Лекция 7. ХТ формат.2003


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Инженерная графика Лекция № 7Основные позиционные задачи на комплексном чертеже. Пересечение поверхности плоскостью и линией.Взаимное пересечение двух поверхностей Т. В. Безрукова 2012 План лекции Основные позиционные задачи на комплексном чертежеТочки и прямые линии, принадлежащие поверхности. Алгоритм решения задачиПересечение поверхности с линиейПересечение поверхности с плоскостьюПлоскости, касательные к поверхностиВзаимное пересечение поверхностей: алгоритм решения задачиСпособ параллельных вспомогательных плоскостейСпособ вспомогательных сферЧастные случаи пересечения поверхностей второго порядка Основные позиционные задачи на комплексном чертеже Задачи на взаимопринадлежность (взять точку на линии или поверхности, провести линию на поверхности, провести поверхность через данные линии);Задачи на пересечение различных геометрических образов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверхностей). Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. Это не исключает возможности применения прямолинейных образующих в случае линейчатых поверхностей вращения. Пересечение поверхности с линией Алгоритм решения задачи:через данную прямую (кривую) проводят вспомогательную плоскость (поверхность Г;находят линию пересечения вспомогательной плоскости (поверхности) Г с заданной поверхностью θ: θ Г=m ;Отмечают точки пересечения полученной линии m с данной кривой a: m a=L1,L2. Примечание. Вспомогательную плоскость Г следует выбирать таким образом, чтобы линия ее пересечения с поверхностью легко строилась. Пересечение поверхности с прямой Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой m и поверхности .Решение.1. Заключаем линию m во фронтально проецирующую вспомогательную плоскость  (2). Определяем линию n пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью, фронтально конкурирующую с заданной прямой m.Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально проецирующей плоскости.2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n1), исходя из условия принадлежности ее поверхности.3. Находим точки Α и Β пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.4. Устанавливаем видимость проекций прямой. Так как участок ΑΒ прямой m, расположен внутри поверхности, то он невидим на Π1 и Π2.Кроме этого, на Π2 невидим отрезок прямой m правее точки Β2 до точки на очерке поверхности, а на Π1 – левее точки 51, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью – находятся за контурами поверхности. Пересечение поверхности с прямой В некоторых случаях показ вспомогательной плоскости излишен.Например, точки встречи прямой l с поверхностью прямого кругового цилиндра, имеющего вертикальную ось, определяют следующим образом.Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности представляет собой окружность, поэтому горизонтальные проекции всех точек, расположенных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек встречи, будут расположены на этой же окружности. Фронтальные проекции А2 и В2 искомых точек встречи определяют проведением через точки А1 и В1 вертикальных линий связи до пересечения с фронтальной проекцией l2 прямой l. Во втором примере построена точка пересечения горизонтально-проецирующей прямой с поверхностью кругового конуса. В этом случае также нет необходимости применять вспомогательную плоскость. Горизонтальная проекция А1 искомой точки совпадает с горизонтальной проекцией l1 данной прямой. Фронтальная проекция точки А (А2) определяется с помощью образующей S1 конуса. Пересечение поверхности с прямой Пример 3. Даны прямая n и коническая поверхность. Построить точки пересечения линии и поверхности.Решение. Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций Π1 или Π2. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость Π1, т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость Π1. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций Π1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на Π1.2. Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П1 при ее центральном проецировании.3. Находим точки Α и Β пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки Α и Β – искомые.4. Устанавливаем видимость проекций прямой n. Способ параллельных вспомогательных плоскостей Пересечение поверхности с плоскостью Линия, которая получаются при пересечении поверхности плоскостью, является плоской кривой. Чтобы построить проекции этой линии на чертеже, необходимо найти проекции ряда ее точек, а затем их соединить. Среди точек этой кривой есть такие, которые называются опорными. Это точки, которые выделяются своим особым расположением относительно плоскости проекций или занимают особые места на кривой. Например, это самая близкая и самая удаленная точки от плоскости проекций – экстремальные; точки видимости, проекции которых лежат на очерках поверхностей и т. д. Для нахождения таких точек часто приходится пользоваться специальным приемом.Для нахождения остальных точек кривой (их называют произвольными) пользуются общим приемом – способом вспомогательных плоскостей. Способ параллельных вспомогательных плоскостей Построение сечения существенно упрощается,если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следеплоскости, т.е. известна.Пример 1. Построить проекции сечения кони-ческой поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью Σ.Решение. Заданная плоскость Σ пересекаетисходную поверхность по эллипсу, фронтальнаяпроекция которого расположена на следе этойплоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности.Проекцию эллипса на плоскости Π1 можнопостроить также по его большой Α1Β1 и малой C1D1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C2=D2) находится на середине отрезка А2В2. Способ параллельных вспомогательных плоскостей Показано построение проекций фигуры сечения прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения Ф, заданной треугольником АВС.Так как цилиндр прямой, горизонтальные проекции фигуры сечения и самого цилиндра будут совпадать. В сечении будет получаться эллипс. Для нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (низшей и высшей), необходимо в плоскости треугольника АВС построить горизонталь h (h1, h2), т.к. большая ось совпадает с линией ската плоскости. Затем через ось цилиндра перпендикулярно h1 проводим линию ската плоскости и заключаем ее в горизонтально-проецирующую плоскость Г (Г1). Плоскость Г пересечет плоскость треугольника АВС по линии23 (2131, 2232), а цилиндр – по прямоугольнику. Точки, общие для линии пересечения плоскостей и сечения цилиндра плоскостью Г – D и Е (D1D2,Е1E2) – и будут искомыми. Точки, ограничивающие малую ось эллипса – М и N – определим, проведя через ось цилиндра линию перпендикулярно го-ризонтальной проекции большой оси – 4151 – и заключая ее в плоскость Λ.Точки, лежащие на крайних образующих и определяющие границы видимости – К и L(К1L1, К2L2) – определим при помощи фронтальной плоскости уровня Σ(Σ1), а ближнюю и дальнюю точки линии сечения Q и R (Q1R1, Q2R2) – спомощью плоскостей Θ и λ, проведя их касательно к цилиндру через ближнюю и дальнюю образующие. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения R и G (R1G1, R2G2), определены с помощью горизонтальной плоскости уровня Τ (Τ2). Плоские сечения. Цилиндрические сечения В пересечении кругового цилиндра плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получаться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндра; эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого; прямоугольник, если секущая плоскость параллельнаоси цилиндра. Плоские сечения. Конические сечения окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса под углом, отличным от прямого и пересекает все образующие конуса гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса; парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса; треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину конуса. В пересечении кругового конуса плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получиться: Построение сечения конуса Плоскости, касательные к поверхности При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности. Если через точку на поверхности провести кривые и касательные к ним прямые, то последние образуют плоскость. Эту плоскость называют касательной к плоскости в данной ее точке. Примеры построения касательной плоскостик поверхностям. построение плоскости, касательной к сфере в точке А. Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поэтому, проведя радиус ОА, строим плоскость, задавая ее горизонталью h и фронталью f. Эти прямые определяют плоскость, касательную к сфере в ее точке А. Плоскости, касательные к поверхности Построение плоскости, касательной к цилиндру в точке С. Здесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех точках на образующей. Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку А можно провести образующую k, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную l к окружности – горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые l и k определяют искомую касательную плоскость.Прямая l является горизонтальным следом этой плоскости. Взаимное пересечение поверхностей: алгоритм решения задачи Способ вспомогательных секущих поверхностей Даны две произвольные поверхности θ и Λ. Нужно построить линию их пересечения, т. е. определить точки, которые принадлежат линии их пересечения. пересечь данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью Γ (посредником);построить линии пересечения вспомогательной поверхности с данными:θ Γ =m; Λ Γ =n;отметить точки пересечения полученных линий, лежащих на одной и той же поверхности Γ: m n= {K,L}; эти точки принадлежат поверхностям θ и Λ, следовательно, они являются общими точками для двух заданных поверхностей, т. е. искомыми; 4) построение повторить несколько раз (в результате получим плавную кривую, которая и является искомой линией пересечения поверхностей θ и Λ). Способ параллельных вспомогательных плоскостей Способ универсален и применяется для широкого класса задач. Он применяется тогда, когда вспомогательные плоскости, пересекая поверхности, дают в пересечении с каждой поверхностью такие линии. Как прямые и окружности. Далее рассмотрим ряд задач, решаемых этим способом. Способ параллельных вспомогательных плоскостей Решение. Для нахождения линии пересечения заданных плоскостей введем две фронтально проецирующие плоскости, параллельные между собой δ1// δ2. Плоскость δ1 пересекает заданные по прямым 1-2 и 5-6. Пересечение их дает первую точку М(М1), затем М2. Аналогично находится точка N. Основная задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения α(a b) и β(c //d). 1 1 1 1 Взаимное пересечение двух поверхностей Построения следует начинать с определения опорных точек;Если заданные поверхности имеют случайное расположение в исходной системе плоскостей проекций, то для удобства решения полезно делать их расположение частным с помощью способов преобразования комплексного чертежа. Пример. Построить линию пересечения прямого кругового конуса и сферы В данном случае удобно выбрать в качестве посредника горизонтальные плоскости уровня Γ и Φ(они пересекают обе поверхности по окружностям, которые проецируются в прямую и окружность на плоскости проекций). Сначала определяются опорные точки линии пересечения:наивысшая 2, как точка пересечения фронтальных проекций меридианов поверхностей сферы и конуса;Точки видимости линии относительно горизонтальной плоскости проекций (все точки видимы).Затем находятся произвольные точки 3, 3’, 4 b 4’. Примеры на построение линий пересечения Пересечение фронтально проецирующего цилиндра вращения с конусом вращения Пересечение горизонтально проецирующего цилиндра вращения с полусферой Примеры на построение линий пересечения Пересечение проецирующей призмы с конусом Способ вспомогательных сфер Способ концентрических вспомогательных сфер Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются. Частный случай пересечения поверхностей вращения Представленные поверхности образованы вращением меридианов вокруг общей оси. Такие поверхности называют соосными. Они имеют общие параллели, которые являются их линиями пересечения. Можно сформулировать следующие два положения:Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов этих поверхностей;Эти окружности проецируются в виде прямых, перпендикулярных к оси соосных поверхностей, на ту плоскость проекций, которой ось параллельна. Способ вспомогательных сфер Пример. Построить линию пересечения двух конусов. Определяем центр вспомогательных сфер – это точка пересечения осей конусов (точка О). Затем определяем радиусы наибольшей и наименьшей сфер. Для этого надо определить опорные точки линии пересечения, точки пересечения очерковых линий на пл. П2. Это точки А, В, С и D. Отрезок, представляющий расстояние от наиболее удаленной точки С2 до центра О2, будет радиусом максимальной сферы: Rmax=О2С2. Для определения радиуса наименьшей сферы следует опустить перпендикуляры из точки О2 на очерковые образующие поверхностей и взять больший из них. Rmin на рисунке. Параллели, общие для произвольной вспомогательной сферы и двух заданных конусов определяют точки, принадлежащие линии пресечения. Способ эксцентрических сфер Способ заключается в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры Пример. Построить линию пересечения конуса с открытым тором. Ось конуса лежит в плоскости средней линии тора, поэтому поверхности имеют общую плоскость симметрии, которая параллельна фронтальной плоскости проекций. Сначала определяются опорные точки линии пересечения 1 и 2, как точки пересечения фронтальных очерков поверхностей.Для построения произвольных точек через ось тора проводится вспомогательная плоскость Φ(Φ2), которая будет фронтально-проецирующей. Эта плоскость рассечет тор по окружности с центром на средней линии тора. Из этого центра восставим перпендикуляр к плоскости Φ. Любая сфера с центром на этом перпендикуляре пересечет тор по окружности. Чтобы выбранная сфера пересекала и конус по окружности, ее центр следует взять в точке пересечения перпендикуляра с осью конуса, точка О(О2). Способ эксцентрических сфер Условия применения способа эксцентрических сфер:пересекающиеся поверхности должны нести на себе семейства окружностей (поверхности вращения, циклические, цилиндрические и конические 2-го порядка);Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии (которая параллельна одной из плоскостей проекций). Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка Из аналитической геометрии известно, что порядок линии пересечения равен произведению порядка поверхностей, значит линия пересечения двух поверхностей второго порядка – линия четвертого порядка.Большое практическое значение имеют случаи, когда эта кривая распадается на несколько кривых более низких порядков или даже прямые (два цилиндра с параллельными осями пересекаются по 4-м прямым).Особенно важны те случаи, когда кривая распадается на две плоские кривые второго порядка. Теорема 1 (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют касание в 2-х точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (второго порядка), плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка Теорема 2 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка На рисунке показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися осями. Из точки пересечения осей может быть проведена сфера,вписанная в оба цилиндра. Обе поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов.

Приложенные файлы

  • ppt 14430278
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий