Лабораторные по выч мат, числ методам ХТ веч, СТ уск


Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский национальный исследовательский
политехнический университет»
Н.Я. Захарова
Вычислительная математика
Методические указания
по выполнению лабораторных работ
2015
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА
На титульном листе указываются: вуз, кафедра, тема, автор, научный руководитель, город, год написания.ФГОБУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Березниковский филиал
Кафедра «Общенаучные дисциплины»
Тема отчета
Отчет студента
(Фамилия, инициалы)
группы
Руководитель: Захарова Н.Я.
Березники 2015
В отчете указывается номер лабораторной работы, формулируется задание, подробно описывается его решение с приложением необходимых скриншотов.
Лабораторная работа №1
Тема. Решение уравнений.
Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам.
№ 1. ; (кроме х=0) № 2. ;
№ 3. ; № 4. ;
№ 5. ; № 6. ;
№ 7. № 8.
№ 9. (кроме х=0) № 10.
№ 11. № 12.
№ 13. № 14.
№ 15. № 16. (кроме х=0)
№ 17. № 18.
№ 19. № 20.
Образец выполнения задания. Найти один корень . Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от 0,5 до 3 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. SEQ Рисунок \* ARABIC 1
Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:
Таблица1
Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть
Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона.
№ 1. 1) 2)
№ 2. 1) 2)
№ 3. 1) 2)
№ 4. 1) 2)
№ 5. 1) 2)
№ 6. 1) 2)
№ 7. 1) 2)
№ 8. 1) 2)
№ 9. 1) 2)
№ 10. 1) 2)
№ 11. 1) 2)
№ 12. 1) 2)
№ 13. 1) 2)
№ 14. 1) 2)
№ 15. 1) 2)
№ 16. 1) 2)
№ 17. 1) 2)
№ 18. 1) 2)
№ 19. 1) 2)
№ 20. 1) 2)
Образец выполнения задания. Найти один корень .
Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от -2 до 2 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 2
Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку . В нашем случае , тогда , на исследуемом отрезке. Так как , , то , в ней совпадают знаки функции и второй производной.
Метод хорд. В этом случае , составим вспомогательную таблицу
Таблица2
Так как |x5 – x4| = 0,0001 <0,001, то можно принять с точностью .
Метод касательных. Для этого метода справедливо , начальная точка выбирается аналогично методу хорд, поэтому удобно воспользоваться следующей таблицей.
Таблица 3

Так как |x3 – x2| = 0,0004 <0,001, то можно принять с точностью .

Лабораторная работа №2
Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,
метод Гаусса
Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса. Проверить полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе , и найти обратную матрицу при помощи функции МОБР.
2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).
1).
3,5x1 - 1,7x2 + 2,8x3 = 1,7,
5,7x1 + 3,3x2 + 1,3x3 = 2,1,
2,1x1 + 5,8x2 + 2,8x3 = 0,8. 2).
2,1x1 + 4,4x2 + 1,8x3 = 1,1,
0,7x1 - 2,8x2 + 3,9x3 = 0,7,
4,2x1 - 1,7x2 + 1,3x3 = 2,8.
3).
3,1x1 + 2,8x2 + 1,9x3 = 0,
1,9x1 + 3,1x2 + 2,1x3 = 2,1,
7,5x1 + 3,8x2 + 4,8x3 = 5,6. 4).
4,1x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8,
0,8x1 + 1,1x2 - 2,8x3 = 6,7,
9,1x1 - 3,6x2 + 2,8x3 = 9,8.
5).
2,7x1 - 0,8x2 + 4,1x3 = 3,2,
1,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 5,7,
3,3x1 + 2,1x2 - 2,8x3 = 0,8. 6).
1,9x1 + 1,1x2 + 3,8x3 = 7,8,
7,6x1 + 5,8x2 - 4,7x3 = 10,1,
1,8x1 - 4,1x2 + 2,1x3 = 9,7.
7).
3,2x1 - 8,5x2 + 3,7x3 = 6,5,
0,5x1 + 0,34x2 +3,7x3 = -0,24,
4,6x1 + 2,3x2 - 1,5x3 = 4,3. 8).
4,2x1 + 6,7x2 - 2,3x3 = 2,7,
5,4x1 - 2,3x2 + 1,4x3 = - 3,5,
3,4x1 + 2,4x2 + 7,4x3 = 1,9.
9).
1,5x1 + 4,5x2 + 1,3x3 = -1,7,
2,7x1 - 3,6x2 + 6,9x3 = 0,4,
6,6x1 + 1,8x2 - 4,7x3 = 3,8. 10).
3,4x1 - 3,6x2 - 7,7x3 = -2,4,
5,6x1 + 2,7x2 - 1,7x3 = 1,9,
-3,8x1 + 1,3x2 +3,7x3 = 1,2.
11).
-2,7x1 + 0,9x2 - 1,5x3 = 3,5,
3,5x1 - 1,8x2 + 6,7x3 = 2,6,
5,1x1 + 2,7x2 + 1,4x3 = -0,1. 12).
0,8x1 + 7,4x2 - 0,5x3 = 6,4.
3,1x1 - 0,6x2 - 5,3x3 = -1,5,
4,5x1 - 2,5x2 + 1,4x3 = 2,5.
13).
5,4x1 - 6,2x2 - 0,5x3 = 0,52,
3,4x1 + 2,3x2 + 0,8x3 = -0,8,
2,4x1 - 1,1x2 + 3,8x3 = 1,8. 14).
3,8x1 + 6,7x2 + 2,2x3 = 5,2,
6,4x1 + 1,3x2 - 2,7x3 = 3,8,
-2,4x1 - 4,5x2 + 3,5x3 = -0,6.
15).
-3,3x1 + 1,1x2 + 5,8x3 = 2,3,
7,8x1 + 5,3x2 + 1,8x3 = 1,8,
4,5x1 + 3,3x2 - 3,8x3 = 3,4. 16).
3,8x1 + 7,1x2 - 2,3x3 = 4,8,
-2,1x1 + 3,9x2 - 6,8x3 = 3,3,
8,8x1 + 1,1x2 - 2,1x3 = 5,8.
17).
1,7x1 - 2,2x2 - 4,0x3 = 1,8,
2,1x1 + 1,9x2 - 2,3x3 = 2,8,
4,2x1 + 1,9x2 - 0,1x3 = 5,1. 18).
2,8x1 + 3,8x2 – 8,2x3 = 4,5,
2,5x1 - 7,8x2 + 3,3x3 = 7,1,
6,5x1 - 1,1x2 + 4,8x3 = 6,3.
19).
2,3x1 + 0,7x2 + 4,2x3 = 5,8,
-2,7x1 + 2,3x2 - 2,9x3 = 6,1,
9,1x1 + 4,8x2 - 5,0x3 = 7,0. 20) .
3,1x1 + 6,8x2 + 2,1x3 = 7,0,
-5,0x1 - 4,8x2 + 5,3x3 = 6,1,
8,2x1 + 1,8x2 + 5,1x3 = 5,8.
Теоретические сведения
1.Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид:
,
В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме:
,
где А - матрица системы, - вектор решения, - вектор свободных членов.

2. Система (1.11.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной (detA0).
3. Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно. Встает вопрос, как погрешности исходных данных влияют на точность решения.
Говорят, задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым изменениям входящих в нее исходных данных. В противном случае – хорошо обусловлена.
Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно, используя величину меры обусловленности
.
4. Величина называется нормой матрицы и определяется по одной из 3-х формул:
;
;
.
6.Система (1.1-1.2) является хорошо обусловленной, а ее решение – устойчивым, если мера обусловленности близка единице.
7. Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует и единственно (detA0) и устойчиво относительно исходных данных (А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.
8. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных из системы уравнений. Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные.
Образец выполнения задания. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

используя алгоритм метода Гаусса.
Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3 в ячейки А3:D5.
Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной.
Поделим элементы первой строки на а11 .Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ и скопируем ее вправо до конца строки.
Умножим элементы первой строки на (-а21 ) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки.
Умножим элементы первой строки на (-а31 ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3).
Осталось исключить неизвестное х2 из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-й шаг рис.3).
6829872355118Рис. 3
Рис. 3

На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной.
Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G2:G4 запишем формулы:
G4=D13/C13 (для вычисления x3);
G3=D12-C12∙G4 (для вычисления x2);
G2=D11-C11∙G4-B11∙G3 (для вычисления x1).
Найдем решение исходной системы, используя надстройку Поиск решения. Заготовим таблицу, как показано на рис.4.

1295400-1905Рис. 4
Рис. 4

Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х1, х2, х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .
Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.
В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).
В столбец Е запишем значения правых частей системы .Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .
Зададим команду Данные\Поиск решения. В окне Параметры поиска решения (рис.5) в поле Изменяя ячейки переменных укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $D$3:$D$5=$E$3:$E$5. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

Рис. 5
Щелкнем на кнопке Найти решение.
Полученное решение системы х1=1; х2=–1 х3=2 записано в ячейках А7:С7, рис.4.
Для нахождения обратной матрицы, слева к исходной записываем единичную и аналогичными преобразованиями приводим левую часть к единичной матрице.
Для проверки используем функцию МОБР, для вывода всей обратной матрицы выделяем матрицу нужной размерности и нажимаем F2, Ctrl+Shift+Enter.
Находим нормы прямой и обратной матрицы, а также число обусловленности.
Для проверки устойчивости придаем правым частям небольшие возмущения и находим решение системы при помощи надстройки Поиск решения.

Лабораторная работа №3
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью: =0,01. Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений .)
Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.
Для расчета использовать СЛАУ , заданную в соответствием с вариантом.
1).
3,5х1 - 1,7х2 + 2,8х3 = 1,7
5,7х1 + 3,3х2 + 1,3х3 = 2,1
2,1х1 + 5,8х2 + 2,8х3 = 0,8 2).
2,1х1 + 4,4х2 + 1,8х3 = 1,1
0,7х1 - 2,8х2 + 3,9х3 = 0,7
4,2х1 - 1,7х2 + 1,3х3 = 2,8
3).
3,1х1 + 2,8х2 + 1,9х3 = 0,
1,9х1 + 3,1х2 + 2,1х3 = 2,1
7,5х1 + 3,8х2 + 4,8х3 = 5,6 4).
4,1х1 + 5,7х2 + 1,2х3 = 5,8
0,8х1 + 1,1х2 - 2,8х3 = 6,7
9,1х1 - 3,6х2 + 2,8х3 = 9,8
5).
2,7х1 - 0,8х2 + 4,1х3 = 3,2
1,1х1 + 3,7х2 + 1,8х3 = 5,7
3,3х1 + 2,1х2 - 2,8х3 = 0,8 6).
1,9х1 + 1,1х2 + 3,8х3 = 7,8
7,6х1 + 5,8х2 - 4,7х3 = 10,1
1,8х1 - 4,1х2 + 2,1х3 = 9,7
7)
3,2х1 - 8,5х2 + 3,7х3 = 6,5
0,5х1 + 0,34х2 +3,7х3 = -0,24
4,6х1 + 2,3х2 - 1,5х3 = 4,3. 8).
4,2х1 + 6,7х2 - 2,3х3 = 2,7;
5,4х1 - 2,3х2 + 1,4х3 = - 3,5;
3,4х1 + 2,4х2 + 7,4х3 = 1,9.
9).
1,5х1 + 4,5х2 + 1,3х3 = -1,7
2,7х1 - 3,6х2 + 6,9х3 = 0,4
6,6х1 + 1,8х2 - 4,7х3 = 3,8 10).
3,4х1 - 3,6х2 - 7,7х3 = -2,4
5,6х1 + 2,7х2 - 1,7х3 = 1,9
-3,8х1 + 1,3х2 +3,7х3 = 1,2
11).
-2,7х1 + 0,9х2 - 1,5х3 = 3,5
3,5х1 - 1,8х2 + 6,7х3 = 2,6
5,1х1 + 2,7х2 + 1,4х3 = -0,1 12).
0,8х1 + 7,4х2 - 0,5х3 = 6,4.
3,1х1 - 0,6х2 - 5,3х3 = -1,5;
4,5х1 - 2,5х2 + 1,4х3 = 2,5.
13).
5,4х1 - 6,2х2 - 0,5х3 = 0,52
3,4х1 + 2,3х2 + 0,8х3 = -0,8
2,4х1 - 1,1х2 + 3,8х3 = 1,8 14).
3,8х1 + 6,7х2 + 2,2х3 = 5,2
6,4х1 + 1,3х2 - 2,7х3 = 3,8
-2,4х1 - 4,5х2 + 3,5х3 = -0,6
15).
-3,3х1 + 1,1х2 + 5,8х3 = 2,3
7,8х1 + 5,3х2 + 1,8х3 = 1,8
4,5х1 + 3,3х2 - 3,8х3 = 3,4 16).
3,8х1 + 7,1х2 - 2,3х3 = 4,8
-2,1х1 + 3,9х2 - 6,8х3 = 3,3
8,8х1 + 1,1х2 - 2,1х3 = 5,8
17).
1,7х1 - 2,2х2 - 4,0х3 = 1,8
2,1х1 + 1,9х2 - 2,3х3 = 2,8
4,2х1 + 1,9х2 - 0,1х3 = 5,1 18).
2,8х1 + 3,8х2 – 8,2х3 = 4,5
2,5х1 - 7,8х2 + 3,3х3 = 7,1
6,5х1 - 1,1х2 + 4,8х3 = 6,3
19).
2,3х1 + 0,7х2 + 4,2х3 = 5,8
-2,7х1 + 2,3х2 - 2,9х3 = 6,1
9,1х1 + 4,8х2 - 5,0х3 = 7,0 20).
3,1х1 + 6,8х2 + 2,1х3 = 7,0
-5,0х1 - 4,8х2 + 5,3х3 = 6,1
8,2х1 + 1,8х2 + 5,1х3 = 5,8
Указания к выполнению работы
Привести полученную систему к нормальному виду .
Решить систему методами Якоби и Гаусса–Зейделя, используя приложение Excel.
Проследить сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (см. рис.7).
Метод Якоби (метод простых итераций)
Задана система линейных алгебраических уравнений
.
Или в матричной форме . Полагая, что диагональные коэффициенты
aii 0 (i = 1, 2, … n) ,
разрешим первое уравнение системы относительно х1, второе – относительно х2 и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

где , и (i, j = 1, 2, … n).
Введя матрицы и , исходную систему можно записать в матричной форме
,
а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле
.
За начальное приближение решения можно взять столбец свободных членов т.е.
Строим последовательность приближений (итераций)
.
Если эта последовательность имеет предел , то он является точным решением системы. На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.
Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

Если условие выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы с заданной точностью принимается последнее найденное приближение, т.е.
.
Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (k+1)-ой итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных значений
.
Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение и подставляем в первое уравнение системы

Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (2.8)

Используя , находим из третьего уравнения

Этим заканчивается построение первой итерации

Используя значения первого приближения можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k+1) можно представить следующим образом

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан так же, как и в методе Якоби.

Условия сходимости итерационного процесса.
Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению.
Доказывается теорема, что, если хотя бы одна из норм матрицы нормальной системы (2.3-2.4) меньше единицы, то итерационный процесс сходится к единственному решению. Т.е. изложенные выше итерационные методы можно использовать для систем, удовлетворяющих одному из следующих условий:

Или, для системы (2.1-2.2) итерационный процесс сходится, если элементы матрицы А удовлетворяют условию

т.е. модули диагональных элементов каждой строки больше суммы модулей всех остальных элементов. Это условие еще называют условием преобладания диагональных элементов.
Метод Якоби (метод простых итераций)
Найти решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби.

Прежде всего, убеждаемся, что изложенные выше итерационные методы можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов», что обеспечивает сходимость этих методов.
Приведем эту систему к нормальному виду:

Не составит труда проверка сходимости итерационного процесса по формулам.
1143054038500Возьмем чистый лист Excel. Заготовим таблицу, как показано на рис.2.1.
Рис.6
Исходные данные, матрицы и, введем в ячейки В6:Е8. Значение - в ячейку Н5. Номер итерации k сформируем в столбце А с помощью автозаполнения. В качестве нулевого приближения выберем нулевой вектор и введем его в ячейки В11:D11.
В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя выражение (2.4). Эти формулы имеют вид:
B12=$E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6,
C12=$E$7 + B11*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7,
D12=$E$8 + B11*$B$8 + C11*$C$8 + D11*$D$8.
Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ (см. пример 1.2)
В ячейку Е12 введем формулу: E12=ABS(B11-B12) и скопируем ее вправо, в ячейки F12:G12.
В ячейку Н12 введем формулу для вычисления M(k) H12=макс(E12:G12). Выделим ячейки В12:Н12 и скопируем их вниз до конца таблицы. Таким образом, получим k приближений решения СЛАУ.
Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью четвертую итерацию, т.е.

Исследуем характер итерационного процесса. Для этого выделим блок ячеек А10:D20 и построим графики, отражающие сходимость итерационного процесса, используя Вставка→Точечная. Приведенные графики подтверждают сделанный ранее вывод о сходимости итерационного процесса.

Рис.7
Метод Гаусса-Зейделя.
Заготовим таблицу на новом листе Excel как показано на рис.2.4.
17970560388500В качестве нулевого приближения выберем нулевой вектор и введем его в ячейки В11:D11.
Рис.8
В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя (2.9). Эти формулы имеют вид:
B12=$E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6,
C12==$E$7 + B12*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7,
D12==$E$8 + B12*$B$8 + C12*$C$8 + D11*$D$8.
В столбце Н сформируем вычисление M(k) , используя выражение, так, как это проделали в предыдущем примере
Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью.

Лабораторная работа №4
Численное интегрирование.
Задание 1. Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников, используя двойной просчет , .
№1. , № 11. ,
№2. , № 12. ,
№3. , № 13. ,
№4. , № 14. ,
№5. , № 15. ,
№6. , № 16. ,
№7. , № 17. ,
№8. , № 18. ,
№9. , № 19. ,
№ 10. , № 20. .
Образец выполнения задания.
Вычислить определенный интеграл .
При определим шаг и составим таблицу значений функции в серединах отрезков, оставляя 4 цифры после запятой; находим сумму значений функции.
Таблица 4

Значение интеграла определяем по формуле средних прямоугольников
,
тогда .
Аналогично находим значение интеграла при ,шаг .
Таблица 5

Значение . Так как второе значение более точное, то будем считать .
Задание 2. Вычислить определенный интеграл по формулам трапеций и Симпсона с шагом .
№1. , № 11. ,
№2. , № 12. ,
№3. , № 13. ,
№4. , № 14. ,
№5. , № 15. ,
№6. , № 16. ,
№7. , № 17. ,
№8. , № 18. ,
№9. , № 19. ,
№ 10. , № 20. .
Образец выполнения задания. Вычислить интеграл с шагом . Составим таблицы значений функции в точках деления и в серединах отрезков.
Таблица 6

Тогда по формуле трапеций приближенной значение интеграла По формуле Симпсона

Так как вторая формула более точная, то будем считать .

Лабораторная работа №7
Численные методы решения задач оптимизации. Линейное программирование
Задание 1. Решить задачу линейного программирования графическим методом и в Excel. Сравнить полученные решения.
1)
2)
3)
4)

5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)

13) 14)
15)
16)

17) 18)
19)
20)

Образец выполнения задания. Решить задачу линейного программирования в Excel
,

1.Подготовим таблицу в Excel как показано на рисунке,

где значение целевой функции в ячейке D3 вычислено по формуле
1+суммпроизв(B3:C3;B2:C2),а ограничения в левой части, например в ячейке D5 как
суммпроизв($B$2:$C$2;B5:C5),остальные получены растягиванием.
Используем надстройку Excel: Данные →Поиск решения

Таким образом, целевая функция достигает своего минимума при .
Задание 2. Составить математическую модель задачи линейного программирования: определить проектные параметры, записать целевую функцию и ограничения на проектные параметры. Решить задачу в Excel.
1. Задача об оптимальном выпуске продукции.
Предприятие располагает тремя видами сырья и может выпускать одну и ту же продукцию двумя способами. При этом за 1час работы первым способом выпускается 20 единиц продукции, а вторым способом - 30 единиц продукции.
Количество сырья (кг) того или иного вида, расходуемого за 1час при различных способах производства и запасы сырья (кг) приведены в табл.1.
Требуется найти план производства, при котором будет выпущено наибольшее количество продукции.
Таблица 1.
Вид сырья Расход сырья (кг\ч) при способе производства Запасы сырья
№1 №2 1 10 20 100
2 20 10 100
3 15 15 90
2. Транспортная задача
На 3-х цементных заводах производится цемент одной и той же марки в количествах соответственно 30, 40, 53 тонн. Цемент следует доставить на четыре завода ЖБК, потребляющих его соответственно в количествах 22, 35, 25, 41 тонн. Стоимости (у.е.) перевозок одной тонны продукта с i-го (i=1,2,3) завода на j-й (j=1,2,3,4) ЖБК приведены в таблице 2.
Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.
Таблица 2
Цемент-
ныйзавод Стоимость перевозки
(у.е.) Объем
производства (т)
ЖБК-1 ЖБК-2 ЖБК-3 ЖБК-4 №1 23 27 16 18 30
№2 12 17 20 51 40
№3 22 28 12 32 22
Объем пот-ребления22 35 25 41 3. Задача об оптимальном выпуске продукции
Для изготовления продукции используют три вида сырья. При этом можно применять любой из четырех способов производства. Запасы сырья, расход сырья и количество производимой продукции за 1час работы по каждому способу приведены в табл.3.
Требуется найти план производства, при котором будет выпущено наибольшее количество продукции.
Таблица 3
Вид сырья Способ производства Запас сырья
1 2 3 4 1 1 2 1 0 18
2 1 1 2 1 30
3 1 3 3 2 40
Выпуск про-дукции (шт.) 12 7 18 10 4. Задача оптимизации производственной программы
Технологический процесс состоит из двух этапов. На первом этапе поступающее сырье перерабатывается в три промежуточных продукта, которые на втором этапе используются для изготовления требуемой конечной продукции.
Выход промежуточных продуктов из одной тонны сырья и расход этих продуктов на производство одной тонны конечной продукции каждого вида указаны в табл.4. При этом оптовая цена тонны конечной продукции первого вида - 50 руб., а второго - 60 руб.
Определить производственную программу выпуска, при которой максимизируется цена выпускаемой продукции.
Таблица 4
Промежуточный
продукт Выход из 1 т сырья, кгРасход на 1 т конечного продукта, кг 1 вид 2 вид
1 460 250 800
2 200 250 200
3 340 500 5. Задача о назначениях
Имеются три бригады А1, А2, А3 , каждая из которых может быть использована на каждом из трех видов работ с производительностью (в условных единицах), заданной в виде табл.5.
Таблица 5
Бригада Производительность по видам работ, у.е.
1 2 3
А1 1 2 3
А2 2 4 1
А3 3 1 5
Требуется так распределить бригады по одной на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.
6. Задача о получении максимальной прибыли
Имеются два изделия А и В, которые должны в процессе производства пройти обработку на четырех станках: 1, 2, 3, 4. Время обработки каждого изделия на каждом из этих станков задается табл.6.
Таблица 6
Изделие Время обработки изделия на станке, ч
1 2 3 4
А 2 4 3 1
В 0,25 2 1 4
Станки 1, 2, 3 и 4 можно использовать соответственно в течение 45,100,300 и 50 часов. Продажная цена изделия А – 6 руб. за единицу, а изделия В – 4 руб.
В каком соотношении следует производить изделия А и В, чтобы получить максимальную прибыль? Решить задачу в предположении, что изделий А требуется не менее 20 штук.
7. Задача оптимального производственного планирования
На заводе ЖБК производится два типа железобетонных конструкций: панели и балки, на каждый из которых используются четыре вида сырья: цемент, щебень, песок и вода.
Составить оптимальный план производства конструкций с оптимизацией по прибыли, если известно, что прибыль при производстве панели 10 тыс. руб., балки – 5 тыс. руб. Исходные данные для расчета приведены в табл.7.
Таблица 7
Сырье Расход на одно изделие Количество на складе
панель балка Цемент 0,7 0,5 3500
Щебень 1,2 1,2 7200
Песок 0,4 1,2 4800
Вода 0,3 0,1 1200
8. Транспортная задача (карьеры - кирпичные заводы)
В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, а в пунктах С и Д - карьеры, снабжающие их песком. Ежесуточно заводу А нужно 40т. песка, заводу В - 60 т. Карьер С ежесуточно добывает 70 т песка, карьер Д - 30 т. Стоимость перевозок тонны песка
из карьера С на завод А - 2 руб., В - 6 руб.,
из карьера Д - 5 руб.
Требуется так организовать процесс перевозки песка на кирпичные заводы, чтобы стоимость перевозок была минимальной.
9. Задача о максимизации прибыли
Мебельная фабрика выпускает стулья двух типов (стоимостью 80 и 120 руб.). На изготовление каждого стула расходуются доски стандартного сечения, обивочная ткань и рабочее время.
Какое количество стульев каждого типа нужно изготовить, чтобы прибыль фабрики была максимальной? Исходные данные для расчета приведены в табл.8
Таблица 8
Используемые ингредиенты
Расход ингредиентов на изготовление стула Кол-во ингредиентов в распоряжении фабрики
1 типа 2 типа Доски, м 2 4 440
Обивочная ткань,м 0,5 0,25 65
Рабочее время,чел/ч 2 2,5 320
10. Задача о назначениях (проблема выбора)
Имеются 3-и моторизованные бригады М1, М2, М3, каждая из которых может быть использована на одном из 3-х участков строительства дороги с производительностью (в условных единицах), заданной в табл.9.
Таблица 9.
№ участка дороги Производительность бригад (у.е.)
М1М2М3,
1 1 2 3
2 2 4 1
3 3 1 5
Требуется так распределить бригады по одной на каждый участок строительства дороги, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.
11. Задача об оптимальном использовании материалов
Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов: 12-, 16- 21-квартирные. Количество деталей, необходимое для сборки каждого типа дома, задаются в табл.10.
Таблица 10
Строительные детали Кол-во деталей для сборки дома Всего в наличии

12-кварт. 16-кварт. 21-кварт. 1-го вида 70 110 150 900
2-го вида 100 150 200 1300
Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы количество квартир в них было наибольшим?
12.Транспортная задача (цементные заводы - ЖБК)
Имеются два цементных завода. Цемент поставляется на три завода :на ЖБК-1 - 100 т, на ЖБК-2 - 80 т, на ЖБК-3 - 140 т. Стоимость перевозок 1т. цемента приведены в табл.11.
Таблица 11
Цементный
завод Стоимость перевозки 1т. цемента
на ЖБК, руб. Кол-во вывозимого цемента, т/дн №1 №2 №3 №1 1,2 1,6 2,1 150
№2 1,8 3 1,5 170
Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?
13. Распределительная задача
Имеется три типа землеройных механизмов: экскаваторы, скреперы, бульдозеры, используемые на двух строительных объектах.
Объем землеройных работ на первом строительном объекте равен 12 тыс.м3, на 2-м - 5 тыс.м3.
Стоимость машино-смены работы 1-го механизма дана с учетом единовременных затрат на подготовительные работы (доставка, погрузка-разгрузка механизмов, прокладка дорог и проездов и пр.). Производительность i-го механизма на j-ом объекте указана в табл.12.
Таблица12
Тип механизма Количество механизмов, шт. Стоимость машино-смены, руб. Производительность механизма на объекте, м /ч
1 2
Экскаватор 5 50 130 50
Скрепер 10 25 100 150
Бульдозер 15 30 150 130
Требуется так распределить механизмы по объектам, чтобы выполнить заданный объем работ с минимальными затратами. Исходные данные для решения задачи приведены в табл.12.
14. Задача оптимального планирования выпуска продукции
Завод деревянных конструкций выпускает два основных типа конструкций: А - арки, В - балки (стоимостью 240 и 208 руб./м3 соответственно). Технологический процесс изготовления конструкций состоит из трех основных операций: подготовка пиломатериалов, запрессовка и распрессовка, окончательная обработка. Если рабочее время за год принять за 100%, то затраты времени на каждую операцию можно представить в виде табл.13.
Таблица 13
Наименование операции Затраты времени на одну конструкцию, %
А В
Подготовка пиломатериалов 0,1 0,08
Запрессовка и распрессовка0,4 0,13
Окончательная обработка 0,3 0,12
Следует учесть, что 2-я операция производится на разных прессах разными цехами.
Определить оптимальный план выпуска конструкций за год по критерию максимальной прибыли, при условии, что конструкций типа В будет выпущено не более 60%.
15. Задача о получении максимальной прибыли
Завод выпускает стеклоцементные изделия в виде труб и плоских листов. Каждое изделие проходит 4 основные операции: 1-послойное формование, 2-предварительное твердение, 3-тепловую обработку и 4-дозревание. Каждая операция осуществляется на отдельном посту, время использования которых соответственно 45, 100, 30 и 50 час. Время, затрачиваемое на каждую операцию, стоимость изделий указаны в табл.14.
Таблица 14
Изделие Время на операцию, чСтоимость изделий, руб.
1 2 3 4 Трубы 2 4 3 1 100
Плоские листы 0,25 2 1 4 350
Какое количество изделий и каких нужно изготовить для получения максимальной прибыли?
16. Задача оптимального выпуска станков
Завод производит два типа станков А и В. Процесс изготовления этих станков включает в себя три технологические операции: сборку, монтаж и наладку (остальные операции к заводу не относятся). Спрос на станки практически не ограничен. Прибыль, получаемая от продажи станков А, составляет 15 у.е., а В - 12,5 у.е.
Если рабочее время за квартал обозначить 100%, то затраты времени на каждую операцию можно представить в виде табл.15.
Таблица 15
Операции Затраты времени на станок, %
А В
Сборка 4 3.3333
Монтаж 2 4
Наладка 6.666 5.5555
Наладка станков типа А и В производится разными цехами завода. Определить план выпуска станков за квартал, обеспечивающий максимальную прибыль.
17. Задача об оптимальном выпуске продукции
Предприятие выпускает керамическую плитку двумя способами. Для изготовления плитки применяют глину, интенсификатор спекания в виде металлургического гранулированного шлака и разбеливающую добавку. Запасы этого сырья - 100, 100 и 90 кг соответственно.
Расход сырья того или иного вида и производительность при различных способах производства и приведены в табл.16.
Требуется найти план производства, при котором будет выпущено наибольшее количество плиток.
Таблица 16
Способ производства Производтельность шт./ч Расход сырья , кг/ч
глина гранул. шлак разбел. доб.
Первый 20 10 20 15
Второй 30 20 10 15
18. Задача об оптимальном выпуске продукции
Для изготовления облицовочной плитки из мелкозернистого бетона используют мраморную крошку, воду и белый цемент. На заводе имеются 4 формовочных установки, каждая из которых требует применения бетона разного сочетания (1,2,3) поскольку усилия прессования у них различно. Расход сырья за 1час работы каждой установки, запасы сырья приведены в табл.17. Производительность установок (100 шт./ч) 12, 7, 18, 10 соответственно.
Таблица 17
Вид сырья Расход сырья (у.е.) при работе установки Запас сырья, у.е.
1 2 3 4 1 1 2 1 0 18
2 1 1 2 1 30
3 1 3 3 2 40
Требуется найти план производства, при котором будет выпущено максимальное количество плиток.
19. Задача о получении максимальной прибыли.
Завод силикатного кирпича выпускает кирпич двух видов. Для изготовления кирпича требуется кварцевый песок, известь и рабочее время. В табл.18. приведены расходы ресурсов на 1000 штук кирпича каждого вида.
Таблица 18
Используемые ресурсы Расходы на 1000шт. кирпича Количество ресурсов
1 вид 2 вид Песок,т 2 4 440
Известь,т 0,5 0,25 65
Раб.время (чел/ч) 2 2,5 320
Стоимость (1000 штук) кирпича 1-го и 2-го вида равна соответственно
800 и 1000 руб. Какое количество кирпича каждого вида надо изготовить, чтобы прибыль завода была максимальной?
20. Задача оптимизации производственной программы
Завод ЖБК покупает щебень, не разделенный на фракции. С целью оптимизации структуры бетона для выпускаемых изделий его рассеивают на фракции 5 - 10, 10 - 20, 20 - 40 мм.
Выход фракций из 1 т. щебня и расход фракций на бетоны для двух различных изделий приведены в табл.19.
Таблица 19.
Фракции, ммВыход из 1 т сырья, кг Расход на 1т конечного продукта, кг

1 вид 2 вид
5 -10 560 350 600
10 - 20 100 250 200
20 - 40 300 500 50
Оптовая цена тонны конечной продукции первого вида 70 руб., а второго –50 руб.
Определить производственную программу выпуска, при которой цена выпускаемой продукции максимальна.
Образец решения. Задача планирования производства.
Цех производит два вида продукции (Продукт1 и Продукт2) стоимостью соответственно 5 у.е. и 5,5 у.е. (усл. единиц).
На производстве действуют ограничения по ресурсам: сырье; трудовые затраты; транспортные расходы (аренда машины для вывоза продукции).
Расход каждого ресурса на изготовление того и другого продукта, количество ресурса в распоряжении цеха приведены в табл. 20
Таблица 20
Используемые
ресурсы Расход ресурсов на
изготовление Количество ресурса
в распоряжении
цеха
Продукта1 Продукта2 Сырье
Трудовые затраты
Транспортные расходы 3
6
2 6
4
1 18
24
не менее 2
Стоимость продукта 5у.е. 5,5у.е. Рассчитать, какое количество каждого продукта в условных единицах нужно изготовить, чтобы прибыль была максимальной.
Решение. В качестве проектных параметров x1, x2 выберем оптимальные объемы производства обоих продуктов. Тогда целевая функция запишется в виде
zmax = 5 x1+ 5,5 x2
Ограничения записываем из условия ресурсов, которыми располагает цех.
.
В дальнейшем используем Excel также как и в задании №1.

Приложенные файлы

  • docx 14430319
    Размер файла: 750 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий