МетодичкаКратные интегралы

Государственный комитет Российской Федерации
По высшему образованию
Калмыцкий государственный университет
















КРАТНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лабораторные работы по математическому анализу






















Элиста 2011

ГЛАВА1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть D замкнутая ограниченная область с границей r: Sr=0, функция f(x,y) ограниченна в области D. Разобьём область D конечным числом кривых ri:Sri=0 на частичные области Di , i=1,2..r. Эти области Di квадрируемые, т.е. имеют площадь.
Обозначим через
·Di ПЛОЩАДЬ ЧАСТИЧНОЙ
ОБЛАСТИ Di через di= 13 EMBED Equation.3 1415 и назовём
ДИАМЕТРОМ РАЗБИЕНИЯ области D на
частичные области Di. В каждой частичной области
Di возьмём точку Mi и составим сумму :
13 EMBED Equation.3 1415
Эта сумма называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y) при разбиении области D на частичные области Di и выборе точек Mi из частичных областей Di 13 EMBED Equation.3 1415 зависит от разбиения и выбора точки Mi(Di
def1: Число I называется ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ при d(0 области D на частичные области Di на частичные области Di 13 EMBED Equation.3 1415 если для ((>0, ( (>0, что для ( разбиения области D на частичные области Di с диаметром d<( и для ( набора точек Mi(Di выполняется условие: 13 EMBED Equation.3 1415
def2: Если существует конечный предел 13 EMBED Equation.3 1415 при d(0, то говорят, что функция f(x,y) ИНТЕГРИРУЕМА по области D т.е. f(R(D), а этот предел называется ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ от функции f(x,y) по области D
13 EMBED Equation.3 1415
Если область D задана неравенствами a(x(b y1(x)(y(y2(x), где y1(x), y2(x) интегрируемые функции на (a,b(, то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
следующие свойства двойных интегралов
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415, где С=const.
3) Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то
13 EMBED Equation.3 1415
Пример1 Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: Вычислить13 EMBED Equation.3 1415, если область D ограниченна линиями:
y= 2-x2 , y= 2x-1
Решение: построим область D. Первая линия- парабола, симметричная относительно оси Oy с вершиной в точке (0,2) Вторая линия- прямая.
Решая систему двух уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
найдём координаты точек
пересечения A и B: A(-3;-7), B(1,1)


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример3: Поменять порядок интегрирования
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: область интегрирования ограничена линиями: x=-1, x=1, y= 1-x2, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей D1 огран. слева и справа ветвями параболы 13 EMBED Equation.3 1415, ограниченную дугами окружности 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Задания
1) Вычислить
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
2) Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где P ограниченна линиями 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где P ограниченна линиями 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, обл Р ограниченна прямыми х=0, у=х, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где P ограниченна линиями 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где D ограниченна линиями х=2, у=х, ху=1
13 EMBED Equation.3 1415, где Р ограниченна линиями у=0, у=х, х+у=2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) Поменять порядок интегрирования
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) Расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в двойном интеграле 13 EMBED Equation.3 1415 для указанных областей S:
S трапеция с вершинами О(0;0),А(2;0), В(1;1), С(0;1).
S прямоугольник с вершинами О(0;0),А(2;0), В(2;1), С(0;1).
S треугольник с вершинами О(0;0),А(1;0), В(1;1)..
S параллелограмм с вершинами А(1;2), В(2;4), С(2;7),D(1;5).
S круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0;0), у которого концы дуги А(1;1), В(-1;1).
S круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r=1 и R=2 c общим центром (0;0).
Область S заданна неравенством 13 EMBED Equation.3 1415
Область S ограниченна линиями 13 EMBED Equation.3 1415
S ограниченна гиперболой 13 EMBED Equation.3 1415 (имеется ввиду область, содержащая начало координат).
область S ограниченна линиями х=0, у=0, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



Ответы
1) 1. 13 EMBED Equation.3 1415 2) 1. 1
2. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 4а
3. 50,4 3. (е-1)2
4. 13 EMBED Equation.3 1415 4. -2
5. 13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equat
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Преобразование двойного интеграла от ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ х, у к ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ 13 EMBED Equation.3 1415 связанным с прямоугольными координатами соотношением: 13 EMBED Equation.3 1415, осуществляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Если область интегрирования D| ограниченна двумя лучами, выходящими из полюса, 13 EMBED Equation.3 1415 и двумя кривыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 однозначные функции при
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то двойной интеграл вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415, причём сначала вычисляется интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, в котором 13 EMBED Equation.3 1415 считается постоянным.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
Пример1: Перейдя к полярным координатам, вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если D первая четверть круга 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: полагая 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: В двойном интеграле 13 EMBED Equation.3 1415 перейти к полярным координатам и записать интеграл в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

ЗАДАНИЯ
1) С помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные интегралы:
1.13 EMBED Equation.3 1415, где D круг 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415, где D круг 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415, где D часть кольца 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, где D часть круга 13 EMBED Equation.3 1415, лежащая в 1-ом квадранте.
5. 13 EMBED Equation.3 1415, где D круг 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415, где D верхний полукруг радиуса a с центром в точке (a,0)
7. 13 EMBED Equation.3 1415, где D полукруг радиуса a с центром в начале координат, лежащей выше оси Ox.
8. 13 EMBED Equation.3 1415, где D полукруг диаметра a с центром в точке С(13 EMBED Equation.3 1415, 0).
9. 13 EMBED Equation.3 1415, D окружность 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415 D: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2) В данных задачах перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.
1. 13 EMBED Equation.3 1415, где D круг 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, где D является общей частью 2-х кругов 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D треугольник ограниченный прямыми y=x, y=-x, x=1.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415, где D круг 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415, где D область ограниченная прямыми y=x, y=0, x=1.
7. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D: y=x, y=2x, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 .
8. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D круг 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D круг 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415 , где D меньший из 2-х сегментов, на которые прямая x+y=2 рассекает круг 13 EMBED Equation.3 1415

3) В двойном интеграле 13 EMBED Equation.3 1415, перейти к полярным координатам r и
·, и записать интеграл в виде :
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

ОТВЕТЫ.
1)
1.
·r2h 6. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 10. 0




ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПЛОЩАДЬ
Площадь плоской области D равна 13 EMBED Equation.3 1415. Если область D определена, например неравенствами 13 EMBED Equation.3 1415, то:

13 EMBED Equation.3 1415
Если область D в полярных координатах определена неравенствами 13 EMBED Equation.3 1415, то:
13 EMBED Equation.3 1415
Прамер1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415,
x+y=6.
Решение: определим точки пересечения данных линий
13 EMBED Equation.3 1415=>x=6-y
6-y=4y-y2
y2-5y+6=0
13 EMBED Equation.3 1415=> В(3,3), А(4,2) - точки пересечения

13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
·=1, 13 EMBED Equation.3 1415(вне окружности
·=1)
Решение: найдём координаты точки А, пересечения окружностей 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415

Пример3: Найти площадь фигуры, ограниченной линией x3+y3=axy (петля).
Решение: примем за параметр переменную x 13 EMBED Equation.3 1415и преобразуем наш интеграл в определённый интеграл. Из уравнения параболы находим dy=4xdx. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
Пример4: Найти площадь, ограниченную петлёй декартового листа
Решение: Преобразуем данное уравнение к полярным координатам 13 EMBED Equation.3 1415.
Т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
Оси симметрии петли является луч 13 EMBED Equation.3 1415, а поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Найти площадь плоских фигур, ограниченных заданными ниже кривыми:
xy=4, x+y-5=0
x=y, x=2y, x+y=a, x+3y=a (a>0)
xy=a2, xy=b2, y=m, y=n
y=x, y=5x, x=1
13 EMBED Equation.3 1415
y2=10x+25, y2=6x+9
13 EMBED Equation.3 1415
y=0, x=0, x+y=1
13 EMBED Equation.3 1415
x2=ay, x2=by, y=m, y=n, 0

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных заданными кривыми, с помощью преобразования к полярным координатам:
(x2+y2)2= 2a2(x2-y2)
(x2+2y2)3= xy4
13 EMBED Equation.3 1415
x2+y2=2x, y2+x2=4y, y=0, y=x
(x+y)3=xy, (x
·0, y
·0)
13 EMBED Equation.3 1415
(x2+y2-ax)2=a2(x2+y2), 13 EMBED Equation.3 1415 (внутри каждой из этих кривых)
(x2+y2)2= a2x2+b2y2
x4+y4= 2a2xy
13 EMBED Equation.3 1415
Найти площадь области ограниченной кривыми:
r=a(1+cos
·), r=acos
·, (a>0)
r= cos
·=1, r=2 (имеется в виду область, не содержащая полюса)

·=acos
·,
·=bcos
·, b>a>0

·=2(1-cos
·),
·=2 (вне кардиоиды)

·=2(1+cos
·),
·=2cos
·

·=asin3
·, a>0

·=a(1-cos
·),
·=a (вне кардиоиды)

·=acos2
·,

·=4sin
·,
·=2sin
·

·2=a2 sin2
·

ОТВЕТЫ
1)
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 2
5.
·ab
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
2)
1. 2a2
213 EMBED Equation.3 1415
3. 27
·
4. 313 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 6
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
3)
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 8-
·
5. 5
·
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 3
·
10. a2
















1.1.4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ
Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет переменную поверхностную плоскость 13 EMBED Equation.3 1415, то МАССА М пластинки выражается двойным интегралом:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек А1(х1; у1), А2(х2; у2),., Аn(хn; уn) с массами m1, m2,, mn.
def1: СТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Мm ЭТОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Аналогично определяется СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Оу:
13 EMBED Equation.3 1415(1|)
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ Мх, Му ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо сумм (1) и (1|) выражаются соответствующими двойными интегралами:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В случае однородной пластинки
·=const, которую принимают равной
·=1.
def2: МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ Ix, Iy СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ Ох, Оу называется сумма произведения масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 (2|)
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Ix, Iy СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо (2) и (2|) выражается соответствующими двойными интегралами:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ пластинки относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ равен:
13 EMBED Equation.3 1415
ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ:
13 EMBED Equation.3 1415
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ пластины можно вычислить по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415, где М масса пластинки, Мх, Му её статические моменты относительно осей координат.
В случае однородной пластинки формулы имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где S площадь области D.
Пример1
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y2=4x+4y, y2=-2x+4.
Решение: поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то 13 EMBED Equation.3 1415Остаётся найти 13 EMBED Equation.3 1415. Найдём площадь данной фигуры
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кардиоидой
·=а(1+cos
·), относительно оси Ох.
Решение: момент инерции относительно оси Ох равен 13 EMBED Equation.3 1415
Перейдём к полярным координатам 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример3: Найти момент инерции круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности.
Решение: составим уравнение окружности, проходящей через начало координат, х2+у2=2rx и вычислим момент инерции I0. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим интеграл I0 в полярных координатах. В полярной системе координат уравнение данной окружности представляется в виде
·=2rcos
·. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415
ЗАДАНИЕ
1)
1. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки х2+у2
·а2, если плотность её вещества в точке М(х,у) пропорциональна расстоянию от точки М| до точки А(а;0)
Замечание: применяем полярные координаты
2. найти статический момент однородного тела, имеющего форму прямого конуса (основание радиуса R, высота H) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.
3. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОА=а, ОВ=b, относительно катета ОА, если плоскость её в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА.
4. Найти массу квадратной пластины со стороной а, если плотность вещества пластины в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна
·0 в центре квадрата.
5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ay=x2, x+y=2a (a>0)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.3 1415, х=0, у=0.
7. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.3 1415, (х
·0, у
·0).
Замечание: использовать замену х=acos3t, y=asin3t, 0
·t
· 13 EMBED Equation.3 1415, взять перед интегралом знак “-” в следствии того, что возрастанию параметра t от 0 до 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует убывание переменной х от а до 0.
8. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415, (петля).
9. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415, (х
·0, у
·0).
Замечание: перейти к полярным координатам.
10. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми
·=a(1+cos
·),
·=0.
2)
1. Найти центробежный момент инерции Ix,y однородной фигуры, ограниченной кривыми: ax=x2, ax=y2 (a>0).
2. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415,

3. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми13 EMBED Equation.3 1415, (0
·t
·2
·), у=0.
5. найти статические моменты относительно координатных осей четверти круга радиуса R.
6. Найти статические моменты круга относительно его касательной.
7. Найти статические моменты полукруга относительно его диаметра.
Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x2, y+x=2, y=2.
8. Найти статический момент правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны (
·=1).
9. Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x2, y+x=2, y=2.
10. Найти статические моменты однородного тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a,b,c относительно его граней.
3)
1. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.
2. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно одной из вершин.
3. Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х+у=2, х=2, у=2 относительно оси Ох.
4. Вычислить момент инерции полукруга относительно его диаметра.
5. Вычислить момент инерции круга относительно его центра.
6. Вычислить момент инерции круга относительно касательной.
7. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кривой 13 EMBED Equation.3 1415относительно начала координат.
8. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415, х+у=3, у=0.
9. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями у=4-х2, у=0, относительно оси Ох.
10. Вычислить момент инерции площади эллипса13 EMBED Equation.3 1415 относительно его большой оси.























1.2. Тройные интегралы.
1.2.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
def1: ТРЁХМЕРНЫЙ КООРДИНАТНЫМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ называется множество точек (х1, х2, х3)ЄR3 удовлетворяющих условию:
аi
·хi
·bi , i=1,2,3 ai, bi ЄR и этот параллелепипед обозначим:
П=[a1, b1]*[a2, b3]*[a3, b3]
Пусть задана функция f(x)= f(x1, x2, x3) в трёхмерной области П(R3. Возьмём разбиение Т данного П плоскостями х=хi параллельными координатным гиперплоскостям. Разобьём на частичные параллелепипеды. В каждом Пj возьмём точку Рj(Пj, где Рj=(ej1, ej2, ej3). Обозначим через
·(Пj)- объем частичного параллелепипеда 13 EMBED Equation.3 1415 . Составим сумму 13 EMBED Equation.3 1415-это ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции f, соответствующая данному разбиению Т и выбору точек Рj из частичных параллелепипедов Пj.
Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415-ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ Т, где 13 EMBED Equation.3 1415-ДИОГАНАЛЬ частичного параллелепипеда.
def2: Число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральных сумм при диаметре
·0, если для (
·>0 (
·>0, что для (разбиения Т диаметр которого
·<
· и для ( набора точек {Pj} PjЄПj выполняется неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
def3: Функция f(x1, x2,x3) называется ИНТЕГРИРУЕМОЙ в трёхмерном прямоугольном координатном параллелепипеде, если существует конечный предел
13 EMBED Equation.3 1415
и этот предел называется ТРЁХКРАТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x1, x2,x3) по трёхмерному прямоугольному параллелепипеду и обозначается:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть x1=х, x2=у, x3=z.
Если функция f(x,y,z) непрерывна, область D ограниченна и определена неравенствами: x1
·х
· x2 у1(х)
·у
·у2(х), z1(x,y)
·z
·z2(x,y), где у1(х),у2(х), z1(x,y),z2(x,y) непрерывные функции, то тройной интеграл от функции f(x,y,z), распространенный на область D, может быть вычислен по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Иногда удобно также применять формулу:
13 EMBED Equation.3 1415
где S(x) сечение области D плоскостью х=const.
При переходе от декартовых координат x,y,z к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
·,z, связанным с x,y,z соотношениями:
х=
·cos
·,
y=
·sin
·,
z=z.
где 0
·
·
·+
·, 0
·
·
·2
·, -
·
·z
·+
·, якобиан равен I=
· и формула преобразования тройного интеграла к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ИМЕЕТ ВИД:
13 EMBED Equation.3 1415
При переходе от декартовых координат к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
·,
·,
· связанными с x,y,z соотношениями:
х=
·sin
·cos
·,
y=
·sin
·sin
·,
z=
·cos
·,
где 0
·
·
·+
·, 0
·
·
·2
·, 0
·
·
·
·. Якобиан преобразования равен: I=
·2 sin
· и формула преобразования тройного интеграла к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример1: Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 V: z=xy, y=x, x=1, z=0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если Т шар х2+у2+z2
·r2.
Решение: введём сферические координаты х=
·sin
·cos
·, y=
·sin
·sin
·, z=
·cos
·. Якобиан преобразования I=
·2 sin
·.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ЗАДАНИЕ
1)Вычислить:
1. 13 EMBED Equation.3 1415, Т=[(x,y,z):x+y+z=1, z=0, y=0,x=0].
2. 13 EMBED Equation.3 1415 ,Т:13 EMBED Equation.3 1415, x2+y2+z2
·3a2
3. 13 EMBED Equation.3 1415 T: x2+z2=1, y=0,y=1.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, T: z=0, z=a, x=0, y=0, x+y=b (a>0, b>0).
5. 13 EMBED Equation.3 1415, T: y2=x, y=x2, z=xy, z=0.
6. 13 EMBED Equation.3 1415 , T: z=xy, x+y=1, z=0 (z
·0).
7. 13 EMBED Equation.3 1415 , T: x=0, z=0, y=0, y=h, x+z=a
8. 13 EMBED Equation.3 1415 ,T: y=0, z=0, 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415 , T: x+y+z=1, z=0, x=0, y=0.
10. 13 EMBED Equation.3 1415 , T: x+y=1, x+y=0, y=0, z=0, z=3.
2) Вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 , G: x2+z2=1, y=0, y=1.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, G: 13 EMBED Equation.3 1415, z=2.
3. 13 EMBED Equation.3 1415, G: x2+y2+z2
·r2.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, G: x2+y2+z2
·1
5. 13 EMBED Equation.3 1415 G: x2+y2
·2az, x2+y2+z2
·3a2
6. 13 EMBED Equation.3 1415 G: x2+y2+z2
·r2 , x2+y2+z2
·2rz
7. 13 EMBED Equation.3 1415, G: 13 EMBED Equation.3 1415, z
·1.
8. 13 EMBED Equation.3 1415 , G: 13 EMBED Equation.3 1415 , 0
·z
·h.
9. 13 EMBED Equation.3 1415, G: x2+y2+z2
·r2 , y2+z2
·x2 , x
·0.
10. 13 EMBED Equation.3 1415, G: x2+y2
·2z, 0
·z
·2.
3) расставить пределы интегрирования в последовательности x,y,z; y,x,z; z,y,x для указанной области V.
1. V: x2+y2=r2 , z=0, z=H
2. V: 13 EMBED Equation.3 1415, z=0, x=0, y=0 (a>0, b>0, c>0)
3. V: x2+y2=1, z=0, z=1 (x
·0, y
·0)
4. V: 13 EMBED Equation.3 1415 z=0
5. V: z= 1-x2-y2, z=0
6. V: 2x+3y+4z=12, z=0, y=0, x=0.
7. V: y2+2z2=4x, x=2.
8. V: x2+y2=z2, z=1
9. V: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
10. V: x2+y2=r2 , z=3, z=5.
ОТВЕТЫ
1) 1. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 1.5
· 8. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 0.5
5. 13 EMBED Equation.3 1415 10. 3

2) 1. 1.5
· 6. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 10. 13 EMBED Equation.3 1415



1.2.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛЕЧИН ПОСРЕДСТВОМ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ОБЬЁМ области Т определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Если плотность тела переменная:
·=
·(x;y;z), то МАССА тела, занимающего область Т вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ тела определяются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При
·=I имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 координаты геометрического центра тяжести).
МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V| относительно координатных плоскостей называется, соответственно интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
13 EMBED Equation.3 1415.
МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ относительно КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ:
Ix= Ixy+Ixz
Iy=Iyx+Iyz
Iz= Izx+Izy
МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V| относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ называется интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Используя (*) получаем:
I0=Ixy+Iyz+Izx
Пример1: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
hz=x2+y2, z=h.
Решение: данное тело ограниченно снизу параболоидом z=13 EMBED Equation.3 1415, сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x2+y2
·h2 плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида имеет вид z=13 EMBED Equation.3 1415. Объём тела равен 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример2: найти массу прямоугольного параллелепипеда 0
·х
·а, 0
·у
·b, 0
·z
·c, если плотность в точке (x;y;z) пропорциональна сумме координат этой точки.
Решение: в данном случае
·(x;y;z)= r(x+y+z).
Следовательно получим: m=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
ЗАДАНИЯ
1) Найти объём тела ограниченного поверхностями:
1. 13 EMBED Equation.3 1415, z=x2+y2
2. z=0, x=0.5(x2+y2), x2+y2+z2=4 (внутри цилиндра)
3. z=4-y2, z=y2+2, x=-1, x=2
4. z=x2+y2, z= x2+2y2, y=x, y=2x, x=1.
5. z=x2+y2, z= 2x2+2y2, y=x2, y=x.
6. x2+y2+z2=r2, x2+y2=r(r-2z), (z
·0)
7. z=x2+y2, z2=xy
8. az=x2+y2, z=13 EMBED Equation.3 1415, a>0
9. x+y+z=a, x+y+z=2a, x+y=z, x+y=2z
10. x2+y2+4z2=1
2)
1. Найти массу куба 0
·х
·а, 0
·у
·а, 0
·z
·а, если плотность в точке (x;y;z) есть
·(x;y;z)=x+y+z.
2. Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причём на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.
3. Из октана шара x2+y2+z2
·r2 (x
·0, y
·0, z
·0) вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями 13 EMBED Equation.3 1415(a
·c, b
·c). Найти массу этого тела, если плотность в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.
4. Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, x2+y2-z2=0, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
5. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой её точке пропорциональна аппликате этой точки.
6. Определить массу сферического слоя между поверхностями x2+y2+z2=а2 и x2+y2+z2=4а2, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.
7. вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.
8. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415, x=0, y=0, z=0, a,b,c>0.
Замечание: использовать замену x=a
·cos2
·, y=b
·sin2
·, z=z, (0
·
·
·2
·,
·
·0).
9. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: использовать замену x=a
·sin
·cos
·, y=b
·sin
·sin
·, z=c
·cos
·, (0
·
·
·2
·,
·
·0, 0
·
·
·
·).
10. Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:
13 EMBED Equation.3 1415, z=0
Замечание: использовать замену x=a
·cos
·, y=bsin
·, z=z, (0
·
·
·2
·,
·
·0).

II
1 Найти массу куба 13 EMBED Equation.3 1415, если плотность в точке 13 EMBED Equation.3 1415 есть13 EMBED Equation.3 1415.
2 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.
3 Из октана шара 13 EMBED Equation.3 1415 вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями и плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415. Найти массу этого тела, если плотность его в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.
4 Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, 13 EMBED Equation.3 1415, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
5 Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой ее точке пропорционально аппликате этой точки.
6 Определить массу сферического слоя между поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки то начала координат.
7 Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна расстоянию точки от начала координат.
8 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание: использовать замену 13 EMBED Equation.3 1415.
9 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: использовать замену 13 EMBED Equation.3 1415.
10 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: использовать замену 13 EMBED Equation.3 1415.

III
1 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями 2x+3y-12=0, x=0, y=0, z=0 и цилиндрической поверхностью 13 EMBED Equation.3 1415.
2 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415, x=5, y=5, z=0.
3 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями x+y=1, 13 EMBED Equation.3 1415 x=0, y=0, z=0.
4 Найти координаты центра тяжести восьмой части однородного эллипсоида 13 EMBED Equation.3 1415, расположенной в первом октанте.
5 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.
6 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415
7 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415
8 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.
9 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.
10 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.


Ответы
I
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

II
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
к - коэффициент пропорциональности

III
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Криволинейные интегралы

2.1.1. Лабораторная работа

Криволинейные интегралы первого рода
Пусть l спрямляемая кривая, кривая не имеет самоналогания и самопересечения. Пусть данная кривая задана параметрически:
13 EMBED Equation.3 1415.
И для определенности точка A(
·(a),
·(a),s(a)) начальная точка, а точка B(
·(b),
·(b),s(b)) конечная точка, т.е. l=AB.
Пусть на данной кривой l заданы функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)13 EMBED Equation.3 1415. В силу того, что l ограниченное, замкнутое множество, функции f,P,Q,R равномерно непрерывны.
Кривую l разобьем на дуги так, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415 на дуге
· появятся точки 13 EMBED Equation.3 1415. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с точкой A, точка 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с точкой B. 13 EMBED Equation.3 1415 частичные дуги. Через 13 EMBED Equation.3 1415 обозначим ДЛИНЫ этих ЧАСТИЧНЫХ ДУГ:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ кривой. В каждой частичной дуге берем точку 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Составим интегральные суммы: 13 EMBED Equation.3 1415

Def1: число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральной суммы , если для 13 EMBED Equation.3 1415 не зависящее от выбора точки 13 EMBED Equation.3 1415, что для всех разбиений с диаметром 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Def2: конечный предел интегральной суммы 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 называется КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПЕРВОГО РОДА функции f(x,y,z) по кривой и обозначается:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках гладкой кривой С:
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t) , 13 EMBED Equation.3 1415
и - дифференциал дуги, по определению полагают:
13 EMBED Equation.3 1415
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от направления кривой С.
Свойства
13 EMBED Equation.3 1415
Физический смысл криволинейного интеграла первого рода представляет собой массу кривой L, линейная плотность кривой L равна p(x,y,z).
Если p=p(x,y,z) линейная плотность в текущей точке (x,y,z) кривой С, то МАССА кривой С равна:
13 EMBED Equation.3 1415
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 13 EMBED Equation.3 1415 этой кривой выражаются формулами:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: найдем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2
Найти массу дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415, линейная плотность которой меняется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3
Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: координаты центра тяжести однородной дуги кривой К вычисляется по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 длина дуги.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4
Найти с помощью криволинейного интеграла длину астроиды 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415. В нашем случае
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку кривая симметрична относительно координатных осей, то
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5
Вычислить площадь части боковой поверхности круглого цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415, срезанного снизу плоскостью xOy, а сверху поверхностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от функции 13 EMBED Equation.3 1415 по окружности 13 EMBED Equation.3 1415. Так как срезающая сверху поверхность симметрична относительно плоскостей xOz и yOz, то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности расположенной в первой четверти плоскости xOy. Получим:
13 EMBED Equation.3 1415


ЗАДАНИЯ
I ВЫЧИСЛИТЬ
1 13 EMBED Equation.3 1415, где L первый виток винтовой линии
2 13 EMBED Equation.3 1415, где L четверть окружности 13 EMBED Equation.3 1415, лежащая в первом октанте.
3 13 EMBED Equation.3 1415, где L первый виток конической винтовой линии
x=tcost, y=tsint, z=t.
4 13 EMBED Equation.3 1415, где L четверть окружности 13 EMBED Equation.3 1415 лежащая в первом октанте.
5 13 EMBED Equation.3 1415, где C дуга кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
6 13 EMBED Equation.3 1415, где C первый виток винтовой линии x=accost, y=asint, z=bt.
7 13 EMBED Equation.3 1415, где C окружность 13 EMBED Equation.3 1415
8 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
9 13 EMBED Equation.3 1415,где 13 EMBED Equation.3 1415 от точки А(0,0,0) до точки В13 EMBED Equation.3 1415
10 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
II
1 Найти массу первого витка винтовой линии x=accost, y=asint, x=bt, если плотность в каждой равна радиус-вектору этой точки.
2 Найти массу дуги параболы 13 EMBED Equation.3 1415, лежащей между точками (1;0,5) и (2;2), если линейная плотность 13 EMBED Equation.3 1415.
3 Найти массу первого витка винтовой линии x=cost, y=sint, z=t, если плотность в каждой точке равна радиус-вектору этой точки.
4 Вычислить массу четвертой части эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, лежащей в первом квадранте, если линейная плотность
·(x,y)=xy.
5 Найти массу дуги винтовой линии x=accost, y=bsint, z=bt 13 EMBED Equation.3 1415, если плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты.
6 Найти массу дуги окружности x=cost, y=sint 13 EMBED Equation.3 1415, если линейная плотность в ее точке
·(x,y)=y.
7 Найти массу участка цепной линии 13 EMBED Equation.3 1415 между точками с абсциссами 13 EMBED Equation.3 1415, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0;a) равна 0.
8 Найти массу участка линии y=lnx между точками с абсциссами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
9 Вычислить массу всей цепной линии 13 EMBED Equation.3 1415, если линейная плотность ее 13 EMBED Equation.3 1415.
10 Вычислить массу кривой 13 EMBED Equation.3 1415 на участке от t=0 до t=1, если линейная плотность ее 13 EMBED Equation.3 1415.

III
1 Найти площадь части поверхности цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415,
2
3 Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415, ограниченного плоскостями z=0, x=0, z=x, y=6.
4 Найти длину дуги конической винтовой линии 13 EMBED Equation.3 1415 от О(0,0,0) до А(а,0,а).
5 Найти длину дуги 13 EMBED Equation.3 1415.
6 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной снизу плоскостью xOy, а сверху 13 EMBED Equation.3 1415.
7 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной снизу плоскостью , а сверху .
8 Найти длину дуги .
9 Найти длину дуги .
10 Вычислить площадь цилиндрической поверхности, ограниченной снизу плоскостью Oxy, а сверху поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415.

IV

1 Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой
13 EMBED Equation.3 1415.
2 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой
13 EMBED Equation.3 1415.
3 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
4 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
5 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
6 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L, если 13 EMBED Equation.3 1415.
7 Найти координаты центра масс дуги винтовой линии 13 EMBED Equation.3 1415, если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.
8 Найти координаты центра масс дуги 13 EMBED Equation.3 1415.
9 Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой y=chx, 13 EMBED Equation.3 1415.
10 Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L, если 13 EMBED Equation.3 1415.


Ответы
I
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
II

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

III
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

IV


13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415




2.1.2. Лабораторная работа 2

Криволинейные интегралы второго рода
Def1: Конечный предел 13 EMBED Equation.3 1415 называется КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА функций P(x,y,z), (Q(x,y,z),R(x,y,z)) по кривой L и обозначается:
13 EMBED Equation.3 1415
Сумма интегралов 13 EMBED Equation.3 1415 называется ОБЩИМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА.
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Общий криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу по перемещению материальной точки А в точку В по кривой L под действием силы с составляющими P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).
F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))
Если функции P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) непрерывны в точках кривой 13 EMBED Equation.3 1415, пробегаемой в направлении возрастания параметра t , то полагают:
13 EMBED Equation.3 1415
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изменяет свой знак на противоположный.
Если P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=du, где u=u(x,y,z) однозначная функция в области V, то независимо от вида кривой С, целиком расположенной в V, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Где 13 EMBED Equation.3 1415 начальная и 13 EMBED Equation.3 1415 конечная точка пути. В простейшем случае, если область V односвязная и функции P,Q,R обладают непрерывными частными производными первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы в области V тождественно выполнены следующие условия:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда в простейшем случае стандартной параллелепидальной обл. V, функцию u можно найти по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 некоторая фиксированная точка области V и c-const.
ПРИМЕР 1
Найти работу силового поля в каждой точке (x,y) которого напряжение (сила действующая на единицу массы) 13 EMBED Equation.3 1415 когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Решение: Работа, совершаемая силой 13 EMBED Equation.3 1415, действующей на точку при перемещении ее по дуге АВ
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя в формулу (1) проекции силы 13 EMBED Equation.3 1415 , действующей на точку Fx=m(x+y), Fy=-mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t получим:
13 EMBED Equation.3 1415


Задания
I Вычислить
1 13 EMBED Equation.3 1415, где L отрезок прямой от (1;1;1) до (2;3;4).
2 13 EMBED Equation.3 1415, где К дуга винтовой линии 13 EMBED Equation.3 1415 от точки пересечения линии с плоскостью z=0 до точки ее пересечения с плоскостью z=a.
3 13 EMBED Equation.3 1415 вдоль прямой линии.
4 13 EMBED Equation.3 1415, где К окружность 13 EMBED Equation.3 1415 положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.
5 13 EMBED Equation.3 1415, где АО дуга окружности 13 EMBED Equation.3 1415 расположенная по ту сторону от плоскости xOz, где y>0.
6 13 EMBED Equation.3 1415, где L эллипс 13 EMBED Equation.3 1415 положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.
7 13 EMBED Equation.3 1415, где L эллипс 13 EMBED Equation.3 1415положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.
8 13 EMBED Equation.3 1415, где L эллипс 13 EMBED Equation.3 1415 положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.
9 13 EMBED Equation.3 1415, где K кривая 13 EMBED Equation.3 1415 положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.
10 13 EMBED Equation.3 1415, где L кривая 13 EMBED Equation.3 1415 положительно ориентированная на внешней стороне правой (x
·0) полусферы.


II
Проверить является ли данные выражения полными дифференциалами функции двух переменных, и если да, то найти эти функции.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

III Найти первообразную функции U(x,y) по ее полному дифференциалу.
13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
4) Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигур, ограниченных следующими кривыми:
1. y2=x, x2=y
2. x=accost, y=bsint
3.Площадь четырехугольника с вершинами А(6;1), В(4;5), С(1;6), D(-1;1)
4. Контуром ОАВСО, если А(1;3), В(0;4), С(-1;2), О(0;0). ОА, ВС, СО отрезки прямых, а АВ дуга параболы у=4-х2.
5. Площадь кардиоиды х=2rcost-rcos2t, y=2rsint-rsin2t
6. (x+y)2=ax, (a>0) и осью Ох.
7. x=acos3t, y=asin3t
8. (x+y)3=axy
9. (x+y)4=x2y
10. (x+y)2=xy
5)
1. Поле образованно силой F=13 EMBED Equation.3 1415 , направление которой составляет угол 13 EMBED Equation.3 1415 с направлением радиус-вектора 13 EMBED Equation.3 1415 точки её приложения. Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности x2+y2=a2 из точки (а;0) в точку (0;а).
2. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны Fx=xy, Fy=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по прямой у=х.
3. Проекция силы F на координатные оси равны Fx=2xy, Fy=x2. Показать, что силовое поле потенциальное и вычислить работу поля при перемещении точки массой, равной единице, из точки (1;0) в точку (0;3)
4. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны Fx=xy, Fy=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по параболе у=х2.
5. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной полуоси Ох. Найти работу поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности х2+y2=r2 , лежащую в первом квадранте.
6. Найти работу, производимую силой тяжести при перемещении материальной точки массы m из положения А(x1;y1;z1) в положение В(x2;y2;z2) (ось Оz направлена вертикально вверх).
7. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорционально удалению точки от начала координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, лежащую в первом квадранте.
8. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси Оz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности х=cost, y=1, z=sint от точки М(1;1;0) до точки N(0;1;1).
9. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от плоскости хОу и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой x=at, y=bt, z=ct, от точки М(a;b;c) до точки N(2a;2b;2c).
10. Силовое поле образованно силой F(х,у), равной расстоянию точки её приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы у2=8х от точки (2;4) до точки (4;413 EMBED Equation.3 1415)
ОТВЕТЫ
1) 1. 13 6. -16
·
2. 0 7. -213 EMBED Equation.3 1415
·a3
3. 313 EMBED Equation.3 1415 8. -8
·
4. 13 EMBED Equation.3 1415
·а2 9. 13 EMBED Equation.3 1415
·a2
5. 13 EMBED Equation.3 1415r3 10. –13 EMBED Equation.3 1415a2
2)
1.F(x,y)= 8x3sin2y-13 EMBED Equation.3 14155y2+c
2. Не является полным дифференциалом
3. F(x,y)= Ln(x+y)-13 EMBED Equation.3 1415+c
4. F(x,y)= 13 EMBED Equation.3 1415+c
5. F(x,y)= 4x3 y+13 EMBED Equation.3 1415+c
6. F(x,y)= xe2y-5y2ex+c
7. F(x,y)= x3 -x2y+xy2- y3+c
8. F(x,y)= 13 EMBED Equation.3 1415+x2y-xy2- 13 EMBED Equation.3 1415+c
9. F(x,y)= x2cosy+y2cosx+c
10. F(x,y)= 13 EMBED Equation.3 1415+c
3)
1. U=x-ex-y+sin(x-y)+2y+c
2. U=x- ex-y+sinx+siny+c
3. U= 13 EMBED Equation.3 1415x3-x2y2+3x+13 EMBED Equation.3 1415x3+3y+c
4. U=x2 +y2-1.5x2y2+2xy+c
5. U= chx+xchy+y+c
6. U= xarcsinx-yarcsiny+ 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415x2Lny+c
7. U= Ln|x-y|+13 EMBED Equation.3 1415
8. U= (x2-y2)2+c
9. U=Ln|x+y|-13 EMBED Equation.3 1415
10. U= x2cosy+y2cosx+c
4)
1. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415a2
2.
·ab 7. 13 EMBED Equation.3 1415
·a2
3. 22.5 8. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 6
·r2 10. 13 EMBED Equation.3 1415
5)
1. r
· 6. mg(z1-z2)
2. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415 (a2-b2)
3. 0 8. 0,5kLn2
4. 13 EMBED Equation.3 1415 9. 13 EMBED Equation.3 1415
5. FR 10. -14
k-коэффициент пропорциональности
2.2. Поверхностные интегралы

2.2.1. Лабораторная работа №1

Поверхностные интегралы

def 1: Поверхность
· называется полной, если фундаментальная последователь-ность точек из данной поверхности
· сходится к точке принадлежащей Ф.
def 2: Поверхность
· называется ограниченной, если существует шар, содержащий все точки данной поверхности.
Пусть задана поверхность
· удовлетворяющая условиям:
гладкая;
без особых точек;
двух сторонняя;
полная;
ограниченная.
и удовлетворяющая уравнению: x=x(u;v)
y=y(u;v) (1)
z=z(u;v)
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415 (1')
На поверхности Ф определены и непрерывны 4 функции: f(x;y;z), P(x;y;z), Q(x;y;z), 13 EMBED Equation.3 1415. Гладкими или кусочно гладкими кривыми разбиваем Ф на частичные поверхности 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим точку 13 EMBED Equation.3 1415. Через 13 EMBED Equation.3 1415обозначим площадь 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Формула (2) верна и для всей площади Ф.
Составим суммы:
13 EMBED Equation.3 1415
cos x, cos y, cos z компоненты единичного вектора нормали. 13 EMBED Equation.3 1415 вектор нормали 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
def 3: Число 13 EMBED Equation.3 1415называется пределом интегральных сумм 13 EMBED Equation.3 1415 при А0, если для 13 EMBED Equation.3 1415 что для 13 EMBED Equation.3 1415 разбиения Ф на Фi , диаметр разбиения которого13 EMBED Equation.3 1415и для 13 EMBED Equation.3 1415 набора точек 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
def 4: Если существует конечный предел суммы 13 EMBED Equation.3 1415 то говорят что функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности Ф, а число13 EMBED Equation.3 1415 называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415дифференциал поверхности.
def 5: Если существует конечный предел суммы 13 EMBED Equation.3 1415, то этот предел 13 EMBED Equation.3 1415 называется поверхностным интегралом второго рода от функций P,Q,R соответственно и обозначается:
13 EMBED Equation.3 1415
Если возьмем сумму 13 EMBED Equation.3 1415, то получи общий поверхностный интеграл второго рода:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если Ф кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность x=x(u;v), y=y(u;v), z=z(u;v) 13 EMBED Equation.3 1415и f(x,y,z) функция определена и непрерывна в точках поверхности Ф, то
13 EMBED Equation.3 1415, где (3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В частном случае, если поверхность Ф имеет вид z=z(x;y) 13 EMBED Equation.3 1415 однозначная, непрерывно дифференцируемая функция, то
13 EMBED Equation.3 1415
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности Ф.
Если S гладкая двухсторонняя поверхность, S+ ее сторона, характеризуемая направлением нормали 13 EMBED Equation.3 1415 три функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
При переходе к другой стороне S– поверхности S интеграл (4) меняет свой знак на противоположный.
Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:
13 EMBED Equation.3 1415
Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, где S часть конической поверхности 13 EMBED Equation.3 1415, заключенной между плоскостями z=0, z=1.

Решение:
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415
Областью интегрирования D является круг 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2.
Вычислить13 EMBED Equation.3 1415, где T внешняя сторона части эллипсоида 13 EMBED Equation.3 1415, расположенной в первом октанте.

Решение:
Расчленяем данный поверхностный интеграл на 3 слагаемых интеграла: 13 EMBED Equation.3 1415 и пользуясь уравнением поверхности Ф, и формулой
13 EMBED Equation.3 1415
I1=13 EMBED Equation.3 1415
I2=13 EMBED Equation.3 1415
I3=13 EMBED Equation.3 1415
I1=13 EMBED Equation.3 1415
I3=13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.
Найти момент инерции полусферы 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси Oz
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость xOy, т.е. круг 13 EMBED Equation.3 1415, а поэтому, переходя к полярным координатам, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание: внутри интеграл вычисляется с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 4.
Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z=x, огран. плоскостями x+y=1, y=0, x=0.
Решение:
Найдем площадь S указанной части плоскости 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Задания:

Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4.13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 лежащая внутри цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415 лежащая внутри цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415, лежащая между конусом13 EMBED Equation.3 1415 и параболоидом 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415лежащая между плоскостями 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415, лежащая вне гиперболоида 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415лежащая внутри цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415

Вычислить поверхностный интеграл второго рода:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415

Найти:
Координаты центра масс однородной полусферы 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент инерции однородного сегмента сферы 13 EMBED Equation.3 1415 плотности
· относительно Oz.
Координаты центра масс части однородной сферы 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент инерции однородного параболоида 13 EMBED Equation.3 1415 плотности
· относительно Oz.
Момент инерции относительно плоскости xy части однородного конуса 13 EMBED Equation.3 1415 массой M.
Координаты центра масс верхней полусферы 13 EMBED Equation.3 1415, если поверхностная плотность каждой ее точки равна расстоянию от этой точки до оси Oz/
Момент инерции однородной поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 плотности
· относительно Oz.
Координаты центра масс части однородной поверхности 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент инерции части однородной верхней полусферы 13 EMBED Equation.3 1415 плотности
·, лежащей внутри цилиндра 13 EMBED Equation.3 1415 относительно плоскости.
Координаты центра масс части однородного конуса 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы:

I.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415

II.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 324

3. 88
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415

III.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415


Литература

Зорич В.А. Математический анализ. т.2–М: Наука, 1984, стр. 113-165
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. т.2–М: Высшая школа, 1989, стр. 286-490
Никольский С.М. Курс математического анализа. т.2–М: Наука, 1991, стр. 7-85
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М: Наука, 1990, стр. 406-471
Данко П.Е., Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. М: Высшая школа, 1986, стр. 6-66
Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. т.2 Минск: Высшая школа, 1988, стр. 42-122
Миронский В.П. Сборник задач по высшей математике. стр. 233-248
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука, 1985, стр. 213-247


ri+1

Di

r

ri

у=2х-1

у=2-х2

2

а

, где



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativezEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 11274028
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий