ТВ_1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,
МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет







МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до самостійних робіт
з курсу
„Теорія ймовірностей”

для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз”
галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика”
денної форми навчання



Частина 1

Тема1 Ймовірність випадкових подій

Тема2 Послідовності випробувань









2011
Методичні вказівки та завдання до самостійних робіт з курсу „Теорія ймовірностей” для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика” денної форми навчання Ч.1. Тема1. Ймовірність випадкових подій. Тема2. Послідовності випробувань /Укл.:А.В.Савранська, О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко, О.В.Кривцун. – Запоріжжя: ЗНТУ,2011. – 59 с.


Методичні вказівки містять теоретичні відомості, індивідуальні завдання до самостійних робіт та приклади їх виконання з курсу „Теорія ймовірностей” для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика” денної форми навчання Ч.1. Тема1. Ймовірність випадкових подій. Тема2. Послідовності випробувань.


Укладачі: А.В. Савранська, доцент,
О.В. Кривцун, асистент,
О.В. Корнєєва, асистент,
А.О. Кузьменко, асистент.


Рецензенти: В.П. Пінчук, доцент,
О.І. Денисенко, доцент.



Відповідальний
за випуск: Г.В. Корніч, професор.



Затверджено
на засіданні кафедри
системного аналізу та
обчислювальної математики
протокол № 10 від 25.06.11 р.
ЗМІСТ

1 Лабораторна робота №1 Ймовірність випадкових подій.....................4
1.1 Алгебра подій...................................................................................4
1.2 Означення подій........................................................................4
1.3 Означення та властивості ймовірності та частості.......................5
1.4 Основні теореми теорії ймовірностей............................................6
1.5 Формули повної ймовірності та Байєса.........................................8
1.6 Приклади розв’язання задач............................................................9
1.7 Варіанти самостійного завдання №1............................................14
1.8 Варіанти самостійного завдання №2............................................19
1.9 Варіанти самостійного завдання №3............................................21
1.10 Варіанти самостійного завдання №4..........................................24
1.11 Варіанти самостійного завдання №5..........................................26
1.12 Варіанти самостійного завдання №6..........................................29
1.13 Варіанти самостійного завдання №7..........................................31
1.14 Варіанти самостійного завдання №8..........................................34
2 Лабораторна робота №2 Послідовності випробувань........................38
2.1 Схема та формула Бернуллі..........................................................38
2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа..................................39
2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях......................................................................40
2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях...........................................................................................40
2.5 Теорема Пуассона...........................................................................41
2.6 Приклади розв’язання задач..........................................................41
2.7 Варіанти самостійного завдання №1............................................46
2.8 Варіанти самостійного завдання №2............................................49
2.9 Варіанти самостійного завдання №3............................................51
2.10 Варіанти самостійного завдання №4..........................................54
3 Література...............................................................................................56
Додаток А Таблиці........................................58
А.1 Таблиця значень щільності стандартного нормального
розподілу ....58
А.2 Таблиця значень функції Лапласа59


1 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ

1.1 Алгебра подій

Розглянемо деякий дослід, у результаті якого може з’явитися або не з’явитися подія 13 EMBED Equation.3 1415, та такий, що він може реалізуватися у певних умовах скільки завгодно разів. Такі досліди називаються випробуваннями.
Події бувають достовірні, випадкові та неможливі.
Достовірною називають таку подію, яка при розглянутих умовах обов’язково трапиться.
Неможливою називають таку подію, яка при розглянутих умовах не може трапитися.
Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може і не трапитися.
Якщо досліджувати випадкову подію багато разів при однакових умовах, то можна виявити певну закономірність її появи або непояви. Таку закономірність називають імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

1.2 Означення подій

Означення 1.2.1 Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.
Означення 1.2.2 Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших.
Означення 1.2.3 Випадкові події 13 EMBED Equation.3 1415 утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з’явиться обов’язково.
Означення 1.2.4 Події називають рівноможливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можливіша за інші.
Означення 1.2.5 Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.
Означення 1.2.6 Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків.

1.3 Означення та властивості ймовірності та частості

Означення 1.3.1 (Класичне) Ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події 13 EMBED Equation.3 1415, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.
Ймовірність події 13 EMBED Equation.3 1415 позначають 13 EMBED Equation.3 1415. За Означенням 7
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1)
де 13 EMBED Equation.3 1415 - число елементарних наслідків, що сприяють події 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - число усіх єдиноможливих та рівноможливих наслідків.
Класичне означення ймовірності має місце лише тоді, коли 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі.
Якщо множина елементарних наслідків нескінчена і, як наслідок, займає деяку область 13 EMBED Equation.3 1415, а події 13 EMBED Equation.3 1415 сприяє лише частина 13 EMBED Equation.3 1415, то обчислення ймовірності події 13 EMBED Equation.3 1415 виконують згідно геометричного означення ймовірності.
Означення 1.3.2 (Геометричне) Ймовірність події дорівнює відношенню міри 13 EMBED Equation.3 1415 до міри 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2)
Означення 1.3.3 Відносною частотою або частістю події 13 EMBED Equation.3 1415 називається відношення числа випробувань, у яких подія 13 EMBED Equation.3 1415 з’явилась, до числа фактично виконаних випробувань.
Відносну частоту події 13 EMBED Equation.3 1415 позначають 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415. Отже,
13 EMBED Equation.3 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість випробувань, у яких з’явилась подія 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість усіх випробувань.
Означення 1.3.4 Статистична ймовірність – це відносна частота (частість) або число, близьке до неї.

Основні властивості ймовірності:
а) якщо подія 13 EMBED Equation.3 1415 достовірна, то її ймовірність дорівнює одиниці, тобто 13 EMBED Equation.3 1415;
б) якщо подія 13 EMBED Equation.3 1415 неможлива, то її ймовірність дорівнює нулю, тобто ;
в) якщо подія 13 EMBED Equation.3 1415 випадкова, то її ймовірність задовольняє співвідношення 13 EMBED Equation.3 1415;
г) ймовірності еквівалентних подій рівні, тобто, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
д) ймовірності події 13 EMBED Equation.3 1415 та протилежної події 13 EMBED Equation.3 1415 задовольняють співвідношенню:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3)

1.4 Основні теореми теорії ймовірностей

Теорема 1.4.1 Ймовірність об’єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей

13 EMBED Equation.3 1415 (1.4)

Теорема 1.4.2 Якщо випадкові події 13 EMBED Equation.3 1415 попарно несумісні, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

13 EMBED Equation.3 1415. (1.5)

Теорема 1.4.3 Сума ймовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці

13 EMBED Equation.3 1415 (1.6)
Означення 1.4.4 Випадкові події 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або непояви другої події.
Якщо ймовірність появи однієї події не залежить від появи або непояви другої, то такі події називають незалежними.
Означення 1.4.5 Ймовірність події 13 EMBED Equation.3 1415, обчислену при умові появи події 13 EMBED Equation.3 1415, називають умовною ймовірністю події 13 EMBED Equation.3 1415 і позначають 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 1.4.6 Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює добутку ймовірності другої події при умові, що перша подія з’явилася

13 EMBED Equation.3 1415 (1.7)

Співвідношення (1.7) називають формулою множення ймовірностей залежних випадкових подій.
У випадку незалежних випадкових подій 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 формула (1.7) приймає вигляд

13 EMBED Equation.3 1415 (1.8)

і називається формулою множення ймовірностей незалежних випадкових подій.
Нехай є 13 EMBED Equation.3 1415 сумісних випадкових подій 13 EMBED Equation.3 1415. Позначимо через 13 EMBED Equation.3 1415 подію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія 13 EMBED Equation.3 1415 полягає в тому, що події 13 EMBED Equation.3 1415 не з'являться, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Події 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 утворюють повну групу подій, тому

13 EMBED Equation.3 1415 (1.9)
Звідси одержуємо

13 EMBED Equation.3 1415 (1.10)

Теорема 1.4.7 Якщо випадкові події 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 сумісні, то ймовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх сумісної появи, тобто

13 EMBED Equation.3 1415 (1.11)

1.5 Формули повної ймовірності та Байєса

Теорема 6. Якщо випадкова подія 13 EMBED Equation.3 1415 може з'явиться лише сумісно з однією із несумісних між собою подій 13 EMBED Equation.3 1415, що утворюють повну групу, тоді ймовірність події 13 EMBED Equation.3 1415 обчислюються за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.12)

Формулу (1.12) називають формулою повної ймовірності.
В умовах теореми 6 невідомо, з якою подією із несумісних подій 13 EMBED Equation.3 1415 з'явиться подія 13 EMBED Equation.3 1415. Тому кожну з подій 13 EMBED Equation.3 1415 можна вважати гіпотезою. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415 - ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415-ої гіпотези.
Якщо випробування проведено і в результаті його подія 13 EMBED Equation.3 1415 з'явилася, то умовна ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 може не дорівнювати 13 EMBED Equation.3 1415. Порівняння ймовірностей 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 дозволяє переоцінити ймовірність гіпотези при умові, що подія 13 EMBED Equation.3 1415 з'явилася.
Для одержання умовної ймовірності використовуємо теорему множення ймовірностей залежних подій

13 EMBED Equation.3 1415 (1.13)

Підставимо в формулу (1.13) замість 13 EMBED Equation.3 1415 її значення з формули повної ймовірності. Одержимо

13 EMBED Equation.3 1415 (1.14)

Формули (1.13), (1.14) називають формулами Байеса.

1.6 Приклади розв’язання задач

Приклад 1.6.1 Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних наслідків. Записати події, які полягають в наступному:
а) С – стрілець влучив в мішень принаймні один раз;
б) D – стрілець влучив рівно один раз;
в) F – стрілець не влучив в мішень.
Розв’язання. Позначимо:

· подія А – влучення при першому пострілі,

· подія В – влучення при другому пострілі.
Простір елементарних наслідків складається з чотирьох подій
13 EMBED Equation.3 1415.
а) якщо стрілець влучив у мішень принаймні один раз, то це означає, що він влучив або при першому пострілі 13 EMBED Equation.3 1415, або при другому пострілі 13 EMBED Equation.3 1415, або при обох 13 EMBED Equation.3 1415.
Тобто, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) рівно одне влучення може бути тільки тоді, коли стрілець при першому пострілі влучив, а при другому ні, або при першому пострілі не влучив, а при другому – влучив.
Тому, 13 EMBED Equation.3 1415.
в) якщо стрілець не влучив у мішень, то це означає, що він не влучив при обох пострілах.
Тобто, 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.2 В урні 6 однакових за розміром куль: 2 червоні, 3 сині, 1 біла. Знайти ймовірність появи червоної кулі, якщо беруть одну кулю з урни навмання.
Розв’язання. Нехай подія А – навмання взята червона куля. З урни можна взяти будь-яку кулю з шести, тому усіх можливих наслідків 6 (13 EMBED Equation.3 1415). Для появи червоної кулі сприяти будуть лише 2 кулі, тому 13 EMBED Equation.3 1415. За формулою (1.1) одержуємо
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.3 Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних виробів?
Розв’язання. Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді за означенням частості події А одержимо
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.4 Студенти другого курсу згідно учбового плану вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на один день?
Розв’язання. Усі можливі розклади занять на один день – це сполуки з 10 по 4, які можуть відрізнятися дисциплінами або їх порядком, тобто ці сполуки – розміщення. Кількість таких розміщень буде
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.5 У кошику 4 яблука першого сорту та 5 яблук другого сорту. Навмання беруть 2 яблука. Знайти ймовірність того, що будуть взяті яблука різних сортів.
Розв’язання. Нехай подія А – навмання взяті 2 яблука різних сортів.
Всього яблук 9, з них сполучень по 2 буде 13 EMBED Equation.3 1415 - кількість усіх можливих наслідків.
Події А будуть сприяти сполуки, утворені з пар, елементами яких будуть яблука різних сортів. Згідно принципу добутку кількість таких пар буде дорівнювати 13 EMBED Equation.3 1415.
Використовуючи класичне означення ймовірності, одержимо шукану ймовірність події А

13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.6 Ймовірність влучення стрілком у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область – 0,35, у третю 0,15. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок влучить у першу або другу області мішені.
Розв’язання. Позначимо за подію 13 EMBED Equation.3 1415 - влучення в першу область мішені; за подію 13 EMBED Equation.3 1415 - влучення у другу область мішені.
При одному пострілі події 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 несумісні. Тому ймовірність влучення в першу або другу області мішені буде

13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.7 У деякому людському суспільстві 70% палять, 40% хворіють на рак легенів та 25% палять та мають рак легенів.
Знайти ймовірність того, що навмання взята особа з цього суспільства:
а) не палить, але має рак легенів;
б) палить, але не має раку легенів;
в) ніколи не палить і не має раку легенів;
г) палить і має рак легенів;
д) або палить або має рак легенів.
Розв’язання. Позначимо події: 13 EMBED Equation.3 1415 - особа палить; 13 EMBED Equation.3 1415 - особа хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі маємо

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.8 Ймовірність влучення у мішень першого стрілка дорівнює 0,7, другого стрілка – 0,8, а третього стрілка – 0,9.
Знайти ймовірність влучення у мішень хоча б одного стрілка.
Розв’язання. Позначимо події:

· 13 EMBED Equation.3 1415– у мішень влучив перший стрілок;

· 13 EMBED Equation.3 1415– у мішень влучив другий стрілок;

· 13 EMBED Equation.3 1415– у мішень влучив третій стрілок;

· 13 EMBED Equation.3 1415– у мішень влучив хоча б один стрілок.
За умовою задачі події 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 незалежні, тому події 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 також незалежні.
Згідно формули (1.10) та формули множення ймовірностей незалежних подій маємо

13 EMBED Equation.3 1415.

Оскільки

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,

то одержимо

13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.9 У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100.
Яка ймовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку
а) трьом замовникам;
б) чотирьом замовникам;
в) дванадцяти замовникам;
г) трьом або чотирьом замовникам?
Розв’язання. Позначимо події:

· 13 EMBED Equation.3 1415– одержана кількість виробів ділиться на 3 без залишку;

· 13 EMBED Equation.3 1415– одержана кількість виробів ділиться на 4 без залишку;
Використовуючи класичне означення ймовірності, знаходимо

а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.

Події 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 – сумісні, тому за формулою (1.7) одержимо

г) 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.10 У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящику беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящику. Знайти ймовірність того, що взята після цього навмання з першого ящика деталь стандартна.
Розв’язання: Позначимо такі події:

· А – з першого ящика взято стандартну деталь;

·13 EMBED Equation.3 1415– з другого ящика переклали до першого стандартну деталь;

·13 EMBED Equation.3 1415– з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь.
Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія 13 EMBED Equation.3 1415 або подія 13 EMBED Equation.3 1415.
Події 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 несумісні, а подія 13 EMBED Equation.3 1415 може з’явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження ймовірності події 13 EMBED Equation.3 1415 можна використати формулу повної ймовірності (1.12), яка в даному випадку приймає вигляд

13 EMBED Equation.3 1415.

Знайдемо потрібні ймовірності

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Підставимо ці значення у формулу повної ймовірності і одержимо
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 1.6.11 Деталі, виготовлені цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0.94, а другим – 0.98.
Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.
Розв’язання. Позначимо такі події:

· А – придатна деталь признана стандартною;

·13 EMBED Equation.3 1415 – деталь перевіряв перший контролер;

·13 EMBED Equation.3 1415 - деталь перевіряв другий контролер.
За умовою прикладу

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

За формулою Байєса при 13 EMBED Equation.3 1415 одержимо

13 EMBED Equation.3 1415.

1.7 Варіанти самостійного завдання №1

1.7.1 Зроблено два постріли з гармати в ціль. Подія 13 EMBED Equation.3 1415 – (влучення при 13 EMBED Equation.3 1415-му пострілі); (13 EMBED Equation.3 1415); подія 13 EMBED Equation.3 1415 – (промах при 13 EMBED Equation.3 1415-му пострілі); (13 EMBED Equation.3 1415). Виразити через 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415:
а)13 EMBED Equation.3 1415 – одне влучення в мішень при двох пострілах;
б)13 EMBED Equation.3 1415 – два влучення при двох пострілах;
в)13 EMBED Equation.3 1415 – хоча б одне влучення в мішень при 2 пострілах;
г) Е – жодного влучення при 2 пострілах.
1.7.2 Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – три події, які спостерігаються в експерименті. Виразити в алгебрі подій наступні події:

· 13 EMBED Equation.3 1415 – відбудеться одне з 13 EMBED Equation.3 1415;

· 13 EMBED Equation.3 1415 – з 13 EMBED Equation.3 1415 відбудеться хоча б одне;

· 13 EMBED Equation.3 1415 – з 13 EMBED Equation.3 1415 не відбудеться жодного;

· 13 EMBED Equation.3 1415 – з 13 EMBED Equation.3 1415 відбудеться рівно 2.

1.7.3 Зроблено 3 постріли з гармати в ціль. Подія 13 EMBED Equation.3 1415 – (влучення при 13 EMBED Equation.3 1415-му пострілі). Записати в алгебрі подій наступні події:
а) А – рівно одне влучення; б) 13 EMBED Equation.3 1415 – хоча б одне влучення;
в) С – хоча б один промах; г) 13 EMBED Equation.3 1415 – не менш двох влучень.

1.7.4 Нехай 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – події, які полягають в тому, що в мішень влучили відповідно перший, другий та третій стрілки при одному пострілі. Події 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 – промахи цих стрілків. Знайти вираз для подій:
а) А – жодного влучення; б) В – тільки одне влучення;
в) С – три влучення; г) 13 EMBED Equation.3 1415 – хоча б одне влучення при трьох пострілах.

1.7.5 Передаються повідомлення по каналу зв’язку. Подія 13 EMBED Equation.3 1415 – повідомлення передане без помилок, 13 EMBED Equation.3 1415. Записати в алгебрі подій наступні події:
а) А – всі чотири повідомлення передані без помилок;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 – три повідомлення передані без помилок, одне з помилками;
в) С – хоча б два повідомлення передані без помилок;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 – всі повідомлення передані з помилками.

1.7.6 Маємо події: А – деталь першого сорту, В – деталь другого сорту, С – взята навмання деталь виявилася деталлю третього сорту. В чому полягають наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415.
1.7.7 Підкидаються дві гральні кістки. Нехай А – сума очок непарна, В – подія, яка полягає в тому, що хоча б на одній з кісток випала одиниця. Описати події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.8 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – герб на першій монеті, В – цифра на першій монеті, С – герб на другій монеті, D – цифра на другій монеті.
Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.9 По каналу зв’язку передаються послідовно три повідомлення, кожне з них може бути передано правильно або неправильно. Розглядаються наступні події: 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415-e повідомлення передано правильно, 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415-e повідомлення передано неправильно; де 13 EMBED Equation.3 1415. Виразити через 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 наступні події:
а) А – хоча б одне повідомлення передано правильно;
б) В – не менш двох повідомлень передано правильно;
в) С – не більш одного повідомлення передано правильно;
г) 13 EMBED Equation.3 1415– перше повідомлення передано правильно, а інші – передані неправильно.

1.7.10 Дослід полягає в підкиданні двох монет. Розглядаються наступні події: А – хоча б один герб, В – хоча б одна цифра, С – один герб і одна цифра, D – два герба.
Визначити, яким подіям з цього списку рівносильні наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.11 Проводиться спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються наступні події: А – виявлений рівно один з 4 об’єктів, B – виявлений хоча б один об’єкт, С – виявлено не менш двох об’єктів.
В чому полягають події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
1.7.12 Навмання підкидаються дві гральні кістки. Елементарні події 13 EMBED Equation.3 1415 – це події, які полягають у тому, що на одній з кісток випало 13 EMBED Equation.3 1415 очок, а на іншій 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415). Виразити через елементарні події наступні події:
а) А – сума очок, які випали парна;
б) В – добуток очок непарний;
в) С – на одній з кісток число очок парне, а на іншій непарне;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 – на жодній з кісток не випало шість очок.

1.7.13 Відбувається спостереження за групою, яка складається з чотирьох однорідних об’єктів. Кожен з них за час спостереження може бути виявлений або не виявлений. Розглядаються події: А – виявлено не менш двох об’єктів, В – виявлено рівно два об’єкта, С – виявлено рівно три об’єкта, 13 EMBED Equation.3 1415 – виявлено всі чотири об’єкта.
В чому полягають наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.14 Назвати протилежні події для наступних подій:
а) передаються два повідомлення по каналу зв’язку, подія А – обидва повідомлення передані правильно;
б) передаються п’ять повідомлень, подія С – не менш трьох повідомлень передано правильно;
в) відбувається 13 EMBED Equation.3 1415 пострілів по мішені, подія 13 EMBED Equation.3 1415 – хоча б одне влучення.

1.7.15 В полі спостереження мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостереження кожна з них може розділиться і не розділиться. Розглядаються події: А – розділилась одна клітина, В – розділилась хоча б одна клітина, С – розділилось не менш двох клітин, 13 EMBED Equation.3 1415 – розділилися всі чотири клітини.
В чому полягають наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.16 Дослід полягає в підкиданні двох монет – мідної та срібної. Розглядаються наступні події: А – герб випав на мідній монеті, В – цифра випала на мідній монеті, С – випав хоча б один герб, D – випав один герб і одна цифра, E – герб випав на срібній монеті.
В чому полягають наступні події:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.

1.7.17 Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 – три довільних події, які полягають у тому, що з 13 EMBED Equation.3 1415 відбулися:
а) тільки А ;
б) тільки 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, але 13 EMBED Equation.3 1415 не відбулася;
в) всі три події;
г) більш двох подій.

1.7.18 Прилад складається з двох блоків. Перший блок складається з чотирьох однакових деталей і працює при справності хоча б двох з них. Другий блок складається з трьох однакових деталей і працює при справності хоча б однієї з них. Весь прилад працює, якщо працюють обидва блоки. Будемо вважати, що 13 EMBED Equation.3 1415 – справна 13 EMBED Equation.3 1415-та деталь першого блока (13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415 – справна 13 EMBED Equation.3 1415-та деталь другого блока (13 EMBED Equation.3 1415) і протилежні їм події. Виразити наступні події:
а) А – перший блок працює; б) В – другий блок працює;
в) С – прилад працює; г) D – прилад не працює.

1.7.19 Враження бойового літака може відбутися або в результаті враження обох двигунів (події 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415) або в результаті влучення снаряду в кабіну пілота (подія К). Подія А – враження літака. Записати А в алгебрі подій через 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 і К.

1.7.20 Прилад складається з двох блоків першого типу і трьох блоків другого типу. Подія 13 EMBED Equation.3 1415 – справний 13 EMBED Equation.3 1415 -й блок першого типу (13 EMBED Equation.3 1415), подія 13 EMBED Equation.3 1415 – справний 13 EMBED Equation.3 1415-й блок другого типу (13 EMBED Equation.3 1415). Прилад справний, якщо справний хоча б один блок першого типу і не менш двох блоків другого типу.
Виразити С – справність приладу, через 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.

1.8 Варіанти самостійного завдання №2

1.8.1 В урні три білих і п’ять чорних куль. З урни виймаються одночасно дві кулі. Яка з подій більш ймовірна:
а) А – кулі одного кольору;
б) В – кулі різних кольорів.

1.8.2 В розиграші першості по баскетболу приймають участь 18 команд, з яких випадковим чином формуються дві групи по дев’ять команд в кожній. Серед учасників змагань є п’ять команд екстракласу. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – всі команди екстракласу попадають в одну групу;
б) В – дві команди екстракласу попадають в одну з груп, а три - в іншу.

1.8.3 Визначити ймовірність того, що вибраний навмання виріб є першосортним, якщо відомо, що 4% усієї продукції – брак, а 75 % не бракованих виробів задовольняє вимогам першого сорту.

1.8.4 Пасажир чекає автобусу №3 або №7 біля зупинки, де зупиняються автобуси шести маршрутів: № 2, 3, 7, 8, 11, 23. Вважаючи, що автобуси всіх маршрутів з’являються в середньому однаково часто, знайти ймовірність того, що перший автобус, який під’їхав до зупинки буде потрібного пасажиру маршруту.

1.8.5 Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірності того, що добуток очок буде дорівнювати 6.

1.8.6 Серед кандидатів в студентську раду факультету три першокурсника, чотири другокурсника та шість третьокурсників. З цього составу навмання обирають п’ять осіб. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – будуть обрані тільки третьокурсники;
б) В – буде обраний наступний склад: два першокурсника, один другокурсник і два третьокурсника.

1.8.7 Робітник, який обслуговує два верстати, змушений був відлучитися на деякій час. Ймовірності того, що за цей час верстати не вимагатимуть уваги робітника, дорівнюють 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що за час відсутності робітника жоден верстат не буде потребувати його уваги.

1.8.8 Два стрілка, для яких ймовірності влучення в мішень дорівнюють 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.

1.8.9 Навмання взятий телефонний номер складається з п’яти цифр. Яка ймовірність того, що в ньому:
а) всі цифри різні;
б) всі цифри непарні.

1.8.10 Кожна з чотирьох несумісних подій може відбутися відповідно з ймовірностями: 0,7; 0,1; 0,6 і 0,2. Обчислити ймовірність того, що в результаті досліду відбудеться хоча б одна з цих подій.

1.8.11 Слово "блискавка" розрізали на букви, взяли навмання п’ять букв і виклали їх в ряд. Яка ймовірність того, що складеться слово "блиск"?

1.8.12 З десяти білетів виграшними є три. Визначити ймовірність того, що серед взятих навмання п’яти білетів хоча б один виграшний.

1.8.13 Відбувається три незалежних постріли по мішені: ймовірність влучення в мішень при першому, другому і третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,1; 0,2; 0,3. Знайти ймовірність рівно двох влучень в мішень.

1.8.14 З колоди карт (32 карти), вилучають навмання 4 карти. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.

1.8.15 Навмання вибирається п’ятизначне число. Яка ймовірність наступних подій:
а) А – число однаково читається як зліва направо, так і справа наліво;
б) В – число кратне п’яти.

1.8.16 Шкільна рада складається з 12 вчителів: семи жінок і п’яти чоловіків. Випадковим чином обирають п’ять вчителів для обговорення шкільних проблем. Яка ймовірність того, що в число обраних ввійдуть тільки жінки?

1.8.17 На п’яти картках написані цифри 1, 2, 3, 4, 5. Дослід складається з випадкового вибору трьох карток і розкладанні їх у порядку надходження. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – з’явиться число 412;
б) В – з’явиться число, яке не містить цифру 5.

1.8.18 Партія з 100 деталей піддається вибірковому контролю. Умовою непридатності всієї партії є наявність хоча б однієї бракованої деталі серед п’яти перевірених. Яка ймовірність для даної партії бути не прийнятою, якщо вона містить 10% несправних деталей.

1.8.19 Ймовірність того, що виготовлена на першому верстаті деталь буде першосортною, дорівнює 0,7. При виготовленні такої деталі на другому верстаті ця ймовірність дорівнює 0,8. На першому верстаті виготовлено дві деталі, на другому – три. Знайти ймовірність того, що всі деталі першосортні.

1.8.20 Вісім варіантів контрольної роботи, які написані на окремих картках, перемішуються і розподіляються випадковим чином серед шести студентів, які сидять в одному ряду, причому кожен отримує по одному варіанту. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – варіанти 4 і 6 отримають студенти, що сидять поруч;
б) В – будуть розподілені послідовні номери варіантів.

1.9 Варіанти самостійного завдання №3

1.9.1 На складі є 16 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п’яти взятих навмання кінескопів виявиться не менш 4 кінескопів Львівського заводу.

1.9.2 Маємо п’ять відрізків, довжини яких дорівнюють відповідно 1, 3, 5, 7 і 9 одиницям. Визначити ймовірність того, що за допомогою взятих навмання трьох відрізків з даних п’яти можна побудувати трикутник.
1.9.3 Числа 1, 2 ,..., 9 записуються у випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що сума кожних двох чисел, які стоять на однакових відстанях від кінців, буде дорівнювати 10.

1.9.4 На шести картках написані цифри від 1 до 6. Дослід полягає у випадковому виборі трьох карток і розкладанні їх у порядку надходження в ряд зліва направо. Знайти ймовірності наступних подій:
а) А – з’явиться число, яке не містить цифри 2;
б) В – з’явиться число, яке містить хоча б одну з цифр 4 або 5.

1.9.5 На шахову дошку випадково ставлять дві тури – білу та чорну. Яка ймовірність того, що тури не зіб’ють одна іншу?

1.9.6 На шести однакових картках написані букви А, В, К, М, О, С. Картки розкладаються навмання в ряд. Яка ймовірність того, що складеться слово “Москва”?

1.9.7 Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність наступних подій:
а) А – число очок на обох кістках співпадають;
б) В – сума очок непарна;
в) С – сума очок не менша 4.

1.9.8 Десять книжок на полиці розставлені навмання. Визначити ймовірність того, що три певні книжки будуть стояти разом?

1.9.9 Замок відкривається тільки при наборі певного шифру – п’ятизначного номера, який можна скласти з семи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Яка ймовірність того, що замок відкривається при випадковому наборі шифру?

1.9.10 В партії, яка складається з восьми виробів, є три дефектних, з партії вибирається для контролю п’ять виробів. Знайти ймовірність того, що з них рівно два вироби будуть дефектними.

1.9.11 Підкидаються дві гральні кістки. Знайти ймовірність наступних подій:
а) сума очок, яка випала дорівнює семи;
б) сума очок, яка випала дорівнює восьми, а різниця – чотирьом;
в) сума очок, яка випала дорівнює п’яти, а добуток – чотирьом.

1.9.12 Куб, всі грані якого пофарбовані, розпилений на тисячу кубиків однакового розміру, які після цього ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання вилучений кубик має пофарбованих граней:
а) одну;
б) дві;
в) три.

1.9.13 Монета підкинута два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться «герб».

1.9.14 В коробці шість однакових занумерованих кубиків. Навмання по одному дістають всі кубики. Знайти ймовірність того, що номери вилучених кубиків з’являться у зростаючому порядку.

1.9.15 Знайти ймовірність того, що при підкиданні трьох гральних кісток шістка випаде на одній (неважливо якій) кістці, якщо на гранях двох інших кісток випадуть кількості очок, які не співпадають між собою (і не рівні шести).

1.9.16 В пачці 20 перфокарт, помічених номерами 101, 102, , 120 та довільно розташованих. Перфораторщиця навмання вилучає дві карти. Знайти ймовірність того, що вилучені перфокарти з номерами 101 і 120.

1.9.17 В ящику є 15 деталей, серед яких 10 пофарбовані. Робітник навмання вилучає три деталі. Знайти ймовірність того, що вилучені деталі виявляться пофарбованими.

1.9.18 В конверті серед 100 фотокарток знаходиться одна фотокартка, яка розшукується. З конверта навмання вилучені 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них знайдеться потрібна.

1.9.19 В ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання вилучені чотири деталі. Знайти ймовірність того, що серед вилучених деталей:
а) немає бракованих;
б) всі браковані.

1.9.20 Пристрій складається з п’яти елементів, з яких два зношені. При вмиканні пристрою вмикаються випадковим чином два елемента. Знайти ймовірність того, що ввімкнутими будуть незношені елементи.

1.10 Варіанти самостійного завдання №4

1.10.1 Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри та, згадуючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що були набрані потрібні цифри.

1.10.2 В партії з 10 деталей є 8 стандартних. Навмання відібрані 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей рівно 2 стандартних.

1.10.3 В цеху працює шість чоловіків и чотири жінки. За табельними номерами навмання відібрані сім осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявиться три жінки.

1.10.4 В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. За списком навмання відібрані 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів п’ять відмінників.

1.10.5 В коробці п’ять однакових виробів, причому три з них пофарбовані. Навмання вилучені два вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох вилучених виробів знайдуться:
а) один пофарбований виріб;
б) два пофарбованих вироби;
в) хоча б один пофарбований виріб.

1.10.6 В «секретному» замку на загальній вісі чотири диска, кожен з яких розділений на п’ять секторів, на яких написані різні цифри. Замок відкривається тільки в тому випадку, коли диски встановлені так, що цифри на них складають певне чотирьохзначне число. Знайти ймовірність того, що при випадковій установці дисків замок буде відкритий.
1.10.7 Відділ технічного контролю виявив п’ять бракованих книжок в партії з випадково відібраних 100 книжок. Знайти відносну частоту появи бракованих книжок.

1.10.8 В електричний ланцюг послідовно включені три елементи, які працюють незалежно один від одного. Ймовірності відмов першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде.

1.10.9 Пристрій містить два незалежно працюючи елемента. Ймовірності відмови елементів відповідно дорівнюють 0,05 і 0,08. Знайти ймовірності відмови пристрою, якщо для цього досить, щоб відмовив хоча б один елемент.

1.10.10 Для руйнування мосту достатньо потрапляння однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйновано, якщо на нього скинуто чотири бомби, ймовірності влучення яких відповідно дорівнюють: 0.3; 0.4; 0.6; 0.7.

1.10.11 Три дослідники, незалежно один від одного, вимірюють деяку фізичну величину. Ймовірність того, що перший дослідник зробить помилку при зчитуванні показників приладу, дорівнює 0,1. Для другого і третього дослідників ця ймовірність відповідно дорівнює 0,15 і 0,2. Знайти ймовірність того, що при однократному вимірюванні хоча б один з дослідників зробить помилку.

1.10.12 Ймовірність успішного виконання вправи для кожного з двох спортсменів дорівнює 0,5. Спортсмени виконують вправи по черзі, причому кожен з них робить по дві спроби. Той хто виконує вправи першим, отримує приз. Знайти ймовірність отримання призу спортсменами.

1.10.13 Ймовірність влучення в мішень кожним з двох стрілків дорівнює 0,3. Стрілки стріляють по черзі, причому кожен повинен зробити по два постріли. Той, хто влучив в мішень першим отримує приз. Знайти ймовірність того, що стрілки отримують приз.

1.10.14 Ймовірність хоча б одного влучення стрілком в мішень при трьох пострілах дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі.

1.10.15 Ймовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність, влучення в ціль при одному пострілі.

1.10.16 Багатократно вимірюють деяку фізичну величину. Ймовірність того, що при зчитуванні показників приладу зроблено помилку, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти найменше число вимірювань, яке необхідно зробити, щоб з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415 можна було очікувати, що хоча б один результат вимірювань буде невірним.

1.10.17 Ймовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,1. Знайти ймовірність влучення в ціль двох куль і більше, якщо число пострілів дорівнює 3.

1.10.18 По цілі зроблено 20 пострілів, причому зареєстровано 18 влучень. Знайти відносну частоту влучень в ціль.

1.10.19 При випробуванні партії приладів відносна частота робочих приладів виявилась рівною 0,9. Знайти число робочих приладів, якщо всього було перевірено 200 приладів.

1.10.20 Серед 100 лотерейних білетів є 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що 2 навмання вибрані білети виявляться виграшними.

1.11 Варіанти самостійного завдання №5

1.11.1 На полиці в бібліотеці в випадковому порядку розташовано 15 підручників, причому 5 з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників буде в палітурці.

1.11.2 В ящику 10 деталей, з яких 4 пофарбовані. Робітник навмання взяв три деталі Знайти ймовірність того, що хоча б одна з взятих деталей пофарбована.
1.11.3 Для сигналізації про аварію встановлені два незалежно працюючих сигналізатори. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.

1.11.4 Два стрілка стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,7, а для другого – 0,8. Знайти ймовірність того, що при одному залпі в мішень влучить тільки один з стрілків.

1.11.5 Ймовірність одного влучення в ціль при одному залпі з двох гармат дорівнює 0,38. Знайти ймовірність ураження цілі при одному пострілі першої з гармат, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,8.

1.11.6 Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з двох перевірених виробів тільки один стандартний.

1.11.7 Ймовірність того, що при одному вимірюванні деякої фізичної величини буде зроблено помилку, яка перевищує задану точність, дорівнює 0,4. Зроблено три незалежних вимірювання. Знайти ймовірність того, що тільки в одному з них зроблено помилку, яка перевищує задану точність.

1.11.8 З партії виробів робітник вибирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що навмання взятий виріб буде вищого сорту, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки два вироби вищого сорту.

1.11.9 Пристрій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи (за час 13 EMBED Equation.3 1415) першого, другого и третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час 13 EMBED Equation.3 1415 безвідмовно буде працювати тільки один елемент.

1.11.10. Пристрій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи (за час 13 EMBED Equation.3 1415) першого, другого и третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час 13 EMBED Equation.3 1415 безвідмовно будуть працювати тільки два елементи.

1.11.11 Пристрій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи (за час 13 EMBED Equation.3 1415) першого, другого и третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час 13 EMBED Equation.3 1415 безвідмовно будуть працювати всі три елементи.

1.11.12 Ймовірності того, що потрібна робітнику деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність того, що деталь міститься не більш ніж в трьох ящиках.

1.11.13 Ймовірності того, що потрібна робітнику деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність того, що деталь міститься не менш ніж в двох ящиках.

1.11.14 Підкинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на кожній з граней, які випали, з’явиться п’ять очок.

1.11.15 Підкинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на всіх гранях, які випали, з’явиться однакове число очок.

1.11.16 Підкинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на двох гранях, які випали, з’явиться одне очко, а на третій грані – інше число очок.

1.11.17 Підкинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на двох гранях, які випали, з’явиться однакове число очок, а на третій грані – інше число очок.

1.11.18 Підкинуті три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на всіх гранях, які випали, з’явиться різне число очок.

1.11.19 Скільки потрібно підкинути гральних кісток, щоб з ймовірністю, меншою 0,3, можна було очікувати, що ні на одній з граней, які випали, не з’явиться шість очок?

1.11.20 Ймовірність влучення в мішень стрілком при одному пострілі дорівнює 0,8. Скільки пострілів повинен зробити стрілок, щоб з ймовірністю, меншою 0,4, можна було очікувати, що не буде жодного промаху?

1.12 Варіанти самостійного завдання №6

1.12.1 Стрілок влучає в «десятку» з ймовірністю 0,05, в «дев’ятку» – з ймовірністю 0,2, в «вісімку» – з ймовірністю 0,6. Зроблено один постріл. Яка ймовірність того, що вибито не менш 8 очок.

1.12.2 Стрілок влучає в «десятку» з ймовірністю 0,05, в «дев'ятку» – з ймовірністю 0,2, в «вісімку» – з ймовірністю 0,6. Зроблено один постріл. Яка ймовірність того, що вибито більш 8 очок.

1.12.3 Перевезення вантажу для замовника виконують два автопідприємства, кожне з яких повинно виділити для цього по одній вантажівці. Ймовірність виходу на лінію вантажівки з першого автопарку дорівнює 0,7, а з другого – 0,6. Знайти ймовірність того, що замовник отримає хоча б одну вантажівку.

1.12.4 В урні 10 білих, 15 чорних, 20 блакитних и 25 червоних куль однакового розміру. Навмання беруть одну кульку. Знайти ймовірність того, що кулька буде білою або чорною.

1.12.5 В білому ящику 12 червоних і 6 блакитних куль. В чорному ящику – 15 червоних і 10 блакитних куль. Підкидують гральний кубик. Якщо випаде кількість очок, кратна 3, то навмання беруть кульку з білого ящику. Якщо випаде будь-яка інше кількість очок, то беруть кульку з чорного ящику. Знайти ймовірність витягнути червону кульку.

1.12.6 З колоди карт (32 карти) навмання вибирають одну. Яка ймовірність того, що це дама, якщо вибрана карта червоної масті?
1.12.7 Кожна з букв слова «інтеграл» записана на окремому аркуші. Аркуші перемішані. Яка ймовірність того, що з’явиться слово «лаг» при витягуванні трьох аркушів (в порядку їх появлення)?

1.12.8 Кожна з букв слова «інтеграл» записана на окремому аркуші. Аркуші перемішані Яка ймовірність того, що з перших чотирьох взятих букв можна скласти слово «трал»?

1.12.9 В коробці 5 однакових виробів. Три з них пофарбовані. Навмання беруть 2 вироби. Знайти ймовірність того, що серед них два пофарбованих вироби.

1.12.10 Перевіряють половину виробів. Умови прийому допускають не більш 1% браку. Визначити ймовірність того, що 100 виробів, які мають 5% браку, будуть прийнятими.

1.12.11 Обчислити ймовірність того, що 50 виробів, серед яких 3 нестандартних, будуть прийняті при перевірці навмання вибраної половини виробів. Умовами прийому допускається не більш 4% нестандартних виробів.

1.12.12 Два стрілка незалежно один від одного стріляють в одну мішень. Ймовірність влучення першим стрілком дорівнює 0,3, а другим – 0,4. При будь-якому влученні мішень зіпсується. Знайти ймовірність того, що мішень буде зіпсована.

1.12.13 В урні 7 білих і 3 чорних кульки. Послідовно з урни вилучили дві кульки (не повертаючи їх в урну). Знайти ймовірність того, що обидві вилучені з урни кульки – білі.

1.12.14 Робітник обслуговує три верстата, які працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що на протязі години перший верстат не буде потребувати уваги робітника дорівнює 0,9; а для другого і третього верстатів – 0,8 і 0,85 відповідно. Знайти ймовірність того, що на протязі години всі три верстата не будуть потребувати уваги робітника.

1.12.15 В читальному залі є шість підручників по теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручника. Знайти ймовірність того, що обидва підручника будуть в палітурці.

1.12.16 Два мисливця стріляють у вовка, причому кожен робить по одному пострілу. Для першого мисливця ймовірність влучення в ціль 0,7, для другого – 0,8. Знайти ймовірність влучення (хоча б при одному пострілі)?

1.12.17 В цеху працюють сім чоловіків і три жінки. За табельними номерами навмання відібрані три особи. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи будуть чоловіками.

1.12.18 В ящику 10 деталей, серед яких шість пофарбовані. Робітник навмання вилучає чотири деталі. Знайти ймовірність того, що всі вилучені деталі будуть пофарбовані.

1.12.19 В урні є п’ять куль с номерами від 1 до 5. Навмання по одному вилучають три кульки без повернення. Знайти ймовірність того, що послідовно з’являться кульки з номерами 1, 4, 5.

1.12.20 Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором три питання.

1.13 Варіанти самостійного завдання №7

1.13.1 В тирі маємо 5 рушниць, ймовірності попадання з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 та 0,9. Визначити ймовірність попадання при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць навмання.

1.13.2 В урну, яка містить 2 кульки, кинули білу кульку, після чого з неї навмання вилучили одну кульку. Знайти ймовірність того, що вилучена кулька буде білою, якщо рівноможливі всі припущення про початковий склад куль (по кольору).

1.13.3 В цеху працює 20 верстатів. З них 10 марки А, 6 марки В і 4 марки С. Ймовірність того, що якість деталі буде відмінною, для цих верстатів відповідно дорівнює: 0,9; 0,8; і 0,7. Який відсоток відмінних деталей випускає цех в цілому?

1.13.4 Припустимо, що 5% всіх чоловіків і 0,25% всіх жінок дальтоніки. Навмання вибрана особа страждає на дальтонізм. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок однакова кількість).

1.13.5 Два стрілка незалежно один від одного стріляють по одній мішені, роблячи кожен по одному пострілу. Ймовірність влучення в мішень для першого стрілка дорівнює 0,8, для другого – 0,4. Після стрільби в мішені з’явилась одна дірка. Знайти ймовірність того, що в мішень влучив перший стрілок.

1.13.6 На фабриці, яка виготовляє болти, перша машина виробляє 25%, друга – 35%, третя – 40 % всіх болтів. В їх продукції брак складає відповідно 5, 4 і 2%. Яка ймовірність того, що випадково вибраний болт є дефектним?

1.13.7 Три стрілка зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірності влучення в мішень першим, другим и третім стрілками відповідно дорівнюють 0.6, 0.6 і 0.4.

1.13.8 Батарея з трьох гармат зробила залп, причому 2 снаряда влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірності влучення в ціль першою, другою і третьою гарматами відповідно дорівнюють 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

1.13.9 В першій урні 5 білих і 10 чорних куль, в другій 3 білих і 7 чорних куль. З другої урни в першу переклали одну кульку, в потім з першої урни витягли навмання одну кульку. Визначити ймовірність того, що кулька, яку витягли – біла.

1.13.10 Є три однакових по вигляду ящика. В першому ящику 20 білих куль, в другому – 10 білих і 10 чорних, в третьому 20 чорних куль. З вибраного навмання ящика витягли білу кульку. Обчислити ймовірність того, що кулька була витягнута з першого ящика.

1.13.11 Два цехи штампують однотипні деталі. Перший цех дає 5 % браку, другий – 7%. Для контролю вибрали 100 деталей з першого цеху та 200 деталей з другого. Ці деталі змішали в одну партію, а потім з неї беруть одну деталь. Яка ймовірність того, що деталь бракована?

1.13.12 На зборку надходять деталі з 3 автоматів. Перший дає 25%, другий – 30%, а третій – 45% деталей даного типу, які надходять на зборку. Перший автомат може давати 0,1% нестандартних виробів, другій – 0,2%, третій – 0,3%. Знайти ймовірність того, що на зборку потрапить нестандартна деталь.

1.13.13 Завод № 1 випускає 40% всій продукції, з браком 6%; завод № 2 – 35%, з браком 5%, завод № 3 – 25%, з браком 2%. З продукції цих заводів взято навмання виріб. Яка ймовірність, що він не є бракованим?

1.13.14 В умові задачі 1.13.13, відомо, що взятий виріб бракований. Яка ймовірність, що цей брак вироблено заводом № 1?

1.13.15 В продаж надійшли телевізори трьох заводів. Продукція першого заводу містить 20% телевізорів з прихованим дефектом, другого – 10%, третього – 5%. Яка ймовірність придбати працюючий телевізор, якщо в магазин надійшло 30% телевізорів с першого заводу, 20% – з другого, 50% – з третього?

1.13.16 В урну, що містить 3 кульки кладуть білу кульку. Знайти ймовірність вийняти з цієї урни білу кульку, якщо всі припущення про кількість білих куль рівноможливі?

1.13.17 Група студентів складається з a відмінників, b студентів, які навчаються добре і c студентів, які навчаються погано. Відмінники на іспиті можуть отримати тільки відмінні оцінки. Ті, що добре вчаться – можуть отримати з рівною ймовірністю добрі та відмінні оцінки. Ті, що погано вчаться – отримати з рівною ймовірністю добрі, задовільні та незадовільні оцінки. Для складання іспиту викликається навмання один студент. Яка ймовірність того, що студент отримає добру або відмінну оцінки.
1.13.18 В тирі маємо 5 рушниць, ймовірності попадання з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 та 0,9. Визначити ймовірність попадання при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць навмання.

1.13.19 Розслідуються причини авіакатастрофи, про яку можна зробити чотири гіпотези: 13 EMBED Equation.3 1415. Відповідно до статистики 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Огляд місця катастрофи визначає, що в її ході відбулася подія А – займання палива. Умовні ймовірності події А: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти апостеріорні ймовірності гіпотез.

1.13.20 Телеграфне повідомлення складається з сигналів: "крапка" і "тире" Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюється в середньому 2/5 повідомлень "крапка" і 1/3 "тире". Відомо, що серед усіх сигналів "крапка" и "тире" зустрічаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірність того, що прийнято неспотворений сигнал, якщо прийнято сигнал "крапка".

1.14 Варіанти самостійного завдання №8

1.14.1 Телеграфне повідомлення складається з сигналів: "крапка" і "тире" Статистичні властивості перешкод такі, що спотворюється в середньому 2/5 повідомлень "крапка" і 1/3 "тире". Відомо, що серед усіх сигналів "крапка" и "тире" зустрічаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірність того, що прийнято неспотворений сигнал, якщо прийнято сигнал "тире".

1.14.2 В трьох однотипних пологових будинках народжуються діти у кількісному відношенні 25:30:35, причому ймовірності народження хворих відповідно дорівнюють 0,05; 0,1; 0,15. Дитина, яку забирають батьки, виявилась хворою. Знайти ймовірність того, що дана дитина народжена у першому пологовому будинку.

1.14.3 Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

1.14.4 В спеціалізовану лікарню поступають в середньому 50% хворих з захворюванням К, 30% – з захворюванням L, 20% – з захворюванням М. Ймовірність одужання К дорівнює 0,7; для L і М ці ймовірності дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який потрапив в лікарню, був виписаний видужалим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання К.

1.14.5 Маємо 10 однакових скринь, з яких в 9-ти знаходиться по 2 чорних та по 2 білих кулі, а в одній – 5 білих та одна чорна. Зі скрині, яка обрана навмання, беруть білу кулю. Знайти ймовірність того, що куля взята зі скрині, в якій знаходяться 5 білих куль.

1.14.6 Ймовірності попадання при кожному пострілі для трьох мисливців дорівнюють відповідно 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. При одночасному пострілі всіх трьох мисливців мали місце 2 влучення. Знайти ймовірність того, що промахнувся третій мисливець.

1.14.7. Відомо, що 96% продукції, яка виготовляється заводом задовольняє стандарту. Спрощена схема контролю визнає придатною стандартну продукцію з ймовірністю 0,98, а нестандартну з ймовірністю 0,05. Визначити ймовірність того, що виріб, який проходить спрощений контроль, задовольняє стандарту.

1.14.8 Соціальному опитуванню підлягає група із 100 громадян України, серед яких з рівною ймовірністю може бути 0, 1, 2, 3, 4 мігранта. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний громадянин буде мігрантом.

1.14.9 Партія в 1000 ламп має чотири категорії. Перша категорія складає 50, друга – 30, третя – 16, четверта – 4% від загальної кількості. Ймовірність того, що лампи різних категорій будуть мати заданий термін служби, визначається як 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що вибрана навмання лампа буде мати заданий термін служби.

1.14.10. Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде признано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, а другим – 0,98. Стандартний виріб при перевірці було признано стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.

1.14.11 Два автомата виготовляють однакові деталі, які потрапляють на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомату вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виготовляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другій – 84 %. Навмання взята с конвеєра деталь виявилась деталлю відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.

1.14.12. В піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок вразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілок вразив мішень з навмання взятої гвинтівки з оптичним прицілом або без нього?

1.14.13 Число вантажних автомашин, які проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, які проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1, для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

1.14.14 Дві перфораторщиці набили на двох перфораторах по однаковому комплекту перфокарт. Ймовірність того, що перша перфораторщиця зробить помилку, дорівнює 0,05; для другої перфораторщиці ця ймовірність дорівнює 0,1. При зрівнянні перфокарт була виявлена помилка. Знайти ймовірність того, що помилилася перша перфораторщиця.
1.14.15 Подія А може з’явитися при умові появи одного з несумісних подій (гіпотез) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, які утворюють повну групу подій. Після появи події А були переоцінені ймовірності гіпотез, тобто знайдені умовні ймовірності цих гіпотез, причому виявилось, що 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Чому дорівнює умовна ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 гіпотези 13 EMBED Equation.3 1415?

1.14.16 Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно дорівнює 20, 15, 10. З навмання обраної партії навмання вилучена деталь, яка виявилась стандартною. Деталь повертають в партію і вдруге з тієї ж партії навмання вилучають деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були вилучені з третьої партії.

1.14.17 Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірність влучення в ціль першою, другою и третьою гарматами відповідно дорівнюють 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

1.14.18 Три стрілка зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірність влучення в мішень першим, другим и третім стрілками відповідно дорівнюють 0,6, 0,5, і 0,4.

1.14.19 Одного з трьох стрілків викликають на лінію вогню і він виконує два постріли. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі першим стрілком дорівнює 0,3, другим – 0,5; а третім – 0,8. В мішені нема влучень. Знайти ймовірність того, що постріли виконані першим стрілком.

1.14.20 З трьох гармат по одній цілі зроблено по одному пострілу. Ймовірність влучення з першої гармати дорівнює 0,9, з другої – 0,8, а з третьої – 0,7. Знайти ймовірність двох влучень в ціль.
2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

ПОСЛІДОВНОСТІ ВИПРОБУВАНЬ

2.1 Схема та формула Бернуллі

Якщо проводяться випробування, в яких ймовірність появи події 13 EMBED Equation.3 1415 в кожному випробуванні не залежить від появи або не появи цієї події в інших випробуваннях, то такі випробування називають незалежними відносно події 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, подія з’явиться рівно 13 EMBED Equation.3 1415 разів, дорівнює

13 EMBED Equation.3 1415, (2.1)

або
13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)

де 13 EMBED Equation.3 1415.

Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 випробуваннях подія з’явиться:
а) менш ніж 13 EMBED Equation.3 1415 разів,
б) більш ніж 13 EMBED Equation.3 1415 разів,
в) не менш ніж 13 EMBED Equation.3 1415 разів,
г) не більш ніж 13 EMBED Equation.3 1415 разів
знаходять відповідно за формулами:

13 EMBED Equation.3 1415; (2.3)

13 EMBED Equation.3 1415; (2.4)

13 EMBED Equation.3 1415; (2.5)

13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)

2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, подія з’явиться рівно 13 EMBED Equation.3 1415 разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше 13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415, (2.7)

де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Таблиця функції 13 EMBED Equation.3 1415 для додатних значень 13 EMBED Equation.3 1415 наведена в додатку A.1, для від’ємних значень 13 EMBED Equation.3 1415 користуються цією ж таблицею (функція 13 EMBED Equation.3 1415 парна, тому 13 EMBED Equation.3 1415).

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, подія з’явиться не менш 13 EMBED Equation.3 1415 разів і не більш 13 EMBED Equation.3 1415 разів, наближено дорівнює

13 EMBED Equation.3 1415. (2.8)

13 EMBED Equation.3 1415 - функція Лапласа,

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

Таблиця функцій Лапласа для додатних значень 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 наведена в додатку A.2, для значень 13 EMBED Equation.3 1415 покладають 13 EMBED Equation.3 1415. Для від’ємних значень 13 EMBED Equation.3 1415 використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна (13 EMBED Equation.3 1415).
2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не буде перевищувати додатного числа 13 EMBED Equation.3 1415, наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415. (2.9)

2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях

Число 13 EMBED Equation.3 1415 (появи події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях 13 EMBED Equation.3 1415 разів, перевищує (або принаймні не менш) ймовірності інших можливих появ або не появ події в незалежних випробуваннях.
Найімовірніше число 13 EMBED Equation.3 1415 визначають з подвійної нерівності

13 EMBED Equation.3 1415, (2.10)

причому:
а) якщо число 13 EMBED Equation.3 1415 - дробове, то існує одне найймовірніше число 13 EMBED Equation.3 1415;
б) якщо число 13 EMBED Equation.3 1415 - ціле, то існують два найймовірніших числа 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415;
в) якщо число 13 EMBED Equation.3 1415 – ціле, то найймовірніше число 13 EMBED Equation.3 1415.

2.5 Теорема Пуассона

Ймовірність того, що в 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415– достатньо мале число), подія з’явиться 13 EMBED Equation.3 1415 разів, наближено дорівнює

13 EMBED Equation.3 1415, (2.11)

де 13 EMBED Equation.3 1415 (середнє число появ події в 13 EMBED Equation.3 1415 випробуваннях).
Формулу (2.11) називають формулою Пуассона. Її застосовують у випадках, коли 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415

2.6 Приклади розв’язання задач

Приклад 2.6.1 Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох або три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?
Розв’язання. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу 13 EMBED Equation.3 1415, ймовірність програшу 13 EMBED Equation.3 1415. Так як у всіх паріях ймовірність виграшу постійна, може бути застосована формула Бернуллі.
Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:
13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так як 13 EMBED Equation.3 1415, то ймовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.

Приклад 2.6.2 Знайти ймовірність того, що подія 13 EMBED Equation.3 1415відбудеться рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.
Розв’язання. За умовою, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Так як 13 EMBED Equation.3 1415 досить велике число, скористаємося локальною теоремою Лапласу.
13 EMBED Equation.3 1415.
За таблицею додатку A.1 знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415. Шукана ймовірність
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.6.3 Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться:
а) не менш 75 разів і не більш 90 разів;
б) не менш 75 разів;
в) не більш 74 разів.
Розв’язання. Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа:
а) за умовою 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Обчислимо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, одержимо

13 EMBED Equation.3 1415.

За таблицею додатку A.2 знайдемо:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Шукана ймовірність

13 EMBED Equation.3 1415.

б) в цьому випадку 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, тоді

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.

За таблицею додатку A.2 знайдемо:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Шукана ймовірність

13 EMBED Equation.3 1415.

в) 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.6.4 Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0.9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менш 75 разів?
Розв’язання. За умовою 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415.

Підставляючи дані задачі, одержимо

13 EMBED Equation.3 1415,
або
13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидь, число випробувань 13 EMBED Equation.3 1415, тому 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки функція Лапласа – зростаюча і 13 EMBED Equation.3 1415, можна покласти 13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415.

Таким чином, 13 EMBED Equation.3 1415.

За таблицею додатку A.2 знайдемо: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Звідси, 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язавши це рівняння, отримаємо 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.6.5 Ймовірність появи події в кожному з 625 незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0,04.
Розв’язання. За умовою: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Необхідно знайти ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415. Скористаємось формулою (2.9). Маємо

13 EMBED Equation.3 1415.
За таблицею додатку A.2 знайдемо: 13 EMBED Equation.3 1415. Тому, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким чином, шукана ймовірність наближено дорівнює 0,9876.

Приклад 2.6.6 Ймовірність появи події в кожному з 400 незалежних випробуваннях дорівнює 0,8. Знайти таке додатне число 13 EMBED Equation.3 1415, щоб з ймовірністю 0,99 абсолютна величина відхилення відносної частоті появи події від її ймовірності 0,8 не перевищувала 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’язання. За умовою: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Тому
13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415.
За таблицею додатку A.2 знайдемо: 13 EMBED Equation.3 1415. Тому, 13 EMBED Equation.3 1415. Звідси шукане число 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.6.7 Батарея зробила шість пострілів по об’єкту . Ймовірність влучення в об’єкт при одному пострілі дорівнює 0,3. Знайти:
а) найймовірніше число влучень;
б) ймовірність найймовірнішого числа влучень;
в) ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано, якщо для цього достатньо хоча б двох влучень.
Розв’язання. За умовою: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
а) знайдемо найймовірніше число влучень за формулою (2.10):

13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415.

Звідки 13 EMBED Equation.3 1415;
б) знайдемо ймовірність найймовірнішого числа влучень за формулою Бернуллі
13 EMBED Equation.3 1415;

в) знайдемо ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано. За умовою, для цього достатньо, щоб було 2, 3, 4, 5 або 6 влучень. Простіше спочатку знайти ймовірність протилежної події (жодного влучення або одне влучення):
13 EMBED Equation.3 1415.

Шукана ймовірність того, що об’єкт буде зруйновано:

13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 2.6.8 Підручник видано тиражем 100000 екземплярів. Ймовірність того, що підручник бракований, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п’ять бракованих книг.
Розв’язання. За умовою: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415 – досить велике, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, скористаємося формулою Пуассона (2.11). Знайдемо

13 EMBED Equation.3 1415.

Шукана ймовірність

13 EMBED Equation.3 1415.
2.7 Варіанти самостійного завдання №1

2.7.1 Монету підкидають 5 разів. Знайти ймовірність того, що "герб" випаде:
а) менш двох разів;
б) не менш двох разів.

2.7.2 Подія В настає в тому випадку, коли подія А з’явиться не менш двох разів. Визначити ймовірність появи події В, якщо ймовірність появи події А при одному досліді дорівнює 0,3 и проведено п’ять незалежних дослідів.

2.7.3 В сім’ї п’ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:
а) два хлопчика;
б) не більш двох хлопчиків.
Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5.

2.7.4 Ймовірність виготовлення на автоматичному верстаті стандартної деталі дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з п’яти навмання взятих деталей виявиться:
а) три стандартні;
б) не менш двох стандартних.

2.7.5 В магазині для студентських гуртожитків придбано п’ять телевізорів. Для кожного з них ймовірність невиходу зі строю дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що:
а) не вийде зі строю хоча б один телевізор;
б) чотири телевізора на протязі гарантійного строку не вийдуть зі строю.

2.7.6 В бавовні міститься 10% коротких волокон Визначити ймовірність того, що серед відібраних навмання шести волокон виявиться не більш двох коротких.

2.7.7 Встановлено, що в середньому на кожну сотню виготовлених приладів 26 штук мають дефекти. Знайти ймовірність того, що серед шести навмання взятих приладів буде:
а) менш двох з дефектом;
б) три з дефектом.

2.7.8 Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед п’яти навмання взятих виробів:
а) немає жодного зіпсованого;
б) будуть два зіпсованих.

2.7.9 Знайти ймовірність того, що номер зустрічної автомашини не містить:
а) цифри 6;
б) двох и більш цифр 5.

2.7.10 Ймовірність того, що навмання взяте пальто з даної партії виявиться першосортним, дорівнює 0,9. Взяли 4 пальто. Знайти ймовірність того, що:
а) всі пальто першого сорту;
б) першого сорту не менш двох пальто.

2.7.11 Ймовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі і ймовірність не менш 2 влучень при чотирьох пострілах.

2.7.12 Стрілок веде стрілянину по цілі. Ймовірність влучення в ціль дорівнює 0,4. Стрілок стріляє тричі. Знайти ймовірність:
а) двох влучень;
б) хоча б одного влучення.

2.7.13 З партії із 100 виробів, серед яких 10 бракованих, відібрані випадковим чином 5 виробів для перевірки якості. Знайти ймовірність того, що серед відібраних:
а) не більш 2 бракованих;
б) бракованих менш ніж 4.

2.7.14 Гра полягає в киданні кілець на палку, гравець отримує 6 кілець і кидає кільця до першого попадання. Знайти ймовірність того, що:
а) хоча б одне кільце залишиться невитраченим, якщо ймовірність попадання дорівнює 0,1;
б) хоча б два кільця не витрачені.

2.7.15 В сім’ї п’ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей:
а) більш двох хлопчиків;
б) не менш і не більш трьох хлопчиків.
Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5.

2.7.16 Монету підкидають 6 paзів. Яка ймовірність того, що вона впаде гербом доверху не більш трьох разів?

2.7.17 В класі 20 хлопчиків і 10 дівчаток. На кожне з трьох питань, заданих вчителем, відповіли по одному учню. Яка ймовірність того, що серед учнів, що відповідали, було два хлопчика та одна дівчинка?

2.7.18 В кожному з чотирьох ящиків по 5 білих і по 16 чорних куль. З кожного ящика витягли по одній кулі. Яка ймовірність витягти дві білих і дві чорних кулі?

2.7.19 Ймовірність хоча б однієї появи події для чотирьох незалежних випробувань дорівнює 0,5904. Знайти ймовірність появи події для одного випробування, якщо для кожного випробування ця ймовірність однакова?

2.7.20 Дві електричні лампочки включені в мережу послідовно. Знайти ймовірність того, що при підвищенні напруги в мережі вище номінальної відбудеться розрив мережі, якщо ймовірність того, що лампочка перегорить, для обох лампочок однакова і дорівнює 0,4.

2.8 Варіанти самостійного завдання №2

2.8.1 Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

2.8.2 Ймовірність ураження мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена рівно 75 разів.

2.8.3 Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

2.8.4 Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність, того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

2.8.5 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менш 1470 і не більш 1500 разів.

2.8.6 Монета підкинута 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 велике число) разів. Знайти ймовірність того, що “герб” випаде рівно 13 EMBED Equation.3 1415 разів.

2.8.7 Монета підкинута 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 велике число) разів. Знайти ймовірність того, що “герб” випаде на 13 EMBED Equation.3 1415 разів більше, ніж “цифра”.

2.8.8 Ймовірність появи позитивного результату в кожному з 13 EMBED Equation.3 1415 випробувань дорівнює 0,9. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,98 можна було б очікувати, що не менш 150 випробувань дадуть позитивний результат.

2.8.9 Виробництво дає 10% браку. Яка ймовірність того, що із 200 навмання вибраних виробів 15 будуть бракованими?

2.8.10 Процент проростання пшеничного насіння становить 95%. Знайти ймовірність того, що з 2000 посіяних насінин проросте від 1880 до 1920.

2.8.11 Електростанція обслуговує мережу з 10000 ламп; ймовірність включення кожної з них 0,6. Визначити ймовірність одночасного включення від 5900 до 6100 ламп.

2.8.12 Досліджують 500 проб руди. Ймовірність промислового вмісту заліза у кожній пробі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що кількість проб з промисловим вмістом заліза буде між 300 та 370.

2.8.13 В перші класи повинно бути прийнято 200 дітей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться 100 дівчинок, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515.

2.8.14 Яка ймовірність того, що в стовпчику із 100 навмання відібраних монет число монет, які розташовані “гербом” доверху, буде від 45 до 55?

2.8.15 Виробництво дає 1% браку. Яка ймовірність того, що із 1100 навмання вибраних виробів бракованими будуть не більш 17?

2.8.16 Ймовірність ураження цілі при одному пострілі дорівнює 0,4. Знайти ймовірність того, що в ціль буде влучено від 200 до 250 разів в серії з 600 пострілів?

2.8.17 Ймовірність виходу зі строю за деякий час 13 EMBED Equation.3 1415 одного конденсатору дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що зі 100 конденсаторів на протязі часу 13 EMBED Equation.3 1415 вийде зі строю:
а) не менш 30 конденсаторів;
б) не більш 20 конденсаторів.
2.8.18 Ймовірність влучення в десятку при одному пострілі дорівнює 0,2. Скільки потрібно зробити незалежних пострілів, щоб з ймовірністю не меншою 0,9 влучити в десятку хоча б один раз?

2.8.19 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менш 1470 разів.

2.8.20 Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не більш 1469 разів.

2.9 Варіанти самостійного завдання №3

2.9.1 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час 13 EMBED Equation.3 1415 з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що за час 13 EMBED Equation.3 1415 відмовить хоча б один елемент.

2.9.2 Ймовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти таке число 13 EMBED Equation.3 1415, щоб з ймовірністю 0,979 абсолютна величина відхилення частоти події від її ймовірності була не більша за 13 EMBED Equation.3 1415.

2.9.3 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час 13 EMBED Equation.3 1415 з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що за час13 EMBED Equation.3 1415 відмовить рівно 3 елементи.

2.9.4 Верстат-автомат виготовляє стандартний виріб з ймовірністю 0,9. Із продукції верстату складають партію виробів. Скільки виробів повинен виготовити верстат, щоб з ймовірністю 0,9973 можна було стверджувати, що відхилення відносної частоти появи нестандартного виробу від ймовірності буде менше ніж 0,03?

2.9.5 Апаратура складається з 1000 елементів, кожний з яких незалежно від інших виходить з ладу за час 13 EMBED Equation.3 1415 з ймовірністю 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти ймовірність того, що за час13 EMBED Equation.3 1415 відмовить не більше 3 елементів.

2.9.6 Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,02.

2.9.7 Ймовірність того, що довільний абонент подзвонить на комутатор на протязі години дорівнює 0,01. АТС обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що на протязі години подзвонить 4 абонента.
2.9.8 Ймовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,01.

2.9.9 Ймовірність того, що довільний абонент подзвонить на комутатор на протязі години дорівнює 0,01. АТС обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що на протязі години подзвонить хоча б один абонент.

2.9.10 Скільки разів потрібно підкинути гральну кісту, щоб ймовірність нерівності 13 EMBED Equation.3 1415 була б не менша ніж ймовірність протилежної нерівності, де 13 EMBED Equation.3 1415 – число появ одного очка в 13 EMBED Equation.3 1415 підкиданнях гральної кістки?

2.9.11 Прилад складено з 1000 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови будь-якого елементу за час 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що за час13 EMBED Equation.3 1415 відмовлять 3 елементи.

2.9.12 Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменше число випробувань 13 EMBED Equation.3 1415, при якому з ймовірністю 0,99 можна було б очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше за 0,04.

2.9.13 Ймовірність виробництва бракованого виробу дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що серед 1000 виробів бракованих буде не більш ніж 10.

2.9.14 В урні містяться білі та чорні кулі у відношенні 4:1. Після вилучення кулі регіструється її колір і куля повертається до урни. Чому дорівнює найменше число вилучень 13 EMBED Equation.3 1415, при якому з ймовірністю 0,95 можна було б очікувати, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи білої кулі від її ймовірності буде не більше за 0,01?

2.9.15 Завод відправив до бази 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено менше трьох виробів.

2.9.16 Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробуваннях дорівнює 0,5. Знайти таке додатне число 13 EMBED Equation.3 1415, щоб з ймовірністю 0,77 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності 0,5 не перевищувала 13 EMBED Equation.3 1415.

2.9.17 Ткаля обслуговує 1000 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,005. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обрив станеться на 7 веретенах.

2.9.18 Ймовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробуваннях дорівнює 0,75. Знайти таке додатне число 13 EMBED Equation.3 1415, щоб з ймовірністю 0,98 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності 0,75 не перевищувала 13 EMBED Equation.3 1415.

2.9.19 Завод відправив до бази 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено три вироби.

2.9.20 Відділ технічного контролю перевіряє 475 виробів на брак. Ймовірність того, що виріб - бракований, дорівнює 0,05. Знайти з ймовірністю 0,95 межі, в яких буде лежати число 13 EMBED Equation.3 1415 бракованих виробів серед перевірених.

2.10 Варіанти самостійного завдання №4

2.10.1 90% деталей, які виробляються заводом, не мають дефектів. Яке найймовірніше число виробів з дефектами виявиться серед 20 виробів? Знайти ймовірність того, що з 5 виробів хоча б один з дефектами.

2.10.2 Встановлено, що середній процент браку виробів становить 5%. Скільки виготовлених деталей потрібно взяти, щоб найбільш ймовірне число не бракованих деталей дорівнювало б 60.

2.10.3 Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який дорівнює 0,2. Найти найймовірніше число влучень і ймовірність цього числа влучень.

2.10.4 Ймовірність виготовлення нестандартної деталі дорівнює 0,05. Скільки треба виготовити деталей, щоб найймовірніше число нестандартних деталей було 55?

2.10.5 Чому дорівнює ймовірність появи події в кожному випробуванні, якщо найймовірніше число появ події в 160 випробуваннях дорівнює 40?

2.10.6 Ймовірність виготовлення виробу відмінної якості дорівнює 0,9. Виготовлено 50 виробів. Чому дорівнює найймовірніше число виробів відмінної якості та ймовірність такого числа виробів?

2.10.7 Ймовірність отримання вдалого результату при проведенні складного хімічного досліду дорівнює 2/3. Знайти найймовірніше число вдалих дослідів, якщо загальна їх кількість дорівнює 100?

2.10.8 Ймовірність влучення в ціль Р=0,35. Скидаються одиночно 10 бомб, знайти найймовірніше число влучень і ймовірність цього числа влучень.

2.10.9 База обслуговує 8 магазинів. Щодня запити на товари можуть поступити з ймовірністю 0,6. Знайти найймовірніше число запитів, які можуть поступити у будь-який день.

2.10.10 Чому дорівнює ймовірність появи події в кожному випробуванні, якщо найймовірніше число появ події в 199 випробуваннях дорівнює 5?

2.10.11 Для даного баскетболіста ймовірність закинути м’яч дорівнює 0,4. Проведено 10 кидків. Знайти найймовірніше число попадань і відповідну ймовірність.

2.10.12 Визначити число 13 EMBED Equation.3 1415 незалежних повторних випробувань, які потрібно провести для того, щоб найймовірніше число появ події дорівнювало 20, якщо ймовірність появи цієї події при кожному випробуванні дорівнює 0,8.

2.10.13 Два рівносильних спортсмена грають у шахи. Знайти найймовірніше число виграшів будь-якого з цих шахістів, якщо будуть зіграні 13 EMBED Equation.3 1415 результативних (без нічиїх) партій. Обчислити при 13 EMBED Equation.3 1415.

2.10.14 Скільки слід здійснити незалежних випробувань з ймовірністю 0,4 появи події в кожному випробуванні, щоб найймовірніше число появи події в цих випробуваннях дорівнювало 25?

2.10.15 Чому дорівнює ймовірність відбутися події в кожних з 49 незалежних випробуваннях, якщо найймовірніше число появи події в цих випробування дорівнює 30?

2.10.16 Відділ технічного контролю перевіряє партію з 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найймовірніше число деталей, які будуть признані стандартними.

2.10.17 Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,3. Знайти число випробувань 13 EMBED Equation.3 1415, при якому найймовірніше число появ події в цих випробуваннях буде дорівнювати 30.
2.10.18 Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти число випробувань 13 EMBED Equation.3 1415, при якому найймовірніше число появ події в цих випробуваннях буде дорівнювати 20.

2.10.19 Чому дорівнює ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 появи події в кожному з 49 незалежних випробувань, якщо найймовірніше число появ події в цих випробуваннях дорівнює 30?

2.10.20 Чому дорівнює ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 появи події в кожному з 39 незалежних випробувань, якщо найймовірніше число появ події в цих випробуваннях дорівнює 25?

3 ЛІТЕРАТУРА

3.1 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш.шк., 2004. – 409 с.
3.2 Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. – Ч. І. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000. - 304.
3.3 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
3.4 Кибзун А.И., Горяинова Е.Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Додаток А

А.1 Таблиця значень щільності стандартного нормального розподілу

x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,0
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973

0,1
3970
3965
3901
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918

0,2
3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825

0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697

0,4
3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538

0,5
3521
3503
3155
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352

0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144

0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920

0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685

0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444

1,0
0,2420
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203

1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965

1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736

1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518

1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315

1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127

1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957

1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804

1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669

1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551

2,0
0,0540
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449

2,1
0440
0131
0422
0413
0404
0396
0388
0379
0371
0363

2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290

2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229

2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180

2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139

2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107

2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081

2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061

2,9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0046

3,0
0,0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
0036
0035
0034

3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025

3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018

3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013

3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009

3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006

3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004

3,7
0004
0004
0004
0004
0001
0004
0003
0003
0003
0003

3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002

3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001


А.2 Таблиця значень функції Лапласа



x
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09

0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359

0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753

0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141

0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517

0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879

0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224

0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549

0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852

0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133

0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389

1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621

1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830

1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015

1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177

1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319

1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441

1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545

1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633

1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706

1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767

2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817

2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857

2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890

2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916

2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936

2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952

2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964

2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974

2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981

2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986

3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990










13PAGE 15


13PAGE 145915




14 фц
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeR} -Equation NativeЋ -Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native– -Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native– -Equation NativeEquation NativeEquation NativeЌћ -Equation NativeEquation Nativeht -Equation Nativewt -Equation Native~ћ -Equation NativeЌћ -Equation NativeEquation Native~Ї -Equation NativeЌЇ -Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Nativewt -Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 11388567
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий