3 апта Вектор


апта
Дәріс -15
Тақырыбы: Векторлар кеңістігі.
Мақсаты: Вектор және скаляр ұғымдарын енгізу. Векторлық және скалярлық шамаларды айыра білу біліктілігін қалыптастыру. Векторларға амалдар қолдану: қосу, азайту, санға көбейту.
Дәріс сұрақтары:
1. Вектор ұғымы. Векторларға сызықтық амалдар қолдану.
2. Вектордың скалярлық көбейтіндісі.
Дәріс тезисі:
Табиғатта әртүрлі шмалар бар. Санмен ғана сипатталатын шамаларды скаляр шамалар немесе скаляр деп атайды. Мысалы: аурудың температурасы, заттың массасы және т.б. Алайда сипаттау үшін сан ғана емес оның бағытын да көрсету қажет болатын шамалар бар. Мысалы, ауырлық күші үдеу және т.б. Мұндай шамалар векторлық деп аталады.
Бағыты берілген кесінді вектор деп аталады.
Кесінді ұзындығы вектордың ұзындығы немесе модулы деп аталады.
Егер вектордың модулы нөлге тең болса, онда вектор нөлдік деп аталады. Модулы бірге тең вектор, бірлік вектор деп аталады.
Егер екі вектордың ұзындықтары бірдей, бірақ қарама-қарсы бағытталған болса, онда олар қарама-қарсы векторлар деп аталады.
Егер екі вектордың бағыттары параллель немесе ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, ондай векторлар коллинеар деп аталады.
Векторларды қосуға, азайтуға, санға көбейтуге болады. Әртүрлі есептерді шешу барысында бір ғана вектормен емес, бір өлшемді векторлар жиынтығымен жұмыс істеуге тура келеді. Ондай жиынтықты векторлар жүйесі деп атайды.
Векторлардың сызықтық комбинациясы деп нақты сандармен векторлардың көбейтінділерінің қосындысы түрінде берілген векторды айтады.
Векторлар жүйесінің максималды тәуелсіз ішкі жүйесі деп екі шартты қанағаттандыратын осы жүйенің дербес векторлар жиынын айтады:
1) бұл жиынның векторлары сызықты тәуелсіз;
2) жүйенің кез-келген векторы осы жиын векторлары арқылы сызықты өрнектеледі.
Векторлар жүйесінің максималды тәуелсіз ішкі жүйесі оның базисы деп аталады.
Векторлар жүйесінің рангы деп оның базисінің векторлар санын айтады.
Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлар. Векторларға амалдар қолдану. Векторлардың скаляр көбейтіндісі.
Айталық кеңістікте өз ара перпендикуляр Ох, Оу, Oz осьтері берілсін. Осы осьтердің оң бағыттары анықталып және бірлік масштабы таңдалсын. Осылай берілген үш өз ара перпендикуляр осін кеңістіктегі координат жүйесін құрайды деп атайды. Оxy, Oyz, Ozx жазықтықтарын координаталар жазықтығы дейді.
Кеңістегі М нүкте арқылы координаттық осьтері перпендикуляр үш жазықтық өткізейік. А, В, С осы үш жазықтықпен сәйкес Ох, Оу және Oz осьтерімен қиылысқан нүктелер. Бұл нүктелердің координаталары А(х, о, о) , В(о, у, о) және С(о, о, z) болады.
М нүктесінің , х- абсциссасы, у- ординатасы, z- апликатасы немесе былай жазылады - М(x, y, z)
z z
z0 M(x0,y0,z0)
В
k А
j i 0 у0
х0 0 у
6 сурет х1 у1 у2
х2
х 7 сурет
екі нүктенің арақашықтығы мына формула бойынша есептелінеді:
.
Екі нүктенің ара қашықтығы
Айталық жазықтықта екі нүкте және берілсін. Осы екі нүкте ара қашықтығын анықтайық.
С
В
У2
у1
х2
х1
А
А2
В2
А1
В1
Тік бұрышты АВС үшбұрышын қарастырамыз.

Пифагор теоремасы бойынша




бұдан
Осы табылған формула жазықтағы жатқан А мен В нүктелерінің ара қашықтығын анықтайды.
Кесіндіні берілген қатынаста бөлу.
Жазықтықта екі және нүкте берілсін. АВ кесіндіні нүктесі белгілі қатынасында бөлсін, яғни. С нүктесінің координаталарын табайық.
У
У2
С
х
N
В
у1
х2
х1
А
А2
В2
А1
В1
С1
С2

Есепті шешу үшін ADC және CNB үшбұш-
тарын қарастырайық . Осы екі
үшбұрыштар
ұқсас, олай болса .Мұнда

Сонда . Осыдан
2-ші сурет
Дәл осылайша y-ті табуға болады
Егер нүктесі АВ кесіндісін қақ ортасынан бөлетін болса, онда болып, (2.2), (2.3) формулалары мына түрге келеді
Анықтама. Басы нүктесі А және соңы В нүктесі жылжытуға болатын, бағытталған AB кесіндісін вектор деп атаймыз. Вектордың белгіленуі: немесе . ұзындығы АВ кесіндісінің ұзындығына тең және өзіне-өзі параллель теріс емес санды айтамыз.
Анықтама. а векторының ұзындығы деп
санын айтамыз.
Вектордың бағыты бағыттаушы косинуспен беріледі.
Анықтама. а векторының бағыттаушы косинусы деп
сos а, сos , сos , где а = (а^,x), =(а^,y), =(а^,z) санын айтамыз.
Бұл сандар өзара тәуелді және белгілі бір қатынаста өрнектеледі, яғни проекциялау арқылы координата осінің О нүктесінен шығатын кесіндінің ұзындық бірлігін алуға болады. Бұдан мына формула бойынша:
1= сos+ сos+ сos, олай болса сos а = сos= сos=.
радиус –вектор



Осы алынған сандар радиус-векторының бағыттаушы косинустары деп аталады.
Мысалы-8: АВ векторының ұзындығын және бағытын тап, егер А(4, -2, 1) және В(1, 3, -3).
Шешімі: Координаталары , бұдан вектордың ұзындығы
.
Онда бағыттаушы косинустар:
.
Тексеру:
.
Вектордың скалярлық көбейтіндісі. Координатамен берілген екі вектордың арасындағы бұрыш. Екі вектордың ортогоналдық шарты.
Анықтама. a және b векторының скалярлық көбейтіндісі деп сол векторлардың ұзындықтары мен екеуінің арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады және оның белгіленуі:
=
Егер и :
=()()==.
Иллюстрациялық материал:
«ФӨТ– 3 дәріс» электронды презентациялау.
Бақылау сұрақтары:
Егер векторды теріс санға көбейтсе, жаңадан алынған вектор мен алғашқы вектор бір-бірімен қалай орналасады?
Векторлар айырымын қосынды арқылы қалай өрнектеуге болады?
Коммутативті қасиеті векторлардың скаляр көбейтіндісі бола ала ма?
Вектордың векторлық көбейтіндісі. Вектордың аралас көбейтіндісі.
Тақырыбы: Векторларлық көбейтінді. Аралас көбейтінді.
Мақсаты: Векторлық көбейтінді және аралас көбейтінді ұғымдарын енгізу. Векторлық көбейтінді және аралас көбейтіндіні таба білуді қалыптастыру.
Дәріс сұрақтары:
1. Векторлық көбейтінді дегеніміз не?
2. Векторлық көбейтіндінің мағынасы.
3. Векторлық көбейтіндіні анықтайтын формуланы жазу.
4. Векторлық көбейтіндінің механикалық мағынасы.
5. Аралас көбейтінді дегеніміз не?
6. Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы.
7. Аралас көбейтіндінің қасиеттері.
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі және оның қасиеттері. Екі вектордың коллинеарлық шарты.
Анықтама. a b векторлық көбейтіндісі деп a және b векторына көбейткенде шығатын және үш шартпен анықталынатын с векторын айтамыз:
1) , мұндағы φ - a және b векторының арасындағы бұрыш
2)
3) с векторының a және b векторына қатысты бағыты Оz осінің Ox және Oy остеріне қатысты бағытына сәйкес келеді. Басқаша айтқанда, a, b, с векторлары оң үштікті құрайды.
Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:
a ∙ b = 0 → a ║ b a ∙ a =0
a ∙ b = - b ∙ a ma b = a mb = mab a b+ c = a b + a cГеометриялық мағынасы. Егер a және b векторлары басы ортақ болса, онда a b векторлық көбейтіндінің модулі осы векторлардан құралған параллелограммның ауданына тең болады.
Вектордың векторлық көбейтіндісі параллелограмм және үшбұрыш ауданын табу болып табылады.
Координаттық түрде берілген векторлық көбейтінді.
Егер a = X1; Y1 ;Z1 , b = X2; Y2 ;Z2 , онда a b мына формуламен өрнектеледі:
()()==
=.
Мысалы-10: Берілген төбелері бойынша үшбұрыштың ауданын тап: .
Шешуі: Үшбұрыш векторларымен салынған.
1) ;
2) .
Вектордың аралас көбейтіндісі және оның геометриялық мағынасы. Үш вектордың компланарлығы.
Анықтама. Нөлдік емес үш a, b және с векторларының аралас көбейтіндісі деп, a және b векторларының векторлық көбейтіндісі мен с векторының скалярлық көбейтіндісіне тең, яғни
Олай болса, .
Аралас көбейтіндінің қасиеттері:
a b* c = a* bc яғни көбейтудің орындалу ретін өзгертуге болады, сондықтан аралас векторлардың көбейтіндісін a b c түрінде жазуға болады.
Аралас көбейтіндіде көбейткішиердің орындарын ауыстырған кезде олардың таңбалары ауысады, мысалы
a b c = - QUOTE a b a c .
Егер берілген үш вектордың екі векторы өзара тең немесе коллинеарлы болса, онда аралас көбейтіндісі нөлге тең болады.
Үш век тордың компланар болуының қажетті және жеткілікті шарты:
a b c = 0.
Геометриялық мағынасы. a , b , c векторларының аралас көбейтіндісі осы векторлардан тұрғызылған параллепипедтің көлеміне тең болады.
Параллелепипед көлемі: Vпараллелепипеда = .
Пирамида көлемі: Vпирамиды = .
Аралас көбейтіндінің координаттық түрлері.
Егер a , b , c векторлары өздерінің координаттарымен берілсе, онда
.
Үш вектордың компланарлық шарты:
.
Мысалы-11: Берілген төбелері бойынша пирамида көлемін тап: .
Шешуі: Бұдан, , бұдан
.
Иллюстрациялық материал:
«ФӨТ– 3 дәріс» электронды презентациялау.
Практикалық жұмыс
Тақырып №3. Векторлар
Мақсаты: Вектор және скаляр ұғымдарымен танысу. Векторлық және скаляр шамаларды айыра білу. Үшбұрыштар ауданын және параллепипедтің көлемін есептей білуге үйрету және қалыптастыру.

Оқытудың міндеті
Вектор және скаляр шамалардың анықтамасын беру.
Векторларға қолданылатын амалдарды үйрету.
Вектордың қосындысын, айырымын және көбейтінділерінің геометриялық мағынада беру.
Компланар және коллинеар векторларды анықтай білу.
Векторлардың скалярлы көбейтіндісін табуды үйрету және қалыптастыру.
Векторлардың векторлық көбейтіндісін табуды үйрету және қалыптастыру.
Векторлардың аралас көбейтіндісін табуды үйрету және қалыптастыру.
Үшбұрыштар ауданын есептей білуге үйрету және қалыптастыру.
Кәсіби әдебиетпен жұмыс істегенде аналитикалық қабілеттерін қалыптастыру және дамыту.
Командада жұмыс iстейтiн тұлға аралық қарым-қатынастың дағдыларын жетiлдiру.
Оқыту әдістері: аралас (ситуациялық есептерді шешу, миға шабуыл (№1, 5,8,9 есептер)).
Көрнекі құралдар: оқу кестелері, плакаттар.
Құзыреттілікті қалыптастыру саны: біліктілік.
Бақылау:
Студент білімді қорытынды бағалауға арналған «Бақылау-өлшеу құралдары» тесттер жиынтығындағы тесттерге жауап береді.
Есептер:
1., , , нүктелері берілген. а) , ә) ; б) ; в) келесі векторлардың координаттарын табыңыз.
2. , , берілген. табыңыз.
3. және нүктелері берілген. векторының координатасын табыңыз.
4. A(-2, 1, 2); B(3, -3, 4); C(1, 0, 9) координаталары берілген, үшбұрыштың ауданын табыңыз.
A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6) төбелері берілген, үшбұрыштың ауданын есептеңіз.
AB және AC векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз:
A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).
a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4) векторлар компланар ма?.
Кеңістікте екі вектор a=(0;1;1), b=(-2;0;1) берілген. Табу керек: а) олардың қосындысын;б) олардың айырымын; арасындағы косинус бұрышын;в) олардың векторлық көбейтіндісін.
Берілген нүктелер арқылы M1 = ( -1 , 0 , 2 ), M2 = ( 1 , -2 , 5 ), M3 = ( 3 , 0 , 4 )
а) M3M1 x M3M2 векторларының векторлық көбейтіндісін;
б) M1M2M3 табу керек.
Сұрақтар:
Вектор дегеніміз не?
Скаляр дегеніміз не?
Бірлік вектор деп қандай векторды айтамыз?
Қандай векторлар коллинеар, компланар векторлар деп аталады?
Қандай формула бойынша вектордың ұзындығын табуға болады?
Векторларға қандай амалдар қолдануға болады?
Векторлардың скаляр көбейтіндісі қалай табылады?
Векторлық көбейтіндінің нәтижесі?
Векторлардың аралас көбейтінділері қандай формула бойынша анықталады?
Компланар және коллинеар векторлардың белгілерін айтыңдар.
Векторлық көбейтінді дегеніміз не?
Векторлық көбейтіндінің мағынасы.
Векторлық көбейтіндіні анықтайтын формуланы жазу.
Векторлық көбейтіндінің механикалық мағынасы.
Аралас көбейтінді дегеніміз не?
Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы.
Аралас көбейтіндінің қасиеттері.
Төбелерінің координаталары бойынша үшбұрыштар ауданын есептеу формуласы.
СРСП
№3 тақырып. Ортогональды векторлар жүйесі.
Мақсаты: Векторлар және базис, векторды базиске жіктеу, векторлардың векторлық және аралас көбейтіндіні туралы ұғымдар енгізу.
Оқытудың міндеті:
Векторлар жүйесінің рангісі мен базисі туралы түсінік беру.
Векторларды базисі бойынша жіктеу дағдысын қалыптастыру.
Векторлардың экономикалық қосымшалары білімін қалыптастыру.
Кәсіби әдебиетпен жұмыс істегенде аналитикалық қабілеттерін қалыптастыру және дамыту.
Командада жұмыс iстейтiн тұлға аралық қарым-қатынастың дағдыларын жетiлдiру.
Өткізу түрі – ситуациялық есептерді шешу.
Тақырып бойынша тапсырмалар:
тең бүйірлі трапецияның және табандары және тең; нүктесі қабырғасының ортасы. векторы берілген, және векторларының ортоганаль проекциясының ұзындығының алгебралық мәнін табыңыз.
Векторлардың ішінен

табыңыз а) коллинеарларын; б) ортогональды векторларды.
Векторлардың сызықтық комбинациясын құрыңыз
және және коэффициенттерімен.
векторын базис бойынша жіктеңіз, мұндағы сызықты тәуелсіз.
Үлестірілмелі материал – карточка да көрсетілген тапсырмалар
Бақылау:
Студент төменде көрсетілген сұрақтарға жауап бере білуі керек:
Векторлар жүйесінің базисі деп нені айтамыз?
Вектор тақырыбына студенттердің өзіндік жұмысы
Практикалық нұсқау
Мысал 1. және векторлары берілсін.
векторының координаттарын табу керек.
Шешімі.
Тапсырма:
Скалярлық көбейтіндісін табу:
Екі вектордың арасындағы бұрышты табу: және
Параллелограммның ауданын табу: және .
1 нұсқа
, , векторлары берілген.
2 нұсқа
, , векторлары берілген.
3 нұсқа
, , векторлары берілген.
4 нұсқа
, , векторлары берілген.
5 нұсқа
, , векторлары берілген.
6 нұсқа
, , векторлары берілген.
7 нұсқа
, , векторлары берілген.
8 нұсқа
, , векторлары берілген.
9 нұсқа
, , векторлары берілген.
10 нұсқа
, , векторлары берілген.
11 нұсқа
, , векторлары берілген.
12 нұсқа
, , векторлары берілген.
13 нұсқа
, , векторлары берілген.
14 нұсқа
, , векторлары берілген.
15 нұсқа
, , векторлары берілген.
16 нұсқа
, , векторлары берілген.
17 нұсқа
, , векторлары берілген.
18 нұсқа
, , векторлары берілген.
19 нұсқа
, , векторлары берілген.
20 нұсқа
, , векторлары берілген.
21 нұсқа
, , векторлары берілген.
22 нұсқа
, , векторлары берілген.
23 нұсқа
, , векторлары берілген.
24 нұсқа
, , векторлары берілген.
25 нұсқа
, , векторлары берілген.
Практикалық нұсқау
Мысал 2. төбелері берілген үшбұрыштың ауданын табу керек.
Шешімі: Алдымен мен векторларынан тұрғызылған параллелограммның ауданын табамыз. Параллелограммның ауданы векторлық көбейтіндінің анықтамасы бойынша және векторлардың векторлық көбейтіндісiнің модуліне тең, яғни

мұндағы
.
Ал үшбұрыштың ауданы мына формула бойынша анықталады

Сонымен ,

Мысал 3. Төбелері және болатын пирамиданың көлемін табу керек.
Шешімі. Алдымен және векторларын тұрғызылған параллелепипедтің көлемін аралас көбейтінің анықтамасы бойынша мына формуламен табамыз:
.
Ал үшбұрышты пирамиданың көлемі

Алдымен және векторлардың координаттарын табамыз. Сонымен


(куб бір).
2 тапсырма
ABCD пирамида төбелері берілген: А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4). (1 кесте). Табу керек:
Пирамида көлемін;
ABC жағының ауданын;
векторларының арасындағы бұрышты табыңыз.
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
10/
11/
12/
13/
14/
15/
16/
17/
18/
19/
20/
Сауалнама сұрақтар.
және векторларының скаляр көбейтiндiсiнiң формуласы:
және векторларының скаляр көбейтіндісі неге тең:
векторының ұзындығын анықтайтын формула:
Скалярлық шама:
Векторлық шама:
Векторлардың қосындысының геометриялық мағынасы:
векторының санына көбейтiлген, векторының бағыты , векторының бағытына бағыттас болады, егер:
векторының санына көбейтiлген, векторының бағыты , векторының бағытына қарама-қарсы болады, егер:
и векторларының көбейтіндісі нөльге тең болады, егер:
және векторларының векторлық көбейтіндісі қандай жағдайда нөльге тең
болады:
берілген. векторының координатасын табыңыз:
және берілген. векторының координатасын табыңыз:
және берілген. векторының координатасын табыңыз:
векторының ұзындығы:
векторының ұзындығы:
=(4,-2,3) және =(2,3,0) векторларының перпендикуляр болуының шарты:
=(4,-2,-4) және =(6,-3,2) векторларының скаляр көбейтiндiсi:
векторының ұзындығын табыңыз:
векторының ұзындығын табыңыз.
, векторлары берілсін. векторының координатасын табыңыз:
(х; 2) және (1;-3) векторлары х-тің қандай мәнінде коллинеар болады?
=(x1, y1,z1) и =(x2, y2, z2) векторлар үшін x1x2+y1 y2+z1z2 формуласы
неге тең:
A(1;2;3) және B(3;-4;6) нүктелері берілген. векторының ұзындығын
анықтаңдар:
Егер векторының x=4, y= -12 екі координатасы және вектордың ұзындығы
||=13 белгілі болса , онда үшінші координатасы неге тең :
-ны табу керек, егер ||=3, ||=4, = берілген болса:
=(x1, y1, z1) және =(x2, y2, z2) векторлар үшін мына
формула нені анықтайды:
= (1;1;0) және = (1;0;1) векторларының арасындағы бұрышты табу керек:
және векторларының арасындағы бұрышты табу керек:
және берілген болса, олар:
Мына векторлар және қалай орналасқан:
жане векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.
Егер =(1,1,0), =(1,0,1), пр-ны табыңдар
Бағыттаушы косинустардың квадраттарының қосындысы неге тең болады
A(-3,7) және B(5,11) екі нүкте берілген. AВ кесіндісінің орта нүктесінің
координаталарын табыңыз:
және векторлары бойынша салынған параллелограмның ауданы тең:
Егер , , векторлары компланар болса, онда:
Егер ||=3, ||=4, = берілген болса, |х| табу керек:
=(x1, y1, z1), =(x2, y2, z2) , =(x3, y3, z3) векторлар үшін мына
формула нені анықтайды:
және векторларының векторлық көбейтіндісін
табыңдар:
=(x1, y1, z1) және =(x2, y2, z2) болса, онда мына анықтауыш
нені анықтайды:
=(1,2,3), =(0,2,-1), = (-2,1,0) векторлары бойынша тұрғызылған
параллелепипедтің көлемін табыңдар:
=(1,2,3), =(-2,3,4), = (-1,5,7) векторлар қалай орналасқан:
А(4;-3) және В(-4;5) нүктелері берілген. векторының координаталарын анықтаңдар:
А (0;2) және В(-3;7) нүктелерi арқылы өтетiн түзудiң теңдеуi:
№1 ағымдық бақылау жұмысы

Векторлық алгебра тақырыбы бойынша бақылау жұмыстарының тапсырмалары
1 тапсырма: жәневекторы бойынша жіктелген жәневекторлары коллинеарлы вектор ма?
2 тапсырма: және векторлары перпендикуляр ма?
3 тапсырма: компланарлы вектор ма?
4 тапсырма: -нің қандай мәнінде және векторы перпендикуляр болады?
5 тапсырма: нүктелерінің координаталары берілген. Есепте:

1) ;
2) ;
3) орт вектора ;
4) ;
5) ;
6) ;
6 тапсырма: пирамиданың төбелерінің координаталары берілген. Есепте:
1) пирамида көлемін;
2)қабырғасының ұзындығын;
3) жағының ауданын;
1 нұсқа
1.1
3.1
2.1
4.1
5.1
6.1
2 нұсқа
1.2
2.2
3.2
4.2
5.2
6.2
3 нұсқа
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
6.3
4 нұсқа
1.4
2.4
3.4
4.4
5.4
6.4
5 нұсқа
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
6 нұсқа
1.6
2.6
3.6
4.6
5.6
6.6
7 нұсқа
1.7
2.7
3.7
4.7
5.7
6.7
8 нұсқа
1.8
2.8
3.8
4.8
5.8
6.8
9 нұсқа
1.9
2.9
3.9
4.9
5.9
6.9
10 нұсқа
1.10
2.10
3.10
4.10
5.10
6.10
11 нұсқа
1.11
2.11
3.11
4.11
5.11
6.11
12 нұсқа
1.12
2.12
3.12
4.12
5.12
6.12
13 нұсқа
1.13
2.13
3.13
4.13
5.13
6.13
14 нұсқа
1.14
2.14
3.14
4.14
5.14
6.14
15 нұсқа
1.15
2.15
3.15
4.15
5..15
6.15
16 нұсқа
1.16
2.16
3.16
4.16
5.16
6.16
17 нұсқа
1.17
2.17
3.17
4.17
5.17
6.17
18 нұсқа
1.18
2.18
3.18
4.18
5.18
6.18
19 нұсқа
1.19
2.19
3.19
4.19
5.19
6.19
20 нұсқа
1.20
2.20
3.20
4.20
5.20
6.20

Приложенные файлы

  • docx 11414411
    Размер файла: 737 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий