ЗОШИТ ДЛ ПРАКТИЧНИХ для студентів математика


МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ І ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ
МОГИЛІВ – ПОДІЛЬСЬКИЙ ТЕХНОЛОГО – ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ
ВІННИЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО АГРАРНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
РОБОЧИЙ ЗОШИТ
ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ З ДИСЦИПЛІНИ “МАТЕМАТИКА”
СТУДЕНТ _______________курсу групи ______________________________
Спеціальності______________________________________________________
__________________________________________________________________
Прізвище, ім’я по - батькові
Тема1. Функції, їх властивості і графіки
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 1
Тема. Розв’язування трьох основних задач на відсотки
Мета роботи: навчитись розв’язувати три основні задачі на відсотки: визначення відсотка від числа, числа за відсотками, відсоткового відношення.

Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти
Теоретичні відомості про відсотки. Методичні вказівки до виконання роботи.
Відсотком (процентом) називається сота частина цілого (яке приймається за одиницю).
1 % від числа а дорівнює а
Основні задачі на відсотки
1. Знаходження відсотка від числа. р% від числа а дорівнює а.
Приклад. 7% від числа 300 дорівнює · 300 = 21.
Усні вправи
Знайдіть:
1) 50% від числа 48;2) 20% від числа 60;3) 150% від числа 20.
Задача №1. Від мотузки завдовжки 15м відрізали спочатку 20% її довжини, а потім на 50% того, що залишилося. Якою є довжина мотузки, що залишилася?
2. Знаходження числа за заданою величиною його відсотка. Якщо р% якого-небудь числа становить b, то все число дорівнює .
Приклад. Число, 30% якого дорівнює 24, — це число х = 24 : =
= = 80.
Усна вправа
Знайдіть:
число, 10% якого дорівнює 17;2) число, 75% якого дорівнює 150.
Задача №2. За першу годину машина проїхала 71 км, що складає 40% наміченого маршруту. Скільки кілометрів залишилося подолати машині?
3. Знаходження відсоткового відношення двох чисел.
Число а від числа b становить · 100%.
Приклад. Число 26 від числа 65 становить
· 100% = · 100% = 40%.
Усна вправа
Знайдіть:
Знайдіть відсоткове відношення чисел:1) 5 і 25;2) 45 і 30.
Задача №3. У кінотеатрі 240 місць. Під час демонстрації фільму 192 місця було зайнято. Скільки відсотків місць було зайнято?
Завдання на закріплення матеріалу


Питання для самоперевірки знань і вмінь
Що називають відсотком від числа?
Як знайти а% від числа b? Наведіть приклад.
Як знайти число, якщо а% від цього числа дорівнює b? Наведіть приклад.
Як знайти, скільки відсотків становить одне число від іншого? Наведіть приклад.
Висновок.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 2
Тема. Побудова графіків функцій за допомогою елементарних перетворень
Мета роботи: навчитись будувати графіки степеневих функцій за допомогою елементарних перетворень
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздатковий матеріал: опорні конспекти
Теоретичні відомості про відсотки. Методичні вказівки до виконання роботи.
1. Перетворення графіків функцій, що не змінюють масштаб (паралельний перенос графіка функції вздовж осей координат, зміна знака функції, зміна знаку аргументу).
1. Паралельний перенос графіка функції вздовж осі абсцис.
Графік функції одержується із графіка функції за допомогою паралельного переносу останнього вздовж осі абсцис на одиниць масштабу в напрямку, що має протилежний знак до знаку числа .
2. Паралельний перенос (зсув) графіка функції вздовж осі ординат.
Графік функції одержується з графіка функції за допомогою паралельного переносу останнього вздовж осі ординат на одиниць масштабу в напрямку, що має знак числа b.
3. Симетрія графіка функції відносно осі абсцис.
Графік функції симетричний до графіка функції відносно осі абсцис.
4. Симетрія графіка відносно осі ординат.
Графік функції симетричний до графіка функції відносно осі ординат.
Усна вправа. Прокоментувати перетворення функції: y=2-x+1
Задача №1. Побудувати графік функції:y=-x+42-22. Перетворення графіків функцій, що змінюють масштаб (розтяг і стиск графіка функції вздовж осей координат).
1. Розтяг або стиск графіка функції по осі абсцис . Графік функції одержується із графіка функції за допомогою розтягу або стиску останнього по осі абсцис пропорційно коефіцієнту k, причому якщо , то графік стискується в k разів, а якщо , то графік розтягається в разів.
2. Розтяг або стиск вздовж осі ординат. Графік функції одержується із графіка функції за допомогою розтягу або стиску останнього по осі абсцис пропорційно коефіцієнту m, причому якщо , то графік розтягується в m разів, а якщо , то графік стискується в разів.
Усна вправа. Прокоментувати перетворення функції:
a)y=2x; б) y=4x3; в) y=x26
3. Побудова графіків функцій, що містять в записі абсолютну величину.
1. Побудова графіка функції . Для побудови цього графіка потрібно побудувати графік функції для . Потім відобразити його симетрично відносно осі ординат.
2. Побудова графіка функції . Для побудови цього графіка необхідно побудувати графік функції і відобразити відносно осі абсцис ті частини графіка, які розташовані під віссю абсцис.
Усна вправа. Прокоментувати перетворення функції:
Задача №2. Побудувати графік функції:
Задача №3. Побудувати графік функції:
Задача №4. Побудувати графік функції:
Питання для самоперевірки знань і вмінь
1. Які простіші перетворення графіків функцій вам відомі?
2. Зміст перетворень, що не змінюють масштаб.(паралельний перенос вздовж осей координат, зміна знаку функції та аргументу)
3. Зміст перетворень, що змінюють масштаб.(розтяг та стиск вздовж осей координат)
4. Зміст побудови графіків, що містять абсолютну величину
Висновок. ________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
Тема2. Степенева, показникова і логарифмічна функції
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 3
Тема. Розв’язування вправ на перетворення виразів з коренями та степенями. Розв’язування ірраціональних рівнянь
Мета роботи: навчитись перетворювати вирази, що містять корені та степені; навчитись розв’язувати різні типи ірраціональних рівнянь.
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Основні формули алгебри”
Теоретичні відомості про корені та степінь з довільним показником. Методичні вказівки до виконання роботи.
Означення арифметичного кореня n-го степеня з числа а:

, ,…, - існують для аR.
Якщо а < 0, то
= - .
, , … , - існують для а 0.
Тотожності
Якщо існує, то = а .
, а R
, а R.
Основні властивості
1. ·=. 2.
3. . 4. . 5. .
Поняття степеня з раціональним показником Степенем числа а > 0 з раціональним показником , де mZ, пN (п>1) називається число .
Отже, = .
Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників;
за означенням (0r = 0 для будь-якого г > 0.
Властивості степеня
1.аm · аn = am + n 2. аm : аn = am – n
3.(аm)n = аmn 4.(аb)n = anbn
5. ;
Задача №1. Обчислити:
а) 3-101810-1,431000000+124804;
б) 16-0,75∙8-512∙458Задача №2. Спростити вираз:
а) y-253y12+9∙y12+3y12-5 ; б) 5-522-31-533; в) 1+7∙3+7+61+72Теоретичні відомості про ірраціональні рівняння. Методичні вказівки до виконання роботи.
Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна (невідома), називають ірраціональними.
Розв'язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на приведенні їх за допомогою деяких перетворень до раціонального рівняння. Як правило, це досягається піднесенням обох частин ірраціонального рівняння до одного і того самого степеня (інколи декілька разів).
При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одержане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівняння. (Це відбувається тому, що із рівності парних степенів двох чисел не слідує рівність цих чисел.
Задача №3.
а) Розв’язати ірраціональне рівняння:
б) знайти суму коренів рівняння x+6∙x-2∙1-x=0Питання для самоперевірки знань і вмінь
1.Що називається коренем n- го степеня від числа а?
2.Що називається арифметичним коренем n- го степеня від числа а?
3. Властивості кореня n- го степеня від числа а.
4. Що називається n-ним степенем числа а, якщо п N? якщо п = 1? п = 0?
5. Що таке степінь, основа степеня, показник степеня?
6. Що називається n-ним степенем числа а, якщо п Z?
7. Сформулюйте основні властивості степенів.
8. Які рівняння називаються ірраціональними?
9. Що таке сторонні корені ірраціонального рівняння? Як їх позбутись?
Висновок. ________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 4
Тема. Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей та їх систем
Мета роботи: навчитись розв’язувати показникові рівняння, нерівності та їх системи
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Основні формули алгебри”
Теоретичні відомості про ірраціональні рівняння. Методичні вказівки до виконання роботи.
Показниковими називаються рівняння, у яких невідоме міститься в показнику степеня при постійних основах.
Найпростішим показниковим рівнянням є рівняная ах = b, де а > 0, а ≠ 1, Оскільки множина значень функції у = aх — множина додатних чисел, то рівняння aх = b:
1) має один корінь, якщо b > 0
2) не має коренів, якщо b < 0 .
Для того щоб розв'язати рівняння aх = b, де а > 0, а ≠ 1, b > О, треба b подати у вигляді b = аc, тоді будемо мати аx = ac, звідси х = с.
Загального метода розв’язування показникових рівнянь немає. Але всі відомі способи і прийоми можна звести до двох основних:
1. Логарифмування обох частин рівняння за однією основою;
2. Заміна змінних.
Частковими випадками вищеназваних способів є:
1. Спосіб приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння виду .
2. Спосіб винесення спільного множника за дужки.
3. Спосіб приведення рівняння до квадратного
Задача №1. Розв’язати рівняння:
а) ; б) ; в) 4х – 14∙2х – 32 = 0.
Теоретичні відомості про ірраціональні нерівності. Методичні вказівки до виконання роботи.
Розв'язування показникових нерівностей часто зводяться до розв'язування нерівностей ах > аb (аx аb) або aх < аb (aх аb). Ці нерівності розв'язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.
Задача №2. Розв’язати показникові нерівності:
а) ; б) .
При розв'язуванні систем показникових рівнянь використовуються звичні прийоми розв'язування показникових рівнянь і знайомі прийоми розв'язування систем рівнянь.
Задача №3. Розв’язати систему показникових рівнянь:
Питання для самоперевірки знань і вмінь
1.Які рівняння називаються показниковими?
2. Які основні методи розв’язування показникових рівнянь ви знаєте?
3. В чому полягає принцип розв’язування показникових нерівностей?
4. Що означає розв’язати систему показникових нерівностей?
Висновок. ___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 5
Тема. Розв’язування логарифмічних рівнянь та нерівностей і їх систем
Мета роботи: навчитись розв’язувати логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Основні формули алгебри”
Теоретичні відомості про логарифмічні рівняння, системи рівнянь. Методичні вказівки до виконання роботи.
Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.
Приклади логарифмічних рівнянь: lg х = 1 + lg2x, log3(x + 3) = 9, = і т. д.
Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має. Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log х = b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0. За означенням логарифма випливає, що х = аb. Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий: loga x = loga b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0, b > 0.
Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності loga x = loga b на підставі означення логарифма і основної логарифмічної тотожності маємо:
x = = b.
Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння logx a = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.
За означенням логарифма маємо: хb = а, звідси х = .
В основному, всі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв'язувати, зводяться до розв'язування найпростіших рівнянь.
При розв’язуванні логарифмічних рівнянь використовуються тільки такі перетворення, які не приводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного із одержаних коренів обов'язкова, якщо немає впевненості в рівносильності рівнянь.
Задача №1. Розв’язати рівняння:
а) ; б) log5 (7x + 4) = l + log5 (2x – 1);
в) log27 log2 = ; г) + 2log2 – 12 = 0; д) = 625.

При розв'язуванні систем логарифмічних рівнянь використовують ті саме способи, що й при розв'язуванні алгебраїчних систем.
Задача №2 Розв’язати систему рівнянь:
Теоретичні відомості про логарифмічні нерівності та методи їх розв’язування. Методичні вказівки до виконання роботи.

Як відомо, логарифмічна функція у = logа х зростає при a > 1, спадає — при 0 < a < 1. Із зростання функції у = logа x у першому випадку і спадання — у другому випадку випливає:
1) При a > 1 нерівність logа х2 > logа х1 рівносильна системі
2) При 0 < a < 1 нерівність logа х2 > logа х1 рівносильна системі
Задача №3 Розв’язати нерівності:
а) log0,2(2x) > log0,2(x + 1); б)
Задача №4. Розв’язати рівняння: ∙log2 (x + l) = 0;
Питання для самоперевірки знань і вмінь
1.Які рівняння називаються логарифмічними?
2. Чому в логарифмічних рівняннях необхідно робити перевірку?
3. Яку роль при розв’язуванні логарифмічних нерівностей відіграють властивості логарифмічної функції?
Висновок. _________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата _____________
Тема3. Тригонометричні функції
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 6
Тема. Розв’язування вправ на перетворення тригонометричних виразів
Мета роботи: навчитись перетворювати тригонометричні вирази за допомогою основних тригонометричних тотожностей, формул зведення та формул додавання.
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Основні формули тригонометрії”
Теоретичні відомості про тригонометричні функції. Методичні вказівки до виконання роботи.
Синусом кута α називається ордината точки Pα (x; y) одиничного кола:
sin α = y.
Косинусом кута α називається абсциса точки Pα (x; y) одиничного кола:
cos α = x.
Тангенсом кута α називається відношення ординати точки Pα (x; y) оди-
ничного кола до її абсциси, тобто відношення
Котангенсом кута α називається відношення абсциси точки Pα (x; y) оди
38442904578351891665457835ничного кола до її ординати, тобто відношення

1. Основні тригонометричні тотожності:
1.sin2 α + cos2 α =1 2.
3. 4.
5. 6. tgα · ctgα = l
2. Формули додавання:
1. соs (α – β) = соs α · соs β + sіn α · sіn β
2. соs (α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β
3. sіn (α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β
4. sіn (α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn
5. 6.
3. Тригонометричні функції подвійного аргументу
1. sіn 2α = 2sіn α соs 2. соs 2α = соs2 α - sіn2 α
3.
Задача №1. Обчислити:
а) sin 150; б) sin ; в) coscos – sinsin
Задача №2 Знайти:
а) cos, якщо sin = -0,6 і < < 2;
б) cos 2, якщо sin  = , .
Задача №3: Спростити:
а) sin  + cos (  )  tg (  ) + ctg .
б) (sin  + cos )2 + tg2   2sin  cos .
Задача №4. Довести тотожність:
Питання для самоперевірки знань і вмінь
Що називається синусом числа a? косинусом a?тангенсом числа a? котангенсом числа a?
Які знаки мають тригонометричні функції в чвертях?
Як змінюються значення тригнонометричних функцій в чвертях?
Основні тригонометричні тотожності
Формули зведення.
Формули додавання.
Формули кратних кутів (подвійного аргументу)
Висновок.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 7
Тема. Побудова графіків тригонометричних функцій
Мета роботи: навчитись будувати графіки тригонометричних функцій з найпростішими перетвореннями.

Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Графіки і властивості тригонометричних функцій”
Теоретичні відомості про тригонометричні функції. Методичні вказівки до виконання роботи.
1. Графік функції

Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусоїдою
2. Графік функції

Крива, яка є графіком функції називається косинусоїдою
Графік функції у = tg x

Крива, яка є графіком функції у = tg x називається тангенсоїдою
Графік функції у = ctg x.

Крива, яка є графіком функції у = сtg x називається котангенсоїдою
2.Простіші перетворення графіків функцій.

24765142875
Задача №1. Побудувати графік функції: y=4sin2(x+π6)Задача №2 Побудувати графік функції: y=12cos3(x-2π3)Задача №3: Побудувати графік функції: y=-3cos13(x+5π6)Питання для самоперевірки знань і вмінь
Як називаються графіки тригонометричних функцій?
Яка з тригонометричних функцій є парною, що це означає геометрично?
Які простіші перетворення можна виконати над графіками тригонометричних функцій. В чому полягає їх зміст?
Рівняння гармонійних коливань. Зміст гармонійних коливань.
Висновок. __________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 8
Тема. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь і таких, що зводяться до найпростіших.
Мета роботи: навчитись розв’язувати різні типи тригонометричних рівнянь та найпростіші тригонометричні нерівності
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Найпростіші тригонометричні рівняння”, “Таблиця значень тригонометричних функцій”
Теоретичні відомості про тригонометричні рівняння. Методичні вказівки до виконання роботи.
1.Тригонометричні рівняння, що зводяться до алгебраїчних за допомогою тотожніх перетворень
Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.
Розглянемо приклад.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sin2х + 4cos x = 2,75.
Розв'язання
Замінивши sin2х на 1 - cos2x, матимемо:
1 – cos2x + 4cos х - 2,75 = 0, - cos2х + 4 cos х - 1,75 = 0, cos2 х – 4cos х + 1,75 = 0. – квадратне рівняння відносно косинуса
Нехай cos х = t, тоді t2 - 4t + 1,75 = 0. Звідси t1 = . t2 = >1.
Оскільки t2 > 1, то cos x = — розв'язків немає.
Оскільки t1 = , то cos х = , х = ± + 2πп, пZ.
Відповідь: ± + 2πп, пZ.
Задача №1. Розв’язати рівняння: 2sin2х = 1 + cosх.
2.Тригонометричні рівняння, що розв’язуються розкладанням на множники
Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв'язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.
Розглянемо приклади.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 1 + cos x - 2 cos = 0.
Розв'язання
Врахувавши, що 1 + cos х = 2 cos , матимемо:
2cos2 – 2cos= 0, 2cos= 0.
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:
1) cos = 0; = +πn, n Z; х = π + 2πп, п Z; 2) cos = 1; = 2πn, п Z; х = 4πn, п Z. Відповідь: π + 2πп, 4πn, п Z.

Задача №2 . Розв’язати рівняння : sin2x – 2cos2x = 0.
3.Однорідні тригонометричні рівняння.
3.1. Розглянемо рівняння виду asin x + bcos x = 0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x. Маємо:
atg x + b = 0 tg x = - . x = - arctg + πn, n Z.

Задача №3 Розв’язати рівняння cos x - sin x = 0.
3.2. Рівняння виду
аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0
називається однорідним рівнянням п-го степеня відносно синуса і косинуса.
Якщо жоден із коефіцієнтів an, а n-1, ... , а1, a0 не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosnx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx.
Задача №4. Розв’язати рівняння: 3sin2x + 3sinxcosx – 2cos2x = 2
Теоретичні відомості про найпростіші тригонометричні нерівності. Методичні вказівки до виконання роботи.
Нерівність називається тригонометричною, якщо вона містить змінну тільки під знаком тригонометричної функції. Наприклад, sin 3x > 1, cos x + tg x < 1 — тригонометричні нерівності. Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень змінної, при яких нерівність виконується.
Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування нерівностей:
sin x > a, sin x < a, sin x a, sin x а,
cos x > a, cos x < a, cos x a, cos x a,
tg x > a, tg x < a, tg x . a, tg x a,
3886200520065які називаються найпростішими.
Приклад3. Розв'яжіть нерівність sin t .
Розв'язання
Будуємо одиничне коло (рис. 126) та пряму у = , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Знаходимо на одиничному колі точки, значення ординат яких не менші .
Цими точками є точки дуги АСВ, де А = , В = . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції sin t дорівнює 2π, маємо розв'язок даної нерівності
. Відповідь:
Задача №5. Розв’язати нерівність 3 tg(t+π 4) 1 .
Питання для самоперевірки знань і вмінь
1.Які рівняння називаються т ригонометричними?
2. Формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь. Загальні та окремі випадки
3. Які типи тригонометричних рівнянь, що зводяться до найпростіших ви знаєте? Методи їх розв’язування
4.Які нерівності називаються найпростішими тригонометричними? Що означає розв’язати найпростішу тригонометричну нерівність?
Висновок. _________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата _____________
Тема 4. Рівняння, нерівності та їхні системи.
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 9
Тема. Розв’язування рівнянь за допомогою розкладання на множники, заміни змінних, функціональних методів
Мета роботи: навчитись розв’язувати різні типи рівнянь за допомогою розкладання на множники, заміни змінних, функціональних методів
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Методи розв’язування рівнянь”
Теоретичні відомості про рівняння. Методичні вказівки до виконання роботи.
Рівнянням називається рівність із змінною.
Розв’язати рівняння означає знайти таке значення невідомої, при якому рівняння перетворюється у вірну математичну рівність.
Коренем рівняння є таке значення невідомої, яке перетворює рівняння у вірну математичну рівність.
Рівносильні перетворення рівнянь
Рівняння f(x) = g(x) з областю допустимих значень D рівносильні рівнянням:
f(x) + φ(х) = g(x) + φ(х);
Af(x) = Ag(x), якщо А ≠ 0;
f(x)φ(x) = g(x)φ(x), якщо φ(х) ≠ 0, x D;
, якщо φ(x) ≠ 0, x D;
, якщо f(x)g(x) ≥ 0 , x D.
Перетворення, що призводять до появи зайвих коренів чи втрати коренів
1. f(x) – f(x) = 0; 2. ; 3. ;
4. . 5. .
6. loga(f(x)g(x)) = loga f(x) + loga g(x).
7. .
Дробово-раціональне рівняння рівносильне системі рівнянь:
Методи розв’язування рівнянь
1.Спосіб розкладання многочленів на множники полягає в тому, що ми P1(х)Р2(х)∙...∙Рп(х) = 0 рівносильне сукупності рівнянь:
P1(х) = 0, Р2(х) = 0, ..., Рп(х) = 0.
Якщо α — цілий корінь рівняння хn + ап-1хn-1 + ... + а1х + а0 = 0 і а0 а, то (хn + ап-1хn-1 + ... + а1х + а0) (х – а).
Задача №1. Розв’язати рівняння:3x2-5x2-5x-32=02.Спосіб підстановки.
а(Р(х))2 + bР(х) + с = 0. Підстановка P(x) = t, at2 +bt + c = 0.
Наприклад, розв'язуючи біквадратне рівняння ах4 + bх2 +с = 0, робимо підстановку х2 = t, at2 + bt + с = 0.
аР(х) + = с. Підстановка P(x) = t, at + = c.
Однорідні рівняння: аР2(x) + bP(x)Q(x) + cQ2(x) = 0.
Якщо не має розв'язків, то Підстановка , at2 + bt + c = 0.
Задача №2 Розв’язати рівняння:
a)23x+56x-3=0; б)x+4x-4-2x-4x+4=73 ;
в) log0,252x+3log0,5x+5=0Задача №3. Розв’язати рівняння: 4x-14x∙2=3∙49xПитання для самоперевірки знань і вмінь
1.Що називається рівнянням?
2. Що означає розв’язати рівняння? Що таке корінь рівняння?
3. Які рівняння називаються рівносильними?
4.Які перетворення приводять до одержання рівносильних рівнянь?
5. Які перетворення приводять до появи сторонніх коренів? Як уникнути сторонніх коренів?
6. Які рівняння називаються раціональними? Основні методи їх розв’язування.
7. Заміна змінної в рівнянні, як її проводити?
8. Метод розкладу на множники, в чому полягає його суть?
Висновок. ___________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата _____________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 10
Тема. Розв’язування нерівностей та систем нелінійних рівнянь
Мета роботи: навчитись розв’язувати різні типи нерівностей, систем нелінійних рівнянь
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Теореми про рівносильність нерівностей”, “ Теореми про рівносильність систем рівнянь”
Теоретичні відомості про нерівності. Методичні вказівки до виконання роботи.
1.Теореми про рівносильність нерівностей
Нерівність f(х) < g(x), визначена на множині D, рівносильна нерівностям:
g(x) > f(x).
f(x) – g(x) < 0.
f(x) + φ(x) < g(x) + φ(x), де φ(х) визначена на множині D.
f(х) φ(х) < g(х) φ(х), де φ(х) > 0, x D
f(х) φ(х) > g(х) φ(х), де φ(х) < 0, x D.
Нерівність рівносильна нерівності f(x)g(x) < 0.
Нерівності аf(х) < ag(x) і f(x) < g(x), якщо а (1; ∞), рівносильні.
Нерівності аf(х) < ag(x) і f(х) > g(x), якщо а (0; 1), рівносильні.
Якщо f(х) > 0 і g(x) > 0, то нерівності f(x) < g(x) і (f(х))n < (g(x))n, п N, рівносильні.
Нерівності f(х) < g(x) і , п N, рівносильні.
Нерівності і |f(x)| < |g(x)|, п N, рівносильні.
Якщо а (1; ∞) і f(х) > 0, g(x) > 0, то нерівності f(x) < g(x) і
loga f(x) < loga g(x) рівносильні.
Якщо a (0; 1) і f(х) > 0, g(x) > 0, то нерівності f(x) < g(x) іloga f(x) > loga g(x) рівносильні.
Задача №1. Розв’язати нерівність:
x2+7x+12>6-x; б)2x2-3x-5<x-1;в) 7∙22x+22x+1≤32x+1+32x;г) log3x+log3x+log13x<62.Теореми про рівносильні системи рівнянь
Система рівносильна системі
Якщо не існує пар (х; у), для яких f1(х) = g1(х) = 0, то система рівносильна системі
Якщо не існує пар (х; у), для яких f2(х) = g2(х) = 0, то система рівносильна системі
Якщо для будь-яких х, у з ОДЗ системи f2(х) ∙ g2(х) ≥ 0, то дана система рівносильна системі
2.1.Основні способи розв'язування систем рівнянь
Спосіб алгебраїчного додавання;
спосіб підстановки;
спосіб заміни змінних.
Задача №3 Розв’язати систему рівнянь: log3x+2y+log13x-2y=1x2+y2=4+12yПитання для самоперевірки знань і вмінь
1.Що таке нерівність з однією змінною?
2. Що означає розв’язати нерівність?
3. Теореми про нерівності.
4. Що таке система рівнянь?
5. Що означає розв’язати нерівність?
6. Які системи називаються рівносильними?
7. Теореми про рівносильні системи рівнянь.
Висновок__________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата _____________
Тема 5. Вектори і координати
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 11
Тема. Обчислення довжини вектора, кута між векторами, що задані координатами
Мета роботи: Навчитись обчислювати довжину вектора, кута між векторами, що задані своїми координатами
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Декартові координати та вектори на площині”.
Теоретичні відомості про обчислення довжини вектора, кута між векторами, що задані координатами. Методичні вказівки до виконання роботи.

Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .
Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.
Довжина вектора обчислюється формулою:

Довжина вектора , заданого точками обчислюється за формулою: .
Сумою векторів a(ax;ay) і bbx;by є вектор, координати якого обчислюються: = (ах + bх, ау + bу)
Добутком вектора a(ax;ay) на число R є вектор, координати якого обчислюються:
.
Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо вектори задано за допомогою координат: , то скалярний добуток обчислюється так:
.
Два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.
Задача №1. Знайти відстань між двома точками A(3;-4) і B(6;-8)
Задача №2. Встановити вид трикутника ABC, якщо A(1;-1); B(-2;1); C(1;2).
Задача №3.Переконатись в тому, що точки A(0;1); B(-1;-2); C(2;7)лежать на одній прямій
Задача №4. Знайти скалярний добуток векторів m=2a+4b і n=3a-b , якщо a=(-2;1); b=(-1;4).
Поділ відрізка у заданому відношенні.
Число — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2
Тоді Координати точки М обчислюються:
;

Якщо точка М(х,у) — середина відрізка М1М2, то = 1 і координати точки М обчислюються :
.
Задача №5. Знайти довжину медіани AM трикутника АВС, якщо A(11;14);
B(-5;2); С(3;-6) .
Задача №6 Дано вершини A(-3;1); B(1;3) паралелограма АВСD і точка М(1;-2)перетину його діагоналей. Знайти координати вершин C і D.
Скалярним добутком векторів і називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Кут між векторами визначають за формулою:

Задача №7. Знайти кут між векторами a=(2;-6); b=(-3;9).
Питання для самоперевірки знань і вмінь
1. Що називається вектором?
2. Який вектор називається нульовим?
3. Формула довжини вектора.
4. Сума векторів, що задані своїми координатами..
5. Добуток вектора на число.
6. Скалярний добуток векторів.
7.Які вектори називаються колінеарними? Умова колінеарності векторів.
8. Які вектори називаються рівними?
9. Поділ відрізка у даному відношенні.
10. Формула кута між векторами.
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ____________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 12
Тема. Застосування координатного методу до обчислення відстаней та кутів у просторі
Мета роботи: навчитись застосовувати координатний метод до обчислення відстаней та кутів у просторі
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Декартові координати та вектори в просторі”.
Теоретичні відомості про обчислення відстаней та кутів у просторі. Методичні вказівки до виконання роботи.
Відстань між точками і обчислюється за формулою: .

Задача №1. Дано дві точки A(-3;1;-1) і B(2;-4;1). Виразити через орти
вектор AB і обчислити його довжину.
Задача № 2. Знайти довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо A(5;3;2),
B-3;2;1, C(5;-4;7) Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або паралельних прямих. Вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні
Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.
Задача № 3. При яких значеннях m і n дані вектори колінеарні:
a=(15;m;1) і b=(18;12;n) Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо вектори задано за допомогою координат: , то скалярний добуток обчислюється так:
.
Два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Кут між векторами визначають за формулою:

Задача №4. Знайти кут φ між векторами a=(-2;0;2) і b=(-1;1;0)Задача № 5. Чи перпендикулярні вектори a=(1;1;-2) і b=(2;2;2) Задача № 6. Знайти довжину вектора m=2a-3b , де a=(5;-12;4) і
b=(1;-2;2)Питання для самоперевірки знань і вмінь
Формула обчислення відстані між двома точками в просторі.
Які вектори називаються колінеарними?
Як визначити, чи колінеарні вектори?
Як визначити, чи перпендикулярні вектори?
Формула кута між векторами.
Висновок_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________ Оцінка__________ Дата ____________
Тема 6. Систематизація та узагальнення методів планіметрії
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 13
Тема. Обчислення площ, радіусів вписаних та описаних кіл для многокутників.
Мета роботи: навчитись обчислювати площі, радіуси вписаних та описаних кіл для многокутників.
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Основні формули
планіметрії ”.
Теоретичні відомості про формули площ, радіуси вписаних та описаних кіл многокутників. Методичні вказівки до виконання роботи.
Площі фігур
Прямокутник

S = ab, S = d2sinφ Квадрат

S = a2, S = d2
Паралелограм

S = bh, S = absinα
S = d1d2 sinφ Ромб

S = ah, S = a2sina
S = d1d2
Трикутник

S = aha

де
S = pr
S = absina


Трапеція
S = ∙h, S = d1d2sinφ Довільний чотирикутник

S = d1d2sinφ2.Радіуси вписаних та описаних кіл правильних многокутників.
n
R, r п — довільне, n = 3 n = 4 n = 6
R a6
r
3. Радіуси вписаних та описаних кіл многокутників
1. Трикутники
Рівносторонній ; ; ; , де - сторона.
Прямокутний ; ; - сторони.
Довільний ; ; - сторони, p- периметр трикутника.
2. Чотирикутники
Прямокутник , - діагональ прямокутника.
Квадрат , - сторони; , - діагональ квадрата.
Задача №1. Знайти S, R, r для трикутника, якщо a=10, b=10, c=12.
Задача №2. Знайти S, R, r для прямокутного трикутника, якщо c=26, b=24.
Задача № 3. Знайти S, R, r для рівностороннього трикутника, якщо a=8.
Задача № 4. Знайти S, R, r для квадрата, якщо його периметр P =144.

Питання для самоперевірки знань і вмінь
Що таке площа? Сформулюйте властивості площі.
Чому дорівнює площа прямокутника?
Чому дорівнює площа квадрата зі стороною а?
Як зміниться площа прямокутника, якщо:
а) зменшити одну сторону вдвічі, а другу сторону залишити без змін;
б) кожну сторону збільшити вдвічі?
Заповніть пропуски: 1км2 = ... м2; 1 м2 = ... см2; 1см2 = ... мм2; 1 га = ... м2; 1 а = ... м2.
Чому дорівнює площа паралелограма?
Чому дорівнює площа трикутника, якщо відома його сторона а та висота па, проведена до неї?
Як можна знайти площу трикутника, якщо відомі його сторони і радіус описаного кола?
Як можна знайти площу трикутника, якщо відомі його сторони і радіус вписаного кола?
Висновок_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач_________Оцінка__________ Дата _______________
Тема 7. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин в просторі
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 14
Тема. Розв’язування задач на застосування ознак паралельності прямих і площин
Мета роботи: навчитись застосовувати ознаки паралельності прямих і площин в просторі до розв’язування задач
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Паралельність прямих і площин в просторі”.
Теоретичні відомості про ознаки паралельності прямих і площин в просторі. Методичні вказівки до виконання роботи.
Випадки розташування прямих в просторі:
паралельність
перетин
мимобіжність
співпадання
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині
Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони не перетинаються і не лежать в одній площині
Ознака паралельності прямих в просторі.
Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
Задача №1. Яким може бути взаємне розташування прямих а і b, якщо пряма а лежить в площині α, а пряма b паралельна цій площині? Відповідь обґрунтуйте.
Випадки розташування прямої і площини в просторі:
паралельність
перетин
пряма лежить на площині
Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
Ознака паралельності прямої і площини
Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна деякій прямій в цій площині, то вона паралельна і самій площині
Задача №2. Площина α перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС відповідно в точках В1 і С1, ВС || α (рис. 130). Знайдіть АС, якщо АС1 = 2 см, ВС:В1С1=2:1.
176784041275
Випадки розташування площин в просторі:
паралельність
перетин
співпадання
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються
Ознака паралельності площин
Якщо дві прямі, які перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то такі площини паралельні
Задача № 3. Дано дві паралельні площини α і β. Промінь SC перетинає площину α в точці А, а площину β — в точці С; промінь SD перетинає площину α в точці В, а площину β — в точці D; SA = 14 см, SC = 42 см, CD = 18 см. Знайти довжину відрізка АВ.
Питання для самоперевірки знань і вмінь
Основні поняття стереометрії
Аксіоми стереометрії
Наслідки із аксіом стереометрії
Взаємне розташування прямих в просторі
Які прямі називається паралельними, мимобіжними?
Ознака паралельності прямих
Взаємне розташування прямих і площин в просторі
Які пряма і площина називаються паралельними?
Ознака паралельності прямої і площини
Взаємне розташування площин в просторі
Які площини називаються паралельними?
Ознака паралельності площин
Теореми про паралельні площини
Що таке паралельне проектування?
15.Властивості паралельного проектування
Висновок_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________ Оцінка__________ Дата ________
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 15
Тема. Розв’язування задач на застосування ознак перпендикулярності прямих і площин
Мета роботи: навчитись застосовувати ознаки перпендикулярності прямих і площин в просторі до розв’язування задач
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
2.Варіанти завдань для письмового опитування;
3.Роздатковий матеріал: опорні конспекти “Перпендикулярність прямих і площин в просторі”.
Теоретичні відомості про ознаки паралельності прямих і площин в просторі. Методичні вказівки до виконання роботи.
Дві прямі, що перетинаються називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом
Ознака перпендикулярності прямих в просторі.
Якщо дві прямі, які перетинаються відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони перпендикулярні.
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь – якої прямої, що лежить в цій площині і проходить через точку перетину
Ознака перпендикулярності прямої і площини
Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать в площині і перетинаються, то вона перпендикулярна і до самої площини.
-146685252730Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.
Кінець цього відрізка, який лежить у площині, тобто точка С, називається основою перпендикуляра.
Похилою, проведеною з даної точки на площину називається відрізок, що сполучає дану точку з будь – якою точкою площини, тобто АВ на малюнку. В – основа похилої, СВ – проекція похилої на площину. ∠АВС-кут між прямою і площиною.
Відстанню від точки до площини є довжина відповідного перпендикуляра.
Кутом між прямою і площиною є кут між прямою та її проекцією на площину
Якщо відстані від деякої точки простору до всіх вершин многокутника рівні, то проекцією даної точки на площину многокутника буде центр описаного навколо многокутника кола.
Якщо відстані від деякої точки простору до всіх сторін многокутника рівні, то проекцією даної точки на площину многокутника буде центр вписаного в многокутника кола.
Задача №1. Із точки, що знаходиться на відстані 24см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між якими прямий 90º. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 18см і 32см. Знайти відстань між основами похилих.
Задача №2. Точка М знаходиться на однаковій відстані від всіх сторін рівностороннього трикутника зі стороною 12см і віддалена від площини трикутника на 6см. Знайти відстані від точки М до сторін трикутника.
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, проведена перпендикулярно до лінії перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.
Ознака перпендикулярності площин
Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то такі площини перпендикулярні
Задача № 3. Із кінців відрізка, що лежать в двох взаємно перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16см і 15см. Відстань між основами цих перпендикулярів дорівнює 12см. Знайти довжину даного відрізка.
Питання для самоперевірки знань і вмінь
Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?
Ознака перпендикулярності прямих в просторі.
Яка пряма називається перпендикулярною до площини?
Ознака перпендикулярності прямої і площини.
Наслідки із ознаки перпендикулярності прямої і площини.
Що таке перпендикуляр опущений з даної точки на площину? Основа перпендикуляра.
Скільки перпендикулярів можна провести з даної точки на площину?
Що таке похила, проведена з даної точки на площину? Основа похилої.
Скільки похилих можна провести з даної точки на площину?
Що таке проекція похилої на площину?
Як визначити відстань від даної точки до площини?
Як визначити кут між прямою і площиною?
Властивість точки простору, рівновіддаленої від всіх вершин фігури.
Властивість точки простору, рівновіддаленої від всіх сторін фігури.
Які площини називаються перпендикулярними?
Ознака перпендикулярності площин.
Висновок_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач_____________Оцінка__________ Дата ______
Тема 8. Похідна та її застосування.
ПРАКТИЧНА РОБОТА №16
Тема. Розв’язування задач на застосування фізичного та геометричного змісту похідної, обчислення похідних складених функцій
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на геометричні та фізичні застосування похідної.
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Основні формули диференціювання»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про похідну. Методичні вказівки до виконання роботи
Нехай U та V – диференційовані функції, С-стала, тоді:
1.
2.
3.
4.
Основні формули диференціювання.
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7.
8.
Задача №1. Знайти похідну функції:
а) y=3x4+5x3 -1xx3 ; б) y=3x1-2sinx ; в) y=x3-4x2+x2
Якщо - складена функція, то
Задача №2. Знайти похідну функції:
а) y=e2x2-3 б)y=tgx+1 в) y=cos5x-2∙ln2x
Теоретичні відомості про застосування похідної.
Фізичний зміст похідної. При прямолінійному русі точки швидкість в даний момент дорівнює похідній від шляху по часу , обчисленій при : .
Прискорення в даний момент дорівнює похідній від швидкості по часу , обчисленій при : .
Задача №3. Знайти швидкість і прискорення точки, що рухається за законом в момент часу .
Геометричний зміст похідної. Похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої, проведеної у точці . Рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою має вигляд:.
Задача №4.
а)Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .
б) В яких точках дотична до графіка функції y=2x-1 утворює з віссю абсцис кут 450?
Питання для самоконтролю знань і вмінь
Похідна суми, добутку, частки двох функцій.
Похідна складеної функції.
Похідна степеневої функції.
Похідні логарифмічної, показникової та тригонометричних функцій.
Фізичний зміст похідної.
Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції.
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________Оцінка _________ Дата_______
ПРАКТИЧНА РОБОТА №17
Тема. Дослідження функцій та побудова графіків функцій за допомогою похідної
Мета роботи: навчитись досліджувати функції та будувати їх графіки за допомогою похідної
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «схема дослідження функції за допомогою похідної»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про схему дослідження функції за допомогою похідної. Методичні вказівки до виконання роботи.
Схема дослідження функцій і побудови графіків за допомогою похідної
1. Знайти область визначення функції.
2. Встановити парність (непарність) і періодичність функції.
3. Визначити точки перетину графіка функції з осями координат.
4. Визначити інтервали зростання й спадання функції.
5.Знайти точки екстремуму та обчислити значення функції у цих точках.
6. Дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення
7.Якщо необхідно, знайти координати додаткових точок, щоб уточнити поведінку графіка
функції.
8.Виконати побудову графіка функції.
Відзначимо, що ця схема є орієнтовною і не завжди потрібно виконувати її повністю. Наприклад, далеко не завжди можна точно знайти точки перетину графіка з віссю Оx, навіть якщо ми знаємо, що такі точки існують. Також часто достатньо складно дослідити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення. У такому випадку уточнити поведінку графіка функції можна за рахунок знаходження координат точок графіка
функції, абсциси яких вибирають так, щоб вони наближалися до кінців проміжків області визначення.
Задача №1. Дослідити функцію та побудувати її графік у=x3-3x-3Задача №2. Дослідити функцію та побудувати її графік y=xx2-1Питання для самоконтролю знань і вмінь
1. За якою схемою можна досліджувати властивості функції для побудови її графіка?
2. Охарактеризувати особливості виконання основних етапів дослідження функції та відображення результатів дослідження на графіку функції
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________Оцінка_________ Дата___________
Тема 9. Інтеграл та його застосування
ПРАКТИЧНА РОБОТА №18
Тема. Обчислення первісних для функцій, фізичні застосування первісних
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення первісних
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Основні формули інтегрування»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про первісну. Методичні вказівки до виконання роботи.
Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому проміжку, якщо для всіх x із цього проміжку виконується рівність: F'(X) = f(x).
Теорема 1. Нехай функція F(x) є первісною для f(х) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f(х).
Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називають невизначеним інтегралом цієї функції і позначають . функцію f(x) називають підінтегральною функцією.
Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Задача №1.Доведіть , що Fx є первісною для функції fx:
a) Fx=3x8+cos2x+7; fx=24x7+sin2x б) Fx=x4+2x; fx=2x3x4+2xЗадача №2. Знайти загальний вигляд первісних для функції:
а) fx=e4-3x б) fx= 34x-53 в) fx=12cos24x-14x+5Задача №3. Знайти первісну функції f(x), що проходить через дану точку A:
fx=202x-36+x, A(2;5)Теоретичні відомості про застосування первісної.
При вивченні теми «Похідна» ми розв'язували задачу про знаходження швидкості прямолінійного руху по заданому закону зміни координати s(t) матеріальної точки. Миттєва швидкість v(t) дорівнює похідній функції s(t), тобто v(t) = s'(t).
У практиці зустрічається обернена задача: по заданій швидкості v(t) руху точки знайти пройдений нею шлях s(t), тобто знайти таку функцію s(i), похідна якої дорівнює v(t). Функцію s(t) таку, що s'(t) = v(t), називають первісною функції v(t). Наприклад, якщо v{t) = gt, то s(t) = є первісною функції v(t), оскільки Тобто, фізичним змістом первісної функції є рівняння руху точки, коли відомо рівняння швидкості.
Задача №4 Точка рухається із швидкістю, що задається рівнянням vt=4t3-2t+3 . Записати рівняння руху точки, якщо в момент часу t=2c точка пройшла 30м.
Задача №5. Обчислити невизначений інтеграл:
а)2x3+5x-3xdx; б) 1-7x4dxПитання для самоконтролю знань і вмінь
Що таке первісна функції на даному проміжку?
Як перевірити, чи вірно знайдена первісна функції?
Основна властивість первісної.
Геометрична інтерпретація неоднозначності первісної.
Правила знаходження первісних.
Фізичний зміст первісної.
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач__________Оцінка_________ Дата__________
ПРАКТИЧНА РОБОТА №19
Тема. Обчислення визначених інтегралів за допомогою формули Ньютона - Лейбніца, обчислення площ криволінійних трапецій
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення визначених інтегралів та площ плоских фігур за допомогою визначених інтегралів.
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Основні формули інтегрування»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про визначений інтеграл. Методичні вказівки до виконання роботи.
81915142240
Визначеним інтегралом називається вираз abf(x)dx, де а,в- межі інтегрування, f(x)- підінтегральна функція, f(x)dx- підінтегральний вираз.
Формула Ньютона – Лейбніца для обчислення визначених інтегралів:

Ця формула правильна для будь-якої неперервної на відрізку [а; b] функції f(x), пов'язує поняття інтеграла й первісної для даної функції, є правилом обчислення інтегралів.
Властивості інтеграла.
Інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів :
.
2) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

3)Якщо с є [а; b], то

4)
де ρ є R, k є R.
Задача №1. Обчислити визначені інтеграли:
а) 01x7-2xdx; б) 8273x2xdx ; в) 0π42dxsin2xЗадача №2. Обчислити визначені інтеграли:
а) -101-2x3dx; б) 12dx4x-3; в) -10dx31-7x; -1132x+1ln3dxТеоретичні відомості про криволінійну трапецію
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [а; b]
242506585725
Визначений інтеграл abf(x)dx, якщо f(x) 0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0.
Задача №3 обчислити площу фігури, обмеженої лініями:
а) у = 4 - х2, у = x + 2, у = 0;
б) у = х2 - 2х + 2, у = 2 + 4х - х2
Питання для самоконтролю знань і вмінь
Що називається визначеним інтегралом?
Формула Ньютона – Лейбніца.
Властивості визначеного інтеграла.
Що таке криволінійна трапеція?
Геометричний зміст визначеного інтеграла.
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________Оцінка _________ Дата_________
Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників
ПРАКТИЧНА РОБОТА №20
Тема Розв’язування задач на визначення об’єму та площі поверхні призми
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення об’єму та площі поверхні призми.
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Геометричні тіла, їх поверхні та об’єми»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про призму та її об’єм. Методичні вказівки до виконання роботи.
Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші n граней — паралелограми, називається n-кутною призмою. Її рівні n-кутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші ребра — бічними ребрами.
Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній і рані, називається діагоналлю призми.
Об’єм будь – якої призми обчислюється за формулою V=Sосн∙H , де Sосн- площа основи призми H- висота призми. Якщо призма пряма, то її висотою служить будь – яке бічне ребро.

Задача №1 В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою 12 см і бічною стороною 10 см. Знайдіть об'єм призми, якщо діагональ меншої бічної грані дорівнює 26 см.
Задача №2. Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, в якій бічне ребро
дорівнює Н і утворює з більшою діагоналлю кут β.
Теоретичні відомості про площу поверхні призми
Площею бічної поверхні (бічною поверхнею) призми називається сума площ бічних граней.
Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ: Sпр = Sбіч + 2Sосн
Задача №3 Знайдіть повну поверхню призми, бічні грані якої є квадратами, а її основою є правильний трикутник, описаний навколо кола радіуса r.
Питання для самоконтролю знань і вмінь
Дайте означення прямої (похилої) призми.
Дайте означення правильної призми.
Перелічіть властивості прямої призми.
Перелічіть властивості правильної призми.
Що таке бічна поверхня призми (повна поверхня призми)?
Чому дорівнює бічна поверхня прямої призми?
Чому дорівнює об'єм довільної призми?
Запишіть формулу для знаходження об'єму призми.
Чому дорівнює об'єм похилої призми?
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач____________Оцінка _________ Дата_______
ПРАКТИЧНА РОБОТА №21
Тема Розв’язування задач на визначення об’єму та площі поверхні піраміди, зрізаної піраміди
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення об’єму та площі поверхні піраміди, зрізаної піраміди.
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Геометричні тіла, їх поверхні та об’єми»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про піраміду та її поверхню. Методичні вказівки до виконання роботи.
4643120495300 n-кутною пірамідою називається многогранник, одна грань якого — довільний n-кутний, всі інші n граней — трикутники, що мають спільну вершину. Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань — основою, а всі інші грані — бічними гранями піраміди.
Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.
Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди. Висотою також називають і довжину цього перпендикуляра.
Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди.
Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди, треба до площі Sбіч її бічної поверхні додати Sосн, площу основи: Sпір = Sбіч + Sосн . Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника. Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з вершини піраміди, називається апофемою
Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи піраміди на її апофему: Sбіч=pоснhЗадача №1 У правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут . Визначте повну поверхню піраміди, якщо відрізок, що сполучає основу висоти з серединою апофеми, дорівнює b.
Теоретичні відомості про об’єм піраміди. Методичні вказівки до виконання роботи.
Теорема
Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту, тобто
V = SH , де S — площа основи піраміди, Н — її висотаЗадача №2. Основою піраміди є трикутник із сторонами 17см, 9см і 10см. Висоти бічних граней рівні між собою і кожна дорівнює 6см. Визначити об’єм піраміди.
Теоретичні відомості про об’єм зрізаної піраміди
Теорема
4349115266700Об'єм зрізаної піраміди, площі основ і висота якої дорівнюють відповідно S, S1 і h, можна знаходити за формулою
V = h (S+ +S1)
Задача №3 У трикутній зрізаній піраміді висота дорівнює 10 см, сторони однієї основи — 27 см, 29 см, 52 см, а периметр другої основи дорівнює 72 см. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди
Задача №4 У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює l і утворює з висотою піраміди кут β. Визначити об’єм піраміди.
Питання для самоконтролю знань і вмінь
1) Чому дорівнює об'єм будь-якої піраміди?
2) Запишіть формулу для обчислення об'єму піраміди.
3) Як зміниться об'єм правильної піраміди, якщо її висоту збільшити в п раз, а сторону зменшити у стільки ж раз?
4) Чи рівновеликі дві піраміди з рівними висотами, якщо їх основами є чотирикутники з відповідно рівними сторонами?
5) Формула для обчислення об'єму зрізаної піраміди.
6) Як відносяться об'єми подібних тіл?
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________Оцінка _________ Дата_______
Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
ПРАКТИЧНА РОБОТА №22
Тема Розв’язування задач на обчислення об’ємів та площ поверхонь циліндра, конуса
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення об’єму та площі поверхні циліндра, конуса.
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Геометричні тіла, їх поверхні та об’єми»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про циліндр, конус та їх поверхню. Методичні вказівки до виконання роботи.
Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони
-14668529845
Сторони ОА і 01В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра
Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра
-1215390153035Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ циліндра, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній.
Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра і діаметру його основи .
Площею бічної і повної поверхні циліндра називають площу розгортки бічної і повної поверхні. Тоді площа бічної поверхні Sбіч і площа повної поверхні Sцил визначаються формулами:
Sбіч = 2πRH, Sцил = 2πRH + 2πR2 = 2πR(H + R), де R, Н — радіус і висота циліндра відповідно
-22860152400
Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів
Якщо прямокутний трикутник SАО обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка S, відрізок SА, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.
Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь.
Таким чином, площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи та твірну: Sбіч = πRl.
Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса Sк одержуємо формулу
Sк = πR (l + R).
Задача №1. Хорда довжиною а стягує в основі циліндра дугу φ. Висота циліндра дорівнює Н. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
Теоретичні відомості про об’єм циліндра
Об’єм циліндра обчислюється за допомогою формули:
V=πR2H, де R радіус циліндра, H – його висота.
Задача №2. У циліндрі, паралельно його осі, проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу дорівнює d і нахилена до основи під кутом β. Знайдіть об'єм циліндра.
Теоретичні відомості про об’єм конуса
Об’єм конуса обчислюється за допомогою формули:
V=13πR2H, де R радіус конуса, H – його висота.
Задача №3 . Із центра основи конуса проведено перпендикуляр до твірної, який утворює з висотою кут р. Знайдіть об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює l.
Питання для самоконтролю знань і вмінь
1) Чому дорівнює об'єм циліндра?
2) Запишіть формулу для обчислення об'єму циліндра.
3) Чому дорівнює бічна поверхня конуса?
4)Чому дорівнює об'єм конуса?
5) Запишіть формулу для знаходження об'єму конуса.
6) Чому дорівнює бічна поверхня конуса?
7)Радіус циліндра R = 5 см, а висота Н = 8 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 2R і Н;
б) площа основи циліндра дорівнює πR2;
в) об'єм циліндра більший πR2H;
г) об'єм циліндра дорівнює 200π см3.
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач___________Оцінка _________ Дата_________
ПРАКТИЧНА РОБОТА №23
Тема Розв’язування задач на обчислення об’ємів та площ поверхонь кулі та її частин
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на обчислення об’єму та площі поверхні кулі та її частин
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти «Геометричні тіла, їх поверхні та об’єми»
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про поверхню сфери. Методичні вказівки до виконання роботи.
Площа S сфери радіуса R обчислюється за формулою S = 4πR2.
Задача №1. Довжина кола великого круга кулі дорівнює 10π см. Знайдіть площу поверхні кулі
Теоретичні відомості про об’єм кулі
Об’єм кулі обчислюється за допомогою формули: V=43πR3, де R– радіус кулі
Задача №2. Радіуси трьох куль дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайдіть радіус кулі, об'єм якої дорівнює сумі об'ємів даних куль.
Теоретичні відомості про об’єми частин кулі
Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина. Формулу для обчислення об’єму кульового сегмента можна одержати аналогічно до формули об’єму кулі:
V=πH2R-H3, де H- висота сегмента, R- радіус кулі.
Кульовим сектором називають тіло, яке дістають з кульового сегмента і конуса таким чином:
якщо кульовий сегмент менший за півкулю, то кульовий сегмент доповнють конусом, у якого вершина знаходиться в центрі кулі, а основою є основа сегмента;
якщо кульовий сегмент більший за півкулю, то даний конус з нього видаляється.
Об’єм кульового сектора дістаємо за допомогою додавання або віднімання об’ємів відповідних сегментів і конуса:
V=23πR2H де H- висота відповідного кульового сегмента,
R- радіус кулі.
Кульовим поясом називається частина кулі, яка містить між двома паралельними січними площинами. Його об’єм обчислюється як різниця відповідних кульових сегментів.

Задача №3 Знайдіть об'єм меншого кульового сегмента, якщо радіус кола його основи дорівнює 20 см, а радіус кулі 25 см.
Задача №4. Радіуси основ кульового поясу дорівнюють 3 і 4 см, а радіус кулі – 5 см. Знайдіть об'єм кульового поясу, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розміщені по різні боки від центра кулі
Питання для самоконтролю знань і вмінь
1) Сформулюйте, чому дорівнює площа сфери.
2) Запишіть формулу для обчислення площі сфери.
3) Запишіть формулу для знаходження об'єму кулі
4) Що таке кульовий сегмент?
5) Запишіть формулу для знаходження об'єму кульового сегмента.
6) Що таке кульовий сектор?
7) За якою формулою обчислюється об'єм кульового сектора?
8) Що таке кульовий пояс?
9) Як можна обчислити об'єм кульового поясу?
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач_____________Оцінка _________ Дата______
Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
ПРАКТИЧНА РОБОТА №24
Тема Розв’язування комбінаторних задач
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на застосування основних формул комбінаторики
Наочне забезпечення та обладнання:
1.Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Основні формули комбінаторики”
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про перестановки. Методичні вказівки до виконання роботи.
Коли ми говорили про множину, то порядок розміщення елементів в множині не враховувався. Нерідко розглядають і впорядковані множини.
Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Рn.
Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.
Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тобто п! (читають: єн факторіалів).

Усна вправа.
Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?
Розв'язання
P6 = 6! =l · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.
Задача №1. Скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім різних конвертів, якщо в кожний конверт кладеться лише один лист?
Задача №2. Скоротіть дріб:
a) ; б) .
Теоретичні відомості про розміщення. Методичні вказівки до виконання вправ.
Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, де т n називається розміщенням з n елементів по т елементів.
Число розміщень з n елементів по т позначають символом .
Розглянемо множину {а, Ь, с} і випишемо розміщення з елементів даної множини по два:
ab, bа, ас, са, be, cb. Отже, = 6.
Знайдемо значення .
Нехай маємо множину, яка містить n елементів. Перший елемент
m-елементної підмножини можна вибрати n способами;
другий елемент — (n - 1) способами;
третій елемент — (n - 2) способами; ... m-ий елемент — (п - т + 1) способами.
Отже,
= n · (n – 1) · (n – 2) ·... · (n - m +1),
тобто число розміщень з п елементів по m дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.
Якщо п = т, то маємо = Рn тобто перестановка — окремий випадок розміщення.
Задача №3. Скільки існує всього семицифрових телефонних номерів, в кожному із яких жодна цифра не повторюється.
Задача №4. Розв'яжіть рівняння: а) = 90; б) = 42
Теоретичні відомості про комбінації. Методичні вказівки до виконання роботи.
Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини можна утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.
Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.
Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т елементів.
Число комбінацій з n елементів по т позначають символом . Наприклад: = 3.
З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.
Таким чином, = 6, = 3.
Домовилися вважати, що
= 1, = n , = 1.
Виведемо формулу для знаходження значень , для цього порівняємо числа і при одних і тих же значеннях т і п.
Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Рm способами. У результаті з однієї комбінації утворюється розміщень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Рm разів менше за число розміщень з тих самих елементів. Тобто = • , звідси

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисельник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних натуральних чисел.
Враховуючи, що можна одержати . Отже,
Задача №5. Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці «Спортлото».
Задача №6. Обчисліть: ++.
Питання для самоконтролю знань і вмінь
Що таке невпорядкована множина?
Що таке перестановка?
Яка множина називається впорядкованою?
Що таке розміщення?
Що таке комбінація?
Що таке трикутник Паскаля?
Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, не повторюючи цифри у запису числа?
В одинадцятому класі 30 учнів. Вони обмінялись один із одним фотокартками. Скільки фотокарток було роздано?
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач_____________Оцінка _________ Дата______
ПРАКТИЧНА РОБОТА №25
Тема Обчислення ймовірності за допомогою комбінаторики, ймовірності суми та добутку подій
Мета роботи: навчитись розв’язувати задачі на застосування основних формул комбінаторики
Наочне забезпечення та обладнання:
Інструкційні картки;
Приклади задач;
Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Основні формули комбінаторики”
Обчислювальні засоби: калькулятор.
Теоретичні відомості про застосування комбінаторики. Методичні вказівки до виконання роботи.
Відношення числа подій, які сприяють події А, до загальної кількості подій простору елементарних подій називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А).
Р(А) = , де
А — подія,
Р(А) — ймовірність події;
n — загальна кількість подій простору елементарних подій;
т — число подій, які сприяють події А.
Ймовірність вірогідної події дорівнює 1. Ймовірність неможливої події дорівнює 0.
Безпосередній підрахунок ймовірностей подій значно спрощується, якщо використовувати формули комбінаторики. Правильність розв'язання задачі залежить від уміння визначити вид сполуки, що утворюються сукупністю подій, про які йдеться мова в умові задачі. Згадаємо алгоритм визначення виду сполуки (таблиця 15).
Нагадаємо, що:
перестановки відрізняються одна від одної порядком розташування елементів;
розміщення відрізняються або вибором елементів, або порядком їх розташування;
комбінації відрізняються тільки вибором елементів (порядок розміщення елементів не враховується).

Задача №1. В урні лежать 20 кульок, з яких 12 білих, решта — чорні. З урни навмання виймають дві кульки. Яка ймовірність того, що вони білі?
Задача №2. Гральний кубик підкидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що:
а) у сумі випаде 6 очок;
б) у сумі випаде 7 очок;
в) за два кидки випаде однакова кількість очок;
г) за два кидки випаде різна кількість очок
Теоретичні відомості про дії над подіями. Методичні вказівки до виконання вправ.
Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій одночасно.
Приклад. Якщо подія А — «влучення в ціль з першого пострілу», подія В — «влучення в ціль з другого пострілу», то подія С = А + В — «влучення в ціль».
Подія називається протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається. Читається — «не А».
4457700134620
Приклад. Якщо подія А — «попадання в ціль при пострілі», то подія — «промах при пострілі».
Для будь-якої події А мають місце рівності:
А + U = U; А + А = А; A + =U; А + = А.
Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування.
Добуток двох подій А і В позначають так: С = А · В або С = АВ, або С = АВ.
487680056515Графічно добуток двох подій, як і двох множин, зображається так, як на рисунку 2:
Для будь-якої події А і повної групи несумісних подій U мають місце рівності:
А·А =А; А· =, А · = ; А · U = А.
Приклад. Якщо подія А — «перший стрілець влучив у ціль»,
Рис2
подія В — «другий стрілець влучив у ціль», тоді подія С =А·В — «в ціль влучили обидва учасники».
Задача №3. Кожний з двох учнів вибирає навмання один з трьох можливих способів дістатися до школи: трамваєм, автобусом або пішки. Позначимо випадкові події:
A1 — «перший учень поїде до школи трамваєм»;
В1 — «перший учень поїде до школи автобусом»;
С1 — «перший учень піде до школи пішки»;
A2 — «другий учень поїде до школи трамваєм»;
В2 — «другий учень поїде до школи автобусом»;
C2 — «другий учень піде до школи пішки».
Виразити через позначені випадкові події наступні випадкові події:
а) D — «перший учень дістанеться до школи не автобусом»;
б) Е — «другий учень дістанеться до школи або трамваєм, або пішки»;
в) F — «обидва учні дістануться до школи пішки»;
г) G — «перший учень дістанеться до школи трамваєм, а другий не піде пішки»;
д) Η — «або перший, або другий з учнів дістануться до школи автобусом».
Задача №4. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влучив хоч би один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірності влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.
Питання для самоконтролю знань і вмінь
Що таке ймовірність подій?
Яка подія називається вірогідною?
Яка подія називається неможливою?
Що називається сумою подій?
Що таке добуток подій?
Які події називаються незалежними?
Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Перевірив викладач_____________Оцінка _________ Дата_____

Приложенные файлы

  • docx 11475673
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий