðÿä
P
1
n
=2
1
=

n
(
n

1)

ñõîäèòñÿ(èíòåãðàëüíûéïðèçíàê
6
).Îòñþ­
äàïðè
x
!1
ïîëó÷àåòñÿóòâåðæäåíèåòåîðåìû.
/
Ñëåäóåòîòìåòèòü,÷òîðÿä
P
p
1
=p
ðàñõîäèòñÿ÷ðåçâû÷àéíîìåä­
ëåííî—íàïðèìåð,äàæåïðèçíà÷åíèè
x
=10
18
ñóììà
P
p
6
x
1
=p;
íå
ïðåâîñõîäèò÷èñëà
4
;
0
.
Òåîðåìà
5.3
ïîêàçûâàåò,÷òîõîòÿïðîñòûõ÷èñåë«ìåíüøå»,÷åì
íàòóðàëüíûõ,èõâñ¸æåíàñòîëüêî«ìíîãî»,÷òîðÿä,ñîñòàâëåííûé
èçâåëè÷èí,îáðàòíûõïðîñòûì,ðàñõîäèòñÿ.Âòîæåâðåìÿ,íàïðè­
ìåð,ðÿäîáðàòíûõêâàäðàòîâñõîäèòñÿ(ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
146
),
ò.å.ïðîñòûõ÷èñåë,âíåêîòîðîìñìûñëå,«áîëüøå»,÷åìêâàäðàòîâ
7
.
§6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ
ïðîñòûõ÷èñåëâíàòóðàëüíîìðÿäó
Êàêóæåîòìå÷àëîñü(ñì.Ââåäåíèå)ïðîñòûå÷èñëàðàñïîëîæåíû
âíàòóðàëüíîìðÿäóêðàéíåíåðàâíîìåðíî.Ñîäíîéñòîðîíû,èçâåñò­
íûî÷åíüáîëüøèåïðîñòûå÷èñëà­áëèçíåöû,íàïðèìåð,òàêàÿïàðà:
242206083

2
38880

1
;
242206083

2
38880
+1
:
Ñäðóãîéñòîðîíû,íàòóðàëüíûéðÿäñîäåðæèòäëèííûåó÷àñòêè,
ñîñòîÿùèåòîëüêîèçñîñòàâíûõ÷èñåë.Òàê,íàïðèìåð,ñðåäèñîòíè
íàòóðàëüíûõ÷èñåë
1671800
;:::;
1671900
íåòíèîäíîãîïðîñòîãî.
Âîîáùå,íåòðóäíîïîêàçàòü,÷òîâíàòóðàëüíîìðÿäóèìåþòñÿñêîëü­
êîóãîäíîáîëüøèåîòðåçêè,íåñîäåðæàùèåïðîñòûõ.Äåéñòâèòåëü­
íî,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
!+2
;n
!+3
;:::;n
!+
n
ñîäåðæèòòîëüêîñîñòàâíûå÷èñëàè,î÷åâèäíî,ìîæåòáûòüñêîëüêî
óãîäíîäëèííîéïðèäîñòàòî÷íîáîëüøîì
n
.
Îáîçíà÷èì
g
(
x
)
äëèíóíàèáîëüøåãîèíòåðâàëàèç
[1;
x
]
,íåñîäåð­
æàùåãîïðîñòûõ÷èñåë,íàïðèìåð:
g
(13)=4
;g
(200)=14
.Õîòÿôóíê­
öèÿ
g
(
x
)
ðàñò¸òêðàéíåíåðàâíîìåðíî(ñì.ðèñ.
I.2
),èìåþòñÿíåêîòî­
ðûåîñíîâàíèÿ
1
ïðåäïîëàãàòü,÷òîâûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå
g
(
x
)

ln
2
x;x
!1
:
6
Ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
145
.
7
Òî÷íåå,ýòîîçíà÷àåò,÷òîëþáîéîòðåçîê
[2;
x
]
äëÿïðîèçâîëüíîãî
x�
2
ñîäåð­
æèòíåìåíüøåïðîñòûõ÷èñåë,÷åìêâàäðàòîâíàòóðàëüíûõ÷èñåë.
1
6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë25
Ðèñ.I.2.Ñðàâíåíèåôóíêöèé
g
(
x
)
(1)è
ln
2
x
(2).
Ïîñêîëüêóñêîëüêî­íèáóäüïîëåçíóþïðàêòè÷åñêèòî÷íóþôîð­
ìóëóäëÿ
n
­ãîïðîñòîãî÷èñëàíàéòèäîñèõïîðíåóäàëîñü,ìîæ­
íîïîïûòàòüñÿîòûñêàòüêàêóþ­ëèáîíåñëîæíóþôóíêöèþ,çíà÷å­
íèÿêîòîðîéáóäóòñîâïàäàòüñíåêîòîðûì
ïîäìíîæåñòâîì
ìíîæå­
ñòâàïðîñòûõ÷èñåë,ñòåì,÷òîáûïîëüçóÿñüýòîéôóíêöèåé,ìîæíî
áûëîíàõîäèòüïðîñòûå—õîòÿáûèíåâñåïîäðÿä—áûñòðåå,÷åì
ñïîìîùüþðåøåòàÝðàòîñôåíà.Ñëåäóþùèéðåçóëüòàòïîêàçûâàåò,
÷òîýòîíåâîçìîæíîäëÿíàèáîëååïðîñòûõôóíêöèé—ìíîãî÷ëåíîâ.
Òåîðåìà6.1(Ýéëåð).
Íåñóùåñòâóåòìíîãî÷ëåíà
f
(
x
)
,îòëè÷íî­
ãîîòêîíñòàíòû,îòîäíîéïåðåìåííîé,cöåëûìèêîýôôèöèåíòàìè,
çíà÷åíèÿìèêîòîðîãî
f
(
m
)
äëÿâñåõöåëûõ
m
=1
;
2
;:::
ÿâëÿþòñÿ
òîëüêîïðîñòûå÷èñëà.
.
Î÷åâèäíî,÷òî
j
f
(
m
0
)
j

1
äëÿíåêîòîðîãîäîñòàòî÷íîáîëüøî­
ãî
m
0
.Ïóñòü
f
(
m
0
)=
p
,ãäå
p
—ïðîñòîå.ÏîôîðìóëåÒåéëîðà
f
(
x
)=
f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)
1!
(
x

x
0
)+
f
00
(
x
0
)
2!
(
x

x
0
)
2
+
:::
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x

x
0
)
n
;
26ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
âêîòîðîéïîëîæèì
x
=
m
0
+
kp;x
0
=
m
0
,ãäå
k
—öåëîå,ïîëó÷èì
f
(
m
0
+
kp
)=
f
(
m
0
)+
f
0
(
m
0
)
1!
kp
+
f
00
(
m
0
)
2!
k
2
p
2
+
:::
+
f
(
n
)
(
m
0
)
n
!
k
n
p
n
=
=
f
(
m
0
)+
p

f
0
(
m
0
)
1!
k
+
:::
+
f
(
n
)
(
m
0
)
n
!
p
n

1
k
n

:
Îòñþäàñëåäóåò,âñèëóòîãî,÷òîâñå
f
i
(
m
0
)
=i
!
;i
=1
;
2
;:::n
—öåëûå,
÷òî÷èñëî
f
(
m
0
+
kp
)
ÿâëÿåòñÿñîñòàâíûì,òàêêàê
j
f
(
m
0
+
kp
)
j
�p
äëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõ
k
èäåëèòñÿíà
p
.
/
Çàìå÷àíèÿ:
1.Èìåþòñÿìíîãî÷ëåíû,äàþùèåìíîãîïðîñòûõ÷èñåë.Íàïðè­
ìåð,Ýéëåðïðèâ¸ëïîëèíîì,äàþùèé
80
ïðîñòûõïðèïîñëåäîâà­
òåëüíûõçíà÷åíèÿõàðãóìåíòà
x
x
2

79
x
+1601
;x
=0
;
1
;:::;
79;
2.Ñóùåñòâóåòìíîãî÷ëåí5­îéñòåïåíè
îòìíîãèõïåðåìåííûõ
,
ìíîæåñòâîïîëîæèòåëüíûõçíà÷åíèéêîòîðîãîñîâïàäàåòñìíîæå­
ñòâîìïðîñòûõ÷èñåë.Äàííîåóòâåðæäåíèåÿâëÿåòñÿñëåäñòâèåìðå­
øåíèÿÞ.Â.Ìàòèÿñåâè÷åì10­îéïðîáëåìûÃèëüáåðòà
2
.Èìåþòñÿè
êîíêðåòíûåïðèìåðûòàêèõìíîãî÷ëåíîâ.ÒàêÄæ.Äæîíñ,Ä.Ñàòî,
Õ.ÓàäàèÄ.Âüåíñ(J.P.Jones,D.Sato,H.Wada,D.Wiens)îïóáëè­
êîâàëèïîëèíîìîò26­òèïåðåìåííûõ
3
(
k
+2)
n
1

[
wz
+
h
+
j

q
]
2


(
gk
+2
g
+
k
+1)(
h
+
j
)+
h

z

2


[2
n
+
p
+
q
+
z

e
]
2


16(
k
+1)
3
(
k
+2)(
n
+1)
2
+1

f
2

2



e
3
(
e
+2)(
a
+1)
2
+1

o
2

2

�
a
2

1

y
2
+1

x
2

2



16
r
2
y
4
(
a
2

1)+1

u
2

2

h

a
+
u
2
(
u
2

a
)

2

1


n
+4
dy
2

+1


(
x
+
cu
)
2
i
2

[
n
+
l
+
v

y
]
2

�
a
2

1

l
2
+1

m
2

2

[
ai
+
k
+1

l

i
]
2



p
+
l
(
a

n

1)+
b

2
an
+2
a

n
2

2
n

2


m

2



q
+
y
(
a

p

1)+
s

2
ap
+2
a

p
2

2
p

2


x

2



z
+
pl
(
a

p
)+
t

2
ap

p
2

1


pm

2
o
:
2
10­ÿïðîáëåìàÃèëüáåðòà:ñóùåñòâóåòëèóíèâåðñàëüíûéàëãîðèòìäëÿîïðåäå­
ëåíèÿñóùåñòâîâàíèÿðåøåíèÿëþáîãîäèîôàíòîâîãîóðàâíåíèÿ?Ýòàçàäà÷àáû­
ëàðåøåíàóñèëèÿìèÌ.Äåâèñà,Õ.Ïàòíàìà,Äæ.Ðîáèíñîí(M.Davis,H.Putnam,
J.Robinson)èÞ.Ìàòèÿñåâè÷à[
11
],êîòîðûéñäåëàëðåøàþùèéçàâåðøàþùèé
øàã.ÎòâåòíàïîñòàâëåííûéÃèëüáåðòîìâîïðîñîòðèöàòåëåí.
3
6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë27
Êîíå÷íî,ââèäóñëîæíîñòèèãðîìîçäêîãîâèäà,ýòàèïîäîáíûåôîð­
ìóëûïðàêòè÷åñêèìàëîïðèãîäíû.
Ñïðîáëåìîéíåðàâíîìåðíîñòèðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ,î÷åâèä­
íî,òåñíîñâÿçàíàçàäà÷àïîñòðîåíèÿ
ñïåöèàëüíîãî
ìíîæåñòâàíàòó­
ðàëüíûõ÷èñåë,ñîäåðæàùåãîáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ.Òàê,â÷àñò­
íîñòè,äëÿ
÷èñåëÔåðìà
4
F
n
=2
2
n
+1
;
÷èñåëÌåðñåííà
(ñì.çàäà÷ó
I.17
)
M
n
=2
n

1
;
÷èñåëÔèáîíà÷÷è
(ñì.çàäà÷ó
I.21
),àòàêæåäëÿìíîãî÷ëåíîâîòîäíîé
ïåðåìåííîéñöåëûìèêîýôôèöèåíòàìè,ñòåïåíèáîëüøåé
1
,íåèç­
âåñòíî(2008ã.)êîíå÷íîèëèáåñêîíå÷íîìíîæåñòâîïðîñòûõäàííî­
ãîâèäà.
Ýòàçàäà÷àðåøåíàäëÿàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèé.Íàïðèìåð,
óêàæåìäâåïðîãðåññèè,ñîäåðæàùèåáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ.
Òåîðåìà6.2.
Ñðåäè÷ëåíîâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèé
3
;
7
;
11
;
15
;:::
(I.25)
5
;
11
;
17
;
23
;:::
(I.26)
èìååòñÿáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ÷èñåë.Äðóãèìèñëîâàìè:ïðîñòûõ
âèäà
4
n

1
è
6
n

1
áåñêîíå÷íîìíîãî.
.
Îòïðîòèâíîãî,ïðåäïîëîæèì,÷òîïðîãðåññèÿ(
I.25
)ñîäåðæèò
ëèøüêîíå÷íîå÷èñëîïðîñòûõ:
3
;
7
;
11
;
19
;:::;p
r
:
(I.27)
Ðàññìîòðèì÷èñëî
N
=4(3

7

11

19
:::p
r
)

1
,êîòîðîå,î÷åâèä­
íî,áîëüøåëþáîãîèçïðîñòûõâèäà(
I.27
)èíåäåëèòñÿíèíàîäíî
4
Ï.Ôåðìàïðåäïîëàãàë,÷òîâñå÷èñëà
F
n
ïðîñòûå,íîÝéëåðïîêàçàë,÷òî
5
­îå
÷èñëîÔåðìàñîñòàâíîå:
F
5
=4294967297=641

6700417
.Êí.â.(2008ã.),íåñìîò­
ðÿíàèíòåíñèâíûåïîèñêèñèñïîëüçîâàíèåìñåòåéèçäåñÿòêîâòûñÿ÷êîìïüþòå­
ðîâ,íåíàéäåíîíèîäíîãîïðîñòîãî÷èñëàÔåðìà,êðîìåóæåèçâåñòíûõ:
F
0
=3
;F
1
=5
;F
2
=17
;F
3
=257
;F
4
=65537
:
28ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
èçýòèõ÷èñåë.Ñëåäîâàòåëüíî,÷èñëî
N
,âî­ïåðâûõ,ñîñòàâíîå,âî­
âòîðûõ,åãîïðîñòûåäåëèòåëèèìååþòâèä
4
n
+1
5
.Íîïðîèçâåäåíèå
÷èñåëâèäà
4
n
+1
èìååòòàêîéæåâèä.Äåéñòâèòåëüíî,äëÿäâóõ÷èñåë
(4
k
1
+1)(4
k
2
+1)=16
k
1
k
2
+4(
k
1
+
k
2
)+1=4(4
k
1
k
2
+
k
1
+
k
2
)+1
:
Äëÿáîëüøåãîäâóõêîëè÷åñòâàñîìíîæèòåëåé—î÷åâèäíîåîáîáùå­
íèåïîèíäóêöèè.Òàêèìîáðàçîì,ïîëó÷åíîïðîòèâîðå÷èå.Äëÿïðî­
ãðåññèè(
I.26
)äîêàçàòåëüñòâîïîëíîñòüþàíàëîãè÷íî.
/
Òåîðåìà(
6.2
)—÷àñòíûéñëó÷àéñëåäóþùåãîóòâåðæäåíèÿ:
Òåîðåìà6.3(Äèðèõëå).
Êàæäàÿàðèôìåòè÷åñêàÿïðîãðåññèÿ,ó
êîòîðîéïåðâûé÷ëåíâçàèìíîïðîñòñå¸ðàçíîñòüþ,ñîäåðæèòáåñ­
êîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ÷èñåë.
Íàäîêàçàòåëüñòâåòåîðåìûîñòàíàâëèâàòüñÿíåáóäåì(cì.[
5
]).
Çàäà÷èêãëàâå
I
I.1.
Íàïèñàòüïðîãðàììóíàÿçûêåâûñîêîãîóðîâíÿ,ðåàëèçóþ­
ùóþàëãîðèòìðåøåòàÝðàòîñôåíà.Ðåøåíèå:ñòð.
115
.
I.2.
Äîêàçàòüïðèíöèï«âêëþ÷åíèÿ­èñêëþ÷åíèÿ»:





n
[
i
=1
A
i





=
n
X
i
=1
j
A
i
j�
X
1
6
ij
6
n



A
i
\
A
j



+
X
1
6
ijk
6
n



A
i
\
A
j
\
A
k





:::
+(

1)
n

1



A
1
\
A
2
\
:::
\
A
n



:
Ðåøåíèå:ñòð.
97
.
I.3.
Íàïèñàòüïðîãðàììó,íàõîäÿùóþêàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå
çàäàííîãî÷èñëà.Èñïîëüçîâàòüðåçóëüòàò,ïîëó÷åííûéïðèðåøåíèè
çàäà÷è
I.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
117
.
I.4.
Íàïèñàòüïðîãðàììóäëÿâû÷èñëåíèÿôóíêöèé

(
x
)
è
g
(
x
)
.
Èñïîëüçîâàòüðåçóëüòàòðåøåíèÿçàäà÷è
I.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
126
.
I.5.
Íàïèñàòüïðîãðàììóäëÿðàñ÷¸òàôóíêöèè̸áèóñà

(
N
)

ôóíêöèè,îïðåäåëÿþùåé«ïðîñòîòó»çàäàííîãîíàòóðàëüíîãî÷èñëà.
Èñïîëüçîâàòüðåçóëüòàòûðåøåíèÿçàäà÷
I.1
è
I.3
.Ðåøåíèå:ñòð.
126
.
I.6.
Ñ÷àñòëèâûå÷èñëà
l
n
îïðåäåëÿþòñÿèñõîäÿèçïîñëåäîâàòåëü­
íîñòèâñåõíå÷¸òíûõíàòóðàëüíûõ÷èñåë
1
;
3
;
5
;
7
;
9
;
11
;
13
::::
5
Íå÷¸òíûåïðîñòûå÷èñëàïðèäåëåíèèíà
4
ìîãóòäàâàòüâîñòàòêåèëè
1
,èëè
3
,
òîåñòü,îíèèìåþòâèäëèáî
4
n
+1
,ëèáî
4
n

1
.
6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë29
l
1
=1
—ïåðâîåñ÷àñòëèâîå÷èñëî.Íàèìåíüøååíå÷¸òíîå,áîëüøåå
l
1
,
åñòü
3
.Ïîëîæèì
l
2
=3
èâû÷åðêíåìèçïîñëåäîâàòåëüíîñòèêàæäîå
òðåòüå÷èñëî,ïîëó÷èì
1
;
3
;
7
;
9
;
13
;
15
;
19
::::
Íàèìåíüøåå÷èñëîâýòîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè,áîëüøåå
l
2
,åñòü
7
.
Ïðèìåì
l
3
=7
èâû÷åðêíåìèç
ïîëó÷åííîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèêàæ­
äîåñåäüìîå÷èñëî,à
l
4
âîçüì¸ìðàâíûìíàèìåíüøåìóèçáîëüøèõ
l
3
÷ëåíîâïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ò.å.
9
,èò.ä.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñ÷àñò­
ëèâûõ÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõ
100
:
1
;
3
;
7
;
9
;
13
;
15
;
21
;
25
;
31
;
33
;
37
;
43
;
49
;
51
;
63
;
67
;
69
;
73
;
75
;
79
;
87
;
93
;
99
:
Ñîñòàâèòüïðîãðàììó,íàõîäÿùóþñ÷àñòëèâûå÷èñëà
6
.Ðåøåíèå:ñòð.
132
.
I.7.
Äîêàçàòü,÷òîïðè
n�
2

(
n

1)
n

1


(
n
)
=n;
åñëè
n

ïðîñòîå
�
(
n
)
=n;
âïðîòèâíîìñëó÷àå
:
Ðåøåíèå:ñòð.
97
.
I.8.
Äîêàçàòü
òåîðåìóËåéáíèöà
:÷òîáûöåëîå
p�
2
áûëîïðî­
ñòûìíåîáõîäèìîèäîñòàòî÷íîâûïîëíåíèåñðàâíåíèÿ
(
p

2)!

1

0(mod
p
)
:
ÈñïîëüçîâàòüòåîðåìóÂèëüñîíà
4.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
97
.
I.9.
Äîêàçàòüôîðìóëó
n
­ãîïðîñòîãî÷èñëà
p
n
=
2
2
n
+1
X
k
=0
sgn

n

k
X
l
=2

(
n

1)!
2

n

(
n

1)!
2
n

!!
;
ãäå
sgn(
x
)=

1
;
åñëè
x�
0
;
0
;
åñëè
x
6
0
:
ÈñïîëüçîâàòüòåîðåìóÂèëüñîíà
4.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
98
.
I.10.
Äîêàçàòüòîæäåñòâà(
I.18
),(
I.19
).Ðåøåíèå:ñòð.
98
.
I.11.

Íàìíîæåñòâåöåëûõ÷èñåë
Z
ââåä¸ìòîïîëîãèþ
7
,îáúÿâèâ
îòêðûòûìèìíîæåñòâà,ïðåäñòàâèìûåââèäåîáúåäèíåíèÿáåñêî­
íå÷íûõàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèé.Äîêàçàòüáåñêîíå÷íîñòüêîëè­
÷åñòâàïðîñòûõ÷èñåë,ðàññìàòðèâàÿìíîæåñòâî
A
p
=
f
tp
j
t
2
Z
;p
—ïðîñòîå
g
:
6
Íàçâàíèåñ÷àñòëèâûõ÷èñåëñâÿçàíîñèçâåñòíîé
çàäà÷åéÈîñèôàÔëàâèÿ
(ñì.Ó.Áîëë,Ã.Êîêñåòåð.Ìàòåìàòè÷åñêèåýññåèðàçâëå÷åíèÿ.Ì.:Ìèð,1986,
ñòð.43–47).Âíàñòîÿùååâðåìÿ(2008ã.)íåèçâåñòíî,ñîäåðæèòëèïîñëåäîâàòåëü­
íîñòüñ÷àñòëèâûõ÷èñåëáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ.
7
Ñì.,íàïðèìåð,Ð.Ýíãåëüêèíã.Îáùàÿòîïîëîãèÿ.Ì.:Ìèð,1986.
30ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
Ðåøåíèå:ñòð.
99
.
I.12.
Äîêàçàòü,÷òîåñëè
p
—ïðîñòîå,áîëüøåå
2
,òî



2+
p
5

p


2
p
+1
!
.
.
.
p
Ðåøåíèå:ñòð.
100
.
I.13.
Äîêàçàòü,÷òîåñëè
p
—ïðîñòîå,
n

p
,òî

C
p
n


n
p

!
.
.
.
p:
Ðåøåíèå:ñòð.
100
.
I.14.
Äîêàçàòü
ìàëóþòåîðåìóÔåðìà
:åñëè
a
íåäåëèòñÿíà
p
,ãäå
p
—ïðîñòîå÷èñëî,òîâûïîëíÿåòñÿñðàâíåíèå
a
p

1

1(mod
p
)
:
(I.28)
Îáðàòíîåóòâåðæäåíèåíåâåðíî:íàïðèìåð,
a
=2
;p
=341=11

31
8
.
Äîêàçàòåëüñòâîïðîâåñòèïîñëåäóþùåéñõåìå:
à)
äîêàçàòü,÷òîâñåáèíîìèàëüíûåêîýôôèöèåíòû
C
k
p
;
0
kp
äåëÿòñÿíà
p
;
á)
ñðàâíåíèåïðèïðîèçâîëüíûõöåëûõ
x
1
;x
2
(
x
1
+
x
2
)
p

x
p
1
+
x
p
2
(mod
p
)
;
èñòèííîñòüêîòîðîãîñëåäóåòèçà),îáîáùèòüíàïðîèçâîëüíîå
êîëè÷åñòâî
n
ñëàãàåìûõ:
(
x
1
+
x
2
+
:::
+
x
n
)
p

x
p
1
+
x
p
2
+
:::
+
x
p
n
(mod
p
);
â)
çàâåðøèòüäîêàçàòåëüñòâî.Ðåøåíèå:ñòð.
101
.
I.15.
Äîêàçàòü
òåîðåìóÝéëåðà
:
a
'
(
N
)

1(mod
N
)
;
(
a;N
)=1
:
8
Áîëååòîãî,ñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íîìíîãîñîñòàâíûõ÷èñåë
a
,óäîâëåòâîðÿþ­
ùèõñðàâíåíèþ(
I.28
)
ïðèëþáûõ
çíà÷åíèÿõ
p
.Òàêèå÷èñëàíàçûâàþò
÷èñëàìèÊàð­
ìàéêëà
(R.D.Carmichael)èëè
àáñîëþòíîïñåâäîïðîñòûìè
.×èñëàÊàðìàéêëà,íå
ïðåâîñõîäÿùèå
100000
:
561
;
1105
;
1729
;
2465
;
2821
;
6601
;
8911
;
10585
;
15841
;
29341
;
41041
;
46657
;
52633
;
62745
;
63973
;
75365
:
6.Íåðàâíîìåðíîñòüðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë31
Äîêàçàòåëüñòâîâåñòèïîñëåäóþùåéñõåìå:
Ïóñòü
'
(
N
)=
s
è
k
1
;k
2
;:::;k
s
—âñå÷èñëà,âçàèìíîïðîñòûåñ
0
;
1
;
2
;:::;N

1
.Ðàññìîòðåòü
s
÷èñåë
k
1
a;k
2
a;:::;k
s
a
(

)
a)
äîêàçàòü,÷òîâñå÷èñëà
(

)
ïðèäåëåíèèíà
N
äàþòðàçëè÷íûå
îñòàòêè;
á)
ðàññìîòðåòüñèñòåìóðàâåíñòâ
k
i
a
=
Nq
i
+
r
i
;i
=1
;
2
;:::;s;
(

)
ãäå
r
i
—îñòàòêèîòäåëåíèÿ
k
i
a
íà
N
.
Ðåøåíèå:ñòð.
101
.
I.16.
Íàïèñàòüïðîãðàììóäëÿðàñ÷¸òàôóíêöèèÝéëåðà.Èñïîëü­
çîâàòüðåçóëüòàòûðåøåíèÿçàäà÷è
I.3
.Ðåøåíèå:ñòð.
126
.
I.17.
Äîêàçàòü,÷òî÷èñëàÌåðñåííà
M
n
=2
n

1
ìîãóòáûòüïðîñòûìèòîëüêî,åñëè
n
—ïðîñòîå÷èñëî.Îáðàòíîå
óòâåðæäåíèå
9
íåâåðíî.Ðåøåíèå:ñòð.
101
.
I.18.
Äîêàçàòü,÷òîåñëè÷èñëî,âñåöèôðûêîòîðîãî—åäèíèöû,
ïðîñòîå,òîêîëè÷åñòâîåãîöèôðäîëæíîáûòüïðîñòûì÷èñëîì.Îá­
ðàòíîåóòâåðæäåíèå
10
íåâåðíî:
111=3

37
;
11111=41

271
.Ðåøåíèå:
ñòð.
101
.
I.19.
Äîêàçàòü,÷òîäëÿêàæäîãîïðîñòîãî÷èñëà
p
ìîæíîíàéòè
òàêèåöåëûå
x;y
,÷òî

x
2
+
y
2
+1

.
.
.
p:
Ðåøåíèå:ñòð.
102
.
I.20.
Äîêàçàòü,÷òîåñëè
p

1(mod4)
;
ãäå
p
—ïðîñòîåíå÷¸òíîå,òîíàéä¸òñÿöåëîå
x
,òàêîå,÷òî
x
2
+1

0(mod
p
)
:
9
Âíàñòîÿùååâðåìÿ(2008ã.)íåèçâåñòíîêîíå÷íîèëèáåñêîíå÷íîìíîæåñòâî
ïðîñòûõ÷èñåëÌåðñåííà.
10
Âíàñòîÿùååâðåìÿ(2008ã.)íåèçâåñòíîêîíå÷íîèëèáåñêîíå÷íîìíîæåñòâî
ïðîñòûõ,âñåöèôðûêîòîðûõÿâëÿþòñÿåäèíèöàìè.
32ÍÀ×ÀËÜÍÛÅÑÂÅÄÅÍÈßÎÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑËÀÕ
ÈñïîëüçîâàòüòåîðåìóÂèëüñîíà.Ðåøåíèå:ñòð.
102
.
I.21.
×èñëàÔèáîíà÷÷è
u
n
îïðåäåëÿþòñÿñëåäóþùèìðåêóððåíò­
íûìñîîòíîøåíèåì
u
n
+2
=
u
n
+1
+
u
n
;u
1
=
u
2
=1
:
Äîêàçàòü:
à)
u
n
+
m
=
u
n

1
u
m
+
u
n
u
m
+1
;
á)
åñëè
n
.
.
.
m
,òîè
u
n
.
.
.
u
m
;
â)
ïðè
n
ñîñòàâíîìèîòëè÷íîìîò
4
÷èñëî
u
n
ñîñòàâíîå,îáðàòíîå
óòâåðæäåíèå
11
íåâåðíî:
u
19
=4181=37

113
.
Ðåøåíèå:ñòð.
103
.
11
Âíàñòîÿùååâðåìÿ(2008ã.)íåèçâåñòíîêîíå÷íîèëèáåñêîíå÷íîìíîæåñòâî
ïðîñòûõ÷èñåëÔèáîíà÷÷è.
II.ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
§1.Ôóíêöèè×åáûø¸âà
Îïðåäåëåíèå1.1.
Ôóíêöèÿìè×åáûø¸âà
íàçûâàþòôóíêöèè

(
x
)=
X
p
6
x
ln
p;
(
x
)=
X
p
k
6
x
ln
p;
ãäåñóììûáåðóòñÿïîâñåìïðîñòûì÷èñëàì,íåïðåâîñõîäÿùèìâåùå­
ñòâåííîãî
x
èïîâñåìñòåïåíÿìïðîñòûõ,íåïðåâîñõîäÿùèì
x
,ñîîò­
âåòñòâåííî.
Ýòèôóíêöèè,íåñìîòðÿíàíåêîòîðóþêàæóùóþñÿñëîæíîñòüâ
èõîïðåäåëåíèè,âîìíîãèõâîïðîñàõòåîðèèðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ
÷èñåëîêàçûâàþòñÿáîëååïðåäïî÷òèòåëüíû,÷åì

(
x
)
1
.
Ïðèìåðû.

(6)=ln2+ln3+ln5
,

(6)=ln2+ln2+ln3+ln5
.
Î÷åâèäíàñâÿçüìåæäóýòèìèôóíêöèÿìè:

(
x
)=

(
x
)+

(
p
x
)+

(
3
p
x
)+
:::;
(II.1)
çäåñüðÿäâïðàâîé÷àñòè,ðàçóìååòñÿ,êîíå÷åí,îíîáðûâàåòñÿ,êàê
òîëüêîñòàíåòâûïîëíÿòüñÿíåðàâåíñòâî
k
p
x
2
.
×åáûø¸âñêèåôóíêöèèèìåþòáîëüøîåçíà÷åíèåââîïðîñàõðàñ­
ïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë,ïîñêîëüêóàñèìïòîòè÷åñêîåïîâåäåíèå

(
x
)
;
(
x
)
èôóíêöèè

(
x
)
òåñíîñâÿçàíû(ñì.ðèñ.
II.1
).Òî÷íåå
Òåîðåìà1.1.
Ïóñòü

1
;
2
;
3
è

1
;
2
;
3
îáîçíà÷àþòñîîòâåò­
ñòâåííîíèæíèåèâåðõíèåïðåäåëû
2
ïðè
x
!1
ôóíêöèé

(
x
)
x
;

(
x
)
x
;

(
x
)
x=
ln
x
òîãäà

1
=

2
=

3
def
=
;
1
=

2
=

3
def
=
:
1
«Ýòèôóíêöèè,âíåêîòîðîìñìûñëå,áîëåå
åñòåñòâåííûå
,÷åì

(
x
)
.Òàê

(
x
)=ln
Y
p
6
x
p
(àíàèáîëåååñòåñòâåííàÿîïåðàöèÿ,êîòîðóþìîæíîïðîäåëàòüñìíîæåñòâîìïðî­
ñòûõ÷èñåë,ýòî
ïåðåìíîæèòü
èõ);à

(
x
)
ðàâíàëîãàðèôìóíàèìåíüøåãîîáùåãî
êðàòíîãî÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõ
x
.»Ã.Õàðäè.ÄâåíàäöàòüëåêöèéîÐàìàíóä­
æàíå.Ì,2002,ñòð.43.
2
Ñì.ñòð.
148
.
34ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Ðèñ.II.1.Ñðàâíåíèåôóíêöèé

(
x
)
x=
ln
x
(1),

(
x
)
x
(2)è

(
x
)
x
(3).
.
Äëÿôóíêöèè

(
x
)
ïðèôèêñèðîâàííîìçíà÷åíèè
p
âñå
k
,òàêèå,
÷òî
p
k
6
x
,óäîâëåòâîðÿþòíåðàâåíñòâó
k
6
ln
x=
ln
p
è,ñëåäîâàòåëü­
íî,êîëè÷åñòâîòàêèõñòåïåíåéðàâíî
[ln
x=
ln
p
]
.Ïîýòîìóôóíêöèþ

(
x
)
ìîæíîïðåäñòàâèòüââèäå

(
x
)=
X
p
6
x

ln
x
ln
p

ln
p;
(II.2)
ñëåäîâàòåëüíî,ñó÷¸òîìñîîòíîøåíèÿ(
II.1
),èìååì

(
x
)
6

(
x
)
6
X
p
6
x
ln
x
ln
p
ln
p
=ln
x
X
p
6
x
1=

(
x
)ln
x:
Îòñþäà

(
x
)
x
6

(
x
)
x
6

(
x
)
x=
ln
x
èëè

1
6

2
6

3
(II.3)
Ñäðóãîéñòîðîíû,ïðèëþáîìâåùåñòâåííîì
;
0

1
è
x�
1

(
x
)

X
x

p
6
x
ln
p

ln
x

X
x

p
6
x
1=

ln
x


(
x
)


(
x

)

1.Ôóíêöèè×åáûø¸âà35
è,òàêêàê

(
x

)
x

,ïîëó÷àåìñîîòíîøåíèå

(
x
)
x



(
x
)
x=
ln
x

ln
x
x
1



:
Ïðè
0

1
èìååì
3
lim
x
!
+
1
ln
x
x
1


=0
èèçïîñëåäíåãîíåðàâåíñòâàïîëó÷àåì

1


3
.Íîââèäóïðîèç­
âîëüíîñòè

å¸ìîæíîâûáðàòüñêîëüêîóãîäíîáëèçêîéê1.Ïîýòîìó

1


3
:
(II.4)
Èçíåðàâåíñòâ(
II.4
),(
II.3
)ñëåäóåò,÷òî

1
=

2
=

3
.Àíàëîãè÷íî
äîêàçûâàåòñÿ,÷òî

1
=

2
=

3
.
/
Ñëåäñòâèå1.1.
Åñëèîäíàèçôóíêöèé

(
x
)
x
;

(
x
)
x
;

(
x
)
x=
ln
x
èìååòêîíå÷íûéïðåäåë,òîèäâåäðóãèåèìåþòòîòæåïðåäåë.Ñëå­
äîâàòåëüíî,àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë
ìîæåòáûòüçàïèñàíâëþáîéèçòð¸õýêâèâàëåíòíûõôîðì:

(
x
)

x
ln
x
;
(
x
)

x;
(
x
)

x;
(
x
!1
)
;
àäëÿåãîäîêàçàòåëüñòâà(ò.å.äëÿäîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ
ïðåäåëà)äîñòàòî÷íîóñòàíîâèòüèñòèííîñòüðàâåíñòâà

=

=1
:
Ñìûñëââåäåíèÿâðàññìîòðåíèåôóíêöèé×åáûø¸âàñîñòîèòâ
òîì,÷òîîöåíêèäëÿíèõïîëó÷àþòñÿìíîãîëåã÷å,÷åìäëÿôóíêöèè

(
x
)
.Îñíîâíóþðîëüâïîëó÷åíèèýòèõîöåíîêèãðàåòòîæäåñòâî×å­
áûø¸âà,äëÿäîêàçàòåëüñòâàêîòîðîãîíàìïîíàäîáèòñÿîäíîâñïî­
ìîãàòåëüíîåóòâåðæäåíèå.
Ëåììà1.1.
Ïîêàçàòåëüñòåïåíè

p
,ñêîòîðûìäàííîåïðîñòîå
÷èñëî
p
âõîäèòâêàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëà
n
!
ðàâåí

p
=

n
p

+

n
p
2

+

n
p
3

+
:::
3
ÏðàâèëîËîïèòàëÿ,ñì.ñòð.
148
36ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
.
Äåéñòâèòåëüíî,âïðîèçâåäåíèè
n
!
èìååòñÿðîâíî
[
n=p
]
ñîìíî­
æèòåëåé,êðàòíûõ
p
,ñðåäèíèõäåëÿùèõñÿíà
p
2
èìååòñÿðîâíî
[
n=p
2
]
,
ñðåäèïîñëåäíèõêðàòíûìè
p
3
ÿâëÿþòñÿ
[
n=p
3
]
ñîìíîæèòåëåéèò.ä.
Òàêèìîáðàçîì,êàæäûéñîìíîæèòåëüïðîèçâåäåíèÿ
n
!
,êðàòíûé
p
m
èíåäåëÿùèéñÿíà
p
m
+1
,ñîñ÷èòàíðîâíî
m
ðàçêàêêðàòíûé÷èñ­
ëàì
p;p
2
;p
3
:::;p
m
.
/
Ïðèìåð.
6!=1

2

3

4

5

6=720=2
4
3
2
5
,èñîîòâåòñòâóþùèå
ïîêàçàòåëèñòåïåíåéðàâíû:
4=[6
=
2]+[6
=
2
2
]
;
2=[6
=
3]
;
1=[6
=
5]
.
Òåîðåìà1.2(Òîæäåñòâî×åáûø¸âà).

(
x
)+


x
2

+


x
3

+
:::
=ln[
x
]!
(II.5)
.
Ïóñòü
[
x
]!=
Y
p
p

p
—êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëà
[
x
]!
,òîãäàâñîîòâåòñòâèèñëåì­
ìîé
1.1
Ïðèëîæåíèÿäëÿñîîòâåòñòâóþùèõïîêàçàòåëåéñòåïåíåé
ïðîñòûõâýòîìðàçëîæåíèè

p
=

[
x
]
p

+

[
x
]
p
2

+
:::
ëåììàÏ.
2
:
1
=

x
p

+

x
p
2

+
:::
(II.6)
Ñäðóãîéñòîðîíû,ôóíêöèþ

(
x=m
)
ìîæíîïðåäñòàâèòüââèäå


x
m

=
X
p
ln
p
X
p
k
6
x=m
1
:
Ñóììèðóÿýòîâûðàæåíèåïî
m
ïîëó÷èì
X
m


x
m

=
X
m
X
p
ln
p
X
p
k
6
x=m
1=
X
p
0
@
X
m
X
p
k
6
x=m
1
1
A
ln
p
=
;
òàêêàêóñëîâèå
((
k
1
)&(
m
1
)&(
p
k
6
x=m
))
ýêâèâàëåíòíî
((
k
1
)&(
m
6
x=p
k
))
,
=
X
p
ln
p
X
k
X
m
6
x=p
k
1=
X
p
ln
p
X
k

x
p
k

(
II:
6
)
=
X
p

p
ln
p
=
=ln
Y
p
p

p
=ln[
x
]!
Ïåðåìåíûïîðÿäêàñóììèðîâàíèÿâïðèâåä¸ííûõâûêëàäêàõ,ðàçó­
ìååòñÿ,çàêîííû,ïîñêîëüêóâñåðÿäûêîíå÷íû.
/
2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà37
§2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà
×òîáûïîëó÷èòüîöåíêèäëÿôóíêöèè

(
x
)
ñâåðõóèñíèçóäîñòà­
òî÷íî,ïðèíÿââîâíèìàíèåñëåäñòâèå
1.1
,îöåíèòü

(
x
)
è

(
x
)
.
Ëåììà2.1.
Îöåíêàñíèçó:

(2
n
)

ln
4
n
2
p
n
;n

2
(II.7)
.
Ïîëàãàÿâòîæäåñòâå×åáûø¸âà
x
=2
n
è
x
=
n
,ãäå
n
—ïîëî­
æèòåëüíîåöåëîå÷èñëî,ïîëó÷èì

(2
n
)+

(
n
)+

(2
n=
3)+
:::
=ln(2
n
)!

(
n
)+

(
n=
2)+

(
n=
3)+
:::
=ln(
n
)!
Âû÷òåìïî÷ëåííîèç1­îãîòîæäåñòâà2­îå,óìíîæåííîåíà
2

(2
n
)


(
n
)+

(
n
)


(
n=
2)+

(2
n=
3)


(
n=
3)+
:::
=ln
(2
n
)!
n
!
2
=ln
C
n
2
n
:
Îòñþäà,ó÷èòûâàÿ,÷òî

(
x
)
—íåóáûâàþùàÿôóíêöèÿ,ò.å.äëÿâñåõ
x
âûïîëíÿåòñÿ

(
x
)


(
x=
2)

0
,ïîëó÷àåìîöåíêó

(2
n
)

ln
C
n
2
n
:
(II.8)
Äëÿçàâåðøåíèÿäîêàçàòåëüñòâàòåïåðüäîñòàòî÷íîïîêàçàòü,÷òî
C
n
2
n

4
n
2
p
n
;n

2
:
(II.9)
Èíäóêöèÿ.Ïðè
n
=2
C
2
4
=6

4
2
=
(2
p
2)
.Ïóñòü(
II.9
)âûïîëíå­
íîäëÿëþáîãî
k
6
n
,òîãäàïðè
k
=
n
+1
C
n
+1
2
n
+2
=
(2
n
+2)!
(
n
+1)!
2
=
(2
n
)!
n
!
2
(2
n
+1)(2
n
+2)
(
n
+1)
2
=2
2
n
+1
n
+1
(2
n
!)
n
!
2
(
II:
9
)

(
II:
9
)

2
2
n
+1
n
+1
4
n
2
p
n
=
2
n
+1
2(
n
+1)
4
n
+1
2
p
n

4
n
+1
2
p
n
+1
;
èáî
2
n
+1

2
p
n
+1
p
n
ïðè
n�
1
.
/
Ëåììà2.2(Ýðä¸ø—Êàëüìàð).
Îöåíêàñâåðõó:

(
n
)
n
ln4
;n

2
(II.10)
38ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Ðèñ.II.2.Ôóíêöèè

(
x
)
(1)è
ax=
ln
x
(2),
Ax=
ln
x
(3)ïðè
x
6
100
.
.
Äîêàæåìíåðàâåíñòâî
1
(
II.10
)âôîðìå
Y
p
6
n
p
4
n
:
(II.11)
Èíäóêöèÿ.Íåïîñðåäñòâåííûìâû÷èñëåíèåìëåãêîïðîâåðèòüèñ­
òèííîñòü(
II.11
)äëÿ
n
=2
.Ïóñòü
n
—íàòóðàëüíîå÷èñëî,
n�
2
è
ïðåäïîëîæèì,÷òîíåðàâåíñòâî(
II.11
)âûïîëíÿåòñÿïðèâñåõíàòó­
ðàëüíûõ÷èñëàõ,ìåíüøèõ
n
.Îáîçíà÷èì
P
n
=
Q
p
6
n
p
.Òîãäà,åñëè
n
÷¸òíî,òî,î÷åâèäíî,
P
n
=
P
n

1
è,ñëåäîâàòåëüíî,äëÿýòîãîñëó÷àÿ
íåðàâåíñòâîäîêàçàíî.Ðàññìîòðèìñëó÷àéíå÷¸òíîãî
n;n
=2
k
+1
.
1
Ìîæíîóòî÷íèòüýòîñîîòíîøåíèå:
Y
p
6
n
p
(2
;
83)
n
;n

2;
Y
p
6
n
p�
2
n
;n

29;
Y
p
6
n
p�
(2
;
61)
n
;n�
2600
:
B.Rosser.ExplicitBoundsforSomeFunctionsofPrimeNumbers.Amer.J.Math.,
vol63,#1,pp.228–229(1941).
2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà39
Òîãäà
2
(1+1)
2
k
+1
=
2
k
+1
X
l
=0
C
l
2
k
+1
�C
k
2
k
+1
+
C
k
+1
2
k
+1
=2
C
k
2
k
+1
:
Îòñþäàèìååì
C
k
2
k
+1

4
k
:
(II.12)
Ïðîèçâåäåíèåâñåõðàçëè÷íûõïðîñòûõ÷èñåë
p
,òàêèõ÷òî
k
+2
6
p
6
2
k
+1
ÿâëÿåòñÿäåëèòåëåì÷èñëà
C
k
2
k
+1
=(
k
+2)

:::

(2
k
+1)
=k
!
.Ñëåäî­
âàòåëüíî,ñó÷¸òîìîöåíêè(
II.12
),ýòîïðîèçâåäåíèåìåíüøå,÷åì
4
k
.
Àïîèíäóêòèâíîìóïðåäïîëîæåíèþïðîèçâåäåíèåïðîñòûõ,íåïðå­
âîñõîäÿùèõ
k
+1
,äîëæíîáûòüìåíüøå
4
k
+1
,ïîýòîìó
P
n
=
P
2
k
+1

4
k
4
k
+1
=4
2
k
+1
=4
n
:
Ýòèìíåðàâåíñòâî(
II.11
)ïîëíîñòüþäîêàçàíî,ëîãàðèôìèðóÿåãî,
ïîëó÷èì(
II.10
).
/
Òåîðåìà2.1(×åáûø¸â).
Ñóùåñòâóþòïîëîæèòåëüíûåâåùåñò­
âåííûåêîíñòàíòû
a;A
,òàêèå,÷òî
aA
èâûïîëíÿþòñÿíåðàâåí­
ñòâà
a
x
ln
x

(
x
)
A
x
ln
x
;x�
2
(II.13)
.
1.Ïîëîæèìâíåðàâåíñòâå(
II.7
)
2
n
=[
x
]
,òîãäà
2
n
6
x
2
n
+1
,

(2
n
)=

(
x
)
è

(
x
)

ln
4
(
x

1)
=
2
2
p
x=
2
=ln
2
x
2
p
2
x
=
x
ln2

ln2
p
2

1
2
ln
x;
îòêóäà

(
x
)
x

ln2

ln2
p
2
x

1
2
ln
x
x
:
(II.14)
2.Ïîëîæèââíåðàâåíñòâå(
II.10
)
n
=[
x
]
,ïîëó÷èì

(
x
)
x
ln4
;
èëè

(
x
)
x

ln4
(II.15)
2
Äàëååèñïîëüçîâàíòîòôàêò,÷òîáèíîìèàëüíîåðàçëîæåíèåñîäåðæèò
2
k
+2
÷ëåíîâ,ïðè÷¸ìñðåäíèåêîýôôèöèåíòû
C
k
2
k
+1
;C
k
+1
2
k
+1
ñîâïàäàþò,ñì.ñòð.
148
.
40ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Ðèñ.II.3.Ôóíêöèè

(
x
)
(1)è
ax=
ln
x
(2),
Ax=
ln
x
(3)ïðè
x
6
800
.
Èçñîîòíîøåíèé(
II.14
),(
II.15
),ñó÷¸òîìòåîðåìû
1.1
,èìååì
ln2
6

6

6
ln4
;
îòêóäàèñëåäóåòóòâåðæäåíèåòåîðåìûïðè
a
=ln2
,
A
=ln4
.
/
Íàðèñóíêàõ
II.2
,
II.3
ïîêàçàíûãðàôèêèôóíêöèé

(
x
)
è
ax=
ln
x
,
Ax=
ln
x
äëÿðàçëè÷íûõäèàïàçîíîâèçìåíåíèÿàðãóìåíòà
x
.
Ñëåäñòâèå2.1.
Ñóùåñòâóþòïîëîæèòåëüíûåâåùåñòâåííûåêîí­
ñòàíòû
b;B
,òàêèå,÷òî
bB
èâûïîëíÿþòñÿíåðàâåíñòâà
bn
ln
np
n
Bn
ln
n;n

2
;
(II.16)
ãäå
p
n

n
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå÷èñëî.
.
Ïîëîæèìâ(
II.13
)
x
=
p
n
,òîãäà,ó÷èòûâàÿ,÷òî

(
p
n
)=
n
,ïîëó÷èì
a
p
n
ln
p
n
nA
p
n
ln
p
n
(II.17)
Èçïðàâîãîíåðàâåíñòâàâ(
II.17
)èìååì
p
n

1
A
n
ln
p
n

1
A
n
ln
n;
2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà41
Ðèñ.II.4.
p
n
(1)è
bn
ln
n
(2),
Bn
ln
n
(3).
÷òîäîêàçûâàåòëåâîåíåðàâåíñòâîâ(
II.16

b
=1
=A
.
Èçëåâîãîíåðàâåíñòâàâ(
II.17
)ñëåäóåò
p
n

1
a
n
ln
p
n
:
(II.18)
Ñäðóãîéñòîðîíû,èçñîîòíîøåíèÿ
a
x
ln
x

p
x;
êîòîðîåíåòðóäíîäîêàçàòü
3
,âûòåêàåò,ñó÷¸òîìëåâîãîíåðàâåíñòâà
â(
II.13
),÷òî

(
x
)

p
x
,îòêóäà,ïîëàãàÿ
x
=
n
2
,ïîëó÷èì

(
n
2
)
�n
,
÷òîâëå÷¸ò
p
n
n
2
.Ïîäñòàâëÿÿïîñëåäíþþîöåíêóâ(
II.18
),èìååì
p
n

2
a
n
ln
n;
òîåñòüïðàâîåíåðàâåíñòâîâ(
II.16
)ñêîíñòàíòîé
B
=2
=a:
/
3
Òî÷íåå,ëåãêîïîêàçàòü,÷òîýòîíåðàâåíñòâîâûïîëíÿåòñÿ,ñêàæåì,ïðè
x�
16
,
àñïðàâåäëèâîñòüîöåíêè

(
x
)

p
x
ïðè
2
x
6
16
íåñëîæíîïðîâåðèòüíåïî­
ñðåäñòâåííûìâû÷èñëåíèåì.
42ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Èíòåðåñíûòàêæåîöåíêè,ïîëó÷åííûåÁ.Ðîññåðîì
4
:
n
ln
np
n
n

ln
n
+

1+
o
(1)

lnln
n

äëÿëþáîãî
n
;
(II.19)
x
ln
x
+2

(
x
)

x
ln
x

4
;x

55
:
(II.20)
íåðàâåíñòâàÐîññåðà—Øåíôåëüäà
5
:
ln
x

3
2

x

(
x
)

ln
x

1
2
;x

67;
(II.21)
n

ln
n

lnln
n

3
2

p
n
n

ln
n

lnln
n

1
2

;n

20
(II.22)
àòàêæåèõäàëüíåéøèåóòî÷íåíèÿ
6
:
p
n

n
(ln
n
+lnln
n

1)
;n

2;
(II.23)

(
x
)
6
x
ln
x

1+
1
;
2762
ln
x

;x�
2;
(II.24)

(
x
)

x
ln
x

1+
0
;
992
ln
x

;x�
599
:
(II.25)
Âûâîäýòèõñîîòíîøåíèéñóùåñòâåííîçàâèñèòîòèìåþùåéñÿèí­
ôîðìàöèèîðàñïîëîæåíèèíóëåéäçåòà­ôóíêöèè(ñì.ñòð.
95
).
Çàìå÷àíèå.
Ï.Ë.×åáûø¸â(cì.[
1
])óñòàíîâèëáîëååòî÷íûåãðà­
íèöûäëÿâåëè÷èíû

(
x
)
x=
ln
x
;
(II.26)
òîåñòü,êîíñòàíòû
a;A
óíåãîáîëååáëèçêèê
1
,÷åìòå,êîòîðûåïî­
ëó÷åíûíàìèïðèäîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû
2.1
,àòàêæåîíäîêàçàë,
÷òîåñëèïðåäåë(
II.26
)ïðè
x
!1
ñóùåñòâóåò,òîîíðàâåí
1
.Îä­
íàêîñàìîñóùåñòâîâàíèåïðåäåëàäîêàçàíîíåáûëî.Êðîìåòîãî,èì
ïîêàçàíî,÷òîôóíêöèÿ
Z
x
2
dt
ln
t
(II.27)
ïðèáëèæàåò

(
x
)
ëó÷øå,÷åì
x=
ln
x
(ñì.ðèñ.
II.5
).Ïðè
x
!1
ôóíê­
öèÿ(
II.27
)ýêâèâàëåíòíà
x=
ln
x
.
4
B.Rosser.The
n
­thPrimeisgreaterthen
n
log
n
.Proc.London.math.Soc.45,21–
44(1938),B.Rosser.ExplicitBoundsforSomeFunctionsofPrimeNumbers.
Amer.J.Math.,vol63,#1,pp211–232(1941).
5
J.B.Rosser,L.Schoenfeld.Approximateformulasforsomefunctionsofprime
numbers.IllinoisJournalofMathematics6(1962)64–94.
6
P.Dusart.The
k
th
primeisgreaterthan
k
(ln
k
+ln
lnk

1)
for
k

2
.Math.of
Comp.,vol.68.#225(1999)pp.411–415.
2.Íåðàâåíñòâà×åáûø¸âà43
Ðèñ.II.5.Ôóíêöèè

(
x
)
(1)è
x
R
2
dt
ln
t
(2),
x
ln
x
(3).
Ñëåäóåòîòìåòèòü,÷òîõîòÿðàçíîñòü

(
x
)
èôóíêöèè(
II.27
)îòðè­
öàòåëüíàäëÿâñåõ
x
,äëÿêîòîðûõçíà÷åíèÿ

(
x
)
èçâåñòíû
7
,Äæ.Ëèò­
ëâóääîêàçàë(1914ã.),÷òîñóùåñòâóåòòàêîå÷èñëî
X
,âáëèçèêî­
òîðîãîýòàðàçíîñòüñòàíîâèòñÿïîëîæèòåëüíîé.Âïîñëåäñòâèèáûëà
ïîëó÷åíàîöåíêà
X

10
10
10
34
:
7
Ñàìîåáîëüøîåíàéäåííîåïðîñòîå÷èñëî(ïîñîñòîÿíèþíà2008ã.)ðàâíî
2
43112609

1
;
îíîñîäåðæèòîêîëî
13000000
öèôð.Êîìïüþòåððà¹37(753),2008,ñòð.9.
44ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
§3.ÏîñòóëàòÆ.Áåðòðàíà—òåîðåìà
Ï.Ë.×åáûø¸âà
Ïðåäïîëîæåíèåîòîì,÷òî
ïðè
n�
3
ìåæäó÷èñëàìè
n
è
2
n

2
èìååòñÿ,ïîêðàéíåéìåðå,îäíîïðîñòîå÷èñëî
áûëîâûñêàçàíîôðàí­
öóçêèììàòåìàòèêîìÆ.Áåðòðàíîì(J.Bertrand),êîòîðîìóîíîïî­
íàäîáèëîñüâñâÿçèñèññëåäîâàíèÿìèïîòåîðèèãðóïï,èäîêàçàòü
êîòîðîåîííåñìîã.ÄîêàçàíîÏ.Ë.×åáûø¸âûì.
Äëÿäîêàçàòåëüñòâàýòîéòåîðåìûíàìïîòðåáóþòñÿíåñêîëüêî
âñïîìîãàòåëüíûõóòâåðæäåíèé.
Ëåììà3.1.
Åñëè
p
—ïðîñòîéäåëèòåëü÷èñëà
C
n
2
n
è
p

p
2
n
,òî
p
âõîäèòâêàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëà
C
n
2
n
ñïîêàçàòåëåìñòåïåíè,
íåïðåâîñõîäÿùèìåäèíèöû.
.
Ïîëåììå
1.1
ïîêàçàòåëü

p
,ñêîòîðûì
p
âõîäèòâêàíîíè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå
C
n
2
n
=(2
n
)!
=n
!
2
,ðàâåí

p
=

2
n
p


2

n
p

+

2
n
p
2


2

n
p
2

+
::::
(II.28)
Åñëè
p

p
2
n
,òîðàâåíñòâî
p
=
p
2
n
âîçìîæíîëèøüïðè
n
=2
.
Äëÿýòîãîñëó÷àÿíåïîñðåäñòâåííîïðîâåðèì:
C
2
4
=4!
=
2!
2
=2

3
.Ïðè
n
6
=2
p�
p
2
n
è
p
2

2
n
,ïîýòîìó

p
=

2
n
p


2

n
p

è,ïðèíÿââîâíèìàíèåëåììóÏ.
2.2
,ïîëó÷èì,÷òî
0
6

p
6
1
.
/
Ëåììà3.2.
Åñëè
n
—íàòóðàëüíîå÷èñëî,
n�
2
,òîíèîäíîïðî­
ñòîå
p
,òàêîå,÷òî
2
n=
3
p
6
n
,íåÿâëÿåòñÿäåëèòåëåì÷èñëà
C
n
2
n
.
.
Èçíåðàâåíñòâà
2
n=
3
p
6
n
ñëåäóåò
2
n=p
3
è
n=p

1
,
îòêóäà
[2
n=p
]
6
2
;
[
n=p
]

1
è,ñëåäîâàòåëüíî,
[2
n=p
]

2[
n=p
]
6
2

2

1=0
:
Ïîýòîìó,ó÷èòûâàÿëåììóÏ.
2.2
,èìååì
[2
n=p
]

2[
n=p
]=0
.
Ïóñòü
n�
4
.Òîãäàäëÿ
k�
1
âûïîëíÿåòñÿ
p
k

(2
n=
3)
k

4
n
2
=
9
,
à,çíà÷èò,
2
n=p
k

9
=
(2
n
)

1
è
[2
n=p
k
]

2[
n=p
k
]=0
;k�
1
;n�
4
3.ÏîñòóëàòÁåðòðàíà(òåîðåìà×åáûø¸âà)45
Îòñþäà,èñïîëüçóÿ(
II.28
),èìååìäîêàçàòåëüñòâîëåììûïðè
n�
4
.
Äëÿçíà÷åíèé
n
=3
,
n
=4
èñòèííîñòüëåììûëåãêîïðîâåðèòü
íåïîñðåäñòâåííî.Âîáîèõñëó÷àÿõ÷èñëî
p
îêàçûâàåòñÿðàâíûì
3
è
íåäåëèò÷èñåë
C
3
6
=20
,
C
4
8
=70
.
/
Äëÿóäîáñòâàèçîáðàçèìïîëó÷åííûåðåçóëüòàòûââèäåñõåìû
f

-

p
6
1

-

p
=0
p
2
n
2
n
3
n
2
n
Ëåììà3.3.

(2
n
)
6
n;n

5
(II.29)
.
Ïóñòü
p
n

n
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå÷èñëî,òîãäàäîêàæåì,÷òî
p
n

2
n
ïðè
n

5
:
(II.30)
Èíäóêöèÿ.1)
n
=5
;p
5
=11

2

5
;2)ïóñòü(
II.30
)èìååòìåñòîïðè
âñåõ
k
6
n
,òîãäà
p
n
+1

p
n
+2
(
II:
30
)

2
n
+2=2(
n
+1)
.
Íåðàâåíñòâî(
II.29
)íåïîñðåäñòâåííîñëåäóåòèç(
II.30
),åñëèåù¸
ó÷åñòüòîæäåñòâî

(
p
n
)=
n
èôàêòíåóáûâàíèÿôóíêöèè

(
x
)
.
/
Ëåììà3.4.
Y
np
6
2
n
p�
4
n=
3
2
p
n
(2
n
)
p
n=
2
;n

50
:
.
ln
C
n
2
n
=ln
(2
n
)!
n
!
2
=
X
p
6
2
n


2
n
p


2

n
p

+
+

2
n
p
2


2

n
p
2

+
:::
!
ln
p
Ï.
2
:
2
;
3
:
1
6
Ï.
2
:
2
;
3
:
1
6
X
p
p
2
n


2
n
p


2

n
p

+

2
n
p
2


2

n
p
2

+
:::
!
ln
p
+
(II.31)
+
X
p
2
n
6
p
6
2
n=
3
ln
p
+
X
np
6
2
n
ln
p
Ï.
2
:
2
6
Ï.
2
:
2
6
X
p
6
p
2
n
s
ln
p
+
X
p
2
n
6
p
6
2
n=
3
ln
p
+
X
np
6
2
n
ln
p;
46ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
ãäå
s
—êîëè÷åñòâîíåíóëåâûõðàçíîñòåéâèäà
[2
n=p
k
]

2[2
=p
k
]
â
(
II.31
),êîòîðûåïîëåììåÏ.
2.2
ìîãóòáûòüðàâíûëèáî
0
,ëèáî
1
.
Ïðèôèêñèðîâàííûõ
p
âûïîëíÿåòñÿ
p
s
6
2
n
è,ñëåäîâàòåëüíî,
s
6
ln2
n=
ln
p
,ïîýòîìóìîæíîïðîäîëæèòüöåïî÷êóíåðàâåíñòâòàê:

ln2
n
X
p
6
p
2
n
1+
X
p
2
n
6
p
6
2
n=
3
ln
p
+
X
np
6
2
n
ln
p


p
2
n

ln2
n
+
X
p
6
2
n=
3
ln
p
+
X
np
6
2
n
ln
p:
Çàìåíèìòåïåðüâëåììå
3.3
2
n
íà
p
2
n
,÷òîâîçìîæíî,òàêêàê
n�
50
è,çíà÷èò,
p
2
n�
10
.Òîãäà
n
!
p
n=
2
èïîëó÷èì,÷òî

(
p
2
n
)

p
n=
2
;èñïîëüçóÿ(
II.11
)ïîñëåçàìåíû
n
!
[2
n=
3]
,èìååì
Y
p
6
2
n=
3
p
4
[2
n=
3]

4
2
n=
3
;
îòêóäà
X
p
6
2
n=
3
ln
p
ln4
2
n=
3
:
Ó÷èòûâàÿâñåýòèîöåíêèïîëó÷èì
ln
C
n
2
n

p
n=
2ln2
n
+ln4
2
n=
3
+
X
np
6
2
n
ln
p;
îòêóäà,ïîñëåïîòåíöèðîâàíèÿ,èñëåäóåòòðåáóåìîåñîîòíîøåíèå,
åñëèó÷åñòüåù¸íåðàâåíñòâî(
II.9
).
/
Ñëåäñòâèå3.1.
Y
np
6
2
n
p�
2
n;n

648
(II.32)
.
Äîñòàòî÷íîïîêàçàòü,÷òî
4
n=
3

4
n
p
n
(2
n
)
p
n=
2
;n

648
:
Èñïîëüçóåìýëåìåíòàðíûåíåðàâåíñòâà
1
:
1
Äëÿäîêàçàòåëüñòâàíåðàâåíñòâà
2
x
� x;x


äîñòàòî÷íîïîêàçàòü,âî­ïåðâûõ,
2


è,âî­âòîðûõ,
�x
0
,ãäå
x
0
=
ln(
=
ln2)
ln2
:
Ïîñêîëüêó,êàêëåãêîâèäåòü,ïðè
x�x
0
ôóíêöèÿ
2
x

x
íåïðåðûâíîâîçðàñòàåò.
4.Ñëåäñòâèÿèçòåîðåì×åáûø¸âà47
a)
2
x

6
x;
äëÿâñåõâåùåñòâåííûõ
x

6;
á)
2
x

18
x;
äëÿâñåõâåùåñòâåííûõ
x

8
:
Åñëè
n

648
,òî
p
2
n=
6

6
èñó÷¸òîìà)ïîëó÷èì
2
p
2
n=
6

p
2
n
,
îòêóäà,âîçâûøàÿâñòåïåíüñïîêàçàòåëåì
p
2
n
,èìååì
2
n=
3

(2
n
)
p
n=
2
(

)
Åñëè
n�
648
,òî
2
n=
9

8
èñó÷¸òîìá)ïîëó÷èì
2
2
n=
9

4
n
,
âîçâûøàÿâñòåïåíü
3
=
2
,âûâîäèì
2
n=
3

(4
n
)
3
=
2
=4
n
p
4
n�
4
n
p
n:
(

)
Íåðàâåíñòâî(
II.32
)âûòåêàåòèç
(

)
,
(

)
.
/
Ñëåäñòâèå3.2.
Åñëè
n�
648
,òîìåæäó÷èñëàìè
n
è
2
n
ñîäåðæèò­
ñÿ,ïîìåíüøåéìåðå,äâàðàçëè÷íûõïðîñòûõ÷èñëà(èíà÷åïîëó÷èì
ïðîòèâîðå÷èåñíåðàâåíñòâîì(
II.32
)).Äëÿâñåõíàòóðàëüíûõ÷èñåë,
íåïðåâîñõîäÿùèõ
648
èáîëüøèõ
5
,íåòðóäíîíåïîñðåäñòâåííûìâû­
÷èñëåíèåìïðîâåðèòüýòîóòâåðæäåíèå.Òàêèìîáðàçîì,èìååìíåðà­
âåíñòâî

(2
n
)


(
n
)

2
;n�
5
:
(II.33)
Òåîðåìà3.1(×åáûø¸â).
Åñëèíàòóðàëüíîå
n�
3
,òîìåæäó÷èñ­
ëàìè
n
è
2
n

2
ñîäåðæèòñÿ,ïîêðàéíåéìåðå,îäíîïðîñòîå÷èñëî.
.
Äëÿñëó÷àåâ
n
=4
;
5
íåïîñðåäñòâåííîïðîâåðÿåìóòâåðæäåíèå:
ìåæäó
4
è
6
ñîäåðæèòñÿïðîñòîå÷èñëî
5
,àìåæäó
5
è
8
—ïðîñòîå
7
.
Åñëè
n�
5
,òîïîñëåäñòâèþ
3.2
ìåæäó
n
è
2
n
çàêëþ÷åíû,êàêìè­
íèìóì,äâàïðîñòûõ.Ïóñòü
q
6
2
n

1

q
—íàèáîëüøååèçíèõ,òîãäà
äðóãîåïðîñòîå
p
ñòðîãîìåíüøå,÷åì
2
n

2
,òàêêàêïîñëåäíåå÷èñëî
ñîñòàâíîåïðè
n�
5
.Òàêèìîáðàçîì,ñóùåñòâóåòïðîñòîå÷èñëî
p
,
òàêîå,÷òî
np
2
n

2
.
/
§4.Ñëåäñòâèÿèçòåîðåì×åáûø¸âà
Òåîðåìà4.1.
Íåðàâåíñòâî
p
k
+2

2
p
k
;k�
3
;
(II.34)
ãäå
p
k

k
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå,ýêâèâàëåíòíîòåîðåìå
3.1
.
48ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
.
Íåîáõîäèìîñòü.Ïóñòü
p
k
+2

2
p
k
;n

7

p
k
—íàèáîëüøåå
ïðîñòîå÷èñëî,íåïðåâîñõîäÿùåå
n
,òîãäà
p
k
6
n;p
k
+1
�nk�
3
;
îòñþäàïîëó÷àåì
np
k
+1
p
k
+2

2
p
k
6
2
n;
òîåñòüìåæäó÷èñëàìè
n
è
2
n
ñîäåðæàòñÿïðîñòûå
p
k
+1
è
p
k
+2
,åñëè
n

7
.Íåïîñðåäñòâåííîïðîâåðèâýòîóòâåðæäåíèåäëÿ
n
=6
,ïîëó­
÷èìñîäåðæàíèåñëåäñòâèÿ
3.2
,èçêîòîðîãîâûòåêàåòòåîðåìà
3.1
.
Äîñòàòî÷íîñòü.Ïóñòü
k�
3
,òîãäà
p
k
�p
3
=5
è,ñîãëàñíîñëåä­
ñòâèþ
3.2
,ìåæäó
p
k
è
2
p
k
ñîäåðæàòñÿ,ïîìåíüøåéìåðå,äâàðàçëè÷­
íûõïðîñòûõ,àòàêêàêíàèìåíüøèåäâàïðîñòûå,áîëüøèå
p
k
ýòî
p
k
+1
è
p
k
+2
,òîèìååìíåðàâåíñòâî(
II.34
).
/
Îöåíêó(
II.33
)ìîæíîóëó÷øèòü,åñëèáîëååàêóðàòíîîöåíèòü
ïðàâóþ÷àñòüíåðàâåíñòâàâóñëîâèèëåììû
3.4
.Ïîëîæèì
(2
n
)
x
def
=
4
n=
3
2
p
n
(2
n
)
p
n=
2
èïîêàæåì,÷òî
(2
n
)
x
�e
n=
3
;n

2500
:
(II.35)
Äåéñòâèòåëüíî,èçëåììûëåììû
3.4
ñëåäóåò,÷òî
x
ln(2
n
)

X
np
6
2
n
ln
p
ln(2
n
)
X
np
6
2
n
1=


(2
n
)


(
n
)

ln(2
n
)
;
îòêóäà
x
(2
n
)


(
n
)
;n

648
:
(II.36)
Èçïîñëåäíåãîñîîòíîøåíèÿñó÷¸òîì(
II.35
)ïîëó÷àåìïðè
n

2500

(2
n
)


(
n
)

n
3ln2
;
(II.37)
ïðè÷¸ìíåòðóäíîíåïîñðåäñòâåííîé÷èñëåííîéïðîâåðêîéóáåäèòü­
ñÿ,÷òî(
II.37
)âûïîëíÿåòñÿèäëÿâñåõ
n
2500
.
Ñäðóãîéñòîðîíû,èçíåðàâåíñòâà(
II.12
)èìååì
ln
C
n
2
n

ln
Y
np
6
2
n
p
=
X
np
6
2
n
ln
p

X
np
6
2
n
ln
n
=ln
n


(2
n
)


(
n
)

;
îòêóäà


(2
n
)


(
n
)

ln
nn
ln4
n
7
5
(II.38)
4.Ñëåäñòâèÿèçòåîðåì×åáûø¸âà49
Èçïîñëåäíåãîñîîòíîøåíèÿè(
II.37
)îêîí÷àòåëüíîïîëó÷àåìîöåí­
êó(Ôèíñëåð)
n
3ln(2
n
)

(2
n
)


(
n
)

7
5
n
ln
n
:
(II.39)
Òåîðåìà4.2(Èøèêàâà).

(
xy
)
�
(
x
)+

(
y
)
;x;y�
4
:
(II.40)
.
Ïóñòü,äëÿîïðåäåë¸ííîñòè,
x

y
.Èñïîëüçóÿíåðàâåíñòâà×å­
áûø¸âà
2.1
,èìååì

(
xy
)


(
x
)

axy
ln(
xy
)

Ax
ln
x

y

ay
ln(
xy
)

A
ln
x



y

ay
ln(
x
2
)

A
ln
x

(

)

Ay
ln
y
�
(
y
)
;
ãäåíåðàâåíñòâî
(

)
îáåñïå÷èâàåòñÿïðèâûïîëíåíèè
a
2
y

A
ln
x

A
ln
y
;
èëè
a
2
y�A

1+
ln
x
ln
y

�A;
ò.å.ïðè
y�
2
A=a
=4
:
/
Ñëåäñòâèå4.1.
p
m
p
n
�p
m
+
n
:
(II.41)
.
Ïóñòü
n;m�
4
,òîãäàèçñîîòíîøåíèÿ(
II.40
)ïðè
x
=
p
n
,
y
=
p
m
ïîëó÷àåì

(
p
m
p
n
)
�
(
p
m
)+

(
p
n
)=
m
+
n
=

(
p
m
+
n
)
;
îòêóäàèñëåäóåò(
II.41
).Äëÿçíà÷åíèé
m;n
6
4
íåðàâåíñòâî(
II.41
)
íåòðóäíîïðîâåðèòüíåïîñðåäñòâåííî.
/
50ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
§5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ
Ïðèâåä¸ìíåêîòîðûåîöåíêèñóììèïðîèçâåäåíèé,ñîäåðæàùèõ
ïðîñòûå÷èñëà.Ýòèñîîòíîøåíèÿíàìïîíàäîáÿòñÿâäàëüíåéøåì.
ÏåðâûåòðèðàâåíñòâàâïåðâûåáûëèäîêàçàíûÔ.Ìåðòåíñîì.
a.
X
p
6
x
ln
p
p
=ln
x
+
O
(1)
;x�
2
:
(II.42)
.
Î÷åâèäíî,÷òî(
II.42
)äîñòàòî÷íîäîêàçàòüëèøüäëÿíàòóðàëü­
íûõçíà÷åíèé
x
=
n�
2
ln
n
!
1
:
1
=
X
p
6
n


n
p

+

n
p
2

+
:::
!
ln
p

X
p
6
n

n
p

ln
p


X
p
6
n

n
p

1

ln
p
=
X
p
6
n
n
ln
p
p

X
p
6
n
ln
p
=
n
X
p
6
n
ln
p
p


(
n
)
(
II:
10
)
=
(
II:
10
)
=
n
X
p
6
n
ln
p
p

n
ln4
;
èñó÷¸òîìíåðàâåíñòâà(
B.4
)ïîëó÷èì,÷òî
n
X
p
6
n
ln
p
p
n
ln
n

n
+
C
ln
n
+
n
ln4
;
X
p
6
n
ln
p
p

ln
n

1+
C
ln
n
n
+ln4
;
îòêóäàèñëåäóåòíåðàâåíñòâî(
II.42
),òàêêàêäëÿëþáîãî
n�
2
âû­
ïîëíÿåòñÿ
ln
n=nC
1
,ãäå
C
1
=const
.
/
b.
X
p
6
x
1
p
=
M
+lnln
x
+
O

1
ln
x

;x�
2
;
(II.43)
ãäå
M
—êîíñòàíòà
1
,íåçàâèñÿùÿÿîò
x
.
1
Ýòóïîñòîÿííóþíàçûâàþòèíîãäà
êîíñòàíòîéÌåðòåíñà
,ïðèáëèæ¸ííî
M
=
0
;
2614972128476427
.Äëÿïðàêòè÷åñêîãîå¸âû÷èñëåíèÿëó÷øåâîñïîëüçîâàòüñÿñî­
îòíîøåíèåì[
8
,ñòð.34–35]
M
=

+
X
p

ln

1

1
p

+
1
p
!
;
ãäå

—êîíñòàíòàÝéëåðà,


0
;
577215664901533
.
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ51
Ðèñ.II.6.Ôóíêöèè
ln
x
(2)è
P
p
6
x
ln
p
p
(1).
.
Ñíîâàäîñòàòî÷íîðàññìîòðåòüëèøüñëó÷àéíàòóðàëüíîãî
x
=
n�
2
.Ïîëîæèì

(
r
)
def
=

ln
r=r;
åñëè
r
—ïðîñòîå÷èñëî
;
0
;
åñëè
r
=1
;
èëèñîñòàâíîå
;
òîãäà,ó÷èòûâàÿ(
II.42
),èìååì

(1)+

(2)+
:::
+

(
r
)=ln
r
+

(
r
);

(1)+

(2)+
:::
+

(
r

1)=ln(
r

1)+

(
r

1)
;
ãäå
j

(
r
)
j
C
1
,
C
1
=const
,îòñþäàïðè
r�
1

(
r
)=ln
r

ln(
r

1)+

(
r
)


(
r

1)
:
Ðàçîáú¸ìðàññìàòðèâàåìóþñóììóíàäâå
X

(
r
)
ln
r
=
X
p
6
n
1
p
def
=
S
1
+
S
2
;
òàê,÷òîáû
S
1
=
X
1
r
6
n
ln
r

ln(
r

1)
ln
r
;S
2
=
X
1
r
6
n

(
r
)


(
r

1)
ln
r
:
52ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Ðèñ.II.7.Ôóíêöèè
lnln
x
(2)è
P
p
6
x
1
p
(1).
Îöåíèì
S
1
2
.
S
1
=
X
1
r
6
n
ln
r
r

1
ln
r
=

X
1
r
6
n
1
ln
r
ln

1

1
r

=
=
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
X
1
r
6
n

1
2
r
2
ln
r
+
1
3
r
3
ln
r
+
:::



X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
X
1
r
6
n
1
ln
r
1
X
s
=2
1
r
s
=
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
+
X
1
r
6
n
1
ln
r

1
1

1
=r

1
r

1

=
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
+
X
1
r
6
n
1
ln
r

1
r

1

1
r

(
B:
1
)
=
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
1
ln2

1
n
ln
n
+
+
n

1
X
r
=2
1
r

1
ln(1+
r
)

1
ln
r

6
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
+
1
ln2

1
n
ln
n
+
C
2
;
2
ÈñïîëüçîâàíîðàçëîæåíèåâðÿäÒåéëîðà

ln(1

t
)=
t
+
t
2
=
2+
t
3
=
3+
t
4
=
4+
:::;
0
t
1
;t
=1
=r:
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ53
ãäå
C
2
—ñóììàñõîäÿùåãîñÿðÿäà
1
X
r
=2
1
r

1
ln(1+
r
)

1
ln
r

:
Ïîëåììå
1.2
Ïðèëîæåíèÿ
Ðèñ.II.8.Ôóíêöèè
C
ln
x
(2)è
Q
p
6
x

1

1
p

(1).
X
1
r
6
n
1
r
ln
r
6
1
2ln2
+
Z
n
2
dx
x
ln
x
=
1
2ln2
+lnln
n

lnln2
;
ñëåäîâàòåëüíî,
S
1
=
C
3
+lnln
n

1
n
ln
n
:
Äëÿîöåíêè
S
2
ñíîâàïðèìåíèìôîðìóëó(
B.1
):
S
2
=

(2)

1
ln2

1
ln3

+
:::
+

(
n

1)

1
ln(
n

1)

1
ln
n
)

+
+

(
n
)
ln
n
=
C
3
+

(
n
)
ln
n
;
54ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
ãäå
C
3
—ñóììàñõîäÿùåãîñÿðÿäà

(2)

1
ln2

1
ln3

+

(3)

1
ln3

1
ln4

+
::::
Òàêèìîáðàçîì,
X
p
6
n
1
p
=
C
3
+
C
4
+


(
n
)

1
n

1
ln
n
+lnln
n
=
M
+lnln
n
+
O

1
ln
n

/
c.
Ïóñòü
x�
2
,òîãäà
Y
p
6
x

1

1
p

=
C
ln
x

1+
O

1
ln
x

!
;
(II.44)
ãäåêîíñòàíòà
C
íåçàâèñèòîò
x
.
.
Ïîëüçóÿñüðàçëîæåíèåìâðÿä
3
çàïèøåì
ln
Y
p
6
x

1

1
p

=
X
p
6
x
ln

1

1
p

=

X
p
6
x
1
p

X
p
6
x

1
2
p
2
+
+
1
3
p
3
+
:::

(
II:
43
)
=
C
1

lnln
x
+
O

1
ln
x

;
(II.45)
ãäå
C
1
—êîíñòàíòà.Ïîñëåïîòåíöèðîâàíèÿ,ïîëîæèâ
C
1
=ln
C
,ïî­
ëó÷èì(
II.44
).
/
d.
Åñëè


1
,òî
c
x
1+

ln
x

X
p
6
x
p

C
x
1+

ln
x
;x

2
;
(II.46)
ïðè÷¸ìïîëîæèòåëüíûåêîíñòàíòû
c;C
íåçàâèñÿòîò

.
.
Äîêàæåìïðàâóþ÷àñòü(
II.46
).Ïðè


0
ïîëüçóÿñüíåðàâåí­
ñòâîì(
II.13
),ïîëó÷èì
X
p
6
x
p


(
x
)
x

A
x
1+

ln
x
3
Cì.ïðåäûäóùóþñíîñêó.
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ55
Ðèñ.II.9.Ôóíêöèè
cx
2
=
ln
x
(2),
Cx
2
=
ln
x
(3)è
P
p
6
x
p
(1).
Ïóñòü
0

1
,òîãäà
X
2
p
n
6
x
p


n
(
II:
17
)
6
X
2
p
n
6
x
(
C
1
n
ln
n
)


(
B:
2
)
=
O

Z
x
2
dt
(
t
ln
t
)


:
Äëÿîöåíêèïîñëåäíåãîèíòåãðàëàâûáåðåì
�
0
òàê,÷òîáû

+

1
è,ñëåäîâàòåëüíî,
t

=
ln

t
ìîíîòîííîâîçðàñòàåòïðè
t�x
0
,ïîëó÷èì
Z
x
2
dt
t

ln

t
=

Z
x
0
2
+
Z
x
x
0

t

ln

t
t

(

+

)
dt
=
I
1
+


ln


Z
x
x
0
t

(

+

)
dt;
56ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
ãäå
4
I
1
=
x
0
R
2
dt
t

ln

t
=const
,
x
0
x
,

x

ln

x
Z
x
x
0
t

(

+

)
dt
=
x

ln

x
t
1

(

+

)
1

(

+

)




x
x
0
=
O

x
1


ln

x

;
÷òîäîêàçûâàåòïðàâóþ÷àñòüíåðàâåíñòâà(
II.46
).
Äîêàæåìëåâóþ÷àñòü.Ïðè


0
èïðîèçâîëüíîì
"�
0
;x�x
0
=
x
0
(
"
)
èìååìñîãëàñíîíåðàâåíñòâàì×åáûø¸âà(
II.13
)
X
p
6
x
p


X
"xp
6
x
p




(
x
)


(
"x
)

(
"x
)


�"

x
1+


a
ln
x

A"
ln
"x

�C
(
"
)
x
1+

ln
x
;
ãäå
C
(
"
)
—ïîëîæèòåëüíàÿêîíñòàíòà,êîòîðàÿìîæåòçàâèñåòüîò

,
à
"
ïðåäïîëàãàåòñÿâûáðàííûìíàñòîëüêîìàëûì,÷òî
a

A"�
0
.
Äàëåå,ïðè
1
� �
0
ïîëó÷èì
X
p
6
x
1
p


(
x
)
x

�a
x
1


ln
x
:
/
Êàêâèäíîèçãðàôèêîâ,íåðàâíîìåðíîñòüâðàñïðåäåëåíèèïðî­
ñòûõ÷èñåëâçíà÷èòåëüíîéìåðåñãëàæèâàåòñÿïðèñóììèðîâàíèè,
÷òîèïîçâîëÿåòïîëó÷àòüäîâîëüíîïðîñòûåàñèìïòîòè÷åñêèåâûðà­
æåíèÿäëÿòàêèõñóììèïðîèçâåäåíèé.
Ñëåäóåòîòìåòèòü,÷òîâû÷èñëåíèåêîíñòàíò,âõîäÿùèõâñîîòíî­
øåíèÿ(
II.42
),(
II.43
),(
II.44
),÷àñòîÿâëÿåòñÿíåòðèâèàëüíîéçàäà­
÷åé,òàêêàêñîîòâåòñòâóþùèåðÿäûñõîäÿòñÿêðàéíåìåäëåííî.
e.
Ïóñòü
P
=
Q
p
6
z
p
,òîãäà
X
p
1
:::p
r
j
P
1
p
1
:::p
r
6
1
r
!

X
p
6
z
1
p
!
r
;r
=1
;
2
;:::;
(II.47)
ñóììàáåð¸òñÿïîâñåì
r
ðàçëè÷íûìïðîñòûì÷èñëàì.
4
Èñïîëüçóåòñÿòåîðåìà«îñðåäíåì»:åñëè
f
(
x
)
íåïðåðûâíàíà
[
a;b
]
è
g
(
x
)
íåìå­
íÿåòçíàêàíà
[
a;b
]
,òîíàéä¸òñÿòàêîå

:
ab
,÷òîâûïîëíÿåòñÿ
Z
b
a
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
f
(

)
Z
b
a
g
(
x
)
dx:
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ57
.
Èíäóêöèÿ.Ïðè
r
=1
(
II.47
)î÷åâèäíîâûïîëíÿåòñÿêàêðàâåí­
ñòâî.Ïóñòüíåðàâåíñòâîèñòèííîïðèâñåõ
n
6
r
,òîãäà
1
(
r
+1)!

X
p
6
z
1
p
!
r
+1
=
1
r
!

X
p
6
z
1
p
!
r
1
r
+1
X
p
6
z
1
p
(
II:
47
)


X
p
1
:::p
r
j
P
1
p
1
:::p
r
1
r
+1
X
p
6
z
1
p
(II.48)
è,ñëåäîâàòåëüíî,äëÿçàâåðøåíèÿäîêàçàòåëüñòâàäîñòàòî÷íîïîêà­
çàòü,÷òî
1
r
+1
X
p
6
z
1
p
X
p
1
:::p
r
j
P
1
p
1
:::p
r

X
p
1
:::p
r
p
r
+1
j
P
1
p
1
:::p
r
p
r
+1
:
(II.49)
Ïåðåìíîæèìñóììûâïðàâîé÷àñòè(
II.49
)èîïóñòèìñëàãàåìûå,
âçíàìåíàòåëåêîòîðûõèìåþòñÿïðîñòûåñïîêàçàòåëÿìèñòåïåíåé,
áîëüøèìèåäèíèöû.Ïðîèçâåäåíèåáóäåòñîäåðæàòü

(
z
)
C
r

(
z
)
ñëàãà­
åìûõ,èçíèõáóäóòèñêëþ÷åíûñëàãàåìûå,ñîäåðæàùèåêâàäðàòûâ
çíàìåíàòåëå,âêîëè÷åñòâå
rC
r

(
z
)
.Ñëåäîâàòåëüíî,îñòàíåòñÿ


(
z
)

r

C
r

(
z
)
=

(
z
)!


(
z
)

r

1

!
r
!
=(
r
+1)
C
r
+1

(
z
)
ñëàãàåìûõ,ñðåäèêîòîðûõáóäóò
r
+1
îäèíàêîâûõ,âèäà
5
1
p
1
:::p
r
p
r
+1
:
/
5
Ââèäóòîãî,÷òîñîîòâåòñòâóþùèåîáùåìóñëó÷àþâûêëàäêèèìåþòêðàéíåãðî­
ìîçäêèéâèä,îíèîïóùåíû.Äëÿïîÿñíåíèÿïðèâåä¸ìêîíêðåòíûéïðèìåð.Ïóñòü
P
=2

3

5

7
;r
=2
,òîãäàäëÿýòîãî÷àñòíîãîñëó÷àÿîíèâûãëÿäÿòòàê

1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7

1
2

3
+
1
2

5
+
1
2

7
+
1
3

5
+
1
3

7
+
1
5

7




1
2

3

5
+
1
2

3

7
+
1
2

5

7

+

1
2

3

5
+
1
2

3

7
+
1
3

5

7

+
+

1
2

3

5
+
1
2

5

7
+
1
3

5

7

+

1
2

3

7
+
1
2

5

7
+
1
3

5

7

:
58ÂÀÆÍÅÉØÈÅÎÖÅÍÊÈ
Çàäà÷èêãëàâå
II
II.1.
Ñîñòàâèòüïðîãðàììóäëÿâû÷èñëåíèÿôóíêöèé×åáûø¸âà

(
x
)
,

(
x
)
.Èñïîëüçîâàòüðåçóëüòàòû,ïîëó÷åííûåïðèðåøåíèèçà­
äà÷è
I.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
126
.
II.2.
Ñîñòàâèòüïðîãðàììóäëÿðàñ÷¸òàôóíêöèè

(
x
)
.Èñïîëüçî­
âàòüðåçóëüòàòûðåøåíèÿçàäà÷è
I.1
.Ðåøåíèå:ñòð.
126
.
II.3.
Äîêàçàòüòåîðåìó
I.5
ãëàâû
I
,äîïîëíèâðàññóæäåíèÿÅâêëè­
äàòàê,÷òîáûìîæíîáûëîïîëó÷èòüòàêæåèîöåíêóðîñòàêîëè÷å­
ñòâàïðîñòûõ÷èñåë.Èñïîëüçîâàòüîñíîâíóþòåîðåìóàðèôìåòèêè.
Ðåøåíèå:ñòð.
104
.
II.4.
Äîêàçàòü,÷òî
p
n
+1
p
1
p
2
:::p
n
;
ãäå
p
i

i
­îåïðîñòîå÷èñëî,
i
=1
;
2
;:::;n
+1
.Ðåøåíèå:ñòð.
104
.
II.5.
Ìåòîäîììàòåìàòè÷åñêîéèíäóêöèè,èñïîëüçóÿ
II.4
,äîêà­
çàòüîöåíêó
p
n
6
2
2
n

1
;
ïðè÷¸ìçíàê«
=
»èìååòìåñòîëèøüïðè
n
=1
.Ðåøåíèå:ñòð.
104
.
II.6.
Îáîçíà÷èì
q
N
íàèìåíüøååïðîñòîå÷èñëî,íåÿâëÿþùååñÿ
äåëèòåëåìíàòóðàëüíîãî
N
.Äîêàçàòü,÷òî
lim
N
!1
q
N
N
=0
:
Ðåøåíèå:ñòð.
104
.
II.7.
Äîêàçàòüíåðàâåíñòâî
X
p
xp
6
x
1
p

2

1

1
p
x

:
Ðåøåíèå:ñòð.
105
.
5.Ñóììûèïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ59
II.8.
Äîêàçàòüðàâíîñèëüíîñòüñëåäóþùèõóòâåðæäåíèé:
à)
òåîðåìà×åáûø¸âà—ïîñòóëàòÁåðòðàíà;
á)
äëÿíàòóðàëüíûõ
n�
1
êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå
n
!
íàìíî­
æèòåëèñîäåðæèòïîêðàéíåéìåðåîäèíïðîñòîéñîìíîæèòåëü
âïåðâîéñòåïåíè.
Ðåøåíèå:ñòð.
106
.
II.9.
Èçòåîðåìû×åáûø¸âàïîëó÷èòüîöåíêó
p
k

2
k
;
(
k�
1)
:
Ðåøåíèå:ñòð.
106
.
II.10.
ÄîêàçàòüòåîðåìóÅ.Ì.Ðàéòà:ñóùåñòâóåòâåùåñòâåííîå÷èñ­
ëî

òàêîå,÷òîëþáîå÷èñëîâèäà

2



2


n

ÿâëÿåòñÿïðîñòûì.Èñïîëüçîâàòüòåîðåìó×åáûø¸âà(ïîñòóëàòÁåð­
òðàíà).Ðåøåíèå:ñòð.
106
.
II.11.
Äîêàçàòü
òåîðåìóØåðêà
:äëÿëþáîãîíàòóðàëüíîãî
n
ïðè
ñîîòâåòñòâóþùåìâûáîðåçíàêîâ«
+
»èëè«

»
p
2
n
=1

p
1

p
2

:::

p
2
n

2
+
p
2
n

1
;
p
2
n
+1
=1

p
1

p
2

:::

p
2
n

1
+2
p
2
n
;
ãäå
p
i

i
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå÷èñëî,
i
=1
;
2
;:::;
2
n
+1
.Ðåøåíèå:
ñòð.
107
.
III.ÏÐÎÑÒÛÅ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
§1.Ïðîñòûå÷èñëà­áëèçíåöû
Îïðåäåëåíèå1.1.
Ïðîñòûå÷èñëà
p
è
q
,ãäå
q
=
p
+2
,íàçûâàþò
áëèçíåöàìè
.
Ëåãêîóáåäèòüñÿ,÷òî
3
,
5
,
7
—åäèíñòâåííàÿòðîéêàáëèçíåöîâ.
Äåéñòâèòåëüíî,åñëè
p
,
p
+2
,
p
+4
,ãäå
p�
3
,
p
—ïðîñòîå,è
p
+2
,
p
+4
òàêæåïðîñòûå,òîïðè
p�
3
ïðåäñòàâèâ
1
p
ââèäå
p
=3
s
+1
,
ïîëó÷èì,÷òî
p
+2=3
s
+3
ÿâëÿåòñÿñîñòàâíûì,àïðè
p
=3
s
+2
ïîëó÷èì,÷òî
p
+4=3
s
+6
—ñîñòàâíîå.
Òàêèìîáðàçîì,çàèñêëþ÷åíèåìðàññìîòðåííîãîñëó÷àÿ,áëèçíå­
öûìîãóòâñòðå÷àòüñÿòîëüêîïàðàìè.Îñíîâíàÿïðîáëåìà,ñâÿçàí­
íàÿñïðîñòûìè­áëèçíåöàìè,íåðåø¸ííàÿêíàñòîÿùåìóâðåìåíè
(2008ã.),ñîñòîèòâîïðåäåëåíèèòîãîêîíå÷íîèëèáåñêîíå÷íîèõ
ìíîæåñòâî.
×òîêàñàåòñÿïðîñòûõ«íåáëèçíåöîâ»,òîäîâîëüíîïðîñòîìîæíî
äîêàçàòüñëåäóþùååóòâåðæäåíèå
Òåîðåìà1.1.
Ñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íîìíîãîïàðïîñëåäîâàòåëü­
íûõïðîñòûõ÷èñåë,íåÿâëÿþùèõñÿáëèçíåöàìè.
.
Ïóñòü
p
k

k
­îåïðîñòîå÷èñëî.Îáîçíà÷èì
p
k
n
íàèáîëüøååïðî­
ñòîå,íåïðåâîñõîäÿùåå
6
n
+1
.Òàêêàê÷èñëà
6
n
+2
,
6
n
+3
,
6
n
+4
ñîñòàâíûå,òî
p
k
n
+1

6
n
+5
è,ñëåäîâàòåëüíî,
p
k
n
+1

p
k
n

(6
n
+5)

(6
n
+1)=4
;
àçíà÷èò,ïîñëåäîâàòåëüíûåïðîñòûå÷èñëà
p
k
n
,
p
k
n
+1
íåÿâëÿþòñÿ
áëèçíåöàìè.Òàêêàê÷èñëî
n
áûëîïðîèçâîëüíûì,òàêèõ÷èñåëáåñ­
êîíå÷íîìíîãî.
/
Èìååòñÿíåäîêàçàííîåäîñèõïîðïðåäïîëîæåíèå
2
,÷òîäëÿêî­
ëè÷åñòâàïðîñòûõáëèçíåöîâ,êàæäûéèçêîòîðûõíåïðåâîñõîäèò
x
,
îáîçíà÷àåìîãî

2
(
x
)
,âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå

2
(
x
)

2
C
2
Z
x
2
du
ln
2
u
;
(III.1)
1
Ïðèäåëåíèèíà
3
ëþáîå
ïðîñòîå÷èñëî
,áîëüøåå
3
,î÷åâèäíî,äà¸òâîñòàòêå
ëèáî
1
,ëèáî
2
.
2
G.H.Hardy,J.E.Littlewood.ActaMatematica44(1922),p.1–70.
1.Ïðîñòûå÷èñëà­áëèçíåöû61
Ðèñ.III.1.Ôóíêöèÿ

2
(
x
)
(1)è
2
C
2
R
x
2
du
ln
2
u
(2).
ãäå
C
2
íàçûâàþòèíîãäà«êîíñòàíòîéáëèçíåöîâ»,å¸çíà÷åíèåìîæíî
âû÷èñëèòüïîôîðìóëå
C
2
=
Y
p

3
p
(
p

2)
(
p

1)
2
=0
:
66016181584
:::
Íàðèñóíêå
III.1
äëÿñðàâíåíèÿïðèâåäåíûãðàôèêèýòèõâåëè÷èí
3
.
Ñòåïåíüïðèáëèæ¸ííîñòèôîðìóëû(
III.1
)õîðîøîèëëþñòðèðó­
åòñÿòàáëèöåé,
"
—îòíîñèòåëüíàÿïîãðåøíîñòüâïðîöåíòàõ.
3
Ïðèâåäåìñëåäóþùååíåñòðîãîåðàññóæäåíèå,òèïè÷íîåäëÿôîðìóëèðîâîê
ðàçëè÷íûõ
ñòàòèñòè÷åñêèõãèïîòåç
îòíîñèòåëüíîðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ.Îòíî­
ñèòåëüíàÿ÷àñòîòàïðîñòûõñðåäèíàòóðàëüíûõ÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõ
N
,ïðè­
áëèæåííîðàâíà
1
=
ln
N
,ïðèäîñòàòî÷íîáîëüøîì
N
.Åñëèïðåäïîëîæèòü,÷òîïðî­
ñòûå÷èñëàðàñïðåäåëåíû
ñëó÷àéíî
è
íåçàâèñèìî
äðóãîòäðóãà,òîâåðîÿòíîñòüâû­
áîðàäâóõïðîñòûõ,áëèçêèõê
N
ðàâíà
1
=
ln
2
N
(âñèëóèõíåçàâèñèìîñòè),ïîýòî­
ìóðàññìàòðèâàÿèíòåðâàëäëèíû
C
ìîæíîçàêëþ÷èòü,÷òîêîëè÷åñòâîáëèçíåöîâ,
ïðèíàäëåæàùèõäàííîìóèíòåðâàëóïðèáëèçèòåëüíîðàâíî
C=
ln
2
N
.
62ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
x

2
(
x
)
2
C
2
x
R
2
du
ln
2
u
"
10
2
5
150,00
10
2
8
14
75,00
10
3
35
46
31,43
10
4
205
214
4,39
10
5
1124
1249
11,12
10
6
8169
8248
0,97
10
7
58980
58754
­0,38
10
8
440312
440368
0,013
10
9
3424506
3425308
0,023
10
10
27412679
27411417
­0,0046
10
11
224376048
224368865
­0,0032
10
12
1870585220
1870559867
­0,0013
10
13
15834664872
15834598305
­0,00042
10
14
135780321665
135780264894
­0,000042
10
15
1177209242304
1177208491861
­0,000064
Ïðåäïîëîæåíèåîáåñêîíå÷íîñòèìíîæåñòâàáëèçíåöîâäîñèõ
ïîð(2008ã.)íåäîêàçàíîèíåîïðîâåðãíóòî.Íèæåáóäåòïðèâåäå­
íîäîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû
Òåîðåìà1.2(Â.Áðóí).
Ðÿä,ñîñòàâëåííûéèçâåëè÷èí,îáðàòíûõ
ïðîñòûì­áëèçíåöàì,ñõîäèòñÿ
4
.
Ýòîòðåçóëüòàòíåðåøàåò,êîíå÷íî,ïðîáëåìóáëèçíåöîâ,íîïîç­
âîëÿåòçàêëþ÷èòü,÷òîáëèçíåöîâ«ìåíüøå»,÷åìïðîñòûõ,èáîðÿä
îáðàòíûõïðîñòûõ,êàêèçâåñòíî,ðàñõîäèòñÿ
5
.
4
êïîñòîÿííîé
B
,êîòîðóþíàçûâàþò
êîíñòàíòîéÁðóíà
.Ÿïðèáëèæ¸ííîåçíà­
÷åíèå,äëÿêîòîðîãîïðèøëîñüïðîñóììèðîâàòüïàðûáëèçíåöîâäî
5

10
15
,ðàâíî
B
=1
;
902160582582

0
;
000000001620
:
Èíòåðåñíîîòìåòèòü,÷òîèìåííîïðèâû÷èñëåíèèýòîéïîñòîÿííîéâ1994ã.
Ò.Íàéñåëè(T.R.Nicely)îòêðûëèçâåñòíûéèçúÿíâìèêðîïðîöåññîðàõIntel
Pentium,ñâÿçàííûéñîøèáî÷íîéîïåðàöèåéäåëåíèÿâåùåñòâåííûõ÷èñåë,êîòî­
ðûéèíîãäàïðîÿâëÿëñÿíà÷èïàõPentium.ÔèðìåIntelïðèøëîñüïîòðàòèòüìèë­
ëèîíûäîëëàðîâ,÷òîáûçàìåíèòüñáîéíûå÷èïû[
14
,p.22].
5
Ñðàâíèòåñòåîðåìîé
5.3
ãëàâû
I
.
2.ÒåîðåìàÁðóíà63
§2.ÒåîðåìàÁðóíà
Äîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû
1.2
ñîñòîèòâïîëó÷åíèèîöåíêèñâåðõó
äëÿôóíêöèè

2
(
x
)
,àèìåííî:

2
(
x
)
C
x
(lnln
x
)
2
ln
2
x
;x�x
0
;
(III.2)
ãäå
C
,
x
0
—ïîëîæèòåëüíûåàáñîëþòíûåêîíñòàíòû.Äåéñòâèòåëüíî,
ðàññìîòðèìðÿä
P
1
=p
0
,âêîòîðîìñóììèðîâàíèåâåä¸òñÿïîâñåì
áîëüøèìïîâåëè÷èíåáëèçíåöàì,èïîêàæåì,÷òîîíìàæîðèðóåòñÿ
1
ñõîäÿùèìñÿðÿäîìè,ñëåäîâàòåëüíî,ñõîäèòñÿ:
X
1
p
0
=
1
X
k
=3

2
(
k
)


2
(
k

1)
k
(
B:
1
)
=
1
X
k
=3

2
(
k
)

1
k

1
k
+1

=
=
1
X
k
=3

2
(
k
)
k
(
k
+1)

1
X
k
=3

2
(
k
)
k
2
(
III:
2
)
C
1
X
k
=3
(lnln
k
)
2
k
ln
2
k
;
àïîñëåäíèéðÿä,êàêíåòðóäíîïîêàçàòü,ñõîäèòñÿ
2
.
Ïåðåéä¸ìêäîêàçàòåëüñòâóòåîðåìû
1.2
.
.
Äîêàçàòåëüñòâîçàêëþ÷àåòñÿâïðèìåíåíèè
ðåøåòàÁðóíà
,ÿâ­
ëÿþùåãîñÿðàçâèòèåììåòîäàðåøåòàÝðàòîñôåíà.ÈäåÿÂ.Áðóíàñî­
ñòîèòâòîì,÷òîèçïîñëåäîâàòåëüíîñòè
a
n
«âûñåèâàþòñÿ»÷èñëàñ
ìàëûìèïðîñòûìèäåëèòåëÿìè,ïîñëå÷åãîîñòàþòñÿ«ïî÷òèïðî­
ñòûå»÷èñëà,ñîäåðæàùèåòîëüêîî÷åíüáîëüøèåïðîñòûåäåëèòåëè
èïðîèçâåäåíèÿïðîñòûõ­áëèçíåöîâ.Çàòåìîöåíèâàåòñÿêîëè÷åñòâî
îñòàâøèõñÿ÷èñåë.
Îáîçíà÷èì
P
=
Q
p
6
z
p
,ãäå
z
p
x
.Áóäåì«âûñåèâàòü»âñå÷èñëà
âïîñëåäîâàòåëüíîñòè
a
n
=
n
(
n
+2)
;
2
n
6
x;
êîòîðûåäåëÿòñÿõîòÿáûíàîäíîïðîñòîå,íåïðåâîñõîäÿùåå
z
,
n
6
x
.
Âåëè÷èíó
z
ïîäáåð¸ìòàê,÷òîáûïîñëåâûñåèâàíèÿîñòàëèñüïðîèç­
âåäåíèÿáëèçíåöîâ,êàæäûéèçêîòîðûõíåïðåâîñõîäèò
x
.Ïîëàãàÿ
âòåîðåìå
4.1
ÏðèëîæåíèÿÀ
k
n
=(
a
n
;P
)
,
f
(
k
n
)

1
ïîëó÷èìïîàíà­
ëîãèèñðàññóæäåíèÿìèíàñòð.
13
S
=
X
(
a
n
;P
)=1
1
;S

=
X
(
a
n
;P
)
.
.
.

1
:
1
Ñì.Ïðèëîæåíèå.ñòð.
147
2
Èíòåãðàëüíûéïðèçíàê—ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
145
.
64ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
òîãäà

2
(
x
)


2
(
z
)+1=
X


(

)
S

;
Ñêàçàííîåïîÿñíÿåòòàáëèöà
x
z
÷èñëà,îñòàâøèåñÿïîñëåâûñåèâàíèÿ
10
2,6126
15
,
35
,63,99
20
2,7304
15
,
35
,63,99,
143
,195,255,
323
,399
80
3,0238
15
,
35
,
143
,
323
,575,
899
,1295,
1763
,2303,2915,
3599
,
4355,
5183
,6083
Æèðíûìøðèôòîìâûäåëåíûïðîèçâåäåíèÿáëèçíåöîâ,êàæäûéèç
êîòîðûõíåïðåâîñõîäèò
x
.
Çàéì¸ìñÿîöåíêîé

2
(
x
)
.

2
(
x
)
6
x

X
p
j
P
X
p
j
a
n
1+
X
p
1
p
2
j
P
X
p
1
p
2
j
a
n
1

:::
+
X
p
1
:::p
2
k
j
P
X
p
1
:::p
2
k
j
a
n
1
:
(III.3)
Çäåñüñóììàâïðàâîé÷àñòèíåðàâåíñòâàîáîðâàíàíà÷¸òíîìøàãå
2
k
.
×èñëà
z
,
k
ïîêàïðîèçâîëüíû,èõâåëè÷èíûáóäóòîïðåäåëåíûíèæå.
Ïóñòü
d
=
p
1
p
2
:::p
l
,ãäåâñåïðîñòûå÷èñëà
p
i
ðàçëè÷íû.Âû÷èñ­
ëèìñóììó
S
d
=
X
d
j
a
n
1
:
Åñëè
d
íå÷¸òíî,òî
S
d
ðàâíàêîëè÷åñòâóðåøåíèéîòíîñèòåëüíî
u
,
v
ñèñòåìû

n
=
ud
1
;
n
+2=
vd
2
;
(III.4)
ãäå
(
d
1
;d
2
)=1
,
d
1
d
2
=
d
,èëè,÷òîðàâíîñèëüíî,êîëè÷åñòâóðåøåíèé
óðàâíåíèÿ
vd
2

ud
1
=2
èëè
v
0
d
2

u
0
d
1
=1
;v
0
=
v=
2
;u
0
=
u=
2
Ðàçáèâàÿîòðåçîê
[1
;x
]
íàñåãìåíòû
3

1
;d
1
d
2

1

;

d
1
d
2
;
2
d
1
d
2

1

;:::;

(
K

1)
d
1
d
2
;Kd
1
d
2

1

3
Íåïîêðûòûìèýòèìèñåãìåíòàìèíà
[1
;x
]
,î÷åâèäíî,ìîãóòîêàçàòüëèøüöåëûå
÷èñëà,ñðåäèêîòîðûõíåáîëååîäíîãî
n
,óäîâëåòâîðÿþùåãî(
III.4
).
2.ÒåîðåìàÁðóíà65
èïðèìåíÿÿñëåäñòâèå
1.1
ÏðèëîæåíèÿÀóáåæäàåìñÿ,÷òîêàæäûé
èçýòèõñåãìåíòîâñîäåðæèòðîâíîîäíîçíà÷åíèå
n
,óäîâëåòâîðÿ­
þùååñèñòåìå(
III.4
).Ñëåäîâàòåëüíî,èñêîìîåêîëè÷åñòâîðåøåíèé
ñèñòåìû(
III.4
)íåïðåâîñõîäèò
K
+1
,òîåñòüâåëè÷èíû
x
d
+
;
j

j
6
1
;
àïîñêîëüêóñèñòåìâèäà(
III.4
)âñåãîèìååòñÿ

(
d
)
øòóê,òî
S
d
=
x

(
d
)
d
+

(
d
)
:
Äëÿñëó÷àÿ÷¸òíîãî
d
ïîëó÷èì

m
=
ud
1
;
m
+1=
vd
2
;
è,àíàëîãè÷íî,èìååì
S
d
=
x

(
d=
2)
d
+

(
d=
2)
:
Òàêèìîáðàçîì,îêîí÷àòåëüíî,ìîæåìçàïèñàòü
S
d
=
x

0
(
d
)
d
+

0
(
d
)
;
ãäå
j

j
6
1
;
0
(
d
)=


(
d
)
;
åñëè
d
íå÷¸òíî
;

(
d=
2)
;
åñëè
d
÷¸òíî
:
Ïîäñòàâëÿÿíàéäåííóþîöåíêóâïðàâóþ÷àñòü(
III.3
)ïîëó÷èì

2
(
x
)
6
x
0
@
1

X
p
j
P

0
(
p
)
p
+
X
p
1
p
2
j
P

0
(
p
1
p
2
)
p
1
p
2

:::
+
+
X
p
1
:::p
2
k
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
)
p
1
:::p
2
k
1
A
+
X
p
j
P

0
(
p
)+
+
X
p
1
p
2
j
P

0
(
p
1
p
2
)+
:::
+
X
p
1
:::p
2
k
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
)
(III.5)
Çäåñü
X
p
1
:::p
r
j
P

0
(
p
1
:::p
r
)
(
A:
9
)
6
X
p
1
:::p
r
j
P
2
r

2
r
C
r

(
z
)

2
r

r
(
z
)
r
!
;
ìûèñïîëüçîâàëèíåðàâåíñòâî
C
r
m

m
r
r
!
;
66ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
ÿâëÿþùååñÿî÷åâèäíûìñëåäñòâèåìíåðàâåíñòâà(
B.6
),ïîýòîìó
X
p
j
P

0
(
p
)+
X
p
1
p
2
j
P

0
(
p
1
p
2
)+
:::
+
X
p
1
:::p
2
k
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
)


2
k
(
z
)
X
r
6
2
k
2
r
r
!

2
k
(
z
)
e
2

9

2
k
(
z
)
:
(III.6)
Îáîçíà÷èì
T
2
k
def
=

X
p
1
:::p
2
k
+1
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
+1
)
p
1
:::p
2
k
+1
+
X
p
1
:::p
2
k
+2
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
+2
)
p
1
:::p
2
k
+2
+
:::
Ýòàâåëè÷èíàäîïîëíÿåòñóììóâñêîáêàõâ(
III.5
)äîïðîèçâåäåíèÿ
4

1

1
2

Y
3
6
pz

1

2
p

Äëÿîöåíêè
T
2
k
âîñïîëüçóåìñÿíåðàâåíñòâàìè(
II.47
)è(
II.43
),ïðè­
ìåíåíèåêîòîðûõäà¸ò
X
p
1
:::p
r
j
P
1

0
(
p
1
:::p
r
)
6
(lnln
z
+
M
)
r
r
!
Ïîýòîìó
j
T
2
k
j
6
X
r

2
k
+1
(2lnln
z
+2
M
)
r
r
!
;
îòêóäà,òàêêàê
5
r
!

(
r=e
)
r
,èìååì
j
T
2
k
j
6
X
r

2
k
+1

2
e
lnln
z
+2
eM
r

r
Îïðåäåëèìòåïåðüâåëè÷èíó
k
def
=[2
e
lnln
z
+2
eM
]
,òîãäà
j
T
2
k
j
6
X
r

2
k
+1

k
r

r

X
r

2
k
+1

k
2
k

r
=
1
1

1
=r

1

(1
=r
)
2
k
+1
1

1
=r
=
=2

2
k

2

4(
e
lnln
z
+
eC
)

1
ln
4
z
:
4
Ïðèìåíåíàôîðìóëà(
A.11
)ïðè
f
=

0
(
d
)
=d
.
5
ñì.(
B.6
).
2.ÒåîðåìàÁðóíà67
Ó÷èòûâàÿïîñëåäíþþîöåíêóïîëó÷àåì
1

X
p
j
P

0
(
p
)
p
+
X
p
1
p
2
j
P

0
(
p
1
p
2
)
p
1
p
2

:::
+
X
p
1
:::p
2
k
j
P

0
(
p
1
:::p
2
k
)
p
1
:::p
2
k
=
=
X
d
j
P

(
d
)

0
(
d
)
d

T
2
k
6
Y
p
6
z

1


0
(
p
)
p

+
1
ln
4
z
=
=
1
2
Y
3
6
p
6
z

1

2
p

+
1
ln
4
z
:
Ïîäñòàâëÿÿýòîíåðàâåíñòâîè(
III.6
)âïðàâóþ÷àñòüñîîòíîøå­
íèÿ(
III.5
)íàõîäèì

2
(
x
)

x
2
Y
3
6
p
6
z

1

2
p

+
x
ln
4
z
+9

2
k
(
z
)
:
(III.7)
Òåïåðüïîëîæèì
z
def
=
x
1
=
2
k
,ïîñëå÷åãîâîñïîëüçóåìñÿíåðàâåí­
ñòâàìè×åáûø¸âà(
II.13
):

2
k
(
z
)

C
0
x
ln
4
z
:
(III.8)
Äàëåå,ïðèìåíèâðàçëîæåíèåâðÿä,èìååì
ln
Y
2
6
p
6
z

1

2
p

=

2
X
2
6
p
6
z
1
p

2
X
2
6
p
6
z

1
2
p
2
+
1
3
p
3
+
:::

(
II:
43
)
=
(
II:
43
)
=
C
1

2lnln
z
+
C
2
1
ln
z
;
îòêóäà,ïîñëåïîòåíöèðîâàíèÿ,ïîëó÷èì
Y
2
6
p
6
z

1

2
p


C
3
ln
2
z
(III.9)
Òðåáóåìàÿíàìîöåíêàòåïåðüâûòåêàåòèç(
III.7
)ñó÷¸òîìôîðìóë
(
III.8
)è(
III.9
).
/
Çàâèñèìîñòüâåëè÷èíû
z
îò
x
,îïðåäåëÿåìàÿñîîòíîøåíèÿìè
z
=
x
1
2
k
;k
=2
e
(
M
+lnln
z
)
;
ãäå
M
—êîíñòàíòàÌåðòåíñà(ñòð.
50
),èëëþñòðèðóåòñÿðèñ.
III.2
.
Ðàñ÷¸òûïðîâîäèëèñüìåòîäîìïðîñòûõèòåðàöèé(ñì.çàäà÷ó
III.1
è
ëèñòèíãèíàñòð.
120
).
68ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ­ÁËÈÇÍÅÖÛ
Ðèñ.III.2.
z
êàêôóíêöèÿ
x
.
Çàìå÷àíèå.
Ïðèäîêàçàòåëüñòâåòåîðåìûáûëèñïîëüçîâàí÷àñò­
íûéñëó÷àéðåøåòàÁðóíà(«ïðÿìîóãîëüíîå»ðåøåòî),êîãäàíàâñåõ
øàãàõàëãîðèòìàêîëè÷åñòâî÷èñåëäëÿ«âûñåèâàíèÿ»ïîñòîÿííî.Â
áîëååîáùèõðàçíîâèäíîñòÿõðåøåòàÁðóíàýòîêîëè÷åñòâîìîæåò
óìåíüøàòüñÿñóâåëè÷åíèåì÷èñëàøàãîâ[
5
,ñòð.131–147].
Çàäà÷èêãëàâå
III
III.1.
Ñîñòàâèòüïðîãðàììó,ðåàëèçóþùóþàëãîðèòìðåøåòàÁðó­
íàäëÿïðîñòûõ­áëèçíåöîâ.Ðåøåíèå:ñòð.
120
.
III.2.
Äîêàçàòü,÷òî÷èñëà
2
n

1
è
2
n
+1
îäíîâðåìåííîïðîñòûìè
áûòüíåìîãóò.Ðåøåíèå:ñòð.
109
.
III.3.
ÈñïîëüçóÿòåîðåìóÄèðèõëåîáåñêîíå÷íîñòèïðîñòûõ÷è­
ñåëâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ(ñì.ñòð.
28
)äîêàçàòü,÷òîñóùå­
ñòâóåòáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ,íåïðèíàäëåæàùèõíèêîäíîéèç
ïàðáëèçíåöîâ.Ðåøåíèå:ñòð.
109
.
2.ÒåîðåìàÁðóíà69
III.4.
Äîêàçàòü
òåîðåìóÊëåìåíòà
:÷èñëà
p
è
p
+2
ÿâëÿþòñÿáëèç­
íåöàìèòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
4

(
p

1)!+1

+
p

0(mod
p
2
+2
p
)
Ðåøåíèå:ñòð.
109
.
III.5.
Äîêàçàòü,÷òîñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íîåìíîæåñòâîïàðïðî­
ñòûõ
p
n
,
p
n
+1
,òàêèõ,÷òîäëÿëþáîãîïîëîæèòåëüíîãîâåùåñòâåííîãî
"
âûïîëíÿåòñÿ
p
n
+1
p
n
(1+
"
)
:
Ðåøåíèå:ñòð.
109
.
III.6.
Äîêàçàòüíåðàâåíñòâî
lim
i
!1
d
i
ln
p
i

1
;
ãäå
d
i
=
p
i

p
i

1
;d
1
=
p
1
.Ðåøåíèå:ñòð.
110
.
IV.ÏÐÎÑÒÛÅ×ÈÑËÀ
ÂÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÏÐÎÃÐÅÑÑÈßÕ
§1.ÐåøåòîÑåëüáåðãà
Ïóñòüçàäàíû÷èñëà
n
1
;n
2
;:::;n
N
,ñðåäèêîòîðûõìîãóòáûòüè
îäèíàêîâûå,
P
=
Q
p
6
z
p
,
z

2
.Ïîëîæèìâòåîðåìå̸áèóñà(Ïðè­
ëîæåíèå,ñòð.
140
)
k
i
=(
n
i
;P
)
,òîãäà
S
=
X
n
i
;
1
6
i
6
N
X
d
j
(
n
i
;P
)

(
d
)=
X
d
j
P

(
d
)
S
d
;
(IV.1)
çäåñü
S
—êîëè÷åñòâîòåõ÷èñåë
n
i
,äëÿêîòîðûõ
(
n
i
;P
)=1

S
d
ðàâíî
êîëè÷åñòâóòåõ÷èñåë
n
i
,äëÿêîòîðûõ
d
j
n
i
.
ÎñíîâíàÿèäåÿìåòîäàðåøåòàÑåëüáåðãàñîñòîèòâçàìåíåâíóò­
ðåííåéñóììûâ(
IV.1
)íàäðóãóþ,áîëååóäîáíóþ,èñïîëüçóÿñïå­
öèàëüíûìîáðàçîìïîäîáðàííûå÷èñëà

d
òàê,÷òîáûâûïîëíÿëîñü
íåðàâåíñòâî
X
d
j
n

(
d
)
6

X
d
j
n;d
6
z

d
!
2
;
äëÿâñåõ
n:
(IV.2)
Ïîäñòàíîâêàýòîéâåëè÷èíûâ(
IV.1
)äàñò
S
6
X
d

(
d
)
S
d
;
(IV.3)
ãäå

(
d
)=
X
[
d
1
;d
2
]=
d

d
1

d
2
:
(IV.4)
Ôóíêöèÿ

(
d
)
âäàëüíåéøåìâûáèðàåòñÿîïòèìàëüíûìîáðàçîì.
Ïóñòüäëÿâñåõ
d;d
j
P
,îïðåäåëåíàôóíêöèÿ
!
(
d
)
,
ìóëüòèïëèêà­
òèâíàÿ
èòàêàÿ,÷òî
0
6
!
(
d
)
6
d;
äëÿâñåõ
d�
1
;d
j
P:
×èñëî
R
d
îïðåäåëèìôîðìóëîé
S
d
=
!
(
d
)
d
N
+
R
d
:
(IV.5)
1.ÐåøåòîÑåëüáåðãà71
Çäåñüïðàêòè÷åñêèìû
âûáèðàåì
N
è
!
(
d
)
è
îïðåäåëÿåì
R
d
âñîîòâåò­
ñòâèèñ(
IV.5
)
1
.Ââåä¸ìâðàññìîòðåíèåôóíêöèþ
f
(
d
)
def
=
d
!
(
d
)
:
Ýòàôóíêöèÿ,î÷åâèäíî,ìóëüòèïëèêàòèâíà(ñòð.
137
).Ïóñòü÷èñëî
r
ñâîáîäíîîòêâàäðàòîâ,
r
6
z
è
r
j
P
.Ïîëîæèì
F
(
r
)
def
=
f
(
r
)
Y
p
j
r

1

1
f
(
p
)

:
(IV.6)
Òîãäà,èñïîëüçóÿôîðìóëó(
A.11
),èìååì
F
(
r
)=
f
(
r
)
X
d
j
r

(
d
)
f
(
d
)
=
X
d
j
r

(
d
)
f

r
d

:
(IV.7)
Î÷åâèäíàìóëüòèïëèêàòèâíîñòüôóíêöèè
F
èòî,÷òî
F
(1)=1
.
Îáîçíà÷èì
D
def
=
X
r
6
z
1
F
(
r
)
:
(IV.8)
Äëÿ
d
6
z
îïðåäåëèì

d
=

(
d
)
D
Y
p
j
d

1

1
f
(
p
)


1
X
d
6
z=d
(
r;d
)=1
1
F
(
r
)
:
(IV.9)
Î÷åâèäíî,÷òî

1
=1
.
Òåîðåìà1.1.
S
6
N
D
+
R;R
def
=
X
d
1
;d
2
6
z



d
1

d
2
R
[
d
1
;d
2
]


(IV.10)
.
Ïîñêîëüêóôóíêöèÿ
!
ìóëüòèïëèêàòèâíàäîñòàòî÷íîîïðåäå­
ëèòüå¸äëÿïðîñòûõäåëèòåëåé÷èñëà
P
,ïîñëå÷åãîîíàìîæåòáûòü
îäíîçíà÷íîîïðåäåëåíàäëÿâñåõäåëèòåëåé
P
(ñì.ñòð.
136
).
Ïóñòü
!
(
p
)

0
äëÿâñåõ
p
j
P
(åñëèäëÿíåêîòîðûõïðîñòûõ
q
,
!
(
q
)=0
,òîäîñòàòî÷íîáóäåòçàìåíèòüâíèæåñëåäóþùåìðàññóæ­
äåíèèôóíêöèþ
!
(
q
)
íà
!
"
(
q
)
,ãäå
"�
0
,àçàòåìñäåëàòüïðåäåëüíûé
1
Äëÿëó÷øåãîïîíèìàíèÿèäåèðåøåòàìîæíîèíòåðïðåòèðîâàòü(
IV.5
)êàê
óòâåðæäåíèå,÷òî
âåðîÿòíîñòü
òîãî,÷òî÷èñëî
n
i
äåëèòñÿíà
d
«ïðèáëèæ¸ííîðàâ­
íà»
!
(
d
)
=d
,àìóëüòèïëèêàòèâíîñòü
!
(
d
)
ãîâîðèòîòîì,÷òîñîáûòèÿ,ñîîòâåòñòâó­
þùèåýòîéäåëèìîñòè,«ïðèáëèçèòåëüíî»âçàèìíîíåçàâèñèìû.
72ÏÐÎÑÒÛÅÂÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÕÏÐÎÃÐÅÑÑÈßÕ
ïåðåõîäïðè
"
!
0
).Òîãäàïîëüçóÿñüñîîòíîøåíèÿìè(
IV.2
),(
IV.3
)
ïîëó÷èì
S
6
X
d
6
z;d
j
P

d
S
d
6
X
d
6
z;d
j
P
N
f
(
d
)

(
d
)+
X
d
1
;d
2
6
z



d
1

d
2
R
[
d
1
;d
2
]


def
=
NQ
+
R;
ãäå
Q
=
X
d
1
;d
2
6
z

d
1

d
2
f
(
d
1
)
f
(
d
2
)
f

(
d
1
;d
2
)

;
òàêêàê,âñëåäñòâèåìóëüòèïëèêàòèâíîñòè
f
,èî÷åâèäíîãîòîæäå­
ñòâà
d
1
d
2
=[
d
1
;d
2
](
d
1
;d
2
)
,âûïîëíÿåòñÿ
f
(
d
1

d
2
)=
f

[
d
1
;d
2
]

f

(
d
1
;d
2
)

:
Ïðè
r
j
P
è
r
6
z
èç(
A.11
)ïîëó÷àåì,ïîëüçóÿñüôîðìóëîéîáðàùåíèÿ
̸áèóñà(
A.19
)
f
(
r
)=
X

j
r
F
(

)
:
Ïîýòîìó
Q
=
X
d
1
;d
2
6
z
d
1
d
2
f
(
d
1
)
f
(
d
2
)
X

j
d
1
;
j
d
2
F
(

)=
X

6
z
F
(

)
0
@
X

j
d

d
f
(
d
)
1
A
2
:
(IV.11)
Âñîîòâåòñòâèè(
IV.9
)

d
=
1
D

(
d
)
Y
p
j
d

1

1
f
(
p
)


1
X
r
6
z=d
1
F
(
r
)
(
IV:
7
)
=
(
IV:
7
)
=
1
D

(
d
)
f
(
d
)
F
(
d
)
X
r
6
z=d
1
F
(
r
)
;
(IV.12)
îòêóäà,ó÷èòûâàÿìóëüòèïëèêàòèâíîñòüôóíêöèè
F
(
r
)
,èìååì
D

d
f
(
d
)
=

(
d
)
X
r
6
z=d
1
F
(
dr
)
=

(
d
)
X
u
6
z;u
.
.
.
d
1
F
(
u
)
(IV.13)
è,ïîñëåñóììèðîâàíèÿïî
d
,ïðè
d
.
.
.

,ïîëó÷èì
D
X
d
.
.
.


d
f
(
d
)
=
X
d
.
.
.


(
d
)
X
u
6
z;d
j
u
1
F
(
u
)
:
(IV.14)
1.ÐåøåòîÑåëüáåðãà73
Ñäåëàåìçàìåíóâïðàâîé÷àñòèïîñëåäíåéôîðìóëû
d
=
d
1
,
u
=
u
1
,
ãäå

6
z
,òîãäà
d
1
j
u
1
èïîëó÷èì
D
X
d
.
.
.


d
f
(
d
)
=
X
d
1
j
d

(
d
1
)
X
u
1
6
z;d
j
u
1
1
F
(
u
1
)
=
=
X
u
1
6
z=d

(

)
F
(
u
1
)
X
d
1
j
u
1

(
d
1
)=

(

)
F
(

)
:
Ïîäñòàâëÿÿíàéäåííûåçíà÷åíèÿâ(
IV.11
)ïîëó÷àåìñó÷¸òîì(
IV.8
)
Q
=
1
D
;
÷òîèòðåáîâàëîñü.
/
Òåîðåìà1.2(×óëàíîâñêèé).
Îáîçíà÷èì
Z
ìíîæåñòâîòàêèõíà­
òóðàëüíûõ
m
,äëÿêîòîðûõ
Q
p
j
m
p
6
z
èïóñòü
m
=
Q
p
j
m
p
m
p
.Òîãäà
D
=
X
m
2
Z
1
m
Y
p
j
m
!
m
p
(
p
)
:
(IV.15)
Åñëèäëÿëþáûõ
d
,
d
1
,
d
2
j
R
d
j
6
!
(
d
)
;!

[
d
1
;d
2
]

6
!
(
d
1
)
!
(
d
2
)
;
(IV.16)
òî
R
=
X
d
1
;d
2
6
z




d
1

d
2
R
[

d
1
;
d
2
]



6
z
2
Y
p
6
z

1

!
(
p
)
p


2
:
(IV.17)
.
Èñïîëüçóÿñîîòíîøåíèÿ(
IV.6
),(
IV.7
),(
IV.8
)ñó÷¸òîì
f
(
d
)=
d
!
(
d
)
=
Y
p
j
d
p
!
(
p
)
;
èìååì
D
=
X
r
6
z

2
(
r
)
!
(
r
)
r
Y
p
j
r

1

!
(
p
)
p


1
=
=
X
r
6
z

2
(
r
)
Y
p
j
r

!
(
p
)
p
+
!
2
(
p
)
p
2
+
:::

:
(IV.18)
74ÏÐÎÑÒÛÅÂÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÕÏÐÎÃÐÅÑÑÈßÕ
Ïåðåìíîæèâñóììûâïðàâîé÷àñòèïîëó÷èì(
IV.15
).
Èç(
IV.16
)èìååì
j
R
[
d
1
;d
2
]
j
6
!
(
d
1
)
!
(
d
2
)
;
îòêóäà,ïîëüçóÿñü(
IV.10
),ïîëó÷àåì
R
6
X
d
1
;d
2
6
z



d
1

d
2
!
(
d
1
)
!
(
d
2
)


=

X
d
6
z
j

d
j
!
(
d
)
!
2
6
6
0
@
X
d
6
z

2
(
d
)
!
(
d
)
Y
p
j
d

1

!
(
p
)
p


1
1
A
2
:
(IV.19)
Òàêêàêäëÿ
r
,ñâîáîäíîãîîòêâàäðàòîâ
2
,
F
(
r
)

0
,òî
X
r
6
z=d
X

2
(
r
)
F
(
r
)
6
X
r
6
z

2
(
r
)
F
(
r
)
=
D:
(IV.20)
Ïîñêîëüêó
!
—ìóëüòèïëèêàòèâíàÿôóíêöèÿ,
!
(
p
)
=p
1
è
Z
—ïîä­
ìíîæåñòâîìíîæåñòâà÷èñåë,âñåïðîñòûåäåëèòåëèêîòîðûõ
6
z
,òî
X
d
6
z

2
(
d
)
!
(
d
)
Y
p
j
d

1

!
(
p
)
p


1
=
X
d
6
z
d
2
(
d
)
Y
p
j
d
!
(
p
)
p

1

!p
p


1
6
6
z
X
d
6
z

2
(
d
)
Y
p
j
d

!
(
p
)
p
+
!
2
(
p
)
p
2
+
:::

=
z
X
m
2
Z
1
m
Y
p
j
m
!
m
p
(
p
)
6
6
z
Y
p
6
z

1

!
(
p
)
p


1
:
Îòñþäà,ñó÷¸òîìíåðàâåíñòâà(
IV.19
),ñëåäóåò(
IV.17
).
/
§2.Ïðîñòûå÷èñëàâàðèôìåòè÷åñêèõ
ïðîãðåññèÿõ
Ïóñòüçàäàíààðèôìåòè÷åñêàÿïðîãðåññèÿ
l
+
k;l
+2
k;:::;l
+
Nk;
(IV.21)
2
Òîåñòü,íåäåëÿùåãîñÿíèíàêàêîéêâàäðàò÷èñëà,áîëüøåãîåäèíèöû.
2.Ïðîñòûå÷èñëàâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ75
ïðè÷¸ì
k

1
,
0
6
l
6
k
,
(
k;l
)=1
.
Åñëè
(
k;l
)

1
,òîïðîãðåññèÿ,î÷åâèäíî,íåñîäåðæèòíèîäíîãî
ïðîñòîãî÷èñëà.
Ïóñòüçàäàíî
z�
2
.Îáîçíà÷èì
S
êîëè÷åñòâîòåõ÷èñåëïðîãðåñ­
ñèè(
IV.21
),êîòîðûåíåäåëÿòñÿíèíàîäíîïðîñòîå,íåáîëüøåå
z

S
d
—êîëè÷åñòâîòåõ÷èñåëïðîãðåññèè,êîòîðûåêðàòíû
d
.
Ïóñòü
!
(
d
)
—êîëè÷åñòâîðåøåíèé(îòíîñèòåëüíî
x
)ñðàâíåíèÿ
kx
+
l

0(mod
d
)
;
0
6
xd;
òîãäà,î÷åâèäíî,
S
d
=
!
(
d
)
N
d
+
R
d
;
j
R
d
j
6
!
(
d
)
(IV.22)
èôóíêöèÿ
!
ìóëüòèïëèêàòèâíà(ñì.ñòð.
139
),ïðè÷¸ìâñèëóòîãî,
÷òî
(
k;l
)=1
,äëÿïðîñòîãî
p
!
(
p
)=

1
;
åñëè
p
6j
k;
0
;
åñëè
p
j
k:
(IV.23)
Ëåãêîâèäåòü,÷òî
!

[
d
1
;d
2
]

6
!
(
d
1
)
!
(
d
2
)
è,ñëåäîâàòåëüíî,âûïîëíå­
íûóñëîâèÿòåîðåì
1.1
,
1.2
.Íåðàâåíñòâà(
IV.15
),(
IV.17
)ïðèíèìàþò
âèä
D
=
X
m
2
Z;
(
m;k
)=1
1
m

X
m
6
z;
(
m;k
)=1
1
m
(IV.24)
D
6
z
2
Y
p
6
z;k
6
.
.
.
p

1

1
p


2
:
(IV.25)
Òåïåðü,÷òîáûïîëó÷èòüîöåíêó
S
íóæíîîöåíèòü
D
ñíèçó,à
R
ñâåðõó,äëÿ÷åãîíàìïîòðåáóåòñÿ
Ëåììà2.1.
Ïóñòü
P
—êàêîå­ëèáîìíîæåñòâîïðîñòûõ÷èñåë,íå
áîëüøèõ
N
,
N

2
.
N
P
—ìíîæåñòâî÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõ
N
è
èìåþùèõòîëüêîïðîñòûåäåëèòåëèèç
P
.Òîãäà
Y
p
2
P

1

1
p


1
6
B
X
m
2
N
P
1
m
;
(IV.26)
ãäåïîëîæèòåëüíàÿêîíñòàíòà
B
íåçàâèñèòîò
P
è
N
.
76ÏÐÎÑÒÛÅÂÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÕÏÐÎÃÐÅÑÑÈßÕ
.
Åñëè,â÷àñòíîñòè,
P
—ìíîæåñòâî
âñåõ
ïðîñòûõ÷èñåë,òîíåðà­
âåíñòâî(
IV.26
)âûòåêàåòèç(
II.44
)èñîîòíîøåíèÿ
X
m
6
N
1
m
6
ln
N
+
O
(1)
;
êîòîðîåíåòðóäíîäîêàçàòü,èñïîëüçóÿëåììóÏ.
1.2
.
Ïóñòü(
IV.26
)óæåäîêàçàíîäëÿíåïóñòîãîìíîæåñòâà
P
èñîîò­
âåòñòâóþùåãîìíîæåñòâà
N
P
.Ïóñòüïðîñòîå
q
2
P
,îáîçíà÷èì
P
0
ìíîæåñòâîâñåõïðîñòûõ÷èñåëèç
P
,çàèñêëþ÷åíèåì
q
,èñîîòâåò­
ñâóþùååìíîæåñòâî—
N
P
0
.Òîãäàäëÿäîêàçàòåëüñòâàëåììûäîñòà­
òî÷íîïîêàçàòü,÷òîèçñïðàâåäëèâîñòè(
IV.26
)äëÿ
P
è
N
P
âûòåêàåò
èñòèííîñòüýòîãîíåðàâåíñòâàäëÿ
P
0
è
N
P
0
.
Y
p
2
P
0

1

1
p


1
=

1

1
q

Y
p
2
P

1

1
p


1
;
(IV.27)
X
m
2
N
P
0
1
m
6
X
m
2
N
P

X
m
2
N
P
;q
j
m
1
m
;
X
m
2
N
P
;q
j
m
1
m
6
X
m
2
N
P
1
qm
=
1
q
X
m
2
N
P
1
m
:
Èçïîñëåäíèõäâóõíåðàâåíñòâñëåäóåò,÷òî
X
m
2
N
P
1
m


1

1
q

X
m
2
N
P
1
m
(IV.28)
èèç(
IV.27
),(
IV.28
)ïðèó÷¸òå(
IV.26
)ïîëó÷àåì
Y
p
2
P
0

1

1
p


1
6
B
X
m
2
N
P
0
1
m
;
(IV.29)
÷òîèòðåáîâàëîñüäîêàçàòü.
/
Ñëåäñòâèå2.1.
Åñëèâêà÷åñòâåìíîæåñòâà
P
âëåììåâçÿòüïðî­
ñòûå÷èñëà,íåïðåâîñõîäÿùèå
N
èíåäåëÿùèå
k
,òîèç(
IV.24
)ïîñëå
çàìåíû
N
íà
[
z
]
ñëåäóåò
D

X
m
6
z;
(
m;k
)=1
1
m

1
B
Y
p
6
z;k
6
.
.
.
p

1

1
p


1


'
(
k
)
Bk
Y
p
6
z

1

1
p


1

C
'
(
k
)
k
ln
z:
(IV.30)
2.Ïðîñòûå÷èñëàâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ77
Òåîðåìà2.1.
Ïóñòü
(
k;l
)=1
,
1
6
lk
.Îáîçíà÷èì

(
x;k;l
)
êî­
ëè÷åñòâîïðîñòûõ÷èñåë,íåïðåâîñõîäÿùèõ
x
,âàðèôìåòè÷åñêîéïðî­
ãðåññèè(
IV.21
),òîãäà

(
x;k;l
)
C
x
'
(
k
)ln(
x=k
)
;
(IV.31)
ãäåêîíñòàíòà
C
íåçàâèñèòîò
x
è
k
.
.
Èçíåðàâåíñòâà(
IV.25
)è(
II.44
)ñëåäóåò,÷òî
R
=
O

z
2
ln
2
z

;z

2
:
(IV.32)
Ïîýòîìóâñîîòâåòñòâèèñòåîðåìàìè
1.1
,
1.2
èíåðàâåíñòâîì(
IV.30
)
èìååì
SN

C
'
(
k
)
k
ln
z


1
+
O

z
2
ln
2
z

:
(IV.33)
Âûáåðåì
z
=
N
1
=
2
=
ln
2
N
ïðè
N�e
16
def
=
N
0
,òîãäà
z

2
,
ln
z�
C
ln
N
.È,ïîñêîëüêó
z
2
ln
2
z
=
O
(
N=
ln
2
N
)
,èç(
IV.33
)èî÷åâèäíîãî
íåðàâåíñòâà
k='
(
k
)
6
1
ñëåäóåò,÷òî
SC
k
'
(
k
)
N
ln
N
+
O

N
ln
2
N

C
1
kN
'
(
k
)ln(
N
)
:
(IV.34)
Òåïåðüïîëîæèì
N
ðàâíûìêîëè÷åñòâó÷èñåëïðîãðåññèè(
IV.21
),
íåïðåâîñõîäÿùèõ
x
,ò.å.
N
=

x

l
k

6
x
k
:
Îáîçíà÷èì
C
2
def
=
e
16
+2
.Ïóñòü
x=k�C
2
,òîãäà
N�e
16
è,âñèëó
ìîíîòîííîãîðîñòà
N=
ln
N
,èç(
IV.34
)ïîëó÷àåì
SC
x
'
(
k
)ln(
x=k
)
:
(IV.35)
Â
S
ñ÷èòàþòñÿïðîñòûåâèäà
p
=
mk
+
l;
1
6
m
6
N;zp
6
x
è,ñëåäîâàòåëüíî,êîëè÷åñòâîïðîñòûõýòîãîæåâèäà,íîñóñëîâèåì
p
6
z
,íåïðåâîñõîäèò
z=k
+1
.Ïîýòîìó

(
x;k;l
)
6
S
+
z
k
+1
(IV.36)
è,ñëåäîâàòåëüíî,ïðè
x=k�C
2
z=k
=
N
1
=
2
=k
ln
N
=
O

p
x=k

èç
(
IV.36
)âûòåêàåò(
IV.31
).
Ïðè
x=k
6
C
2
òåîðåìàî÷åâèäíà,òàêêàêâýòîìñëó÷àå

(
x;k;l
)
6
x
k
+1
:
/
V.ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß
ÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
§1.ÔîðìóëàÑåëüáåðãà
Îñíîâîéäëÿ
ýëåìåíòàðíîãî
1
äîêàçàòåëüñòâààñèìïòîòè÷åñêîãî
çàêîíàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåëñëóæèòôîðìóëàÑåëüáåðãà.
Äëÿå¸âûâîäàíàìïîòðåáóþòñÿíåñêîëüêîâñïîìîãàòåëüíûõóòâåð­
æäåíèé.
Ëåììà1.1.
Ïóñòüôóíêöèÿ
F
(
x
)
îïðåäåëåíàäëÿâñåõ
x

1

ôóíêöèÿ
G
(
x
)
çàäàåòñÿðàâåíñòâîì
G
(
x
)=
X
m
6
x
F

x
m

ln
x;
(V.1)
òîãäàâûïîëíÿåòñÿðàâíîñèëüíîåðàâåíñòâî
F
(
x
)ln
x
+
X
n
6
x
F

x
n

(
n
)=
X
d
6
x

(
d
)
G

x
d

;
(V.2)
ãäå
(
n
)=

ln
p;
åñëè
n
=
p
k
;k

1;
0
;
åñëè
n
6
=
p
k
—ôóíêöèÿÌàíãîëüäòà(H.Mangoldt).
.
Ïîñêîëüêóî÷åâèäíî,÷òî
ln
n
=
P
d
j
n
(
d
)
,òîïðèìåíèâôîðìó­
ëóîáðàùåíèÿ(
A.19
),ïîëó÷èì
(
n
)=
X
d
j
n

(
d
)ln
n
d
:
(

)
1
Äîëãîåâðåìÿíåóäàâàëîñüïîëó÷èòüäîêàçàòåëüñòâàçàêîíàðàñïðåäåëåíèÿ
ïðîñòûõ÷èñåëáåçïðèìåíåíèÿìåòîäîâòåîðèèôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåí­
íîãî.Ïåðâûåäîêàçàòåëüñòâà(Æ.ÀäàìàðèØ.Âàëëå­Ïóññåí,1896ã.)ñóùåñòâåí­
íîèñïîëüçîâàëèýòèìåòîäû.Ìíîãèåìàòåìàòèêè(À.Ý.Èíãàì,Ã.Õàðäèèäð.)
äàæåñ÷èòàëè,÷òîýëåìåíòàðíîãîäîêàçàòåëüñòâàíåìîæåòñóùåñòâîâàòü.Ïåðâîå
ïîëíîñòüþýëåìåíòàðíîåäîêàçàòåëüñòâîáûëîïîëó÷åíîâ1949ã.À.Ñåëüáåðãîìè
Ï.Ýðä¸øîì.
1.ÔîðìóëàÑåëüáåðãà79
Îòñþäà,ó÷èòûâàÿ(
A.12
),
F
(
x
)ln
x
+
X
n
6
x
F

x
n

(
n
)
(

)
=
X
n
6
x
F

x
n

ln
x
n
X
d
j
n

(
d
)+
+
X
n
6
x
F

x
n

X
d
j
n

(
d
)ln
n
d
=
X
n
6
x
F

x
n

X
d
j
n

(
d
)

ln
x
n
+ln
n
d

=
=
X
n
6
x
F

x
n

X
d
j
n

(
d
)ln
x
d
=
X
d
6
x

(
d
)ln
x
d
X
m
6
x=d
F

x
dm

(
V.1
)
=
(
V.1
)
=
X
d
6
x

(
d
)
G

x
d

:
/
Ëåììà1.2.
X
n
6
x
(
n
)
n
=ln
x
+
O
(1)
(V.3)
.
Òàêêàê
X
n
6
x
ln
n
=
X
n
6
x
X
d
j
n
(
d
)=
X
d
6
x
(
d
)
h
x
d
i
=
x
X
d
6
x
(
d
)
d

X
d
6
x
(
d
)
n
x
d
o
;
òî,ó÷èòûâàÿ(
B.5
),ïîëó÷àåì
x
X
d
6
x
(
d
)
d
=
X
d
6
x
(
d
)+
x
ln
x

x
+
O
(ln
x
)
;
îòêóäà,ïîñëåäåëåíèÿíà
x
,ïîëó÷èì(
V.3
),åñëèó÷åñòüåù¸,÷òî
X
n
6
x
(
n
)=

(
x
)=
O
(
x
)
:
/
Ëåììà1.3.
X
d
6
x
r
x
d
=
O
(
x
)
(V.4)
.
ÄîêàçàòåëüñòâîëåãêîñëåäóåòèçëåììûÏ.
1.2
/
Òåîðåìà1.1.
Ïðè
x

1
èìååòìåñòîðàâåíñòâî

(
x
)ln
x
+
X
n
6
x


x
n

(
n
)=2
x
ln
x
+
O
(
x
)
(V.5)
80ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
.
Ïîëîæèìâëåììå
1.1
F
(
x
)=

(
x
)
def
=
F
1
(
x
)
,òîãäà
G
1
(
x
)=ln
x
X
m
6
x


x
m

=ln
x
X
m
6
x
X
n
6
x=m
(
n
)=ln
x
X
k
6
x
X
d
j
k
(
d
)=
=ln
x
X
k
6
x
ln
k
(
1.2
)
=
x
ln
2
x

x
ln
x
+
O
(ln
2
x
)
Òåïåðüïîëîæèì
F
(
x
)=
x



1
def
=
F
0
(
x
)
,ãäå


êîíñòàíòàÝéëåðà
:

=lim
n
!1

n
X
k
=1
1
k

ln
n
!
;
(V.6)
òîãäà
X
m
6
x
1
m
=ln
x
+

+
O

1
x

(V.7)
è,ïîëàãàÿ
G
(
x
)
def
=
G
0
(
x
)
,
G
0
(
x
)=ln
x
X
m
6
x

x
m



1

=
x
ln
2
x

x
ln
x
+
O
(ln
x
)
:
Ñðàâíèâàÿïîëó÷åííûåâûðàæåíèÿïîëó÷àåì
G
1
(
x
)=
G
0
(
x
)+
O

p
x

;
îòñþäà,ïîñëåèñïîëüçîâàíèÿëåììû
1.3
èóìíîæåíèÿïîñëåäíåãî
ðàâåíñòâàíà

(
d
)
,çàìåíû
x
!
x=d
èñóììèðîâàíèÿïîâñåì
d
6
x
,
ïîëó÷èì
X
d
6
x

(
d
)
G
1

x
d

=
X
d
6
x

(
d
)
G
0

x
d

+
O
(
x
)
;
ò.å.
F
0
(
x
)ln
x
+
X
n
6
x
F
0

n
x

(
n
)=(
x



1)ln
x
+
+
X
n
6
x

x
n



1

(
n
)
1
:
2
=2
x
ln
x
+
O
(
x
)
:
Ýòèìðàâåíñòâî(
V.5
)äîêàçàíî.
/
Ñëåäñòâèå1.1.
Èçôîðìóëû(
V.5
),ñó÷åòîìî÷åâèäíîãîñîîòíî­
øåíèÿ
X
n
6
x


x
n

(
n
)
6
Cx
ln
x;
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë81
ïîëó÷àåì

(
x
)ln
x
+
X
p
6
x


x
p

ln
p
=2
x
ln
x
+
o
(
x
ln
x
)
(V.8)
îòêóäà,ó÷èòûâàÿ
2

(
x
)=

(
x
)+
O
(
p
x
)
,è,ñëåäîâàòåëüíî,
X
p
6
x


x
p

ln
p

X
p
6
x


x
p

ln
p
6
C
0
X
p
6
x
r
x
p
ln
p
6
6
C
0
p
x
ln
x
X
p
6
x
p

1
=
2
(
II:
46
)
6
C
1
p
x
ln
x
p
x
ln
x
=
C
1
x;
ïîëó÷àåì
ôîðìóëóÑåëüáåðãà

(
x
)ln
x
+
X
p
6
x


x
p

ln
p
=2
x
ln
x
+
o
(
x
ln
x
)
:
(V.9)
ÔîðìóëàÑåëüáåðãàâûðàæàåòàñèìïòîòèêó«âñðåäíåì»ôóíê­
öèè

(
x
)
èäàñòâîçìîæíîñòüäàëååïîëó÷èòüîöåíêèäëÿ

(
x
)
,ïîç­
âîëÿþùèå,ñó÷¸òîìå¸
ìåäëåííîãîèçìåíåíèÿ
,äîêàçàòüàñèìïòîòè­
÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë.Ñîîòíîøåíèå(
V.9
)èë­
ëþñòðèðóåòñÿãðàôèêàìèíàðèñ.
V.1
.
§2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿ
ïðîñòûõ÷èñåë
Äîêàçàòåëüñòâîàñèìïòîòè÷åñêîãîçàêîíàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ
÷èñåë
lim
x
!1

(
x
)
x=
ln
x
=1
;
(V.10)
êàêâûòåêàåòèçñëåäñòâèÿ
1.1
òåîðåìû
1.1
(ñòð.
35
),äîñòàòî÷íîïðî­
âåñòèâýêâèâàëåíòíîéôîðìå
lim
x
!1

(
x
)
x
=1
:
(V.11)
Äîêàçàòåëüñòâîáóäåòçàêëþ÷àòüñÿâóñòàíîâëåíèèòîæäåñòâåííî­
ñòèâåðõíèõèíèæíèõïðåäåëîââåëè÷èí,ñòîÿùèõïîäçíàêàìèïðå­
äåëîââëåâîé÷àñòèðàâåíñòâ(
V.10
)è(
V.11
),îòêóäàèñëåäóåòèñ­
òèííîñòüçàêîíàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë.
2
Ñì.ôîðìóëó(
II.1
).
82ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
Ðèñ.V.1.Ëåâàÿ(1)èïðàâàÿ(2)÷àñòèôîðìóëûÑåëüáåðãà.
Íàìïîíàäîáÿòñÿíåñêîëüêîâñïîìîãàòåëüíûõóòâåðæäåíèé.
Ëåììà2.1.
Ïðè
1
6
yz
âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî
X
yn
6
z
1
n
=ln
z
y
+
O

1
y

(V.12)
.
Ïîëåììå
B.2
X
yn
6
z
1
n
6
X
y
6
n
6
z
1
n
6
1
y
+
Z
z
y
dt
t
=
1
y
+ln
z
y
:
/
Ëåììà2.2.
Ïðè
1
6
yz
6
x
èìååòìåñòîîöåíêà





X
yn
6
z


x
n


x
ln
z
y





Bx;
(V.13)
ãäå
B
—êîíñòàíòà,íåçàâèñÿùÿÿîò
x;y;z
.
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë83
.
X
n
6
y


x
n

=
X
n
6
y
X
p
6
x=n
ln
p
=
X
n
6
y
0
@
X
p
6
x=y
+
X
x=ypx=n
1
A
ln
p
=
=
X
p
6
x=y
[
y
]ln
p
+
X
x=yp
6
x

x
p

ln
p
=
x
X
x=yp
6
x
ln
p
p
+[
y
]


x
y

+
+
O


(
x
)

;
îòñþäà,èñïîëüçóÿôîðìóëó(
II.43
)èîöåíêó

(
x
)=
O
(
x
)
,ïîëó÷èì
X
n
6
y


x
n

=
x
ln
y
+
O
(
x
)
:
Èçïîñëåäíåéôîðìóëûâûòåêàåò(
V.13
).
/
Ëåììà2.3.
Åñëè
1
6
yz
6
2
y
,òîâûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî
0
6

(
z
)


(
y
)
6
2(
z

y
)+
o
(
z
)
(V.14)
.
Ëåâàÿ÷àñòü(
V.14
)î÷åâèäíà,òàêêàê

(
x
)
íåóáûâàåò.Åñëèâ
ôîðìóëåÑåëüáåðãàïîëîæèì
x
=
z
,òîïîëó÷èì

(
z
)ln
z
+
X
p
6
z


z
p

ln
p
=2
z
ln
z
+
o
(
z
ln
z
)
:
(V.15)
ÒåïåðüïîëîæèìâýòîéæåôîðìóëåÑåëüáåðãà
x
=
y
èïðèáàâèì
êëåâîé÷àñòè

(
y
)ln(
z=y
)=
O
(
y
)
(òàêêàê
z
6
2
y
),àêïðàâîé÷àñòè
2
y
ln(
z=y
)=
O
(
y
)
.Òîãäà

(
y
)ln
z
+
X
p
6
z


z
p

ln
p
=2
z
ln
z
+
o
(
z
ln
z
)
:
(V.16)
Âû÷èòàÿèç(
V.15
)­îéôîðìóëû(
V.16
)­óþèïîëüçóÿñüíåðàâåí­
ñòâàìè

(
y
)
6

(
z
)
,

(
y=p
)
6

(
z=p
)
âûâîäèì(
V.14
).
/
Èìåÿââèäó,÷òîâäàëüíåéøåìíàìáóäóòíóæíûàñèìïòîòè÷å­
ñêèåñîîòíîøåíèÿ,âìåñòîâñåãîèíòåðâàëàèçìåíåíèÿ
p
6
x
äîñòà­
òî÷íîðàññìàòðèâàòü
(ln
x;x=
ln
x
)
,âêîòîðîìðàñïîëîæåíûïðîñòûå,
äàþùèå«îñíîâíîéâêëàä»âðàññìàòðèâàåìûåíèæåñóììû.Ñëàãàå­
ìûå,îòâå÷àþùèåïðîñòûìâíåïîñëåäíåãîèíòåðâàëà,äàþòâñóììå
âêëàä,ìåíüøèéîñòàòî÷íîãî÷ëåíàâôîðìóëåÑåëüáåðãà.Äàëåå,äî
êîíöàïàðàãðàôà,ñèìâîë
P
0
áóäåòîçíà÷àòüñóììèðîâàíèåïîèí­
òåðâàëó
(ln
x;x=
ln
x
)
.Åñëè
n
ïðèíàäëåæèòýòîìóèíòåðâàëó,òîïðè
x
!1
,
n
!1
è
x=n
!1
.Ïîýòîìóïðè
x
!1
X
p
0
ln
p
p
=

1+
o
(1)

ln
x;
(V.17)
84ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË

(
x
)ln
x
+
X
p
0


x
p

ln
p
=2

1+
o
(1)

x
ln
x;
(V.18)
X
0


x
n

=

1+
o
(1)

x
ln
x:
(V.19)
Ôîðìóëà(
V.17
)ÿâëÿåòñÿñëåäñòâèåìôîðìóëû(
II.42
),òàêêàê
÷àñòüñóììû,ðàñïîñòðàíåííàÿíàìíîæåñòâà
p
6
ln
x
è
x=
ln
x
p
6
x
åñòü
O
(lnln
x
)
.Ôîðìóëà(
V.18
)ñëåäóåòèçôîðìóëûÑåëüáåð­
ãà,åñëèñíîâàâîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëîé(
II.42
).Íàêîíåö,ôîðìóëà
(
V.19
)ñëåäóåòèç(
V.13
)ïðè
y
=ln
x
,
z
=
x=
ln
x
.
Ëåììà2.4.
Ïóñòü

=lim
x
!1

(
x
)
x
;
=
lim
x
!1

(
x
)
x
;
òîãäà

+

=2
è,ñëåäîâàòåëüíî,

6
1
6

.
.
Ïîîïðåäåëåíèþâåðõíåãîïðåäåëàñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëü­
íîñòüòàêèõíåîãðàíè÷åííîðàñòóùèõ
x
,÷òî

(
x
)=


1+
o
(1)

x:
(V.20)
Ïîîïðåäåëåíèþíèæíåãîïðåäåëàäëÿëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè
íåîãðàíè÷åííîðàñòóùèõ
x
èìååì

(
x
)
�

1+
o
(1)

x:
(V.21)
Òàêêàê
x=p
!1
äëÿ
p
2
(ln
x;x=
ln
x
)
,òîåñëèìûçàñòàâèì
x
ïðî­
áåãàòüâ(
V.18
)ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,äëÿêîòîðîéñïðàâåäëèâîñîîò­
íîøåíèå(
V.20
),òîïîëó÷èì


1+
o
(1)

x
ln
x
+
X
p
0


1+
o
(1)

x
p
ln
p
2

1+
o
(1)

x
ln
x:
(V.22)
Îòñþäà,âñîîòâåòñòâèèñôîðìóëîé(
V.17
),ñëåäóåò,÷òî

+

6
2
.
Ñäðóãîéñòîðîíû,åñëèçàñòàâèòü
x
ïðîáåãàòüòàêóþïîñëåäîâà­
òåëüíîñòüçíà÷åíèé,äëÿêîòîðîé

(
x
)=


1+
o
(1)

x
èâîñïîëüçî­
âàòüñÿòåì,÷òîäëÿëþáîãî
x
(
x
)


1+
o
(1)

x;x
!1
,òîïîëó­
÷èìíåðàâåíñòâî

+


2
.Òàêèìîáðàçîì,

+

=2
:
/
Ò.î.,äëÿçàâåðøåíèÿäîêàçàòåëüñòâàäîñòàòî÷íîïîêàçàòü,÷òîâû­
ïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî

=

.Äëÿýòîãîðàçîáúåìèíòåðâàë
(ln
x;x=
ln
x
)
íà
m
m
=

1


ln
x

2lnln
x



1

ln
x
(V.23)
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë85
èíòåðâàëîââèäà
J
k
=

e
(
k

1)

ln
x
;
e
k
ln
x

;k
=1
;:::;m
(V.24)
èåùåîäèíèíòåðâàë
J
k
+1
=

e
m
ln
x
;
x
ln
x

;
êîòîðûéìîæåòáûòüïóñòûì.Çäåñü
0

6
1
=
2
,

—ïðîèçâîëüíàÿ
êîíñòàíòà,íåçàâèñÿùÿÿîò
x
,ååâåëè÷èíàáóäåòîïðåäåëåíàíèæå.Â
êàæäîìèçýòèõèíòåðâàëîâîöåíèìçíà÷åíèåâåëè÷èíû

(
x=n
)
.
Ïîëåììå
2.1
ïîëó÷èì
X
n
2
J
k
1
n
=


1+
o
(1)

(1
6
k
6
m
)
:
(V.25)
Âñåïîñëåäóþùèåðàâåíñòâàèíåðàâåíñòâàáóäóòâûïîëíÿòüñÿ
ïðè
x
áîëüøåìíåêîòîðîéâåëè÷èíû,çàâèñÿùåéîò


x
áóäåòïðî­
áåãàòüïîñëåäîâàòåëüíîñòüáåçãðàíè÷íîâîçðàñòàþùèõâåùåñòâåí­
íûõ÷èñåë,óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþ(
V.20
).Êîíñòàíòûâ
o
()
è
O
()
,àòàêæå
c
1
;c
2
:::
âäàëüíåéøåìâñåãäàíåçàâèñÿòîò

.
Ëåììà2.5.
Íåðàâåíñòâî


x
q


(

+

)
x
q
(V.26)
âûïîëíÿåòñÿäëÿâñåõïðîñòûõ
q
÷èñåëèçèíòåðâàëà
(ln
x
;
x=
ln
x
]
,
óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþ
X
q
0
ln
q
q

(1

c
1

)ln
x
(V.27)
.
Ïóñòü
l
ïðîáåãàåòìíîæåñòâîïðîñòûõ÷èñåëèç
(ln
x
;
x=
ln
x
]
,
äëÿêîòîðûõíåâûïîëíÿåòñÿ(
V.26
).Ñëåäîâàòåëüíî,


x
l


(

+

)
x
l
Ïîñêîëüêó
x=q
!1
ïðè
x
!1
,òîïîîïðåäåëåíèþ

,âñèëóóñëî­
âèÿ(
V.20
),âûïîëíÿþòñÿíåðàâåíñòâà
2

1+
o
(1)

x
ln
x

2+

2

x
ln
x;


x
q






2

x
q
;
(
x
)





2

x:
86ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
Ïîäñòàâëÿÿèõâ(
V.18
)ïîëó÷èì

2+

2

x
ln
x�




2

x
ln
x
+




2

x
X
p
0
ln
q
q
+
+(

+

)
x
X
l
0
ln
l
l
=




2

x
ln
x
+(

+

)
x
X
p
0
ln
p
p



+

2

x
X
q
0
ln
q
q
:
Èç(
V.17
)ñëåäóåò
X
p
0
ln
p
p


1


2

ln
x:
Ïîäñòàâëÿÿýòîâïðåäûäóùóþôîðìóëóèó÷èòûâàÿ,÷òî

+

=2
;
6
1
;
6
1
2
;


+

2

X
q
0
ln
q
q




(2+

)

2


3

ln
x�



4

2

ln
x
è,òàêêàê


4

2

+

2
=1

5

1+


1

5
;
òîýòèì(
V.27
)äîêàçàíîïðè
c
1
=5
.
/
Ëåììà2.6.
X
q
2
J
k
ln
q
q

2

+
c
2

2
;k
=1
;:::;m
+1
(V.28)
.
Ïîëàãàÿâôîðìóëå(
V.14
)
y
=
e
(
k

1)

ln
x;z
=
ye

ïîëó÷èì
X
q
2
J
k
ln
q
6
X
p
2
J
k
ln
p
2

ye


y

+

2
ye

:
Òàêêàê
e


1

+

2

1
2
+

1
2

2
+
:::
!
=

+

2
;
6
1
=
2
;p

y
ïðè
p
2
J
k
,òî
X
q
2
J
k
ln
q
q

2(
e


1)+

2
e


2

+
c
2

2
:
/
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë87
Ëåììà2.7.
Ïóñòü
N
1
—êîëè÷åñòâîèíòåðâàëîâ
J
k
,
k
6
m
+1
,
êîòîðûåñîäåðæàòïîêðàéíåéìåðåîäíî
q
.Òîãäà
N
1
�m

1
2

c
3




1
2


c
3

ln
x;x
!1
(V.29)
.
Åñëèïðåäïîëîæèòü,÷òî(
V.29
)íåâûïîëíÿåòñÿ,òîïîëåììå
2.6
ïîëó÷èì
X
q
0
ln
q
q
N
1

2

+
c
2

2


1
2


c
3
+
o
(1)

ln
x;
÷òîïðîòèâîðå÷èò(
V.27
)ïðèäîñòàòî÷íîáîëüøîì
c
3
.
/
Ëåììà2.8.
Äëÿëþáûõ
n
1
;n
2
2
(ln
x
;
x=
ln
x
]
,òàêèõ,÷òî
e


6
n
1
n
2
6
e

(V.30)
âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî





n
1
x


x
n
1


n
2
x


x
n
2






6
c
4
:
(V.31)
.
Ïóñòü
n
1
x


x
n
1


n
2
x


x
n
2

:
(

)
Òîãäàèñïîëüçóÿëåììó
2.3
,ïîëó÷àåì






x
n
1




x
n
2






2




x
n
1

x
n
2




+
o

x
n
2

(
V:
30
)
6
(
V:
30
)
6
x
n
1

2




1

n
1
n
2




+
e



6
x
n
1
(2(
e


1)+
e

)
6
c
5
x
n
1
:
Îòñþäàñëåäóåò,÷òî
n
1
x


x
n
1

6
n
2
x


x
n
2

+
c
5

6
n
2
x


x
n
2

e

+
c
5
;
àïðèíèìàÿâîâíèìàíèåíåðàâåíñòâà
e


1+2
;
(
x=n
2
)
cx=n
2
,
ïîëó÷èì
n
1
x


x
n
1

6
n
2
x


x
n
2

+
c
6
;
îòêóäàèñëåäóåò(
V.31
)ïðèâûïîëíåíèèíåðàâåíñòâà
(

)
.
Åñëèæåâûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî,ïðîòèâîïîëîæíîå
(

)
,òîäëÿ
äîêàçàòåëüñòâàäîñòàòî÷íîïîìåíÿòüìåñòàìè
n
1
è
n
2
.
/
88ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
Ñëåäñòâèå2.1.
Ïóñòü
J
k
,
k
6
m
+1
—èíòåðâàë,âêîòîðîìíà­
õîäèòñÿïîêðàéíåéìåðåîäíîïðîñòîå÷èñëî
q
.Òîãäà


x
n

6
(

+
c
7

)
x
n
8
n
2
J
k
(V.32)
.
Ïîñêîëüêó
e


6
n
q
6
e

äëÿ
q
2
J
k
;n
2
J
k
,òîïîëàãàÿ
c
7
=1+
c
4
èïîëüçóÿñüíåðàâåíñòâîì(
V.31
)ïîëó÷èì(
V.32
).
/
Äàëååáóäåìîáîçíà÷àòü
s
def
=
1
2





:
Òîãäà,ïîñêîëüêóïîëåììå
2.4

+

=2
,òî

=1

s;
=1+
s;
0
6
s
1
Ïðåäïîëîæèì,÷òî
s�
0
èïîêàæåì,÷òîýòîâåäåòêïðîòèâî­
ðå÷èþ.Ýòèìáóäåòçàâåðøåíîäîêàçàòåëüñòâîàñèìïòîòè÷åñêîãîçà­
êîíàðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë.Äàëååïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òîâñå
íåðàâåíñòâàâûïîëíÿþòñÿäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõçíà÷åíèé
x
,âå­
ëè÷èíàêîòîðîãîçàâèñèòîò

è
s
.
Ëåììà2.9.
Ïóñòü
N
2
—êîëè÷åñòâîèíòåðâàëîâ
J
k
;k
6
m
,äëÿ
êîòîðûõèìååòìåñòîíåðàâåíñòâî
(

+
c
7

)
x
n


x
n

6

1

1
2
s

x
n
äëÿëþáûõ
n
2
J
k
;
(V.33)
òîãäàïðèäîñòàòî÷íîìàëîì

N
2
�c
8
s
2

ln
x
(V.34)
.
Ðàññìîòðèìöåïüèç
M
ïîñëåäîâàòåëüíûõèíòåðâàëîâ
J
k
,äëÿ
êîòîðûõâûïîëíÿåòñÿ


x
n

6

1

s
2

x
n
8
n
2
J
k
:
(V.35)
Ïðîñóììèðóåìýòîíåðàâåíñòâîïîâñåì
n
èçâñåõ
M
X


x
n

6

1

s
2

x
X
1
n
(
V:
25
)
=
x

1

s
2
+
o
(1)

M:
Ñäðóãîéñòîðîíû,ïîëåììå
2.2
èìååì
X


x
n

�xM

c
9
x:
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë89
Èîáàíåðàâåíñòâàâìåñòåäàþò
M

s
2
+
o
(1)

c
9
;
èëè
Mc
10
1
s
:
Åñëèâèíòåðâàëå
J
k
íàõîäèòñÿõîòÿáûîäíî
q
,òîâûáèðàÿ,íà­
ïðèìåð

min

1
2
;
s
4
c
7

(

)
ïîñëåäñòâèþëåììû
2.8
ïîëó÷èì


x
n

6
x
n
(

+
c
7

)=
x
n
(1

s
+
c
7

)


1

s
2

x
n
8
n
2
J
k
:
(V.36)
Çàïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
Mc
10
=s=
èíòåðâàëîâ,ñëåäóþùèõ
äðóãçàäðóãîì,ãäåâûïîëíÿåòñÿ(
V.32
)(êðîìå,áûòüìîæåò,ïîñëåä­
íåéòàêîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè),ñëåäóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü,âêî­
òîðûõ
n=x
(
x=n
)
ðàñòåòîò
(1

s
+
c
7

)
,ïîêðàéíåéìåðå,äî
(1

s=
2)
,
èíà÷åãîâîðÿ,âîçðàñòàåòäëÿ

,óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþ
(

)
,ïî
ìåíüøåéìåðå,íà
s
2

c
7
�
1
4
s:
Ïîëåììå
2.8
äëÿòàêîãîóâåëè÷åíèÿòðåáóåòñÿïîìåíüøåéìåðå
s=
4
c
4

=
c
11

èíòåðâàëîâ
J
k
.Äëÿäîñòàòî÷íîìàëîãî

íåðàâåíñòâî(
V.33
)âûïîë­
íÿåòñÿñàìîåìåíüøååâ
c
11
s


2
�c
12
s

òàêèõèíòåðâàëîâ
J
k
.
Ïîëåììå
2.7
èìååòñÿïîêðàéíåéìåðå
N
1

1
M

1

N
1

1
c
10
=s

1


1
2


c
3

s
c
10

1+
o
(1)

ln
x�c
13
s
ln
x
òàêèõöåïî÷åêèíòåðâàëîâ
J
k
ñðàñòóùèì
n=x
(
x=n
)
.Âêàæäîéèç
òàêèõöåïî÷åêñîäåðæèòñÿ,êàêìèíèìóì,
c
12
s=
èíòåðâàëîâ,ãäåâû­
ïîëíÿåòñÿ(
V.33
).Ñëåäîâàòåëüíî,âñîâîêóïíîñòèèìååòñÿñàìîåìå­
íüøåå
c
13
s
ln
xc
12
s

=
c
12
c
13
s
2

ln
x
òàêèõèíòåðâàëîâ.Ýòèìëåììàäîêàçàíàïðè
c
8
=
c
12
c
13
/
90ÇÀÊÎÍÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ×ÈÑÅË
Òåîðåìà2.1(Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ).
Âûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî
s
=0
è,ñëåäîâàòåëüíî,

=lim
x
!1

(
x
)
x
=

=
lim
x
!1

(
x
)
x
=1
;
(V.37)
îòêóäàñëåäóåò(
V.10
)
.
Ïðåäïîëîæèì,÷òî
s�
0
,òîãäàèç(
V.25
)è(
V.36
)áóäåòñëåäî­
âàòü
1
X
n
0


x
n

x

1+
o
(1)


N
1
(1

s
+
c
7

)+
+
N
2

1

s
2

+

m
+1

N
1

N
2
�
1+
s
+
o
(1)


:
Òàêêàêâñåãîèìååòñÿ
N
1
èíòåðâàëîâ
J
k
,âêîòîðûõíàõîäèòñÿõî­
òÿáûîäíîïðîñòîå
q

8
n
2
J
k
ïîñëåäñòâèþëåììû
2.8


x
n



1

s
+
c
7


x
n
;
èèìååòñÿ
N
2
èíòåðâàëîâ,âêîòîðûõïîëåììå
2.9


x
n



1

s
2

x
n
;
òîäëÿ
n
,íåïðèíàäëåæàùèõê
N
1
;N
2
,îáÿçàòåëüíîâûïîëíåíîíåðà­
âåíñòâî


x
n

6
x
n


1+
o
(1)

;
=1+
s:
Ïîîïðåäåëåíèþâåðõíåãîïðåäåëà
X
n
0


x
n

x

1+
o
(1)



m
+1
�
1+
s
+
o
(1)



N
1

2
s
+
c
7

+
o
(1)


N
2

3
s
2
+
o
(1)


(Çäåñüèñïîëüçóþòñÿôîðìóëà(
V.23
)èëåììû
2.7
è
2.9
,àòàêæåñîîòíîøåíèå
c
+
o
(1)=
c

1+
o
(1)

ïðèäîñòàòî÷íîìàëîì

)
x
ln
x

1+
o
(1)


s
+1


1
2

c
3


(2
s

c
7

)

3
2
c
8
s
3

:
1
Çäåñüèíèæå,äîêîíöàïàðàãðàôà,âîïðåêèïðèíÿòûìîáîçíà÷åíèÿì,ôèãóð­
íûåñêîáêèíåîçíà÷àþòâçÿòèåäðîáíîé÷àñòèâåëè÷èíû,âíèõçàêëþ÷¸ííîé.
2.Àñèìïòîòè÷åñêèéçàêîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë91
Óìåíüøèìòåïåðü

,åñëèíóæíî,íàñòîëüêî,÷òîáûâåëè÷èíàâôè­
ãóðíûõñêîáêàõñòàëàìåíüøå
1
.Ýòîâîçìîæíî,òàêêàêìûïðåäïî­
ëàãàëè,÷òî
s�
0
.Ïîëó÷èëèïðîòèâîðå÷èåñôîðìóëîé(
V.19
).Ñëå­
äîâàòåëüíî,
s
=0
èïîýòîìóòåîðåìàäîêàçàíà.
/
Âêà÷åñòâåíåïîñðåäñòâåííîãîñëåäñòâèÿèçäîêàçàííîéòåîðåìû
ïîëó÷àåìîöåíêóäëÿ
n
­ãîïðîñòîãî÷èñëà.
Òåîðåìà2.2(Àñèìïòîòè÷åñêàÿôîðìóëàïðîñòîãî÷èñëà).
Ïðè
óñëîâèè
n
!1
âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå
p
n

n
ln
n;
(V.38)
ãäå
p
n

n
­îåïîïîðÿäêóïðîñòîå÷èñëî.
.
Ïîëàãàÿâôîðìóëå

(
x
)

x=
ln
xx
=
p
n
ïîëó÷èì
n
=

(
p
n
)

p
n
ln
p
n
èëè
n
=
p
n
ln
p
n
(1+

n
)
;
ãäå

n
=
o
(1)
ïðè
n
!1
.Ñëåäîâàòåëüíî,
n
ln
n
=
p
n
ln
p
n

1+

n


ln
p
n
ln
p
n
+ln

1+

n


=
=
p
n

1+

n


1

lnln
p
n
ln
p
n
+
ln(1+

n
)
ln
p
n


p
n
:
/
VI.ÄÇÅÒÀ­ÔÓÍÊÖÈß
§1.ÒîæäåñòâîÝéëåðà
Òåîðåìà1.1.
Ïóñòüôóíêöèÿ
f
(
n
)
âïîëíåìóëüòèïëèêàòèâíà
1
è
ðÿä
A
=
1
X
n
=1
f
(
n
)
(VI.1)
àáñîëþòíîñõîäèòñÿ.Òîãäàâûïîëíÿåòñÿ
A
=
Y
p

1

f
(
p
)


1
(VI.2)
.
Ëåãêîâèäåòü,÷òî
j
f
(
n
)
j

1
äëÿëþáîãî
n
,òàêêàêèíà÷åäëÿ
ïðîèçâîëüíîãî
m
ïîëó÷èëèáû


f
(
n
m
)


=


f
(
n
)


m

1
;
÷òîïðîòèâîðå÷èòñõîäèìîñòèðÿäà(
VI.1
).
Ïîñêîëüêóïðèêàæäîìïðîñòîì
p
ðÿä(áåñêîíå÷íîóáûâàþùàÿ
ãåîìåòðè÷åñêàÿïðîãðåññèÿ)
1
X
k
=0
f

p
k

=
1
X
k
=0
f
k
(
p
)=

1

f
(
p
)


1
àáñîëþòíîñõîäèòñÿ
2
,òîïåðåìíîæàÿ
êîíå÷íîå
÷èñëîòàêèõðÿäîâè
ó÷èòûâàÿâïîëíåìóëüòèïëèêàòèâíîñòü
f
(
n
)
,ïîëó÷èì
A
(
x
)
def
=
Y
p
6
x

1

f
(
p
)


1
=
Y
p
6
x
1
X
k
=0
f

p
k

=
1
X
l
=1
f
(
n
l
)
;
ãäåñóììàâïðàâîé÷àñòèñîäåðæèòòîëüêîòàêèåñëàãàåìûå
f
(
n
l
)
,
÷òîâñåïðîñòûåäåëèòåëè
n
l
íåïðåâîñõîäÿò
x
.Ðàññìîòðèìðàçíîñòü
A

A
(
x
)=
1
X
l
=1
f
(
m
l
)
:
1
Cì.Ïðèëîæåíèå.
2
Ñì.ïðèìåðíàñòð.
146
.
1.ÒîæäåñòâîÝéëåðà93
Îíàñîäåðæèòòîëüêîòåñëàãàåìûå
f
(
m
l
)
,äëÿêîòîðûõ÷èñëî
m
l
èìå­
åò,ïîêðàéíåéìåðå,îäèíïðîñòîéäåëèòåëü
p�x
.Ñëåäîâàòåëüíî,


A

A
(
x
)


6
1
X
l
=1
f
(
m
l
)
:
èèçàáñîëþòíîéñõîäèìîñòèðÿäà(
VI.1
)ñëåäóåò,÷òî
lim
x
!1
A
(
x
)=
A
Ñëåäîâàòåëüíî,áåñêîíå÷íîåïðîèçâåäåíèå(
VI.2
)ñõîäèòñÿèòåî­
ðåìàäîêàçàíà.
/
Ñëåäñòâèå1.1.
Ïóñòü
s
—êîìïëåêñíàÿïåðåìåííàÿ
s
=

+
it;
ãäå

=Re
s
,
t
=Im
s
—ñîîòâåòñòâåííîäåéñòâèòåëüíàÿèìíèìàÿ
÷àñòè
s
.Ôóíêöèþ
n
s
äëÿ
n�
0
îïðåäåëèìðàâåíñòâîì
n
s
=
e
s
ln
n
:
Òîãäà
n
s
=
n

n
it
=
n

e
it
ln
n
;
j
n
s
j
=
n

èðÿä
1
X
n
=1
1
n
s
ïðè
�
1
àáñîëþòíîñõîäèòñÿ,òàêêàê
j
n

s
j
=
n

s
.Ïîëîæèìâòåî­
ðåìå
1.1
f
(
n
)=
n

s
,òîãäàïîëó÷èì
Y
p

1

1
p
s


1
=
1
X
n
=1
1
n
s
def
=

(
s
)
(VI.3)
—òîæäåñòâîÝéëåðà
3
.
Ïîñêîëüêóî÷åâèäíî,÷òî

1

1
p
s


1
=1+
1
p
s
+
1
p
2
s
+
:::;
òîòîæäåñòâîÝéëåðà,ïîñóùåñòâó,ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêîéôîðìîé
çàïèñèîñíîâíîéòåîðåìûàðèôìåòèêè.
3
ÝòîòîæäåñòâîóñòàíîâëåíîðàññìàòðèâàëîñüË.Ýéëåðîìëèøüäëÿâåùåñòâåí­
íûõçíà÷åíèé
s
.
94ÄÇÅÒÀ­ÔÓÍÊÖÈß
§2.Äçåòà­ôóíêöèÿÐèìàíà
Îïðåäåëåíèå2.1.
Ôóíêöèþ

(
s
)
,îïðåäåëÿåìóþôîðìóëîé(
VI.3
),
íàçûâàþò
äçåòà­ôóíêöèåéÐèìàíà
.
Ðÿäèïðîèçâåäåíèåâ(
VI.3
)ñõîäÿòñÿòîëüêîïðè
�
1
èîïðåäå­
ëÿþòâýòîéïîëóïëîñêîñòèàíàëèòè÷åñêóþôóíêöèþ,êîòîðàÿñòàí­
äàðòíûìèìåòîäàìèòåîðèèôóíêöèéêîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãîìî­
æåòáûòüïðîäîëæåíàíàâñþïëîñêîñòü,çàèñêëþ÷åíèåìòî÷êè
s
=
1
,ãäåäçåòà­ôóíêöèÿèìååòïðîñòîéïîëþñ.
Ñîîòíîøåíèåìåæäóôóíêöèÿìè

(
x
)
è

(
s
)
ïîëó÷àåòñÿèçñëåäó­
þùåéâûêëàäêè
1
ln

(
s
)
(
VI:
3
)
=

X
p
ln

1

1
p
s

=

1
X
n
=2


(
n
)


(
n

1)

ln

1

1
n
s

=
=

1
X
n
=2

(
n
)

ln

1

1
n
s


ln

1

1
(
n
+1)
s

!
=
=
1
X
n
=2

(
n
)
Z
n
+1
n
sdx
x
(
x
s

1)
=
s
Z
1
2

(
x
)
dx
x
(
x
s

1)
:
Èçïîëó÷åííîéôîðìóëû
ln

(
s
)=
s
Z
1
2

(
x
)
dx
x
(
x
s

1)
;
(VI.4)
èñïîëüçóÿ
ôîðìóëûîáðàùåíèÿÌåëëèíà
ìåòîäàìèòåîðèèôóíêöèé
êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãîìîæíîïîëó÷èòüàñèìïòîòè÷åñêèéçà­
êîíðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë[
9
].
Âàæíåéøóþðîëüâèçó÷åíèèðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõèãðàåòèí­
ôîðìàöèÿîðàñïîëîæåíèèíóëåéäçåòà­ôóíêöèè.Ðèìàííàø¸ëòî÷­
íóþôîðìóëó,âûðàæàþùèå

(
x
)
÷åðåçíóëè

ôóíêöèè

(
s
)
.Ïî­
ñêîëüêóýòàôîðìóëàèìååòäîâîëüíîñëîæíûéâèä,ïðèâåä¸ìáîëåå
ïðîñòîå,íîòåñíîñâÿçàííîåñíåéñîîòíîøåíèåäëÿôóíêöèè


0
(
x
)=
x

X

x




0
(0)

(0)

1
2
ln

1

x

2

;
(VI.5)
ãäåâñóììåïî

÷ëåíûñ

è

áåðóòñÿâìåñòåè

0
(
x
)=


(
x
)

1
2
(
x
)
;
åñëè
x
=
p
k
;p
—ïðîñòîå
;

(
x
)
;
âïðîòèâíîìñëó÷àå
:
1
Âñåîïåðàöèèñðÿäàìèçàêîííû,òàêêàê

(
n
)
6
n;
ln(1

n

s
)=
O
(
n


)
.
2.Äçåòà­ôóíêöèÿÐèìàíà95
Íåòðóäíîïîêàçàòü,÷òîäçåòà­ôóíêöèÿèìååòòðèâèàëüíûåíóëè:

2
;

4
;

6
;:::
.Âñåäðóãèåå¸íóëèëåæàòâîáëàñòè
0
6

6
1
;
íàçûâàåìîé
êðèòè÷åñêîéïîëîñîé
äçåòà­ôóíêöèè.Â1859ã.Ðèìàí
âûñêàçàëïðåäïîëîæåíèåîòîì,÷òî
âñåíóëèèçêðèòè÷åñêîéïîëîñû
ëåæàòíàïðÿìîé

=1
=
2
.
ÃèïîòåçàÐèìàíà
2
äîñèõïîð(2008ã.)íåäîêàçàíàèíåîïðîâåðã­
íóòà.Åñëèîíàñïðàâåäëèâà,òîâûïîëíÿåòñÿ

(
x
)=
Z
x
2
dt
ln
t
+
O

p
x
ln
x

:
Êíàñòîÿùåìóâðåìåíè(2008ã.)íåóäàëîñüïîëó÷èòüáîëååñèëü­
íûåîöåíêè.
Çàäà÷èêãëàâå
VI
VI.1.

×èñëàÁåðíóëëè
B
k
îïðåäåëÿþòñÿèçðàçëîæåíèÿ
t
e
t

1
=
1
X
k
=0
B
k
k
!
t
k
;
èëèèçðåêóððåíòíîãîñîîòíîøåíèÿ
B
k
=
k
X
m
=0
C
m
k
B
m
;B
0
=1
:
2
ÄëÿãèïîòåçûÐèìàíàñåé÷àñèçâåñòíàèïîëíîñòüþýëåìåíòàðíàÿôîðìóëè­
ðîâêà:îíàýêâèâàëåíòíàñëåäóþùåìóíåðàâåíñòâó

(
n
)
6
H
n
+
e
H
n
ln
H
n
;H
n
=
n
X
k
=1
1
k
:
J.C.Lagarias.AnelementaryproblemequivalenttoRiemannHypothesis.Amer.Math.
Monthly,(109),p.534–543,2002.
96ÄÇÅÒÀ­ÔÓÍÊÖÈß
Ïîëüçóÿñüôîðìóëîé
3
x
cos
x
sin
x
=1

2
1
X
k
=1
1
X
m
=1
x
2
m
k
2
m
;
ãäåâñåðÿäûñõîäÿòñÿðàâíîìåðíîèàáñîëþòíîäëÿëþáîãîêîì­
ïëåêñíîãî
x
,âûâåñòèñîîòíîøåíèåìåæäóäçåòà­ôóíêöèåéè÷èñëà­
ìèÁåðíóëëè.Ðåøåíèå:ñòð.
110
.
VI.2.
Äîêàçàòüáåñêîíå÷íîñòüêîëè÷åñòâàïðîñòûõ÷èñåë,èñõîäÿ
èçòîãîôàêòà,÷òîçíà÷åíèå
4

(2)=

2
=
6
—÷èñëîèððàöèîíàëüíîå.
Ðåøåíèå:ñòð.
111
.
VI.3.
Äîêàçàòüòîæäåñòâî

0
(
s
)

(
s
)
=

1
X
k
=1
(
k
)
k
s
;
Re
s�
1
;
ãäå
(
k
)
—ôóíêöèÿÌàíãîëüäòà(ñì.ñòð.
78
).Ðåøåíèå:ñòð.
111
.
VI.4.
Äîêàçàòüòîæäåñòâî
1

(
s
)
=
1
X
k
=1

(
k
)
k
s
;
Re
s�
1
:
Ðåøåíèå:ñòð.
112
.
VI.5.
Äîêàçàòüòîæäåñòâî



(
n
)


=

2
(
n
)=
X
d
2
j
n

(
d
)
:
Ðåøåíèå:ñòð.
112
.
VI.6.
Ïóñòü
{
(
x
)
îáîçíà÷àåòêîëè÷åñòâîíàòóðàëüíûõ÷èñåë,ñâî­
áîäíûõîòêâàäðàòîâèíåïðåâîñõîäÿùèõ
x
.Äîêàçàòü,÷òî
{
(
x
)=
6

2
x
+
O

p
x

:
Èñïîëüçîâàòüðåøåíèÿçàäà÷
VI.5
è
VI.4
.Ðåøåíèå:ñòð.
112
.
3
Ýòàôîðìóëàÿâëÿåòñÿñëåäñòâèåìèçâåñòíîãîòîæäåñòâà
sin
x

=
x
1
Y
k
=1

1

x
2
k
2

:
Ñì.,íàïðèìåð,Ì.À.Ëàâðåíòüåâ,Á.Â.Øàáàò.Ìåòîäûòåîðèèôóíêöèéêîìïëåêñ­
íîãîïåðåìåííîãî.Ì.,1958,ñòð.409.
4
Ñì.ðåçóëüòàòçàäà÷è
VI.1
.
VII.ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
§1.Çàäà÷èãëàâûI
I.1
.
Ñì.ëèñòèíã
5.2
íàñòð.
115
.
I.2
.
Èíäóêöèÿïî
n
.Äëÿ
n
=1
òåîðåìàî÷åâèäíà.Ïóñòü





n

1
[
i
=1
A
i





=
n

1
X
i
=1
j
A
i
j�
X
1
6
ij
6
n

1



A
i
\
A
j



+
X
1
6
ijk
6
n

1



A
i
\
A
j
\
A
k





:::
+(

1)
n

2



A
1
\
A
2
\
:::
\
A
n

1



:
Èñïîëüçóÿýòóôîðìóëóâòîæäåñòâå

A
1
[
:::
[
A
n

1

\
A
n
=
n

1
[
i
=1

A
i
\
A
n

ïîëó÷èì





n

1
[
i
=1
A
i
\
A
n





=
n

1
[
i
=1



A
i
\
A
n




X
1
6
ij
6
n

1



A
i
\
A
j
\
A
n



+
+
:::
+(

1)
n

2



A
1
\
:::
\
A
n



:
(VII.1)
îòñþäà





n
[
i
=1
A
i





=






n

1
[
i
=1
A
i
!
\
A
n





=





n

1
[
i
=1
A
i





+
j
A
n
j�





n

1
[
i
=1
A
i
\
A
n





(
VII.1
)
=
(
VII.1
)
=
n
X
i
=1
j
A
i
j
+
X
1
6
ij
6
n



A
i
\
A
j



+
:::
+(

1)
n

1



A
1
\
:::
\
A
n



:
I.3
.
Ñì.ëèñòèíã
5.3
íàñòð.
117
.
I.4
.
Ñì.ëèñòèíã
5.6
íàñòð.
126
.
I.5
.
Ñì.ëèñòèíã
5.6
íàñòð.
126
.
I.6
.
Ñì.ëèñòèíã
5.7
íàñòð.
132
.
I.7
.Ïðèìåíèòüâïîëíåî÷åâèäíûåòîæäåñòâà

(
p

1)=

(
p
)

1
è

(
n

1)=

(
n
)
,ãäå
p
—ïðîñòîå,
n
—ñîñòàâíîå.
I.8
.
ÏîòåîðåìåÂèëüñîíà
(
p

1)!+1

0(mod
p
)
òîãäàèòîëüêî
òîãäà,êîãäà
p
ïðîñòîå.Ëåâóþ÷àñòüñðàâíåíèÿïðåäñòàâèìââèäå
(
p

1)!+1=(
p

2)!(
p

1)+1=
p
(
p

2)!

(
p

2)!+1
;
98ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
îòêóäàèñëåäóåòòðåáóåìîå,ââèäóâûïîëíåíèÿî÷åâèäíîãîñðàâíå­
íèÿ
p
(
p

2)!

0(mod
p
)
.
I.9
.
Ïîêàæåì,÷òî
(
n

1)!
2

n

(
n

1)!
2
n

=

1
;
åñëè
n
—ïðîñòîå
;
0
;
åñëè
n
—ñîñòàâíîå
:
Åñëè
n
—ïðîñòîå,òîïîòåîðåìåÂèëüñîíà
(
n

1)!
�
1(mod
n
)
;
èëè,âîçâûñèââêâàäðàò,
(
n

1)!
2

1(mod
n
)
;
îòêóäà
n

(
n

1)!
2

1+1
n

=
n

(
n

1)!
2

1
n
+
1
n

=(
n

1)!
2

1
;
òàêêàêïåðâîåñëàãàåìîåâñêîáêàõ—öåëîå÷èñëî.Åñëè
n
—ñî­
ñòàâíîå÷èñëî,òîâñååãîïðîñòûåäåëèòåëè
6
p
n
è,ñëåäîâàòåëüíî,
(
n

1)!
2
=n
—öåëîå÷èñëî.
Îòñþäàèìååì

(
k
)=
k
X
l
=2

(
l

1)!
2

l

(
l

1)!
2
l

!
è,î÷åâèäíî,
sgn

n


(
k
)

=

1
;
åñëè
kp
n
;
0
;
åñëè
k

p
n
;
è,êðîìåòîãî,
p
n

2
2
n
+1
(ñì.çàäà÷ó
II.5
).×òîèòðåáîâàëîñüäîêàçàòü.
I.10
.
Èçòîæäåñòâà
N
X
k
=1
g
k
=
Ng
N

N

1
X
k
=1
k
(
g
k
+1

g
k
)
;
êîòîðîåÿâëÿåòñÿñëåäñòâèåìôîðìóëû
B.1
ïðè
b
r
=
r;m
=1
,ñëåäó­
åò,åñëèïîëîæèòü
g
k
=

(
k
)
N
X
k
=1

(
k
)=
N
(
N
)

N

1
X
k
=1
k


(
k
+1)


(
k
)

;
1.Çàäà÷èãëàâûI99
ãäå,î÷åâèäíî,

(
k
+1)


(
k
)=

1
;
åñëè
k
+1=
p

ïðîñòîå
;
0
;
âïðîòèâíîìñëó÷àå
:
Òàê,÷òî
N
X
k
=1

(
k
)=
N
(
N
)

X
2
6
p
6
N
(
p

1)=
N
(
N
)+
X
p
6
N
1

X
p
6
N
p;
îòêóäà
X
p
6
N
p
=
N
(
N
)+

(
N
)

N
X
k
=1

(
k
)=
N
(
N
)

N

1
X
k
=1

(
k
)
:
Ïîëîæèââïîñëåäíåìñîîòíîøåíèè
N
=
p
n
ïîëó÷èìôîðìóëó
I.18
.
Äëÿ(
I.19
)äîêàçàòåëüñòâîàíàëîãè÷íî,åñëèíà÷èíàòüñòîæäåñòâà
N
Y
k
=1
g
k
=
g
N
N
N

1
Y
k
=1

g
k
g
k
+1

k
:
I.11
.
Ìíîæåñòâî
A
p
=
f
tp
j
t
2
Z
;p

ïðîñòîå
g
ÿâëÿåòñÿîòêðûòûì,ïîñêîëüêóåãîýëåìåíòûñîñòàâëÿþòàðèôìåòè­
÷åñêóþïðîãðåññèþñðàçíîñòüþ
p
,èçàìêíóòî,òàêêàêäîïîëíåíèåê
íåìóåñòüîáúåäèíåíèåîòêðûòûõìíîæåñòâ
A
p;i
=
f
tp
+
i
j
t
2
Z
;p

ïðîñòîå
;i
=1
;
2
;:::;p

1
g
:
Åñëèïðîñòûõ÷èñåë—êîíå÷íîåìíîæåñòâî,òîîáúåäèíåíèåêîíå÷­
íîãî÷èñëàçàìêíóòûõìíîæåñòâ
B
=
[
p
A
p
òàêæåçàìêíóòî.Ïîñêîëüêóëþáîåöåëîå÷èñëî,îòëè÷íîåîò

1
è
1
,
êðàòíîêàêîìó­ëèáîïðîñòîìó,òîýòî÷èñëîïðèíàäëåæèò
B
è,ñëå­
äîâàòåëüíî,
B
=
Z
nf�
1
;
1
g
.Çíà÷èò
f�
1
;
1
g
îòêðûòî(áóäó÷èäîïîë­
íåíèåìêçàìêíóòîìóìíîæåñòâó
B
),÷òîïðîòèâîðå÷èòîïðåäåëåíèþ
îòêðûòîãîìíîæåñòâà.
100ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
I.12
.

2+
p
5

p
+

2

p
5

p
=
=
p
X
k
=0
C
k
p
2
p

k

p
5

k
+
p
X
k
=0
C
k
p
2
p

k
(

1)
k

p
5

k
=
=
p
X
k
=0
C
k
p
2
p

k

p
5

k

1+(

1)
k

(

)
—öåëîå÷èñëî.Îòñþäà,ó÷èòûâàÿ,÷òî

1


2

p
5

p

0
;
(
p
–íå÷¸òíî
)
ñëåäóåò


2+
p
5

p

=

2+
p
5

p
+

2

p
5

p
:
Ïîýòîìó


2+
p
5

p


2
p
+1
(

)
=
(
p

1)
=
2
X
m
=0
C
2
m
p
2
p

2
m
+1
5
m

2
p
+1
=
=
(
p

1)
=
2
X
m
=1
C
2
m
p
2
p

2
m
+1
5
m
:
Êàæäîåèçñëàãàåìûõâïîñëåäíåéñóììåèìååòöåëûéìíîæèòåëü
C
2
m
p
,êðàòíûé
p
(ñì.ôîðìóëó(
B.19
)).
I.13
.
Òàêêàê
C
p
n
=
n
(
n

1)
:::
(
n

p
+1)
p
!
;
ñðåäè
p
ïîñëåäîâàòåëüíûõöåëûõ÷èñåë
n;n

1
;:::;
(
n

p
+1)
îäíî
èòîëüêîîäíî÷èñëîêðàòíî
p
.Îáîçíà÷èìåãî
N
=
pa
,òîãäàðàçíîñòü
âóñëîâèèçàäà÷èïðèìåòâèä
an
(
n

1)
:::
(
N
+1)(
N

1)
:::
(
n

p
+1)
(
p

1)!

a
=
=
a
n
(
n

1)
:::
(
N
+1)(
N

1)
:::
(
n

p
+1)

(
p

1)!
(
p

1)!
:
×èñëà
n;n

1
;:::;N
+1
;N

1
;:::;n

p
+1
,åñëèîòâëå÷üñÿîòïîðÿäêà
èõñëåäîâàíèÿ,äàþòîñòàòêèïðèäåëåíèèíà
p
,ðàâíûå
1
;
2
;:::;p

1
.
1.Çàäà÷èãëàâûI101
Ñëåäîâàòåëüíî,÷èñëèòåëüïîñëåäíåéäðîáèêðàòåí
p
,÷òîèòðåáîâà­
ëîñüäîêàçàòü.
I.14
.
a)
òàêêàê
p
—ïðîñòîå,òîîíîíåìîæåòñîêðàòèòüñÿíèíàîäíî
èç÷èñåë,ñòîÿùèõâçíàìåíàòåëå,àáèíîìèàëüíûåêîýôôèöèåí­
òû—öåëûå÷èñëà(ñì.ôîðìóëó(
B.19
));
á)
îáîáùåíèåî÷åâèäíî—èíäóêöèÿ;
â)
ïîëîæèòü
x
i
=1
;i
=1
;
2
;:::;n
.
I.15
.
a)
îòïðîòèâíîãî,ïóñòü
k
i
a
=
Nq
i
+
r
è
k
j
a
=
Nq
j
+
r
,òîãäàâû÷èòàÿ
ïî÷ëåííîèçïåðâîãîðàâåíñòâàâòîðîå,ïîëó÷èì
a
(
k
i

k
j
)=
N
(
q
i

q
j
)
;
îòêóäàñëåäóåò,÷òî
a
.
.
.
N
,÷òîïðîòèâîðå÷èòóñëîâèþòåîðåìû;
á)
ïåðåìíîæèòüðàâåíñòâà
(

)
.
I.16
.
Ñì.ëèñòèíã
5.6
íàñòð.
126
.
I.17
.
1)Îòïðîòèâíîãî,åñëè
n
—ñîñòàâíîå,
n
=
ab;
1
a;bn
,
òî
2
n

1=

2
a

1

1+2
a
+
:::
+2
a
(
b

1)

—ðàçëîæåíèåíàäâàìíîæèòåëÿ,ïðè÷¸ìíåòðèâèàëüíîå:
1

2
a

1

2
n

1
:
2)Íàïðèìåð,
11
—ïðîñòîå÷èñëî,íî
2
11

1=2047=23

89
:
I.18
.
Ïóñòü
N
=11
:::
1
|
{z
}
n
ðàç
:
Òîãäà
N
=1+10+10
2
+
:::
+10
n

1
=
10
n

1
10

1
;
9
N
=10
n

1
:
Åñëèïðåäïîëîæèòü,÷òî
n
—ñîñòàâíîå,òî(ïîàíàëîãèèñðåøåíèåì
çàäà÷è
I.17
)
n
=
ab;
1
a;bn
è
10
n

1=

10
a

1

1+10
a
+
:::
+10
a
(
b

1)

;
N
=
m

1+10
a
+
:::
+10
a
(
b

1)

;m
=

10
a

1

9
:
102ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
Òàêèìîáðàçîìïîëó÷åíîíåòðèâèàëüíîåðàçëîæåíèå÷èñëà
N
íàäâà
ìíîæèòåëÿ.
I.19
.
2=1
2
+0
2
+1
.Ïóñòü
p
—ïðîñòîåíå÷¸òíîå÷èñëî,äîêàæåì,
÷òîíàéäóòñÿ
x;y
,îáàìåíüøèå,÷åì
p=
2
,óäîâëåòâîðÿþùèåóñëîâèþ
çàäà÷è.Ðàññìîòðèì
(
p
+1)
=
2
÷èñåë
0
;
1
;
2
;:::;
(
p

1)
=
2
:
Êâàäðàòûäâóõëþáûõýòèõ÷èñåëäàþòïðèäåëåíèèíà
p
ðàçíûå
îñòàòêè,òàêêàêèíà÷å,åñëè
x
2
1
=
k
1
p
+
r;x
2
2
=
k
2
p
+
r;
òî
x
2
1

x
2
2
=(
x
1

x
2
)(
x
1
+
x
2
)=(
k
1

k
2
)
p;
òîåñòü
(
x
1

x
2
)(
x
1
+
x
2
)
.
.
.
p
,÷òîíåâîçìîæíî,ïîñêîëüêó
x
1
;x
2
p=
2
è
p
—ïðîñòîå÷èñëî.
Òàêèìîáðàçîì,
(
p
+1)
=
2
÷èñåë
0
2
;
1
2
;:::;

p

1
2

2
(
a
)
ïðèäåëåíèèíà
p
äàþò
(
p
+1)
=
2
ðàçëè÷íûõîñòàòêîâ.Îòñþäàñëåäóåò,
÷òîèñëåäóþùèå
(
p
+1)
=
2
÷èñåë

1
;

1
2

1
;

2
2

1
;:::;


p

1
2

2
(
b
)
ïðèäåëåíèèíà
p
äàþòðàçëè÷íûåîñòàòêè.Íîòàêêàêïðèäåëåíèè
íà
p
ìîãóòáûòüâñåãî
p
îñòàòêîâ,òîñðåäè
p
+1
÷èñåë
0
2
;
1
2
;
2
2
::::;

p

1
2

2
;

1
;

1
2

1
;

2
2

1
;:::;


p

1
2

2

1
ïîêðàéíåéìåðåäâàèìåþòîäèíàêîâûåîñòàòêè,ïðè÷¸ìîäíîèç
ýòèõ÷èñåëâèäà
(
a
)
,àäðóãîå—
(
b
)
:
x
2
=
kp
+
r;

y
2

1=
lp
+
r:
Îòñþäà
x
2
+
y
2
=(
k

l
)
p

1=
mp

1
:
I.20
.
ÏîòåîðåìåÂèëüñîíà,òàêêàê
p
=4
n
+1
,èìååì
(
p

1)!+1=(4
n
)!+1

0(mod
p
)
2.Çàäà÷èãëàâûII103
èëè
(
p

1)!+1=(2
n
)!

(
p

2
n
)(
p

2
n
+1)
:::
(
p

1)

+1=
=(2
n
)!

Ap
+(

1)
2
n
2
n
(2
n

1)
:::
1

+1=
=
Bp
+

(2
n
)!

2
+1

0(mod
p
)
:
Îòñþäàñëåäóåò,÷òî

(2
n
)!

2
+1

0(mod
p
)
;
òîåñòüíàéäåíî÷èñëî
x
=(2
n
)!=

(
p

1)
=
2

!
I.21
.
à)Èíäóêöèÿïî
m
.Ïðè
m
=1
ôîðìóëàî÷åâèäíà,ñîâïàäàåòñ
îïðåäåëåíèåì.Ïóñòüîíàèñòèííàïðè
m
=
k
è
m
=
k
+1
,òîåñòü
u
n
+
k
=
u
n

1
u
k
+
u
n
u
k
+1
;
u
n
+
k
+1
=
u
n

1
u
k
+1
+
u
n
u
k
+2
:
Âû÷èòàÿïî÷ëåííîýòèðàâåíñòâàïîëó÷èì
u
n
+
k
+2
=
u
n

1
u
k
+2
+
u
n
u
k
+3
;
á)ïóñòü
n
.
.
.
m
,òîãäà
n
=
mk
.Èíäóêöèÿïî
k
.Äëÿ
k
=1
n
=
m
,áàçà
èíäóêöèèî÷åâèäíà.Ïóñòü
u
mk
.
.
.
u
m
,ðàññìîòðèì
u
m
(
k
+1)
.Ïîà)èìååì
u
m
(
k
+1)
=
u
mk

1
u
m
+
u
mk
u
m
+1
;
ãäåïåðâîåñëàãàåìîåâïðàâîé÷àñòè,î÷åâèäíî,äåëèòñÿíà
u
m
,àâòî­
ðîåñëàãàåìîåêðàòíî
u
mk
è,ñëåäîâàòåëüíî,ïîèíäóêòèâíîìóïðåä­
ïîëîæåíèþ,òàêæåäåëèòñÿíà
u
m
;
â)ïóñòü
n
=
n
1
n
2
,ãäå
1
n
1
n;
1
n
2
n
,ïðè÷¸ìëèáî
n
1
,
ëèáî
n
2
áîëüøå2.Ïóñòü
n
1

2
,òîãäàâñîîòâåòâåòñòâèèñá),èìååì
u
n
.
.
.
u
n
1
è,ïîñêîëüêó
1
u
n
1
u
n
,îòñþäàñëåäóåò,÷òî
u
n
—ñîñòàâíîå
÷èñëî.
§2.Çàäà÷èãëàâûII
II.1
.
Ñì.ëèñòèíã
5.6
íàñòð.
126
.
II.2
.
Ñì.ëèñòèíã
5.6
íàñòð.
126
.
104ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
II.3
.
Ïóñòü
p
1
;p
2
;:::;p
k
—âñåïðîñòûå÷èñëàèç
[2
;N
]
,òîãäàââèäó
îñíîâíîéòåîðåìûàðèôìåòèêèäëÿëþáîãî
n
èçýòîãîîòðåçêàñóùå­
ñòâóåòåäèíñòâåííîåïðåäñòàâëåíèåââèäå
n
=
p

1
1
;p

2
2
;:::;p

k
k
;
îòêóäàñëåäóåò

i
6
log
2
n
6
log
2
N
.Àïîñêîëüêóêàæäîå
n
îäíîçíà÷­
íîïðåäñòàâëÿåòñÿíàáîðîì
(

1
;
2
;:::;
k
)
è÷èñëîòàêèõíàáîðîâíå
áîëüøå
(log
2
N
)
k
,òîâûïîëíÿåòñÿ
(log
2
N
)
k
�N;
èëè
k

log
2
N
log
2
log
2
N
;
÷òîèäîêàçûâàåòòåîðåìó.
II.4
.
Ðàññìîòðèì÷èñëî
n
Y
i
=1
p
i

1=
p
k
q;
ãäå
q

1
è
k�n
,òàêêàêêàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëàâëåâîé÷à­
ñòèñîäåðæèòëèøüïðîñòûå,áîëüøèåïåðâûõ
n
ïðîñòûõ÷èñåë.Îò­
ñþäà
p
k
6
n
Y
i
=1
p
i

1

n
Y
i
=1
p
i
:
Â÷àñòíîñòè,
p
n
+1

n
Y
i
=1
p
i
:
II.5
.
1)
p
1
=2=2
2
0
;p
2
=3

2
2
;2)Ïóñòü
p
k

2
2
k

1
,òîãäà,
èñïîëüçóÿ
II.4
,èìååì
p
k
+1

k
Y
i
=1
p
i

k
Y
i
=1
2
2
i

1
=2
P
k
i
=1
2
i

1
=2
2
k

1

2
2
k
:
II.6
.
Ïóñòü
N
—ïðîèçâîëüíîåöåëîå,áîëüøåå
3
èíàòóðàëüíîå
m
òàêîâî,÷òî
N�p
1
p
2
:::p
m
;
òîãäàíàéä¸òñÿ
k;k

m

4
,òàêîå,÷òî
p
1
p
2
:::p
k
6
Np
1
p
2
:::p
k
p
k
+1
:
(

)
2.Çàäà÷èãëàâûII105
Åñëèïðåäïîëîæèòü,÷òî
q
N

p
k
+1
+1
�p
k
+1
,òîïîîïðåäåëåíèþ
q
N
êàæäîåèç÷èñåë
p
1
p
2
:::p
k
+1
áûëîáûäåëèòåëåì
N
.Ñëåäîâàòåëüíî,
q
N
p
k
+1
+1
p
k
+1
II:
4
p
1
:::p
k
:
Îòñþäà,ñó÷¸òîì
(

)
èìååì
q
N
N

p
1
:::p
k
p
1
:::p
k
p
k
+1
=
1
p
k
+1

1
k
+1

1
m
:
Òàêèìîáðàçîì,äëÿëþáîãî
m�
3
âûïîëíÿåòñÿ
q
N
N

1
m
;
îòêóäàèñëåäóåòäîêàçûâàåìîåñîîòíîøåíèå.
II.7
.
Ïóñòü
x
—ïîëîæèòåëüíîåâåùåñòâåííîå÷èñëî.Âñåíàòó­
ðàëüíûå÷èñëà
1
;
2
;
3
;:::;n
=[
x
](

)
èìåþò,ñàìîåáîëüøåå,îäèíïðîñòîéäåëèòåëüèçïîëóèíòåðâàëà
(
p
x;x
]
.Äëÿëþáîãîïðîñòîãî
p
èçýòîãîèíòåðâàëàñðåäè÷èñåë
(

)
âòî÷íîñòè
[
x=p
]
äåëÿòñÿíà
p
.Ñëåäîâàòåëüíî,âñåãî÷èñåë
(

)
,äåëÿ­
ùèõñÿíàêàêîå­ëèáîïðîñòîåèç
(
p
x;x
]
,èìååòñÿ
X
p
xp
6
x

x
p

:
Ñäðóãîéñòîðîíû,âýòîêîëè÷åñòâî,êîíå÷íî,íåâõîäÿò÷èñëàèç
(

)
,
íåïðåâîñõîäÿùèå
p
x
.Îòñþäàèìååìíåðàâåíñòâî
x

p
x

X
p
xp
6
x

x
p

;
îòêóäà
x

p
x

X
p
xp
6
x

x
p

1

=
X
p
xp
6
x
x
p



(
x
)



p
x

;
X
p
xp
6
x
x
p
6
x

p
x
+

(
x
)



p
x

:
Ðàçíîñòü

(
x
)


(
p
x
)
îöåíèì,ïîëüçóÿñüíåðàâåíñòâàìè×åáûø¸âà
(
II.13
):

(
x
)



p
x

6
x
ln4
ln
x

1

1
p
x

;
106ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
ñëåäîâàòåëüíî,ïðè
x�
4
ïîëó÷èì
X
p
xp
6
x
1
p
6

1

1
p
x

1+
ln4
ln
x


2

1

1
p
x

:
Äëÿçíà÷åíèé
x
6
4
—íåïîñðåäñòâåííàÿïðîâåðêà.
II.8
.
1)Ïóñòüà)ñïðàâåäëèâî.Óòâåðæäåíèåá),î÷åâèäíî,âûïîë­
íÿåòñÿäëÿ
n
=2
;
3
.Ïóñòü
n
—íàòóðàëüíîå÷èñëî,áîëüøåå
3
.Åñëè
n
—÷¸òíî,
n
=2
k
,òî,òàêêàê
n�
3
,òî
k�
1
è,ñîãëàñíîà)íàéä¸òñÿ
ïðîñòîå
p
,òàêîå,÷òî
kp
2
k
,îòêóäà
pn
2
p
è,çíà÷èò,
p
ÿâëÿåòñÿäåëèòåëåìòîëüêîîäíîãîñîìíîæèòåëÿ
p
ïðîèçâåäåíèÿ
n
!
.
Åñëèæå
n
=2
k
+1
,ãäå
k
—íàòóðàëüíîå÷èñëî,áîëüøåå1(òàêêàê
n�
3
),òîñîãëàñíîà)íàéä¸òñÿïðîñòîå,òàêîå,÷òî
kp
2
kn
.
îòêóäà
k
+1
6
p
.Ñëåäîâàòåëüíî,
2
k
+1

2
p
,
pn
2
p
è,òàê
æå,êàêèâûøåçàêëþ÷àåì,÷òî
p
âõîäèòâðàçëîæåíèå
n
!
íàïðîñòûå
ñîìíîæèòåëèñïîêàçàòåëåì
1
.
2)Ïóñòüá)èñòèííàèïóñòü
n
—íàòóðàëüíîå÷èñëî,áîëüøåå
1
.
Ñîãëàñíîá)ñóùåñòâóåòïðîñòîå
p
,âõîäÿùååâðàçëîæåíèå
(2
n
)!
íà
ïðîñòûåñîìíîæèòåëèñïîêàçàòåëåì
1
.Ñëåäîâàòåëüíî,
p
2
n
2
p
,
òàêêàê,èíà÷å,åñëè
2
p
6
2
n
,òîâïðîèçâåäåíèå
(2
n
)!
âõîäèëèáû
ñîìíîæèòåëè
p
è
2
p
è,ñëåäîâàòåëüíî,÷èñëî
p
âõîäèëîáûâïðî­
èçâåäåíèåñïîêàçàòåëåì,áîëüøèì
1
,âîïðåêèá).Òàêèìîáðàçîì,
np
2
n
.
II.9
.
Èíäóêöèÿ.1)
p
2
=3

2
2
.2)åñëè
p
k

2
k
òîïîòåîðåìå
×åáûø¸âàíàéä¸òñÿ,ïîêðàéíåéìåðå,îäíîïðîñòîå,ñîäåðæàùååñÿ
ìåæäó
2
k
è
2
k
+1
,êîòîðîåî÷åâèäíîáîëüøå,÷åì
p
k
.Ñëåäîâàòåëüíî,
p
k
+1

2
k
+1
.
II.10
.
ÂñîîòâåòñòâèèñïîñòóëàòîìÁåðòðàíàíàéä¸òñÿòàêàÿïî­
ñëåäîâàòåëüíîñòüïðîñòûõ
q
n
,÷òî
2
q
n
q
n
+1

2
q
n
+1

1
:
(

)
Îáîçíà÷èì
E
n
2
(
x
)
def
=2



2
x

n
;
L
n
2
(
x
)
def
=log
2
log
2
:::
log
2
x
|
{z
}
n
:
Óòâåðæäåíèåáóäåòäîêàçàíî,åñëèóêàçàòüòàêîå÷èñëî

,÷òî

E
n
2
(

)

=
q
n
2.Çàäà÷èãëàâûII107
äëÿâñåõ
n
.Òîãäà
q
n
E
n
2
(

)
q
n
+1
èëè
L
n
2
(
q
n
)
L
n
2
(
q
n
+1)
:
(

)
Ïîëüçóÿñü
(

)
,èìååì
L
1
2
(
q
1
)
L
2
2
(
q
2
)
:::L
n
2
(
q
n
)
L
n
+1
2
(
q
n
+1)
L
n
+1
2
(
q
n
+1
+1)

L
n
2
(
q
n
+1)
:::L
2
2
(
q
2
+1)
L
1
2
(
q
1
+1)
;
ò.å.ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
L
1
2
(
q
1
)
;L
2
2
(
q
2
)
;:::;L
n
2
(
q
n
)
âîçðàñòàåòèîãðàíè÷åíàñâåðõó,ñëåäîâàòåëüíîèìååòïðåäåë.Àèç
íåðàâåíñòâ
(

)
íåïîñðåäñòâåííîñëåäóåò,÷òîýòîòïðåäåëåñòü

.
II.11
.
Ïóñòüáåñêîíå÷íàÿâîçðàñòàþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü
q
n
íàòóðàëüíûõ÷èñåë,çàèñêëþ÷åíèåìïåðâîãî÷ëåíàíå÷¸òíûõ,îáëà­
äàåòñâîéñòâàìè:
a)
q
1
=2
;q
2
=3
;q
3
=5
;q
4
=7
;q
5
=11
;q
6
=13
;q
7
=17
;
á)
q
n
+1

2
q
n
;n
=1
;
2
;:::
.
Â÷àñòíîñòè,ïðèíèìàÿâîâíèìàíèåíåðàâåíñòâî(
II.34
),âûòåêàþ­
ùååèçòåîðåìû×åáûø¸âà,çàêëþ÷àåì,÷òîïîñëåäîâàòåëüíîñòüïðî­
ñòûõ÷èñåëîáëàäàåòýòèìèñâîéñòâàìè.Òàêèìîáðàçîì,äëÿòîãî,
÷òîáûäîêàçàòüòåîðåìóØåðêà,äîñòàòî÷íîïîêàçàòü,÷òîïðèñîîò­
âåòñòâóþùåìâûáîðåçíàêîâôîðìóëû
q
2
n
=1

q
1

q
2

:::

q
2
n

2
+
q
2
n

1
;
(VII.2)
q
2
n
+1
=1

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+2
q
2
n
;
(VII.3)
èìåþòìåñòîäëÿëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòèñîñâîéñòâàìèà)èá).
Äîêàæåì,÷òî
ïðè
n

3
êàæäîåíå÷¸òíîåíàòóðàëüíîå÷èñëî,íå
ïðåâîñõîäÿùåå
q
2
n
+1
,ïðèñîîòâåòñòâóþùåìâûáîðåçíàêîâ,ïðåäñòà­
âèìîââèäå

q
1

q
2

:::q
2
n

1
+
q
2
n
Ïðîâåðèìñïðàâåäëèâîñòüýòîãîóòâåðæäåíèÿïðè
n
=3
1=
q
1
+
q
2
+
q
3

q
4

q
5

q
6
;11=
q
1

q
2

q
3

q
4
+
q
5
+
q
6
;
3=
q
1

q
2

q
3
+
q
4

q
5
+
q
6
;13=
q
1

q
2
+
q
3
+
q
4

q
5
+
q
6
;
5=
q
1
+
q
2
+
q
3

q
4

q
5
+
q
6
;15=

q
1
+
q
2
+
q
3
+
q
4

q
5
+
q
6
;
7=

q
1

q
2

q
3

q
4
+
q
5
+
q
6
;17=
q
1
+
q
2

q
3

q
4
+
q
5
+
q
6
;
9=
q
1
+
q
2

q
3
+
q
4

q
5
+
q
6
:
Äëÿ
n
=2
óòâåðæäåíèåíåâûïîëíÿåòñÿ,òàêêàêðàâåíñòâî
5=

2

3

5+7
íåâîçìîæíîíèïðèêàêîéêîìáèíàöèèçíàêîâ.
108ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
Ïóñòüëåììàñïðàâåäëèâàäëÿíàòóðàëüíîãî÷èñëà
n�
3
èïóñòü
2
k

1
—íå÷¸òíîå÷èñëî,íåïðåâîñõîäÿùåå
q
2
n
+3
.Âñîîòâåòñòâèèñ
á)èìååì
q
2
n
+3

2
q
2
n
+2
è,ïîýòîìó

q
2
n
+2

2
k

1

q
2
n
+2
q
2
n
+2
.
Ñëåäîâàòåëüíî,ìîæíîâûáðàòüçíàêòàê,÷òîáûáûëî
0
6

(2
k

1

q
2
n
+2
)
q
2
n
+2
Ñëåäîâàòåëüíî,ñîãëàñíîá)èìååì
q
2
n
+2

2
q
2
n
+1
è,ïîýòîìó

q
2
n
+1
6

(2
k

1

q
2
n
+2
)

q
2
n
+1
q
2
n
+1
èìîæíîâûáðàòüçíàêèòàê,÷òîáû
0
6



(2
k

1

q
2
n
+2
)

q
2
n
+1

6
q
2
n
+1
:
Òàêêàêîáà÷èñëà
q
2
n
+1
è
q
2
n
+2
íå÷¸òíû,òî÷èñëîâñåðåäèíåïîñëåä­
íåãîíåðàâåíñòâàòàêæåíå÷¸òíîèíåïðåâîñõîäèò
q
2
n
+1
.Ñëåäîâà­
òåëüíî,ïîèíäóêòèâíîìóïðåäïîëîæåíèþ,óòâåðæäåíèåñïðàâåäëè­
âîäëÿ
n
è,ïðèñîîòâåòñòâóþùåìâûáîðåçíàêîââûïîëíÿåòñÿ



(2
k

1

q
2
n
+2
)

q
2
n
+1

=

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+
q
n
Îòêóäà
2
k

1=

q
1

q
2

:::

q
2
n
+1
+
q
2
n
+2
;
÷òîäîêàçûâàåòóòâåðæäåíèåäëÿ
n
+1
è,îäíîâðåìåííîïî­èíäóêöèè
äëÿâñåõíàòóðàëüíûõ
n

3
.
Âêà÷åñòâåñëåäñòâèÿïîëó÷àåì
q
2
n
+1
=

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+
q
2
n
(

)
Äåéñòâèòåëüíî,òàêêàê
q
2
k
+1
—íå÷¸òíîåíàòóðàëüíîå÷èñëî,òîäëÿ
n

3
ôîðìóëà
(

)
íåïîñðåäñòâåííîñëåäóåòèçäîêàçàííîãîóòâåð­
æäåíèÿ.Äëÿ
n
=1
;
2
ïðÿìîéïîäñ÷¸òäà¸ò
q
3
=
q
1
+
q
2
,
q
5
=
q
1

q
2
+
q
3
+
q
4
.Äëÿ
n

3
÷èñëî
q
2
n
+1

q
2
n

1
ñîãëàñíîá)åñòü
íå÷¸òíîå÷èñëî,íåïðåâîñõîäÿùåå
q
2
n
+1
.Ïîýòîìóïðèñîîòâåòñòâó­
þùåìâûáîðåçíàêîâèìååì
q
2
n
+1

q
2
n

1=

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+
q
2
n
;
îòêóäàïðè
q
i
=
p
i
ñëåäóåòâòîðàÿôîðìóëàòåîðåìûØåðêà.
Àíàëîãè÷íîäîêàçûâàåòñÿ,÷òîïðèñîîòâåòñòâóþùåìâûáîðåçíà­
êîâ
q
2
n
+2

q
2
n
+1

1=

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+
q
2
n
;
èëè
q
2
n
+2
=1

q
1

q
2

:::

q
2
n

1
+
q
2
n
+
q
2
n
+1
;
îòêóäàâûòåêàåòïåðâàÿôîðìóëàòåîðåìûØåðêà.
3.Çàäà÷èãëàâûIII109
§3.Çàäà÷èãëàâûIII
III.1
.
Ñì.ëèñòèíã
5.4
íàñòð.
120
.
III.2
.
Ïóñòü
2
n
+1=3
s
+2
—ïðîñòîå,òîãäà
2
n

1=3
s
—ñîñòàâíîå
÷èñëî(ñëó÷àè
3
s
,
3
s
+1
,î÷åâèäíî,íåâîçìîæíû).
III.3
.
Âïðîãðåññèè
15
k
+7
;k
=1
;
2
;
3
;:::
ïîòåîðåìåÄèðèõëåñîäåðæèòñÿáåñêîíå÷íîìíîãîïðîñòûõ÷èñåëè
íèîäíîíèõíåïðèíàäëåæèòíèêêàêîéïàðåáëèçíåöîâ:
(15
k
+7)+2=3(5
k
+3);
(15
k
+7)

2=5(3
k
+1)
:
III.4
.
ÏîòåîðåìåÂèëüñîíà
4

(
p

1)!+1

+
p

0(mod
p
)
òîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
p
—ïðîñòîå.Ñëåäîâàòåëüíî,îñòà¸òñÿäî­
êàçàòü,÷òî
4

(
p

1)!+1

+
p

0(mod
p
+2)
òîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
p
+2=
q
—ïðîñòîå.Ñðàâíåíèå
4

(
q

3)!+1

+
q

2

0(mod
q
)
ðàâíîñèëüíî
4

(
q

3)!+1


2

0(mod
q
)
;
óìíîæàÿîáå÷àñòèêîòîðîãîíà
(
q

2)
,ïîëó÷èì
4

(
q

2)!+
q

2

+2
q
+4

0(mod
q
)
èëè
4

(
q

2)!

1

+2
q

0(mod
q
)
:
Ïîñëåäíååñðàâíåíèåäîêàçûâàåòòåîðåìó,åñëèó÷åñòüòåîðåìóËåé­
áíèöà(ñì.çàäà÷ó
I.8
).
III.5
.
Ñîîòíîøåíèå(
II.42
)
X
p
6
n
ln
p
p
=ln
n
+
O
(1)
;n�
2
110ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
ïðèäîñòàòî÷íîáîëüøèõ
m
äà¸ò
X
mp
6
m
2
ln
p
p
=ln
m
+
O
(1)

ln
m
2
;
X
mp
6
m
2
4
p

1
:
Åñëèáûäëÿâñåõïàð
p
n
,
p
n
+1
,òàêèõ,÷òî
mp
n
p
n
+1
6
m
2
âûïîëíÿëîñüáûðàâåíñòâî
p
n
+1
�p
n
(1+
"
)
,òîáûëîáû
1
X
r
=0
4
m
(1+
"
)
r

1
;
÷òîíåâîçìîæíîäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõ
m
.
III.6
.
Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå,òîåñòü,÷òîñóùåñòâóåò
A�
1
,
òàêîå,÷òîïðè
i�i
0
âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî
d
i
�A
ln
p
i
.Òîãäà
X
p
i
6
x
d
i
=
X
p
i
6
p
i
0
d
i
+
X
p
i
0
p
i
6
x
d
i
def
=
X
0
+
X
00
;
(

)
íî
P
0
=
O
(1)
èèç

(
x
)=
x
+
o
(
x
)
âûòåêàåò
X
00
�A
X
p
i
0
p
i
6
x
ln
p
i
=
A
(
x
)+
O
(1)=
Ax
+
o
(
x
)
:
Ïîäñòàâëÿÿïîñëåäíååðàâåíñòâîâ
(

)
ïîëó÷èì
X
p
i
6
x
d
i
�Ax
+
o
(
x
)
:
(

)
Ñäðóãîéñòîðîíû,åñëè
p
1
p
2
:::p
r
6
x
—âñåïðîñòûå÷èñëà,íåïðå­
âîñõîäÿùèå
x
,òî
X
p
i
6
x
d
i
=
p
r
6
x;
÷òîïðîòèâîðå÷èò
(

)
.
§4.Çàäà÷èãëàâûVI
VI.1
.
x
cos
x
sin
x
=
xi
e
xi
+
e

xi
e
xi

e

xi
=
xi
+
2
xi
e
xi

e

xi
4.Çàäà÷èãëàâûVI111
èëè,îáîçíà÷àÿ
t
=2
xi
x
cos
x
sin
x
=
t
2
+
t
e
t

1
=
t
2
+
1
X

=0
B

t


!
;
ãäåâïîñëåäíåéñóììåñóììèðîâàíèåôàêòè÷åñêèâåä¸òñÿòîëüêîïî
÷¸òíûìñòåïåíÿì
t
,òàêêàêåäèíñòâåííàÿíå÷¸òíàÿñòåïåíü
t
1
óíè­
÷òîæèòñÿ(
B
1
=

1
=
2
),òî
x
cos
x
sin
x
=1+
1
X
m
=1
B
2
m
t
2
m
(2
m
)!
èëè,ïîäðîáíåå
x
cos
x
sin
x
=1+
1
X
m
=1
B
2
m
(

1)
m
2
2
m

2
m
(2
m
)!
x
2
m
:
Ñðàâíèâàÿêîýôôèöèåíòûïðè
x
2
m
âïîñëåäíåéôîðìóëåèâ
x
cos
x
sin
x
=1

2
1
X
k
=1
1
X
m
=1
x
2
m
k
2
m
;
ïîëó÷èì

2
1
X
k
=1
1
k
2
m
=
B
2
m
(

1)
m
2
2
m

2
m
(2
m
)!
;
îòêóäà

(2
m
)=
(

1)
m

1
2
2
m

1

2
m
(2
m
)!
B
2
m
:
VI.2
.
Ïðåäïîëîæèâ,÷òîèìååòñÿòîëüêîêîíå÷íîå÷èñëîïðîñòûõ
p
1
;p
2
;:::;p
r
ïîëó÷èì,ïîëüçóÿñüòîæäåñòâîìÝéëåðà(ôîðìóëà(
VI.3
)),ðàâåí­
ñòâî
r
Y
k
=1
1
1

p

2
k
=

2
6
;
êîòîðîåíåâîçìîæíî,òàêêàêâëåâîéåãî÷àñòèñòîèòðàöèîíàëüíîå
÷èñëî,àâïðàâîé—èððàöèîíàëüíîå.
VI.3
.
Ïîñêîëüêóáåñêîíå÷íîåïðîèçâåäåíèåäëÿ

(
s
)
àáñîëþòíî
ñõîäèòñÿ,òî
ln

(
s
)=
X
p

1
p
s
+
1
2
p
2
s
+
1
3
p
3
s
:::

112ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
è,ïîñëåäèôôåðåíöèðîâàíèÿ,èìååì

0
(
s
)

(
s
)
=
X
p


ln
p
p
s

ln
p
p
2
s

ln
p
p
3
s

:::

=

1
X
k
=1
(
k
)
k
s
:
VI.4
.
Èñïîëüçóÿ(
A.11
),ïîëó÷èìäëÿ
N�
2
Y
p
6
N

1

1
p
s

=
X
0
k
6
N

(
k
)
k
s
+
X
k�N

(
k
)
k
s
:
Ïåðåéäÿêïðåäåëóïðè
N
!1
,ïîëó÷èìòðåáóåìîå.
VI.5
.
Åñëè
n
=1
,òîðàâåíñòâîî÷åâèäíî.Ïóñòüäàëåå
n�
1
.Åñëè
n
=
m
2
l
.ãäå
l
ñâîáîäíîîòêâàäðàòîâ,òîóñëîâèå
d
2
j
n
ðàâíîñèëüíî
d
j
m
è,âýòîìñëó÷àå,ïðàâàÿ÷àñòüðàâåíñòâàðàâíà
0
,òàêêàê
X
d
j
m

(
d
)=0
;
åñëè
m�
1
:
Åñëè,íàêîíåö,
n
ñâîáîäíîîòêâàäðàòîâ,òîóñëîâèå
d
2
j
n
âûïîëíÿåò­
ñÿâåäèíñòâåííîìñëó÷àå:
d
=1
èòîãäàïðàâàÿ÷àñòüðàâíà
1
.
VI.6
.
{
(
x
)=
X
n
6
x



(
n
)


=
X
n
6
x
X
d
2
j
n

(
d
)=
X
d
6
p
x

(
d
)
X
d
2
j
n
1=
=
X
d
6
p
x

(
d
)
h
x
d
2
i
=
x
X
d
6
p
x

(
d
)
d
2
+
X
d
6
p
x

(
d
)

h
x
d
2
i

x
d
2

=
=
x
X
d
6
p
x

(
d
)
d
2
+
O

p
x

:
Îòñþäà,èñïîëüçóÿòîæäåñòâîçàäà÷è
VI.4
âôîðìå
Y
p

1

1
p
2

=
X
n

(
n
)
n
2
;
ïîëó÷àåì
{
(
x
)=
x
Y
p

1

1
p
2


X
d�
p
x

(
d
)
n
2
+
O

p
x

=
x
Y
p

1

1
p
2

+
+
O

p
x

=
x

(2)
+
O

p
x

=
6

2
x
+
O

p
x

:
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì113
§5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì
ÂñåïðîãðàììûíàïèñàíûíàÿçûêåÑ++(êîìïèëÿòîðGNUCC
2.95).Äëÿñîêðàùåíèÿðàçìåðàêîäàèñêëþ÷åíàîáðàáîòêàîøèáîê,
äëÿëó÷øåé÷èòàåìîñòèïî÷òèíåïðèìåíÿëàñüîïòèìèçàöèÿ.
5.1.Áàçîâûéêëàññ


//
������������������������������������
//Ôàéësieve.h.Áàçîâûéêëàññäëÿðàçíûõòèïîâðåøåòà.
//Ïðîñåèâàþòñÿ÷èñëàâèäàa(n),min_n=n=max_n.
//
������������������������������������
#ifndef_SIEVE_H_
#define_SIEVE_H_
#include&#xvect;&#xor.h;vector.h
typedefunsignedlonglongint
Lint;
typedef
std::vector
bool
�boolvect;
typedef
std::v&#xLint;ectorLintLintvect;
//
������������������������������������
class
sieve
{
Lintvect

ptr_primes;
//óêàçàòåëüíàâåêòîð
protected
:
//ïðîñòûõ,¹¹èäóòñ0;
const
Lintmax_n;
//äèàïàçîí¹¹ïîñë.a(n)
const
Lintmin_n;
//äëÿâûñåèâàíèÿ;
void
bit_sieve();
//Ðåøåòî’îáùåãîâèäà’;
virtual
Lintz()=0;
//âåðõ.ãðàíèöàïðîñòûõ;
virtual
Linta(
const
Lintn)=0;
//âèä÷èñåë;
public
:
Lintvect

prime();
sieve(LintMIN_N,LintMAX_N);
sieve(
const
sieve&s);
virtual
~sieve();
const
sieve&
operator
=(
const
sieve&s);
};
#endif
//
��
êîíåöôàéëàsieve.h
����������������������




//
������������������������������������
//Ôàéësieve.cpp.Ôóíêöèè

÷ëåíûêëàññàsieve.
//
������������������������������������
114ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
#include"sieve.h"
//
������������������������������������
sieve::sieve(
const
LintMIN_N,
const
LintMAX_N)
:min_n(MIN_N),max_n(MAX_N)
{
ptr_primes=NULL;
}
//
������������������������������������
//Êîíñòðóêòîðêîïèè
//
������������������������������������
sieve::sieve(
const
sieve&s)
:min_n(s.min_n),max_n(s.max_n)
{
ptr_primes=s.ptr_primes;
}
//
������������������������������������
const
sieve&sieve::
operator
=(
const
sieve&s)
{
if
(
this
!=&s)
{
ptr_primes=s.ptr_primes;
}
}
//
������������������������������������
sieve::~sieve()
{
if
(ptr_primes)
}
//
������������������������������������
//Ðåøåòî’îáùåãîâèäà’,âìàññèâåbolterñáðàñûâàþòñÿáèòû,
//èìåþùèåñîñòàâíûåíîìåðà,áèòûñïðîñòûìèíîìåðàìè==1
//
������������������������������������
void
sieve::bit_sieve()
{
Lintmax_a=a(max_n);
boolvect

bolter=
new
boolvect(max_a,1);
//

11...1;
Lintzz=z();
for
(Linti=2;i=zz;i++)
{
//ñîñòàâíûå

0,
if
((

bolter)[i

2])
//ïðîñòûå

1;
{
for
(Lintj=i+i;j=max_a;j+=i)
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì115
(

bolter)[j

2]=0;
}
}
ptr_primes=
new
Lintvect();
for
(Lintk=min_n;k=max_n;k++)
{
Linta_k=a(k);
if
((

bolter)[a_k

2])
ptr_primes

�insert(ptr_primes

�end(),a_k);
}
if
(bolter)
}
//
������������������������������������
//Âîçâðàùàåòóêàçàòåëüíàâåêòîðïðîñòûõ
//
������������������������������������
Lintvect

sieve::prime()
{
}
//
��
êîíåöôàéëàsieve.cpp
���������������������


5.2.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà


//
������������������������������������
//ÔàéëEratosphen.h.ÐåøåòîÝðàòîñôåíà.
//
������������������������������������
#ifndef_ERATOSPHEN_H_
#define_ERATOSPHEN_H_
#include"sieve.h"
//
������������������������������������
class
Erato:
public
sieve
{
virtual
Lintz();
//ãðàíèöàìíîæ.ïðîñòûõ;
virtual
Linta(
const
Lintn);
//a(n)=n;
public
:
Erato(LintMAX_N);
virtual
~Erato(){};
};
#endif
//
��
êîíåöôàéëàEratosphen.h
�������������������


116ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ


//
������������������������������������
//ÔàéëEratosphen.cpp.Ôóíêöèè

÷ëåíûêëàññàErato.
//
������������������������������������
#include"Eratosphen.h"
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
//
������������������������������������
Erato::Erato(LintMAX_N)
:sieve(2,MAX_N)
{
if
((MAX_N�=2))
bit_sieve();
else
cout"Íåòïðîñòûõ2"endl;
}
//
������������������������������������
//Âåðõíÿÿãðàíèöàìíîæåñòâàïðîñòûõ;
//
������������������������������������
inline
LintErato::z()
{
}
//
������������������������������������
inline
LintErato::a(
const
Lintn)
{
}
//
��
êîíåöôàéëàEratosphen.cpp
������������������




//
������������������������������������
//Ôàéëmain_Erato.cpp.ÒåñòêëàññàErato.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include&#xioma;&#xnip.;&#xh000;iomanip.h
#include"Eratosphen.h"
//
������������������������������������
main()
{
LintN=1000;
//N�=2;
int
width_number=5;
////////////////////////////////////////
coutendl"Ïðîñòûå÷èñëà="Nendl;
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì117
Erato

pr=
new
Erato(N);
if
(pr

�prime()

�empty())
cout"íåòïðîñòûõ";
else
{
for
(Lintk=1;k=pr

�prime()

�size();k++)
endl;
}
coutendl"Over,pressnte;&#xr000;Enter";
}
//
��
êîíåöôàéëàmain_Erato.cpp
�����������������


5.3.Êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëà


//
������������������������������������
//Ôàéëcanon.h.Êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëàN.
//
������������������������������������
#ifndef_CANON_H_
#define_CANON_H_
#include"Eratosphen.h"
//
������������������������������������
class
canon:
public
Erato
{
const
LintN;
void
canonical();
Lintvect

alpha;
//ïîêàçàòåëèñòåïåíèâðàçëîæåíèè;
Lintvect

prime;
//ïðîñòûåâðàçëîæåíèè;
public
:
canon(LintNN);
virtual
~canon();
Lintvect

a();
//âîçâðàùàåòalpha;
Lintvect

p();
//âîçâðàùàåòprime;
};
#endif
//
��
êîíåöôàéëàcanon.h
����������������������


118ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ


//
������������������������������������
//Ôàéëcanon.cpp.Ôóíêöèè

÷ëåíûêëàññàcanon.
//
������������������������������������
#include"canon.h"
//
������������������������������������
canon::canon(LintNN)
:Erato(NN),
N(NN)
{
alpha=
new
Lintvect();
prime=
new
Lintvect();
if
(N2)
{
alpha

�insert(alpha

�end(),0);
prime

�insert(prime

�end(),0);
}
else
canonical();
}
//
������������������������������������
canon::~canon()
{
if
(alpha)
if
(prime)
}
//
������������������������������������
//Êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñëàN
//
������������������������������������
void
canon::canonical()
{
LintM=N;
Lintpp=2;
for
(Lintk=0;pp=M;k++)
{
pp=(

Erato::prime())[k];
Lintal=0;
while
(!(M%pp)&&(pp=M))
{
M/=pp;
al++;
}
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì119
if
(al)
{
alpha

�insert(alpha

�end(),al);
prime

�insert(prime

�end(),pp);
}
}
}
//
������������������������������������
Lintvect

canon::p()
{
}
//
������������������������������������
Lintvect

canon::a()
{
}
//
��
êîíåöôàéëàcanon.cpp
��������������������




//
������������������������������������
//Ôàéëmain_canon.cpp.Òåñòêëàññàcanon.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include"Eratosphen.h"
#include"canon.h"
//
������������������������������������
main()
{
LintN0=2;
LintN=200;
//N�=2;
/////////////////////////////
cout"Êàíîíè÷åñêîåðàçëîæåíèå÷èñåë"endlendl;
for
(Linti=N0;i=N;i++)
{
canon

c=
new
canon(i);
Lintvect

alpha=c

�a();
Lintvect

prime=c

�p();
LintK=prime

�size();
cout""i"=";
for
(Lintk=0;kK;k++)
cout(

prime)[k]"^"(

alpha)[k]"";
if
(c)
120ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
coutendl;
}
coutendl"END,pressnte;&#xr000;Enter";
}
//
��
êîíåöôàéëàmain_canon.cpp
�����������������


5.4.ÐåøåòîÁðóíà


//
������������������������������������
//ÔàéëBrun.h.ÐåøåòîÁðóíà
//
������������������������������������
#ifndef_BRUN_H_
#define_BRUN_H_
#include"sieve.h"
constdouble
M=0.26149721284764278;
//constÌåðòåíñà;
//
������������������������������������
class
Brun:
public
sieve
{
virtual
Linta(
const
Lintm);
//a(m)=m(m+2);
//äëÿîïðåäåëåíèÿz()ïðèä¸òñÿðåøèòüíåëèíåéíîå
//óðàâíåíèåf(y)=0ñîñëåäóþùèìèïàðàìåòðàìè:
double
eps;
//

çàäàííàÿòî÷íîñòü;
double
y0;
//

íà÷àëüíîåïðèáëèæåíèå;
int
max_iter;
//

maxêîëè÷åñòâîèòåðàöèé.
virtual
Lintz();
//âåðõ.ãðàíèöàäëÿïðîñòûõ;
double
f(
double
y);
//ëåâ.÷àñòüðåøàåìîãîóð

èÿ;
public
:
Brun(LintMIN_N,LintMAX_N);
Brun(LintMIN_N,LintMAX_N,
double
EPS,
double
Y0,
int
MAX_ITER);
virtual
~Brun(){};
};
#endif
//
��
êîíåöôàéëàBrun.h
����������������������




//
������������������������������������
//ÔàéëBrun.cpp.Ôóíêöèè

÷ëåíûêëàññàBrun
//
������������������������������������
#include"Brun.h"
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì121
//
������������������������������������
Brun::Brun(LintMIN_N,LintMAX_N)
:sieve(MIN_N,MAX_N)
{
eps=0.001;
y0=M/(1.0+0.25

log(max_n));
max_iter=1000;
if
((MAX_N�1)&&(MAX_N�=MIN_N))
{
bit_sieve();
}
}
//
������������������������������������
Brun::Brun(LintMIN_N,LintMAX_N,
double
EPS,
double
Y0,
int
MAX_ITER)
:sieve(MIN_N,MAX_N)
{
eps=EPS;
y0=Y0;
max_iter=MAX_ITER;
if
((MAX_N�1)&&(MAX_N�=MIN_N))
{
bit_sieve();
}
}
//
������������������������������������
LintBrun::a(
const
Lintm)
{
}
//
������������������������������������
//óðàâíåíèå,÷åéêîðåíüóèùåòñÿ
//
������������������������������������
double
Brun::f(
double
y)
{
}
//
������������������������������������
//îïðåäåëåíèåïåðåìåííîézäëÿðåøåòàÁðóíàïîìåòîäóïðîñ

//òûõèòåðàöèé:eps

çàäàííàÿòî÷íîñòü;y0

íà÷àëüíîå
//ïðèáëèæåíèå;max_iter

ìàêñèìàëüíîåêîëè÷åñòâîèòåðàöèé;
//
������������������������������������
122ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
LintBrun::z()
{
double
y1=y0,y=y1;
for
(
unsignedlongint
i=1;i=max_iter;i++)
{
y=f(y1);
//íàäååìñÿ,÷òîçàäàííàÿòî÷íîñòüäîñòèãíóòà!:
if
(fabs(y

y1)=eps)
break
;
y1=y;
}
}
//
��
êîíåöôàéëàBrun.cpp
���������������������




//
������������������������������������
//Ôàéëmain_Brun.cpp.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
#include&#xioma;&#xnip.;&#xh000;iomanip.h
#include"Eratosphen.h"
#include"Brun.h"
//
������������������������������������
main()
{
LintN0=2;
LintN=500;
Lintdelta=10;
double
C=10;
int
width_number=10;
///////////////////////////////
cout"Ôóíêöèèpi_2(x),èðåøåòîÁðóíà"endl;
cout"Çíà÷åíèÿôóíêöèéíà["N0";"N
"]ñøàãîì"deltaendlendl;
//èñïîëüçóåòñÿãðóáàÿîöåíêàp_n1.5n\ln(n):
Erato

pr=
new
Erato((Lint)(1.5

N

log(N)));
if
(pr

�prime()

�empty())
cout"íåòïðîñòûõ";
else
{
cout"xpi_2(x)BrunestimateBrun";
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì123
Lintk=0;
Linttwins=0;
Lintprime=(

pr

�prime())[0];
Lintpred_prime=2;
for
(Lintx=delta;x=N;x+=delta)
{
while
(prime=x)
{
//åñëèprime
���
áëèçíåö:
if
(prime==pred_prime+2)twins++;
pred_prime=prime;
prime=(

pr

�prime())[++k];
}
Lintb=0;
if
(x�2)
{
Brun

prb=
new
Brun(3,x);
b=prb

�prime()

�size();
}
double
ln=log(x);
double
lln=log(ln);
endl;
}
}
coutendl"END,pressnte;&#xr000;Enter";
}
//
��
êîíåöôàéëàmain_Brun.cpp
������������������


5.5.Ïðîñòûåâàðèôìåòè÷åñêèõïðîãðåññèÿõ


//
������������������������������������
//Ôàéëarithm_progress.h.Ðåøåòîäëÿàðèôìåòè÷åñêèõ
//ïðîãðåññèél+m

k,n0=m=n;l,k&#x=-23;n;-;ȳl;&#x-57,;&#x-507;&#xk-42;倀0.
//
������������������������������������
124ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
#ifndef_ARITHM_PROGRESS_H_
#define_ARITHM_PROGRESS_H_
#include"sieve.h"
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
//
������������������������������������
class
arithm_prime:
public
sieve
{
const
Lintk,l;
virtual
Linta(
const
Lintm);
//âèäàðèôì.ïðîãðåññèè;
virtual
Lintz();
//âåðõ.ãðàíèöàäëÿïðîñòûõ;
public
:
arithm_prime(LintMIN_N,LintMAX_N,
LintL,LintK);
virtual
~arithm_prime(){};
};
#endif
//
��
êîíåöôàéëàarithm_progress.h
����������������




//
������������������������������������
//Ôàéëarithm_progress.cpp.
//Ôóíêöèè

÷ëåíûêëàññàarithm_prime.
//
������������������������������������
#include"arithm_progress.h"
//
������������������������������������
arithm_prime::arithm_prime(LintMIN_N,LintMAX_N,
LintL,LintK)
:sieve(MIN_N,MAX_N),l(L),k(K)
{
if
((MAX_N�1)&&(MAX_N�=MIN_N))
{
bit_sieve();
}
}
//
������������������������������������
//Àðèôìåòè÷åñêàÿïðîãðåññèÿ
//
������������������������������������
Lintarithm_prime::a(
const
Lintm)
{
}
//
������������������������������������
//Âåðõíÿÿãðàíèöàìíîæåñòâàïðîñòûõ
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì125
//
������������������������������������
Lintarithm_prime::z()
{
}
//
��
êîíåöôàéëàarithm_progress.cpp
��������������




//
������������������������������������
//Ôàéëmain_Arithm.cpp.Òåñòêëàññàarithm_prime.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
#include&#xioma;&#xnip.;&#xh000;iomanip.h
#include"arithm_progress.h"
#include"Euler.h"
//
������������������������������������
main()
{
LintN0=1;
LintN=1000;
Lintdelta=10;
Lintl=1;
Lintk=6;
int
width_number=10;
coutendl"Çíà÷åíèÿôóíêöèéíà["N0
";"N"]ñøàãîì"deltaendl;
arithm_prime

pr=
new
arithm_prime(N0,N,l,k);
if
(pr

�prime()

�empty())
cout"íåòïðîñòûõ";
else
{
cout"Ôóíêöèÿpi(x,k,l)èå¸îöåíêà"endl;
cout"l="l",k="kendl;
cout"xpi(x,k,l)estimate"endl;
Lintm=0;
for
(Lintx=delta;x=N;x+=delta)
{
while
((

pr

�prime())[m]=x)m++;
126ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
x/Euler(k)/log(1.0

x/k)endl;
}
}
coutendl"END,pressnte;&#xr000;Enter";
}
//
��
êîíåöôàéëàmain_Arithm.cpp
�����������������


5.6.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè


//
������������������������������������
//Ôàéëarithm_func.h.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè.
//
������������������������������������
#ifndef_ARITHM_FUNC_H
#define_ARITHM_FUNC_H
#include"Eratosphen.h"
#include"canon.h"
LintHOD(Linta,Lintb);
//Í.Î.Ä.(a,b);
LintEuler(
const
Lintk);
//ô

èÿÝéëåðà;
Lintpi(
const
Lintx);
//\pi(x);
Lintpi_2(
const
Lintx);
//\pi_2(x);
Lintp(
const
Lintn);
//n

îåïðîñòîå;
int
mu(
const
Lintn);
//ô

èÿÌåáèóñà;
double
double
psi(
const
Lintx);
//ô

èÿ×åáûøåâà;
Lintgap(
const
Lintx);
//
#endif
//
��
êîíåöôàéëàarithm_func.h.
������������������




//
������������������������������������
//Ôàéëarithm_func.cpp.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè.
//
������������������������������������
#include"arithm_func.h"
#include&#xmath;&#x.h00;math.h
//
������������������������������������
//Íàèáîëüøèéîáùèéäåëèòåëü÷èñåëa,b.
//
������������������������������������
LintHOD(Linta,Lintb)
{
while
((a�0)&&(b�0))
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì127
if
(a�b)a=a

b;
else
b=b

a;
}
//
������������������������������������
//ÔóíêöèÿÝéëåðà\phi(k),âîçâðàùàåòêîëè÷åñòâî÷èñåëðÿäà
//0,1,...,k

1,âçàèìíîïðîñòûõñk.
//
������������������������������������
LintEuler(Lintk)
{
Lintphi=0;
for
(Linti=0;ik;i++)
if
(HOD(i,k)==1)phi++;
}
//
������������������������������������
//Ôóíêöèÿ\pi(x).
//
������������������������������������
Lintpi(
const
Lintx)
{
if
(x2)
else
{
Erato

pr=
new
Erato(x);
Lintk=pr

�prime()

�size();
}
}
//
������������������������������������
//Ôóíêöèÿ\pi_2(x)
��
êîëè÷.ïàðïðîñòûõáëèçíåöîâ,=x.
//
������������������������������������
Lintpi_2(
const
Lintx)
{
if
(x5)
else
{
Erato

pr=
new
Erato(x);
Linttwin=0;
for
(Linti=1;ipr

�prime()

�size();i++)
128ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
{
Lintp1=(

pr

�prime())[i

1];
Lintp2=(

pr

�prime())[i];
if
((p2

p1)==2)
twin++;
}
}
}
//
������������������������������������
//n

îåïðîñòîå÷èñëî.
//
������������������������������������
Lintp(
const
Lintn)
{
if
(n1)
LintN=0;
//èñïîëüçîâàíàãðóáàÿîöåíêàäëÿp_n:
if
(n10)N=30;
else
N=(Lint)(1.5

n

log(n));
Erato

pr=
new
Erato(N);
Lintp=(

pr

�prime())[n

1];
}
//
������������������������������������
//ÔóíêöèÿÌåáèóñà\mu(n).
//
������������������������������������
int
mu(
const
Lintn)
{
if
(n==1)
canon

c=
new
canon(n);
int
signum=1;
for
(Lintk=0;kc

�p()

�size();k++)
{
if
((

c

�a())[k]�1)
{
}
signum

=

1;
}
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì129
}
//
������������������������������������
//
������������������������������������
double
{
if
(x2)
Erato

pr=
new
Erato(x);
double
fi=0.0;
for
(Lintk=0;kpr

�prime()

�size();k++)
{
fi+=log((

pr

�prime())[k]);
}
}
//
������������������������������������
//Ôóíêöèÿ×åáûøåâà\psi(x).
//
������������������������������������
double
psi(
const
Lintx)
{
if
(x2)
Erato

pr=
new
Erato(x);
double
ps=0.0;
for
(Lintk=0;kpr

�prime()

�size();k++)
{
Lintp=(

pr

�prime())[k];
LintP=p;
Linta=0;
while
(P=x)
{
P

=p;
a++;
}
ps+=a

log(p);
}
}
//
������������������������������������
130ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
//Ôóíêöèÿg(x).ÂîçâðàùàåòMAXäëèíóèíòåðâàëàèç
//îòðåçêà[1,x],íåñîäåðæàùåãîïðîñòûõ÷èñåë;
//
������������������������������������
Lintgap(
const
Lintx)
{
if
(x2)
if
(x3)
Erato

pr=
new
Erato(x);
Lintg=1;
for
(Linti=1;ipr

�prime()

�size();i++)
{
Lintp1=(

pr

�prime())[i

1];
Lintp2=(

pr

�prime())[i];
Lintg1=p2

p1;
g=(g�g1)?g:g1;
}
}
//
��
êîíåöôàéëàarithm_func.cpp.
����������������




//
������������������������������������
//Ôàéëmain_arithm_func.cpp.Òåñòàðèôìåòè÷åñêèõôóíêöèé.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include&#xioma;&#xnip.;&#xh000;iomanip.h
#include"arithm_func.h"
main()
{
LintN=50;
LintN0=1;
int
width_number=10;
cout"Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè:"endlendl;
//cout"Ôóíêöèÿpi(x):"endl;
//cout"xpi(x)"endl;
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
//cout"Áëèçíåöû:"endl;
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì131
//cout"xpi_2(x)"endl;
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
//cout"n

îåïðîñòîå:"endl;
//cout"np_n"endl;
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
//cout"ÔóíêöèÿÝéëåðà:"endl;
//cout"nphi(n)"endl;
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
//cout"Ôóíêöèÿ×åáûøåâàpsi:"endl;
//cout"npsi(n)"endl;
//for(Lintk=N0;k=N;k++)
//{
//}
cout"Ôóíêöèÿgap(x):"endl;
cout"ng(n)"endl;
for
(Lintk=N0;k=N;k++)
{
}
132ÐÅØÅÍÈßÂÎÏÐÎÑÎÂ
coutendl"End,pressnte;&#xr000;Enter";
}
//
��
êîíåöôàéëàmain_arithm_func.cpp.
�������������


5.7.Ñ÷àñòëèâûå÷èñëà


//
������������������������������������
//Ôàéëlucky_numbers.h.Ñ÷àñòëèâûå÷èñëà.
//
������������������������������������
#ifndef_LUCKY_NUMBERS_H_
#define_LUCKY_NUMBERS_H_
#include&#xvect;&#xor.h;vector.h
typedefunsignedlonglongint
Lint;
typedef
std::v&#xLint;ectorLintLintvect;
//
������������������������������������
//Âîçâðàùàåòóêàçàòåëüíàâåêòîðñ÷àñòëèâûõ÷èñåë
//
������������������������������������
Lintvect

lucky_sieve(Lintmax_N);
#endif
//
��
êîíåöôàéëàlucky_numbers.h.
����������������




//
������������������������������������
//Ôàéëlucky_numbers.cpp.
//
������������������������������������
#include"lucky_numbers.h"
Lintvect

lucky_sieve(Lintmax_N)
{
Lintvect

p_lucky=
new
Lintvect();
//çàïîëíèëèïåðâîíà÷àëüíûéâåêòîðíå÷¸òíûìè÷èñëàìè:
for
(Linti=0;imax_N;++i)
p_lucky

�insert(p_lucky

�end(),2

i+1);
Lintcurrent=(

p_lucky)[1];
//÷èñëîäëÿâû÷¸ðêèâàíèÿ;
LintN_current=1;
//åãîíîìåð;
while
(N_currentp_lucky

�size()

1)
{
//óäàëÿåìûå÷èñëàâíà÷àëåîáíóëÿþòñÿ:
while
5.Ëèñòèíãèïðîãðàìì133
{
(

}
//óäàëåíèåèçñïèñêàíóëåâûõ÷ëåíîâ:
for
{
&#xLint;vectorLint::iterator
where_0=find(p_lucky

�begin(),p_lucky

�end(),0);
p_lucky

�erase(where_0,where_0+1);
}
if
(N_currentp_lucky

�size())
current=(

p_lucky)[++N_current];
elsebreak
;
}
//while(current...
}
//
��
êîíåöôàéëàlucky_numbers.cpp.
���������������




//
������������������������������������
//Ôàéëlucky_main.cpp.Òåñòðåøåòàäëÿñ÷àñòëèâûõ÷èñåë.
//
������������������������������������
#include&#xiost;&#xream;&#x.h00;iostream.h
#include"lucky_numbers.h"
usingnamespace
std;
int
main()
{
LintN=5000;
Lintvect

ptr_lucky=lucky_sieve(N);
cout"Ñ÷àñòëèâûå÷èñëà,="2

N+1endl;
for
(Lintk=0;kptr_lucky

�size();k++)
cout(

ptr_lucky)[k]"";
coutendl"PressEnter";
}
//
��
êîíåöôàéëàlucky_main.cpp.
�����������������


VIII.ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
A.ÒÅÎÐÈß×ÈÑÅË
§1.Äåëèìîñòü÷èñåë
Òåîðåìà1.1(Îäåëåíèèñîñòàòêîì).
Åñëè
a
,
b
–öåëûå,
b�
0
,òî
ñóùåñòâóþòåäèíñòâåííûåöåëûå
q
è
r
,òàêèå,÷òî
a
=
bq
+
r;
0
6
qb
(A.1)
.
Ïóñòü
q
—íàèáîëüøååöåëîå,òàêîå,÷òî
bq
6
a
,òîãäà
bq
6
a
b
(
q
+1)
è,ñëåäîâàòåëüíî,
0
6
a

bqb
.Îáîçíà÷àÿ
r
=
a

bq
,
ïîëó÷èì(
A.1
).
/
×èñëî
r
íàçûâàþò
îñòàòêîì
îòäåëåíèÿ
a
íà
b
,ðàâåíñòâî
r
=0
ðàâíîñèëüíî
a
.
.
.
b
(
b
j
a
)
.
Òåîðåìà1.2.
Åñëè
(
a;b
)=1
,òîñóùåñòâóþòöåëûå
u;v
,òàêèå,
÷òîâûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî
au
+
bv
=1
:
(A.2)
.
Äîñòàòî÷íîäîêàçàòüóòâåðæäåíèåäëÿ,ñëó÷àÿ,êîãäà
a
,
b
—íà­
òóðàëüíûå÷èñëà.
Èíäóêöèÿïîñóììå
a
+
b
.Ïðè
a
+
b
=2
èìååì
a
=
b
=1
è
(
A.2
)âûïîëíÿåòñÿñ
u
=1
;v
=0
.Ïóñòüòåîðåìàâåðíàäëÿâñåõ
a;b
:(
a;b
)=1
;a
+
bk
,ãäå
k�
2
,òîãäàòàêêàê
a
+
b�
2
;
(
a;b
)=1
,
òî
a
6
=
b
.Íåòåðÿÿîáùíîñòèìîæíîñ÷èòàòü,÷òî
a�b
.Ïîñêîëüêó
(
a

b;b
)=1
è
(
a

b
)+
b
=
ak
,ïîèíäóêòèâíîìóïðåäïîëîæåíèþ
ñóùåñòâóþòöåëûå
x;y
,òàêèå,÷òî
(
a

b
)
x
+
by
=1
;
èëè
ax
+
b
(
y

x
)=1
:
Ïîëîæèâ
x
=
u;y

x
=
v
,ïîëó÷èì(
A.2
)
/
Ñëåäñòâèå1.1.
Åñëè
a�
1
;b�
1
;
(
a;b
)=1
,òîäëÿêàæäîãî
k
=0
;
1
;:::
ñóùåñòâóþò
åäèíñòâåííûå
öåëûå÷èñëà
u;v
,òàêèå,÷òî
âûïîëíÿåòñÿ
au

bv
=1
;kb
+1
6
u
(
k
+1)
b;k
=0
;
1
;:::
(A.3)
2.Îñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêè135
.
Ñóùåñòâîâàíèå
u;v
ñëåäóåòèçòåîðåìû
1.2
.Äîêàæåìåäèí­
ñòâåííîñòü.Ïðåäïîëîæèìñóùåñòâîâàíèå
u
0
;v
0
:
u
0
6
=
u;v
0
6
=
v
,ãäå
kb
+1
6
u
0

(
k
+1)
b
è
au
0

bv
0
=1
:
(A.4)
Âû÷èòàÿèç(
A.3
)ïî÷ëåííî(
A.4
)ïîëó÷èì
a
(
u

u
0
)=
b
(
v

v
0
)
:
Òàêêàê
(
a;b
)=1
,òî
(
u

u
0
)
.
.
.
b
,íî
1

bu

u
0
b

1
;
ñëåäîâàòåëüíî,
u

u
0
=0
,è,ïîýòîìó,
v

v
0
=0
.Òàêèìîáðàçîì,
u
=
u
0
;v
=
v
0
èïîëó÷åíîïðîòèâîðå÷èå.
/
§2.Îñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêè
Òåîðåìà2.1(Îñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêè).
Ëþáîåíàòóðàëü­
íîå÷èñëî,áîëüøåååäèíèöû,ìîæåòáûòüïðåäñòàâëåíîââèäåïðîèç­
âåäåíèÿïðîñòûõñîìíîæèòåëåé.Ýòîïðåäñòàâëåíèååäèíñòâåííîñ
òî÷íîñòüþäîïîðÿäêàñëåäîâàíèÿñîìíîæèòåëåé
1
.
.
Ïóñòü
N
–íàòóðàëüíîå,
N�
1
,îáîçíà÷èì
p
1
åãîíàèìåíüøèé
ïðîñòîéäåëèòåëü,òîãäà
N
=
p
1
N
1
,åñëè
N
1

1
,òîîáîçíà÷èâ
p
2
íàè­
ìåíüøèéïðîñòîéäåëèòåëü
N
1
ïîëó÷èì
N
=
p
1
p
2
N
2
èòàêäàëåå,äî
òåõïîð,ïîêàíåîêàæåòñÿ
N
m
=1
è,ñëåäîâàòåëüíî,
N
=
p
1
p
2
:::p
m
.
Äîêàæåìåäèíñòâåííîñòü.Ïóñòüèìåþòñÿäâàðàçëè÷íûõðàçëî­
æåíèÿ
N
=
p
1
p
2
:::p
m
=
q
1
q
2
:::q
l
:
Òîãäàïîñêîëüêó
N
.
.
.
p
1
,òîîäíîèçïðîñòûõ÷èñåëâïðàâîé÷àñòèïî­
ñëåäíåãîðàâåíñòâàäîëæíî
ñîâïàäàòü
ñ
p
1
,òàêêàêâñåñîìíîæèòå­
ëè—ïðîñòûå÷èñëà.Ìîæíîñ÷èòàòü,÷òîýòî÷èñëî—
q
1
(åñëèíóæ­
íîïåðåíóìåðóåì÷èñëà).Ñîêðàùàÿîáå÷àñòèíà
p
1
=
q
1
,èìååì
p
2
:::p
m
=
q
2
:::q
l
.Ïîâòîðÿÿïðåæíèåðàññóæäåíèÿäëÿýòîãîðàâåí­
ñòâàïîëó÷èì
p
3
:::p
m
=
q
3
:::q
l
èòàêäàëåå,ïîêàâîäíîéèç÷àñòåé
ðàâåíñòâàíåñîêðàòÿòñÿâñåñîìíîæèòåëè,íîòîãäàèäðóãàÿ÷àñòü
1
Äðóãèìèñëîâàìè,åñëèîäíîèòîæå÷èñëîèìååòðàçëè÷íûåðàçëîæåíèÿâïðî­
èçâåäåíèÿïðîñòûõ,òîðàçëè÷èåçàêëþ÷àåòñÿëèøüâïîðÿäêåçàïèñèïðîñòûõ÷è­
ñåëâýòèõïðîèçâåäåíèÿõ.Ðàçëîæåíèåóíèêàëüíîäëÿêàæäîãîíàòóðàëüíîãî÷èñ­
ëà,áîëüøåãîåäèíèöû.
136ÒÅÎÐÈß×ÈÑÅË
äîëæíàáûòüðàâíàåäèíèöå,òîåñòü
m
=
l
èîáàðàçëîæåíèÿòîæäå­
ñòâåííû.
/
Ñëåäóåòîòìåòèòüòîòôàêò,÷òîÎñíîâíàÿòåîðåìààðèôìåòèêèíå
ÿâëÿåòñÿòðèâèàëüíûìðåçóëüòàòîì—ñóùåñòâóþò÷èñëîâûåñèñòå­
ìû,âêîòîðûõíåèìååòìåñòàîäíîçíà÷íîñòüðàçëîæåíèÿíàïðîñòûå
(ò.å.äàëååíåðàçëîæèìûåâýòèõñèñòåìàõ)ìíîæèòåëè.
Çàïèñüðàçëîæåíèÿââèäå
N
=
p

1
1
p

2
2
:::p

k
k
;
(A.5)
ãäåïðîñòûå÷èñëàçàïèñàíûâïîðÿäêåâîçðàñòàíèÿ,íàçûâàþò
êàíî­
íè÷åñêèìðàçëîæåíèåì
÷èñëà
N
.
Ïðèìåðûêàíîíè÷åñêèõðàçëîæåíèé.
2000=2
4

5
3
;
2002=2

7

11

13
;
2003=2003
;
2004=2
2

3

167
§3.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå3.1.
Ôóíêöèþ
f
(
n
)
,îïðåäåë¸ííóþäëÿâñåõíàòó­
ðàëüíûõ÷èñåëèíåðàâíóþòîæäåñòâåííîíóëþ,íàçûâàþò
ìóëüòèï­
ëèêàòèâíîé
,åñëèäëÿëþáûõâçàèìíîïðîñòûõ
m;n
âûïîëíÿåòñÿ
f
(
mn
)=
f
(
m
)
f
(
n
)
(A.6)
Åñëèïîñëåäíååðàâåíñòâîâûïîëíÿåòñÿäëÿëþáûõ÷èñåë
m;n
,àíå
òîëüêîâçàèìíîïðîñòûõ,òîôóíêöèþèìåíóþò
âïîëíåìóëüòèïëè­
êàòèâíîé
.
Ïðèìåðîì(âïîëíå)ìóëüòèïëèêàòèâíîéôóíêöèèÿâëÿåòñÿñòå­
ïåííàÿôóíêöèÿ
f
(
n
)=
n
s
è,â÷àñòíîñòè,
f
(
n
)

1
.
Ñâîéñòâàìóëüòèïëèêàòèâíûõôóíêöèé
1.
Äëÿëþáîéìóëüòèïëèêàòèâíîéôóíêöèè
f
(
n
)
f
(1)=1
:
.
Ïóñòü
f
(
n
0
)
6
=0
,òîãäà
f
(
n
0
)=
f
(
n
0

1)
(
A:
6
)
=
f
(
n
0
)
f
(1)
,îòêóäàè
ñëåäóåò,÷òî
f
(1)=1
:
/
2.
Ôîðìóëà(
A.6
)ëåãêîîáîáùàåòñÿíàñëó÷àé
k�
2
ïîïàðíîâçà­
èìíîïðîñòûõ÷èñåë
n
1
;n
2
;:::;n
k
f
(
n
1
n
2
:::n
k
)
(
A:
6
)
=
f
(
n
1
)
f
(
n
2
:::n
k
)
(
A:
6
)
=
:::
(
A:
6
)
=
f
(
n
1
)
f
(
n
2
)
:::f
(
n
k
)
Â÷àñòíîñòè,êîãäà
n
i
=
p

i
i
,
i
=1
;
2
;:::;k
,
p
i
—ïðîñòîå,èìååì
f

p

1
1
p

2
2
:::p

k
k

=
f

p

1
1

f

p

2
2

:::f

p

k
k

:
(A.7)
3.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè137
3.
Ïðîèçâåäåíèåäâóõìóëüòèïëèêàòèâíûõôóíêöèéåñòüôóíê­
öèÿìóëüòèïëèêàòèâíàÿ.
.
Ïóñòü
f;'
—ìóëüòèïëèêàòèâíûè
g
=
f'
.Òîãäà,âî­ïåðâûõ,
g
(1)=
f
(1)
'
(1)=1
(ñâîéñòâî1),âî­âòîðûõ,ïîëüçóÿñüîïðåäåëå­
íèåììóëüòèïëèêàòèâíûõôóíêöèé,ïîëó÷èìäëÿëþáûõâçàèìíî
ïðîñòûõ÷èñåë
m;ng
(
mn
)=
f
(
mn
)
'
(
mn
)=
f
(
m
)
f
(
n
)
'
(
m
)
'
(
n
)=
f
(
m
)
'
(
m
)
f
(
n
)
'
(
n
)=
g
(
m
)
g
(
n
)
/
4.
Ïóñòü
f
(
n
)
ìóëüòèïëèêàòèâíà,
n
=
p

1
1
:::p

k
k
—êàíîíè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå÷èñëà
n
,òîãäà
X
d
j
n
f
(
d
)=

1+
f
(
p
1
)+
f

p
2
1

+
:::
+
f
(
p

1
1
)



:::


1+
f
(
p
k
)+
f

p
2
k

+
:::
+
f
(
p

k
k
)

(A.8)
.
Ðàñêðûâñêîáêèâïðàâîé÷àñòè(
A.8
)ïîëó÷èìñóììóñëàãàå­
ìûõâèäà
f

p

1
1

f

p

2
2

:::f

p

k
k

(
A:
7
)
=
f

p

1
1
p

2
2
:::p

k
k

;
ãäåâñå

i
;i
=1
;
2
;:::;k
ïðîáåãàþòíåçàâèñèìîäðóãîòäðóãàâñåçíà­
÷åíèÿðÿäà
0
;
1
;
2
;:::
i
áåçïðîïóñêîâèïîâòîðåíèé,à,ñëåäîâàòåëü­
íî,÷èñëà
p

1
1
p

2
2
:::p

k
k
áóäóòïðåäñòàâëÿòüñîáîéâñåäåëèòåëè÷èñëà
n
.Òàêèìîáðàçîì,ïîëó÷åííàÿâåëè÷èíàñîâïàäàåòññóììîé,ñòîÿ­
ùåéâëåâîé÷àñòè(
A.8
)
/
Ïðèìåð.
f
(
n
)=
n
2
;N
=18=2

3
2
;
1
2
+2
2
+3
2
+6
2
+9
2
+18
2
=

1+2
2
�
1+3
2
+9
2

:
5.
Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿôóíêöèÿ
f
(
n
)
ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ,
åñëèïîëîæèòü
f
(1)=1
èïðîèçâîëüíîíàçíà÷èòüçíà÷åíèÿäëÿâñåõ
å¸àðãóìåíòîâ,ðàâíûõñòåïåíÿìïðîñòûõ÷èñåë
f
(
p

)
.Äëÿäðóãèõàð­
ãóìåíòîâòîãäàìîæíîâîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëîé(
A.7
).
.
Äåéñòâèòåëüíî,åñëè
n
=
p

1
1
:::p

k
k
—êàíîíè÷åñêîåðàçëîæå­
íèå÷èñëà
n
è
n
=
n
1
n
2
,ãäå
(
n
1
;n
2
)=1
,òîâûïîëíÿåòñÿ
f
(
n
1
n
2
)=
f
(
n
1
)
f
(
n
2
)
;
òàêêàêïðàâàÿ÷àñòüñîäåðæèòòåæåìíîæèòåëèâèäà(
A.7
),÷òîè
ëåâàÿ,âçÿòûå,áûòüìîæåò,âäðóãîìïîðÿäêå.
/
138ÒÅÎÐÈß×ÈÑÅË
Ïðèìåðûìóëüòèïëèêàòèâíûõôóíêöèé
1.

(
n
)

êîëè÷åñòâîäåëèòåëåé÷èñëà
n
.
Î÷åâèäíûòîæäåñòâà

(1)=1
,

(
p

)=1+

,ãäå
p
—ïðîñòîå÷èñëî,
èìóëüòèïëèêàòèâíîñòüôóíêöèè(ñâîéñòâî5).Ïîëàãàÿâôîðìóëå
(
A.8
)
f
(
n
)

1
ïîëó÷èì
P
d
j
N
1=(1+

1
)
:::
(1+

k
)
,ò.å.

(
n
)=(1+

1
)
:::
(1+

k
)
;
(A.9)
n
=
p

1
1
:::p

k
k
Íàïðèìåð,

(720)=


2
4
3
2
5

=(1+4)(1+2)(1+1)=30
2.

(
n
)

ñóììàäåëèòåëåé÷èñëà
n
.
Ëåãêîâèäåòü,÷òî

(1)=1
;
(
p

)=1+
p
+
p
2
+
:::
+
p

=(
p

+1

1)
=
(
p

1)
,ãäå
p
—ïðîñòîå,èìóëüòèïëèêàòèâíîñòüôóíêöèè(ñâîéñòâî5).
Ïîëîæèââ(
A.8
)
f
(
n
)=
n
èìååì
X
d
j
N
d
=

1+
p
1
+
p
2
1
+
:::
+
p

1
1

:::

1+
p
k
+
p
2
k
+
:::
+
p

k
k

;
èëè

(
n
)=
p

1
+1
1

1
p
1

1
:::
p

k
+1
k

1
p
k

1
;
(A.10)
n
=
p

1
1
:::p

k
k
Ïðèìåð:

(720)=


2
4
3
2
5

=
2
5

1
2

1
3
3

1
3

1
5
2

1
5

1
:
3.
Ôóíêöèÿ̸áèóñà

(
n
)=
8

:
1
;
åñëè
n
=1;
(

1)
k
;
åñëè
n
=
p
1
:::p
k
;
ãäå
p
i
—ðàçëè÷íûåïðîñòûå
;
0
;
åñëè
n
.
.
.
p
2
;
Íåòðóäíîïðîâåðèòüìóëüòèïëèêàòèâíîñòüôóíêöèè̸áèóñà.
Ïðèìåðû:

(1)=1
;
(2)=

1
;
(4)=0
;
(6)=1
;
(30)=

1
.
Ïóñòü
f
(
n
)
ìóëüòèïëèêàòèâíà,
n
=
p

1
1
:::p

k
k
—êàíîíè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå÷èñëà
n
,òîãäàôóíêöèÿ
g
(
n
)=

(
n
)
f
(
n
)
ìóëüòèïëèêà­
òèâíà(ñâîéñòâî3).Ïðèìåíèâê
g
(
n
)
òîæäåñòâî(
A.8
)ñó÷¸òîìòîãî,
÷òî
g
(
p
)=

f
(
p
)
;g
(
p

)=0
ïðèïðîñòîì
p
è

1
,ïîëó÷èìòîæäå­
ñòâî
X
d
j
n

(
d
)
f
(
d
)=

1

f
(
p
1
)

:::

1

f
(
p
k
)

:
(A.11)
3.Àðèôìåòè÷åñêèåôóíêöèè139
Â÷àñòíîñòè,ïîëàãàÿâïîñëåäíåéôîðìóëå
f
(
n
)

1
,èìååì
X
d
j
n

(
d
)=

1
;
åñëè
n
=1;
0
;
åñëè
n�
1
:
(A.12)
Àåñëèïîëîæèòü
f
(
n
)=1
=n
,òî
X
d
j
n

(
d
)
d
=

1
;
åñëè
n
=1;
(1

1
=p
1
)
:::
(1

1
=p
k
)
;
åñëè
n�
1
:
(A.13)
4.
ÔóíêöèÿÝéëåðà
'
(
n
)
,ðàâíàÿêîëè÷åñòâó÷èñåëðÿäà
0
;
1
;
2
;:::;n

1
;
âçàèìíîïðîñòûõñ
n
.
Ïðèìåðû:
'
(1)=1
,
'
(2)=1
,
'
(3)=2
,
'
(4)=2
,
'
(5)=4
,
'
(6)=2
.
Î÷åâèäíàìóëüòèïëèêàòèâíîñòü
'
(
n
)
.
ÏîîïðåäåëåíèþôóíêöèèÝéëåðàêîëè÷åñòâî÷èñåë,íåïðåâîñ­
õîäÿùèõ
n
èèìåþùèõñ
n
îäèíèòîòæåíàèáîëüøèéîáùèéäåëè­
òåëü
d
,ðàâíî
'
(
n=d
)
,ò.ê.èç
1
6
a
6
n
è
(
a;n
)=
d
ñëåäóåò,÷òî
(
a=d;n=d
)=1
è
a=d
6
n=d
.Ïîñêîëüêóçäåñü
a
ìîæåòïðèíèìàòü
ðîâíî
n
ðàçëè÷íûõçíà÷åíèé,èìååì
X
d
j
n
'

n
d

=
n
(A.14)
5.
Êîëè÷åñòâîðåøåíèéñðàâíåíèÿ
f
(
x
)

0(mod
m
)
;
ãäå
f
(
x
)=
ax
+
b
.Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòüôóíêöèÿ

(
m
)
ðàâíàêîëè­
÷åñòâóðåøåíèéïîñëåäíåãîñðàâíåíèÿ,
m
=
m
1
m
2
è
(
m
1
;m
2
)=1
.
Òîãäà,òàêêàêäàííîåñðàâíåíèåýêâèâàëåíòíîïàðåñðàâíåíèé
f
(
x
)

0(mod
m
1
)
;f
(
x
)

0(mod
m
2
)
;
òîêàæäîìóèçðåøåíèéîäíîãîñðàâíåíèÿ
x

a
1
;a
2
;:::;a

(
m
1
)
áóäóòñîîòâåòñòâîâàòüâñåðåøåíèÿäðóãîãî
x

b
1
;b
2
;:::;b

(
m
2
)
;
òîåñòüâûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî

(
m
1
)

(
m
2
)=

(
m
)
:
140ÒÅÎÐÈß×ÈÑÅË
§4.Çàêîíîáðàùåíèÿ÷èñëîâûõôóíêöèé
Òåîðåìà4.1(̸áèóñ).
Ïóñòüôóíêöèÿ
f
,âåùåñòâåííî­èëèêîì­
ïëåêñíîçíà÷íàÿ,îïðåäåëåíàäëÿâñåõíàòóðàëüíûõ÷èñåë
k
1
;k
2
;:::;k
n
,
ñðåäèêîòîðûõìîãóòáûòüèîäèíàêîâûå.Îáîçíà÷èìäëÿêàæäîãî
d
S
d
=
X
k
i
.
.
.
d
f
(
k
i
)
;
(A.15)
S
=
X
k
i
=1
f
(
k
i
)
;
(A.16)
ïðè÷¸ìâôîðìóëå(
A.15
)ñóììèðîâàíèåâåä¸òñÿïîâñåì
k
i
,ïðè
i
=
1
;
2
;:::;n
,êðàòíûìêàêîìó­ëèáîôèêñèðîâàííîìó
d
,àâ(
A.16
)ïî
âñåì
k
i
,ðàâíûìåäèíèöå.Åñëèóñëîâèÿìñóììèðîâàíèÿíåóäîâëåòâî­
ðÿåòíèîäíîèç
k
i
,òîñîîòâåòñòâóþùÿÿñóììàðàâíàíóëþ.Òîãäà
S
=
X
d
j
k
i

(
d
)
S
d
:
(A.17)
.S
=
X
k
i
=1
f
(
k
i
)
(
A:
12
)
=
X
1
6
i
6
n
f
(
k
i
)
X
d
j
k
i

(
d
)=
X
d
j
k
i

(
d
)
X
d
j
k
i
;
1
6
i
6
n
f
(
k
i
)=
=
X
d
j
k
i

(
d
)
S
d
:/
Ôîðìóëó(
A.17
)èíîãäàóäîáíååçàïèñûâàòüââèäå
X
k
i
=1
f
(
k
i
)=
X
1
6
i
6
n
f
(
k
i
)

X
p
j
k
i
f
(
k
i
)+
X
p
1
p
2
j
k
i
f
(
k
i
)


:::
+(

1)
m
X
p
1
p
2
:::p
m
j
k
i
f
(
k
i
)
;
(A.18)
çäåñüâêàæäîéèçñóììâñåïðîñòûåäåëèòåëè
p
i
ñ÷èòàþòñÿòîëüêî
îäèíðàç.
Ñëåäñòâèåìòåîðåìû̸áèóñàïðè
k
i
=
n=
,ãäå
n
—ôèêñèðîâàí­
íîåíàòóðàëüíîå÷èñëî,

—äåëèòåëü
n
,àâêà÷åñòâåçíà÷åíèé
f
(
k
i
)
âçÿòû
f
(

)
,ÿâëÿåòñÿ
çàêîíîáðàùåíèÿ÷èñëîâûõôóíêöèé
:ôîðìóëû
g
(
k
)=
X

j
k
f
(

)
;f
(
n
)=
X
d
j
n

(
d
)
g
(
n=d
)
(A.19)
4.Çàêîíîáðàùåíèÿ÷èñëîâûõôóíêöèé141
ðàâíîñèëüíû.
.
Ïðèóêàçàííûõïðåäïîëîæåíèÿõôîðìóëà(
A.15
)ïðèìåòâèä
S
d
=
X
d
j
n=
f
(

)
:
Óñëîâèå
d
j
n=
ðàâíîñèëüíî

j
n=d
,îáîçíà÷àÿ
k
=
n=d

S
d
=
g
(
k
)
,
èìååìïåðâóþèçôîðìóë(
A.19
).Òîãäà
S
=
X
n=
=1
f
(

)=
f
(
n
)
èîñòàëîñüâîñïîëüçîâàòüñÿñîîòíîøåíèåì(
A.17
)äëÿòîãî,÷òîáû
ïîëó÷èòüâòîðóþôîðìóëó(
A.19
).Äàííîåðàññóæäåíèå,î÷åâèäíî,
îáðàòèìî.
/
Ïðèìåðû.
1.Äëÿêîëè÷åñòâàäåëèòåëåéèìååì

(
k
)=
X

j
k
1
;
X
d
j
n

(
d
)


n
d

=1
:
(A.20)
2.Îáðàùåíèåôîðìóëû(
A.14
)äà¸ò
'
(
n
)=
n
X
d
j
n

(
d
)
d
:
(A.21)
Êàêñëåäñòâèåôîðìóëû(
A.21
),ââèäó(
A.13
),ïîëó÷àåì
'
(
n
)=
n

1

1
p
1

:::

1

1
p
k

;
(A.22)
n
=
p

1
1
:::p

k
k
:
B.ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
§1.Êîíå÷íûåñóììû
Ëåììà1.1.
Èìååòìåñòîòîæäåñòâî
n
X
r
=
m
a
r
(
b
r

b
r

1
)=
a
n
b
n

a
m
b
m

1
+
n

1
X
r
=
m
(
a
r

a
r
+1
)
b
r
:
(B.1)
.
n
X
r
=
m
a
r
(
b
r

b
r

1
)=
n
X
r
=
m
a
r
b
r

n
X
r
=
m
a
r
b
r

1
=
çàìåíèì
r
íà
k
+1
âîâòîðîéñóììå
=
n
X
r
=
m
a
r
b
r

n

1
X
k
=
m

1
a
k
+1
b
k
=
a
n
b
n
+
n

1
X
r
=
m
a
r
b
r

a
m
b
m

1

n

1
X
r
=
m
a
k
+1
b
k
;
îòêóäà,ñíîâàïåðåîáîçíà÷àÿ
k
÷åðåç
r
,ïîëó÷èì(
B.1
).
/
Ëåììà1.2.
Ïóñòü
m
è
l
–íàòóðàëüíûå÷èñëà,
lm
.Ôóíêöèÿ
f
(
x
)
íåâîçðàñòàåòíàìíîæåñòâå
[
m;l
+1)
,òîãäà
Z
l
+1
m
f
(
x
)
dx
6
l
X
k
=
m
f
(
k
)
6
f
(
m
)+
Z
l
m
f
(
x
)
dx
(B.2)
.
Ïîñêîëüêóôóíêöèÿ
f
(
x
)
ïîóñëîâèþìîíîòîííîíåâîçðàñòàåò,
ïðèëþáûõ
k

m
èìååì
f
(
k
+1)
6
f
(
x
)
6
f
(
k
)
;k
6
x
6
k
+1
;
àòàêêàêìîíîòîííàÿôóíêöèÿèíòåãðèðóåìà,òîèíòåãðèðóÿïî÷ëåí­
íîýòîíåðàâåíñòâîíàîòðåçêå
[
k;k
+1]
ïîëó÷èì
f
(
k
+1)
6
Z
k
+1
k
f
(
x
)
dx
6
f
(
k
)
:
Ñóììèðóÿëåâîåíåðàâåíñòâîïîâñåì
k
=
m;m
+1
;:::;l

1
,àïðàâîå
ïîâñåì
k
=
m;m
+1
;:::;l
,ïîëó÷èì
l
X
k
=
m
+1
f
(
k
)
6
Z
l
m
f
(
x
)
dx;
Z
l
+1
m
f
(
x
)
dx
6
l
X
k
=
m
f
(
k
)
;
2.Ñâîéñòâàôóíêöèè
[
x
]
143
òîåñòüñîîòíîøåíèå(
B.2
).
/
Âêà÷åñòâåñëåäñòâèÿäîêàæåìîöåíêó
ln
n
!=
n
ln
n

n
+
O
(ln
n
)
(B.3)
.
Ïîëîæèìâëåâîìíåðàâåíñòâåëåììû
1.2
l
=
n

1
,
m
=1
,
f
(
x
)=ln(1
=x
)
,òîãäà
n

1
X
k
=1
ln
1
k

Z
n
1
ln
1
x
dx;
èëè
n

1
X
k
=1
ln
k
6
Z
n
1
ln
xdx
=(
x
ln
x

x
)




n
1
=
n
ln
n

n
+1
ïðèáàâèâïî
ln
n
êêàæäîé÷àñòèïîëó÷èì
ln
n
!
6
n
ln
n

n
+1+ln
n;
ln
n
!
6
n
ln
n

n
+
C
ln
n;
(B.4)
òîåñòü,ñîîòíîøåíèå(
B.3
).
/
Ðàâåíñòâî(
B.3
)ëåãêîîáîáùàåòñÿíàâåùåñòâåííîå
x
:
ln[
x
]!=
x
ln
x

x
+
O
(ln
x
)
:
(B.5)
Àíàëîãè÷íîïðèâåäåííîìóäîêàçàòåëüñòâóìîæíîïîêàçàòü,÷òî
ïðè
n�
6
âûïîëíÿåòñÿ

n
e

n
n
!
n

n
e

n
(B.6)
§2.Ñâîéñòâàôóíêöèè
[
x
]
Ëåììà2.1.
Ïóñòü
x
—âåùåñòâåííîå÷èñëî,
c
—ïîëîæèòåëüíîå
öåëîå,òîãäà

[
x
]
c

=
h
x
c
i
.
Ïîòåîðåìåîäåëåíèèñîñòàòêîì(ñì.Ïðèëîæåíèå,ñòð.
134
),
èìååì
[
x
]=
cq
+
r;
0
6
rc
.Îòñþäà,ïîñëåäåëåíèÿïî÷ëåííîíà
c
èâçÿòèÿöåëîé÷àñòè,ïîëó÷èì

[
x
]
c

=
h
q
+
r
c
i
=
q:
144ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
Ñäðóãîéñòîðîíû,ïîñêîëüêó
x
=[
x
]+
f
x
g
,òî,äåëÿïî÷ëåííîíà
c
è
áåðÿöåëóþ÷àñòü,èìååì
h
x
c
i
=

q
+
r
+
f
x
g
c

=
q:
/
Ëåììà2.2.
Äëÿïðîèçâîëüíîãîâåùåñòâåííîãî
x
âûïîëíÿåòñÿ
[2
x
]
6
2[
x
]+1
(B.7)
.
Òàêêàê
[
x
]=
x
�f
x
g
,òî
[2
x
]=2
x
�f
2
x
g
;
2[
x
]=2
x

2
f
x
g
Âû÷èòàÿïî÷ëåííî,ïîëó÷èì
[2
x
]

2[
x
]=2
f
x
g�f
2
x
g
(

)
Ïîñêîëüêó
0
6
f
x
g

1
,òî

1

2
f
x
g�f
2
x
g

2
è,òàêêàêïðàâàÿ
÷àñòü
(

)
—öåëîå÷èñëî,òîîíîðàâíîëèáî
0
,ëèáî
1
.
/
§3.×èñëîâûåðÿäû
Îïðåäåëåíèå3.1.
Ïóñòü
u
1
;u
2
;:::;u
n
;:::
(B.8)
áåñêîíå÷íàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü÷èñåë,âåùåñòâåííûõèëèêîìïëåêñ­
íûõ.Âûðàæåíèå
u
1
+
u
2
+
:::
+
u
n
+
:::
=
1
X
n
=1
u
n
(B.9)
íàçûâàþò
áåñêîíå÷íûì÷èñëîâûìðÿäîì
1
.Ýëåìåíòûïîñëåäîâàòå­
ëüíîñòè(
B.8
)íàçûâàþò
÷ëåíàìèðÿäà
(
B.9
).
Ïðèìåðû.
1.Ãåîìåòðè÷åñêàÿïðîãðåññèÿñîçíàìåíàòåëåì
q
=const
1+
q
+
q
2
+
:::
+
q
n
+
:::
=
1
X
n
=0
q
n
:
(B.10)
1
Êîðî÷å,ïðîñòî—ðÿäîì.
3.×èñëîâûåðÿäû145
2.
1

1+1

:::
+(

1)
n
+
:::
=
1
X
n
=0
(

1)
n
:
(B.11)
Îïðåäåëåíèå3.2.
Ñóììó
n
ïåðâûõ÷ëåíîâðÿäà(
B.9
)
S
n
=
n
P
k
=1
u
k
íàçûâàþò
n
­îé÷àñòè÷íîéñóììîé
ýòîãîðÿäà.
Îïðåäåëåíèå3.3.
Ðÿä(
B.9
)íàçûâàåòñÿ
ñõîäÿùèìñÿ
,åñëèïîñëå­
äîâàòåëüíîñòüåãî÷àñòè÷íûõñóììèìååòêîíå÷íûéïðåäåë
lim
n
!1
S
n
=
S:
(B.12)
×èñëî
S
íàçûâàþò
ñóììîéðÿäà
(
B.9
),ïèøóò
S
=
1
X
n
=1
u
n
:
Åñëèïðåäåë(
B.12
)íåñóùåñòâóåòèëèðàâåí
1
,òîðÿä(
B.9
)íàçûâà­
þò
ðàñõîäÿùèìñÿ
.
Íàïðèìåð,ãåîìåòðè÷åñêàÿïðîãðåññèÿ(
B.10
)ñõîäèòñÿ,ïðè
j
q
j

1
,òàêêàê
lim
n
!1
S
n
=lim
n
!1
1

q
n
1

q
=
1
1

q
èðàñõîäèòñÿïðè
j
q
j

1
,ïîñêîëüêóâýòîìñëó÷àå
lim
n
!1
1

q
n
1

q
=
1
;

j
q
j

1

;lim
n
!1
n
=
1
;
(
q
=1)
:
Ðÿä(
B.11
)ðàñõîäèòñÿ,òàêêàêíåñóùåñòâóåòïðåäåëàäëÿåãî
n
­ûõ
÷àñòè÷íûõñóìì,êîòîðûåðàâíû
1
ïðè÷¸òíîì
n
è
0
ïðèíå÷¸òíîì.
Êàêâìàòåìàòèêå,òàêèâïðèëîæåíèÿõ,÷àñòîòðåáóåòñÿíåíàõî­
äèòüñîáñòâåííîñóììóðÿäà,àïðîñòîóñòàíîâèòüôàêòåãîñõîäèìî­
ñòèèëèðàñõîäèìîñòè.Ñóùåñòâóþòðàçëè÷íûåïðèçíàêèñõîäèìî­
ñòè,ïîçâîëÿþùèåîïðåäåëèòüñõîäèìîñòü(ðàñõîäèìîñòü)ðÿäà,íå
âû÷èñëÿÿïðåäåëàåãî÷àñòè÷íûõñóìì.Îäíèìèçòàêîâûõïðèçíà­
êîâÿâëÿåòñÿ
Èíòåãðàëüíûéïðèçíàê
:ïóñòü÷ëåíûðÿäà(
B.9
)ïîëîæèòåëüíûè
íåâîçðàñòàþò
u
1

u
2

:::

u
n

:::;
146ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
ôóíêöèÿ
f
(
x
)
îïðåäåëåíàäëÿâñåõ
x
,íåïðåðûâíà,íåâîçðàñòàåòè
f
(1)=
u
1
;f
(2)=
u
2
;:::f
(
n
)=
u
n
;::::
Òîãäàäëÿñõîäèìîñòèðÿäà(
B.9
)íåîáõîäèìîèäîñòàòî÷íî,÷òîáû
ñõîäèëñÿèíòåãðàë
Z
1
1
f
(
x
)
dx:
Ïðèìåðû:
1.
Ãàðìîíè÷åñêèéðÿä
2
H
n
def
=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
:::
ðàñõîäèòñÿ,èáî
Z
1
1
dx
x
=ln
x




1
1
=
1
;
2.Ðÿä
1
1

+
1
2

+
1
3

+
1
4

+
:::
ñõîäèòñÿïðèëþáîì

1
,òàêêàêñõîäèòñÿèíòåãðàë
Z
1
1
dx
x

=

1


1
1
x


1




1
1
=
1


1
Ïðè

6
1
ðÿäðàñõîäèòñÿ.
Ñõîäèìîñòüèëèðàñõîäèìîñòüòàêæåìîæåòáûòüóñòàíîâëåíà
ïîñðåäñòâîì
ñðàâíåíèÿ
ðÿäîâ.Ïóñòüäàíûñõîäÿùèåñÿðÿäû
1
X
n
=1
u
n
=
U;
(B.13)
1
X
n
=1
v
n
=
V:
(B.14)
Òîãäàñõîäÿòñÿèðÿäû

1
X
n
=1
u
n
=
U;
1
X
n
=1
(
u
n
+
v
n
)=
U
+
V:
2
Îòñëîâà«harmonic».Íàçâàíèåñâÿçàíîñòåì,÷òî
n
­ÿãàðìîíèêà,èçâëåêàåìàÿ
èçñêðèïè÷íîé(èëèèíîé)ñòðóíû,—ýòîîñíîâíîéòîí,ïðîèçâîäèìûéñòðóíîé
äëèíîé
1
=n
îòäëèíûèñõîäíîéñòðóíû.
4.Ïðåäåëûè
O
­ñèìâîëèêà147
Åñëèðÿäû(
B.13
),(
B.14
)èìåþòíåîòðèöàòåëüíûå÷ëåíû,òîïðèñó­
ùåñòâîâàíèèêîíñòàíòû
C�
0
,òàêîé,÷òî
0
6
u
n
6
Cv
n
;
(B.15)
èçñõîäèìîñòèðÿäà(
B.14
)ñëåäóåòñõîäèìîñòü(
B.13
),àèçðàñõî­
äèìîñòè(
B.13
)ðàñõîäèìîñòü(
B.14
).Ïðèâûïîëíåíèèíåðàâåíñòâà
(
B.15
)ãîâîðÿò,÷òîðÿä(
B.14
)
ìàæîðèðóåò
ðÿä(
B.13
).
Îïðåäåëåíèå3.4.
Çíàêîïåðåìåííûéðÿä(àòàêæåðÿäñêîìïëåê­
ñíûìè÷ëåíàìè)íàçûâàåòñÿ
àáñîëþòíîñõîäÿùèìñÿ
,åñëèñõîäèòñÿ
ðÿä,ñîñòàâëåííûéèçìîäóëåéåãî÷ëåíîâ.
Âñÿêèéàáñîëþòíîñõîäÿùèéñÿðÿäñõîäèòñÿ.Ñóììààáñîëþòíî
ñõîäÿùåãîñÿðÿäàíåçàâèñèòîòïåðåñòàíîâêè÷ëåíîâðÿäà.Àáñî­
ëþòíîñõîäÿùèåñÿðÿäûìîæíîïî÷ëåííîïåðåìíîæàòüèïîëó÷èâ­
øèéñÿâïðîèçâåäåíèèðÿäòàêæåáóäåòñõîäèòñÿ.
§4.Ïðåäåëûè
O
­ñèìâîëèêà
Ïóñòü
f
(
x
)
,
g
(
x
)
—ôóíêöèè,îïðåäåë¸ííûåäëÿäîñòàòî÷íîáîëü­
øîãîïîëîæèòåëüíîãî
x
.Ïðè÷¸ì
f
(
x
)
—ëþáàÿêîìïëåêñíîçíà÷íàÿ
ôóíêöèÿ,à
g
(
x
)
ïîëîæèòåëüíàäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõ
x
.Òîãäàñî­
îòíîøåíèÿ
f
(
x
)=
O
(
x
)
;f
(
x
)=
o
(
x
)
(B.16)
ñîîòâåòñòâåííîîçíà÷àþò,÷òîäëÿäîñòàòî÷íîáîëüøèõ
x
ñóùåñòâóåò
êîíñòàíòà
A�
0
,òàêàÿ,÷òî
j
f
(
x
)
j
6
Ag
(
x
)
è
lim
x
!1
j
f
(
x
)
j
g
(
x
)
=0
:
Îòìåòèì,÷òîðàâåíñòâà(
B.16
)÷èòàþòñÿòîëüêîñëåâàíàïðàâî.
Åñëè
lim
x
!1
f
(
x
)
g
(
x
)
=1
;
òî
f
è
g
íàçûâàþò
àñèìïòîòè÷åñêèýêâèâàëåíòíûìè
èçàïèñûâàþò
ýòî:
f

g;x
!1
.
148ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
Îïðåäåëåíèå4.1.
×àñòè÷íûìïðåäåëîì
ôóíêöèè
f
(
x
)
âòî÷êå
a
íàçûâàþò÷èñëî(èëèñèìâîë
1
)
A
:
A
=lim
n
!1
f
(
x
n
)
;
ïðè
x
n
!
a:
Íàèáîëüøèéèíàèìåíüøèéèçýòèõïðåäåëîâíàçûâàþò,ñîîòâåò­
ñòâåííî,
âåðõíèì
è
íèæíèìïðåäåëàìè
ôóíêöèè
f
(
x
)
âòî÷êå
a
èîáî­
çíà÷àþò
lim
x
!
a
f
(
x
)
;
lim
x
!
a
f
(
x
)
:
Ðàâåíñòâîýòèõïðåäåëîâíåîáõîäèìîèäîñòàòî÷íîäëÿñóùåñòâîâà­
íèÿïðåäåëàôóíêöèè
f
(
x
)
âòî÷êå
a
.
ÏðàâèëîËîïèòàëÿ.
Ïóñòü
a
—êîíå÷íàÿèëèáåñêîíå÷íîóäàë¸í­
íàÿòî÷êàâåùåñòâåííîé÷èñëîâîéîñè,àôóíêöèè
f
(
x
)
,
g
(
x
)
çàäàíû
âîâñåõòî÷êàõíåêîòîðîéîäíî­èëèäâóñòîðîííåéîêðåñòíîñòèòî÷­
êè
a
,êðîìåñàìîéýòîéòî÷êè,òîãäàåñëèñóùåñòâóþò
f
0
(
x
)
,
g
0
(
x
)
,òî
lim
x
!
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=lim
x
!
a
f
0
(
x
)
g
0
(
x
)
:
§5.Ôîðìóëàáèíîìà
Äëÿëþáûõâåùåñòâåííûõ
x
,
y
èíàòóðàëüíîãî
n
âûïîëíÿåòñÿ
(
x
+
y
)
n
=
n
X
k
=0
C
k
n
x
n

k
y
k
:
(B.17)
Â÷àñòíîñòè,ïðè
x
=
y
=1
n
X
k
=0
C
k
n
=2
n
;
(B.18)
ãäåáèíîìèàëüíûåêîýôôèöèåíòû
C
k
n
=
n
!
k
!(
n

k
)!
ñîäåðæàòåëüíîâûðàæàþò÷èñëî
ñî÷åòàíèé
èç
n
ýëåìåíòîâïî
k
,òî
åñòüêîëè÷åñòâî
k
­ýëåìåíòíûõïîäìíîæåñòâ
n
­ýëåìåíòíîãîìíîæå­
ñòâà.Èçîïðåäåëåíèÿ÷èñëàñî÷åòàíèéñëåäóåòïîëåçíàÿôîðìóëà
C
k
+1
n
+1
=
C
k
n
+
C
k
+1
n
:
(B.19)
6.Îñëîæíîñòèàëãîðèòìîâ149
§6.Îñëîæíîñòèàëãîðèòìîâ
Ñëîæíîñòüàëãîðèòìîâìîæíîîöåíèâàòü,èñõîäÿèçâåëè÷èíèõ
÷èñëîâûõïàðàìåòðîâ,àòàêæåòðóäî¸ìêîñòèèêîëè÷åñòâàîïåðà­
öèéñíèìè.Ýòîçàâèñèòîòðàññìàòðèâàåìîéçàäà÷è,öåëåéàâòîðàè
ïðî÷èõïàðàìåòðîâ.Ïðèïðàêòè÷åñêèõêîìïüþòåðíûõâû÷èñëåíè­
ÿõî÷åâèäíîâàæíàêàêâåëè÷èíà÷èñåë,òàêèçàòðàòûâðåìåíèíà
îïåðàöèèñíèìè(íàïðèìåð,ñëîæåíèåâûïîëíÿåòñÿìíîãîáûñòðåå
óìíîæåíèÿèëèäåëåíèÿ,íî,âòîæåâðåìÿ,óìíîæåíèåíàñòåïåíü
2
ïðèïîìîùèïîáèòîâûõñäâèãîâïðîùåèáûñòðååñëîæåíèÿ).
Âòåîðèè÷èñåëñëîæíîñòü,êàêïðàâèëî,ïðèíÿòîèçìåðÿòüêî­
ëè÷åñòâîìàðèôìåòè÷åñêèõîïåðàöèé,òðåáóåìûõäëÿðåàëèçàöèè
àëãîðèòìà«âõóäøåìñëó÷àå»,ò.å.òàêîéâåëè÷èíîé,÷òîïðèðàç­
ëè÷íûõâõîäíûõïàðàìåòðàõêîëè÷åñòâîîïåðàöèéáóäåòíåáîëüøå
ýòîéâåëè÷èíû.Äðóãèìèñëîâàìè,ñ÷èòàåòñÿ,÷òîâðåìÿâûïîëíåíèÿ
ëþáîéàðèôìåòè÷åñêîéîïåðàöèèîãðàíè÷åíîíåêîòîðîéêîíñòàí­
òîé.Íàïðèìåð,ïóñòüíóæíîîïðåäåëèòüêîëè÷åñòâîåäèíèöâáè­
íàðíîììàññèâåðàçìåðíîñòè
n
.Òîãäààëãîðèòì,êîòîðûéïðîñìàò­
ðèâàåòýòîòìàññèâ(îäèíïðîñìîòðñ÷èòàåìðàâíûìîäíîéîïåðà­
öèè)èìååòñëîæíîñòü
O
(
n
)
.Âåçäåâäàííîéêíèãåïîäñëîæíîñòüþ
àëãîðèòìàïîíèìàåòñÿêîëè÷åñòâîàðèôìåòè÷åñêèõîïåðàöèé,íåîá­
õîäèìûõäëÿðåøåíèÿçàäà÷è«âõóäøåìñëó÷àå».
Ïóñòü,âîáùåìñëó÷àå,
n
—«ðàçìåð»âõîäíîãîïàðàìåòðàçàäà÷è
(îáû÷íîýòî—ðàçìåðýòîãîïàðàìåòðàâáèòàõ),òîãäàêîëè÷åñòâî
ýëåìåíòàðíûõøàãîâàëãîðèòìàðåøåíèÿçàäà÷è,î÷åâèäíî,çàâèñèò
îò
n
.Âòåîðèèñëîæíîñòèðàçëè÷àþò
ïîëèíîìèàëüíóþ
(
O
(
n
a
),
a

êîíñòàíòà,íåçàâèñÿùàÿîò
n
),
ñóáýêñïîíåíöèàëüíóþ
(
O
(
e
p
n
))è
ýêñ­
ïîíåíöèàëüíóþ
(
O
(
e
n
)
)ñëîæíîñòèàëãîðèòìîâ.
Êëàññçàäà÷,äëÿðåøåíèÿêîòîðûõíåîáõîäèìûàëãîðèòìûïîëè­
íîìèàëüíîéñëîæíîñòè,îáîçíà÷àþò
P
.Íàïðèìåð,ïåðåìíîæåíèå«â
ñòîëáèê»äâóõ÷èñåë,èìåþùèõâäâîè÷íîìïðåäñòàâëåíèè
n=
2
ðàç­
ðÿäîâ,ìîæíîâûïîëíèòüçà
O
(
n
2
)
øàãîâ(«âðåìÿ»),ò.å.ýòîòàëãî­
ðèòìïîëèíîìèàëåí.Êðàçðÿäó
NP
­çàäà÷îòíîñÿòçàäà÷è,îáëàäàþ­
ùèåòåìñâîéñòâîì,÷òîåñëèîíèèìåþòðåøåíèå,òîèìååòñÿàëãî­
ðèòì,ïîçâîëÿþùèéïîëó÷èòüýòîðåøåíèåè,çàòåì,åãîìîæíîïðî­
âåðèòüçàïîëèíîìèàëüíîåâðåìÿ.Åñëèæå
NP
­çàäà÷àðåøåíèÿíå
èìååò,òîàëãîðèòìäîëæåíîïðåäåëèòüýòîè,âýòîìñëó÷àå,ïðîâåð­
êàäàííîãîôàêòàíåîáÿçàòåëüíà.Ïðèìåð
NP
­çàäà÷è—ðàçëîæåíèå
íàìíîæèòåëèáîëüøèõíàòóðàëüíûõ÷èñåë.Çàäà÷èíàçûâàþò
NP
­
ïîëíûìè
,åñëèïîñòðîåíèåýôôåêòèâíîãîàëãîðèòìàäëÿðåøåíèÿ
õîòÿáûîäíîéèçòàêèõçàäà÷,áóäåòèìåòüñëåäñòâèåìïîñòðîåíèå
150ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
àëãîðèòìîâ,ðåøàþùèõñðàçóâñåçàäà÷èèçäàííîãîêëàññà.Ïðèìåð
NP
­ïîëíîéçàäà÷è—çàäà÷àêîììèâîÿæåðà.
Âîïðîñîáýêâèâàëåíòíîñòèêëàññîâ
P
è
NP
,ò.å.âîçìîæíîëèçà
ïîëèíîìèàëüíîåâðåìÿðåøèòü
NP
­çàäà÷ó,íåðåø¸íäîíàñòîÿùå­
ãîâðåìåíè(2008ã.)èÿâëÿåòñÿíûíåîäíîéèçãëàâíåéøèõïðîáëåì
ìàòåìàòèêè,òåñíîñâÿçàííîéñîìíîãèìèäðóãèìèâàæíûìèâîïðî­
ñàìè
1
,ñðåäèêîòîðûõèïðîáëåìûðàñïðåäåëåíèÿïðîñòûõ÷èñåë.
1
Íàïðèìåð:åñëèçàäà÷àðàñïîçíàâàíèÿïðîñòîòû÷èñëàíåÿâëÿåòñÿïîëèíîìè­
àëüíîé,òîïðèóñëîâèè
P
6
=
NP
ðàñøèðåííàÿãèïîòåçàÐèìàíàíåâåðíà[
17
].
Òàáëèöàïðîñòûõ÷èñåë
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
1
2
38
163
75
379
112
613
149
859
186
1109
2
3
39
167
76
383
113
617
150
863
187
1117
3
5
40
173
77
389
114
619
151
877
188
1123
4
7
41
179
78
397
115
631
152
881
189
1129
5
11
42
181
79
401
116
641
153
883
190
1151
6
13
43
191
80
409
117
643
154
887
191
1153
7
17
44
193
81
419
118
647
155
907
192
1163
8
19
45
197
82
421
119
653
156
911
193
1171
9
23
46
199
83
431
120
659
157
919
194
1181
10
29
47
211
84
433
121
661
158
929
195
1187
11
31
48
223
85
439
122
673
159
937
196
1193
12
37
49
227
86
443
123
677
160
941
197
1201
13
41
50
229
87
449
124
683
161
947
198
1213
14
43
51
233
88
457
125
691
162
953
199
1217
15
47
52
239
89
461
126
701
163
967
200
1223
16
53
53
241
90
463
127
709
164
971
201
1229
17
59
54
251
91
467
128
719
165
977
202
1231
18
61
55
257
92
479
129
727
166
983
203
1237
19
67
56
263
93
487
130
733
167
991
204
1249
20
71
57
269
94
491
131
739
168
997
205
1259
21
73
58
271
95
499
132
743
169
1009
206
1277
22
79
59
277
96
503
133
751
170
1013
207
1279
23
83
60
281
97
509
134
757
171
1019
208
1283
24
89
61
283
98
521
135
761
172
1021
209
1289
25
97
62
293
99
523
136
769
173
1031
210
1291
26
101
63
307
100
541
137
773
174
1033
211
1297
27
103
64
311
101
547
138
787
175
1039
212
1301
28
107
65
313
102
557
139
797
176
1049
213
1303
29
109
66
317
103
563
140
809
177
1051
214
1307
30
113
67
331
104
569
141
811
178
1061
215
1319
31
127
68
337
105
571
142
821
179
1063
216
1321
32
131
69
347
106
577
143
823
180
1069
217
1327
33
137
70
349
107
587
144
827
181
1087
218
1361
34
139
71
353
108
593
145
829
182
1091
219
1367
35
149
72
359
109
599
146
839
183
1093
220
1373
36
151
73
367
110
601
147
853
184
1097
221
1381
37
157
74
373
111
607
148
857
185
1103
222
1399
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
223
1409
264
1693
305
2011
346
2339
387
2671
224
1423
265
1697
306
2017
347
2341
388
2677
225
1427
266
1699
307
2027
348
2347
389
2683
226
1429
267
1709
308
2029
349
2351
390
2687
227
1433
268
1721
309
2039
350
2357
391
2689
228
1439
269
1723
310
2053
351
2371
392
2693
229
1447
270
1733
311
2063
352
2377
393
2699
230
1451
271
1741
312
2069
353
2381
394
2707
231
1453
272
1747
313
2081
354
2383
395
2711
232
1459
273
1753
314
2083
355
2389
396
2713
233
1471
274
1759
315
2087
356
2393
397
2719
234
1481
275
1777
316
2089
357
2399
398
2729
235
1483
276
1783
317
2099
358
2411
399
2731
236
1487
277
1787
318
2111
359
2417
400
2741
237
1489
278
1789
319
2113
360
2423
401
2749
238
1493
279
1801
320
2129
361
2437
402
2753
239
1499
280
1811
321
2131
362
2441
403
2767
240
1511
281
1823
322
2137
363
2447
404
2777
241
1523
282
1831
323
2141
364
2459
405
2789
242
1531
283
1847
324
2143
365
2467
406
2791
243
1543
284
1861
325
2153
366
2473
407
2797
244
1549
285
1867
326
2161
367
2477
408
2801
245
1553
286
1871
327
2179
368
2503
409
2803
246
1559
287
1873
328
2203
369
2521
410
2819
247
1567
288
1877
329
2207
370
2531
411
2833
248
1571
289
1879
330
2213
371
2539
412
2837
249
1579
290
1889
331
2221
372
2543
413
2843
250
1583
291
1901
332
2237
373
2549
414
2851
251
1597
292
1907
333
2239
374
2551
415
2857
252
1601
293
1913
334
2243
375
2557
416
2861
253
1607
294
1931
335
2251
376
2579
417
2879
254
1609
295
1933
336
2267
377
2591
418
2887
255
1613
296
1949
337
2269
378
2593
419
2897
256
1619
297
1951
338
2273
379
2609
420
2903
257
1621
298
1973
339
2281
380
2617
421
2909
258
1627
299
1979
340
2287
381
2621
422
2917
259
1637
300
1987
341
2293
382
2633
423
2927
260
1657
301
1993
342
2297
383
2647
424
2939
261
1663
302
1997
343
2309
384
2657
425
2953
262
1667
303
1999
344
2311
385
2659
426
2957
263
1669
304
2003
345
2333
386
2663
427
2963
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
428
2969
469
3329
510
3643
551
4001
592
4337
429
2971
470
3331
511
3659
552
4003
593
4339
430
2999
471
3343
512
3671
553
4007
594
4349
431
3001
472
3347
513
3673
554
4013
595
4357
432
3011
473
3359
514
3677
555
4019
596
4363
433
3019
474
3361
515
3691
556
4021
597
4373
434
3023
475
3371
516
3697
557
4027
598
4391
435
3037
476
3373
517
3701
558
4049
599
4397
436
3041
477
3389
518
3709
559
4051
600
4409
437
3049
478
3391
519
3719
560
4057
601
4421
438
3061
479
3407
520
3727
561
4073
602
4423
439
3067
480
3413
521
3733
562
4079
603
4441
440
3079
481
3433
522
3739
563
4091
604
4447
441
3083
482
3449
523
3761
564
4093
605
4451
442
3089
483
3457
524
3767
565
4099
606
4457
443
3109
484
3461
525
3769
566
4111
607
4463
444
3119
485
3463
526
3779
567
4127
608
4481
445
3121
486
3467
527
3793
568
4129
609
4483
446
3137
487
3469
528
3797
569
4133
610
4493
447
3163
488
3491
529
3803
570
4139
611
4507
448
3167
489
3499
530
3821
571
4153
612
4513
449
3169
490
3511
531
3823
572
4157
613
4517
450
3181
491
3517
532
3833
573
4159
614
4519
451
3187
492
3527
533
3847
574
4177
615
4523
452
3191
493
3529
534
3851
575
4201
616
4547
453
3203
494
3533
535
3853
576
4211
617
4549
454
3209
495
3539
536
3863
577
4217
618
4561
455
3217
496
3541
537
3877
578
4219
619
4567
456
3221
497
3547
538
3881
579
4229
620
4583
457
3229
498
3557
539
3889
580
4231
621
4591
458
3251
499
3559
540
3907
581
4241
622
4597
459
3253
500
3571
541
3911
582
4243
623
4603
460
3257
501
3581
542
3917
583
4253
624
4621
461
3259
502
3583
543
3919
584
4259
625
4637
462
3271
503
3593
544
3923
585
4261
626
4639
463
3299
504
3607
545
3929
586
4271
627
4643
464
3301
505
3613
546
3931
587
4273
628
4649
465
3307
506
3617
547
3943
588
4283
629
4651
466
3313
507
3623
548
3947
589
4289
630
4657
467
3319
508
3631
549
3967
590
4297
631
4663
468
3323
509
3637
550
3989
591
4327
632
4673
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
633
4679
674
5023
715
5417
756
5743
797
6113
634
4691
675
5039
716
5419
757
5749
798
6121
635
4703
676
5051
717
5431
758
5779
799
6131
636
4721
677
5059
718
5437
759
5783
800
6133
637
4723
678
5077
719
5441
760
5791
801
6143
638
4729
679
5081
720
5443
761
5801
802
6151
639
4733
680
5087
721
5449
762
5807
803
6163
640
4751
681
5099
722
5471
763
5813
804
6173
641
4759
682
5101
723
5477
764
5821
805
6197
642
4783
683
5107
724
5479
765
5827
806
6199
643
4787
684
5113
725
5483
766
5839
807
6203
644
4789
685
5119
726
5501
767
5843
808
6211
645
4793
686
5147
727
5503
768
5849
809
6217
646
4799
687
5153
728
5507
769
5851
810
6221
647
4801
688
5167
729
5519
770
5857
811
6229
648
4813
689
5171
730
5521
771
5861
812
6247
649
4817
690
5179
731
5527
772
5867
813
6257
650
4831
691
5189
732
5531
773
5869
814
6263
651
4861
692
5197
733
5557
774
5879
815
6269
652
4871
693
5209
734
5563
775
5881
816
6271
653
4877
694
5227
735
5569
776
5897
817
6277
654
4889
695
5231
736
5573
777
5903
818
6287
655
4903
696
5233
737
5581
778
5923
819
6299
656
4909
697
5237
738
5591
779
5927
820
6301
657
4919
698
5261
739
5623
780
5939
821
6311
658
4931
699
5273
740
5639
781
5953
822
6317
659
4933
700
5279
741
5641
782
5981
823
6323
660
4937
701
5281
742
5647
783
5987
824
6329
661
4943
702
5297
743
5651
784
6007
825
6337
662
4951
703
5303
744
5653
785
6011
826
6343
663
4957
704
5309
745
5657
786
6029
827
6353
664
4967
705
5323
746
5659
787
6037
828
6359
665
4969
706
5333
747
5669
788
6043
829
6361
666
4973
707
5347
748
5683
789
6047
830
6367
667
4987
708
5351
749
5689
790
6053
831
6373
668
4993
709
5381
750
5693
791
6067
832
6379
669
4999
710
5387
751
5701
792
6073
833
6389
670
5003
711
5393
752
5711
793
6079
834
6397
671
5009
712
5399
753
5717
794
6089
835
6421
672
5011
713
5407
754
5737
795
6091
836
6427
673
5021
714
5413
755
5741
796
6101
837
6449
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
n
p
n
838
6451
879
6829
920
7207
961
7573
1002
7933
839
6469
880
6833
921
7211
962
7577
1003
7937
840
6473
881
6841
922
7213
963
7583
1004
7949
841
6481
882
6857
923
7219
964
7589
1005
7951
842
6491
883
6863
924
7229
965
7591
1006
7963
843
6521
884
6869
925
7237
966
7603
1007
7993
844
6529
885
6871
926
7243
967
7607
1008
8009
845
6547
886
6883
927
7247
968
7621
1009
8011
846
6551
887
6899
928
7253
969
7639
1010
8017
847
6553
888
6907
929
7283
970
7643
1011
8039
848
6563
889
6911
930
7297
971
7649
1012
8053
849
6569
890
6917
931
7307
972
7669
1013
8059
850
6571
891
6947
932
7309
973
7673
1014
8069
851
6577
892
6949
933
7321
974
7681
1015
8081
852
6581
893
6959
934
7331
975
7687
1016
8087
853
6599
894
6961
935
7333
976
7691
1017
8089
854
6607
895
6967
936
7349
977
7699
1018
8093
855
6619
896
6971
937
7351
978
7703
1019
8101
856
6637
897
6977
938
7369
979
7717
1020
8111
857
6653
898
6983
939
7393
980
7723
1021
8117
858
6659
899
6991
940
7411
981
7727
1022
8123
859
6661
900
6997
941
7417
982
7741
1023
8147
860
6673
901
7001
942
7433
983
7753
1024
8161
861
6679
902
7013
943
7451
984
7757
1025
8167
862
6689
903
7019
944
7457
985
7759
1026
8171
863
6691
904
7027
945
7459
986
7789
1027
8179
864
6701
905
7039
946
7477
987
7793
1028
8191
865
6703
906
7043
947
7481
988
7817
1029
8209
866
6709
907
7057
948
7487
989
7823
1030
8219
867
6719
908
7069
949
7489
990
7829
1031
8221
868
6733
909
7079
950
7499
991
7841
1032
8231
869
6737
910
7103
951
7507
992
7853
1033
8233
870
6761
911
7109
952
7517
993
7867
1034
8237
871
6763
912
7121
953
7523
994
7873
1035
8243
872
6779
913
7127
954
7529
995
7877
1036
8263
873
6781
914
7129
955
7537
996
7879
1037
8269
874
6791
915
7151
956
7541
997
7883
1038
8273
875
6793
916
7159
957
7547
998
7901
1039
8287
876
6803
917
7177
958
7549
999
7907
1040
8291
877
6823
918
7187
959
7559
1000
7919
1041
8293
878
6827
919
7193
960
7561
1001
7927
1042
8297
156Ñïèñîêèëëþñòðàöèé
Ñïèñîêèëëþñòðàöèé
I.1.Ôóíêöèÿ

(
x
)
.
........................
10
I.2.Ôóíêöèè
g
(
x
)
è
ln
2
x
.
....................
25
II.1.Ôóíêöèè

(
x
)
x=
ln
x
è

(
x
)
x
,

(
x
)
x
.
..................
34
II.2.Ôóíêöèè

(
x
)
è
ax=
ln
x
,
Ax=
ln
x
ïðè
x
6
100
.
.....
38
II.3.Ôóíêöèè

(
x
)
è
ax=
ln
x
,
Ax=
ln
x
ïðè
x
6
800
.
.....
40
II.4.
p
n
è
bn
ln
n
,
Bn
ln
n
.
......................
41
II.5.Ôóíêöèè

(
x
)
è
R
x
2
dt
ln
t
,
x
ln
x
.
.................
43
II.6.Ôóíêöèè
ln
x
è
P
p
6
x
ln
p
p
.
..................
51
II.7.Ôóíêöèè
lnln
x
è
P
p
6
x
1
p
.
..................
52
II.8.Ôóíêöèè
C
ln
x
è
Q
p
6
x

1

1
p

.
...............
53
II.9.Ôóíêöèè
cx
2
=
ln
x
,
Cx
2
=
ln
x
è
P
p
6
x
p
.
..........
55
III.1.Ôóíêöèÿ

2
(
x
)
è
2
C
2
R
x
2
du
ln
2
u
.
................
61
III.2.
z
êàêôóíêöèÿ
x
.
.......................
68
V.1.ÔîðìóëàÑåëüáåðãà.
....................
82
Ïðåäìåòíûéóêàçàòåëü
ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÉÐßÄ
,147
ÃÈÏÎÒÅÇÀ
ÎÁËÈÇÍÅÖÀÕ
,60,62
Ð
ÈÌÀÍÀ
,96
ÇÀÊÎÍ
ÎÁÐÀÙÅÍÈßÔÓÍÊÖÈÉ
,141
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈßÏÐÎÑÒÛÕ
,81
ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÎÅÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ
,118,
137
ÊÎÍÑÒÀÍÒÀ
ÁËÈÇÍÅÖÎÂ
,61
Ì
ÅÐÒÅÍÑÀ
,51,66,67
Ý
ÉËÅÐÀ
,52,80
Ë
ÎÏÈÒÀËÜ
,149
Ì
ÀÒÈßÑÅÂÈ×
,26
Ì
ÈËËÑ
,20
ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ð
ÎÑÑÅÐÀ
,42
Ð
ÎÑÑÅÐÀ
—Ø
ÅÍÔÅËÜÄÀ
,42
ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ
Ñ
ÈËÜÂÅÑÒÐÀ
,23
ÏÐÎÑÒÎÅ×ÈÑËÎ
,12
ÏÐÎÑÒÛÅ
­
ÁËÈÇÍÅÖÛ
,60
ÐÅØÅÒÎ
Á
ÐÓÍÀ
,63,121
Ñ
ÅËÜÁÅÐÃÀ
,70
Ý
ÐÀÒÎÑÔÅÍÀ
,13,15,116
ÑÎÑÒÀÂÍÎÅ×ÈÑËÎ
,12
ÒÅÎÐÅÌÀ
ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÈÎÑÍÎÂÍÀß
,136
Á
ÐÓÍÀ
,62,63
Â
ÈËÜÑÎÍÀ
,18
Ã
ÎËÜÄÁÀÕÀ
,22
Ä
ÈÐÈÕËÅ
,28
Å
ÂÊËÈÄÀ
,21
Ê
ËÅÌÅÍÒÀ
,69
Ë
ÅÉÁÍÈÖÀ
,29
Ì
ÅÁÈÓÑÀ
,141
ÎÄÅËÅÍÈÈÑÎÑÒÀÒÊÎÌ
,135
Ñ
ÅËÜÁÅÐÃÀ
,91
Ô
ÅÐÌÀ
,30
×
ÅÁÛبÂÀ
,39,40,47
×
ÓËÀÍÎÂÑÊÎÃÎ
,73
Ø
ÅÐÊÀ
,59
Ý
ÉËÅÐÀ
,21,23,25,31
ÒÎÆÄÅÑÒÂÎ
×
ÅÁÛبÂÀ
,36
Ý
ÉËÅÐÀ
,93,94
ÔÎÐÌÓËÀ
ÎÁÐÀÙÅÍÈßÔÓÍÊÖÈÉ
,141
Ñ
ÅËÜÁÅÐÃÀ
,81
ÔÓÍÊÖÈÈ
ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ
,137
×
ÅÁÛبÂÀ
,33
ÔÓÍÊÖÈß
Ý
ÉËÅÐÀ
,140
ÔÓÍÊÖÈß
ÊÎËÈ×ÅÑÒÂÎÄÅËÈÒÅËÅÉ
,139
Ì
ÀÍÃÎËÜÄÒÀ
,78
Ì
ÅÁÈÓÑÀ
,139
ÌÓËÜÒÈÏËÈÊÀÒÈÂÍÀß
,137
ÌÓËÜÒÈÏËÈÊÀÒÈÂÍÀß
ÂÏÎËÍÅ
,137
ÑÓÌÌÀÄÅËÈÒÅËÅÉ
,139
×ÈÑËÀ
Á
ÅÐÍÓËËÈ
,96
Ê
ÀÐÌÀÉÊËÀ
,31
Ì
ÅÐÑÅÍÍÀ
,27,31
Ñ×ÀÑÒËÈÂÛÅ
,133
Ô
ÅÐÌÀ
,22,27
Ô
ÈÁÎÍÀ××È
,32
158Ëèòåðàòóðà
Ëèòåðàòóðà
1.
×åáûø¸âÏ.Ë.Èçáðàííûåòðóäû.Ì.:èçä.ÀÍÑÑÑÐ,1955.
2.
ÂèíîãðàäîâÈ.Ì.Îñíîâûòåîðèè÷èñåë.Ì.:Íàóêà,1981.
3.
ÏðàõàðÊ.Ðàñïðåäåëåíèåïðîñòûõ÷èñåë.Ì.:Ìèð,1967.
4.
ÒðîñòÝ.Ïðîñòûå÷èñëà.Ì.:ÈË,1959.
5.
ÃåëüôîíäÀ.Î.,ËèííèêÞ.Â.Ýëåìåíòàðíûåìåòîäûâàíàëèòè­
÷åñêîéòåîðèè÷èñåë.Ì,1962.
6.
Ãàëî÷êèíÀ.È.,ÍåñòåðåíêîÞ.Â.,ØèäëîâñêèéÀ.Á.Ââåäåíèåâ
òåîðèþ÷èñåë.Ì.:èçä.ÌÃÓ,1995.
7.
ÑåðïèíñêèéÂ.250çàäà÷ïîýëåìåíòàðíîéòåîðèè÷èñåë.Ì.:
Ïðîñâåùåíèå,1968.
8.
ÈíãàìÀ.Ý.Ðàñïðåäåëåíèåïðîñòûõ÷èñåë.Ì.:Åäèòîðèàë
ÓÐÑÑ,2005.
9.
Òèò÷ìàðøÅ.Ê.Òåîðèÿäçåòà­ôóíêöèèÐèìàíà.Ì,1953.
10.
ÄýâåíïîðòÃ.Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿòåîðèÿ÷èñåë.Ì.:Íàó­
êà,1971.
11.
Ìàòèÿñåâè÷Þ.Â.ÄåñÿòàÿïðîáëåìàÃèëüáåðòà.Ì,1993.
12.
G.H.HardyandE.M.Wright.AnIntroductiontotheTheoryof
Numbers.OxfordSciencePublication,1979.
13.

Приложенные файлы

  • pdf 11341188
    Размер файла: 875 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий