4.частные производные,полный дифференциал

Root EntryГОУ ВПО УГТУ-УПИ им. Первого президента РФ Б.Н.ЕЛЬЦИНА
Кафедра электронного машиностроения









РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”











ВЫПОЛНИЛА:
Студентка группы М-27052
Гришкина Е.В.
ПРОВЕРИЛА:
Огородникова О.М.















г. Екатеринбург - 2009

Содержание


Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных
Предел функции двух переменных
Непрерывность функции двух переменных

Частные производные

Частные производные
Полный дифференциал
Производная и дифференциал сложной функции
Неявные функции и их дифференцирования

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков
Признак полного дифференцирования
Дифференциалы высших порядков















ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ

1.1 Определение функции нескольких переменных

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому–либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.
Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и y называются аргументами функции.
Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных 13EMBED Equation.31415, можно рассматривать как функцию точки M 13EMBED Equation.31415, либо как скалярную функцию векторного аргумента 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415.
Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных 13EMBED Equation.31415. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.
Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Предел функции двух переменных

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству 13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415 называется
·-окрестность точки 13EMBED Equation.31415.

Определение. Число A называет пределом функции 13EMBED Equation.31415 при стремлении точки M к точке 13EMBED Equation.31415, если для любого
·>0 существует такое
·>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию 13EMBED Equation.31415 имеет место неравенство 13EMBED Equation.31415. Обозначают это так: 13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415

Функция 13EMBED Equation.31415 называется бесконечно малой при 13EMBED Equation.31415 если 13EMBED Equation.31415

Непрерывность функции двух переменных

Пусть точка 13EMBED Equation.31415 принадлежит области определения 13EMBED Equation.31415. Определение. Функция 13EMBED Equation.31415 называется непрерывной в точке 13EMBED Equation.31415 если
13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415 причем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Обозначим 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Полным приращением 13EMBED Equation.31415 при переходе от точки 13EMBED Equation.31415, к точке M называется разность значении функции в этой точке 13EMBED Equation.31415, т.е. 13EMBED Equation.31415


Частные производные

2.1 Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных 13EMBED Equation.31415 в точке 13EMBED Equation.31415 частные производные определяются так:
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415,
если эти пределы существуют. Величина 13EMBED Equation.31415 называется частным приращением функции z в точке 13EMBED Equation.31415 по аргументу 13EMBED Equation.31415. Используются и другие обозначения частных производных:
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Символы 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная 13EMBED Equation.31415 - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности 13EMBED Equation.31415 и плоскости 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 в соответствующей точке.
Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная 13EMBED Equation.31415 есть скорость изменения функции 13EMBED Equation.31415 относительно 13EMBED Equation.31415 при постоянном 13EMBED Equation.31415.
Из определения частных производных следует, что правила вычисле
·ния их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Пример 2. Если 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Величина 13EMBED Equation.31415 называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал

13EMBED Equation.31415. (1)
Если приращение (1) можно представить в виде 13EMBED Equation.31415, (2)
Где Аи В не зависят от 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, а 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 стремятся к нулю при стремлении к нулю 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, то функция 13EMBED Equation.31415 называется дифференцируемой в точке 13EMBED Equation.31415, а линейная часть 13EMBED Equation.31415 приращения функции (т.е. та часть 13EMBED Equation.31415, которая зависит от 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке 13EMBED Equation.31415 и обозначается символом 13EMBED Equation.31415:
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415. (3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке 13EMBED Equation.31415, то она в этой точке непрерывна.
Действительно, если в точке 13EMBED Equation.31415 функция 13EMBED Equation.31415 дифференцируема, то для этой точки 13EMBED Equation.31415 представимо в форме (2), откуда следует, что
13EMBED Equation.31415,
а это и означает, что в точке 13EMBED Equation.31415 функция 13EMBED Equation.31415 непрерывна.
Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).
В самом деле, пусть функция 13EMBED Equation.31415 в точке 13EMBED Equation.31415 дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем 13EMBED Equation.31415, имеем:
13EMBED Equation.31415.
Деля на 13EMBED Equation.31415 и переходя к пределу при 13EMBED Equation.31415, получаем:
13EMBED Equation.31415.
Это означает, что в точке 13EMBED Equation.31415 существует частная производная функции 13EMBED Equation.31415 по 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415. (4)
Аналогично доказывается, что в точке 13EMBED Equation.31415 существует частная производная
13EMBED Equation.31415. (5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде
13EMBED Equation.31415.
Если положить 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415, т.е. 13EMBED Equation.31415. Аналогично, полагая 13EMBED Equation.31415, получим 13EMBED Equation.31415. Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: 13EMBED Equation.31415.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция 13EMBED Equation.31415 имеет частные производные в некоторой окрестности точки 13EMBED Equation.31415 и эти производные непрерывны в самой точке 13EMBED Equation.31415, то эта функция дифференцируема в точке 13EMBED Equation.31415.
Доказательство. Дадим переменным 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 столь малые приращения 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, чтобы точка 13EMBED Equation.31415 не вышла за пределы указанной окрестности точки 13EMBED Equation.31415. Полное приращение 13EMBED Equation.31415 можно записать в виде 13EMBED Equation.31415.
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 (6)
Так как производные 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 непрерывны в точке 13EMBED Equation.31415, то
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415
Отсюда
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 - бесконечно малые при 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. Подставляя эти значения в равенство (6), находим:
13EMBED Equation.31415,
а это и означает, что функция 13EMBED Equation.31415 дифференцируема в точке 13EMBED Equation.31415.














13PAGE 14815




Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 11389416
    Размер файла: 530 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий