Основы Подземной гидром 111108


Федеральное АГЕНТСТВО по образованию


УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ





В. П. Пятибрат





Основы подземной гидромеханики



Учебное пособие



















Ухта 2008
УДК 532.5(075.8)
П99
ББК 26.325.31


Пятибрат В.П. Основы подземной гидромеханики. Учебное пособие. - Ухта: УГТУ, 2008.  105 с., ил.

ISBN 5 – 247-02323 - 4


Учебное пособие содержит программу, основные формулы, примеры решения задач и контрольные задания по разделам курса “Подземная гидромеханика”. Предназначено студентам дневного и заочного факультетов по направлению 130500 Нефтегазовое дело для специальностей: «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений»; «Бурение скважин»; «Проектирования и эксплуатации магистральных газонефтепроводов».
Содержание учебного пособия соответствует рабочей учебной программе.





Рецензенты: кафедра «Разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений» Института нефти и газа Архангельского государственного технического университета и начальник отдела разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений филиала ООО "ВНИИГАЗ" Севернипигаз к.т.н. А. В. Назаров.








© Ухтинский государственный технический университет, 2008

© Пятибрат В.П., 2008


13 SET z470 470 \* MERGEFORMAT 1447015
ISBN 5 – 247-02323 - 4

Введение
Подземная гидромеханика - теоретическая основа разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Подземная гидромеханика – наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. При этом движение жидкостей и газов происходит по извилистым и очень малым по размерам порам, поэтому такое движении имеет свои особенности и называется фильтрацией. Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером А. Дарси, который в 1856 году при строительстве водопровода в городе Дижоне заинтересовался очисткой воды при фильтрации её через песок и опубликовал обнаруженной им экспериментальный закон.
В последнее время интенсивно развиваются: теория многофазной многокомпонентной фильтрации; подземная гидромеханика неньютоновских жидкостей, теории и методы расчета теплового воздействия на пласт и другие разделы подземной гидромеханики. Это требует знания громоздкого математического аппарата, численных методов решения задач математической физики.
В данном учебном пособии автор стремился рассказать об основах подземной гидродинамики, привести примеры расчета простейших задач, которые наиболее часто встречаются при разработки месторождений.

Дифференциальные уравнения фильтрации
Основные понятия и определения
Фильтрацией называется движение жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями. Фильтрация происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей. Силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.
Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор в образце Vпор к объему образца V.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14115)

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.
Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов (пр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения (
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14215)

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях (пр(х). Среднее значение просветности по длине образца равно пористости.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14315)

Поперечным сечением ( называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.
Объемным расходом Q называется объем жидкости прошедший через поперечное сечение за единицу времени.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14415)

Массовым расходом Qm называется масса жидкости прошедшая через поперечное сечение за единицу времени.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14515)

Массовый расход равен произведению плотности ( на объемный расход:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14615)

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14715)

Скорость фильтрации это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).
В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам. Поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14815)

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В каждом поперечного сечения давление, скорость и направление скорости одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях.
В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе, диаметром D, заполненной пористой средой (13 REF _Ref49331397 \h 14Рис. 1.115). Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14915)

На некоторых участках продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление pк, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление pг. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи. Площадь поперечного сечения галереи равна:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141015)



13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
a. Плоскопараллельный поток


b. Плоскорадиальный поток


c. Сферический поток
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14115. Схемы фильтрационных потоков

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжение векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке. На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой-либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141115)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).
При радиально-сферическом потоке продолжение векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке. Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точке пласта называется радиусом r. Поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141215)

В каждом поперечного сечения давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).
На практике радиально-сферический поток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания.
В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени.
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141315)

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).
Закон Дарси
Движение однородной жидкости в пористой среде определяется силами давления и силами тяжести. Основное соотношение теории фильтрации - закон Дарси - устанавливает связь между величиной скорости фильтрации вдоль линии тока и силами действующими в жидкости. Рассмотрим закон Дарси на примере схемы опытной установки (13 REF _Ref49311680 14Рис. 1.215). Пусть по трубе, диаметром D и длиной L заполненной пористой средой, фильтруется жидкость со скоростью u. Выберем два поперечных сечения 1 и 2. Центры тяжести поперечных сечений расположены на высотах z1 и z2. Давление p1 и p2 в сечениях замеряем пьезометрами. Как и в трубной гидравлике запишем уравнение Бернулли для этих сечений.
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141415)

где 13EMBED Equation.31415 - гидродинамический напор;
h12 = h(u)- потери напора между сечениями, которые зависят от скорости фильтрации и не могут рассчитываться по формулам трубной гидравлики.
Скорости фильтрации жидкости в пористой среде малы, поэтому скоростным напором можно пренебречь. Разрешая уравнение (1.14) относительно скорости фильтрации, получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141515)

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14215. Схема опытной установки

Рассмотрим зависимость скорости фильтрации от расстояния между сечениями и площади поперечного сечения. При прочих равных условиях с увеличением расстояния увеличиваются сопротивления движению жидкости и скорость фильтрации должна уменьшатся. Наиболее простая зависимость - обратно пропорциональная u ( 1/L. Предположим, что скорость фильтрации зависит от площади поперечного сечения, то во всем образце она будет одна. Проделаем мысленный эксперимент. Разделим поперечное сечение пополам и рассмотрим одну половину. Площадь поперечного сечения изменилась, значит должна измениться и скорость, но в одном и том же реальном образце не могут быть две различные скорости фильтрации. Поэтому наше предположение не верно и скорость фильтрации не зависит от площади. Кроме того, скорость фильтрации зависит от свойств фильтрующейся жидкости и свойств пористой среды. Учтем эти свойства - коэффициентом фильтрации kф.
Тогда формула (1.15) запишется:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141615)

Эта формула впервые была экспериментально полечена французским инженером Дарси и подтверждается для многих жидкостей и газов в широких пределах изменения скоростей. Но для некоторых жидкостей и значений скоростей фильтрации эта формула не подтверждается. Коэффициентом фильтрации kф используется в тех случаях, когда фильтруется вода. При фильтрации нефти, газа, воды и их смесей желательно учитывать свойства породы и жидкости отдельно. Свойства жидкости характеризуются коэффициентом динамической вязкости
· и плотностью (. Тогда коэффициент фильтрации можно записать в виде:
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141715)

где k - коэффициент проницаемости.
Коэффициент проницаемости зависит только от свойств пористой среды и определяет способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы. Коэффициент проницаемости имеет размерность площади (в СИ [k] = м2 = 10 12 мкм2) и качественно представляет собой площадь поперечного сечения отдельного капилляра. Поэтому проницаемость горных пород очень мала. Например, проницаемость крупнозернистых песчаников, а таких нефтяных или газовых пластов очень мало, составляет 10-12 - 10-13 м2. На практике до сих пор проницаемость нефтяных и газовых пластов измеряется устаревшими единицами, называемыми Дарси (Д). С введением системы единиц СИ использовать эту единицу запрещено. Для перевода в систему СИ используется соотношение 1 Д = 1,02 10-12 м2 = 1,02 мкм2.
С введение коэффициента проницаемости закон Дарси примет вид:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141815)

где p* = p + ( g z - приведенное давление.
Расстояния z от плоскости сравнения до данной точки считается положительным, если точка лежит выше плоскости сравнения, и отрицательной, если ниже. За плоскость сравнения можно принять любую горизонтальную плоскость. Обычно принимают границу газонефтяного (ГНК) или водонефтяного (ВНК) контакта. При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), поэтому второе слагаемое в приведенном давлении постоянно и при подстановке в формулу обращается в нуль. Поэтому в горизонтальных пластах при движении однородной жидкости приведенное давление можно положить равным давлению в данной точке и знак (*) в законе Дарси можно опустить.
Рассмотрим трубку тока, вдоль которой происходит фильтрация жидкости. Обозначим расстояние вдоль вектора скорости у этой трубки через s. Выберем две точки на расстоянии (s друг от друга и запишем для этих точек закон Дарси:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141915)

Получим значение средней скорости на этом участке uср. Если устремить расстояние между точками к нулю, то получим закон Дарси в дифференциальной форме:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142015)

В векторной форме закон Дарси запишется:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142115)

или в проекциях на оси координат
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142215)

На практике проницаемость по вертикали в 2 - 10 раз меньше чем по горизонтали. Такая пористая среда называется анизотропной и закон Дарси в этом случае имеет вид:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142315)

Для плоскорадиального и радиально-сферического потока Закон Дарси можно записать в виде:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142415)

В пластах часто встречаются непроницаемые границы (сбросы). Жидкость двигаться перпендикулярно непроницаемой границе не может, поэтому нормальная к границе скорость равна нуль un = 0. Тогда из закона Дарси следует:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142515)

Это означает, что перпендикулярно непроницаемой границе давление не меняется и линии равного давления (изобары) перпендикулярны этой границе.
Нарушение закона Дарси. Нелинейные законы фильтрации
При малых и больших скоростях фильтрации закон Дарси не выполняется. Нарушение закона Дарси при малых скоростях обычно связано с неньютоновскими свойствами нефти.
При больших скоростях начинают проявляться инерционные силы, которые возникают при движении жидкости по извилистому пористому каналу. Проведем аналогию с трубной гидравликой. Потери давления пропорциональны скорости, как при ламинарном режиме движения жидкости в трубе, так и при фильтрации жидкости по закону Дарси. Потери давления пропорциональны квадрату скорости, как при сильно развитом турбулентном режиме движения жидкости в трубе, так и при больших скоростях фильтрации (закон Дарси не выполняется). В трубной гидравлике режим движения определяется по числу Рейнольдса:
13 EMBED Equation.3 1415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142615)

где V - средняя скорость в трубе;
D - диаметр трубы.
Если число Рейнольдса меньше критического Reкр = 2320, то режим движения ламинарный, а если больше, то турбулентный. По аналогии введем число Рейнольдса и при фильтрации. Различными авторами предложено несколько формул для определения числа Рейнольдса, но приведем одну из них - формулу Щелкачева. В этой формуле за характерную скорость принята скорость фильтрации u, за характерный поперечный размер капилляра - корень квадратный из проницаемости пласта. Кроме этого добавлен множитель, который частично учитывает структуру пористой среды - 10/m2,3. Формулу Щелкачева имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142715)

Так, как при одной и той же пористости и проницаемости структура пористой среды может быть, которое лежит в пределах разной, то широк разброс в значении критического значения числа Рейнольдса Reкр = 0,032 - 14. Обычно принимают Reкр = 1. Если вычисленное значение числа Re оказывается меньше нижнего критического значения, то закон Дарси справедлив, если больше верхнего значения, то закон Дарси заведомо нарушен. Скорость фильтрации, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации (uкр).
Однако нарушение линейного закона фильтрации еще не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному. Закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости за счет извилистости каналов и изменения площади их поперечных сечений, становятся при u > uкр соизмеримыми с силами трения.
Для практических расчетов число Рейнольдса удобнее выражать через массовый расход. Это связано с тем обстоятельством, что при фильтрации газа плотность газа зависит от давления в поперечном сечении, поэтому необходимо эту плотность рассчитывать дополнительно.
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142815)

При нарушении закона Дарси зависимость между скоростью фильтрации и градиентом давления dp/ds лучше всего описывается двучленной формулой. Ее еще называют формулой Форхгеймера:
13 EMBED Equation.3 1415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142915)

где ( - безразмерный коэффициент характеризующий структуру пористой среды. При малых значениях скорости, вторым слагаемым можно пренебречь, и получим закон Дарси. При больших значениях скоростей первым слагаемым можно пренебречь, и получим закон Краснопольского:
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143015)

Иногда при нарушении закона Дарси используют одночленный закон фильтрации в виде:
13 EMBED Equation.3 1415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143115)

где С и n некоторые постоянные числа 1 < n < 2.
В нефтяных скважинах нарушение закона Дарси происходит достаточно редко. Большинство газовых скважин работают при нарушении закона Дарси.
При малых скоростях также происходит нарушение закона Дарси. Это связано или с большой площадью соприкосновения породы и жидкости (в низкопроницаемых коллекторах) или с наличием в нефти смол, парафинов и т.д. В этом случае закон Дарси можно записать в виде:
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143215)

где (o - начальный градиент давления.
Уравнение неразрывности потока
Уравнение неразрывности потока представляет собой закон сохранения массы для элементарного объема пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение однородной, сжимаемой жидкости или газа объем в виде параллелепипеда с ребрами (x,
·y,
·z (13 REF _Ref49332153 14Рис. 1.315). Найдем массу, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время (t. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (( ux)1
·y
·z
·t, а через правую грань войдет масса (( ux)2
·y
·z
·t.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14315. Схема элемента пласта

Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d mx. Если расстояние между гранями
·x устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143315)

Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом, общая масса оставшаяся внутри объема равна сумме этих масс
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143415)

С другой стороны масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности (, пористости m и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143515)

Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143615)

Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если это слагаемое равно нулю, по движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.
Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет других жидкостей или газов, а также нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.). В дивергентном виде это уравнение записывается:
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143715)

В частных случаях уравнение упрощается. Для плоскопараллельного потока (приток к галерее)
13 EMBED Equation.3 1415.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143815)

Для плоско радиального потока (приток к скважине)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143915)

Для радиально-сферического потока
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144015)

При стационарном движении уравнение неразрывности удобно записать в интегральном виде. Для этого выберем элементарную струйку или поток, боковые поверхности которого непроницаемы для жидкости, а торцевые представляют собой поперечные сечения, то есть, перпендикулярны направлению скорости. Проинтегрируем уравнение неразрывности потока по объему между этими сечениями и применим теорему Остроградского - Гаусса то, есть перейдем от интеграла по объему к интегралу по боковой поверхности этого объема:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144115)

В этом выражении производная по времени обратилась в ноль так, как движение стационарное. Интеграл по боковой поверхности равен нулю так, как скалярное произведение вектора скорости и нормали к боковой поверхности SБ равно нулю (угол между этими векторами составляет 90( из-за того, что граница непроницаема). В первом поперечном сечении угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению составляет 180(, поэтому косинус этого угла в скалярном произведении равен минус единице. Поэтому интеграл по поверхности первого поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении с отрицательным знаком. Аналогично интеграл по поверхности второго поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении, но с положительным знаком так, как угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению равен нулю. Из полученного выражения следует, что массовый расход в любом поперечном сечении потока при стационарном движении величина постоянная.
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144215)

Если происходит движение несжимаемой жидкости, то плотность в разных сечениях будет постоянной. Поэтому для несжимаемой жидкости будет постоянным не только массовый расход, но и объемный расход.
Зависимость параметров жидкости, газа и пористой среды от давления
Выведенные дифференциальные уравнения (13 REF _Ref49332325 \r 141.215, 13 REF _Ref49332280 \r 141.415) содержат параметры, которые характеризуют жидкость или газ - плотность (, вязкости (, а также параметры пористой среды - коэффициенты пористости m и проницаемости k. Для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих коэффициентов от давления.
При установившейся фильтрации капельной жидкости можно считать ее плотность не зависящей от давления, то есть рассматривать жидкость как несжимаемую ( = const.
В неустановившихся процессах необходимо учитывать сжимаемости жидкости, которая характеризуется коэффициентом объемного сжатия (ж, который обычно считают постоянным:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144315)

где V - объем жидкости. Для различных нефтей отечественных месторождений коэффициенты объемного сжатия составляют (7 - 30) 10-10 Па-1, для пластовых вод (2,7 - 5) 10-10 Па-1.
В последней формуле перейдем от объемов к плотности, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144415)

Проинтегрируем последнее равенство от начального значений давления р0 и плотности (0 до текущих значений получим:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144515)

При перепадах давлений 20 МПа показатель степени (ж (р - р0)
· 0,01 << 1. В этом случае можно, разложив экспоненту в ряд Тейлора, ограничиться двумя первыми членами ряда
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144615)

При этом получаем линейную зависимость плотности от давления
Природные газы можно считать идеальными (совершенными), если пластовые давления газовых месторождений невелики (до 69 МПа) и газ отбирается при депрессии до 1 МПа. Зависимость плотности от давления в этом случае можно найти из уравнения КлайперонаМенделеева
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144715)

где R( - газовая постоянная, которая зависит от состава газа.
Обычно температура пласта Tпл постоянна, поэтому при нормальном давлении pат = 0,1013 МПа плотность газа при пластовой (ат температуре будет равна
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144815)

Исключая пластовую температуру, получим уравнение состояния идеального газа, которым будем пользоваться в дальнейшем:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144915)

В настоящее время в практике все чаще встречаются газовые месторождения с высокими пластовыми давлениями (до 40 - 60 МПа), которые иногда эксплуатируются с большими депрессиями (порядка 15 - 30 МПа). В этих условиях следует использовать уравнение состояния реального газа
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145015)

где z коэффициент, характеризующий степень отклонения состояния реального газа от закона идеальных газов (коэффициент сверхсжимаемости) и зависящий для данного газа от давления и температуры z = z(p, Т). Значения коэффициента сверхсжимаемости z определяются по графикам Д. Брауна.
Эксперименты показывают, что коэффициенты вязкости нефти (при давлениях выше давления насыщения) и газа увеличиваются с повышением давления. При значительных изменениях давления (до 100 МПа) зависимость вязкости пластовых нефтей и природных газов от давления можно принять экспоненциальной
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145115)

При малых изменениях давления эта зависимость имеет линейный характер.
Здесь (0 - вязкость при фиксированном давлении p0;
·( коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава нефти или газа.
Чтобы выяснить, как зависит от давления коэффициент пористости, рассмотрим вопрос о напряжениях, действующих в пористой среде, заполненной жидкостью. При уменьшении давления в жидкости, увеличивается силы на скелет пористой среды, поэтому пористость уменьшается.
Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимаемости породы записывают следующим образом, вводя коэффициент объемной упругости пласта (с
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145215)

Интегрируя полученное выражение, получим:
m = m0 + (с (p - p0),
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145315)

где m0 коэффициент пористости при давлении p0.
Лабораторные эксперименты для разных зернистых пород и промысловые исследования показывают, что коэффициент объемной упругости пласта составляет (0,3 - 2) 10-10 Па-1.
При значительных изменениях давления изменение пористости описывается уравнением
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145415)

Экспериментально показано, что не только пористость, но и проницаемость существенно изменяются с изменением пластового давления, причем часто проницаемость значительнее, чем пористость. При малых изменениях давления эту зависимость можно принять линейной
k = k0 (1 + (k (p - p0)),
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145515)

а при больших экспоненциальной
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145615)

В трещиноватых пластах проницаемость изменяется в зависимости от давления более интенсивно, чем в пористых. Поэтому в трещиноватых пластах учет зависимости k(p) более необходим, чем в гранулярных.
Уравнения состояния жидкости или газа, насыщающих пласт, и пористой среды замыкают систему дифференциальных уравнений.
Начальные и граничные условия
Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для жидкостей или газов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.
Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.
Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид
p = pо(х, у, z) при t = 0,
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145715)

то есть в начальный момент задается распределение давления во всем пласте.
Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид
р = рk = const при t = 0.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145815)

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.
Возможны следующие граничные условия.
Граничные условия первого рода. На границе задаются значения давления:
р(г = р(Г, t).
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145915)

Граничные условия второго рода. На границе задаются значения нормальной скорости к границе:
un(г = un(Г, t).
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146015)

Так, как по закону Дарси скорость фильтрации связана с градиентом давления, то это граничное условие можно записать в следующем виде:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146115)

Граничные условия третьего рода. Это граничное условие является комбинацией первых двух и в практике встречается редко.
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146215)

Рассмотрим граничные условия в случае притока к галерее. Галерея имеет две границы, одна при x = 0, а вторая (контур питания) x = L. Поэтому необходимо поставит по одному граничному условию на каждой границе. На контуре питания ставится условие постоянство давления или условие непроницаемости границы
p(L, t) = pk или ux(L, t) = 0.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146315)

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде:

(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146415)

На самой галерее ставится условие постоянство давления или задается расход, с которым работает галерея Q0.
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146515)

Второе граничное условие можно записать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146615)

Рассмотрим граничные условия в случае притока к скважине. В этом случае также имеются две границы, одна на боковой поверхности скважины при r = rc, а вторая на контуре питания r = Rk. На контуре питания ставится условие постоянство давления или условие непроницаемости границы
p(Rk, t) = pk или ur(Rk, t) = 0.
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146715)

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146815)

На самой скважине ставится условие постоянство давления или задается расход Q0, с которым она работает
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146915)

Второе граничное условие можно записать в виде:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 147015)

Примеры и задачи
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14115.
Определить скорость фильтрации и действительная скорость движения газа у стенки гидродинамически совершенной скважины, если известно, что толщина пласта h = 10 м, коэффициент пористости m = 12%, радиус скважины rc = 0,1 м, массовый дебит газовой скважины Qm = 50 т/сут, плотность газа при атмосферном давлении (pат = 0,1013 МПа) ( = 0,8 кг/м3. Абсолютное давление на скважине равно pс = 10 МПа.
Решение:
Массовый расход в системе СИ равен
Qm=50 т/сут = 50 ·1000/86400 = 0,589 кг/с.
По уравнению неразрывности потока при установившемся движении массовый расход в любом поперечном сечении потока одинаков. Поэтому массовый расход газа на боковой поверхности скважины будет равен:
Qmс = Qm = 0,589 кг/с.
Плотность газа в этом поперечном сечении равна:
(с = (ат pc/pат = 0,8·10·106/0,1013·106 = 80,0 кг/м3,
Приток к скважине представляет собой плоскорадиальный поток. Поэтому площадь поперечного сечения равна ( = 2 ( rc h. Объемный расход на забое скважины связан с массовым расходом соотношением Qс = Qm/(с. Тогда скорость фильтрации будет определяться:
13EMBED Equation.31415
Действительная скорость движения нефти
v = u/m = 1,17 10-3/0,12 = 9,77 10-3 м/с.
Ответ: u = 1,17 10-3 м/с. v = 9,77 10-3 м/с.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14215.
Вертикальная труба, содержащая пористую среду, заполнена водой. Верхний и нижний торец трубы открыт. Определить скорость фильтрации, если известно, что коэффициент проницаемости k = 0,2 мкм2, а динамическая вязкость и плотность воды ( = 0,98 мПа с, ( = 1000 кг/м3.
Решение:
Выберем плоскость сравнения по нижнему торцу трубы. Длину трубы обозначим через L. Приведенные давления на верхнем торце соответственно равны
p1* = p1 + ( g z1 = pат + ( g L,
p2* = p2 + ( g z2 = pат + ( g 0 = pат.
Тогда по закону Дарси:
13EMBED Equation.31415
Ответ: u = 2,00(10-6 м/с.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14315.
Давление вокруг скважины в горизонтальном пласте распределяется по закону
13EMBED Equation.31415
Определить скорость фильтрации и дебит на скважине и на расстоянии 20 м, если известно, что коэффициент проницаемости k = 0,2 мкм2, динамическая вязкость нефти ( = 20 мПа(с и толщина пласта h = 7 м. Радиус скважины и контура питания соответственно равны rc = 0,1 и Rк = 100 м. Давление на скважины и контуре питания pc = 10 МПа и pк = 20 МПа.
Решение:
В горизонтальном пласте приведенное давление совпадает с абсолютным. По закону Дарси скорость фильтрации определяется:
13EMBED Equation.31415
Тогда скорости фильтрации будут равны:
13EMBED Equation.31415
Дебита в данных сечениях будут равны
Q1 = u1 2 ( r1 h = - 1,44(10-4(2(3,14(0,1(7 = - 6,33(10-4 м/с.
Q2 = u2 2 ( r2 h = - 0,72(10-5(2(3,14(20(7 = - 6,33(10-4 м3/с.
Знак дебита отрицательный так, как вектор скорости направлен против выбранной оси - радиуса.
Ответ: u1 = - 1,44(10-4 м/с, u2 = - 0,72(10-5 м/с, Q = - 6,33(10-4 м3/с.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14415.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14415. Карта изобар

На 13 REF _Ref50805305 \h 14Рис. 1.415 показана карта изобар в горизонтальном пласте. Определить скорость фильтрации в направлении вектора n1, если известно, что коэффициент проницаемости k = 0,250 мкм2, динамическая вязкость нефти ( = 20 мПа(с. Давления на карте изобар – МПа.
Решение:
Выбираем две точки на двух ближайших изобарах вдоль вектора. Давление на изобаре вдоль вектора обозначим p(s + 
·s) = 17 МПа. Давление на изобаре, откуда выходит вектор p(s) = 16 МПа. Находим расстояние между этими точками (S = 20 . По закону Дарси скорость фильтрации u определяется:
13EMBED Equation.31415Знак скорости отрицательный, поэтому жидкость фильтруется в направлении обратном направлению стрелки.
Ответ: uср = -3,12(10-7 м/с.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14515.
Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению при стандартных условиях Qaт.ст = 2 млн. м3/сут, абсолютное давление на забое рс = 12 МПа, толщина пласта h = 10 м, коэффициент пористости пласта m = 12%, коэффициент проницаемости k = 0,5 мкм2, плотность газа при стандартных условиях (ст = 0,750 кг/м3, динамический коэффициент вязкости в пластовых условиях ( = 0,015 мПа(с, температура пласта 45°С.
Определить, нарушается ли закону Дарси в призабойной зоне совершенной скважины радиусом гс = 0,10 м.
Решение:
Определим массовый дебит газа:
13EMBED Equation.31415
Площадь поперечного сечения на забое скважины
13EMBED Equation.31415
Число Рейнольдса
13EMBED Equation.31415
Ответ: в призабойной зоне закон Дарси нарушается.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14115
По керну диаметром 2 см и длиной 5 см за десять минут прокачано 0,6 см3 воды. Абсолютное давление на входе 0,5 МПа, а на выходе 0,2 МПа. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на входе в керн, если пористость керна 10%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14215
По керну диаметром 2 см и длиной 5 см за десять минут прокачано 600 см3 газа при стандартных условиях. Абсолютное давление на входе 0,5 МПа, а на выходе 0,1 МПа. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на входе в керн, если пористость керна 10%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14315
По керну диаметром 2 см и длиной 5 см за десять минут прокачано 600 см3 газа при стандартных условиях. Абсолютное давление на входе 0,5 МПа, а на выходе 0,1 МПа. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на выходе из керна, если пористость керна 10%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14415
Нефтяная галерея в пласте толщиной 10 м за месяц дает 8000 тонн нефти плотностью 780 кг/м3. Ширина галерея 100 м, длина 300 м, пористость пласта 15%. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на галерее.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14515
Газовая галерея в пласте толщиной 12 м за месяц дает 9000 тонн газа плотностью, при атмосферном давлении, 0,75 кг/м3. Ширина галерея 100 м, длина 300 м, пористость пласта 15%, давление на галерее pг = 4 МПа. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на галерее.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14615
Газовая галерея в пласте толщиной 15 м за сутки дает 800 тыс. м3 газа плотностью, при атмосферном давлении, 0,75 кг/м3. Ширина галерея 100 м, длина 300 м, пористость пласта 15%, давление на контуре питания pк = 8 МПа. Определить действительную скорость и скорость фильтрации на контуре питания.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14715
Нефтяная совершенная скважина радиусом 0,1 м в пласте толщиной 10 м за один час дает 2 м3 нефти. Определить скорость фильтрации и действительную скорость на скважине, если пористость пласта 15%,.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14815
Нефтяная скважина радиусом 0,1 м в пласте толщиной 8 м за 1 час дает 3 м3 нефти и вскрывает пласт на 3 метра. Определить скорость фильтрации и действительную скорость на скважине, пористость пласта 20%
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14915
Определить среднее значение скорости фильтрации на боковой поверхности гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины, если толщина пласта h = 25 м, плотность перфорации nп = 10 отв/м с диаметром отверстий dп = 1 см, дебит жидкости Q = 250 мЗ/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141015
За десять дней из скважины добыт объем газа (приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре) Wат = 15 млн. м3, радиус контура питания rk = 200 м, толщина пласта h = 20 м, абсолютное давление газа на контуре pk = 15 МПа. Скорость фильтрации и действительную скорость газа на контуре питания.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141115
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения при плоскорадиальной фильтрации газа к скважине в точке на расстоянии r = 150 м от центра скважины, если давление в этой точке равно р = 8 МПа, толщина пласта h = 12 м, пористость его m = 20%, а приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре дебит Qат = 2·106 м3/сут, pат = 0,1 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141215
Газовая скважина радиусом 0,1 м в пласте толщиной 20 м за сутки дает 80 тонн газа плотностью
·ат = 0,8 кг/м3 и вскрывает пласт на 3 метра. Скважина несовершенна по характеру вскрытия и вскрытая часть скважины имеет плотность перфорации nп = 10 отв/м с диаметром отверстий dп = 1 см. Определить скорость фильтрации и действительную скорость на скважине, если давление на скважине 10 МПа, пористость пласта 20%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141315
Определить коэффициент пористости, зная, что действительная скорость движения через образец, определяемая при помощи индикатора, равна v = 5·l03 см/с, коэффициент проницаемости k = 0,2 мкм2, вязкость жидкости
· = 4 мПа·с и разность давлений (р = 2 МПа при длине образца L = 15 см.
Указание: Найти скорость фильтрации и сравнить с действительной скоростью.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141415
В нефтяной галерее давление распределяется по закону p(x) = pk  (pk  pг) x/L. Определить скорость фильтрации на расстоянии x = 50 м от контура питания, если давление на контуре питания pк = 8 МПа, давление на галерее pг = 4 МПа, длина галереи 200 м, проницаемости пласта k = 1 мкм2, динамический коэффициент вязкости жидкости
· = 2 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141515
В газовой галерее давление распределяется по закону p(x)2 = pk 2 (pk2  pг2) x/L. Определить скорость фильтрации на расстоянии x = 50 м от контура питания, если давление на контуре питания pк = 9 МПа, давление на галерее pг = 3 МПа, длина галереи 200 м, проницаемости пласта k = 0,1 мкм2, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,015 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141615
Вокруг нефтяной скважины давление меняется по закону p(r) = pk  (pk  pc) ln(Rk/r)/ln(Rk/rc). Определить скорость фильтрации на расстоянии r = 10 м от скважины, если давление на контуре питания pк = 18 МПа, давление на скважине pс = 14 МПа, радиус контура питания 100 м, проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 6,28 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141715
Вокруг газовой скважины давление меняется по закону p2(r) = p2c + (p2k  p2c) ln(r/rc)/ln(Rk/rc). Определить скорость фильтрации на расстоянии r = 10 м от скважины, если давление на контуре питания pк = 12 МПа, давление на скважине pс = 6 МПа, радиус контура питания 100 м, проницаемости пласта k = 0,4 мкм2, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,02 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141815
Модель пласта представляет собой трубу диаметром 200 мм и длиной 2 м заполненную песком. Труба установлена вертикально. На верхнем конце модели поддерживается манометрическое давление 30 кПа, а нижний конец модели открыт. Определить скорость фильтрации и расход воды, если проницаемости модели k = 0,4 мкм2, динамический коэффициент вязкости воды
· = 1 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141915
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14515.

Определить величину и направление скорости фильтрации в точке А (13 REF _Ref51586287 \h 14Рис. 1.5.15), если проницаемость пласта равна 0,12 мкм2, а вязкость нефти 15 мПа·с. Нарисовать вектор скоростей.
Указание. Найти скорости фильтрации вдоль осей x и y.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142015
Определить величину и направление скорости фильтрации в точке B (13 REF _Ref51586287 \h 14Рис. 1.5.15), если проницаемость пласта равна 0,15 мкм2, а вязкость нефти 15 мПа·с. Нарисовать вектор скоростей.
Указание. Найти скорости фильтрации вдоль осей x и y.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142115
Определить величину и направление скорости фильтрации в точке C (13 REF _Ref51586287 \h 14Рис. 1.5.15), если проницаемость пласта равна 0,16 мкм2, а вязкость нефти 15 мПа·с. Нарисовать вектор скоростей.
Указание. Найти скорости фильтрации вдоль осей x и y.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142215
Определит приведенное относительно ВНК (водонефтяного контакта) давление, в трех наблюдательных скважинах. Манометрические давления в скважинах pм1 = 18,3 МПа, pм2 = 18,7 МПа, pм3 = 17,3 МПа. Глубины спуска манометров H1 = 2180 м, H2 = 2280 м, H3 = 2020 м. Водонефтяной контакт находится на глубине 2320 м. Укажите направление скоростей фильтрации между скважинами. Плотность нефти принять равной 750 кг/м3.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142315
Вокруг двух скважин приведенное давление меняется по закону p(x,y) = pk + (p1 ln((x-a)2 + y2) + (p2 ln((x+a)2 + y2) . Определить скорость фильтрации в точке с координатами x = 20 м, y = 100 м, если (p1 = (p2 = 2,6 МПа, a = 100 м, проницаемости пласта 0,4 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 22 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142415
Вокруг двух скважин приведенное давление меняется по закону p(x,y) = pk + (p1 ln((x-a)2 + y2) + (p2 ln((x+a)2 + y2) . Определить скорость фильтрации в точке с координатами x = 20 м, y = 100 м, если (p1 = 4,5 МПа, (p2 = - 4,5 МПа, a = 100 м, проницаемости пласта 0,24 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14115.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142515
Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины, если известно, что эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом погонном метре колонны прострелено 10 отверстий диаметром dп = 10 мм, толщина пласта h = 15 м, проницаемость пласта k =  мкм2, пористость его m = 18%, коэффициент вязкости нефти
· = 4 мПа·с, плотность нефти
· = 870 кг/м3 и дебит скважины составляет 140 м3/сут.
Установившееся движение несжимаемой жидкости по закону Дарси
Дифференциальные уравнения установившегося движения. Одномерные фильтрационные потоки: плоскопараллельный, плоскорадиальный и сферический. Формулы дебита, распределения давления, скорости фильтрации, времени движения частиц. Индикаторные линии. Фильтрация в слоистых и зонально-неоднородных пластах. Средняя проницаемость пласта. Приток жидкости к несовершенным скважинам. Виды несовершенства. Опыты Щурова. Приведенный радиус скважины.
Дифференциальные уравнения установившегося движения
Дифференциальное уравнение неразрывности потока выведено в параграфе 1.4. Если происходит установившееся фильтрация, то в этом уравнении производная по времени будет равна нулю. Если жидкость несжимаема, а пористая среда недеформируемая и однородна, то плотность, вязкость жидкости и проницаемость пласта постоянны и их можно вынести из-под знака дифференциала и уравнение неразрывности примет вид:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14115)

Подставим в это уравнение скорости фильтрации, найденные из закона Дарси (п. 13 REF _Ref49332811 \r 141.215), получим дифференциальное уравнение установившегося движения:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14215)

Это уравнение называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа – линейное дифференциальное уравнение так, как сумма решений уравнения Лапласа также является решением этого уравнения. На этом свойстве основан метод суперпозиции (наложения) решений, который будет использоваться в дальнейшем.
В случае притока к галерее, уравнение Лапласа запишется:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14315)

а для скважины
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14415)

Для простых фильтрационных потоков установившегося движения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности удобно записывать в интегральном виде:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14515)

Одномерные фильтрационные потоки
Плоскопараллельный поток (приток к галереи)
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14115. Схема притока к галереи

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h, ширины В, длины L и проницаемости k происходит фильтрация несжимаемой жидкости, которая имеет вязкость
·. На левой граница пласта в сечении x = 0, совпадающем с контуром питания, поддерживается постоянное давление рk, а на правой границе в сечении x = L, поддерживается постоянное давление рг (здесь расположена добывающая галерея) (13 REF _Ref50081709 \h 14Рис. 2.115). Направим ось координат 0х вдоль направления движения жидкости, ось 0у вдоль контура питания. Для полного исследования такого потока, как было выяснено ранее, достаточно изучить движение жидкости вдоль оси 0х. Математическая постановка задачи описывается следующими уравнениями.
Уравнение неразрывности потока, которое при фильтрации несжимаемой жидкости удобно записать в интегральной форме:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14615)

Законом фильтрации - законом Дарси:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14715)

А также граничными условиями
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14815)

Требуется найти распределение давления по пласту и дебит галереи.
Для решения полученной задачи подставим закон Дарси в уравнение неразрывности. Тогда получим дифференциальное уравнение первого порядка, которое легко интегрируется:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14915)

Используя граничное условие на контуре питания
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141015)

найдем постоянную интегрирования с = pk. Тогда распределение давления по пласту запишется
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141115)

Откуда видно, что давление в пласте при плоскопараллельной фильтрации меняется по линейному закону. Используя второе граничное условие, найдем дебит галереи
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141215)

Формулой для распределения давления (2.11) удобно пользоваться, если известно давление на контуре и дебит галереи. Если известны давления на контуре и на галереи удобнее из формулы (2.11) исключить расход
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141315)

При известных значениях давления на галереи и дебите получим
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141415)

Если координата х будет отсчитываться не от контура питания, а от галереи, то в выше приведенных формулах необходимо заменить x => L - x.
Скорость фильтрации можно найти или по закону Дарси, или используя уравнение неразрывности потока
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141515)

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14215. Изменение давления и скорости по длине галереи при фильтрации нефти.

Из последнего выражения видно, что скорость фильтрации одинакова во всех точках пласта и не зависит от координаты x. Изменение давления и скорости по длине галереи при фильтрации нефти показано на рисунке 2.2. Давление по длине галереи меняется по линейному закону.
Найдем время вытеснения нефти водой при постоянном расходе галереи от контура питания до расстояния x. Считая вытеснение поршневым, получим, что за время t скважина добудет объем нефти Q t. А из пласта будет отобран объем нефти, которая находилась в порах пласта m B h x. Так, как это объемы одинаковы, то:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141615)

Полное время вытеснения нефти при поршневом вытеснении получим, если в последнюю формулу подставим x = L.
Плоскорадиальный поток (приток к скважине)
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14315. Схема притока к скважине

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и проницаемости k происходит фильтрация несжимаемой жидкости с вязкостью
· к совершенной скважине радиусом rc, на которой поддерживается давление рс. На расстоянии Rk от скважины находится круговой контур питания, на котором поддерживается давление рk. (13 REF _Ref51751245 \h 14Рис. 2.315). Направим ось координат 0r от скважины. Для полного исследования такого потока, как было выяснено ранее, достаточно изучить движение жидкости вдоль оси 0r. Площадь поперечного сечения на радиусе r представляет боковую поверхность цилиндра и равна
· = 2 
· r h . Математическая постановка задачи описывается следующими уравнениями.
Уравнение неразрывности потока, которое при фильтрации несжимаемой жидкости удобно записать в интегральной форме:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141715)

Законом фильтрации - законом Дарси. Так, как фильтрация происходит против направления оси 0r, то скорости фильтрации, а соответственно и расходы будут отрицательными. Поэтому в законе Дарси опустим знак минус.
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141815)

А также граничными условиями
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141915)

Требуется найти распределение давления по пласту и дебит скважины.
Для решения полученной задачи подставим закон Дарси в уравнение неразрывности. Тогда получим дифференциальное уравнение первого порядка, которое легко интегрируется:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142015)

Из граничного условия на контуре питания получим:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142115)

Для исключения постоянной интегрирования c’ вычтем из уравнения (2.16) уравнение (2.15). При этом воспользуемся свойством логарифмов ln(Rk)  ln(r) = ln(Rk/r).
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142215)

Тогда распределение давления по пласту запишется
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142315)

Откуда видно, что давление в пласте при плоскопараллельной фильтрации меняется по логарифмическому закону. Используя второе граничное условие, найдем дебит скважины
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142415)

Формулой для распределения давления (2.23) удобно пользоваться, если известно давление на контуре и дебит скважины. Если известны давления на контуре и на скважине удобнее из формулы (2.24) исключить расход
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142515)

При известных значениях давления на скважине и дебите получим
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142615)

Скорость фильтрации можно найти или по закону Дарси, или используя уравнение неразрывности потока
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142715)

Из последнего выражения видно, что скорость фильтрации уменьшается обратно пропорционально расстоянию от скважины.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14415. Распределение давления a) и отношение скорости фильтрации в пласте к скорости фильтрации на скважине б) для нефтяной скважины

Найдем время вытеснения нефти водой при постоянном расходе галереи от контура питания до расстояния r. Считая вытеснение поршневым, получим, что за время t скважина добудет объем нефти Q t. А из пласта будет отобран объем нефти, которая находилась в порах пласта ( (Rk2 - r2) h m. Так, как это объемы одинаковы, то:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142815)

Полное время вытеснения нефти при поршневом вытеснении получим, если в последнюю формулу подставим r = rc.
Исследование нефтяных скважин на стационарных режимах. Индикаторные диаграммы
Параметры пласта (проницаемость, толщина пласта) определяются на основании геофизических исследований скважин и исследовании кернов извлеченных из этих скважин. По результатам этих исследованиям значения параметров пласта аппроксимируются на весь пласт. Но аппроксимация и сами значения параметров определяются с ошибками, поэтому возникает необходимость в других методах определения параметров пласта. Одним из этих методов является исследование скважин на стационарных режимах. При исследовании в скважину спускают манометр и на скважине ставят штуцер (диафрагму с отверстием), который играет роль местного сопротивления. При изменении диаметра отверстия штуцера изменяется дебит скважины и давление на забое скважины. Если скважина закрыта, то давление в горизонтальном пласте одинаково и равно давлению на контуре питания, а дебит скважины равен нулю. Для каждого режима (диаметра отверстия штуцера) находят давление на забое скважины pc и дебит Q. По результатам исследований строят индикаторную диаграмму. Индикаторной диаграммой для нефтяной скважины называют зависимость перепада давлений (депрессии) от дебита скважины. Поэтому по известным давлениям на скважине и контурному давлению (давлению на забое закрытой скважине) находят депрессии на каждом режиме на скважине
·p = pk  pc и строят график зависимости
·p = 
·p(Q). Характерные типы индикаторных диаграмм приведены на 13 REF _Ref49333930 \* MERGEFORMAT 14Рис. 2.515.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14515. Индикаторные диаграммы нефтяных скважин

Как следует из формулы Дюпюи, дебит скважины прямо пропорционален перепаду давления
·p, поэтому при выполнении закона Дарси индикаторная диаграмма является прямой линией  1. При нарушении закона Дарси, у нефтяных скважин это происходит редко, индикаторная диаграмма отклоняется в сторону оси депрессий  2. В этом случае обрабатываются только те точки, которые ложатся на прямую линию при малых дебитах. Если проницаемость пласта зависит от давления, то индикаторная кривая имеет вид – 3. Отклонение индикаторной кривой к оси дебитов линия – 4 обычно означает, что процесс исследования нестационарный. Поэтому необходимо провести исследование повторно, но увеличить время между изменениями режима. При фильтрации неньютоновских жидкостей она может иметь и более сложный вид.
Для определения параметров пласта необходимо по точкам при малых расходах провести прямую линии проходящую через начало координат. На этой линии необходимо выбрать любую точку и найти значения
·p* и Q*. По этим значениям найти коэффициент продуктивности нефтяной скважины K, который является отношением дебита скважины к перепаду давлений
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142915)

и имеет размерность м3/(с Па). Величина обратная коэффициенту продуктивности называется фильтрационным сопротивлением
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143015)

Для нефтяных скважин при фильтрации по закону Дарси коэффициент продуктивности равен
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143115)

По известному значению коэффициента продуктивности или фильтрационного сопротивления можно найти гидропроводность пласта kh/
·
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143215)

Фильтрация в слоистых и зонально-неоднородных пластах
В природных условиях продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают однородными. Пористая среда называется неоднородной, если ее фильтрационные характеристики проницаемость и пористость различны в разных областях.
Однако часто изменение проницаемости по пласту носит столь хаотичный характер, что значительные области пласта можно считать в среднем однородно проницаемыми. Характеристики фильтрационных потоков в таких пластах с большой точностью отвечают характеристикам потоков, установленных в предыдущем параграфе для строго однородных пластов.
Но нередко встречаются такие пласты, значительные области которых сильно отличаются друг от друга по фильтрационным характеристикам. Это так называемые макронеоднородные пласты, параметры которых существенно влияют на характеристики фильтрационных потоков.
В пластах коллекторах нефти и газа выделяют следующие основные виды макронеоднородности.
Слоистая неоднородность или неоднородность по толщине пласта. В этом случае пласт разделяется по толщине на несколько слоев, в каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отлична от проницаемости соседних слоев. Вследствие малости кривизны границы раздела между слоями с различными проницаемостями считают обычно плоскими. Таким образом, в модели слоистой пористой среды предполагается, что проницаемость изменяется только по толщине пласта и является кусочно–постоянной функцией вертикальной координаты. При этом можно считать, что пропластки разделены непроницаемыми границами (случай гидравлически изолированных слоев), либо учитывать перетоки между слоями с различными проницаемостями (случай гидродинамически сообщающихся пропластков).
В первом случае возможен расчет фильтрационных характеристик по одномерным моделям течения. Во втором случае точный учет перетоков флюида между пропластками требует решения двумерных задач фильтрации.
Зональная неоднородность. В этом случае пласт по площади состоит из нескольких зон (областей пласта) различной проницаемости. В пределах одной и той же зоны проницаемость в среднем одинакова, но на границе двух зон скачкообразно изменяется. Здесь, таким образом, имеет место неоднородность по площади пласта.
Неоднородные пласты, в которых проницаемость является известной непрерывной функцией k(х, у, z) координат точек области фильтрации.
Рассмотрим одномерные потоки несжимаемой жидкости в таких неоднородных пластах по закону Дарси.
Приток к скважине и галерее в неоднородном по толщине пласте
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14615. Схема неоднородного по толщине пласта

Пусть скважина вскрывает горизонтальный пласт, проницаемость которого меняется по толщине пласта k(z). В пласте происходит фильтрация жидкости по закону Дарси. При этом на контуре питания Rk и на скважине rc поддерживаются постоянные давления pk и pc. Также считаем, что перетоков в вертикальном направлении нет. Необходимо рассчитать дебит такой скважины и распределение давления вокруг скважины.
На расстоянии z от подошвы пласта выберем пропласток толщиной dz проницаемость которого k(z). Дебит этого пропластка dQ будет определяться по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143315)

Дебит всей скважины равняется сумме дебитов пропластков
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143415)

Будем считать, что этот неоднородный пласт является однородным пластом с проницаемостью kср. Тогда дебит такого пласта определяться по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143515)

Сравнивая формулы для неоднородного и однородного пласта можно найти среднюю проницаемость
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143615)

Если пласт состоит из n пропластков, каждый из которых имеет сваю проницаемость ki и толщину hi, тогда средняя проницаемость находится:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143715)

Распределение в каждом из пропластков будет одинаково и давление в любой точке пласта находится по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143815)

Градиент давления будет также одинаков во всех пропластках и равен
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143915)

а скорости фильтрации в каждом пропластке разные, где проницаемость меньше, там и скорость фильтрации меньше
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144015)

Аналогичные рассуждения можно провести для случая притока к скважине. Тогда формула для дебита примет вид
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144115)

причем средняя проницаемость определяется по тем же формулам, что и в случае притока к скважине. Распределение давления для всех пропластков будет одинаковым, а скорость фильтрации в пропластках разная:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144215)

Кажется, что если в пласте имеется высокопроницаемый пропласток, то средняя проницаемость пласта будет больше чем в однородном пласте и это должно привести к улучшению параметров разработки и увеличению дебитов скважин. На самом деле это не так, так как законтурная вода будет прорываться по высокопроницаемому пропластку в скважину и скважина обводнится. Вязкость воды обычно в десятки раз больше вязкости нефти, поэтому дебит воды из высокопроницаемых пропластков будет еще больше, а дебиты нефти из низкопроницаемых пропластков будут малы. Поэтому скважины приходиться или закрывать или проводить изоляцию высокопроницаемого пропластка. Коэффициентом обводненности скважины ( называется отношение дебита воды к дебиту жидкости, который равен сумме дебитов воды и нефти:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144315)

Одним из способов изоляции высокопроницаемых пропластков является закачка в пласт раствора полиакриламида обычно с соляной кислотой. Основная часть раствора проникает в пропластки с высокой проницаемостью, а остальная часть в остальные пропластки. При дальнейшем отборе жидкости из скважины из низкопроницаемых (нефтяных) пропластков, полиакриламид вытесняется нефтью почти полностью, а из высокопроницаемых (обводнившихся пропластков) полиакриламид водой не вытесняется и проницаемость участка пропластка, где находится раствор полиакриламида резко уменьшается и поэтому уменьшается обводненность скважины. В дальнейшем с течением времени вода огибает изолированный участок и обводненность скважины возрастает.
Обратите внимание, что для неоднородного по толщине пласта:
Объемный расход по каждому пропластку разный;
Распределение давления в каждом пропластке одинаково;
Если проницаемость одного из пропластков равна нулю, то средняя проницаемость не равна нулю;
Если проницаемость одного из пропластков стремиться к бесконечности, то средняя проницаемость стремиться к бесконечности;
Наличие высокопроницаемых пропластков в пласте приводит к быстрой обводненности скважины.
Приток к скважине в зонально-неоднородном пласте
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14715Схема зонально-неоднородного пласта при притоке к скважине

Пусть горизонтальный пласт постоянной толщиной h вскрыт скважиной радиусом rc. Проницаемость пласта вокруг скважины зависит от расстояния до скважины k(r). Давление на контуре питания и скважине pk и pc. Необходимо рассчитать дебит скважины и распределение давления вокруг скважины.
При фильтрации несжимаемой жидкости объемный расход через любое поперечное сечение будет одинаковым. Считая, что фильтрация происходит по закону Дарси, запишем:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144415)

Разделяя переменные в этом уравнении, получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144515)

Интегрируя полученное уравнение по давлению от pс до p(r), а по радиусу от rс до r найдем распределение давления по пласту
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144615)

Для нахождения расхода подставим в уравнение (2.40) граничное условие r = Rk, p(Rk) = pk: и найдем дебит скважины:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144715)

Будем считать, что этот неоднородный пласт является однородным пластом с проницаемостью kср. Тогда дебит такого пласта определяться по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144815)

Сравнивая формулы для неоднородного и однородного пласта можно найти среднюю проницаемость
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144915)

Рассмотрим частный случай, когда пласт вокруг скважины состоящий из n кольцеобразных зон. Внешний радиус i – кольцевой зоны Ri, проницаемостью ki. Тогда интеграл в формуле расчета средней проницаемости можно разбить на сумму интегралов по каждой зоне, которые вычисляются:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145015)

В этом случае среднюю проницаемость удобно рассчитать по формуле:
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145115)

а давление на внешнем радиусе j – той зоны
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145215)

Последнюю формулу удобно использовать, если заданы дебиты и давление на скважине. Если же заданы давления на скважине и контуре питания, то из последней формулы удобно исключить дебит Q, тогда получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145315)

На 13 REF _Ref51587214 \h 14Рис. 2.815 показано распределение давления вокруг скважины состоящей из двух пропластков с проницаемостями k1 и k2 для однородного пласта и двух предельных случаев неоднородного пласта.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14815. Предельные случаи распределения давления вокруг скважины в зонально-неоднородном пласте

Зональная неоднородность рассмотренного выше типа в естественных условиях не встречается. Она вызвана искусственными причинами. При бурении скважины буровой раствор проникает в породу, поэтому проницаемость призабойной зоны резко уменьшается. Проницаемость также уменьшается при парафинизации призабойной зоны, выноса мелких фракций породы. При проведении солянокислотных обработок, гидроразрыве пласта проницаемость призабойной зоны увеличивается.
Обратите внимание, что для зонально–неоднородного пласта:
Объемный расход по каждой зоне одинаков;
Распределение давления в каждой зоне отличается от распределения давления в однородном пласте;
Если проницаемость одной из зон равна нулю, то средняя проницаемость также равна нулю;
Если проницаемость одной из зон стремиться к бесконечности, то средняя проницаемость не стремиться к бесконечности;
Уменьшение проницаемости в призабойной зоне пласта приводит к уменьшению дебита скважины;
В зоне с бесконечно большой проницаемостью падение давления равно нулю.
Приток к галерее в зонально–неоднородном пласте
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14915. Схема зонально-неоднородной галереи

Пусть горизонтальный пласт постоянной толщиной h и шириной B имеет проницаемость, которая меняется вдоль направления фильтрации несжимаемой жидкости оси x. Давление на контуре питания и галерее pk и pг, длина L. Необходимо рассчитать дебит скважины и распределение давления по длине галереи.
При фильтрации несжимаемой жидкости объемный расход через любое поперечное сечение будет одинаковым. Считая, что фильтрация происходит по закону Дарси, запишем:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145415)

Разделяя переменные в этом уравнении, получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145515)

Интегрируя полученное уравнение по давлению от pг до p(x), а по длине галереи xг до x найдем распределение давления по пласту
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145615)

Для нахождения расхода подставим в уравнение (2.50) граничное условие x = L, p(L) = pk и найдем дебит скважины:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145715)

Будем считать, что этот неоднородный пласт является однородным пластом с проницаемостью kср. Тогда дебит такого пласта определяться по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145815)

Сравнивая формулы для неоднородного и однородного пласта можно найти среднюю проницаемость
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 145915)

Рассмотрим частный случай, когда пласт вокруг скважины состоящий из n зон. Длина i – той зоны i, проницаемостью ki. Тогда интеграл в формуле расчета средней проницаемости можно разбить на сумму интегралов по каждой зоне, которые вычисляются:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146015)

В этом случае среднюю проницаемость удобно рассчитать по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146115)

а давление на внешней границе j – той зоны
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146215)

Последнюю формулу удобно использовать, если заданы дебиты и давление на галерее. Если же заданы давления на галерее и контуре питания, то из последней формулы удобно исключить дебит Q, тогда получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146315)

На 13 REF _Ref51587036 \h 14Рис. 2.1015 показано распределение давления по длине галереи состоящей из двух пропластков с проницаемостями k1 и k2 для однородного пласта и двух предельных случаев неоднородного пласта.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 141015. Предельные случаи распределение давления по галерее в зонально-неоднородном пласте

Приток к несовершенным скважинам
Если скважина вскрывает пласт не на всю толщину, а на некоторую глубину b, то скважина называется несовершенной по степени вскрытия и приток к скважине осуществляется по всей боковой поверхности вскрытой части скважины. Относительным вскрытием пласта 13EMBED Equation.31415 называется отношение вскрытой части скважины к толщине пласта.
Если скважина сообщается с пластом не по всей боковой поверхности, а только через специальные (перфорационные) отверстия, то такую скважину называют несовершенной по характеру вскрытия. Дебит несовершенных скважин определяется по формуле
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146415)

где С1, С2 - безразмерные коэффициенты.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 14151 – совершенная скважина;
2, 3, 4, Несовершенные по степени вскрытия скважины;
5 - Несовершенные по характеру степени вскрытия скважина;
6 – реальная скважина.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 141115. Виды несовершенных скважин

Коэффициент С1, учитывающий дополнительное фильтрационное сопротивление в призабойной зоне пласта из-за несовершенства скважины по степени вскрытия, зависит только от относительного вскрытия пласта 13EMBED Equation.31415 и отношения толщины пласта к диаметру скважины h/Dс.
Коэффициент С2, учитывающий дополнительное фильтрационное сопротивление в призабойной зоне пласта из-за несовершенства скважины по характеру вскрытия, зависит от диаметра перфорационного канала dп, числа отверстий на один метр длины скважины nп и длины перфорационного канала lп.
Строгое математическое решение задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине в пластах конечной толщины представляет большие (а в некоторых случаях непреодолимые) трудности. Однако задачи притока жидкости к гидродинамнчески несовершенным скважинам представляют большой интерес для практики. Наиболее просто эти коэффициенты определяются по графикам В.И. Щурова (Приложение).
Для определения C1 по графикам необходимо:
по значению h/Dс выбрать номер линии на графике (рис 7.1);
по степени вскрытия пласта 13EMBED Equation.31415 найти C1.
Для определения C2 по графикам необходимо:
по значению lп/Dc находится график, по которому находится С2 (Рис. 7.2 – 7.6);
по значению dп/Dc находится номер линии на этом графике;
по значению nп Dc находится значение С2.
В отличие от С1, С2 может принимать отрицательные значения, что приводит при прочих равных условиях к увеличению дебита скважины.
Для нахождения C1 используются приближенные аналитические зависимости. А. М Пирвердян получил для него следующее выражение:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146515)

И А. Чарный предложил следующую формулу для расчета C1 при малых значениях степени вскрытия пласта 13EMBED Equation.31415:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146615)

Удобно ввести понятие о приведенном радиусе rпр, то есть радиус такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины:
rпр = rc
·exp(-(С1 + С2)).
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146715)

Тогда формула для расчета дебита несовершенных скважин запишется в виде:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 146815)

Дебит несовершенной скважины удобно сравнивать с дебитом совершенной скважины. Коэффициентом совершенства скважины ( называется отношение дебита несовершенной скважины к дебиту совершенной скважины ( = Q/Qсов.
Примеры и задачи
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14115.
Пласт толщиной h = 8 м разрабатывается галереей длиной L = 200 м и шириной B = 300 м. Давления на контуре питания и галерее равны pк = 15 МПа и pг = 4 МПа. Пласт имеет проницаемость k = 0,25 мкм2 и пористость m = 20%. По пласту фильтруется нефть с коэффициентом динамической вязкости
· = 5 мПа·с и плотностью
· = 730 кг/м3.
Определить:
дебит галереи;
давление на расстоянии 50 м от галереи;
время разработки галереи;
нарушается ли закон Дарси?
Решение:
Дебит галереи при фильтрации нефти рассчитывается по формуле:
13EMBED Equation.31415
Точка в которой необходимо найти давление расположена на расстоянии 50 м от галереи. Поэтому координата этой точки относительно контура питания равна x = L - 50 = 200 - 50 = 150 м. Давление удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
При поршневом вытеснении время разработки галереи соответствует движению частицы нефти от контура питания к галереи. Поэтому координата частицы на момент окончания разработки равна x = L. Тогда время разработки равно:
13EMBED Equation.31415
Для того, чтобы определить выполняется ли закон Дарси необходимо рассчитать число Рейнольдса. Число Рейнольдса удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
Массовый расход нефти Qm = Q ( = 6,60(10-3 (730 = 4,82 кг/с. Площадь поперечного сечения галереи ( = B h = 300(8 = 2400 м2 и постоянна по длине галереи. Поэтому число Рейнольдса также постоянно по длине галереи и меньше критического, которое принимаем равным Reкр = 1. Так, как выполняется условие Re = 8,14(10-5 < Reкр = 1, то закон Дарси выполняется.
Ответ: Q = 6,60 10-3 м3/с; p(150) = 6,75 МПа; T = 2,31 года; Закон Дарси выполняется.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14215.
Пласт толщиной h = 5 м разрабатывается скважиной радиусом rc = 0,1 м. Давления на контуре питания и скважине равны pк = 25 МПа и pс = 18 МПа. Пласт имеет проницаемость k = 0,17 мкм2 и пористость m = 15%. По пласту фильтруется нефть с коэффициентом динамической вязкости
· = 25 мПа·с и плотностью
· = 820 кг/м3. Радиус контура питания находится на расстоянии Rk = 100 м.
Определить:
дебит скважины;
давление на расстоянии 10 м от скважины;
время разработки нефти из скважины;
нарушается ли закон Дарси на боковой поверхности скважины?
Решение:
Дебит скважины при фильтрации нефти рассчитывается по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415
Давление в точке с координатами r = 10 м удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
При поршневом вытеснении время разработки скважины соответствует движению частицы нефти от контура питания к скважине. Поэтому координата частицы на момент окончания разработки равна r = rc. Тогда время разработки равно:

Для того, чтобы определить выполняется ли закон Дарси необходимо рассчитать число Рейнольдса в данной точке. Число Рейнольдса удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
Массовый расход нефти Qm = Q ( = 2,17(10-4 (820 = 0,178 кг/с. Площадь поперечного сечения зависит от расстояния до скважины. Поэтому число Рейнольдса будет различным, на различных расстояниях от скважины. На боковой поверхности скважины она равно ( = 2(((rc(h = 2(3,14(0,1(5 = 3,14 м2. Закон Дарси выполняется, если число Рейнольдса меньше критического, которое принимаем равным Reкр = 1. Так, как выполняется условие Re = 7,34(104 < Reкр = 1, то закон Дарси выполняется.
Ответ: Q = 2,17 10-4 м3/с; p(10) = 22,7 МПа; T = 4,60 года; Закон Дарси выполняется.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14315.
Таблица 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 14115

Q, м3/сут
Pмс, МПа
(p, МПа

0
49,9
0

8,6
48,8
1,1

17,2
47,9
2

25,9
46,8
3,1

34,5
45,9
4

40,2
44,8
5,1

При исследовании нефтяной скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов, которые приведены в первых двух столбцах таблицы 2.1. Построить индикаторную диаграмму. Определить проницаемость пласта, если радиус контура питания 100 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта 10 м, а вязкость нефти
· = 25 мПа·с.
Решение:
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 141215. Обработка результатов исследования нефтяной скважины на стационарных режимах

Для построения индикаторной диаграммы найдем депрессию на скважине. Когда скважина не работает, то давление в горизонтальном пласте одинаково и равно давлению на контуре, то есть Pмk = Pмc0 = 49,9 МПа. Тогда депрессия для второй строчки данных равна
·p2 = pмс0 - pмс1 = 49,9 – 48,8 = 1,1 МПа. Аналогично рассчитаем остальные депрессии и занесем в третий столбец Таблицы 2.1 (расчетные значения выделены курсивом). По полученным данным строим индикаторную диаграмму. При фильтрации по закону Дарси, индикаторная диаграмма представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. Поэтому по точкам индикаторной диаграммы проводим прямую линию. На этой линии выбираем точку (*) и снимаем значения координат этой точки
·p* = 3,64 МПа, Q* = 30 м3/сут. Находим коэффициент продуктивности скважины К и коэффициент фильтрационного сопротивления a:
По значению фильтрационного сопротивления находим коэффициент гидропроводности пласта и проницаемость пласта:
13EMBED Equation.31415
Более точно параметры пласта можно найти обработав результаты исследования методом наименьших квадратов.
Ответ: k = 2,62 10-13 м2.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14415.
Неоднородный по толщине нефтяной пласт состоит из трех пропластков, которые имеют толщины 3,6; 0,4; 6 метров и имеют проницаемости 0,05; 0,3; 0,1 мкм2. Пласт вскрыт скважиной радиусом 0,1 м и расстоянием да контура питания 250 м. Давления на контуре питания и скважине равны pк = 35 МПа и pс = 18 МПа. Динамическая вязкость пластовой нефти
·н = 25 мПа·с, а пластовой воды
·в = 1,2 мПа·с.
Определить:
среднюю проницаемость пласта;
дебит скважины;
обводненность скважины, если обводнится высокопроницаемый пропласток.
Решение:
Вся толщина пласта равна сумме толщин пропластков
h = h1 + h2 + h3 = 3,6 + 0,4 + 6 = 10 м.
Средняя проницаемость неоднородного по толщине пласта и для скважины и для галереи определяется по формуле:
13EMBED Equation.31415.
Дебит скважины рассчитывается по формуле однородного пласта, в которой проницаемость пласта заменена на среднюю проницаемость
13EMBED Equation.31415Пронумеруем пропластки сверху вниз. В этом случае самым высокопроницаемым пропластком является второй пропласток. Именно этот пропласток обводнится первым и именно по этому пропласту пойдет вода, дебит которой равен
13EMBED Equation.31415.
Остальные два пропластка будут давать нефть. Дебит нефти равен сумме дебитов по пропласткам
13EMBED Equation.31415.
Коэффициентом обводненности скважины называется отношение дебита воды к дебиту жидкости
13EMBED Equation.31415
Как видно из расчетов, хотя большая часть пласта по толщине (9,6 м) занята нефтью, обводненность скважины в этом примере равна 76%.
Ответ: kср = 0,09 10-12 м2; Q = 4,91 10-4 м3/с;
· = 76%.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14515.
Нефтяной пласт толщиной 12 м и проницаемостью 0,27 мкм2 разрабатывается скважиной радиусом 0,1 м. Радиус контура питания 150 м. Давления на контуре питания и скважине равны pк = 27 МПа и pс = 13 МПа. Динамическая вязкость пластовой нефти
· = 13 мПа·с. Через некоторое время призабойная область пласта засорилась. Вокруг скважины образовались две зоны внешними радиусами R1 = 0,3 и R2 = 1 м, проницаемости которых k1 = 0,05 и k2 = 0,1 мкм2.
Определить:
среднюю проницаемость пласта;
дебит скважины;
давления на границах зон.
Решение:
По условиям задачи пласт является зонально-неоднородным и имеет три зоны (n = 3). Внешний радиус третьей зоны равен радиусу контура питания и имеет первоначальную проницаемость (R3 = Rk = 150 м; k3 = k = 0,27 мкм2). Внутренний радиус первой зоны равен радиусу скважины (R0 = rc = 0,1 м).
Средняя проницаемость зонально-неоднородного пласта в случае притока к скважине определяется по формуле:
13EMBED Equation.31415
Дебит скважины рассчитывается по формуле однородного пласта, в которой проницаемость пласта заменена на среднюю проницаемость
13EMBED Equation.31415Давление на границе первой зоны рассчитаем по формуле
13EMBED Equation.31415
Давление на границе второй зоны рассчитаем по формуле
13EMBED Equation.31415
Ответ: kср = 0,139 10-12 м2; Q = 1,54 10-3 м3/с; p(R2) = 22,0 МПа; p(R1) = 18,8 МПа.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14615.
Пласт толщиной h = 12 м разрабатывается скважиной радиусом rc = 0,1 м и вскрывающей пласт на b = 3 м. Давления на контуре питания и скважине равны pк = 42 МПа и pс = 33 МПа. Пласт имеет проницаемость k = 170
·10-15 м2. По пласту фильтруется нефть с коэффициентом динамической вязкости
· = 14 мПа·с и плотностью. Радиус контура питания находится на расстоянии Rk = 100 м. Скважина Несовершенна по характеру вскрытия. Глубина проникновения перфорационного канала в породу lп = 2 см, диаметр перфорационного канала dп = 1 см, число перфорационных отверстий на один метр длины скважины nп = 10 отв/м.
Определить:
коэффициенты учитывающие несовершенства скважины;
приведенный радиус скважины;
дебит скважины;
коэффициент совершенства скважины..
Решение:
По условиям задачи скважина является одновременно несовершенной и по степени и по характеру вскрытия. Для учета несовершенства по степени вскрытия пласта найдем отношение толщины скважины к диаметру скважины:
h/Dc = 12/0,2 = 60
и относительное вскрытие пласта
13EMBED Equation.31415 = b/h = 3/12 = 0,4 = 40%.
По графику Шурова для нахождения C1 (см. рис. П 7.1) выбираем ближайшую линию к найденому значению h/Dc = 60. Ближайшая линия №6 имеет значение 80. На оси абцисс выбираем вычисленное значение относительного вскрытия пласта 13EMBED Equation.31415 = 0,4 и ведем до пересечения с выбранной линией, а потом на шкалу значений С1. Если значение степени вскрытия пласта меньше 13EMBED Equation.31415 < 0,4, то ведем на левую шкалу C1, если-же 13EMBED Equation.31415 > 0,4, то на правую шкалу. По графику находим C1 = 5,5.
Для учета несовершенства по характеру вскрытия пласта найдем отношение глубины проникновения перфорационного канала в породу к диаметру скважины
lп/Dc = 0,02/0,2 = 0,1;
отношение диаметра перфорационного канала к диаметру скважины
dп/Dc = 0,01/0,2 = 0,05;
произведение число перфорационных отверстий на один метр длины скважины на диаметр скважины
nп Dc= 10
·0,2 = 2.
По графикам Шурова для нахождения C2 (см. рис. П 7.2-П 7.6) выбираем график с ближайшую значением lп/Dc к найденому значению. В данном случае это график со значением lп/Dc = 0,1.
По значению dп/Dc выбираем номер линии на графике. Значение dп/Dc = 0,05 лежит между линиями №2 и №3.
На оси абцисс выбираем вычисленное значение nп Dc = 2 и ведем до пересечения с выбранной линией, а потом на шкалу значений С2. По графику находим C2 = 7,5.
Приведенном радиусе скважины rпр рассчитаем по формуле:
rпр = rc
·exp(-(С1 + С2)) = 0,1
·exp(-(5,5 + 7,5)) = 0,1
·exp(-13) = 2,26
·10-7 м.
Дебит несовершенной скважины рассчитаем по формуле:
13EMBED Equation.31415Коэффициентом совершенства скважины ( называется отношение дебита несовершенной скважины к дебиту совершенной скважины
13EMBED Equation.31415
Ответ: C1 = 5,5; C2 = 7,5; rпр = 2,26
·10-7 м; Q = 4,14 10-4 м3/с;
· = 0,347.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14115
Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины если известно, что эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом погонном метре колонны прострелено 10 отверстий диаметром dп = 10 мм, толщина пласта h = 15 м, проницаемость пласта k = мкм2, пористость его m = 18%, коэффициент вязкости нефти
· = 4 мПа·с, плотность нефти
· = 870 кг/м3 и дебит скважины составляет 140 м3/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14215
Определить дебит галереи шириной В = 100 м, если толщина пласта h = 10 м, расстояние до контура питания L = 300 м, коэффициент проницаемости пласта k = 1 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 2 мПа·с, давление на контуре питания pк = 8 МПа и давление в галерее pг = 4 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14315
Определить нарушается ли закон Дарси в галереи шириной В = 200 м, если толщина пласта h = 5 м, расстояние до контура питания L = 100 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,2 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 2 мПа·с, пористость пласта 15%, давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление в галерее pг = 4 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14415
Определить время движения нефти от контура питания к галереи шириной В = 200 м, если толщина пласта h = 15 м, расстояние до контура питания L = 200 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,5 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с, пористость пласта 12%, давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление в галерее pг = 8 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14515
Определить давление на расстоянии 50 метров от галереи шириной В = 200 м, если толщина пласта h = 15 м, расстояние до контура питания L = 200 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,15 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с, дебит галереи 200 м3/сут и давление в галерее pг = 8 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14615
Определить дебит нефтяной скважины в случае установившейся плоскорадиальной фильтрации нефти по закону Дарси, если известно, что давление на контуре питания pк = 18 МПа, давление на забое скважины pс = 10 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 15 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 1 км, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14715
Определить нарушается ли закон Дарси на расстоянии 1 м от нефтяной скважины, если известно, что давление на контуре питания pк = 8 МПа, давление на забое скважины pс = 3 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 10 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 100 м, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 20 мПа·с, пористость пласта 12%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14815
Определить время движения нефти от контура питания к скважине, если известно, что давление на контуре питания pк = 15 МПа, давление на забое скважины pс = 5 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,6 мкм2, толщина пласта h = 5 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 100 м, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 15 мПа·с, пористость пласта 17%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14915
Определить давление на расстоянии 3 м от нефтяной скважины в случае установившейся плоскорадиальной фильтрации нефти по закону Дарси, если известно, что давление на контуре питания pк = 28 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 15 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 1 км, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с. Дебит нефтяной скважины 86 м3/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141015
По модели пласта в виде керна диаметром 2 см и длиной 5 см за десять минут прокачано два литра нефти. Определить коэффициент проницаемости керна, если известно, что разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе
·p = 1,2 МПа, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 12 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141115
Построить индикаторную диаграмму для нефтяной совершенной скважины, если известно, что давление на контуре питания pk = 8,82 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,06 мкм2, толщина пласта h = 10 м, диаметр скважины Dс = 24,8 см, расстояние от оси скважины до контура питания Rk = 10 км и динамический коэффициент вязкости нефти
· = 5 мПа с. Фильтрации происходит по закону Дарси.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141215
Нефтяная скважина радиусом rc = 0,1 м и контуром питания Rk = 250 м дают дебит 100 м3/сут. Определить дебит скважины при той - же депрессии, если радиус скважины увеличить в два раза.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141315

При исследовании нефтяной скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить гидропроводность пласта, если радиус контура питания 100 м, радиус скважины 0,1 м.
Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
19,9


8,1
19,4


15,8
18,9


24,3
18,4


31,7
17,9


37,0
17,4

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141415

При исследовании нефтяной скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить проницаемость пласта, если радиус контура питания 150 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта 10 м, а вязкость газа
· = 25 мПа·с.
Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
49,9


8,6
48,8


17,2
47,9


25,9
46,8


34,5
45,9


40,2
44,8

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141515

При исследовании нефтяной скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить толщину пласта, если радиус контура питания 250 м, радиус скважины 0,1 м, проницаемость пласта k = 0,3 мкм2, а вязкость нефти
· = 15 мПа·с.
Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


10,0
24,5


20,0
24,0


30,0
23,6


40,0
23,1


50,0
21,5

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141615

При исследовании нефтяной скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить гидропроводность пласта, если радиус контура питания 200 м, радиус скважины 0,1 м.
Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


24,1
23,9


47,9
22,9


72,2
21,9


95,8
20,9


110,0
19,9

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141715
Определить дебит нефтяной галереи шириной В = 100 м, расстояние до контура питания L = 300 м, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 2 мПа·с, давление на контуре питания pк = 8 МПа и давление на галерее pг = 4 МПа. Пласт неоднороден по толщине и состоит из трех пропластков проницаемость которых 0,25; 0,12 и 0,06 мкм2, а толщины 2; 3 и 5 метров.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141815
Определить дебит нефтяной галереи шириной В = 150 м, расстояние до контура питания L = 200 м, динамический коэффициент нефтяной нефти
· = 12 мПа·с, давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление на галерее pг = 5 МПа. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,12 и 0,26 мкм2 Длина первой зоны 50 метров. Толщина пласта 5 м.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141915
Происходит приток нефти к галерее в зонально-неоднородном пласте. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,52 и 0,16 мкм2. Длинны зон 50 и 150 м. Определить давление на границе зон, если давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление на галерее pг = 5 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142015
Определить дебит газовой галереи шириной В = 100 м, расстояние до контура питания L = 300 м, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,017 мПа·с, абсолютные давление на контуре питания pк = 10 МПа и давление на галерее pг = 5 МПа. Пласт неоднороден по толщине и состоит из трех пропластков проницаемость которых 0,20; 0,15 и 0,05 мкм2, а толщины 3; 2 и 5 метров.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142115
Определить дебит газовой галереи шириной В = 150 м, расстояние до контура питания L = 200 м, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,015 мПа·с, абсолютные давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление на галерее pг = 8 МПа. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,26 и 0,12 мкм2 Длина первой зоны 50 метров. Толщина пласта 15 м
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142215
Происходит приток газа к галерее в зонально-неоднородном пласте. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,25 и 0,10 мкм2 Длинны зон 100 и 150 м. Определить давление на границе зон, если абсолютные давление на контуре питания и галереи 20 и 5 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142315
Определить дебит нефтяной скважины с расстоянием до контура питания Rк = 300 м, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 2 мПа·с, давление на контуре питания pк = 8 МПа и давление на скважине pс = 4 МПа. Пласт неоднороден по толщине и состоит из трех пропластков проницаемость которых 0,35; 0,22 и 0,16 мкм2, а толщины 2; 3 и 5 метров.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142415
Определить дебит нефтяной скважины с расстоянием до контура питания Rк = 200 м, динамический коэффициент вязкости жидкости
· = 12 мПа·с, давление на контуре питания pк = 18 МПа и давление на скважине pс = 5 МПа. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,12 и 0,5 мкм2 Внешние радиусы зон 1 и 100 метров. Толщина пласта 8 м
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142515
Происходит приток нефти к скважине в зонально-неоднородном пласте. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,20 и 0,40 мкм2 Внешние радиусы зон 1 и 100 метров. Определить давление на границе зон, если давление на контуре питания pк = 25 МПа и давление на галерее pс = 5 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142615
Определить дебит газовой скважины с расстоянием до контура питания Rк = 200 м, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,015 мПа·с, давление на контуре питания pк = 9 МПа и давление на скважине pс = 4 МПа. Пласт неоднороден по толщине и состоит из трех пропластков проницаемость которых 0,15; 0,22 и 0,36 мкм2, а толщины 5; 3 и 2 метров.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142715
Определить дебит газовой скважины с расстоянием до контура питания Rк = 100 м, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,017 мПа·с, абсолютные давление на контуре питания pк = 17 МПа и давление на скважине pс = 8 МПа. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,25 и 0,40 мкм2 Внешний радиус первой зоны 1 м. Толщина пласта 9 м
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142815
Происходит приток газа к скважины в зонально-неоднородном пласте. Пласт состоит из двух зон. Проницаемости первой и второй зоны соответственно равны 0,20 и 0,50 мкм2 Внешние радиусы зон 1 и 100 метров. Определить давление на границе зон, если абсолютные давление на контуре питания и галереи 20 и 5 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14215.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142915
В однородном нефтяном пласте с проницаемостью k провели соляно-кислотную обработку. После этого вокруг скважины образовались три зоны. В первой зоне радиусом 0,2 м проницаемость возросла в 10 раз, во второй зоне радиусом 1 м проницаемость возросла в 3 раза и третьей зоне радиусом 100 метров проницаемость не изменилась. Во сколько раз увеличится дебит скважины?

Установившееся движение сжимаемой жидкости и газа
Дифференциальные уравнения установившегося движения упругой жидкости по закону Дарси. Аналогия с движением несжимаемой жидкости. Функция Лейбензона. Плоскопараллельный и плоскорадиальный потоки. Исследование газовых скважин на стационарных режимах. Индикаторные линии. Приток газа при нарушении закона Дарси. Определение фильтрационных коэффициентов “a” и “b”.
Дифференциальные уравнения установившегося движения упругой жидкости
Дифференциальное уравнение неразрывности потока выведено в параграфе 1.4. Если происходит установившееся фильтрация, то в этом уравнении производная по времени будет равна нулю. При фильтрации сжимаемой жидкости или газа плотность зависит от давления и поэтому ее нельзя вынести из под знака дифференциала:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14115)

Введем понятие массовой скорости, которая является произведением линейной скорости на плотность:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14215)

После такой замены дифференциальное уравнение неразрывности при установившемся движении примет такой же вид, что и для несжимаемой жидкости, только вместо линейной скорости будет стоять массовая скорость.
Используя закон Дарси, найдем массовую скорость:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14315)

Плотность сжимаемой жидкости или газа зависит от давления, поэтому введем вспомогательную функцию P, которую назовем функцией Лейбензона и определим ее как:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14415)

Подставим массовую скорость, найденную из закона Дарси в уравнение неразрывности получим уравнение фильтрации сжимаемой жидкости или газа при установившемся движении. Оно также является уравнением Лапласа, только вместо давления в него входит функция Лейбензона.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14515)

Аналогия с движением несжимаемой жидкости
С введением функции Лейбензона сравним уравнения, полученные в предыдущем параграфе, с уравнениями фильтрации несжимаемой жидкости.
Несжимаемая жидкость
Сжимаемая жидкость или газ

( = const(p)
( = ((p) ( const(p)

Уравнение неразрывности потока


um = ( u

Q = u ( = const(p)
Qm = um ( = (ат Qат = const(p)

Закон Дарси


13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

Аналогия между величинами

Линейная скорость - u
um – Массовая скорость

Объемный расход - Q
Qm = (ат Qат – массовый расход

Давление - p
P- функция Лейбензона

Сравнение уравнений позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемой жидкости или газа и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости, для которой законы фильтрации были детально разобраны в главе 2. Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях. Для этого необходимо в формулах несжимаемой жидкости заменить:
линейную скорость – u ( um – массовую скорость;
объемный расход – Q ( Qm – массовый расход;
давление – p ( P- функцию Лейбензона.
Подчеркнем, что при фильтрации газа плотность зависит от абсолютного давления, то давление p в этом случае - абсолютное давление.
Рассмотрим вид функции Лейбензона для некоторых частных случаев.
Несжимаемая жидкость. Для несжимаемой жидкости плотность не зависит от давления (( = (o = const(p)), поэтому ее можно вынести из под знака интеграла и функция Лейбензона примет вид:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14615)

Идеальный газ. Для идеального газа плотность зависит от давления
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14715)

поэтому функция Лейбензона после интегрирования примет вид:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14815)

Реальный газ. Для реального газа плотность зависит от давления
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14915)

Коэффициент сверхсжимаемости реального газа z(p) достаточно сложным образом зависит от давления, поэтому интеграл вычислить затруднительно. В этом случае z(p) заменяют средним значением на промежутке изменения давления в пласте zср и функция Лейбензона после интегрирования примет вид:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141015)

Приток газа к галерее по закону Дарси
Исследуем установившийся плоскопараллельный фильтрационный поток идеального газа. Для этого воспользуемся аналогией между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа. Запишем формулу дебита притока к галерее для несжимаемой жидкости:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141115)

Прозведем в этом уравнении замены. Заменим давление p на функцию Лейбензона P, а объемный расход Q на массовый расход Qm.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141215)

В последней формуле распишем функцию Лейбензона, тогда массовый расход галереи будет рассчитываться по формуле:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141315)

А приведенный к атмосферным условиям объемный расход
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141415)

Расчет распределения давления по галерее производится в той же последовательности:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141515)

Скорости фильтрации в любой точки вокруг скважины можно найти из урвнения неразрывности:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141615)


Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14115. а) изменение давления по длине галереи;
б) изменение отношение скорости фильтрации в пласте к скорости фильтрации на галереи.

На рис. 3.1 приведены распределение давления по галереи при фильтрации газа и нефти. Для нефти линия распределения давления прямая линия, а для газа – парабола. При фильтрации газа градиенты давления при малых давлениях больше, чем при больших, поэтому и скорости фильтрации при малых давлениях больше, чем при больших.
Приток газа к скважине по закону Дарси
Исследуем установившийся плоскорадиальный фильтрационный поток идеального газа. Для этого воспользуемся аналогией между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа. Запишем формулу дебита совершенной скважины для несжимаемой жидкости:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141715)

Произведем в этом уравнении замены. Заменим давление p на функцию Лейбензона P, а объемный расход Q на массовый расход Qm.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141815)

В последней формуле распишем функцию Лейбензона, тогда массовый дебит газовой скважины будет рассчитываться по формуле:
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141915)

а приведенный к атмосферным условиям объемный расход
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142015)

Расчет распределения давления вокруг газовой скважины производится в той же последовательности:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142115)

Скорости фильтрации в любой точки вокруг скважины можно найти из уравнения неразрывности:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142215)

На 13 REF _Ref52023292 \h 14Рис. 3.215.a, и b приведены распределение давления и скорости фильтрации вокруг газовой скважины. У газовой скважины падение давления вблизи скважины больше, чем у нефтяной, поэтому при прочих равных условиях и скорости фильтрации у газовой скважины уменьшается быстрее, чем у нефтяной скважины.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14215. Распределение давления a) и отношение скорости фильтрации в пласте к скорости фильтрации на скважине б) для газовой скважины

Исследование газовых скважин на стационарных режимах
Исследование газовых скважин на стационарных режимах производятся аналогично исследованию нефтяных скважин. На каждом режиме (определенном диаметра отверстия штуцера) замеряют дебит газовой скважины Qат и давление на скважине pc. Если скважина закрыта, то давление в горизонтальном пласте одинаково и равно давлению на контуре питания, а дебит скважины равен нулю. По результатам исследований строят индикаторную диаграмму. Индикаторной диаграммой для газовой скважины называют зависимость разности квадратов абсолютных давлений от дебита скважины. Поэтому по известным давлениям на скважине и контурному давлению (давлению на забое закрытой скважине) находят
·p2 = pk2 - pс2 и строят график зависимости
·p2 = 
·p2(Qат). Характерные типы индикаторных диаграмм приведены на Рис. 3.4.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14315. Индикаторные диаграммы газовых скважин

Как следует из формулы Дюпюи для газовой скважины, дебит скважины прямо пропорционален
·p2, поэтому при выполнении закона Дарси индикаторная диаграмма является прямой линией. При нарушении закона Дарси индикаторная диаграмма отклоняется в сторону оси депрессий (для газовых скважин это происходит в большенстве случаев). В этом случае обрабатываются только те точки, которые ложаться на прямую линию при малых дебитах.
Для определения параметров пласта необходимо по точкам при малых расходах провести прямую линии проходящую через начало координат. На этой линии выбрать любую точку и найти значения
·p2* и Q*. По этим значениям найти коэффициент продуктивности газовой скважины K, который является отношением дебита скважины к разности квадратов давлений
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142315)

и имеет размерность м3/(с·Па2). Величина обратная коэффициенту продуктивности называется фильтрационным сопротивлением
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142415)

Для газовых скважин при фильтрации по закону Дарси коэффициент продуктивности равен
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142515)

По известному значению коэффициента продуктивности или фильтрационного сопротивления можно найти гидропроводность пласта kh/
·
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142615)


Плоскорадиальный поток идеального газа при нарушении закона Дарси
Вблизи большинства газовых скважин происходит нарушение закона Дарси, поэтому расчеты, связанные с разработкой газовые месторождений, а также с исследованием скважин, проводят обычно по нелинейным законам фильтрации. При этом нельзя использовать для расчета дебита скважины формулу Дюпюи и нельзя использовать аналогию между фильтрацией жидкости и газа, так как они выведены с учетом движения по закону Дарси.
Пусть в газовом пласте толщиной h и проницаемостью k пробурена скважина радиусом rc. На скважине поддерживается давление pc, а на контуре питания радиусом Rk давление pk. В пласте происходит фильтрация газа по нелинейному (двухчленному) закону фильтрации. Необходимо рассчитать дебит скважины и распределение давления вокруг скважины. Математически эта задача описывается уравнением неразрывности потока
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142715)

Нелинейным законом фильтрации:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142815)

Зависимостью плотностью газа от давления
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142915)

И граничными условиями:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143015)

Эту систему уравнений будем решать методом исключения переменных. Из уравнения неразрывности найдем скорость фильтрации и подставим в нелинейный закон фильтрации. При этом исключается скорость фильтрации из уравнения фильтрации:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143115)

Выразим массовый расход через объемный расход при атмосферном давлении, а плотность через давление
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143215)

Полеченное дифференциальное уравнение первого порядка будем интегрировать методом разделения переменных. Для этого умножим уравнение на 2 p dr:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143315)

Для того, чтобы найти распределение давления вокруг скважины будем интегрировать это уравнение по давлению от давления на скважине pc до текущего давления p(r), а по радиусу от радиуса скважины rc до текущего радиуса:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143415)

Для нахождения дебита скважины воспользуемся вторым граничным условием – заданным давлением pk на контуре питания. Пренебрегая 1/Rk во втором слагаемом (1/Rk<<1/rc) получим:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143515)

Обычно вводят обозначения
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143615)

Тогда уравнение расчета дебита примет вид
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143715)

Коэффициенты “a” и “b” называются коэффициентами фильтрационных сопротивлений и определяются опытным путем по данным исследования скважины при установившихся режимах. Для нахождения дебита скважины по известным значениям “a”, “b” и разницы квадратов давлений необходимо решить квадратное уравнение:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143815)

В этом уравнении выбираем знак + так, как дебит скважины не может быть отрицательным. При b ( 0 последнее уравнение приводит к неопределенности типа 0/0, поэтому преобразуем это уравнение к виду, в котором этой неопределенности нет:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 143915)


Исследование газовых скважин на стационарных режимах при нарушении закона Дарси
Недостатком исследования газовых скважин при выполнении закона Дарси является то, что обработки подвергаются не все точки, а только те, которые ложатся на прямую линию при малых дебитах. Остальные точки отбрасываются, поэтому теряется информация и точность определения параметров пласта уменьшается.
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144015)

Эта линия представляет собой параболу. Для обработки результатов удобнее всего линейные зависимости. Преобразуем последнее уравнение к новым координатам таким образом, чтобы в новых координатах зависимость была линейной. Это можно сделать различными способами, но наиболее простой заключается в делении полученного уравнения на Qат. Тогда в новых координатах
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144115)

теоретическая зависимость преобразуется в прямую линию
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144215)

Поэтому экспериментальные точки обрабатывают в этих координатах. По точкам графически или методом наименьших квадратов проводят прямую линию. Коэффициент “a этой линии представляет собой отрезок, отсекаемый линией на оси ординат (y). Коэффициент “b” тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, b = tg
· (рис. 3.5). Для того, чтобы найти этот коэффициент, необходимо на прямой выбрать какую – либо точку (*) и снять координаты этой точки y* и x*. Тогда значение коэффициента “b” будет равно
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144315)

По известному значению коэффициента “a” находится гидропроводность пласта
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 144415)

По коэффициенту “b” можно найти константу
·, которая входит в двухчленный закон фильтрации. Но обычно ее не определяют, а используют в дальнейшем само значение коэффициента “b”.
Примеры и задачи
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14115.
Пласт толщиной h = 7 м разрабатывается галереей длиной L = 200 м и шириной B = 300 м. Манометрические давления на контуре питания и галерее равны pмк = 14,9 МПа и pмг = 7,9 МПа. Пласт имеет проницаемость k = 0,15 мкм2 и пористость m = 15%. По пласту фильтруется газ с коэффициентом динамической вязкости
· = 0,021 мПа·с и плотностью
·ат = 0,815 кг/м3.
Определить:
дебит галереи;
давление на расстоянии 50 м от галереи;
нарушается ли закон Дарси?
Решение:
Дебит галереи при фильтрации нефти рассчитывается по формуле:
13EMBED Equation.31415.
Для того, чтобы перейти от формул фильтрации несжимаемой жидкости к формулам фильтрации газа, произведем замены. Заменяем объемный расход на массовый расход, а давление на функцию Лейбензона:
13EMBED Equation.31415.
Выражая массовый расход через объемный расход Qm = (ат Qат, а функцию Лейбензона через давление 13EMBED Equation.31415, получим:
13EMBED Equation.31415.
При фильтрации газа в уравнения необходимо подставлять только абсолютные давления. Абсолютное давление выражается через манометрическое давление p = pм + pат. Поэтому абсолютные давления на контуре питания и на галерее будут равны pк = 14,9 + 0,1 = 15,0 МПа, равны pг = 7,9 + 0,1 = 8,0 МПа.
Точка, в которой необходимо найти давление расположена на расстоянии 50 м от галереи. Поэтому координата этой точки относительно контура питания равна x = L - 50 = 200 - 50 = 150 м. В случае фильтрации несжимаемой жидкости давление рассчитывается по формуле:
13EMBED Equation.31415
Производя замены, получим:
13EMBED Equation.31415
Выражая функцию Лейбензона через давление, получим
или
Для того, чтобы определить выполняется ли закон Дарси необходимо рассчитать число Рейнольдса. Число Рейнольдса удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
Массовый расход нефти Qm = Qат (ат = 121 (0,815 = 90,6 кг/с. Площадь поперечного сечения галереи ( = B h = 300(7 = 2100 м2 и постоянна по длине галереи. Поэтому число Рейнольдса также постоянно по длине галереи и меньше критического, которое принимаем равным Reкр = 1. Так, как выполняется условие Re = 0,625 < Reкр = 1, то закон Дарси выполняется.
Ответ: Qат = 121 м3/с; p(150) = 10,3 МПа; Закон Дарси выполняется.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14215.
Газовый пласт толщиной h = 5 м разрабатывается скважиной радиусом rc = 0,1 м. Манометрические давления на контуре питания и скважине равны pмк = 24,9 МПа и pмс = 17,9 МПа. Пласт имеет проницаемость k = 0,17 мкм2 и пористость m = 15%. По пласту фильтруется газ с коэффициентом динамической вязкости
· = 0,025 мПа·с и плотностью
·ат = 0,820 кг/м3. Радиус контура питания находится на расстоянии Rk = 100 м.
Определить:
дебит скважины;
давление на расстоянии 10 м от скважины;
нарушается ли закон Дарси на боковой поверхности скважины?
Решение:
Дебит скважины при фильтрации нефти рассчитывается по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415
Для того, чтобы перейти от формул фильтрации несжимаемой жидкости к формулам фильтрации газа, произведем замены. Заменяем объемный расход на массовый расход, а давление на функцию Лейбензона:
13EMBED Equation.31415.
Выражая массовый расход через объемный расход Qm = (ат Qат, а функцию Лейбензона через давление , получим:
13EMBED Equation.31415.
Абсолютные давления на контуре питания и на галерее будут равны pк = 24,9 + 0,1 = 25,0 МПа, равны pс = 17,9 + 0,1 = 18,0 МПа.
В случае фильтрации несжимаемой жидкости к скважине давление рассчитывается по формуле:
13EMBED Equation.31415
Производя замены, получим:
13EMBED Equation.31415
Выражая функцию Лейбензона через давление
13EMBED Equation.31415
или
13EMBED Equation.31415
Для того, чтобы определить выполняется ли закон Дарси необходимо рассчитать число Рейнольдса в данной точке. Число Рейнольдса удобно рассчитывать по формуле:
13EMBED Equation.31415
Массовый расход газа Qm = Qат(ат = 46,6(0,820 = 30,2 кг/с. Площадь поперечного сечения зависит от расстояния до скважины. На боковой поверхности скважины она равно ( = 2(((rc(h = 2(3,14(0,1(5 = 3,14 м2. Поэтому число Рейнольдса будет различным, на различных расстояниях от скважины. Закон Дарси не выполняется, если число Рейнольдса больше критического, которое принимаем равным Reкр = 1. Так, как выполняется условие Re = 124 > Reкр = 1, то закон Дарси не выполняется.
Ответ: Q = 46,6 м3/с; p(10) = 22,9 МПа; Закон Дарси нарушается.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14315.
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Построить индикаторную диаграмму. Определить коэффициент продуктивности газовой скважины, фильтрационное сопротивление и проницаемость пласта, если радиус контура питания 100 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта 10 м, а вязкость газа
· = 0,025 мПа·с.
Решение:
Таблица 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 14115

Qат, тыс.м3/сут
Pмс, МПа
Pс, МПа
(p2, МПа2

0,0
49,9
50,0
0,0

86,4
49,7
49,8
15,3

172,8
49,6
49,7
34,4

259,2
49,3
49,4
57,3

345,6
49,1
49,2
84,1

432,0
48,7
48,8
115


Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14415. Обработка результатов исследования газовой скважины на стационарных режимах при выполнении закона Дарси

Индикаторной диаграммой при фильтрации газа называется зависимость разности квадратов абсолютных давлений на контуре питания и скважине от дебита
·p2 = pk2 – pc2 = f(Qат). Найдем абсолютные давления на скважине для первой строчки таблицы pс = pcm + pат = 49,9 + 0,1 = 50,0 МПа. Когда скважина не работает, то давление в горизонтальном пласте одинаково и равно давлению на контуре, то есть Pk = Pc0 = 50,0 МПа. Разность квадратов абсолютных давлений будет равна pk2 – pc2 = 502 – 502 = 0 МПа2. Аналогично рассчитываем остальные значения и результаты заносим в таблицу. Расчетные значения в таблице выделены курсивом. По полученным данным строим индикаторную диаграмму Рис. 3.4. При фильтрации по закону Дарси, индикаторная диаграмма представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат. При фильтрации газа закон Дарси часто нарушается при больших дебитах, поэтому отбрасываем точки, которые при больших дебитах откланяются в сторону оси
·p2. По оставшимся точкам из начала координат проводим прямую линию. На этой линии выбираем точку (*) и снимаем значения координат этой точки
·p2* = 59 МПа2, Qат* = 300 тыс.м3/сут. Находим коэффициент продуктивности скважины К и коэффициент фильтрационного сопротивления a:
13EMBED Equation.31415По значению фильтрационного сопротивления находим коэффициент гидропроводности пласта и проницаемость пласта:
13EMBED Equation.31415
Ответ: К = 5,88
·10-14 м3/(Па2
·с); a = 1,70
·1013 (Па2
·с)/м3; k = 3,23
·10-14 м2.
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14415.
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Обработать результаты исследования с учетом нарушения закона Дарси. Найти фильтрационные сопротивления “a” и “b”. Определить гидропроводность пласта. Определить дебит скважины при давлении на скважине pмс = 39,9 МПа.
Решение:
Таблица 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Таблица \* ARABIC \s 1 14215

Q, тыс.м3/сут
Pмс, МПа
Pс, МПа

·p2, МПа2

·p2/Qат, МПа2 сут/тыс.м3

0,0
49,9
50,0
0,0
-

86,4
49,7
49,8
15,3
0,177

172,8
49,6
49,7
34,4
0,199

259,2
49,3
49,4
57,3
0,221

345,6
49,1
49,2
84,1
0,243

432,0
48,7
48,8
114,7
0,266


Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14515. Обработка результатов исследования газовой скважины на стационарных режимах при нарушении закона Дарси.

Обработка результатов исследования газовых скважин с учетом нарушения закона Дарси проводится в координатах y = (pk2 – pc2 )/Qат и x = Qат. В этих координатах теоретическая зависимость при фильтрации по двухчленному закону фильтрации представляет собой прямую линию y = a + b x. Поэтому, как и в предыдущем примере, рассчитываем абсолютное давление pc, разность квадратов абсолютных давлений
·p2 = pk2 – pc2, но кроме того рассчитываем отношение разности квадратов давлений к дебиту скважины. При дебите Qат = 0 это отношение невозможно рассчитать, так, как возникает неопределенность 0/0, поэтому в последнем столбце ставим прочерк. Все результаты заносим в таблицу 3.2. По результатам расчета откладываем полученные точки на графике в координатах
·p2/Qат и Qат (13 REF _Ref56137748 \h 14Рис. 3.515). По полученным точкам проводим прямую линию. Коэффициент фильтрационного сопротивления “a” представляет собой отрезок который отсекает линия при Qат = 0. Из графика находим a = 0,155 МПа2
·сут/тыс.м3. Коэффициент фильтрационного сопротивления “b” представляет собой тангенс угла наклона линии к горизонту. Для его нахождения выберем точку на прямой (*) и снимем значения координат этой точки y* = 0,23 МПа2
·сут/тыс.м3, x* = 300 тыс.м3/сут. Так, как точка лежит на прямой, то она удовлетворяет этой прямой, поэтому y* = a + b x*. Откуда найдем:
В системе СИ коэффициенты “a” и ”b” будут равны:
Коэффициент “a” связан с гидропроводностью пласта соотношением
Для нахождения дебита скважины при давлении на скважине pмс = 39,9 МПа найдем абсолютное давление pс = 39,9 + 0,1 = 40,0 МПа и разность квадратов давлений pk2 – pc2 = 502 – 402 = 900 МПа2. Тогда:
Ответ: a = 1,34
·1013 (Па2
·с)/м3; b = 1,87
·1012 Па2
·с2/м6; Qат = 18,6 м3/с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14115
Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия газовой скважины если известно, что эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом погонном метре колонны прострелено 10 отверстий диаметром dп = 10 мм, толщина пласта h = 15 м, проницаемость пласта k = мкм2, пористость его m = 18%, коэффициент вязкости газа
· = 0,024 мПа·с, плотность газа
·ат = 0,720 кг/м3 и дебит скважины составляет Qат = 140 тыс.м3/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14215
Определить дебит газовой галереи шириной В = 100 м, если толщина пласта h = 10 м, расстояние до контура питания L = 300 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,12 мкм2, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,022 мПа·с, манометрические давления на контуре питания pмк = 8 МПа и давление в галерее pмг = 4 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14315
Определить нарушается ли закон Дарси в газовой галереи шириной В = 200 м, если толщина пласта h = 5 м, расстояние до контура питания L = 100 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,2 мкм2, плотность и динамический коэффициент вязкости газа
·ат = 0,78 кг/м3,
· = 0,019 мПа·с, пористость пласта 15%, абсолютные давления на контуре питания и скважине pк = 18 МПа; pг = 4 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14415
Определить давление на расстоянии 50 метров от газовой галереи шириной В = 200 м, если толщина пласта h = 15 м, расстояние до контура питания L = 200 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,15 мкм2, динамический коэффициент вязкости нефти
· = 0,013 мПа·с, дебит галереи Qат = 200 м3/сут и абсолютное давление на галерее pг = 8 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14515
Определить дебит газовой скважины в случае установившейся плоскорадиальной фильтрации по закону Дарси, если известно, что манометрические давления на контуре питания и забое скважины pмк = 18 МПа, pмс = 10 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 15 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 1 км, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,014 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14615
Определить нарушается ли закон Дарси на расстоянии 1 м от газовой скважины, если известно, что абсолютные давления на контуре питания и забое скважины pк = 8 МПа, pс = 3 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 10 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 100 м, плотность и динамический коэффициент вязкости газа
·ат = 0,77 кг/м3,
· = 0,0180 мПа·с, пористость пласта 12%.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14715
Определить давление на расстоянии 3 м от газовой скважины в случае установившейся плоскорадиальной фильтрации по закону Дарси, если известно, что манометрическое давление на контуре питания pмк = 27,9 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 мкм2, толщина пласта h = 15 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 1 км, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,019 мПа·с. Дебит скважины Qат = 86,4 тыс.м3/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14815
По модели пласта в виде керна диаметром 2 см и длиной 5 см за десять минут прокачан объем газа Wат = 2 м3. Определить коэффициент проницаемости керна, если известно, что манометрические давления на входе и на выходе в модель равны pм1 = 1,2 МПа, pм2 = 0,0 МПа, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,018 мПа·с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14915
Построить индикаторную диаграмму для газовой совершенной скважины, если известно, что абсолютное давление на контуре питания pk = 8,82 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,06 мкм2, толщина пласта h = 10 м, диаметр скважины Dс = 24,8 см, расстояние от оси скважины до контура питания Rk = 10 км и динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,015 мПа
·с. Фильтрации происходит по закону Дарси.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141015
Газовая скважина радиусом rc = 0,1 м и контуром питания Rk = 250 м при манометрическом давлении на скважине pмс = 8,9 МПа дают дебит 100 тыс.м3/сут. Определить дебит скважины при манометрическом давлении на скважине pмс1 = 11,9 МПа, если давление на контуре питания pмк = 18,9 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141115
Определить абсолютное давление на контуре питания в случае установившейся плоскорадиальной фильтрации по закону Дарси, если известно, что манометрическое давление на забое скважины pмс = 14,9 МПа, коэффициент проницаемости пласта k = 0,06 мкм2, толщина пласта h = 15 м, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 500 м, динамический коэффициент вязкости газа
· = 0,019 мПа·с. Дебит скважины Qат = 864 тыс.м3/сут.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141215
Определить абсолютное давление на расстояниях r1 = 1 м и r2 = 10 м, если происходит установившейся плоскорадиальная фильтрации по закону Дарси. Манометрические давления на контуре питания и скважине равны pмк = 24,9 МПа, pмс = 14,9 МПа, диаметр скважины Dс = 20 см, радиус контура питания Rk = 500 м. Построить кривую изменение давления вокруг скважины.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141315
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить гидропроводность пласта, если радиус контура питания 100 м, радиус скважины 0,1 м.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
19,9


8,1
19,4


15,8
18,9


24,3
18,4


31,7
17,9


37,0
17,4

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141415
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить проницаемость пласта, если радиус контура питания 150 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта 10 м, а вязкость газа
· = 0,021 мПа·с.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
49,9


8,6
48,8


17,2
47,9


25,9
46,8


34,5
45,9


40,2
44,8

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141515
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить толщину пласта, если радиус контура питания 250 м, радиус скважины 0,1 м, проницаемость пласта k = 0,3 мкм2, а вязкость газа
· = 0,017 мПа·с.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


10,0
24,5


20,0
24,0


30,0
23,6


40,0
23,1


50,0
21,5

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141615
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Определить гидропроводность пласта, если радиус контура питания 200 м, радиус скважины 0,1 м.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


24,1
23,9


47,9
22,9


72,2
21,9


95,8
20,9


110,0
19,9

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141715
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Обработать результаты с учетом нарушения закона Дарси. Определить гидропроводность пласта, если радиус контура питания 100 м, радиус скважины 0,1 м.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
19,9


8,1
19,4


15,8
18,9


24,3
18,4


31,7
17,9


37,0
17,4

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141815
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Обработать результаты с учетом нарушения закона Дарси. Определить проницаемость пласта, если радиус контура питания 150 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта 10 м, а вязкость газа
· = 0,025 мПа·с.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
49,9


8,6
48,8


17,2
47,9


25,9
46,8


34,5
45,9


40,2
44,8

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141915
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Обработать результаты с учетом нарушения закона Дарси. Определить толщину пласта, если радиус контура питания 250 м, радиус скважины 0,1 м, проницаемость пласта k = 0,3 мкм2, а вязкость нефти
· = 0,015 мПа·с.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


10,0
24,5


20,0
24,0


30,0
23,6


40,0
23,1


50,0
21,5

Задача 13 STYLEREF 1 \s 14315.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 142015
При исследовании газовой скважины на стационарном режиме получены следующие значения манометрических давлений и расходов. Обработать результаты с учетом нарушения закона Дарси. Определить коэффициенты фильтрационных сопротивлений A и B.




Q, м3/сут
Pмс, МПа


0,0
24,9


24,1
23,9


47,9
22,9


72,2
21,9


95,8
20,9


110,0
19,9




Интерференция скважин
Точечный источник и сток. Метод суперпозиции решений. Приток жидкости к группе скважин с удаленным контуром питания. Приток к скважине у прямолинейного контура питания. Приток к скважине у непроницаемой границы. Метод отражения. Приток к цепочкам скважин. Метод фильтрационных сопротивлений Борисова.
Приток жидкости к группе скважин с удаленным контуром питания
Интерференцией (взаимодействием) называется явление влияния работающих скважин друг на друга. Наиболее наглядно интерференция проявляете в том, что при одинаковых условиях работы скважин суммарный дебит всех скважин растет не прямо пропорционально количеству скважин, а более сложным образом. При этом с увеличением числа скважин пуск каждой новой скважины приводит к меньшему увеличению суммарного дебита, а дебит остальных скважин уменьшается. На рис. 4.1 для случая кольцевой батареи скважин радиусом сто метров и контуром питания на расстоянии один километр приведены зависимости: 1 – отношение суммарного дебита всех скважин к дебиту одиночной скважины; 2 – асимптотика 1 при n -->
·; 3 - отношение дебита первой скважины к дебиту одиночной скважины.
1 – отношение суммарного дебита к дебиту одиночной скважины
2 – асимптотика при n -->
·
3 - отношение дебита первой скважины к дебиту одиночной скважины
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14115. Проявление интерференции скважин

Как видно из графика, при n = 1 отношение суммарного дебита к дебиту одиночной скважины равно единице. При бурении второй, точно такой же скважины, кажется, что суммарный дебит должен увеличится в два раза, но в действительности проявляется интерференция скважин и суммарный дебит увеличивается, не в два раза, а меньше. Это приводит к тому, что, начиная с некоторого, достаточно большого числа скважин, бурить дополнительные добывающие скважины экономически не выгодно. Для того, чтобы обойти это ограничение, необходимо разбить месторождение на отдельные области, с поддержанием контурного давления в них. Это обычно достигается бурением нескольких рядов или кольцевых батарей нагнетательных скважин. С бурением каждой новой скважины, дебит первой пробуренной скважины уменьшается (линия 3).
Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающею жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальное движение. Точечный источник это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины). Различие между источником и стоком в знаке дебита. У стока дебит положительный Q > 0, а источника - отрицательный Q < 0.
Рассмотрим одиночный точечный сток (добывающую скважину). Распределение давления вокруг скважины выведено в параграфе 2.2.2:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14115)

Иногда [1] вместо давление вводится понятие потенциала Ф, а вместо расхода - удельного расхода q. Потенциал и удельный расход определяются следующим образом:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14215)

Это делается для того, чтобы упростить запись громоздких формул. Например, распределение потенциала (давления) вокруг скважины в этом случае запишется в более простом виде:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14315)

Потенциал и удельный расход имеют размерность м2/с.
В подземной гидромеханике при работе группы скважин и установившемся движении несжимаемой жидкости широко используется метод суперпозиции (наложения), который следует из линейности уравнения Лапласа, описывающем распределение давления в пласте (параграф 2.1). Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько решений уравнения Лапласа p1(х, у, z), p2(х, у, z),, pn(х, у, z), то и следующая сумма 13EMBED Equation.31415 также является решением уравнения Лапласа.
Следует при этом подчеркнуть, что подбором произвольных постоянных Ci в суммарном значении давления можно удовлетворить всем граничным условиям.
Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменения давления в любой точке пласта, вызванные работой каждой скважины (добывающей или нагнетательной), алгебраически суммируются в каждой точке пласта. Поэтому будут суммироваться и вектора скоростей фильтрации то, есть принцип суперпозиции применим и векторам скорости фильтрации.
Рассмотрим нефтяное месторождение, которое эксплуатируется n скважинами, с различными дебитами Qi. Выберем точку М, в которой необходимо найти давление. Обозначим расстояние от оси первой скважины до точки M r1M, от оси второй скважины до точки M r2M и так далее. Если первая из этих скважин работает одна, по падение давления в точке M определяется по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14415)

Если работает единственная i – тая скважина, nо падение давления в точке M будет равно
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14515)

По принципу суперпозиции при работе всех скважин падения давления суммируются, поэтому оно будет равно
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14615)


Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14215. Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания


По этой формуле можно рассчитать падение давления в любой точке пласта по известным дебитам скважин. Но часто встречается задача, когда по известным давлениям на скважинах необходимо рассчитать дебиты скважин. Для того, чтобы найти n дебитов, необходимо составить систему из n уравнений. Будем обозначать номер уравнения индексом j. Для того, чтобы получить первое уравнение (j = 1) поместим точку M на забой первой скважины, где падение давления известно и равно 13EMBED Equation.31415. Тогда расстояние от i – той скважины до точки M будет равно ri1 и первое уравнение запишется
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14715)

Второе уравнение (j = 2) получим, если поместив точку M на забой второй скважины
13EMBED Equation.31415,
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14815)

а для j – той скважины
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 14915)

Так, как индекс j принимает значения от 1 до n, то всю систему уравнений удобно записать в виде:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141015)

Обратите внимание, что расстояния определяются от центра скважины до точки M, поэтому если поместить точку M на забой первой скважины, то расстояние от центра первой скважины до этой точки не будет равняться нулю, а равно радиусу первой скважины r11 = rc1. Это относится и к другим скважинам r22 = rc2, r33 = rc3. и так далее.
Уточним понятие расстояния до контура питания. Контуром питания может быть любая линия равного давления (изобара), давление на которой обозначается pk. При работе одиночной скважины в однородном пласте изобарами являются окружности и расстояние от скважины до контура питания является радиусом этой окружности и обозначается Rk. Если в пласте работают несколько скважин, то изобары не будут являться окружностями и ввести понятия радиуса контура питания нельзя и величина Rk в уравнении (4.10) не определена. Введем понятие удаленного контура питания. Найдем максимальное расстояние между скважинами, которое обозначим max(rij). Выберем изобару на достаточно большом расстоянии от центра скважин. Эта изобара близка к окружности, радиус которой Rk. Если выполняется условие Rk >> max(rij), тогда расстояние от любой скважины до любой точки на контуре питания приблизительно равно расстоянию Rk. Поэтому контур называется удаленным, если максимальное расстояние между скважинами гораздо больше расстояния от центра скважин до контура питания. Система уравнений (4.10) справедлива для удаленного контура питания.
Обычно нефтяные месторождения разрабатываются десятками, а то и сотнями скважин, то, очевидно, надо составить десятки или сотни таких уравнений интерференции скважин. Решение такой сложной системы уравнений возможно с помощью ЭВМ.
Далее рассмотрим использование методов суперпозиции и отображения источников и стоков на некоторых задачах, имеющих практическое применение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.
Приток к скважине, расположенной вблизи прямолинейной непроницаемой границы
Такая задача может возникнуть при расположении добывающей скважины возле сброса или около границы выклинивания продуктивного пласта. Рассмотрим скважину радиусом rc расположенную на расстоянии a от непроницаемой границе. На скважине и на контуре питания поддерживаются давления pc и pk. Необходимо найти дебит скважины Q, распределение давления и скоростей фильтрации в любой точке пласта.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14315. a, b. Схемы притока к скважине у непроницаемой границе a) и в неограниченном пласте b)

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14415. Пример применения метода отражения для прямолинейного контура питания

Так, как граница непроницаемая, то скорость фильтрации перпендикулярно границе равна нулю, а фильтрация происходит только вдоль границы (u( ( 0, un = 0). Рассмотрим два случая задачи, в первом непроницаемая граница есть, а во втором случае она отсутствует (рис. 4.4). Выберем на непроницаемой границе тоску M, а во втором случае аналогичную точку в неограниченном пласте. Сравнивая оба рисунка, видим, что векторы скорости в аналогичных точках пласта направлены в разные стороны. У непроницаемой границы скорость направлена вдоль границы u(, а в неограниченном пласте к скважине u1. Для того, чтобы вектор скорости в неограниченном пласте был направлен вдоль пунктирной линии, необходимо в точке M создать вектор скорости u2. Величину и направление этого вектора найдем из условия 13EMBED Equation.31415. Вектор скорости u2 в точке M можно создать, введя фиктивную добывающую скважину расположенной в точке зеркального отражения начальной скважины относительно непроницаемой границы. После такого преобразования векторы скоростей в правых частях пласта с непроницаемой границей и в неограниченном пласте будут идентичными. Отсюда следует метод отражения для непроницаемой границы. Для того, чтобы избавиться от непроницаемой границы необходимо всю область фильтрации зеркально отразить относительно этой границы. После этого непроницаемую границу можно убрать. На рис. 4.4 приведен пример использования этого метода для нескольких скважин в пласте.
Для расчета дебита скважины расположенной у непроницаемой границы воспользуемся не исходной задачей, а задачей полученной с использованием метода отражения. Пронумеруем скважины: исходная скважина – 1, а фиктивная скважина – 2. Обозначим дебит исходной скважины Q1 = Q, а дебит фиктивной нагнетательной Q2 = Q. Геометрические размеры реальной и фиктивной скважины одинаковы, давление на забое первой скважины pc1 = pc. Расстояния от центра скважины до боковой поверхности этой – же скважины равны r11 =  r22 = rc, а расстояние между скважинами r12 = r21 = 2a. Запишем систему уравнений интерференции для двух скважин (n = 2):
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141115)

Подставляя переменные, получим:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141215)

Преобразуем полученные уравнения, используя свойства логарифмов:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141315)

Из первого уравнения найдем дебит скважины, расположенной у непроницаемой границы. Вычитая из первого уравнения второе найдем давление на забое фиктивной скважины:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141415)

Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания
Рассмотрим скважину радиусом rc расположенную на расстоянии a от прямолинейного контура питания. На скважине и на контуре питания поддерживаются давления pc и pk. Необходимо найти дебит скважины Q, распределение давления и скоростей фильтрации в любой точке пласта.
Так, как давление на контуре питания постоянно, то скорость фильтрации вдоль контура питания равна нулю, а фильтрация происходит только перпендикулярно к контуру питания (u( = 0. un ( 0). Рассмотрим два случая задачи, в первом прямолинейный контур питания есть, а во втором случае он отсутствует (рис. 4.5 a, b). Выберем на контуре питания точку M, а во втором случае аналогичную точку в неограниченном пласте.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14515. Схемы притока к скважине у прямолинейного контура питания a) и в неограниченном пласте b)

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14615. Пример применения метода отражения для прямолинейного контура питания

Сравнивая рисунки, видим, что векторы скорости в аналогичных точках пласта направлены в разные стороны. У прямолинейного контура питания перпендикулярно ему un, а в неограниченном пласте к скважине u1. Для того, чтобы вектор скорости в неограниченном пласте был направлен перпендикулярно пунктирной линии, необходимо в точке M создать вектор скорости u2. Величину и направление этого вектора найдем из условия 13EMBED Equation.31415 Вектор скорости u2 в точке M можно создать, введя фиктивную нагнетательную скважину расположенной в точке зеркального отражения нагнетательной скважины относительно контура питания. После такого преобразования векторы скоростей в правых частях пласта с прямолинейным контуром питания и в неограниченном пласте будут идентичными. Отсюда следует метод отражения для прямолинейного контура питания. Для того, чтобы избавиться от прямолинейного контура питания необходимо всю область фильтрации зеркально отразить относительно этого контура и в отраженной области заменить добывающие скважины – нагнетательными, а нагнетательные скважины – добывающими. После этого прямолинейный контур питания можно убрать. На рис. 4.6 приведен пример использования этого метода для нескольких скважин в пласте.
Для расчета дебита скважины у прямолинейного контура питания воспользуемся не исходной задачей, а задачей полученной с использованием метода отражения. Пронумеруем скважины: исходная скважина – 1, а фиктивная скважина – 2. Обозначим дебит исходной скважины Q1 = Q, а дебит фиктивной нагнетательной Q2 = - Q. Геометрические размеры реальной и фиктивной скважины одинаковы, давление на забое первой скважины pc1 = pc. Расстояния от центра скважины до боковой поверхности этой – же скважины равны r11 =  r22 = rc, а расстояние между скважинами r12 = r21 = 2a. Запишем систему уравнений интерференции скважин с удаленным контуром питания для двух скважин (n = 2):
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141515)

Подставляя переменные, получим:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141615)

Преобразуем полученные уравнения, используя свойства логарифмов:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141715)

Из первого уравнения найдем дебит скважины, расположенной у прямолинейного контура питания, а сложив эти уравнения найдем давление на забое фиктивной скважины:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141815)

Если бы контур питания был окружностью радиуса а = Rk, то дебит скважины рассчитывался бы по формуле Дюпюи. В реальных условиях форма контура питания часто неизвестна, но она заключена между окружностью и прямой линией. Следовательно, дебит скважины в этих условиях будет находиться в пределах
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 141915)

Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин
При разработке месторождений добывающие скважины бурят не произвольно, а в каком – либо порядке. Обычно скважины располагают рядами, кольцевыми батареями или более сложным образом. Ознакомимся с широко применяемым при проектировании разработки нефтяных месторождений методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений, предложенным Ю. П. Борисовым и основанным на аналогии движения жидкости в пористой среде с течением электрического тока в проводниках. Рассмотрим без вывода задачу о притоке жидкости к одиночной скважине, расположенной между двумя непроницаемыми граница расстояние между которым 2( и на расстоянии L от прямолинейного контура питания. Пусть на контуре питания задано постоянное давление pk, на забое скважин давление pc, (рис. 4.7). Требуется определить дебит.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14715. Обоснование метода фильтрационных сопротивлений Ю. П. Борисова

Заменим исходный фильтрационный поток на два более простых потока. У прямолинейного контура питания движение близко к плоскопараллельному. Среднее давление на уровне скважины между непроницаемыми границами p1. Тогда дебит в таком фильтрационном потоке определяется по формуле притока к галере
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142015)

Величина ( называется внешним фильтрационным сопротивлением и определяется по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142115)

Второй фильтрационный поток происходит вблизи скважины, где характер движения близок к плоскорадиальному. При этом фильтрация происходит от фиктивного контура питания радиусом R1 с давлением p1 к скважине. Дебит такого фильтрационного потока рассчитывается по формуле Дюпюи:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142215)

Радиус фиктивного контура питания можно найти из точного решения. Он оказался равным R1 = (/(. Величина (( называется внутренним фильтрационным сопротивлением и определяется по формуле:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142315)

Таким образом, приток жидкости к такой скважин можно представить схемой эквивалентных фильтрационных сопротивлений, показанной на рис. 4.8 Аналогом объемного расхода Q служит сила тока, а аналогом разности давлений разность электрических потенциалов. Дебит скважины находится по закону Ома для данной схемы:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142415)

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14815. Схема притока к конечной цепочке скважин

Используя метод отражения можно перейти от элемента фильтрационного потока к бесконечной цепочке скважин или, с некоторой ошибкой, к цепочке из n скважин. Тогда дебит такой цепочки скважин будет равен:
13EMBED Equation.31415.
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142515)

Здесь (n и (n( внешнее и внутреннее сопротивление цепочки из n скважин находятся по формулам:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142615)

где B ширина всей цепочки скважин.
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14915. Схема притока к кольцевой батарее скважин

Рассмотрим применение метода Ю. П. Борисовым для одного элемента и всей кольцевой батареи из n скважин Рис. 4.9. Заменим элемент кольцевой батареи скважин, который на рисунке выделен двумя непроницаемыми границами, на два более простых потока. Оба этих потока будут плоскорадиальными. Сама схема эквивалентных фильтрационных сопротивлений останется такой же, что и для элемента цепочки скважин, но формулы расчета внешнего фильтрационного сопротивления изменяться:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142715)

где ( = 
· R1/n.
Для всей кольцевой батареи:
13EMBED Equation.31415
(13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ ( \* ARABIC \s 1 142815)

Примеры и задачи
Пример 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Пример \* ARABIC \s 1 14115.

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 141015. Применение принципа отражения

Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (Рис. 10), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость газа
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 0,025 мПа
·с, Rк = 100 м, pк = 25 МПа, pс = 10 МПа, a = 200 м, b = 100 м.
Решение:
Используя метод отражения избавимся от прямолинейного контура питания. Для этого всю область фильтрации, включая непроницаемую границу и удаленный контур питания, зеркально отразим относительно этого контура. В отраженной области, заменяем знак дебита скважин на противоположный, то есть добывающие скважины делаем нагнетательными, а нагнетательные добывающими. После этого прямолинейный контур питания удаляем. Получим схему рис. 4.10. б. Чтобы не загромождать рисунок на этой схеме не показан отраженный контур питания. Теперь избавимся от прямолинейной непроницаемой границы. Для этого область фильтрации (всю верхнюю часть рисунка) зеркально отразим относительно непроницаемой границы. После этого непроницаемую границу удалим. Получим схему показанную на рисунке 4.10. в. На этом рисунке пунктирными линиями показаны места расположения бывшего контура питания и непроницаемой границы. Всего получили четыре скважины (n = 4), две из которых добывающие и две нагнетательные. Пронумеруем полученные скважины. Порядок нумерации скважин может быть произвольным (по часовой стрелки, против часовой стрелки и т.д.), но желательно основную скважины считать первой. На схеме указываем дебиты скважин, полученных методом отражения. Отраженные добывающие скважины имеют такой же дебит, что и основная скважина, а отраженные нагнетательные имеют дебит со знаком ().
Для полученных скважин запишем систему уравнений интерференции нефтяных скважин с удаленным контуром питания:
13EMBED Equation.31415
Всего скважин – четыре, поэтому это система четырех уравнений. Так, как три из этих скважин получены методом отражения, то дебиты этих скважин связаны с дебитом основной скважины, поэтому все четыре уравнения будут тождественны друг другу и для расчета можно использовать любое из них. Запишем первое уравнение из этой системы уравнений. Для первого уравнения j = 1.  Тогда
13EMBED Equation.31415.
В это уравнение подставим pc1 = pc, Q1 = Q, Q2 = -Q, Q3 = -Q, Q4 = Q.
13EMBED Equation.31415.
Воспользуемся свойством логарифма ln(a) + ln(b) = ln(ab) и ln(a)  ln(b) = ln(a/b)
13EMBED Equation.31415.
Найдем расстояния, которые входят в формулу. Так, как rij - расстояние от центра i - той скважины до боковой поверхности j - той скважины, то
13EMBED Equation.31415
Тогда дебит нефтяной скважины будет рассчитываться по формуле
13EMBED Equation.31415.
Для того, чтобы перейти к формулам фильтрации газа, воспользуемся аналогией между формулами фильтрации жидкости и газа. Заменим объемный расход Q на массовый расход Qm = 
·ат Qат, а давление p на функцию Лейбензона P = 
·ат p2/(2 pат). Тогда получим формулу фильтрации газовой скважины
13EMBED Equation.31415Ответ: Qат = 196 м3/с.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14115
Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у двух непроницаемых границ (Рис. 1.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 5 м, k = 0,25 мкм2,
· = 35 мПа
·с, Rк = 300 м, pк = 20 МПа, pс = 15 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14215
Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у двух непроницаемых границ (Рис. 1.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 5 м, k = 0,25 мкм2,
· = 0,015 мПа
·с, Rк = 300 м, pк = 20 МПа, pс = 15 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14315
Рассчитать дебит газовой скважины, расположенной у двух прямолинейных контуров питания (Рис. 6.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 8 м, k = 0,25 мкм2,
· = 0,015 мПа
·с, Rк = 300 м, pк = 15 МПа, pс = 10 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14415
Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у двух прямолинейных контуров питания (Рис. 6.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 8 м, k = 0,25 мкм2,
· = 15 мПа
·с, Rк = 300 м, pк = 15 МПа, pс = 10 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14515
Рассчитать дебит нефтяной скважины, расположенной у прямолинейного контуров питания и непроницаемой границе (Рис. 7.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 5 мПа
·с, Rк = 100 м, pк = 25 МПа, pс = 10 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14615
Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (Рис. 2.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 0,025 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 25 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14715
Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (Рис. 2.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 45 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 25 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14815
Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у непроницаемой границе (Рис. 3.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 4 м, k = 0,15 мкм2,
· = 0,02 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 20 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 14915
Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у непроницаемой границе (Рис. 3.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 4 м, k = 0,15 мкм2,
· = 4 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 20 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141015
Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у непроницаемой границе (Рис. 4.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 4 м, k = 0,05 мкм2,
· = 0,02 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 20 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141115
Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у непроницаемой границе (Рис. 4.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 4 м, k = 0,05 мкм2,
· = 14 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 20 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141215
Рассчитать суммарный дебит двух газовой скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (Рис. 5.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 0,025 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 25 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141315
Рассчитать суммарный дебит двух нефтяных скважин, расположенных у прямолинейного контура питания (Рис. 5.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания Rк и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 18 м, k = 0,15 мкм2,
· = 45 мПа
·с, Rк = 500 м, pк = 25 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141415
Методом фильтрационных сопротивлений Борисова рассчитать дебиты двух цепочек нефтяных скважин (Рис. 8.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания L1 = L2 = 200 м и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 15 м, k = 0,25 мкм2,
· = 40 мПа
·с, pк = 25 МПа.
Задача 13 STYLEREF 1 \s 14415.13 SEQ Задача \* ARABIC \s 1 141515
Методом фильтрационных сопротивлений Борисова рассчитать дебиты двух цепочек газовых скважин (Рис. 8.), если задана толщина пласта h, проницаемость k, вязкость нефти
·, расстояние до контура питания L1 = L2 = 200 м и давления на контуре питания pк и скважине pс. h = 15 м, k = 0,25 мкм2,
· = 0,004 мПа
·с, pк = 25 МПа.

Контрольные задания
Цель контрольных заданий способствовать более глубокому изучению основных положений дисциплины и лучшему усвоению приемов использования этих положений для решения инженерных задач.
Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, необходимо хорошо изучить соответствующие разделы курса. Сталкиваясь с той или иной расчетной формулой, студент должен научиться не только применять эту формулу для расчета, но и понять ее сущность и те закономерности, которые она отражает, а также проанализировать размерности входящих в нее величин.
Ответы на контрольные вопросы должны быть краткими, но не в ущерб ясности и полноте изложения. Следует обращать внимание на правильность терминологии и четкость ответов. Ответы на вопросы необходимо писать лишь после того, как проработана вся тема в целом, но отнюдь не в процессе ее изучения, так как законченный и четкий ответ можно дать только после изучения всей темы. Номера вопросов, на которые следует ответить, и номера задач, которые нужно решить, определяются по таблице вариантов в зависимости от сочетания букв в фамилии студента. Номер первой задачи соответствует первой букве фамилии, второй задачи второй букве и т д. Номера вопросов определяют по шестой букве фамилии студента. Например, студент Петров должен решить задачи 1.9, 1.16, 2,11, 3.9, 4.8 и ответить на вопросы 8, 20, 32, 38. Если фамилия студента содержит меньше пяти букв, номера последующих задач и вопросов будут соответствовать последней букве фамилии.

Буквы алфавита
Номера задач
Вопросы


1
2
3
4
5


а
1.1
1.13
2.1
3.1
4.1
1, 13, 25, 37

б, в
1.2
1.14
2.2
3.2
4.2
2, 14, 26, 38

г, д
1.3
1.15
2.3
3.3
4.3
3, 15, 27, 39

е, ж, з, и
1.4
1.16
2.4
3.4
4.4
4, 16, 28, 40

к
1.5
1.17
2.5
3.5
4.5
5, 17, 29, 41

л
1.6
1.18
2.6
3.6
4.6
6, 18, 30, 42

м
1.7
1.19
2.7
3.7
4.7
7, 19, 31, 37

н, о
1.8
1.20
2.8
3.8
4.8
8, 20, 32, 38

п, р
1.9
1.21
2.9
3.9
4.9
9, 21, 33, 39

с
1.10
1.22
2.10
3.10
4.10
10, 22, 34, 40

т, у, ф, х
1.11
1.23
2.11
3.11
4.11
11, 23, 35, 41

ц, ч, ш, щ, ъ, ы, ь, э, ю, я
1.12
1.24
2.12
3.12
4.12
12, 24, 36, 42


Вопросы к контрольной работе
Дайте определение указанной величине или поясните, что она означает. Укажите ее размерность. При необходимости поясните примерами.
1. Фильтрация.
2. Пористость.
3. Просветность.
4. Объемный расход.
5. Массовый расход.
6. Поперечное сечение.
7. Скорость фильтрации.
8. Действительная скорость.
9. Идеальный грунт.
10. Линейный закон фильтрации.
11. Галерея.
12. Скважина.
13. Водонапорный режим.
14. Газонапорный режим.
15. Режим растворенного газа.
16. Упругий водонапорный режим.
17. Гравитационный режим.
18. Коэффициент объемного сжатия жидкости.
19. Коэффициент объемного сжатия породы.
20. Начальные условия.
21. Граничные условия.
22. Депрессионная воронка.
23. Индикаторная диаграмма (для нефти).
24. Коэффициент продуктивности нефтяной скважины.
25. Как проводится исследование скважин на стационарных режимах.
26. Коэффициент гидропроводности пласта.
27. Аналогия между фильтрацией жидкости и газа.
28. Функция Лейбензона.
29. Индикаторная диаграмма (для газа).
30. Коэффициент продуктивности газовой скважины.
31. Неоднородный по толщине пласт.
32. Зонально - неоднородный пласт.
33. Совершенная скважина.
34. Скважина несовершенная по степени вскрытия.
35. Скважина несовершенная по характеру вскрытия.
36. Приведенный радиус скважины.
37. Интерференция скважин.
38. Метод суперпозиции решений.
39. Удаленный контур питания.
40. Метод отражения для прямолинейной непроницаемой границы.
41. Метод отражения для прямолинейного контура питания.
42. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений Борисова.

Список использованной литературы:
. Подземная гидравлика: Учебник для вузов/К. С. Басниев, А. М. Власов, И. Н. Кочина, В. М. Максимов. - М.: Недра, 1986, 303 с.
Евдокимова В. А., Кочина И. Н. Сборник задач по подземной гидравлике. М., Недра, 1979.
Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. М. Недра, 1973.

Приложение

Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14715.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14115. График для определения безразмерного коэффициента С1, учитывающего несовершенство скважин по степени вскрытия пласта




13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14715.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14215. График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, когда п/D=0


13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14715.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14315. График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, когда п/D=0,25



13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14715.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14415. График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, когда п/D=0,5



13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 STYLEREF 1 \s 14715.13 SEQ Рис. \* ARABIC \s 1 14515. График для определения безразмерного коэффициента С2, учитывающего несовершенство скважин по характеру вскрытия пласта, когда п/D=1


ОГЛАВЛЕНИЕ
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc214159886" 141. Дифференциальные уравнения фильтрации 13 PAGEREF _Toc214159886 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc214159887" 141.1. Основные понятия и определения 13 PAGEREF _Toc214159887 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc214159888" 141.2. Закон Дарси 13 PAGEREF _Toc214159888 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc214159889" 141.3. Нарушение закона Дарси. Нелинейные законы фильтрации 13 PAGEREF _Toc214159889 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc214159890" 141.4. Уравнение неразрывности потока 13 PAGEREF _Toc214159890 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc214159891" 141.5. Зависимость параметров жидкости, газа и пористой среды от давления 13 PAGEREF _Toc214159891 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc214159892" 141.6. Начальные и граничные условия 13 PAGEREF _Toc214159892 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc214159893" 142. Установившееся движение несжимаемой жидкости по закону Дарси 13 PAGEREF _Toc214159893 \h 14281515
13 LINK \l "_Toc214159894" 142.1. Дифференциальные уравнения установившегося движения 13 PAGEREF _Toc214159894 \h 14281515
13 LINK \l "_Toc214159895" 141.2.1. Плоскопараллельный поток (приток к галереи) 13 PAGEREF _Toc214159895 \h 14291515
13 LINK \l "_Toc214159896" 141.2.2. Плоскорадиальный поток (приток к скважине) 13 PAGEREF _Toc214159896 \h 14311515
13 LINK \l "_Toc214159897" 141.2.3. Исследование нефтяных скважин на стационарных режимах. Индикаторные диаграммы 13 PAGEREF _Toc214159897 \h 14331515
13 LINK \l "_Toc214159898" 142.2. Фильтрация в слоистых и зонально-неоднородных пластах 13 PAGEREF _Toc214159898 \h 14351515
13 LINK \l "_Toc214159899" 142.2.1. Приток к скважине и галерее в неоднородном по толщине пласте 13 PAGEREF _Toc214159899 \h 14361515
13 LINK \l "_Toc214159900" 142.2.2. Приток к скважине в зонально-неоднородном пласте 13 PAGEREF _Toc214159900 \h 14381515
13 LINK \l "_Toc214159901" 142.2.3. Приток к галерее в зонально–неоднородном пласте 13 PAGEREF _Toc214159901 \h 14411515
13 LINK \l "_Toc214159902" 142.3. Приток к несовершенным скважинам 13 PAGEREF _Toc214159902 \h 14431515
13 LINK \l "_Toc214159903" 142.4. Примеры и задачи 13 PAGEREF _Toc214159903 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc214159904" 143. Установившееся движение сжимаемой жидкости и газа 13 PAGEREF _Toc214159904 \h 14581515
13 LINK \l "_Toc214159905" 143.1. Дифференциальные уравнения установившегося движения упругой жидкости 13 PAGEREF _Toc214159905 \h 14581515
13 LINK \l "_Toc214159906" 143.2. Приток газа к скважине по закону Дарси 13 PAGEREF _Toc214159906 \h 14611515
13 LINK \l "_Toc214159907" 143.3. Исследование газовых скважин на стационарных режимах 13 PAGEREF _Toc214159907 \h 14631515
13 LINK \l "_Toc214159908" 143.4. Плоскорадиальный поток идеального газа при нарушении закона Дарси 13 PAGEREF _Toc214159908 \h 14651515
13 LINK \l "_Toc214159909" 143.5. Исследование газовых скважин на стационарных режимах при нарушении закона Дарси 13 PAGEREF _Toc214159909 \h 14671515
13 LINK \l "_Toc214159910" 143.6. Примеры и задачи 13 PAGEREF _Toc214159910 \h 14671515
13 LINK \l "_Toc214159911" 144. Интерференция скважин 13 PAGEREF _Toc214159911 \h 14791515
13 LINK \l "_Toc214159912" 144.1. Приток жидкости к группе скважин с удаленным контуром питания 13 PAGEREF _Toc214159912 \h 14791515
13 LINK \l "_Toc214159913" 144.2. Приток к скважине, расположенной вблизи прямолинейной непроницаемой границы 13 PAGEREF _Toc214159913 \h 14831515
13 LINK \l "_Toc214159914" 144.3. Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания 13 PAGEREF _Toc214159914 \h 14851515
13 LINK \l "_Toc214159915" 144.4. Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин 13 PAGEREF _Toc214159915 \h 14871515
13 LINK \l "_Toc214159916" 144.5. Примеры и задачи 13 PAGEREF _Toc214159916 \h 14891515
13 LINK \l "_Toc214159917" 145. Контрольные задания 13 PAGEREF _Toc214159917 \h 14951515
13 LINK \l "_Toc214159918" 146. Список использованной литературы: 13 PAGEREF _Toc214159918 \h 14971515
13 LINK \l "_Toc214159919" 147. Приложение 13 PAGEREF _Toc214159919 \h 14981515
15





Учебное издание



Пятибрат Владимир Павлович


Подземная гидромеханика



Учебное пособие.




Редактор И.А. Безродных

Лицензии ЛР № 020827 от 29.09.2008
План 2008 г., позиция ??. Подписано в печать ??.??.20?? г.
Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 5.0, Уч.-изд. л. 4.5. Тираж 300 экз. Заказ №??












© Ухтинский государственный технический университет.
169300, г. Ухта, ул. Первомайская 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская 13











13PAGE 15




13PAGE 15




13PAGE 141015




h
r

r


13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415


























13 EMBED Equation.3 1415





Приложенные файлы

  • doc 11438762
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий