математика 2ч


министерство образования российской федерации
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
(образован в 1953 году)
Кафедра высшей математики
И.В. Трофимова
Математика
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов II курса заочной формы обучения специальностей 140401 (070200), 220301 (210200), 260601 (170600), 260602 (271300)
Часть 2

www.mgutm.ru
Москва – 2010

УДК 51
И.В. Трофимова. Математика. Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов II курса заочной формы обучения специальностей 140401 (070200), 220301 (210200), 260601 (170600), 260602 (271300). Часть 2. – М.: МГУТУ, 2010.
Рекомендовано Институтом информатизации образования РАО,
сертификат № _______
Методические указания и контрольные задания по различным разделам высшей математики разработаны в соответствии с программой курса «Математика» и предназначены для студентов заочной формы обучения специальностей 140401 (070200), 220301 (210200), 260601 (170600), 260602 (271300).
Цель издания – оказание методической помощи студентам при самостоятельном изучении дисциплины и выполнении контрольных заданий.
Автор: Трофимова И.В.
Рецензент: к.п.н., доцент Садыкова А.Р.
Московский государственный университет технологий и управления, 2010
109004, Москва, Земляной вал, 73

Содержание
Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальностей 21024
Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальностей 07027
Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальностей 1706, 271310
Указания по выполнению контрольных работ12
Контрольная работа № 513
Указания к решению задач контрольной работы № 517
Контрольная работа № 624
Указания к решению задач контрольной работы № 632
Приложения40
Список литературы44
Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальности 2102
Математический анализ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление площади плоских фигур и объемов тел, площади криволинейной поверхности при помощи двойного интеграла. Применение двойных интегралов к решению физических задач: вычисление масс, статических моментов, координат центров масс, моментов инерции.
Тройной интеграл и его свойства. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла к решению физических задач. Понятие кратного интеграла.
Задача о массе материальной кривой. Криволинейный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Задача о работе переменной силы на криволинейном пути. Криволинейный интеграл II рода, его свойства и вычисление. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла.
Задача о массе материальной поверхности. Поверхностный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл II рода и его физических смысл. Свойства поверхностного интеграла и вычисление его сведением к двойным интегралам.
Ряды
Сходимость и сумма числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Геометрический, гармонический и обобщенный гармонический ряды, условия их сходимости или расходимости.
Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка, линейные уравнения второго и высших порядков – однородные и неоднородные.
Системы дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теория функций комплексной переменной
Элементарные функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной и ее свойства. Понятие конформного отображения.
Интеграл функции комплексной переменной и его свойства. Нахождение вычетов функций.
Преобразования Лапласа и Фурье.
Теория вероятностей и случайные процессы
Элементарная теория вероятностей
Случайные события, виды событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
Условная вероятность. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа
Случайные величины
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины. Равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины, их свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
Модели случайных процессов
Случайные процессы. Свойства и вероятностные характеристики случайных процессов. Процессы с независимыми приращениями. Потоки событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Ветвящийся процесс. Процесс гибели и размножения.
Математическая статистика
Выборки и их характеристики
Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическая функция распределения выборки. Статистический ряд. Гистограмма и полигон частот. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода и медиана, начальный и центральный эмпирический момент.
Элементы теории оценок и проверки гипотез
Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия.
Статистические гипотезы. Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.
Статистические методы обработки экспериментальных данных
Дисперсионный анализ. Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Корреляционный анализ. Основные понятия корреляционного анализа. Точечные оценки двумерной корреляционной модели. Проверка значимости генерального коэффициента корреляции. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции.
Регрессионный анализ. Основные понятия регрессионного анализа. Планирование регрессионного эксперимента. Обработка результатов активного эксперимента методом регрессионного анализа.

Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальности 0702
Математический анализ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление площади плоских фигур и объемов тел, площади криволинейной поверхности при помощи двойного интеграла. Применение двойных интегралов к решению физических задач: вычисление масс, статических моментов, координат центров масс, моментов инерции.
Тройной интеграл и его свойства. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла к решению физических задач. Понятие кратного интеграла.
Задача о массе материальной кривой. Криволинейный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Задача о работе переменной силы на криволинейном пути. Криволинейный интеграл II рода, его свойства и вычисление. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла.
Задача о массе материальной поверхности. Поверхностный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл II рода и его физических смысл. Свойства поверхностного интеграла и вычисление его сведением к двойным интегралам.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка, линейные уравнения второго и высших порядков – однородные и неоднородные.
Системы дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теория функций комплексной переменной
Элементарные функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной и ее свойства. Понятие конформного отображения.
Интеграл функции комплексной переменной и его свойства. Нахождение вычетов функций.
Преобразования Лапласа и Фурье.
Теория вероятностей и случайные процессы
Элементарная теория вероятностей
Случайные события, виды событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
Условная вероятность. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа
Случайные величины
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины. Равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины, их свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
Модели случайных процессов
Случайные процессы. Свойства и вероятностные характеристики случайных процессов. Процессы с независимыми приращениями. Потоки событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Ветвящийся процесс. Процесс гибели и размножения.
Математическая статистика
Выборки и их характеристики
Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическая функция распределения выборки. Статистический ряд. Гистограмма и полигон частот. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода и медиана, начальный и центральный эмпирический момент.
Элементы теории оценок и проверки гипотез
Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия.
Статистические гипотезы. Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.
Статистические методы обработки экспериментальных данных
Дисперсионный анализ. Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Корреляционный анализ. Основные понятия корреляционного анализа. Точечные оценки двумерной корреляционной модели. Проверка значимости генерального коэффициента корреляции. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции.
Регрессионный анализ. Основные понятия регрессионного анализа. Планирование регрессионного эксперимента. Обработка результатов активного эксперимента методом регрессионного анализа.

Тематическое содержание рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальностей 1706, 2713
Математический анализ
Кратные и криволинейные интегралы
Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление площади плоских фигур и объемов тел, площади криволинейной поверхности при помощи двойного интеграла. Применение двойных интегралов к решению физических задач: вычисление масс, статических моментов, координат центров масс, моментов инерции.
Тройной интеграл и его свойства. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла к решению физических задач. Понятие кратного интеграла.
Задача о массе материальной кривой. Криволинейный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Задача о работе переменной силы на криволинейном пути. Криволинейный интеграл II рода, его свойства и вычисление. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Вычисление площадей плоских фигур.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах ,линейные, уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка, линейные уравнения второго и высших порядков – однородные и неоднородные.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей
Элементарная теория вероятностей
Случайные события, виды событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
Условная вероятность. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли.
Случайные величины
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины. Равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины, их свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
Математическая статистика
Выборки и их характеристики
Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическая функция распределения выборки. Статистический ряд. Гистограмма и полигон частот. Числовые характеристики статистического распределения.
Элементы теории оценок и проверки гипотез
Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия.
Статистические гипотезы. Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.
Статистические методы обработки экспериментальных данных
Дисперсионный анализ. Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Корреляционный анализ. Основные понятия корреляционного анализа. Точечные оценки двумерной корреляционной модели. Проверка значимости генерального коэффициента корреляции. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции.
Регрессионный анализ. Основные понятия регрессионного анализа. Планирование регрессионного эксперимента. Обработка результатов активного эксперимента методом регрессионного анализа.
Указания по выполнению контрольных работПо дисциплине «Математика» студенты II курса заочной полной и сокращенной форм обучения должны выполнить две контрольные работы – №5 и №6. Контрольные работы выполняются по следующим разделам и темам рабочей программы:
№5 – математический анализ: двойные интегралы, ряды и дифференциальные уравнения;
№6 – теория вероятностей и математическая статистика.
Ниже приведены варианты заданий контрольных работ. Индивидуальный номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Последняя цифра «0» соответствует десятому варианту.
Студенты специальностей 0702, 1706 и 2713 задания 5.4 и 5.5 контрольной работы №5 не выполняют.

Контрольная работа №5
Задача 5.1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.
1. .2. .
3. .4. .
5. .6. .
7. .8. .
9. .10. .
Задача 5.2. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость .
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Задача 5.3.
В вариантах 1 – 4 найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями:
1. .
2. .
3. .
4. .
В вариантах 5 – 7 найти момент инерции относительно оси Oy однородной пластины, ограниченной линиями:
5. .
6. .
7. .
В вариантах 8 – 10 найти момент инерции относительно оси Ox однородной пластины, ограниченной линиями:
8. .
9. .
10. .
Задача 5.4. Исследовать на сходимость числовой ряд с помощью достаточных признаков сходимости.
1. а) ;б) .
2. а);б) .
3. а) ;б) .
4. а) ;б) .
5. а) ;б) .
6. а) ;б) .
7. а) ;б) .
8. а) ;б) .
9. а) б) .
10. а) ;б) .
Задача 5.5. Найти область сходимости степенного ряда.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Задача 5.6. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 5.7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. 2.
3. 4.
5. .6.
7. 8.
9. 10. .
Задача 5.8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Указания к решению задач контрольной работы №5
К задаче 5.1
01dx x2-x2f(x,y)dy.D1D2x
y
0
1
221
y=xРис. 1
Область интегрирования D (рис.1) ограничена линиями
x=0,  x=1,  y=x,  y=2-x2.Найдем ординату точки пересечения двух последних линий:
y=x,y=2-x2;отсюда y2=2-y2, y=1.Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей D1 и D2 , где
D1: 0≤y≤1, 0≤x≤y;D2: 1≤y≤2, 0≤x≤2-y2.Следовательно,
01dxx2-x2fx, ydy=01dy0yfx,ydx+12dy02-y2f(x, y)dx.К задаче 5.2
y=x,   y=3x ,  x+z=9,   z=0.Заданное тело ограничено сверху плоскостью x+z=9, снизу плоскостью z=0, с боков цилиндрами y=x и y=3x (рис. 2, 3).
0
x
y
z
9
9
y
x
0
9
D
Рис. 3
Рис. 2

Следовательно,
V=D9-xdxdy=09dxx3x9-xdy=09(9-x)yx 3xdx==09(9-x)∙2xdx=09(18x-2xx)dx=18∙23x3-2∙25x509==324-9725=6485.К задаче 5.3
0
π1
x
y
Рис. 4
Найти статические моменты, координаты центра тяжести и момент инерции относительно оси Оy однородной пластины, ограниченной линиями y=sinx, 0≤x≤π и осью Ox (плотность μ(x, y)=1 (рис. 4).
Определим статические моменты Mx и My:
Mx=Dydxdy=0πdx0sinxydy=0πy220 sinxdx==120πsin2xdx=140π(1-cos2x)dx==14x-12sin2x0π=π4.My=Dxdxdy=0πxdx0sinxdy=0πx sinxdx=u=x,dv=sinxdxdu=dx,v=-cosx==-xcosx0π+0πcosxdx=π+sinx0π=π.Определим площадь пластины:
S=Ddxdy=0πdx0sinxdy=0πsinx dy=- cosx|0π=-cosπ-cos0=2.Находим координаты центра тяжести:
xC=MyS=π2, yC=MxS=π8.Определим момент инерции относительно оси Оy:
IOy=D x2dxdy= 0πx2dx0sinxdy=0πx2sinx dx==u=x2,du=2x dxdv=sinx dx,v=-cosx=- x2cosx|0π+20πx cosx dx==u=x,du= dxdv=cosx dx,v=sinx=-x2cosx0π+2xsinx0π-0πsinxdx==π2+2cosx0π=π2-4.К задаче 5.4
a) n=1∞(n+1)n2nn!.Используем признак Даламбера
un=(n+1)n2nn!, un+1=((n+1)+1)n+12n+1(n+1)!=(n+2)n+12n+1(n+1)!,l=limn→∞un+1un=limn→∞n+1+1n+12n+1n+1!:n+1n2nn!==limn→∞n+2nn+22n∙2∙n!n+1∙2nn!n+1n=limn→∞n+2nn+22∙n+1n+1n==12limn→∞n+2n+1nn+2n+1=12limn→∞1+1n+1n∙limn→∞n+2n+1==12limn→∞1+1n+1n+1nn+1∙limn→∞1+1n+1=12elimn→∞nn+1=e2>1.Получили l=e2>1, значит, по признаку Даламбера данный ряд расходится.
б) n=2∞1nln2n.Так как функция fx=1xln2x, составленная по общему члену ряда, непрерывная монотонно убывающая при x>2, то можем применить интегральный признак Коши:
2+∞fxdx=2+∞1xln2xdx=2+∞d(lnx)ln2x=-1lnx2+∞=1ln2.Так как несобственный интеграл сходится, то и ряд, к которому применили интегральный признак Коши, также сходится.
К задаче 5.5
n=2∞(x+1)n5nn3n.Найдем радиус сходимости данного ряда
R=limn→∞anan+1=limn→∞15nn3n:15n+1n+13n+1==limn→∞5∙5nn+13n+15nn3n=5limn→∞1+1n31+1n=5.Ряд сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству
x+5<5, то есть -5<x+1<5, -6<x<4.
n=2∞(-1)nn3n.Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
При x=-6 получаем числовой ряд
По признаку Лейбница этот ряд сходится, так как
1>1232> 1333…>1n3n> …
и
limn→∞un=limn→∞1n3n=0.При x=4 имеем числовой ряд
n=2∞5n5nn3n=n=2∞1n3n=n=2∞1n43.n=2∞1np,Этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд
где p=43>1.Значит, область сходимости данного ряда: x∈-6;4.К задаче 5.6
y'-yx(x+1)=1, y1=0.Это задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка. Общее решение уравнения находим в виде y=uv, где u=ux, v=v(x).
Подставим y=uv, y'=u'v+uv' в данное ОДУ. Получим
u'v+uv'-uvx(x+1)=1, u'v+uv'-vx(x+1)=1.Ищем v(x) как частное решение ОДУ:
1) v'-vx(x+1)=0,  тогда для ux получаем ОДУ 2) u'v=1.Оба уравнения с разделяющимися переменными. Решаем первое:
1) dvdx=vxx+1 , dvv=dxxx+1 ,lnv=lnxx+1, v=xx+1.Подставляем v во второе уравнение:
2) u'xx+1=1 ⇒ dudx=x+1x ,du= x+1xdx ⇒ u=x+lnx+C.Тогда общее решение ОДУ принимает вид
y=uv=x+lnx+Cxx+1.Используя начальное условие, имеем
0=1+ln1+C12, отсюда C=-1.Значит,  y=x+lnx-1xx+1 - решение задачи Коши, то есть частное решение данного ОДУ, удовлетворяющее начальному условию.
К задаче 5.7
yy''-y'2=0.Это ОДУ второго порядка вида Fy, y', y'', …, yn=0, допускающее понижение порядка путем замены
y'=p,   p=py,   y''=pdpdy.Подставляя эти выражения в данное ОДУ, получим уравнение с разделяющимися переменными
ypdpdy-p2=0.Полагая p≠0 имеем
dpp=dyy ⇒ dpp=dyy ⇒lnp=lny+lnC1 ⇒ p=C1y или dydx=C1y.Разделим переменные в последнем уравнении и, проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения
dyy=C1dx ⇒ dyy=C1dx ⇒ lny= C1x+lnC2 ⇒ y=C2eC1x.К задаче 5.8
y''-6y'+25y=9sin4x-24cos4x, y0=2, y'0=-2.Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ищем общее решение в виде y=y*+y:а) y* – общее решение однородного уравнения y''-6y'+25y=0, его характеристическое уравнение k2-6k+25=0 с корнями k1,2=3±4i. Значит,
y*=e3xC1cos4x+C2sin4x;б) y – частное решение данного ЛНДУ. Подберем его по виду правой части fx=9sin4x-24cos4x:
y=Acos4x+Bsin4x.Найдем y', y'' и подставим вместе с y в данное уравнение:
y'=-4Asin4x+4Bcos4x, y''=-16Acos4x-16Bsin4x;-16Acos4x-16Bsin4x+24Asin4x-24Bcos4x+25Acos4x+25Bsin4x==9sin4x-24cos4x, 9A-25Bcos4x+24A+9Bsin4x=9sin4x-24cos4x.Приравнивая коэффициенты при cos4x и sin4x, получим систему уравнений
9A-25B=-24,24A+9B=9.Решив систему, получим A=0,  B=1.Таким образом, частное решение ЛНДУ имеет вид y=sin4x, а общее решение
y=e3xC1cos4x+C2sin4x+sin4x.Отсюда
y'=3e3xC1cos4x+C2sin4x+e3x-4C1sin4x+4C2cos4x+4cos4x.Подставив начальные условия y0=2 и y'0=-2 в формулы для y и y', получим систему уравнений
C1=2,3C1+4C2+4=-2,Отсюда C1=2, C2=-3.Следовательно, y=e3x2cos4x-3sin4x+sin4x – решение задачи Коши, то есть частное решение данного ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям.

Контрольная работа №6
Задача 6.1.
1. При включении зажигания двигатель, независимо от остальных включений, начинает работать с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что:а) двигатель заработает при втором включении зажигания; б) для ввода двигателя в работу зажигание придется включать не менее четырех раз.
2. Человек забыл номер кода на дверном замке и помнит только, что этот код состоит их двух различных нечетных цифр. Какова вероятность того, что он с двух раз наберет код правильно?
3. В урне лежат 10 белых, 18 черных и 12 красных шаров. Случайным образом из урны вынимают два шара. Определить вероятность того, что вынутые шары окажутся разного цвета, если известно, что среди вынутых шаров нет белого.
4. На складе находится 8 костюмов 48-го размера, 12 костюмов 50-го размера и 10 костюмов 52-го размера. Случайным образом выбирают два костюма. Найти вероятность того, что они окажутся: а) одного размера; б) разных размеров.
5. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы.
6. На пяти карточках написаны буквы М, О, О, Р, Т. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом: а) три карточки; б) пять карточек. Какова вероятность того, что получится слово: а) ТОР, б) МОТОР?
7. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель равна 0,7 для первого стрелка, 0,8 – для второго стрелка и 0,9 – для третьего стрелка. Найти вероятность того, что: а) все три стрелка попадут в цель; б) по крайней мере, два стрелка попадут в цель; в) только один стрелок попадет в цель.
8. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы одинакова и равна 0,9, на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере, на два вопроса.
9. Два учебника по математике и три по физике произвольно расставлены на книжной полке. Какова вероятность того, что все учебники по одному предмету окажутся рядом?
10. Три предприятия заключают договор на поставку своей продукции. Вероятность выполнения договора первым предприятием равна 0,9, вторым – на 20% меньше, а третьим – 50 % от суммы двух первых вероятностей. Найти вероятность того, что договор выполнят: а) все три предприятия; б) только одно предприятие.
Задача 6.2.
1. Вероятность попадания стрелка в десятку равна 0,7, в девятку – 0,3. Чему равна вероятность того, что при трех выстрелах стрелок наберет не менее 29 очков.
2. Случайно встреченное лицо может оказаться с вероятностью 0,2 брюнетом, с вероятностью 0,3 – шатеном, с вероятностью 0,4 – блондином и с вероятностью 0,1 – рыжим. Найти вероятность того, что среди 5 встреченных лиц: а) не менее 3 блондинов; б) 2 шатена и 1 брюнет; в) хотя бы один рыжий.
3. Вероятность того, что семья имеет видеокамеру, равна 0,15. Какова вероятность того, что в десяти наугад выбранных семьях имеют видеокамеру: а) три семьи; б) не более трех.
4. Три элемента персонального компьютера работают независимо. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени t равна 0,8. Найти вероятность того, что на протяжении времени t: а) все элементы выйдут из строя; б) только два элемента работают безотказно; в) хотя бы один элемент будет работать исправно.
5. Какова вероятность того, что при 5 подбрасываниях монеты гербов выпадет больше, чем решек?
6. Вероятность того, что посетитель обувного магазина, сделает покупку, равна 0,4. Найти вероятность того, что из трех посетителей: а) только один приобретет обувь; б) ни один не сделает покупки; в) хотя бы двое посетителей приобретут обувь.
7. В люстре три лампы. Вероятность выхода из строя каждой лампы в течение года равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить: а) две лампы; б) не более одной лампы; в) хотя бы одну лампу?
8. При установившемся технологическом процессе автомат производит 0,75 количества деталей 1-го сорта и 0,25 – 2-го сорта. Определить, что наиболее вероятно: получение трех первосортных деталей среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных среди 6 отобранных.
9. Игральный кубик подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет: а) два раза; б) ни разу; в) менее двух раз.
10. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди них: а) трое мальчиков; б) хотя бы один мальчик. Вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми.
Задача 6.3.
1. Найти вероятность того, что в результате 500 бросаний игральной кости выпадет 6 очков не менее 70 и не более 80 раз.
2. Партия изделий содержит 20% брака. Найти вероятность того, что среди 400 проверенных изделий попадется не менее 50 и не более 90 бракованных изделий.
3. Семена некоторого растения прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастет не менее 1600 семян.
4. Монету бросают 400 раз. Какова вероятность того, что герб при этом выпадет не менее 204, но не более 214 раз?
5. Саженец яблони приживается с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 400 саженцев приживутся более 250 саженцев?
6. Вероятность получить профессиональное заболевание для работников данного цеха равна 0,2. Найти вероятность того, что из 250 работников цеха заболеют не более 50 человек.
7. Среди 1100 студентов 1% – левши. Какова вероятность того, что из общего числа студентов не менее 20 левшей?
8. Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет не меньше 260 и не больше 274 раз?
9. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
10. Вероятность правильной передачи бита равна 0,75. Найти вероятность того, что из последовательности, содержащей 100 информационных битов, число правильно переданных битов будет не меньше 71 и не больше 80.
Задача 6.4.
В задачах 1–5 непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти:
а) значение параметра a;
б) дифференциальную функцию распределения f(x);
в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
г) построить графики функций Fx и f(x);
д) вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (2;4).
1. Fx=0 при x≤3,ax-2 при 2<x≤8,1 при x>8.2. Fx=0 при x≤0,ax при 0<x≤8,1 при x>8.3. Fx=0 при x≤-2,ax+2 при-2<x≤4,1 при x>4.4. Fx=0 при x≤3,ax+3 при-3<x≤5,1 при x>5.5. Fx=0 при x≤2,ax-2 при 2<x≤10,1 при x>10.В задачах 6 – 10 непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения fx:
fx=0 при x≤0,ax2   при 0<x≤b,0 при x>b.Найти:
а) значение параметра a;
б) интегральную функцию распределения Fx;
в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
г) построить графики функций Fx и fx;
д) вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал -1; 13.
6. b=12. 7. b=23. 8. b=32. 9. b=56. 10. b=67.Задача 6.5. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднеквадратическое отклонение по данным наблюдений. Считая, что исследуемый количественный признак является непрерывной нормально распределенной случайной величиной с неизвестными параметрами a и σ, выпишите эмпирическую плотность его распределения, найдите доверительный интервал для оценки математического ожидания a с надежностью γ=0,95.
1. На ферме замеры жирности молока от различных коров, и результаты измерений представили в следующей таблице (xi – содержание жира в пробах, %;ni – количество проб с жирностью xi):
xi2 3 4 5 6 7
ni6 20 36 25 11 2
2. На заводе произвели замеры времени, необходимого для сборки одного узла разными рабочими результаты измерений представили в следующей таблице (xi – время сборки, мин; ni – число рабочих, собирающих узел за время xi):
xi56 58 60 62 64
ni4 10 16 8 2
3. Лаборатория качества продукции исследовала на прочность несколько образцов кожи результаты исследований представила в следующей таблице (xi – предельная нагрузка, выдерживаемая кожей, кг/мм2; ni – количество образцов, разрушившихся при нагрузке xi):
xi10 15 20 25 30 35
ni8 35 48 31 18 4
4. При изучении потребительского проса произведена выборка по размерам проданной мужской обуви, и результаты ее представлены в следующей таблице
(xi – размер обуви; ni – количество проданных пар размера xi):
xi39 40 41 42 43 44
ni4 17 40 25 10 4
5. Данные о полученной прибыли от продажи произведенных кондитерских изделий за день представлены в следующей таблице (xi – прибыль за день, у.е.; ni – количество дней с прибылью xi):
xi1 3 5 7 9 11
ni11 27 41 35 14 2
6. Данные об отклонении размера произведенного изделия от стандартного размера представлены в следующей таблице (xi – отклонение, мм; ni – количество изделий с отклонением xi):
xi0,3 0,7 1,1 1,5 1,9 2,3
ni10 43 57 45 36 9
7. Данные о росте 100 случайным образом отобранных юношей представлены в следующей таблице (xi – рост, см; ni – число юношей роста xi):
xi156 160 164 168 172 176
ni8 22 34 24 9 3
8. Химическая лаборатория произвела анализ 50 проб воды из Москвы-реки на содержание солей тяжелых металлов, и результаты его представила в следующей таблице (xi – содержание солей, мг/м3; ni – число проб с содержанием солей xi):
xi2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0
ni3 10 19 13 4 1
9. Данные о размере изделий, изготавливаемых станком-автоматом, представлены следующей таблицей (xi – размер изделия, см; ni – количество изделий размера xi):
xi31 33 35 37 39
ni5 18 50 17 10
10. На сыродельном заводе взвесили 100 головок сыра одного сорта и результаты представили в следующей таблице (xi – вес головки сыра, кг; ni – количество головок веса xi):
xi1,3 1,5 1,7 1,9 2,1
ni8 20 38 22 12
Задача 6.6. Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X и коэффициент корреляции rxy.
1.
xy5 10 15 20 25 30 ny45 2 4 – – – – 6
55 – 3 5 – – – 8
65 – – 5 35 5 – 45
75 – – 2 8 17 – 27
85 – – – 4 7 3 14
nx2 7 12 47 29 3 n=1002.
xy10 15 20 25 30 ny40 2 4 – – – – 6
50 – 3 7 – – – 10
60 – – 5 30 10 – 45
70 – – 7 10 8 – 25
80 – – – 5 6 3 14
nx2 7 19 45 24 3 n=1003.
xy15 20 25 30 35 40 ny110 1 5 – – – – 6
120 – 5 3 – – – 8
130 – – 3 40 12 – 55
140 – – 2 10 5 – 17
150 – – – 3 4 7 14
nx1 0 8 53 21 7 n=1004.
xy2 7 12 17 22 27 ny15 4 1 – – – – 5
25 – 6 4 – – – 10
35 – – 2 50 2 – 54
45 – – 1 9 7 – 17
55 – – – 4 3 7 14
nx4 7 7 63 12 7 n=1005.
xy5 10 15 20 25 30 ny10 3 5 – – – – 8
20 – 4 4 – – – 8
30 – – 7 35 8 – 50
40 – – 2 10 8 – 20
50 – – – 5 6 3 14
nx3 9 13 50 22 3 n=1006.
xy12 17 22 27 32 37 ny25 2 4 – – – – 6
35 – 6 3 – – – 9
45 – – 6 35 4 – 45
55 – – 2 8 6 – 16
65 – – – 14 7 3 24
nx2 10 11 57 17 3 n=1007.
xy15 20 25 30 35 40 ny25 3 4 – – – – 7
35 – 6 3 – – – 9
45 – – 6 35 2 – 43
55 – – 12 8 6 – 26
65 – – – 4 7 4 15
nx4 7 7 63 12 7 n=1008.
xy4 9 14 19 24 29 ny30 3 3 – – – – 6
40 – 5 4 – – – 9
50 – – 40 2 8 – 50
60 – – 5 10 16 – 21
70 – – – 4 7 3 14
nx3 8 49 16 21 3 n=1009.
xy5 10 15 20 25 30 ny30 2 6 – – – – 8
40 – 5 3 – – – 8
50 – – 7 40 2 – 49
60 – – 4 9 6 – 19
70 – – – 4 7 5 16
nx2 11 14 53 15 5 n=10010.
xy10 15 20 25 30 35 ny20 5 1 – – – – 6
30 – 6 2 – – – 8
40 – – 5 40 5 – 50
50 – – 2 8 7 – 17
60 – – – 4 7 8 19
nx5 7 9 52 19 8 n=100Указания к решению задач контрольной работы №6
К задаче 6.1
В корзине 4 яблока одного сорта и 5 яблок второго сорта. Наугад берут 2 яблока. Найти вероятность того, что взятые яблоки разных сортов.
Пусть событие А – взятые из корзины два яблока разных сортов.
Всего яблок в корзине 9, из них сочетаний по два C92, то есть число всех возможных исходов n=C92.
Событию А благоприятствуют пары, элементами которых являются яблоки разных сортов. Согласно принципу умножения количество таких пар равно m=C41∙C51.Используя классическое определение вероятности, получим искомую вероятность события А
PA=mn=C41∙C51C92=4∙59!2!∙7!=4∙5∙2!∙7!9!=4∙5∙28∙9=59.К задаче 6.2
Устройство состоит из 10 блоков. Надежность каждого блока равна 0,8. Блоки могут выходить из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что а) откажут два блока; б) откажет хотя бы один блок; откажут не меньше двух блоков.
Пусть событие А – отказ работы блока. Тогда вероятность события А по условию равна
PA=p=1-0,8=0,2, тогда q=1-p=1-0,2=0,8.Согласно условию задачи n=10. Используя формулу Бернулли
Pnm=Cnmpmqn-m,получим:
a) P102=C102p2q8=10!2!∙8!0,22∙0,88=45∙0,04∙0,168=0,302;б) P101<m≤10=1-P100=1-C100p0q10=1-0,810=1-0,107==0,893;в) P102<m≤10=1-P100+P101=1-(C100p0q10+C101p1q9)==1-0,107+10∙0,2∙0,89=1-1-0,107+0,268=0,625.К задаче 6.3
Электростанция обслуживает сеть из 10000 ламп. Вероятность включения каждой из них 0,6. Найти вероятность одновременного включения от 5900 до 6100 ламп.
Для нахождения вероятности P10000(5900≤m≤6100) используем формулы интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
Pnm1≤m≤m2=Φx2-Φx1, (1)где Φx – интегральная функция Лапласа,
x1=m1-npnpq, x2=m2-npnpq. (2)По формуле (2) имеем
x1=5900-10000∙0,610000∙0,6∙0,4=-10048,99=-2,04,x2=6100-10000∙0,610000∙0,6∙0,4=10048,99=2,04.Тогда по формуле (1) искомая вероятность равна
P100005900≤m≤6100= Φ2,04-Φ-2,04=Φ2,04+Φ2,04==2Φ2,04=0,4793.Значение интегральной функции Лапласа взято из Приложения 4 на с. 42 данного пособия и использовано свойство нечетности функции Φx: Φ-2,04=-Φ2,04.
К задаче 6.4
а) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения
Fx=0 при x≤1,x   при 1<x≤3,1 при x>3.Найдем дифференциальную функцию распределения f(x):
fx=F'x=0 при x≤1,1   при 1<x≤3,0 при x>3.Вероятность попадания случайной величины в интервал, например, (0,5;1,1) равна
P0,5<x<1,1=F1,1-F0,5=1,1-0,5=0,6.б) Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения
fx= 0 при x<1, ax4   при x≥1.Найдем значение параметра a из условия
1∞fxdx=1,то есть
1∞ax4dx=-a3x21∞=-a31∞-1=a3=1,отсюда a=3.
Найдем интегральную функцию распределения Fx.Если x<1, то Fx=0.Если x≥1, то
Fx=-∞xftdt=-∞10dx+1x3t4dt=-1t31x=1-1x3.Таким образом,
Fx=0 при x<1,1-1x3   при x≥1.Определим числовые характеристики случайной величины X по следующим формулам математического ожидания
MX=abxfxdx (3)и дисперсии
DX=-∞+∞x2fxdx. (4)Вычислим математическое ожидание по формуле (3):
MX=1∞x3x4dx=1∞3x3dx=-32x21∞=1,5,и дисперсию по формуле (4):
DX=1∞x23x4dx-(1,5)2=-3x1∞-2,25=0,75.Построим графики интегральной функции распределения Fx (рис. 5) и дифференциальной функции распределения fx (рис. 6):
f(x)1
xx0
1
3
0
F(x)1
Рис. 5
Рис. 6

Найдем вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (1, 2). Используем для этого формулу
Pa<x<b=abf(x)dx. fx=3x4 в интервале (1, 2); вне этого интервала fx=0. Следовательно, искомая вероятность
P1<x<2=123x4dx=-1x312=-18+1=78.К задаче 6.5
Данные наблюдений представлены в виде вариационного ряда (данные сгруппированы):
xi1 15 20 25 30 35
ni5 11 18 30 26 10
Объем выборки n=5+11+18+30+26+10=100, число групп выборки r=6. Находим выборочное среднее:
x=1100i=06nixi=0,01∙(10∙5+15∙11+20∙18+25∙30++30∙26+35∙10=2455.Аналогично найдем величину
1nirnixi2=645,75.Тогда выборочная дисперсия
Dв=1ni=1rnixi2-x2=645,75-602,7025=43,0475, а выборочное среднеквадратическое отклонение S=Dв=43,0475≈6,561.
Считая, что исследуемый количественный признак является непрерывной нормально распределенной случайной величиной с неизвестными параметрами a и σ, выпишем эмпирическую плотность его распределения с учетом найденных выборочных статистик
fx=12π∙Se-(x-x)22S2.Здесь неизвестное математическое ожидание a заменено его точечной оценкой – выборочной средней, а среднеквадратическое отклонение σ – на выборочное среднеквадратическое отклонение S. Получим эмпирическую плотность
fx=12π∙6,561e-(x-24,55)22∙6,5612.По результатам выборочного исследования можно прогнозировать параметры генеральной совокупности как с помощью точечных оценок, так и методом интервального оценивания. Интервальная оценка определяется двумя числами – концами интервала, в котором с заданной наперед вероятностью (надежностью) γ окажется неизвестный параметр.
Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания a с надежностью γ=0,95. Если параметр σ неизвестен, то доверительный интервал будет следующий:
x-tγ, nSn<a<x+tγ, nSn.Подставим в это неравенство x=24,55 – выборочное среднее,S=6,562 – выборочное среднее среднеквадратическое отклонение, n=100 – объем выборки. По уровню надежности γ=0,95 и объему выборки n=100 найдем параметр tγ, n=1,984 из Приложения 5 на с. 43 данного пособия. Получим
24,55-1,984∙6,561100<a<24,55+1,984∙6,561100,24,55-1,30<a<24,55+1,30.Величина tγ, nSn=1,30 называется точностью оценки и характеризует ширину доверительного интервала. Итак, 23,25<a<25,85, то есть неизвестное математическое ожидание a заключено в доверительном интервале (23,25;25,85) с надежностью 0,95. Полученный по данной выборке интервал покрывает неизвестный параметр a с вероятностью 0,95.
К задаче 6.6
xy1 3 5 7 ny10 2 8 5 – 15
15 8 12 25 5 50
20 – 10 10 15 35
nx10 10 40 20 n=100Было произведено n=100 измерений, в каждом из которых измерялись две величины X и Y. При большом числе измерений одно и то же значение x может встретиться nx раз, одно и то же значение y – ny раз, одна и та же пара чисел (x, y) – nxy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, то есть подсчитывают частоты nx, ny, nxy. Сгруппированные данные записывают в виде так называемой корреляционной таблицы.
В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (1, 3, 5, 7) переменной X, а в первом столбце – наблюдаемые значения (10, 15, 20) переменной Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты nxy наблюдаемых пар значений переменных. Все частоты размещены в жирном прямоугольнике. Например, частота 12 указывает, что пара чисел (3, 15) наблюдалась 12 раз.
В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки жирного прямоугольнике равна ny=2+8+5=15, то есть значение переменной Y, равное 10 (в сочетании с различными значениями переменной X), наблюдалось 15 раз.
В последней строк записаны суммы частот столбцов. Например, число 40 указывает, что значение переменной X, равное 5 (в сочетании с различными значениями переменной Y), наблюдалось 40 раз.
В правой нижней клетке таблицы помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений). Очевидно, что nx=ny=n.
В данном примере
nx=10+10+40+20=100, ny=15+50+35=100.
Составим корреляционную таблицу в условных переменных ui и vi:
ui=xi-c1h1, vi=yi-c2h2.h1=xk+1-xk, h2=yk+1-yk.Выбрав c1=5, c2=15 (ложные нули), при h1=2, h2=5, получим значения (-2, -1, 0, 1) для переменной u, (-1, 0, 1) – для переменной v. Корреляционная таблица в условных переменных примет вид:
uv–2 –1 0 1 nv–1 2 8 5 – 15
0 8 12 25 5 50
1 – 10 10 15 35
nu10 10 40 20 n=100Вычислим u и v:
u=1ni=1rniui=1100-2∙10+-1∙30+0∙40+1∙20=-0,3,v=1ni=1rnivi=1100-1∙15+0∙50+1∙35=0,2.Находим вспомогательные величины:
u2=1ni=1rniui2=1100-22∙10+-12∙30+02∙40+12∙20=0,9,v2=1ni=1rnivi2=1100-12∙15+02∙50+12∙35=0,5.Находим выборочные среднеквадратические отклонения:
σu=u2-u2=0,9-(-0,3)2=0,9-0,09=0,9,σv=v2-v2=0,5-0,22=0,5-0,09≈0,64.Коэффициент корреляции вычисляем по формуле
r=i, jni, juivj-nu vnσuσv,в которой все величины, кроме суммы, известны.
Для вычисления этой суммы составим расчетную таблицу:
uv–2 –1 0 1 U=nuvuvU–1 2 8 5 – –12 12
0 8 12 25 5 –23 0
1 – 10 10 15 5 5
V=nuvv–2 2 5 15 vU=17uV4 –2 0 15 uV=17В клетках последнего столбца U записаны суммы произведений частот строки на соответствующие этим частотам значения переменной u: U=nuvu. Например, число 12 получается суммированием произведений чисел в первой строке «жирного» прямоугольника на соответствующие значения переменной u:2-2+8-1+0∙1=-12.Умножаем переменную v на U, и полученное произведение записываем в последнюю клетку той же строки, то есть в клетку столбца vU. Например, для первой строки v=-1, U=-12, следовательно, vU=-1∙-12=12.
Сложив все числа столбца vU, получим сумму vU=17, которая равна искомой сумме nuvuv.
Для контроля аналогичные вычисления выполняют по столбцам. Сложив все числа в последней строке uV, получим сумму uV=17, которая при правильных вычислениях должна быть равна vU.
Искомая нами сумма:
i, jni, juivj=uV=vU=17.Теперь вычисляем коэффициент корреляции:
r=i, jni, juivj-nu vnσuσv=17-100∙(-0,3)∙0,2100∙0,9∙0,64≈0,4.Найдем остальные величины, входящие в уравнение регрессии:
x=u∙h1+c1=-0,3∙2+5=4,4,y=v∙h2+c2=0,2∙5+15=16,σx=σuh1=0,9∙2=1,8,σy=σvh2=0,64∙5=3,2.В результате выборочное уравнение регрессии имеет вид
y=y+rxyσyσxx-x=16+0,4∙3,21,8x-4,4,или окончательно
y=16+0,71x-4,4.Приложения
Приложение 1. Основные правила дифференцирования
c'=0.
cu'=c.
u±v'=u'±v'.
uv'=u'v+uv'.5. uv'=u'v-uv'v2.Приложение 2. Основные формулы дифференцирования
1. xn'=nxn-1, n∈R.2. logax'=1xlna.3. lnx'=1x.4.  ax'=axlna.5. ex'=ex.6. sinx'=cosx.7. cosx'=-sinx.8. tgx'=1cos2x.9. ctgx'=-1sin2x.10. arcsinx'=11-x2.11. arccosx'=-11-x2.12. arctgx'=11+x2.13. arcctgx'=-11+x2.Приложение 3. Основная таблица неопределенных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Приложение 4. Таблица значений функции
x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х)
0,00 0,0000 0,45 0,1736 0,90 0,3159 1,35 0,4115 1,80 0,4641 2,50 0,4938
0,01 0,0040 0,46 0,1772 0,91 0,3186 1,36 0,4131 1,81 0,4649 2,52 0,4941
0,02 0,0080 0,47 0,1808 0,92 0,3212 1,37 0,4147 1,82 0,4656 2,54 0,4945
0,03 0,0120 0,48 0,1844 0,93 0,3238 1,38 0,4162 1,83 0,4664 2,56 0,4948
0,04 0,0160 0,49 0,1879 0,94 0,3264 1,39 0,4177 1,84 0,4671 2,58 0,4951
0,05 0,0199 0,50 0,1915 0,95 0,3289 1,40 0,4192 1,85 0,4678 2,60 0,4953
0,06 0,0239 0,51 0,1950 0,96 0,3315 1,41 0,4207 1,86 0,4686 2,62 0,4956
0,07 0,0279 0,52 0,1985 0,97 0,3340 1,42 0,4222 1,87 0,4693 2,64 0,4959
0,08 0,0319 0,53 0,2019 0,98 0,3365 1,43 0,4236 1,88 0,4699 2,66 0,4961
0,09 0,0359 0,54 0,2054 0,99 0,3389 1,44 0,4251 1,89 0,4706 2,68 0,4963
0,10 0,0398 0,55 0,2088 1,00 0,3413 1,45 0,4265 1,90 0,4713 2,70 0,4965
0,11 0,0438 0,56 0,2123 1,01 0,3438 1,46 0,4279 1,91 0,4719 2,72 0,4967
0,12 0,0478 0,57 0,2157 1,02 0,3461 1,47 0,4292 1,92 0,4726 2,74 0,4969
0,13 0,0517 0,58 0,2190 1,03 0,3485 1,48 0,4306 1,93 0,4732 2,76 0,4971
0,14 0,0557 0,59 0,2224 1,04 0,3508 1,49 0,4319 1,94 0,4738 2,78 0,4973
0,15 0,0596 0,60 0,2257 1,05 0,3531 1,50 0,4332 1,95 0,4744 2,80 0,4974
0,16 0,0636 0,61 0,2291 1,06 0,3554 1,51 0,4345 1,96 0,4750 2,82 0,4976
0,17 0,0675 0,62 0,2324 1,07 0,3577 1,52 0,4357 1,97 0,4756 2,84 0,4977
0,18 0,0714 0,63 0,2357 1,08 0,3599 1,53 0,4370 1,98 0,4761 2,86 0,4979
0,19 0,0753 0,64 0,2389 1,09 0,3621 1,54 0,4382 1,99 0,4767 2,88 0,4980
0,20 0,0793 0,65 0,2422 1,10 0,3643 1,55 0,4394 2,00 0,4772 2,90 0,4981
0,21 0,0832 0,66 0,2454 1,11 0,3665 1,56 0,4406 2,02 0,4783 2,92 0,4982
0,22 0,0871 0,67 0,2486 1,12 0,3686 1,57 0,4418 2,04 0,4793 2,94 0,4984
0,23 0,0910 0,68 0,2517 1,13 0,3708 1,58 0,4429 2,06 0,4803 2,96 0,4985
0,24 0,0948 0,69 0,2549 1,14 0,3729 1,59 0,4441 2,08 0,4812 2,98 0,4986
0,25 0,0987 0,70 0,2580 1,15 0,3749 1,60 0,4452 2,10 0,4821 3,00 0,49865
0,26 0,1026 0,71 0,2611 1,16 0,3770 1,61 0,4463 2,12 0,4830 3,20 0,49931
0,27 0,1064 0,72 0,2642 1,17 0,3790 1,62 0,4474 2,14 0,4838 3,40 0,49966
0,28 0,1103 0,73 0,2673 1,18 0,3810 1,63 0,4484 2,16 0,4846 3,60 0,499841
0,29 0,1141 0,74 0,2703 1,19 0,3830 1,64 0,4495 2,18 0,4854 3,80 0,499928
0,30 0,1179 0,75 0,2734 1,20 0,3849 1,65 0,4505 2,20 0,4861 4,00 0,499968
0,31 0,1217 0,76 0,2764 1,21 0,3869 1,66 0,4515 2,22 0,4868 4,50 0,499997
0,32 0,1255 0,77 0,2794 1,22 0,3883 1,67 0,4525 2,24 0,4875 5,00 0,499997
0,33 0,1293 0,78 0,2823 1,23 0,3907 1,68 0,4535 2,26 0,4881 0,34 0,1331 0,79 0,2852 1,24 0,3925 1,69 0,4545 2,28 0,4887 0,35 0,1368 0,80 0,2881 1,25 0,3944 1,70 0,4554 2,30 0,4893 0,36 0,1406 0,81 0,2910 1,26 0,3962 1,71 0,4564 2,32 0,4898 0,37 0,1443 0,82 0,2939 1,27 0,3980 1,72 0,4573 2,34 0,4904 0,38 0,1480 0,83 0,2967 1,28 0,3997 1,73 0,4582 2,36 0,4909 0,39 0,1517 0,84 0,2995 1,29 0,4015 1,74 0,4591 2,38 0,4913 0,40 0,1554 0,85 0,3023 1,30 0,4032 1,75 0,4599 2,40 0,4918 0,41 0,1591 0,86 0,3051 1,31 0,4049 1,76 0,4608 2,42 0,4922 0,42 0,1628 0,87 0,3078 1,32 0,4066 1,77 0,4616 2,44 0,4927 0,43 0,1664 0,88 0,3106 1,33 0,4082 1,78 0,4625 2,46 0,4931 0,44 0,1700 0,89 0,3133 1,34 0,4099 1,79 0,4633 2,48 0,4934 Приложение 5. Таблица значений

0,95 0,99 0,999
0,95 0,99 0,999
5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883
6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745
7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659
8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600
9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558
10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527
11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502
12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464
13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439
14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418
15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403
16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392
17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374
18 2,11 2,90 3,97 ∞ 1,960 2,576 3,291
19 2,10 2,88 3,92
Список литературы
Основная литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. –М.: Наука, 2006.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 т. – М.: Высшая школа, 2008.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2009.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2009 г.
5. Гофман В.Г. Высшая математика. Курс лекций. – М.: МГТА, 2002 г.
Дополнительная литература:6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, ФМ, 1978 г.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для втузов. – М.: Наука, 1989.
8. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2000.
9. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей высших учебных заведений. Е.С. Мироненко. – М.: Высшая школа, 1998.

Для заметок



Трофимова Инна Викторовна
Математика
Рабочая программа, методические указания и
контрольные задания. Часть 2
Подписано к печати:
Тираж:
Заказ №:

Приложенные файлы

  • docx 12188642
    Размер файла: 327 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий