Кратные и криволинейные интегралы doc


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
..
2011
Цилинɞɪичеɫкие
ɭɪавнений
ɫечений
ɞвойноɝо
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
кооɪɞинаɬах
ɍɫловия
пɭɬи
ɞиɮɮеɪенциалов
Лиɬеɪаɬɭɪа
ЦИЛИНДɊИЧЕɋКИЕ
КАНОНИЧЕɋКИɏ
ПОɊЯДКА
Ключевые
ɭɪавнений
ɞɪɭɝих
меɬоɞом
ɫечений
пɪямоɭɝольной
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
14:
ɭɪавнение
(14.2);
ɭɪавнение
ɭɪавнение
ɭɪавнения
окɪɭжноɫɬи
( );
( );
( );
ɋɬɪɭкɬɭɪно
ɋɮеɪа
повеɪхноɫɬи
ɭɪавнения
16 (16.1).
ɫɬɭɞенɬ
ɭɛеɞиɬельная
ɭказанный

ɭɪавнения
ɬак
Повеɪхноɫɬи
вɬоɪоɝо
поɪяɞка
Поняɬие
повеɪхноɫɬи
поɪяɞка
ɋɮеɪа
Цилинɞɪичеɫкие
повеɪхноɫɬи
вɬоɪоɝо
поɪяɞка
ɋпиɫок
каноничеɫких
ɭɪавнений
ɞɪɭɝих
ɬипов
повеɪхноɫɬей
вɬоɪоɝо
поɪяɞка
ɍɪавнения
линии
пɪоɫɬɪанɫɬве
Поɫɬɪоение
повеɪхноɫɬей
ɫечений
пɪоɫɬɪанɫɬвенной
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
Повеɪхноɫɬи
вɪащения
ɝеомеɬɪии
опɪеɞеление
Опɪеɞеление
ɭɪавнению
) = 0 (1.1)
пɪямоɭɝольной
ɭɪавнение
(1.1)
алɝеɛɪаичеɫким
ɭɪавнением
ɭɪавнение
ɭɪавнение
полɭчим
ɭɪавнение
ɋлеɞɭеɬ
ɭɪавнение
ɫоɞеɪжаɬь
извеɫɬным

ɝеомеɬɪичеɫкое
ɪавноɭɞаленных
ценɬɪом
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
+ (
ɫлɭчае
=
=
= 0),
ɭɪавнение
+
=
ɭɪавнение
ɫɮеɪы
ценɬɪом
ɬочке
ɪаɞиɭɫом
ɭɫловию
= 2,
=
= 4,
= 3.
ɭɪавнение
полɭчим
+ (
+ 1)
ɪаɞиɭɫ
ɭɪавнению
+
+ 2
полɭчения
ɭɪавнения
+ (
ɝɪɭппы
пеɪеменные
ɝɪɭпп
ɞвɭчлена
+ 1)
опɭɫɬиɬь
чаɫɬи
пɪоɫɭммиɪованные
пɪавɭю
полɭчим
ɪаɞиɭɫ
Опɪеɞеление
пɪямой
паɪаллельно
пеɪеɫекая
ɞаннɭю
кɪивɭю
повеɪхноɫɬью
называеɬɫя
напɪавляющей
оɛɪазɭющей
Ȼɭɞем
ɪаɫɫмаɬɪиваɬь
оɛɪазɭющие
паɪаллельны
ɛɭɞем
цилинɞɪичеɫкɭю
повеɪхноɫɬь
оɛɪазɭющими
паɪаллельными
ɭɪавнением
) = 0 (1.2)
y
z
Пɭɫɬь
кажɞɭю
пɪямɭю
паɪаллельнɭю
цилинɞɪичеɫкɭю
Пɭɫɬь
ɭɪавнение
люɛɭю

эɬой
кооɪɞинаɬы
ɭɞовлеɬвоɪяюɬ
ɭɪавнению
(1.2).
чиɫла
ɭɪавнению
поɫколькɭ
ɬекɭщей
ɭɪавнению
ɭɪавнению
(1.2).
(1.2)
ɭɪавнением
ɭɪавнение
оɛɪазɭющими
ɭɪавнением
ɋлеɞɭеɬ
пеɪеɫекающая
вɫе
оɛɪазɭющие
заɞаеɬɫя
ɞвɭмя
ɭɪавнениями
ɫоɞеɪжиɬ
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
оɛɪазɭющая
ɫлɭчае
ɞвижɭщаяɫя
оɫɬаеɬɫя
ɭɪавнение
) = 0 (1.2)
=
ɫоɞеɪжиɬ
ɭɪавнение
) = 0
цилинɞɪичеɫкɭю
оɛɪазɭющая
ɭɪавнении
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
напɪавляющая
ɭɪавнение
) = 0
цилинɞɪичеɫкɭю
оɛɪазɭющая
ɭɪавнении
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
опɪеɞеляеɬɫя
кɪивые
оɛɪазɭющих
полɭчаем
ɭɪавнения
ɫлеɞɭющих
ɫлɭжиɬ
ɫлɭчаем
кɪɭɝовой
ɭɪавнение
=
(
ɫлɭжиɬ
поɫколькɭ
ɭɪавнения
ɭɪавнениями
ɬекɭщих
Ɋазличных
поɪяɞка
ɪазличных
кɪивых
повеɪхноɫɬь
ɭɪавнение
= 2
ɫинɭɫоиɞальный
=
=
ln x
ɭɪавнения
sinx
алɝеɛɪаичеɫкими
ɭɪавнениями
ɭɪавнении
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
оɛɪазɭющая
паɪаллельна
ɭɪавнение
+
= 4
опɪеɞеляеɬ
окɪɭжноɫɬь
заɞан
кɪɭɝовой
ɪаɞиɭɫ
y
x
y
x
=

оɛɪазɭющая
ɭɪавнении
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
паɪаɛоличеɫкий
y
x
ɭɪавнении
оɬɫɭɬɫɬвɭеɬ
оɛɪазɭющая
паɪаллельна

= 4
повеɪхноɫɬей
ɭɪавнений
ɞɪɭɝих
ɭказанных
цилинɞɪичеɫких
чиɫлɭ
ɫлеɞɭющими
ɭɪавнениями
ɭɪавнение
ɫɮеɪɭ
ɪаɞиɭɫа
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

ɞвɭхполоɫɬный
. (1.3)
конɭɫ
.
= 2
q
y
p
x
2
2


ɪаɫɫмаɬɪиваеɬɫя
пеɪеɫечение
ɞвɭх
ɫооɬвеɬɫɬвенно
опɪеɞеляеɬɫя
ɞвɭх
ɭɪавнений
) = 0
ɭɪавнения
ɞвɭх
пеɪеɫекающихɫя
меɫɬо
ɬочек
ɭɞовлеɬвоɪяюɬ
оɞновɪеменно
ɭɪавнению
ɭɪавнению
ɭɪавнения
Кɪивɭю
ɭɪавнениями
ɞвɭх
ɞвɭх
ɭɪавнений
, (1.4)
оɞнɭ
ɭɪавнения
1
14
3
2
1
2
2
2
2
2
y
x
z
y
x

окɪɭжноɫɬь
ɞвɭх
ɫиɫɬемой
ɭɪавнений
ɭɪавнение
опɪеɞеляеɬ
оɛɪазɭющей

паɪаллельнɭю
2.

плоɫкоɫɬи
пɪоɫɬɪанɫɬвенной
ɭɪавнением
) = 0 (
ɮɭнкция
неявно
ɮɭнкция
заɞана
изɭчении
пользɭюɬɫя
меɬоɞом
ɫечений
ɭɪавнению
пɭɬем
иɫɫлеɞования
паɪаллельными
изɭчении
ɮɭнкций
ɞвɭх
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
=
опɪеɞеляющая
некоɬоɪɭю
аɪɝɭменɬɭ
значение
ɬолько
ɮɭнкция
ɮɭнкцией
=
полɭченнɭю
ɮɭнкцию
ɪаɫɫмаɬɪиваем
пеɪеɫечения
=
=
Пɭɫɬь
ɭɪавнения
0
y
y
,
x
f
z
y
ɭɪавнения
ɮɭнкции
пɪи
полɭчим
ɭɪавнения
полɭченных
ɫекɭщих
плоɫкоɫɬей
кооɪɞинаɬные
= 0,
= 0,
= 0.
Повеɪхноɫɬь
=
ɭɪавнение
=
).
ɭɪавнениям
паɪаллельных
заɞаннɭю
ɭɪавнением
(1)
Ȼɭɞем
паɪаллельными
, (2)
полɭчаюɬɫя
ɭɪавнениями
(3)
ɭɪавнения
1
2
c
h
ɫлеɞоваɬельно
ɭɪавнения
ɬочек
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
(3)
(0; 0; 0),
=
ɭɪавнения
можно
(4)
ɭказанных
пеɪеɫечения
2
h
a
a
полɭоɫи
ɞоɫɬиɝнɭɬ
ɭɪавнения
пɪимɭɬ
полɭчиɬɫя
полɭоɫями
выявляеɬɫя
ɪаɫɫмоɬɪении
ɫечений
паɪаллельными
ɭɪавнениями
ɭɪавнениями
эллипɫоиɞ
замкнɭɬая
пеɪпенɞикɭляɪными
кооɪɞинаɬной
полɭоɫями
ɝипеɪɛолоиɞ
заɞаннɭю
(5)
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями
(6)
(5)
ɪаɫположеннɭю
ɫиммеɬɪично
пеɪеɫекающɭю
оɫь
ɬочках
; 0; 0)
; 0; 0)
ɫечение
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями
(7)
ɪаɫположеннɭю
пеɪеɫекающɭю
(0;
y
x
ɫечения
ɬаких
=
ɝипеɪɛолоиɞа
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями
ɭɪавнений
1)
=
(5)
полɭоɫями
2
c
h
a
a
ɪаɫположенномɭ
= 0 (
ɬоɝɞа
=
=
ɫамых
малых
ɫечении
= 0 (
называеɬɫя
); 3)
ɛеɫконечном
возɪаɫɬании
изложенноɝо
ɬɪɭɛы
ɝипеɪɛолоиɞ
ɬɪемя
пеɪпенɞикɭляɪными
плоɫкоɫɬями
ɫиммеɬɪии
кооɪɞинаɬными
полɭоɫями
Двɭхполоɫɬный
повеɪхноɫɬь
заɞаннɭю
ɭɪавнением
(9)
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями
(10)
ɭɪавнений
(10)
ɫлеɞɭеɬ
ɞейɫɬвиɬельной
ɪаɫположеннɭю
пеɪеɫекающɭю
(0; 0;
= 0)
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями
(11)
ɪаɫположеннɭю
пеɪеɫекающɭю
паɪаллельными
ɭɪавнением
=
ɭɪавнениями
(12)
ɭɪавнений
(12)
ɫлеɞɭеɬ
1)
ɭɫловии
=
ɞвɭхполоɫɬный
полɭоɫями
2
c
h
a
a
ɪаɫположенномɭ
возɪаɫɬаеɬ
ɬакже
ɭɛывая
ɭɛываюɬ
нɭлю
=
= 0,
= 0,
оɛɪазɭемый
плоɫкоɫɬью
ɞɪɭɝими
y
x
=
ɭɪавнения
(12)
опɪеɞеляюɬ
=
пɪи
ɫовɫем
ɪиɫ
ɞвɭхполоɫɬный
ɞвɭх

ɞвɭхполоɫɬный
ɛеɫконечной
выпɭклой
чаши
Двɭхполоɫɬный
оɛлаɞаеɬ
пеɪпенɞикɭляɪными
ɫиммеɬɪии
полɭоɫями
ɞвɭхполоɫɬноɝо
Конɭɫ
заɞаннɭю
ɭɪавнением
(13)
(3)
конɭɫ
Ɋаɫɫмоɬɪим
конɭɫа
= 0)
полɭчаем
ɭɪавнения
, (14)
ɪаɫпаɞающиеɫя
пеɪеɫекающиеɫя

(15)
y
x
конɭɫа
полɭчаюɬɫя
пеɪеɫекающиеɫя

паɪаллельными
= 0).
пɪимɭɬ
h
z
c
h
b
y
a
x
2
2
2
2
2
(17)
2
2
2
h
a
a
ɭɪавнений
ɫечениях
полɭчаюɬɫя
полɭоɫями
h
a
a
ɭвеличении
аɛɫолюɬной
полɭоɫи
ɭвеличиваюɬɫя
= 0
пеɪеɫечения
(0; 0; 0).
ɪаɫɫмоɬɪенные
ɫечения
конɭɫ
Иɫɫлеɞɭем
поɫɬɪоим
заɞаннɭю
ɭɪавнением
0 (18)
(18)
ɭɪавнения
ɭɪавнения
пɪимɭɬ
(19)
0
ɭɪавнения
(19)
ɬочек
0
паɪаллельные
ɞаннɭю
= 0
ɭɪавнениям
(19)
лишь
(0; 0; 0):
= 0
ɭɪавнения
запишɭɬɫя
, (20)
паɪаллельными
полɭчаюɬɫя
полɭоɫи
a
2
ɭвеличения
y
(18)
= 0).
полɭчиɬɫя
ɭɪавнениями
(21)
ɭɪавнением
= 2
(18)
= 0)
полɭчаеɬɫя
паɪаɛола
оɫью
ɫиммеɬɪии
ɪаɫɫмоɬɪенные
изоɛɪазиɬь
ɛеɫконечной
выпɭклой
ɫлɭчае
=
ɭɪавнения
(19)
окɪɭжноɫɬь
можно
ɪаɫɫмаɬɪиваɬь
оɛɪазованнɭю
вокɪɭɝ
оɫи
(1, 3)
+
= 2
(0; 0; 0)
называеɬɫя
веɪшиной
чиɫла
Ɍак
пɪямоɭɝольной
(22)
ɝеомеɬɪичеɫкий
ɫечение
(22)
полɭчаеɬɫя
ɭɪавнениями
паɪаɛолы
= 2
веɪшина
паɪаллельными
=
ɛɭɞɭɬ
полɭчаɬьɫя
(24)
коɬоɪых
(22)
= 0).
ɫлɭчае
полɭчиɬɫя
опɪеɞеляемая
ɭɪавнениями
(25)
лежиɬ
повеɪхноɫɬи
паɪаллельными
полɭчаюɬɫя
ɭɪавнения
ɛɭɞɭɬ
имеɬь
(26)
= 2
=
Полɭчим
ɭɪавнения
h
z
h
q
y
p
x
2
2
(27)
0
полɭчаеɬɫя
полɭоɫями
2

кɪивɭю
(28)
полɭоɫями
2

2
(28)
(26)
(29)
(27)
(23)
(23)
(25)
= 0
ɞвɭм
ɭɪавнениями
0
2
q
y
p
x

0
0
z
q
y
p
x
q
y
p
x
2)
(29)
паɪаɛолоиɞ
ɫеɞло
пɪямоɭɝольной

пɪямоɭɝольной
алɝеɛɪаичеɫкими
ɭɪавнениями
ɭɪавнениям
паɪаллельных
ɫекɭщих
ɛеɪɭɬɫя
паɪаллельные
Пɪи
повеɪхноɫɬи
ɫечении
полɭчаюɬɫя
окɪɭжноɫɬи
взаимномɭ
ɪаɫположению
изɭчаемой
вɪащения
оɛɪазɭюɬɫя
ɪезɭльɬаɬе
вокɪɭɝ
Пɭɫɬь
Ȼɭɞем
вɪащаɬь
эɬɭ
вокɪɭɝ
ɪезɭльɬаɬе
ɭɪавнение
меɪиɞианом
Пɭɫɬь
ɭɪавнение
меɪиɞиана
) = 0.
пɪоɫɬоɬы
пɪеɞположим
ɬой
0.
пɪоизвольнɭю
вɫякая
полɭчена
ɪезɭльɬаɬе
пеɪпенɞикɭляɪной
окɪɭжноɫɬь
оɫи
Очевиɞно
ɪаɞиɭɫ
=
ɪаɞиɭɫ
ɞɪɭɝой
межɞɭ
(0; 0;
2
x
AM
2
x
y






кооɪɞинаɬы
ɭɞовлеɬвоɪяюɬ
ɭɪавнению
2
z
;
y
x
F

N
ɭɪавнение
(1.6)
ɭɞовлеɬвоɪяюɬ
ɭɪавнению
ɭɪавнением
ɋлеɞɭеɬ
ɫлɭчае
вɪащения
вокɪɭɝ
ɭɪавнение
полɭчаеɬɫя
ɭɪавнении
полɭчиɬь
ɭɪавнение
оɛɪазованной
вокɪɭɝ
нɭжно
ɭɪавнении
замениɬь
2
x

(1.6)
полɭчиɬь
ɭɪавнение
вокɪɭɝ
нɭжно
ɭɪавнении
замениɬь
ɭɪавнение
полɭчена
пɭɬем
вɪащения
вокɪɭɝ
оɫей
ɭɪавнением
2
z
y
;
x
F
ɭɪавнение
вокɪɭɝ
оɫи
ɭказанным
ɫлɭчае
ɭɪавнении
пеɪеменнɭю
ɫооɬвеɬɫɬвɭющɭю
вɬоɪɭю
ɪезɭльɬаɬе
повеɪхноɫɬь
ɭɪавнение
ɭɪавнение
вокɪɭɝ
ɭɪавнении
пеɪеменнɭю
ɫооɬвеɬɫɬвɭющɭю
вɬоɪɭю
пеɪеменнɭю
заменяем
+
(
1)
= 0.
кɪɭɝовой
конɭɫ
ɪешение
поɫɬɪоения
оɝɪаниченноɝо
ɬело
+
+
= 4,
= 3,
= 2,
= 0,
= 0,
+
+
= 4
=
=
= 4,
= 3 (2)
паɪаллельна
оɬɪезок
3,
плоɫкоɫɬь
ɭɪавнение
ɭɪавнение
ɭɪавнение
пеɪеɫечения
паɪаɛоличеɫким
=
ɞвɭмя
= 1, 2
=

паɪаɛоличеɫкий
оɛɪазɭющей
+
= 1
паɪаллельная
паɪаллельная
ɫооɬвеɬɫɬвенно
1
2.
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
ɭɪавнением
или
ɭɪавнения
ɬолько
ɭɪавнение
виɞах
ɞвɭхполоɫɬный
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

z
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

ɭɪавнения
= 1
= 1
(2)
(3)
(1)
ɭникальным
изɭчении
ɭɪавнение
заɞанноɝо
ɭɪавнения
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
опɪеɞеление
ɝеомеɬɪичеɫкоɝо
ɭɪавнению
опɪеɞеления
оɛɪазɭющей
каноничеɫкие
ɭɪавнения
поɪяɞка
каноничеɫкие
ɭɪавнения
ɭзнаваɬь
заɞанномɭ
ɭɪавнению
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
заɞанномɭ
ɭɪавнению
кооɪɞинаɬ
цилинɞɪичеɫкие
выяɫнив
оɛɪазɭющей
изɭчении
ɝеомеɬɪичеɫкоɝо
пɪоɫɬейшие
полɭченные
ɞальнейшем
изɭчении
кɭɪɫа
маɬемаɬичеɫкоɝо
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɮɭнкции
ɞɪɭɝие
механика
ɪаɞиоɮизика
аэɪоɞинамика
ɞля
ɫамопɪовеɪки
Какɭю
опɪеɞеляеɬ
меɫɬо
ɪавноɭɞаленных
кɪɭɝовой
ɫиммеɬɪии
оɛɪазɭющей
оɛɪазɭющая
оɛɪазɭющая
оɛɪазɭющая
ɪаɞиɭɫ
= 7.
R
R
ɭɪавнение
ɪаɞиɭɫ
= 81;
+ 1)
= 9;
паɪаллельная
пеɪемещаеɬɫя
полɭоɫями
3
2.
ɭɪавнение
4
9
2
y
x
= 1
эллипɬичеɫкий
ɭɪавнений
окɪɭжноɫɬь
окɪɭжноɫɬь
окɪɭжноɫɬь
ɭказаɬь
ɫиммеɬɪии
кɪɭɝовой
вокɪɭɝ
оɫи
ɭɪавнение
= 2
паɪаɛолоиɞ
конɭɫ
конɭɫ
ɭɪавнение
полɭоɫями
7; 5/6.
25
36
7
9
2
2
z
y
x
6
5
7
3
2
2
z
y
x
пеɪеɫечена
ɭɪавнение
пеɪеɫечения
окɪɭжноɫɬь
плоɫкоɫɬи
окɪɭжноɫɬь
плоɫкоɫɬи
= 5
окɪɭжноɫɬь
ɭɪавнение
пɪи
= 3,
= 6
36
5
9
2
2
z
y
x
36
5
3
2
2
z
y
x
ВЫЧИɋЛЕНИЕ
ИНɌЕȽɊАЛА
ДЕКАɊɌОВОЙ
ПɊЯМОɍȽОЛЬНОЙ
КООɊДИНАɌ
3.1.
3.2.
3.3.
ɫɭщеɫɬвования
3.4.
ɋвойɫɬва
3.5.
кооɪɞинаɬах
3.6.
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
опɪеɞеление
инɬеɝɪала
( );
опɪеɞеленноɝо
(
вычиɫление
ɮоɪмɭле
Ньюɬона
ɋɬɪɭкɬɭɪно
цилинɞɪичеɫкоɝо
Пɭɫɬь
замкнɭɬый
конɬɭɪ
имеющɭю
опɪеɞеленнɭю
напɪавляющɭю
оɛɪазɭющие
ɛɭɞɭɬ
Пɭɫɬь
ɭɪавнением
=
0),
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
кɭɫок
пɪоекɬиɪɭеɬɫя
ɪезɭльɬаɬе
полɭчено
Опɪеɞеление
паɪаллельная
ɛолее
чем
оɛɪазɭющая
паɪаллельна
ɫлɭчае
оɬɫɭɬɫɬвоваɬь
Напɪимеɪ
полɭɫɮеɪой
= 0
имея
Пɭɫɬь
оɝɪаниченное
=
Ɍɪеɛɭеɬɫя
вычиɫлении
ɪазɛиɬь
ɛɭɞеɬ
ɪавен
ɫɭмме
Двойной
инɬеɝɪал
вычиɫлении
оɛъема
цилинɞɪичеɫкоɝо
ɬела
Опɪеɞеление
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
ɫɭщеɫɬвования
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
ɋвойɫɬва
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
ɞекаɪɬовых
кооɪɞинаɬах
Пеɪемена
поɪяɞка
инɬеɝɪиɪования


(

оɝɪаниченноɝо
ɭмноженной
Ȼɭɞем
ɫчиɬаɬь
ɮɭнкцию
=
�) 0
оɛлаɫɬь
чаɫɬичных
Ȼɭɞем
ɝɪаницɭ
цилинɞɪичеɫкɭю
оɛɪазɭющей
паɪаллельной
ɪазɪежɭɬ
кɭɫков
ɬел
внɭɬɪи
ɬочкɭ
ɛɭɞем
Найɞем
значения
ɮɭнкции
), ,
цилинɞɪичеɫких
пɪямым
=
ɪезɭльɬаɬе
полɭчим

ɫɬɭпенчаɬое
ɭчиɬывая
ɪавен
Пɭɫɬь
чиɫло
чаɫɬичных
неоɝɪаниченно
Поɬɪеɛɭем
0,
нɭлю
межɞɭ
нɭлю
ɫлɭчае
пɪеɞелɭ
ɫɬɪемиɬɫя
нɭлю
чаɫɬичных
ɋɭмма
инɬеɝɪальной
ɫɭммой
ɮɭнкции
ɫооɬвеɬɫɬвɭющей
чаɫɬичных
оɛъема
(3.1).
пɪеɞелɭ
ɫɭммы
нɭлю


(
(3.1)
ɋлеɞɭеɬ
пɪиложениях
Пɭɫɬь
кооɪɞинаɬной
замкнɭɬая
пɭɫɬь
ɮɭнкция
=
оɛлаɫɬь
площаɞи
ɞиамеɬɪы
ɮɭнкции
=
ɭмножим
элеменɬаɪной
ɫɭммɭ
ɬаких
(3.1)
ɫɭмма
ɫɭммой
Пɭɫɬь
ɛолее
мелким
0,
неоɝɪаниченно
инɬеɝɪальная
ɫɭмма
опɪеɞеленный
называеɬɫя
Опɪеɞеление
ɮɭнкции
замкнɭɬой
инɬеɝɪальной
ɫɭммы
(2.1).
оɛлаɫɬь
неоɝɪаниченно
ɞиамеɬɪов
ɫɬɪемиɬɫя
нɭлю

(3.2)
ɮɭнкция
элеменɬ
(3.1)
(3.2),
ɝеомеɬɪичеɫкий
замкнɭɬой
оɛлаɫɬи
ɮɭнкции
ɫвеɪхɭ
повеɪхноɫɬью
ɮɭнкции
ɫɭщеɫɬвования
ɮɭнкций
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
ɞвойной
инɬеɝɪиɪɭемая
ɮɭнкция
ɞолжна
замкнɭɬой
ɫлɭчае
ɫчеɬ
инɬеɝɪальнɭю
ɫɭммɭ
ɭɝоɞно
ɫɭщеɫɬвовало
ɫɭммы
нɭлю
опɪеɞеление
ɮɭнкции
ɞвɭх
ɮɭнкция
=
называеɬɫя
ɬочке
0
0
;
x
f
y
;
x
f
lim
y
x
x
Фɭнкция
=
замкнɭɬой
незамкнɭɬой
кажɞой
ɮɭнкции
замкнɭɬой
ɮɭнкция
замкнɭɬой
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
оɛлаɫɬи
)|
ɋɮоɪмɭлиɪɭем
ɭɫловия
ɫɭщеɫɬвования
ɮɭнкция
замкнɭɬой
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
инɬеɝɪала
ɫооɬвеɬɫɬвɭющими
опɪеɞеленноɝо
инɬеɝɪала
аналоɝичны
Иɫɬочником
ɫлɭжиɬ
пɪеɞелов
ɮɭнкций
ɞвɭх
пеɪеменных
ɫвойɫɬв
пɪи
желании
ɫɬɭɞенɬ
можеɬ
ɫɭммы
ɮɭнкций
алɝеɛɪаичеɫкой
ɫɭмме
ɮɭнкций
y
;
x
h
y
;
x
q
y
;
x
f
D
D
y
;
x
h
ds
y
;
x
q
ds
y
;
x
f
чаɫɬичных
межɞɭ
внɭɬɪенним
ɛɭɞеɬ
ɫɭмме
оɛлаɫɬям
ɮɭнкции
ɮɭнкция
Неɪавенɫɬво
межɞɭ
можно
f (х; ɭ) ≠ φ (х; ɭ)]. 6. Аɛɫолюɬная величина ɞвойноɝо инɬеɝɪала не пɪевоɫхоɞиɬ инɬеɝɪала
ɮɭнкции
межɞɭ
имееɬ
ɬолько
ɬом
ɫлɭчае
ɮɭнкция
ɫлɭчае
люɛоɝо
полɭчим
ɞвойной
ɮиɝɭɪ
Еɫли
ɮɭнкция
замкнɭɬой
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
ɭɫловию
ɮɭнкция
замкнɭɬой
оɛлаɫɬи
ɮɭнкции
Инɬеɝɪиɪɭя
ɛɭɞем
как
неɪавенɫɬва
S
ds
y
;
x
f
m
межɞɭ
чиɫлами
ɮɭнкция
замкнɭɬой
межɞɭ
пɪомежɭɬочные
значения
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
0
;
x
f
S
ds
y
;
x
f
0
оɛлаɫɬи
ɞопɭɫкаеɬ
ɫлеɞɭющее
цилинɞɪичеɫкоɝо
ɫвеɪхɭ
повеɪхноɫɬью
=
ɪавен
оɫнованием
выɫоɬой
ɮɭнкции
ɞвойноɝо
(3.4).




0. (3.4)

D
y
;
x
f
ds
y
;
x
f
ds
y
;
x
f
ds
y
;
x
f
0
Опɪеɞеление
),
паɪаллельная
оɛлаɫɬи
ɞвɭх
ɬочках
Пɪавильнɭю
пɪямоɭɝольник
паɪаллельными
оɛлаɫɬь
ɭɞоɛно
паɪаллельными
пɪямоɭɝольника
очевиɞно
элеменɬ
площаɞи
=

=

запиɫаɬь
заɞача















Ȼɭɞем
Пɭɫɬь

ɭɪавнения
а, b] и чеɪез эɬɭ
паɪаллельнɭю
пеɪеɫекающɭю
цилинɞɪичеɫкое
полɭчим
кɪиволинейнɭю
ɫечения
ɮɭнкция

ɮɭнкции
ɪаɫɫмаɬɪиваемой
ɮɭнкция
пɪичем
=

ɭɪавнение
ɭɪавнение
взяɬом

площаɞь
попеɪечноɝо
пеɪпенɞикɭляɪной
=
=

ɭɪавнения

чаɫɬь

ɞвойной

ɞвɭкɪаɬный
внɭɬɪенним
Внɭɬɪенний
ɫечение



















пɪавильная
вывоɞе
еɫли
ɮɭнкция
замкнɭɬой
ɞвɭмя
=
=
ɞвɭмя
=
),
=
ɮɭнкции
а, b], пɪичем φ1 (х) ≤ φ2 (х), ɬо имееɬ меɫɬо

(3.5)
пɪичем
пеɪвɭю
ɭɫловию
кɪɭɝа
(0; 0)
ɪаɞиɭɫом
наɞо
межɞɭ
закɪепиɬь
какɭю

пɪовеɫɬи
эɬɭ
лɭч
паɪаллельно
ɛɭɞеɬ
лɭч
ɬем
значением
лɭч
Дɪɭɝими
лɭча
неоɛхоɞимо
чеɪɬеж
хɭже
лɭчше
чем
ɞолжны
ɞеле
ɛɭɞеɬ
) = 0,
2
2
R
x





(3.5),
полɭчим
оɮоɪмление
внɭɬɪенний
инɬеɝɪал
R
x
R
R
x
R
R
x
R
x
dx
y
x
dy
y
x
dx
2
2
2
0
0
2
2
0
2
0
1
2
2
2
2




5
5
0
5
3
2
1
5
3
2
1
5
3
2
1
R
R
R
x
x
R
1)
пɪямоɭɝольник
ɛɭɞɭɬ
поɫɬоянными

внɭɬɪенний
нɭжно
ɛɪаɬь
лɭч
пɪовоɞиɬь

пɪавильная
внɭɬɪенний
нɭжно

ɫлɭчае
нижняя
ɭɪавнения
ɫлеɞɭеɬ
пɪямыми
или
чаɫɬи
оɞним
ɭɪавнением

































изоɛɪаженной
ɞвɭх
ɞвɭкɪаɬных

ɞвɭх
ɞвɭкɪаɬных

ɞвɭкɪаɬномɭ
полɭчаеɬɫя
пɪямыми
= 2,
= 0.
+
= 2
=
ɭɪавнений
= 1.
оɛлаɫɬи
ɭɪавнением
ɝɪаница
ɞвɭх
кɭɫков
) =
0
1)
) = 2
1
2).
ɫлɭчае
[0, 2]
[0, 1]
[1, 2],
ɪаɫɫмоɬɪеɬь
ɫɭммы
ɞвɭкɪаɬных

внɭɬɪеннее
лɭч
аɛɫциɫɫы
выхоɞа
лɭча

yx
x
dx
y
x
dy
dy
dx
y
x
y
y
y
D
2
1
0
2
2
1
0
0
2
2
2
2
1
0
2
2
2
2
4
4
4
2
1
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
dy
y
y
y
y
y

инɬеɝɪиɪования
инɬеɝɪиɪования
ɞвɭкɪаɬном

внɭɬɪенний
инɬеɝɪалы
1
1
2


D
пɪавильная
, (3.6)

пеɪемене
вɫеɝɞа
ɫɭммы
нɭжной
ɞвɭкɪаɬном
ɭɫловию
= 0,
= 1,
: 0
x
y
x
полɭчено
ɭɪавнения
1)
+
= 1.
ɭɪавнение
окɪɭжноɫɬи
(1; 0),
ɪаɞиɭɫ
= 1,

ɞɭɝа
эɬой
окɪɭжноɫɬи
оɛлаɫɬь
внɭɬɪенний
лɭч
паɪаллельно
ɭɪавнения
окɪɭжноɫɬи
1)
+
= 1.
1
x

лɭча
=

полɭчим
ɞвɭкɪаɬном
ɭɫловию
заɞачи
инɬеɝɪиɪования
3



начало
ɞɭɝа
окɪɭжноɫɬи
1







+
= 25,
ɪаɞиɭɫ
= 5,
окɪɭжноɫɬи
кооɪɞинаɬ
ɭɪавнений
4
3
x
y
x
,
полɭчим
= 4,
оɛлаɫɬь
кɭɫками
ɞвɭх
ɫлеɞоваɬельно
ɭɪавнения
полɭчим
y
3
4
x
y







3
4




ɫɭммɭ
ɞвɭкɪаɬноɝо
заɞачи
поɞɫказываеɬ
оɛлаɫɬь
чаɫɬичных
оɝɪаничена
= 0,
= 1/2,
веɬвью
ɫиммеɬɪии
= 1/2,
= 0,
= 1,
x
= 0
ɞɭɝой
окɪɭжноɫɬи
= 3,
ɝɞе
(1/2; 1)
= 1/2;
x

окɪɭжноɫɬи
ɭɪавнениям
виɞно
5




x
4
3




D

y
2
x
y
1
оɝɪаничена
ɞвɭмя
= 0,
= 1
ɞвɭмя
кɪивыми
1
y
: 0
1
2
2
y
x
y
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
опɪеɞеление
кɭɪɫа
завиɫимоɫɬи
ɭɫловия
можеɬ
Оɛɪазɭющие
ɫооɬвеɬɫɬвенно
ɛɭɞɭɬ
паɪаллельны

эɬо
опɪеɞеленноɝо
ɮɭнкции
ɞвɭх
пеɪеменных
ɮɭнкции
замкнɭɬой
являеɬɫя
ɭɫловием
ɫɭщеɫɬвования
пɪименяюɬɫя
ɞвɭх
опɪеɞеленных
ɫначала
вɪемя
ɪешения
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
опɪеɞеление
ɫоɫɬавления
ɫɭммы
ɮɭнкции
замкнɭɬой
опɪеɞеление
ɞвɭкɪаɬный
инɬеɝɪал
ɞвɭкɪаɬноɝо
оɞной
поɫлеɞоваɬельноɫɬью
инɬеɝɪиɪования
ɞвɭкɪаɬномɭ
ɞɪɭɝой
поɫлеɞоваɬельноɫɬью
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
ɬела

кɭɫок
оɝɪаничивающий
ɬело
ɫвеɪхɭ
оɛлаɫɬи
неɪавенɫɬв
ɭɪавнениями
ɞвойной
чиɫла
опиɪаяɫь
Ньюɬона
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
механика
конɫɬɪɭкции
ɞля
ɫамопɪовеɪки
ɫɭммы
ɮɭнкции
замкнɭɬой
ɮɭнкции
)?
ɫпоɫоɛа
чаɫɬичные
выɛоɪа
внɭɬɪи
чаɫɬичных
цилинɞɪичеɫкой
оɛɪазɭющая
коɬоɪой
оɫи
ɭɪавнение
ɫвеɪхɭ
=
= (
= (
= 3

a
ab
2
a
пɪеɞелы



2
.);
8
1
2
2
1
0
y
x
dx
полɭоɫями
= 3,
= 2,
оɝɪаничивающий



2
3
2
9
3
2
3
3
y
D
y
;
x
f
dx
dy
dx
y
;
x
f
КООɊДИНАɌАɏ
ȽЕОМЕɌɊИЧЕɋКИЕ
ПɊИЛОЖЕНИЯ
5.1.
5.2.
ɫлɭчай
5.3.
5.4.
5.5.
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
3:
ɞвойноɝо
чаɫɬные
ɮɭнкции
ɞвɭх
( );
ɋɬɪɭкɬɭɪно
поляɪных
кооɪɞинаɬах
опɪеɞеленных
вычиɫлении
ɞвойных
инɬеɝɪалов
пеɪеменные
вычиɫление
Пɭɫɬь
инɬеɝɪала
ɞекаɪɬовой
Двойной
инɬеɝɪал
поляɪных
кооɪɞинаɬах
Ƚеомеɬɪичеɫкие
пɪиложения
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
поляɪных
кооɪɞинаɬах
Оɛщий
пеɪеменных
ɞвойном
инɬеɝɪале
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
оɛъемов
помощью
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
площаɞи
повеɪхноɫɬи
лɭч
внɭɬɪеннюю
ɞвɭх
ɬакɭю
оɛлаɫɬь
пɪавильной
ɞвɭмя
кɪивыми
ɞвɭмя
лɭчами
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
=
ɞля
инɬеɝɪальнɭю
ɫɭммɭ
ɫɭммы
ɭɞоɛным
Ɍаким
ɭɞоɛным
вычиɫления
ɛɭɞеɬ
лɭчей
=
=
=
=
=



=
=
=

ɮɭнкции
значение
ɮɭнкции
пɪомежɭɬке
α, β], ρ0ρ1ρ2ρɬ). Чаɫɬичными оɛлаɫɬями Si ɛɭɞɭɬ
чеɬыɪехɭɝольники
ɞɭɝами
ɪаɞиɭɫами
оɛлаɫɬи
ɭчиɬывая
ɫекɬоɪа
1
S
i
i
i
i
i
2
1
2
1

i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
1
2
2
1
2
2
i
i
ɪаɞиɭɫ
межɞɭ
полɭчили
пɪоизвольных
ɬочек
окɪɭжноɫɬях
ɪаɞиɭɫами

ɫɭмма
ɮɭнкции
пɪеɞелɭ
ɞвɭкɪаɬномɭ
пеɪеменным
ɫначала
инɬеɝɪиɪɭюɬ
поɬом
изменяеɬɫя
ɭɪавнение
лɭча
лежиɬ
ɭɪавнение

1
sin
,
cos
f
d
d
d
sin
,
cos
f




S
меɫɬо

(5.1)
иɫпользоваɬь
ɭɞоɛно
ɫлɭчаях
ɮɭнкция
ɬех
ɫлɭчаях
ɞɭɝи
лɭчи
выхоɞящие
поляɪным
=
=
si
+
=
ɞвойной
D
d
d
d
3
меняеɬɫя
0
внɭɬɪеннеɝо
ɭɝлом
лɭч
Пɪеоɛɪазɭем
ɭɪавнение
=
ɛɭɞеɬ
ɭɪавнения
ɛɭɞеɬ
cos
b
0
2
0
2
2
0
2
1
a
sin
cos
b
sin
cos
d
d
d
d
d
cos
b
sin
cos
a
0
1
sin
a
cos
sin
b
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
sin
cos
sin
a
cos
sin
cos
sin
b






ɞвойном
ɞанноɝо
ɮɭнкции
заɬɪɭɞниɬельным
ищɭɬ
ɞɪɭɝɭю
еɫɬь
иɫпользɭюɬ
поɞɫɬановке
изменяеɬɫя
Дɪɭɝими
ɫловами
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
замкнɭɬой
ɮɭнкции
ɫɭщеɫɬвɭеɬ
ɮоɪмɭл
) (1)
Ȼɭɞем
ɫчиɬаɬь
опɪеɞеляюɬɫя
) (2)
ɮоɪмɭл
(2)
пɪямоɭɝольными
Пɭɫɬь
оɛɪазɭеɬ
оɝɪаниченнɭю
замкнɭɬɭю
Фоɪмɭлы
(1)
кооɪɞинаɬ
(2)
ɮɭнкции
(1)
(3)
нɭля
замены
(3)
ɮɭнкциональным
ɮɭнкций
ɫлɭчай
пеɪеменных
ɞвойном
=
),
=
пеɪевоɞиɬ
замкнɭɬɭю
оɝɪаниченнɭю
замкнɭɬɭю
оɝɪаниченнɭю
еɫли
ɮɭнкции
=
=
нɭля
непɪеɪывна

(5.2)
2.
2,
+

ɞоɫɬаɬочно
ɫвеɞения
неоɛхоɞимо
пеɪеменных
ɭпɪоɫɬиɬь
+
= 1
+
= 2
= 1
= 2
. 5.4),
=1
=3
= 1
= 3.
Паɪаллелоɝɪамм
пɪеоɛɪазɭеɬɫя
пɪямоɭɝольник
пеɪвое
ɭɪавнение
ɭɪавнением
u
y
2
3
1
окончаɬельно
полɭчаем
1
2
1
1
3
1
2
v
du
dv
du
v
dy
dx
y
x
D
4
1
2
3
4
3
4
1
9
6
1
2
3
1
1
2
1
2
1
3
1
2
du
du
v
Пɪеоɛɪазование
якоɛианɭ
1/2 3/2

= 1

= 3
= 2
= 1
= 1
= 2
(5.1).
площаɞей
инɬеɝɪала
оɬнеɫена
кооɪɞинаɬ
ɮиɝɭɪы
ɮиɝɭɪы
+
= 4
= 3

пеɪеɫечения
ɪешая
ɭɪавнений
(3
= 4
10
� + 9 = 0 =
= 1,
= 9,
= 2,
= 5.
Полɭчили
(1; 2)
(9; 5),
ɭɫловию
0,
ɫлеɞоваɬельно
(1; 2).
заɞаннɭю
оɝɪаниченна
ɞвɭмя
= 0,
= 2
ɞвɭмя
1
y

площаɞь
заɞанной
0
2
3
2
0
3
2
0
3
2
2
2
y
y
dy
x
dx
dy
dy
dx
S
y
D
y
4.
ɮиɝɭɪы
оɝɪаниченной
ɭɪавнением
=
+
) (
ɭɪавнение
ɫɭммɭ
+
ɭɪавнение
пɪеоɛɪазɭем


1
2
3
0


=
+
=
+
меняеɬɫя
(
(
ɫлеɞоваɬельно
ɬолько
пеɪвой
sin
cos
a
0
0
0
,
a
sin
cos
a
0
16
1
16
9
6
6
6
4
,
a
sin
cos
a
0
16
4
16
4
4
4
4
4
,
a
sin
cos
a
0
16
9
16
1
3
3
3
4
ɮиɝɭɪɭ
ɭчиɬывая
1
0

ɫлеɞоваɬельно
d
d
S
cos
a
sin
cos
a
4
2
4
4
2
0
2
0
0
4
4
2
2
2
2
2
2
2
0
4
4
2
2
2
cos
sin
sin
cos
a
d
sin
cos
a
2
2
2
0
2
0
2
2
4
1
4
3
2
4
4
1
1
2
2
2
1
1
2
cos
a
d
cos
a
d
sin
a
(5.3).
пɪавильная

(5.3)
оɛлаɫɬи
=
=
ɞвɭмя
=
=

1
чаɫɬичные

=
0,
= 0
оɛɪазɭющие
паɪаллельны
ɫлɭжиɬ
конɬɭɪ
5.
ɬела
= 2
+
+ 1
оɛъем
нɭжно
найɬи
ɫечений
= 2
+
+ 1.
Пеɪеɫечем
= 0).
опɪеɞеляеɬɫя
ɭɪавнениями

(0; 0; 1),

ɫиммеɬɪии
пеɪеɫечении
полɭчим
паɪаɛолɭ
опɪеɞеляемɭю
ɭɪавнениями
(0; 0; 1)

+
=
1.
Очевиɞно
1.
плоɫкоɫɬью
Полɭчим
ɭɪавнение
= 1,

полɭоɫи
эллипɫа
кооɪɞинаɬ
ɪиɫ
+
= 1,
1
паɪаллельная
повеɪхноɫɬью
ɭɪавнение
+ 2;
3
2
3
x
z
9
1
3
1
3
z
5
3
1
3
z
ɫлеɞоваɬельно


+
+ 1,
+
= 1,
= 0,
= 0,
1
инɬеɝɪиɪɭем
оɫи
1

0
1
0
3
2
1
0
2
2
1
0
2
2
2
1
2
1
2
dx
y
y
y
x
dy
y
x
dx
dy
dx
y
x
V
x
D
0
2
4
4
3
1
0
3
2
1
12
1
2
3
2
1
3
1
1
2
x
x
x
x
dx
x
x
x
x

кɭɛ
нɭжно
оɝɪаничено
ɫвеɪхɭ
0,

0,
ɞвɭх
ɬел

ɬело

0
ɞвойной
;
x
f


ɮɭнкция
dx
y
;
x
f









(0, 1, 2)
3
2
3
1
;






заɞана
ɭɪавнение
пеɪеɫечения
2, 3
= 6,
окɪɭжноɫɬь
= 2,
ɪаɞиɭɫ
(0; 0; 2).
= (
веɪшина
(0; 0; 4)
веɬви
= (
вниз
ɫооɬвеɬɫɬвенно
= 0)
= 0).
= 2 (
1)
(0; 0; 1),
= 2 (
1)
плоɫкоɫɬи
= 0)
1)
= 0)
полɭченным
ɪезɭльɬаɬам
. 5.9).
ɞвɭмя
ɫлеɞоваɬельно


кɪɭɝ
Пɪеоɛɪазɭем

1
2
1
1
2
2
2
2
1
sin
cos
y
;
x
f
z
0
2
2
0
2
2
3
3
2
1
4
d
d
d
V
кɭɛ

= 2 +
помощью
ɞвойноɝо
ɭɫловия
можно
,
0;
,
0;
(5.4)

плоɫких
Пɭɫɬь
ɭɪавнением
ɮɭнкция
опɭɫɬим
(5.5)
2
2
x
R
z

2
2
2
2
2
x
R
x
y
x
R
y
;
x
f
x
2
2
2
2
2
x
R
y
y
x
R
y
;
x
f
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
x
R
y
y
x
R
x
y
;
x
f
y
;
x
f
x

кɪɭɝ
ɪаɞиɭɫом
:

2
R



2
R

полɭченноɝо


2
2
x
R
z
0
R
R
d
R
R
d
d
R
R
d
S
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
0
1
8.
+
+
= 2
=
= 2
. 5.11);
=
кɪɭɝовой
оɛɪазɭющей
паɪаллельной
ɪаɞиɭɫ
=
=
= 0,
=
).
= 0,
=
=

(0;
Дɭɝа

линия
пеɪеɫечения
Площаɞь
1.
) = (2
Ȼɭɞем
имеɬь
1.

кɪɭɝа
ɪаɞиɭɫа
ɫлеɞоваɬельно
dy
dx

изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
мноɝих
пɪиклаɞноɝо
пɪеоɛɪазɭеɬɫя
инɬеɝɪалɭ
пеɪеменных
ɫлɭчаем
пеɪеменных
ɭɪавнения
площаɞь
нɭжно
чаɫɬь
оɝɪаничивающей
ɫвеɪхɭ

2

2





ɬолько
ɮиɝɭɪы
кɭɫка
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
ɞвойном
пɪеɞелы
инɬеɝɪиɪования
ɫлɭчае
замены
ɮиɝɭɪы
ɭɪавнения
заɞаны
(5.4);
пɪоизвоɞных
ɮɭнкции
ɞвɭх
1.
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
кооɪɞинаɬах
ɭɪавнения
пеɪеменных
ɭɫловию
нɭжнɭю
чиɫла
опɪеɞеленных
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
механика
механика
конɫɬɪɭкции
ɞля
ɫамопɪовеɪки
поляɪных
2
4
= 2
=
= 0.
поляɪных
окɪɭжноɫɬью
cos
sin
,
cos
f
d
4
0
sin
,
cos
f
d
0
2
0
sin
,
cos
f
d
0
4
0
0
2
2
0
sin
d
8
: 1
2
: 0
/4
: (9/4)
заɞана
0
= 4

= 0.
2
6
ПɊИЛОЖЕНИЯ
ДВОЙНОȽО
7.1.
7.2.
ɋɬаɬичеɫкие
моменɬы
оɬноɫиɬельно
7.3.
ценɬɪа
7.4.
Моменɬы
7.5.
Ценɬɪоɛежный
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
3:
(3.2);
ɋɬɪɭкɬɭɪно
Механичеɫкие
пɪиложения
ɞвойноɝо
инɬеɝɪала
плоɫкой
неоɞноɪоɞной
неоɞноɪоɞной
оɬноɫиɬельно
кооɪɞинаɬ
Кооɪɞинаɬы
ценɬɪа
ɬяжеɫɬи
плоɫкой
неоɞноɪоɞной
Моменɬы
инеɪции
неоɞноɪоɞной
оɬноɫиɬельно
Ценɬɪоɛежный
поляɪный
неоɞноɪоɞной
ɬонкой
плаɫɬины
ɬонкɭю
плаɫɬинɭ
занимающɭю
Ɍолщинɭ
эɬой
ɛɭɞем
ɫчиɬаɬь
Повеɪхноɫɬной
ɭɫловии
плаɫɬины
маɫɫа
Пɭɫɬь
неоɞноɪоɞная
=
кооɪɞинаɬ
Вычиɫлим
маɫɫɭ
чаɫɬичных
оɛлаɫɬей
паɪаллельными
чеɪез
ɬочке
маɫɫа
Пɪоɫɭммиɪовав
= 1
=
полɭчим
ɫɭмма
ɮɭнкции
полɭчим
нɭлю

неоɞноɪоɞной
плоɬноɫɬь
=
плоɫкоɫɬи
(7.1)
ɫлеɞоваɬельно
полɭченноɝо
ɫлеɞɭеɬ
ɞвойноɝо
ɮɭнкции
ɪавен
ɮɭнкции


S
кваɞɪаɬɭ
ɪаɫɫɬояния
. 7.2).
(0, 0)
ɞиаɝоналей
ɪаɫɫɬояние
ɭɫловию
кажɞой
+

ɪаɫɫɬояния
кооɪɞинаɬ
(7.1)
ɮɭнкция
оɛлаɫɬи
0
y
y
x
k
dy
y
x
k
dx
m
a
a
a
0
0
3
2
0
2
2
0
4
4

2.
кɪɭɝлой
ɪаɞиɭɫа
повеɪхноɫɬная
маɬеɪиала
кɪɭɝа
Пɭɫɬь
ɭɫловию

ɮоɪмɭле
ɮɭнкция
оɛлаɫɬь
ɞвойной
кɪɭɝа
1

D



0
ɭчиɬывая
=
ɛɭɞем
R
d
k
d
sin
cos
k
d
m
2
0
0
2
2
2
2
0
2
4









ɋɬаɬичеɫкие
плаɫɬины
оɛлаɫɬи
ɫоɫɪеɞоɬочим
маɫɫɭ
оɛлаɫɬи
=
ɛɭɞем
ɫчиɬаɬь
кажɞɭю
чаɫɬичных
ɬочки
эɬой
ɫооɬвеɬɫɬвɭющей
=
=
=
=
Пɪоɫɭммиɪовав
= 1
=
полɭчим
пɪеɞелɭ
ɭɫловиях
полɭчим
ɮоɪмɭлы
неоɞноɪоɞной
оɬноɫиɬельно
маɬеɪиальной
оɛлаɫɬь
ɮɭнкцией
оɬноɫиɬельно
(7.2)
3.
занимающей
оɛлаɫɬь
оɝɪаниченнɭю
ɞɭɝой
2
2
2
b
y
a
x

b
запишем
Полɭоɫи
ɫлеɞоваɬельно
пеɪеɫекаюɬɫя
ɭɫловию
=
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
x
a
a
b
x
a
a
b
dx
y
dy
y
dx
M
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
a
x
ax
a
b
dx
x
ax
a
x
a
a
b
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
0
3
2
2
2
a
a
a
b
a
a
a
b
x
ax
a
b
ɫɬаɬичеɫкий
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
b
x
a
x
a
b
dx
y
x
dy
x
dx
M
b
a
b
a
b
a
b
2
2
0
0
2
2
2

x
a
x
a
a
b
dx
x
ax
x
a
d
x
a
a
b
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
6
3
2
3
1
3
3
3
3
b
a
a
b
a
a
a
a
b
моменɬ
кɪɭɝа
плоɬноɫɬи
ɭпоминаеɬɫя
ɪавной
Пɭɫɬь
ɪаɞиɭɫ
кɪɭɝа

кɪɭɝа
лежиɬ
кооɪɞинаɬы
окɪɭжноɫɬи
= 2
кɪɭɝа
поляɪным
ɭɪавнение
= 2






2

полɭчим
4
3
0
2
0
3
2
0
2
0
3
1
3
d
sin
R
d
sin
d
sin
d
M
R
sin
R
x
2
3
2
0
2
2
3
2
1
3
8
2
2
1
3
8
d
cos
R
cos
sin
d
sin
R

3
0
2
3
4
1
2
1
3
2
2
2
2
1
4
1
3
8
d
cos
cos
R
d
cos
cos
R

Ценɬɪом
коɬоɪая
ɪавной
плаɫɬины
моменɬы
ɫооɬвеɬɫɬвɭющим
ɫлеɞɭеɬ

ɬочки
ɮиɝɭɪы
),
Оɬкɭɞа
M
x
M
y
dx
y
,
x
m
y
dx
y
,
x
x
M
x
dx
y
,
x
y
M
D
dx
y
,
x
dy
dx
y
,
x
x
x
=
выноɫя
поɫɬояннɭю
полɭчим
dx
x
S
x
1
площаɞь
ɮиɝɭɪа
ɬочке
поляɪной
ɞля
D
D
d
cos
S
d
d
d
d
cos
x
2
0

ɭɫловии

плоɫкой
занимающей
оɛлаɫɬь
(7.3)
D
dx
dy
dx
x
x
ɮиɝɭɪы
плаɫɬины
+ 4,
+ 4.
пеɪеɫечения
6
= 2.
ɬочках
(0; 2)
лежиɬ
ɫлеɞоваɬельно
= 0.
найɬи
ɮиɝɭɪы

4
4
4
2
x
y
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
0
4
2
8
2
4
4
2
4
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
4
4
4
2
y
y
dy
y
y
dy
x
dx
dy
S
y
y
y




4
y
x
4
x
3
16
2
3
3
8
8
2
3
3
4
2
3
3
12
2
1
0
3
2
0
2
y
dy
y
0
2
2
2
2
2
0
4
4
2
4
4
2
0
0
4
2
4
16
1
2
4
1
2
8
1
8
1
2
4
2
2
2
4
2
y
y
dy
x
dx
x
dy
dx
dy
x
x
y
y
D
0
2
4
4
2
2
0
2
4
4
2
16
8
4
32
64
8
1
16
16
8
4
8
16
8
1
y
y
y
y
dy
y
y
y
y
0
5
3
2
0
4
2
3
8
48
16
8
1
3
24
48
16
8
1
y
y
y
dy
y
y
2
5
256
128
1
5
96
64
96
16
8
1
ɬяжеɫɬи
ɮиɝɭɪы
6.
площаɞи
=
si
=
полɭчим
ɛɭɞеɬ
D
d
d
d
cos
x
0
ɭчиɬывая
0
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
1
2
sin
a
d
d
d
S
a
sin
a
2
4
4
4
1
4
2
4
1
2
2
2
0
2
2
0
2
a
sin
a
d
cos
a
S
d
cos
cos
d
cos
d
d
d
cos
a
sin
a
D
2
0
2
0
3
2
0
2
2
0
2

0
2
4
3
2
0
4
3
3
2
0
3
3
8
8
3
2
3
1
sin
sin
cos
a
d
cos
sin
a
d
sin
a
cos
0
6
4
3
2
0
2
4
3
8
1
3
8
d
cos
cos
a
cos
d
cos
cos
a
16
35
2
3
8
7
1
5
1
3
8
7
5
3
8
3
3
2
0
7
5
3
a
a
cos
cos
a
128
105
8
16
8
105
16
3
2
3
0
a
a
a
:
a
x
d
sin
0
2
0
3
2
0
2
2
0
2
sin
d
d
sin
d
d
sin
a
sin
a
D
0
2
4
3
2
0
3
3
3
2
0
3
3
8
8
3
2
3
1
cos
cos
sin
a
d
cos
sin
sin
a
d
sin
a
sin
0
6
4
3
2
0
2
4
3
8
1
3
8
d
sin
sin
a
sin
d
sin
sin
a
16
35
2
3
8
7
1
5
1
3
8
7
5
3
8
3
3
2
0
3
5
3
a
a
sin
sin
a
128
105
8
16
8
105
16
3
2
3
0
a
a
a
:
a
y

неоɞноɪоɞной
оɬноɫиɬельно
1.
Моменɬом
оɬноɫиɬельно
ɪаɫɫɬояния
2.
маɬеɪиальной
ɫɭмма
Пɭɫɬь
непɪеɪывнɭю
Ɋазɛив
= 1, 2,
коɬоɪых
пɪоизвольнɭю
),
маɬеɪиальных
=




пɪиɛлиженное
моменɬов
они
ɫɭммы
ɞля
ɮɭнкций
пɪеɞелɭ
0 (
полɭчаем
аналоɝичнɭю
(7.4).
маɬеɪиальной
оɛлаɫɬь
маɬеɪиальной
оɬноɫиɬельно
(7.4)
7.
ɬɪеɭɝольника
ɭɫловии
маɬеɪиальной
ɛɭɞем
+
= 2
=
= 2 (
= 2,
= 2
(2, 2).
Оɛлаɫɬь
опɪеɞелена
Воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлами
y
dy
y
dx
dy
dx
y
J
x
D
x
0
2
2
3
2
2
2
2
0
2

0
3
2
2
0
3
2
2
0
3
12
3
1
6
12
8
8
3
1
2
8
3
1
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
. 4
4
2
2
0
4
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
dx
x
dx
x
x
dx
y
x
dy
dx
x
dy
dx
x
J
x
D
y
8.
моменɬы
ɮиɝɭɪы
еɫли
ɫиɫɬемɭ
ɭɪавнений
(2, 2)
= 1,
=
ɫовпаɞаеɬ
(0;0).
= 2

Пɪеоɛɪазɭем
ɭɪавнение
(х 1)2 1] ɭ = (
1)
+1; (
1)
= (
1).
Веɪшина
лежиɬ
ɬочке
(1, 1).
Воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлами
ɭɫловию
0
8
4
2
1
0
2
4
2
3
1
0
2
4
1
4
2
2
2
x
x
x
dx
y
dy
y
dx
dy
dx
y
y
J
x
x
x
x
x
D
x



0
7
6
5
6
5
4
1
0
4
3
2
3
2
16
16
8
16
16
4
1
2
4
4
4
4
4
1
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x

31
840
105
360
560
336
2
8
1
7
3
3
2
5
2
2
8
1
7
3
6
4
5
2
2
0
8
7
6
5
x
x
x
x
31
0
4
2
2
2
1
0
2
2
2
2
1
0
2
2
2
1
2
2
2
2
x
x
x
x
dx
y
x
dy
y
dx
x
dy
dx
y
x
J
x
x
x
x
x
D
y
1
6
1
5
1
2
6
5
2
4
2
1
4
4
2
1
0
6
5
1
0
5
4
1
0
4
4
3
2
2
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
1
моменɬы
моменɬ
маɬеɪиальной
ɮиɝɭɪы
ɪаɫпɪеɞеление
маɫɫы
хаɪакɬеɪизɭеɬɫя
xy
dx
y
,
x
xy
J





1
1
(7.5)
(5.7)
ɫлеɞɭеɬ
=
+
маɬеɪиальная
ɮиɝɭɪа
аɛɫциɫɫ
оɪɞинаɬ
ɭɞвоенномɭ
моменɬɭ
ɮиɝɭɪы
оɞнɭ
ɫɬоɪонɭ
9.
моменɬ
маɬеɪиальной
ɮиɝɭɪы
оɝɪаниченной
ɭɫловии
ɮиɝɭɪɭ
ɛɭɞем
ɫчиɬаɬь
кооɪɞинаɬы
пеɪеɫечения
Полɭчим
(2; 0),
(0, 4)
ɬак
ɫиммеɬɪии
Фиɝɭɪа
моменɬ
эɬой
ɮиɝɭɪы

2
0
4
0
3
2
4
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
dx
y
y
x
dy
y
x
dx
dy
dx
y
x
J
x
D

2
2
3
3
2
0
3
2
2
2
3
4
4
3
3
2
ab
b
a
a
b
a
dx
x
x
x
0
6
4
2
2
0
6
4
2
4
2
36
64
3
2
12
48
64
3
12
3
2
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
7
2
2
5
9
2
2
3
2
2
3
2
7
5
9
12
64
3
2
5
3
2
6
2
0
7
5
3
x
x
x
10.
оɞноɪоɞной
оɝɪаниченной
(1
= 0,

2
0
2




значение
значение
0
(1
D
d
sin
cos
dy
dx
y
x
J
2
2
2
2
2
0
4
4
0
1
0
4
1
0
3
0
2
1
4
2
2
cos
a
d
d
d
a
cos
a
4
3
2
4
6
4
1
2
cos
cos
cos
cos
a
0
2
2
0
2
0
4
2
2
1
6
4
1
2
cos
d
cos
cos
d
cos
d
cos
a
2
0
2
0
0
4
2
1
1
4
2
2
3
4
2
d
cos
sin
d
sin
sin
sin
a
2
0
3
4
2
2
1
4
1
3
4
3
2
cos
cos
sin
sin
a
4
0
0
4
32
1
8
1
4
1
4
2
2
4
1
4
1
2
4
1
4
2
sin
a
d
cos
sin
a
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
моменɬы
маɬеɪиальной
завиɫяɬ
ɭɪавнений
коɬоɪɭю
полɭчаюɬɫя
ɪезɭльɬаɬе
пɪеɞельноɝо
ɫɭмм
ɫооɬвеɬɫɬвɭющих
ɮɭнкций
пɪеɞел
ɫɭмм
инɬеɝɪалɭ
оɛлаɫɬи
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
опɪеɞеления
маɫɫы
ɭказанных
ɭɪавнения
кооɪɞинаɬах



ɭɪавнения
поляɪных
инɬеɝɪалов
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
полɭченные
анализиɪɭя
ɭɫловие
нɭжнɭю
ɭɪавнения
ɞвɭкɪаɬном
ɪезɭльɬаɬ
ɞɪɭɝие
ɪаɫɫмаɬɪиваеɬɫя
маɬеɪиальных
ɞɪɭɝие
механика
ɞля
ɫамопɪовеɪки
кɪɭɝлой
ɪаɞиɭɫа
маɬеɪиала
кɪɭɝа
dx
y
x
m
2
dx
y
x
k
m
2
пɪямоɭɝольной
ɮиɝɭɪы
= 0,
= 2,
= 0,
плоɬноɫɬь
кɭɛɭ
аɛɫциɫɫы
ɭмноженномɭ
оɪɞинаɬы
помощью
моменɬ
оɬноɫиɬельно
ɮиɝɭɪа
=
моменɬа
x
D
x
y
dx
dy
dx
y
M
0
0
x
D
x
y
dx
dy
dx
y
M
оɝɪаниченной
+
= 2,
=
= 0
значение
2
y
маɬеɪиальная
оɝɪаничена
ценɬɪа
пɪямоɭɝольника
. (
J
маɬеɪиальная
линиями
= 1,
ɮоɪмɭлɭ
y
x
dy
J
2
1
0
1
0
2
y
dx
x
J
1
0
2
y
dy
y
J
пɪямоɭɝольника
оɝɪаниченноɝо
= 0,
= 5,
=
ɭɫловию
значение
плоɬноɫɬь
d
J
0
3
0
0
d
J
0
3
0
0
ИНɌЕȽɊАЛ
ВЫЧИɋЛЕНИЕ
ɌɊОЙНОȽО
ИНɌЕȽɊАЛА
ДЕКАɊɌОВЫɏ
9.1.
9.2.
Ƚеомеɬɪичеɫкий
9.3.
ɋвойɫɬва
9.4.
кооɪɞинаɬах
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
1:
(1.2);
каноничеɫких
ɭɪавнений
(1.3);
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
3:
(3.2);
(3.5);
ɋɬɪɭкɬɭɪно
3
ɞвɭх
пеɪеменных
ɮɭнкции
пеɪеменных

называемый
Пɭɫɬь
замкнɭɬой
ɝɪанице
ɮɭнкция

ɬочки
внɭɬɪенних
Внɭɬɪи
пɪоизвольнɭю
ɮɭнкции
инɬеɝɪальнɭю
ɫɭммɭ
ɛɭɞем
неоɝɪаниченно
ɭвеличиваɬь
нɭлю
ɞиамеɬɪом
оɛлаɫɬи
межɞɭ
ɮɭнкция
пɪи
ɛɭɞеɬ
ɫɭщеɫɬвоваɬь
ɫɭммы
оɛлаɫɬи
ɮɭнкции
оɛлаɫɬи

ɫлɭчае
ɮɭнкция
инɬеɝɪиɪɭемой

оɛлаɫɬью
Ɍɪойной
инɬеɝɪал
Опɪеɞеление
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
Ƚеомеɬɪичеɫкий
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪал
ɋвойɫɬва
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
ɞекаɪɬовых
кооɪɞинаɬах
ɮɭнкции
замкнɭɬомɭ
имеющемɭ
опɪеɞеленный
ɫɭммы
ɫɭммы
ɫɬɪемиɬɫя
нɭлю

(9.1)
ɮизичеɫкий
опɪеɞелению
чаɫɬь
ɪавен
оɛлаɫɬи
ɪавен
полɭчаем
некоɬоɪой
инɬеɝɪалɭ

ɮизичеɫкий

инɬеɝɪиɪɭй
ɮɭнкция
ɪаɫпɪеɞеления
ɮизичеɫкое
(9.2)
плоɬноɫɬью
(9.2)
) = 1,
полɭчим
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
непɪеɪывных
ɮɭнкций
ɞвɭх
пеɪеменных
аналоɝичны
межɞɭ
ɫвойɫɬва
2.
ɫɭммы
алɝеɛɪаичеɫкой
ɫɭмме
ɫлаɝаемых
z
,
y
,
x
h
z
,
y
,
x
q
z
,
y
,
x
f
3.
ɮɭнкция
меняеɬ
ɮɭнкция
0
) 0
4.
оɛлаɫɬь
чаɫɬичных
оɛлаɫɬи
ɫɭмме

5.
ɬɪойноɝо
ɫооɬвеɬɫɬвенно
ɮɭнкции
оɛлаɫɬи
меɫɬо
7.
непɪеɪывной
ɮɭнкции
значения
ɮɭнкции
оɛлаɫɬи
c
f
dv
z
,
y
,
x
f

(9.3).



0
) 0
. (9.3)
4.

5.
6.
ɋɭщеɫɬвɭеɬ
кооɪɞинаɬах
ɭɫловии
пɪямоɭɝольной
еɫли
паɪаллельная
внɭɬɪеннюю
ɝɪаницɭ
ɞвɭх
напɪавлении
,,
ɞанное
инɬеɝɪал
ɫɭмме
оɛлаɫɬи
цилинɞɪичеɫкɭю
оɛɪазɭющей
паɪаллельной
коɬоɪая
каɫаеɬɫя
некоɬоɪой
Пɭɫɬь
=
=
ɭɪавнения
плоɫкɭю
пɪоекɬиɪɭеɬɫя
ɝɪаницɭ
оɛлаɫɬь
пɪавильнɭю
паɪаллельными
плоɫкоɫɬям
чаɫɬичные
чаɫɬичными
ɛɭɞɭɬ
паɪаллелепипеɞы
=
ɫɭмма
оɛъемов
ɭменьшаеɬɫя
ɭменьшением
Ɍаким














D

L


Ȼɭɞем
пɪямɭю
паɪаллельнɭю
внɭɬɪеннюю
оɛлаɫɬи
ɮɭнкция
инɬеɝɪиɪɭеɬɫя
оɬɪезкɭ
оɛлаɫɬи
аппликаɬа
Ɋезɭльɬаɬ
величина
чеɪез

ɫчиɬаем
полɭчим
ɮɭнкции
ɭɫловии
пɪеɞɫɬавиɬь

ɭчиɬывая
полɭчим
вычиɫления

пɪямоɭɝольный
паɪаллельны
ɛɭɞеɬ

ɫвеɪхɭ

ɮɭнкции
ɮɭнкции
непɪеɪывной
ɮоɪмɭла
, (9.4)
инɬеɝɪала
поɫлеɞоваɬельномɭ
внɭɬɪеннеɝо
пеɪеменной
внешнеɝо
ɞɪɭɝим
можно
1.
паɪаллелепипеɞ
ɭɫловию
2, 0
3, 0
2
пеɪеменные
воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлой

Ȼɭɞем
имеɬь

0
2
0
3
0
2
0
2
2
0
2
2
2
dy
y
x
dx
dy
z
z
y
z
x
dx

= 2
ɫнизɭ

плоɫкоɫɬью
= 0.
ɬɪеɭɝольник
ɪиɫ
оɛлаɫɬь
2, 0
x
y
x
x
y
x
y
dx
x
dy
z
y
dx
x
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
1
2

0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
1
2
2
1
y
x
y
x
y
dy
y
x
y
dx
x

y
x
y
x
y
x
dy
y
x
y
x
y
dx
x
x
0
2
0
4
3
2
2
2
2
0
3
2
2
2
0
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
0
4
2
2
0
4
4
4
2
24
1
4
2
3
2
2
2
2
2
1
x
x
dx
x
x
x
x
2
3


2
2


0
7
6
5
4
3
2
0
6
5
4
3
2
6
8
5
24
4
32
3
16
24
1
8
24
32
16
24
1
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
ɮɭнкции
некоɬоɪомɭ
опɪеɞеляеɬɫя
ɫооɬвеɬɫɬвɭющим
ɫоɫɬавленной
ɫɭммы
ɮɭнкцию
ɫчиɬаɬь
маɫɫы
ɫмоɬɪеɬь
чиɫленно
оɛлаɫɬи
аналоɝичны
опɪеɞеленных
можно
позволяеɬ
оɛлаɫɬи
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
ɫɭммы
ɭɫловия
ɫɭммы
опɪеɞеление
вычиɫления
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
инɬеɝɪалы
ɮɭнкции
пɪеɞелам
ɭɪавнениям
плоɫкоɫɬей
оɛлаɫɬь
инɬеɝɪиɪования
заɞанной
ɭɫпешноɝо
ɭɪавнения
поɪяɞка
ɬаɛлицɭ
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
механика
ɞля
ɫамопɪовеɪки
инɬеɝɪал
2
2
b
a
b
ɫвеɪхɭ
оɝɪаничена
полɭɫɮеɪой

= 0.
2
2
2
2
2
2
0
y
x
R
x
R
x
R
R
z
,
y
,
x
f
dy
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
R
y
x
R
x
R
x
R
R
R
z
,
y
,
x
f
dy
dx
+
= 7
ɞвɭмя
= 1
= 3.
1
7
7
7
7
2
z
,
y
,
x
f
dy
dx
x
1
7
7
7
7
2
z
,
y
,
x
f
dy
dx
x
межɞɭ
помощью
ɮоɪмɭлɭ
ɪаɞиɭɫ
2
2
2
2
2
1
1
1
1
0
y
x
y
x
x
x
dy
dx
V
2
2
2
2
1
1
0
1
1
y
x
y
x
x
dy
dx
V
2
2
0
1
0
1
0
x
x
dy
dx
V
x
dy
dx
0
1
0
1
1
;

инɬеɝɪал
a
a
ɮɭнкция

ɬɪехкɪаɬный
инɬеɝɪал
0
2
2
2
2
0
z
dx
x
dy
y
ВЫЧИɋЛЕНИЕ
ИНɌЕȽɊАЛА
ЦИЛИНДɊИЧЕɋКИɏ
11.1.
11.2.
ɫɮеɪичеɫких
11.3.
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
цилинɞɪичеɫких
пɪименяюɬɫя
кооɪɞинаɬы

межɞɭ
цилинɞɪичеɫкими
ɭɫɬанавливаеɬɫя
ɫмоɬɪиɬе
ɪиɫɭнок

ɞɪɭɝие
кɪɭɝовые
=
полɭплоɫкоɫɬи
выхоɞящие
=
Пɭɫɬь
dy
dx
z
,
y
,
x
f
Ɍɪойной
инɬеɝɪал
цилинɞɪичеɫких
ɫɮеɪичеɫких
кооɪɞинаɬах
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
цилинɞɪичеɫких
кооɪɞинаɬах
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
кооɪɞинаɬах
Оɛщая
замена
пеɪеменных
ɬɪойном
инɬеɝɪале
,




z




(
,

,
оɛлаɫɬь
кооɪɞинаɬам
Пɪеоɛɪазование
аналоɝично
пɪеоɛɪазованию
нɭжно
ɮɭнкции
пеɪеменные
(1)
элеменɬ
оɛлаɫɬь
ɫиɫɬемами
ɫоп
Элеменɬаɪный
ɛлизких
ɪиɫ
пɪямоɭɝольным
опɪеɞеляюɬ
непоɫɪеɞɫɬвенно
пишɭɬ
ɭɪавнения
пɪеоɛɪазɭюɬɫя
пɪеɞɫɬавиɬь


внɭɬɪенняя
кɪɭɝовоɝо
ɪаɞиɭɫ
ɫиммеɬɪии

ɬем
повеɪхноɫɬь
кооɪɞинаɬɭ
оɛɪазɭющие
коɬоɪоɝо
паɪаллельны

=
=
si
=
dz
имееɬ
меɫɬо


d





d

d



d

(11.1)
инɬеɝɪиɪования
+
=
ɭɫловию
ɞвойнɭю
ɫиммеɬɪию
ɞоɫɬаɬочно
. 11.3).
Поɞынɬеɝɪальная
ɮɭнкция
=
ɭɪавнение
dz
1
0
Полɭчим
V
d
d
dz
dy
dx
y
x
2
2
оɛлаɫɬь
= 6

опɪеɞеляеɬ
паɪаɛолоиɞ
эɬо
ɭɪавнение
+
= (
6).
(0; 0; 6),

= 6
= 6
лежащие
= 0
конɭɫ
оɫью
ɫиммеɬɪии
линию
заɞанных
+
= 3
= 2.
+
= 4.
Ɋаɞиɭɫ
окɪɭжноɫɬи
= 2.
оɛлаɫɬь
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ


1

R


Пɪеоɛɪазɭем
ɭɪавнения
конɭɫа
1
0
ɛɭɞем
2
0
2
0
z
d
d
dz
dy
dx
z
0
2
2
2
2
0
6
2
0
2
2
0
2
2
4
d
d
z
d
d
d
0
2
0
6
4
2
2
0
2
4
2
2
0
4
13
2
36
2
12
36
2
ɫɮеɪичеɫких
кооɪɞинаɬах
опɪеɞеляеɬɫя
чиɫлами
. 11.5),
ɪаɞиɭɫа
пɪичем
ɭɝол
ɪаɞиɭɫом

ɭɝол
пɪоекцией
ɪаɞиɭɫа

межɞɭ
ɫɮеɪичеɫкими
ɬɪеɭɝольника
нахоɞим
ɬɪеɭɝольника
имеем
si
полɭчим
ɮоɪмɭлы
ɫɮеɪичеɫкими
чɬо
+
+
=
+
Пɭɫɬь
= 4

(








ɫɮеɪичеɫким
ɫɮеɪичеɫких
ɪазоɛьем
оɛлаɫɬь
ɫиɫɬемами
=
ɫɮеɪы
ценɬɪом
=
полɭплоɫкоɫɬи
чеɪез
=
конɭɫы
ɫиммеɬɪии
элеменɬаɪный
ɛеɫконечно
ɛлизких
повеɪхноɫɬей
пɪямоɭɝольным
оɬкɭɞа
' =
si
оɛлаɫɬь
опɪеɞеляюɬ
непоɫɪеɞɫɬвенно
кооɪɞинаɬ
ɫɮеɪичеɫким
какɭю
оɛщɭю
ɫлеɞɭеɬ
инɭю
оɛлаɫɬи
ɮɭнкции
ɮɭнкция
имееɬ
+
+
+
+
чаɫɬь
лɭчше
ɫɮеɪичеɫким
ɫɮеɪичеɫких

=
si
=
si
si
0
+
элеменɬ
=

(11.2)





d

d




d

3.
+
ɪаɞиɭɫ
шаɪа
ɭɞоɛно
ɫɮеɪичеɫким
=
si
=
si
si
=
оɛлаɫɬи
Пɪеоɛɪазɭем
поɞынɬеɝɪальнɭю
ɮɭнкцию
+
=
si
полɭчим
V
d
d
sin
dz
dy
dx
z
y
x
2
2
2
2
5
2
0
0
5
0
2
0
0
4
0
2
0
5
d
R
sin
d
d
sin
d
d
d
sin
d
R
4
5
2
0
5
5
2
0
5
2
0
5
2
0
0
5
R
d
cos
cos
R
d
cos
R

5.
+ (

+
=
ɪаɞиɭɫ
шаɪа
Воɫпользɭемɫя
=
=
запишем
ɫɮеɪичеɫких
чɬо
0
0
ɛɭɞем
V
d
d
sin
dz
dy
dx
z
y
x
2
2
2
sin
d
d
d
sin
d
sin
R
sin
sin
R
2
0
2
0
4
0
2
0
3
2
0
0









2

0
5
0
4
4
2
0
4
4
4
0
16
4
1
sin
d
sin
R
d
sin
sin
R
sin
d


0
4
2
0
2
4
1
2
2
2
1
d
cos
cos
d
cos
cos
R

0
4
2
0
4
1
2
4
1
2
2
1
d
cos
cos
d
cos
cos
R

0
5
3
0
4
3
2
8
4
2
1
2
cos
cos
sin
sin
R
пеɪеменных
цилинɞɪичеɫким
ɫɮеɪичеɫким
кооɪɞинаɬам
ɫлɭчаи
пɪеоɛɪазования
Пɭɫɬь
=
),
=
=

Пɭɫɬь
пɪеоɛɪазɭеɬɫя
ɫилɭ
(1)
ɮɭнкции
нɭль
(1)
=
межɞɭ
ɬочками
оɛлаɫɬи
оɛлаɫɬи
,
внɭɬɪенние
внɭɬɪенние

ɞиɮɮеɪенциал
=
dz
полɭчиɬ
= |
dv dw
пɪеоɛɪазования
ɫооɬвеɬɫɬвɭющая
опɭɫкаеɬɫя
замкнɭɬая
ɞиɮɮеɪенциɪɭемых
ɮɭнкций
=
),
нɭль

(11.3)
ɫɮеɪичеɫким
кооɪɞинаɬам
ɫлɭчаем
пеɪеменных
пɪямоɭɝольных
=
=
si
=
=
z
z
z
z
y
y
y
z
x
x
x
J
cos
x
cos
x
z
x
sin
y
sin
y
z
y
z
si
полɭчаем
ɮоɪмɭлɭ
пɪямоɭɝольных
ɮоɪмɭлами
пɪеоɛɪазования
si
ɫлɭчае
ɭказанные
чаɫɬные
sin
cos
sin
x
sin
cos
sin
x
cos
cos
sin
x
sin
sin
sin
y
sin
sin
sin
y
cos
sin
sin
y
cos
z
cos
z
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
J
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos

ɭɬвеɪжɞение
π] siп θ ≥ θ. 11.3. Кɪиɬеɪии ɭɫвоения. Поɫле изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
пɪеоɛɪазования
ɬɪойноɝо
ɭвеличиваеɬ
кɪɭɝ
=
dz
пɪямоɭɝольный
пɪеоɛɪазɭеɬɫя
кɪиволинейнɭю
dz
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
ɫвязывающих
ɫɮеɪичеɫкими
кооɪɞинаɬах
ɭɪавнения
опɪеɞелиɬелей
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
ɭɪавнениям
заɞанных
замкнɭɬое
ɮɭнкции
нɭжные
ɮоɪмɭлы
или
ɫɮеɪичеɫким
запиɫаɬь
ɫооɬвеɬɫɬвɭющих
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
механика
ɬɪойном
оɝɪаничена
+
= 2
cos
z
d
d
2
0
2
2
0
cos
z
d
d
2
0
2
2
2
cos
z
d
d
0
2
2
0
cos
d
d
2
0
2
2
0
10
a
4
a
8
a
2
2
0
R
R
R
d
d


R
2, 0
ɞекаɪɬовых
ɫɮеɪичеɫким
ɞекаɪɬовых
ɫɮеɪичеɫким
пɪеоɛɪазования
y
x
dz
dy
dx
3
2
2
2


d
d
sin
2
d
d
sin
ɬɪойном
+
0
3
2
2
0
0
sin
d
d
0
2
2
0
0
d
sin
d
0
3
2
0
2
0
d
sin
d
0
3
2
2
0
2
0
d
sin
d

3
2
ln
3
4
ln
3
ln

dy
dx
z
y
x
3
2
2
2

d
d
sin
3
1,
1.
повɬоɪномɭ
неɪавенɫɬвами
13.1.
цилинɞɪичеɫких
ɫɮеɪичеɫких
13.2.
13.3.
моменɬы
13.4.
13.5.
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
1:
цилинɞɪичеɫкие
(1.2);
ɭɪавнений
(1.3);
ɞекаɪɬовых
(9.4);
цилинɞɪичеɫких
ɫɮеɪичеɫких
кооɪɞинаɬах
Ƚеомеɬɪичеɫкие
механичеɫкие
пɪиложения
ɬɪойноɝо
инɬеɝɪала
ɞекаɪɬовых
цилинɞɪичеɫких
кооɪɞинаɬах
Кооɪɞинаɬы
ценɬɪа
ɬела
Моменɬы
инеɪции
,
z
,

V


D





b



,
z
,

V


D




d





=
=
пɪоекɬиɪɭеɬɫя
оɝɪаниченнɭю
пɪямыми
=




ɪиɫ
1.
+
=
=
оɝɪаничено
кɪɭɝовоɝо
оɛɪазɭющей
ɪаɞиɭɫом
=

= 0,

Воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлой
ɭɫловию
2
2
d
y
,
x
f
d
x
d
x
d
x
d
x
d
x
d
dz
dy
z
dx
dz
dy
dx
V
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
d
d
x
d
d
x
d
dx
x
x
d
dx
y
x
d
2
2
2
2
0
2
2
0
0
2
2
1
1

кооɪɞинаɬах
кооɪɞинаɬам
=

2
a
z


d


2.
= 2
= 0).
ɞекаɪɬовой
кооɪɞинаɬ
ɭɪавнение
ɭɪавнения
(0; 0; 3/2),
ɫиммеɬɪии
= 2
+ 3 (
= 0)
= 2
+ 3 (
напɪавлены
= 0
+
= 3
окɪɭжноɫɬь
ɪаɞиɭɫа
si
=
пɪеоɛɪазɭем
ɭɪавнение
2
1
V




0
3
2
1
z

z
d
dz
d
d
dz
d
d
V
0
3
2
1
3
0
2
0
0
3
2
1
3
0
2
0
2
d
d
d
d
0
3
0
4
2
3
0
3
2
0
3
0
2
2
0
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
0

=
si
=
si
si
ɫлеɞоваɬельно
+
= 2
� 0).
пɪямоɭɝольной
кооɪɞинаɬ
=
+
=
= 0)
=
+
ɪаɞиɭɫ
ɭɪавнение
ɫиɫɬемɭ
ɭɪавнений

2
1
z
1,5
ɭɫловию
� 0,
ɫлеɞоваɬельно
=
пеɪеɫечения
окɪɭжноɫɬь
оɝɪаничено
ɞвɭмя
ɫɮеɪичеɫким
Пɪеоɛɪазɭем
ɭɪавнения
ɫɮеɪы
+
cos
a
Пɪиɪавнивая
cos
a
a
a
sin
a
1
2
cos
0
2
2
cos

2
3
1
2
2
9
1
2
1
0
, 0
/4, 0
0
/2, 0
cos
a
2
4
4
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
cos
a
d
sin
d
d
d
sin
d
V
V
V
4
2
4
3
2
0
0
2
0
3
2
0
3
sin
d
d
sin
d
cos
a
4
4
3
2
0
3
0
2
0
3
3
2
2
sin
cos
sin
d
a
d
sin
d
a
4
4
2
2
0
3
2
0
0
3
3
3
2
2
d
sin
sin
d
a
d
cos
a
4
5
2
0
3
2
0
3
1
2
2
3
2
2
d
sin
sin
d
a
d
a
sin
sin
a
a
0
2
4
3
2
0
3
4
1
4
1
3
2
2
3
2

4
1
3
3
2
2
2
2
1
2
1
1
4
1
3
3
2
2
2
2
3
2
0
3
3
a
a
a

(0,
ɫɮеɪичеɫких
ɭɪавнений
ɫɮеɪичеɫких
(13.1)
ɪаɫпɪеɞеления
ɮизичеɫкоɝо
) =
=
ɫоп
=

ɬело
плоɬноɫɬь
ɮɭнкция
какой

чаɫɬичные
ɞоɫɬаɬочно
вычиɫленнɭю
меньше
чеɪез
наиɛольшɭю
оɛлаɫɬи

ɭɫɬɪемиɬь
чиɫло
ɭвеличиваеɬɫя
ɫɭмма
ɫɬɪемиɬɫя
значению
маɫɫы
ɮɭнкции
пɪоɫɬɪанɫɬвенной
4.
плоɫкоɫɬями
=0,
поɞчинено
законɭ
+ (
1)
= 1.
Оɛɪазɭющая
оɫи
окɪɭжноɫɬь
(1, 0),
ɪаɞиɭɫом
. 13.5).
изменяеɬɫя
2
найɞем
ɭɪавнение
окɪɭжноɫɬи
= 2

+
= 2
=
=
si
ɭɪавнение
)=0.
cos
sin
cos
z
d
d
m
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
3
2
2
0
2
2
2
0
0
2
2
2
2
a
d
d
a
d
z
d
cos
cos
a
2
2
2
2
2
3
4
1
3
4
3
4
2
2
2
3
2
sin
a
sin
d
sin
a
d
cos
a

=
),
(13.2)
ɋɬаɬичеɫкие
моменɬов
ɞвойноɝо
плоɬноɫɬь
ɮɭнкция
ɞвɭх
инɬеɝɪиɪование
ɞля
моменɬов
ɋчиɬая
маɫɫɭ
Найɞем
2
1



z

yz
dy
dx
z
,
y
,
x
x
M



xz
dy
dx
z
,
y
,
x
y
M
=
)
ɪаɫпɪеɞеления
ɮизичеɫкоɝо
вычиɫляюɬɫя
, (13.3)
ɫчиɬаɬь
моменɬы
ɫооɬвеɬɫɬвɭющим
ɪаɫɫмаɬɪиваемоɝо

кооɪɞинаɬы


M
x
c
M
y
c
полɭчим
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
x
x
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
y
y
имеем
c
dy
dx
x
V
x
1
c
dy
dx
y
V
y
1
ɬочке
= 1
= 0,
= 0,
= 0,
ɫлеɞɭеɬ
можно
ɭɫловию
=
V
c
dy
dx
y
dz
dy
dx
xy
x
V
c
dy
dx
y
dz
dy
dx
y
y
V
c
dy
dx
y
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
z

x
y
x
y
x
x
V
y
x
y
dx
dy
z
y
dx
dz
dz
y
dx
dz
dy
dx
y
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
3
3
1
0
1
0
3
2
1
1
2
1
0
1
2
1
3
2
1
1
x
x
dx
y
y
x
dy
y
x
y
dx
x
1
1
0
24
1
1
4
6
1
1
6
1
0
4
1
0
3
dx
x
x
y
x
y
x
x
V
y
x
y
dx
x
dy
z
y
dx
x
dz
dy
y
dx
x
dz
dy
dx
xy
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
3
3
1
0
1
0
3
2
1
0
2
1
0
1
2
1
3
2
1
1
x
x
x
dx
y
y
x
x
dy
y
x
y
dx
x
x

0
3
1
0
4
1
0
3
1
0
3
6
1
1
6
1
1
1
1
6
1
1
6
1
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x

ɭɪавнения
ɮɭнкций
ɭɪавнения
оɛлаɫɬи
1
dy
dx
yz
x
y
x
y
x
x
V
y
x
y
dx
x
dy
z
y
dx
dz
dy
y
dx
dz
dy
dx
y
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
2
0
4
4
1
0
1
0
4
3
1
0
3
2
1
0
1
3
1
4
3
1
1
x
x
x
dx
y
y
x
dy
y
x
y
dx
x
1
1
0
60
1
5
1
12
1
1
12
1
0
5
1
0
4
dx
x
1
1
1







вычиɫления
1
2
=
)
ɪаɫпɪеɞеления
ɮизичеɫкоɝо
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
x
x
; (13.4)
ɬочки
эɬой
маɬеɪиальной
ɫɭмма
опɪеɞеления
оɬноɫиɬельно
+
+
x
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
J
2
; (2)
z
dy
dx
z
,
y
,
x
y
x
J
2
. (3)
ɫооɬношений
(1), (2)
ɫлеɞɭеɬ
(4)
(1) (4)
пɪоɫɬоɬой
ɬɪойные
ɭɫɬанавливаɬь
ɫооɬношения
межɞɭ
ɭɞаеɬɫя
ɞаже
оɛыкновенными
инɬеɝɪалами
ɬɪойных
инɬеɝɪалов
заɞачи
ɫвязанные
ɪаɫпɪеɞелением
плоɬноɫɬь
маɫɫы
=
Охɭ
полɭчим
моменɬов
yz
dy
dx
z
,
y
,
x
x
J
xz
dy
dx
z
,
y
,
x
y
J
x
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
J
2
(13.5)
z
dy
dx
z
,
y
,
x
y
x
J
2
5.
пɪямоɭɝольноɝо
ɬочке
кваɞɪаɬɭ
) =
+

кооɪɞинаɬ
ɭɫловию
нɭжно
Воɫпользɭемɫя
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
x
J
2
2
0
V






b
0

z



a
b
c
a
c
c
y
x
c
y
x
dx
k
dy
z
z
y
x
z
y
x
dx
k
5
3
2
2
2
2
2
0
0
0
5
3
2
2
2
2
2
0
3
2
5
3
2
a
c
c
y
x
c
c
y
y
x
x
dx
k
5
3
2
2
3
4
2
2
4
0
3
2
b
y
c
y
y
x
c
y
y
x
y
x
c
k
0
5
3
2
3
5
3
2
4
3
3
2
5
3
2

b
c
b
b
x
c
b
b
x
b
x
c
k
5
3
2
3
5
3
2
4
3
3
2
5
3
2

b
c
x
b
x
b
c
x
b
x
b
x
b
c
k
5
3
3
3
5
3
3
5
3
3
3
2
5
9
2
5


(
,
,
z




5
9
2
9
2
5
9
2
5
3
3
3
3
5
3
3
5
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
c
a
b
a
c
b
k

изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
кооɪɞинаɬах
вычиɫлиɬь
опɪеɞеленноɝо
ɫɮеɪичеɫких
ɭпɪощаеɬ
коɬоɪая
ɭчиɬываеɬɫя
ɭɫɬанавливаюɬ
межɞɭ
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
пеɪехоɞа
ɫɮеɪичеɫким
опɪеɞеления
моменɬов
моменɬов
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
ɭɪавнениям
нɭжнɭю
ɮоɪмɭл
моменɬов
ɪезɭльɬаɬы
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
кɪаевых
ɞиɮɮеɪенциальных
ɭɪавнений
ɞɪɭɝие
механика
маɫɫопеɪеноɫа
конɫɬɪɭкций
кооɪɞинаɬах
можно
Плоɬноɫɬь
dy
dx
x
m
1
dy
dx
kx
m
= 3,
пɪямоɝо
цилинɞɪа
ɪаɞиɭɫом
ɪаɞиɭɫа
плоɬноɫɬью
оɬноɫиɬельно
моменɬɭ
неоɞноɪоɞноɝо
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
y
y
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
x
y
V
c
dy
dx
z
,
y
,
x
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
ɫиммеɬɪично
= 0.
ɬочке
);
z
dy
dx
z
,
y
,
x
z
x
J
2
z
dy
dx
z
,
y
,
x
y
x
J
2
z
dy
dx
z
,
y
,
x
z
y
J
2
ɪавен
моменɬɭ
100
ИНɌЕȽɊАЛЫ
ВЫЧИɋЛЕНИЕ
ИНɌЕȽɊАЛОВ
15.1.
маɬеɪиальной
15.2.
15.3.
15.4.
ɪоɞа
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
пɪоизвеɞение
( );
ɞɭɝи
ɞɭɝи
:
вычиɫление
опɪеɞеленноɝо
Лаɝɪанжа
опɪеɞеленноɝо
ɭɫловии
кɪивой
называюɬɫя
механики
ɬипа
ɞɭɝи
маɬеɪиальной
кɪивой
кɪивой
оɞномɭ

Пɭɫɬь
ɪаɫпɪеɞелена
чаɫɬо
оɬношение
ɪаɫпɪеɞеления
кɪивой
ɬочке
выɛɪаннɭю
ɫɬяɝивании
Кɪиволинейные
инɬеɝɪалы
маɬеɪиальной
Опɪеɞеление
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
пеɪвоɝо
ɪоɞа
пеɪеменной
Опɪеɞеление
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
вɬоɪоɝо
ɪоɞа
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
пеɪвоɝо
ɪоɞа
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
вɬоɪоɝо
ɪоɞа
101
маɬеɪиальной
=
Поɫɬɭпим
ɫлеɞɭющим
ɞɭɝɭ
=
=
ɞɭɝ
ɞɭɝе
пɪоизвольнɭю
ɬочке
ɞɭɝи
ɞɭɝи
маɫɫа
ɫɭмме
Полɭченная
ɛɭɞеɬ
ɪаɫпɪеɞеления
ɞɭɝе
поɫɬоянна
ɛɭɞɭɬ
ɞɭɝ
ɛɭɞеɬ
маɫɫɭ
полɭченноɝо
нɭлю
ɞɭɝ
ɋɭмма
ɫɭммой
ɮɭнкции
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
изɭчению
ɫɭмм
маɬемаɬики
чем
ɫɭммы
ɛолее
опɪеɞеление
непɪеɪывнɭю
кɪивɭю
ɮɭнкция
кɪивɭю
=
=
ɞɭɝе
пɪоизвольнɭю
ɭмножим
ɮɭнкции
ɞлинɭ
ɞɭɝи
полɭчим
ɫɭммɭ



1


1
102
ɫɭммой
ɮɭнкции
ɫɭмма
завиɫиɬ
ɫпоɫоɛа
ɞɭɝи
ɫɭмма
ɮɭнкции
оɛозначаеɬɫя
ɫлɭчае
ɮɭнкция
инɬеɝɪиɪɭемой
конɬɭɪом
ɮɭнкция
ɫɭммы
ɞлине
ɞɭɝи
имееɬ
1:
конɬɭɪ
инɬеɝɪиɪования
оɛозначиɬь
инɬеɝɪал
неоɞноɪоɞной
ɛɭɞеɬ
Опɪеɞеление
пеɪвоɝо
ɞɭɝи
ɮɭнкции
ɫɭммы
ɭɫловии
чɬо
i
i
i
i
i
S
max
AB
z
,
y
,
x
f
lim
dS
z
,
y
,
x
f
0
, (15.1)
ɞɭɝи
маɫɫы
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
Пɭɫɬь
паɪамеɬɪичеɫкими
ɭɪавнениями
=
или х =
=
)] (
ɫвоими
ɮɭнкции
ɞля
ɛɭɞем
ɫооɬвеɬɫɬвɭеɬ
значение

ɞлинɭ
ɞɭɝи
ɮɭнкцию
ɮоɪмɭле
103
ɫоɝлаɫно
пɪавилɭ
пɪеɞелɭ
полɭчим
ɞлине
ɞɭɝи


1.
еɫли

ɞɭɝа
=
(1+
=2
tg t
ɭɫловию
заɞачи
2
2
1
t
t
ln
x
2
2
1
1
1
2
2
t
t
t
t
arctg
y
Пɪеоɛɪазɭем
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
t
t
arctg
t
t
t
arctg
e
t
t
arctg
e
t
t
arctg
ye
ln
t
ln
x
t
t
t
arctg
d
t
arctg
dt
t
t
t
t
arctg
dS
ye
x
1
0
2
1
0
1
0
2
2
2
2
1
2
1
1
2

ɭɪавнением
=
ɮɭнкция
имеющая
непɪеɪывнɭю
пɪоизвоɞнɭю
ɛɭɞем

1.
ɭɪавнение
ɬочки
�=
3
k

ɭɪавнение
конɬɭɪа
y
4
3
3
y


ɭɫловию
5
32
5
4
4
5
4
5
4
3
0
2
4
0
4
0
dx
x
dx
x
x
dS
y
x
104
Пɭɫɬь
ɭɪавнениями
),
),
),
ɮɭнкции
ɞɭɝи
кɪивой
элеменɬаɪнɭю
чаɫɬичнɭю
ɞɭɝɭ
выɫшеɝо
пɪямоɭɝольноɝо


z
y
x
t
z
,
t
y
,
t
x
f
dS
z
,
y
,
x
f
t
t
AB
2
2
2

3.
виɬок
паɪамеɬɪ
0
si
Пɪеоɛɪазɭем
пеɪеменной
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
b
t
sin
a
t
cos
a
b
a
z
y
x
dS
пеɪвоɝо
ɭɪавнениями
=
=
),
ɞиɮɮеɪенциɪɭемые
ɮɭнкции
ɫооɬвеɬɫɬвɭеɬ
ɮɭнкция
кɪивой
кɪиволинейноɝо
ɞɭɝи
иɫпользɭя
ɭɪавнения
поɞынɬеɝɪальнɭю
ɮɭнкцию
ɞɭɝи
ɮɭнкции
пɪоинɬеɝɪиɪоваɬь
полɭченное
пɪеɞелах
ɛольшеɝо
105


ɭɪавнением
) (15.2)
ɞиɮɮеɪенциɪɭемая
ɮɭнкция
паɪамеɬɪ
ɛɭɞем
имеɬь

опɪеɞеленномɭ
оɞнако
межɞɭ
ɫлеɞɭющие
ɫɭмме
оɛязаɬельно
какɭю
какɭю

ɞɭɝи

инɬеɝɪиɪования
оɛлаɞаеɬ
ɫвойɫɬвами
опɪеɞеленный
маɬеɪиальной
ɞлинɭ
ɞɭɝи
ɪаɛоɬɭ
4.
маɫɫɭ
ɞɭɝи
окɪɭжноɫɬи
=
=
(0
еɫли
ɪавна
Воɫпользɭемɫя
ɭɫловию
= (
) =
= (
) =
пеɪеменной
пеɪемещении
маɬеɪиальной
ɞейɫɬвɭющая
заɬɪаченная
ɫлɭчае
непɪямолинейноɝо
пɭɬи
106
Пɭɫɬь
ɞвижеɬɫя
ɫила
величине
напɪавлению
ɮɭнкцию
ɫилɭ
ɞоɫɬаɬочно
коɬоɪые
ɛɭɞɭɬ
ɮɭнкциями

ɪаɛоɬɭ
ɫилы
ɞɭɝɭ
ɞɭɝ
=
=
чаɫɬичнɭю
эɬɭ
ɞɭɝɭ
Ɋаɫɫмоɬɪим
i
M



ɞɭɝе
пɪоизвольнɭю
ɞɭɝи
ɞейɫɬвɭющая
поɫɬоянна
значению
пеɪемещалаɫь
ɞɭɝе
Ɋаɛоɬɭ
вɞоль
ɞɭɝи
i
i
i
M
N
F
A


i
i
i
,
x
Q
;
y
,
x
P
F
i
i
i
,
x
M
M
ɞɭɝи
ɪавна
ɫɭмме
полɭчаем
пеɪемещению
маɬеɪиальной
пɪеɞел
значение
нɭлю
ɞɭɝ
i
i
i
i
i
i
i
S
max
y
,
x
Q
x
y
,
x
P
lim
A
0


1

i


1



1
1

107
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
ɫɭмм
изɭчим
пɪеɞелы
ɭказанноɝо
ɪаɫɫмоɬɪенной
пɭɫɬь

)
ɮɭнкции
опɪеɞеленные
ɞɭɝɭ
=
ɞɭɝ
ɞɭɝе
пɪоизвольнɭю
ɭмножим
ɮɭнкции
пɪоекции
ɞɭɝи
ɋɭмма
ɫɭммой
ɮɭнкции
ɞɭɝе
ɞлинɭ
ɞɭɝи
инɬеɝɪальная
ɫɭмма
0
имееɬ
называеɬɫя
кɪиволинейным
ɮɭнкции
y
,
x
P
ɞɭɝи
ɫɭммы
ɮɭнкции
ɞɭɝи
ɭмножаеɬɫя
ɞлинɭ
ɞɭɝи
ɞɭɝи
ɞɭɝи
ɫɭщеɫɬвенно
ɞɭɝи
ɮɭнкции
опɪеɞелиɬь
инɬеɝɪал
называюɬ
кɪиволинейными
ɪоɞа
ɋɭмма
y
,
x


кɪиволинейным

конɬɭɪ
инɬеɝɪиɪования
108
инɬеɝɪал
выɪажением
конɬɭɪа
ɭказанием
вычиɫления
полɭчим
ɮоɪмɭлɭ
кɪиволинейный
кɪиволинейный
поɞынɬеɝɪальноɝо
ɞɭɝи
инɬеɝɪал
аɛɫолюɬное
ɫлеɞɭеɬ
иɫɬолковываеɬɫя
ɫɭмме
инɬеɝɪал
ɫɭмме
ɞɭɝам
ɞɭɝɭ
ɫлɭчае
пɭɬи
еɫли
конɬɭɪ
замкнɭɬый
ɫлɭчае
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
конɬɭɪ
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
завиɫиɬ
выɛоɪа
ɬолько
конɬɭɪа
ɍɫловимɫя
положиɬельным
конɬɭɪа
конɬɭɪом
плоɫкоɫɬи
конɬɭɪа
ɛɭɞем
конɬɭɪа
положиɬельное
AnB
L
Q
dx
P
dy
Q
dx
P
dy
Q
dx
P

109
конɬɭɪа
ɫилы
Пɭɫɬь
ɮɭнкции
ɞɭɝи
ɫɭмма
ɮɭнкций
ɬоɝɞа
ɫɬɪемлении
нɭлю
ɫɭммы
оɛозначаеɬɫя
ɫимволом

i
i
i
i
i
i
i
S
max
AB
y
,
x
Q
x
y
,
x
P
lim
dy
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
0
z
,
y
,
x
R
dy
z
,
y
,
x
Q
dx
z
,
y
,
x
P
ɫилой
(15.3)
пɭɬи


кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
пɭɬем
опɪеɞеленные
Пɭɫɬь
кɪивая
ɭɪавнениями
=
=
),
)
ɞиɮɮеɪенциɪɭемые
ɫооɬвеɬɫɬвɭеɬ
=
ɫооɬвеɬɫɬвɭеɬ
ɫооɬвеɬɫɬвɭеɬ
,
ɮɭнкции
кɪивой
y
,
x
P

ɫооɬвеɬɫɬвɭющих
ɫɭмм
ɫɭщеɫɬвɭюɬ
ɫлеɞоваɬельно
ɫɭмм
Воɫпользовавшиɫь
ɫɭммы
=
=
оɫи
=
,,
=
ɫооɬвеɬɫɬвɭющɭю
),
кɪивɭю
ɞɭɝ
110
i
i
i
i
i
i
t
x
t
x
t
x
x
x
x
1
t

межɞɭ
Пɭɫɬь

ɫооɬвеɬɫɬвɭющая
значению
i
i
x
x
:
t
t
ɬочка
ɞɭɝе
инɬеɝɪальнɭю
ɫɭммɭ
ɞля
иɫпользɭя
полɭченное
= 1,2,3
выɛɪанные
чаɫɬях
поɫɬɪоению
. (1)
ɪавенɫɬва
инɬеɝɪальнɭю
ɫɭммɭ
ɞля
ɮɭнкции
х (t), ɭ (t)] х (t) по пеɪеменной t, изменяющейɫя
=
нɭлю
ɪазɛиения
пɪомежɭɬка
ɫилɭ
ɮɭнкций
ɛɭɞеɬ
нɭлю
пɪеɞелɭ
(1),
полɭчим
ɮоɪмɭлɭ
выɪажающɭю

. (2)

(3)
ɫлɭчае
(3),
полɭчим



. (4)
меɫɬо
еɫли
ɭɪавнениями
=
),
=
=



Пɭɫɬь
ɭɪавнение
конɬɭɪа
=
=
Нɭжно
нɭжно


пользɭяɫь
ɭɪавнением
или
ɭчеɫɬь
=
=
пɪеоɛɪазɭеɬɫя






111



ɭɪавнения
еɫли
пɭɬи
полɭченноɝо
значения
,
ɫооɬвеɬɫɬвɭющеɝо
пɭɬи
ɫооɬвеɬɫɬвɭющеɝо






(15.4)
ɭɪавнением
),
ɞиɮɮеɪенциɪɭемая
ɮɭнкции
непɪеɪывны
полɭчаем

4.
ɪаɛоɬɭ
маɬеɪиальной
Маɬеɪиальная
= 8 (
2).
Ɍочка
(0, 2)

паɪаɛолы
Воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлой

4

112
ɭɫловию
+ 2
+ 2
2
x
= 4,
Полɭчим
4
2
2
2
2
2
8
2
8
2
2
x
x
x
x
x
A
4
2
5
3
2
0
4
4
2
2
2
256
8
4
4
3
4
2
64
2
4
4
4
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
4
6
4
2
3
0
4
5
3
2
256
32
2
4
12
256
8
4
4
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
инɬеɝɪал
ɫоеɞиняющеɝо
ɭɪавнения
Ȼɭɞем
имеɬь
1
1
2
2
1
каноничеɫкие
ɭɪавнения
= 2
+ 1,
=
+ 2,
= 3
1.
Воɫпользɭемɫя
ɮоɪмɭлой


инɬеɝɪал
ломаная
Воɫпользɭемɫя
ɫлеɞоваɬельно
=0,

8
3
0
0
3
2
0
2
2
2
dx
x
dy
y
x
dx
y
x


113
B
A
A
B
A
y
y
y
x
x
x
x
y
,
y
,
x
,
x
A
B
A
0
4
2

полɭчим

2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
dy
y
x
dx
y
x

1
45
3
136
3
128
3
8
2
y
x
dx
y
x

7.
ɬɪеɭɝольника
ɋɞелаɬь
ɭɫловию
нɭжно
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
BCCA
= 1
Воɫпользɭемɫя
ɭɪавнением
y
a
x
ɭɪавнение


=
= 2,
= 2
ɭɪавнение


ɫлеɞоваɬельно
меняеɬɫя


114
полɭчим
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
ɪоɞа
опɪеɞеленноɝо
ɫвоɞяɬɫя
инɬеɝɪал
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
опɪеɞеления
опɪеɞеленные
опɪеɞеленноɝо
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
нɭжнɭю
ɞано
ɭɪавнение
конɬɭɪа
нɭжное
ɭɪавнение
=
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
115
ɮɭнкции
конɬɭɪа
конɬɭɪа
ɮɭнкции
=
ɭɪавнение
конɬɭɪа
кɪиволинейный


1;


маɬеɪиальной
ɞɭɝе
ɪавна



конɬɭɪа
конɬɭɪа
выɪажения
ɭɪавнения
конɬɭɪа
ɭɪавнениями
кɪиволинейный












116
ɭɪавнением





=
(0, 0)
(2, 2)
2
окɪɭжноɫɬи
0
конɬɭɪа

ɞɭɝа
(0;0)
Конɬɭɪ
инɬеɝɪиɪования
ɭказан
ɪиɫɭнке
xy
dx
y
x
4
5
1
1


117
ФОɊМɍЛА
КɊИВОЛИНЕЙНОȽО
ИНɌЕȽɊИɊОВАНИЕ
ДИФФЕɊЕНЦИАЛОВ
17.1.
17.2.
пɭɬи
17.3.
кɪиволинейноɝо
ɮɭнкции
17.4.
Пеɪвооɛɪазная
ɮɭнкция
инɮоɪмация
ɫамоконɬɪоля
Пɪиɫɬɭпая
изɭчению
Вам
оɛɭчения
ɮɭнкции
ɞвɭх
Ньюɬона
Ƚɪин
(1793 1841)
маɬемаɬик
ɭɫɬанавливаеɬ
межɞɭ
ɞвойными
Она
ɫамом
анализе
замкнɭɬой
паɪаллельными
ɛолее
Пɭɫɬь
замкнɭɬая
конɬɭɪом
пɭɫɬь
ɮɭнкция
ɫвоими
чаɫɬными
P

Q
меɫɬо

D
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
dy
dx
y
P
x
Q
Кɪиволинейные
инɬеɝɪалы
II
ɪоɞа
Ƚɪина
незавиɫимоɫɬи
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
инɬеɝɪиɪования
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
полноɝо
ɞиɮɮеɪенциала
некоɬоɪой
Пеɪвооɛɪазная
нахожɞение
полномɭ
ɞиɮɮеɪенциалɭ
118
оɛлаɫɬь
оɝɪаниченнɭю
Оɪиенɬиɪɭем
конɬɭɪ
инɬеɝɪал
конɬɭɪ
левɭю
пɪавɭю
ɞɭɝи
ɭɪавнениями
=
=
веɪхнюю
ɞɭɝи
ɭɪавнениями
оɛлаɫɬь
опɪеɞеленнɭю
пɪеоɛɪазɭем

выполним
Полɭчим
^}
ɞвɭх
опɪеɞеленных
инɬеɝɪалов
ɫооɬвеɬɫɬвɭющей


. (1)
, (2)
(2)
ɪавенɫɬво
(1),
полɭчаем
иɫкомɭю
ɮоɪмɭлɭ
ɞоказана
Фоɪмɭла
замкнɭɬой
коɬоɪɭю
пɪовеɞением
замкнɭɬых

оɛлаɫɬи
ɮɭнкции
вмеɫɬе
P

Q
замкнɭɬой
ɮоɪмɭла




119

, (17.1)
конɬɭɪа
чаɫовой
Ƚɪина
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
помощью
емɭ
оɛлеɝчению
кɪиволинейный
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ

конɬɭɪ
ɬɪеɭɝольника
(1; 1),
(2; 2),
(1; 3),
ɭɫловию
ɬоɝɞа
y
P
x
x
Q
2

2.
ɬɪеɭɝольник
ɭɪавнение
= 4
ɫлеɞоваɬельно
оɛлаɫɬь
опɪеɞеляеɬɫя

y
xy
dy
y
x
dx
dy
dx
y
x
x
x
x
D
2
1
2
4
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
4
2
3
4
2
2
2
4
4
2
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
Иɫпользɭя
(15.1)
полɭчиɬь
Пɭɫɬь
оɪиенɬиɪованной
+
P
x
Q
dS
y
P
x
Q
полаɝая
0,
полɭчим
вɬоɪɭю
полɭɫɭммɭ
ɪезɭльɬаɬов
y
dy
x
S
1
1
1
2
2
3


120
2.
Вычиɫлиɬь
ɮиɝɭɪы
=
=
= 1
пеɪеɫекаюɬɫя
кажɞой
x
x
y
x
y
1
8
1
2

8
1
1
4
1
2
1
A
y
x
y
x
y
1
8
1
2
1
1
, 0
y
1
x
dy
1

x
dy
1
AB
OA
OABO
L
y
dy
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
x
S
1
2
1
2
1
2
1
2
1

4
1
4
1
2
1
2
2
1
0
2
1
8
1
8
1
2
2
1
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
4
1
4
1
2
1
2
1
0
3
0
4
1
4
1
2
1
2
1
0
2
4
1
3
2
1
2
4
2
1
x
x
ln
x
dx
x
x
dx
dx
x
2
3
1
2
4
1
12
1
2
1
24
1
2
1
4
1
4
1
4
1
24
1
2
1
ln
ln
ln




ɪезɭльɬаɬ
полɭченным
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪиɪования
некоɬоɪых
ɫлɭчаях
пɭɬи
ɬолько
конечной
ɫлɭчае
инɬеɝɪал



A
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
1



y
121
Ȼɭɞем
ɮɭнкции
ɪаɫɫмаɬɪиваемой
Вычиɫлим
ɭɫловиях
кɪиволинейный
конечной
пɪоизвольные
кɪивые
Пɭɫɬь
ɫлеɞоваɬельно
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
. (2)
ɫлɭчае
конɬɭɪ
ɫоɫɬавлен
конɬɭɪ
ɫчиɬаɬь
ɭɫловия
ɞвɭх
кɪиволинейный
инɬеɝɪал
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю
ɋпɪавеɞливо
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю
ɬолько
положения
ɫлеɞɭеɬ
ɭɫловиям
ɮɭнкции
ɞля
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю
Пɭɫɬь
вɫех
ɮɭнкции
ɫвоими
P

Q
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P


Q
y
P
122

пɭɬи
Ɍɪеɛɭеɬɫя
Q
y
P
пɭɬи
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю

L
dx
y
P
x
Q
dy
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
dx
y
P
x
Q
P
x
Q

P
x
Q
P
x
Q
Ɍɪеɛɭеɬɫя

конɬɭɪа
P
x
Q
P
x
Q
dx
y
P
x
Q

инɬеɝɪал
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
нɭлю
ɫлɭчае
инɬеɝɪал
пɭɬи
пɭɬи
Пɭɫɬь
ɮɭнкции
конɬɭɪ
нахоɞиɬɫя
ɭɫловием
кɪиволинейноɝо

конɬɭɪа
ɪавенɫɬва
. (17.2)
123
ɭказанных
ɭɫловий
инɬеɝɪал
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
ɪавен
нɭлю
кɪиволинейноɝо
инɬеɝɪала
полноɝо
ɞиɮɮеɪенциала
ɮɭнкции
выɪажение
(1)
ɮɭнкции
, (2)
выполнении
=
).
(1)
ɮɭнкции
еɫɬь

y
u
dx
x
u
du
dy
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
u
y
,
x
P
u
y
,
x
Q
Диɮɮеɪенциɪɭя
полɭчим
x
u
y
P
вɬоɪых
ɭчиɬывая
полɭченных
ɛɭɞем
имеɬь
Q
y
P
ɪавенɫɬво
(2)
ɭɫловием
(1)
ɮɭнкции
ɞоказаɬь
ɞоказаɬельɫɬво
ɭɫловие
ɭɫловия
полный
ɮɭнкции
+

ɮɭнкции
),
завиɫиɬ
пɭɬи
ɛɭɞеɬ
завиɫеɬь
инɬеɝɪиɪования
Еɫли
инɬеɝɪал

инɬеɝɪиɪоваɬь
оɬɪезкɭ
ɫоеɞиняющей
Оказываеɬɫя



AC
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
dy
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P










124




Полɭчим



кɪиволинейный
пɪеоɛɪазɭеɬɫя
ɞвɭм
опɪеɞеленным
ɮɭнкции

конɬɭɪа
ɭɫловие
Q
y
P
выполняеɬɫя
пɭɬи
инɬеɝɪиɪования
ломанɭю
ɫоеɞиняющɭю
звенья
паɪаллельны



(17.3)
инɬеɝɪал
ɭɫловию
P
ɫлеɞоваɬельно
Q
y
P
некоɬоɪой
ɮɭнкции
AC
,
,
y
dx
x
dy
y
dx
x
dy
y
dx
x
3
4
3
4
3
2
3
2
1
1
2

1
3
2


125
ɮɭнкция
ɞиɮɮеɪенциалɭ
некоɬоɪой
ɮɭнкции

ɛɭɞеɬ
ɛɭɞеɬ
ɮɭнкцией
ɮɭнкциями
),
y
u
dx
x
u
du
,
x
P
x
u
,
x
Q
y
u
ломаной

ɫоп
u
y
,
x
P
u
y
,
x
Q
x
x
x
x
x
x
,
x
u
d
dx
x
y
,
x
u
dx
y
,
x
P
0
0
0
0



)


)
Фɭнкция
ɞля
ɞиɮɮеɪенциала
полɭченная
Ньюɬона
ɪоɞа
полɭчаем
оɬыɫкания
ɮɭнкции
полномɭ

оɛозначив
ɛɭквой
полɭчим

ɮɭнкция
Фɭнкцию
пеɪвооɛɪазнɭю
вычиɫляя
ɫооɬвеɬɫɬвɭющий
инɬеɝɪал




126
=
ɪезɭльɬаɬе
полɭчаем
ɮоɪмɭлɭ

(17.4)
ломаной
ɝɞе
полɭчим

пеɪвооɛɪазнɭю
ɮɭнкцию
ех+ɭ + ɫоs (х ɭ)] dх + [ех+ɭ ɫоs (х ɭ) + 2]
ɭɫловию
),
x
sin
e
y
x
cos
e
y
P
x
y
y
x
x
sin
e
y
x
cos
e
x
Q
x
x
y
x
2.
x
sin
e
x
Q
y
P
x
Пɭɫɬь
конɬɭɪом
Воɫпользɭемɫя
пɪовеɪкɭ
ɭчиɬывая
,
x
P
x
u
,
x
Q
y
u


2.
y
x
y
dx
y
x
du
1
1

x
y
,
x
P
1
1
y
x
y
y
,
x
Q
1
1
y
y
x
y
P
2
2
y
y
x
y
x
Q

y
x
Q
y
P
ɫлеɞоваɬельно
(17.4)
= 0,
= 0
ɮɭнкции
Поэɬомɭ
(1; 1).
Ɍоɝɞа
,0)
127
x
y
x
x
y
ln
x
x
ln
dy
y
x
y
dx
x
y
,
x
u
1
1
2
1
2
1
1

1.
2.
изɭчения
анализа
ɫоɞеɪжания
ɫлеɞɭющее
кɪиволинейный
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
конɬɭɪом
ɭпɪощаеɬ
замкнɭɬой
оɛлаɫɬи
ɬолько
кɪиволинейноɝо
ɮɭнкции
опɪеɞелены
чаɫɬными
P

Q
замкнɭɬой
ɫлеɞɭющие
ɭɫловия
эквиваленɬны
люɛой
замкнɭɬой
ɞвɭх
пɭɬи
лежащеɝо
выɪажение
ɮɭнкции
Q
y
P
ɭɫловий
кооɪɞинаɬ
пеɪвооɛɪазнɭю
ɮɭнкцию
ломаной
начальнɭю
пɪоизвольнɭю
ɮикɫиɪɭюɬ
конечнɭю
ɬочкɭ
ɛеɪɭɬ
кооɪɞинаɬами
ɪезɭльɬаɬе
изɭчения
ɭɫловия
незавиɫимоɫɬи
пɭɬи
вычиɫления
вычиɫления
ɮɭнкции
оɛеɫпечиваɬь
ɫлеɞɭющие
ɭмения
замкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
непоɫɪеɞɫɬвенно
помощью
128
P

Q
межɞɭ
ɫɞелаɬь
пɪовеɪкɭ
ɭɛеɞиɬьɫя
пɪавильноɫɬи
полɭченные
ɞɪɭɝие
ɞɪɭɝие
кɭɪɫа
ɞɪɭɝие
оɛлаɫɬь
замкнɭɬым
конɬɭɪом
меɫɬо

D
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
dy
dx
x
Q
y
P

D
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
dy
dx
y
P
x
Q

оɝɪаниченной
замкнɭɬым
конɬɭɪом
y
dy
x
S
1
y
dy
x
S
+
D
dx
y
x
dy
dx
y
P
x
Q
2
dx
y
P
x
Q
2.
завиɫиɬ
пɭɬи
P
x
Q
129
Q
x
P
окɪɭжноɫɬь
= 4,
2;
dx
0
4.
ɮɭнкции
вычиɫлиɬь






ɬоɝɞа





ɮɭнкции



130
+
y
x
dx
y
x
2
dx
y
x
2
dx
x
y
2
Кɪиволинейный
y
dx
x
d
d
d
y
x
y
,
x
u
12
3
+

Приложенные файлы

  • pdf 11274509
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий