Сандық тізбектер


Сандық тізбектер.Тізбектің шегі
Натурал аргументі ƒ(n) функциясының ƒ(1), ƒ(2),…, ƒ(n),… мәндерінің реттелген жиынының сандық тізбек немесе тізбек деп атайды. xn= ƒ(n) – сандық xn немесе ƒ(n) тізбегінің n-ші (жалпы) мүшесі.
xn және yn тізбектерінің қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және қатынасы сәйкесінше xn+yn , xn-yn , xn*yn ,{xnyn} , yn≠0, тізбектері ретінде анықталады.
Егер n нөмірінің кез келген мәнінде xn≥ xn+1 (немесе xn≤xn+1) теңсіздігі орындалса, xn тізбегі өспейтін (немесе кемімейтін) деп, ал егер xn >xn+1 (немесе xn < xn+1 ) болса, онда кемімелі (немесе өспелі) деп аталады.Мұндай тізбектерді монотонды (бірсарынды) тізбектер деп атайды.
Егер кез келген n үшін xn≤M (немесе xn≥M) теңсіздігі орындалатындай M саны бар болса, xn тізбегін жоғарыдан (немесе төменнен) шенелген деп атайды.Жоғарыдан да, төменнен де шектелген болса, xn шенелген тізбек деп аталады.
Егер кез келген ε >0 саны үшін N(ε) нөмірі табылып , барлық n > N(ε) үшін xn-a< ε теңсіздігі орындалса, онда a санын xn тізбегінің шегі деп атайды және limn→∞xn= a немесе xn→ a , n→∞, деп жазады.
Шегі бар тізбек жинақталатын, ал шегі жоқ немесе шегі ∞-ке тең тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады.
limn→∞xn= 0 болса , xn тізбегін ақырсыз аз тізбек деп атайды.
Егер кез келген A>0 саны үшін N(A) нөмірі табылып, барлық n>N(A) үшін xn > A теңсіздігі орындалса, онда xn ақырсыз үлкен тізбек деп аталады: limn→∞xn= ∞ .
Тізбектер шектеріне қатысты маңызды тұжырымдар:
1.Тізбектің шегі біреу ғана бола алады;
2.Жинақталатын тізбек- шенелген тізбек;
3.Монотонды әрі шенелген тізбек жинақталатын болады;
4.(Коши белгісі) xn тізбегі жинақталатын болуы үшін, кез келген ε >0 санына сәйкес N(ε) нөмірі табылып , барлық n>N(ε) және p>0 мәндерінде xn-xn+p< ε теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті;
5.Жинақталатын xn және yn тізбектері үшін:
a)limn→∞(xn ± yn) = limn→∞xn ± limn→∞yn;
ә) limn→∞(xn* yn) = limn→∞xn * limn→∞yn;
б) limn→∞xnyn = limn→∞xnlimn→∞yn (limn→∞yn≠0) ;в) xn≤ yn, ∀ n , ⇒limn→∞xn≤ limn→∞yn;
г)ақырсыз аз xn және шектелген yn тізбектерінің көбейтіндісі ақырсыз аз тізбек болады: limn→∞(xn* yn) = 0 ;
ғ) limn→∞xn= a ⇔ xn = a + αn, limn→∞αn= 0 ;
6. Егер ∀ n үшін xn≤ yn ≤ zn және limn→∞xn= limn→∞zn=a болса, онда limn→∞yn=a;
7. xn = (1+ 1n)n (n=1,2,…) тізбегінің ақырлы шегі бар:
limn→∞1+1nn= e = 2,7182818284…;
xnтізбегінің нөмірлердің өспелі n1, n2,…, nk,… тізбегіне сәйкес мүшелерінен құрылған {xnk}k=1∞ тізбегі xn тізбегінің ішкітізбегі (тізбекшесі) деп аталады. limk→∞xnk= x " шегі бар болса, онда x " санын xn тізбегінің дербес шегі немесе шектік нүктесі деп атайды.
8.(Больцано-Вейерштрасс)Кез келген шенелген тізбектен жинақталатын тізбекше бөліп шығаруға болады.
{xn} тізбегінің дербес шектерінің ең үлкені (немесе ең кішісі) тізбектің жоғарғы шегі (немесе төменгі шегі) деп аталады және былай белгіленеді:
33489902641600limn→∞supxn; limn→∞xn (немесе limn→∞infxn; limn→∞xn ).
231140023876009. {xn} тізбегінің жинақталуы үшін limn→∞xn = limn→∞xn теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
3.1. Алғашқы бірнеше мүшесі бойынша тізбектің жалпы мүшесін өрнектеңіздер:
а) 34,610,1116,1822,2728,…; ә) 1, 13, 2, 24, 3, 25, 4, 26, … . Шешуі. а) Әр бөлшектің алымы сәйкес мүше квадратына 2 қосқанға тең, яғни: n2+2. Ал бөлшектердің бөлімдері бірінші мүшесі a1 , айырмасы 6 болатын арифметикалық прогрессия құрайды: an=4+6n-1=6n-2. Сондықтан: xn=n2+26n-2- тізбектің n - ші мүшесі.
2386965238125 ә) Тізбектің n - ші мүшесін екі формула арқылы жазуға болады: біреуі – тақ нөмерлі мүшелер үшін. Сонымен: xn= k, егер n = 2k – 1 болса;
1k+2, егер n = 2k болса.
3.2. Жалпы мүшесінің формуласы бойынша тізбектің алғашқы бірнеше мүшесін табыңыздар:
а) xn=2-ncosnπ; ә) x1=1, xn= n2+xn-1.
Шешуі. а) x1= 2-1 cosπ=-12; x2= 2-2 cos2π=14; x3= 2-3 cos3π=-18; x4= 2-4 cos4π=116;… , яғни, берілген тізбек: -12,14,-18,116,-132, … .ә)x1=1, x2=22+1=5, x3=32+3=12, x4=42+12=28, x5=52+28=53, … .3.3. Тізбектің монотондылық сипатын анықтаңыздар: а) xn=3n-24n+5, ә) xn=5nn!. Шешуі: а) ∀ n үшін xn+1>xn , яғни 3n+14n+9>3n-24n+5болатынын көрсету жеткілікті:
12n2+19n+5>12n2+19n-18.ә) xn+1=5n+1n+1!=5nn!*5n+1=xn*5n+1. Олай болса, 5n+1<1 орындалғанда ғана xn+1<xn болады. Демек, n≥5 нөмерлері үшін тізбек кемімелі болды.
3.4. Тізбектердің қайсысы шенелген, қайсысы шенелмеген:
а) xn+1=2n2n2+1; ә) yn=-1n3nn+2sinn; б)zn=n2cosπn? Шешуі. а) 0<2n2n2+1<2 теңсіздігі ∀ n үшін орындалатын болғандықтан, xn тізбегі – шенелген.
ә) yn=-1n3nn+2sinn<3nn+2<3, ∀ n.Демек, yn – шенелген тізбек.
б) zn тізбегі – шенелмеген тізбек:
yn=n2→∞, n→∞.
§4.e саны
Математикалық анализдің алуан түрлі мәселелерінде үлкен роль атқаратын ,бір маңызды санға келтіретін мынадай бір біркелкі тізбекті қарайық.Айнымалы x келесі мәндерді
(1+11)1 , (1+12)2 , (1+13)3 ,… (1+1n)n ,… (10)
қабылдасын. (10) тізбектің жалпы мүшесі немесе айнымалы xn= (1+1n)n. Алдымен (10) тізбектің үдеме тізбек екенін дәлелдейік (мұны бірден байқау қиын,өйткені дәреже көрсеткіш өскен сайын ,дәреженің негізі кемиді).Ол үшін тізбектің жалпы мүшесін алып, Ньютон биномы формуласы бойынша жіктеп жазамыз:
xn= (1+1n)n = 1+1+ n(n-1)2! *1n2 + n(n-1)(n-2)3! *1n3 +…+ nn-1n-2…(n-k+1)k! *1nk +… nn-1n-2…3*2* 1n! *1nnБұл теңдікті былай түрлендіріп жазуға болады:
xn= (1+1n)n = 1+1+ 12! (1 - 1n) + 13! (1 - 1n) (1 - 2n) +…+ 1k! (1 - 1n) (1 - 2n) … (1 - k-1n) +…+
1n! (1 - 1n) (1 - 2n) … (1 - n-1n). (11)
(11) теңдіктің оң жағында тұрған қосылғыштардың барлығы да оң. Енді осы теңдіктегі n-нің орнына n+1 қойып табамыз:
xn+1= (1+1n+1)n+1 = 1+1+ 12! (1- 1n+1) + 13! (1- 1n+1) (1 - 2n+1) +…+ 1k! (1 - 1n+1) (1 - 2n+1) … (1 - k-1n+1) +…+ 1(n+1)! (1 - 1n+1) (1 - 2n+1) … (1 - nn+1).
Егер xn мен xn+1-ді бір-бірімен салыстыратын болсақ, онда xn+1 өрнегінде бір қосылғыштың саны артық, өйткені xn өрнегіндегі барлық қосылғыштардың саны n+1, ал xn+1 өрнегіндегі барлық қосылғыштардың саны n+ 2. Екінші жағынан xn+1 өрнегіндегі қосылғыштардың әрқайсысы (үшінші номерден бастап) xn өрнегіндегі сәйкес қосылғыштардың әрқайсысынан артық. Олай болса xn < xn+1. Сонымен,(10) тізбек үдеме тізбек болды. Енді осы тізбектің жоғары жағынан шектелген тізбек екенін көрсетейік.
(11) формуладағы әрбір жақшаның ішіндегі сандардың орнына 1-ді қойсақ, теңдік теңсіздікке айналады:
xn< 2 + 12! + 13! + 14! + …+ 1n! .
Ал
12! = 12 , 13! < 122 , 14! < 123 ,…, 1n! < 12n-1 .
Ендеше ,
xn< 2 + 12 + 122 + 123 +...+ 12n-1 .
Кейінгі теңсіздіктің оң жағы кеміме геометриялық прогрессия, сондықтан
xn< 2 + 12- 12 *12n 1-12 = 2+ 1 - 12n = 3 - 12n.
Сонымен, n қандай болса да
xn< 3 болатын болды.
Бұл тізбектің орындалуы (10) тізбектің жоғары жағынан шектелгендігін көрсетеді.
Сөйтіп ,қарастырылып отырған (10) тізбек үдеме және оң жағынан шектелген тізбек болды, олай болса бұл тізбектің тиянақты шегі бар. Осы шекті e саны деп атайды. Сонымен,
e =limn→∞1+1nn. (12)
Тағы да xn = 1+1nn айнымалыны қарайық.
Егер бұл айнымалының номері n тек натурал сандарды қабылдап, шексіздікке ұмтылса, онда оның тиянақты шегі болатынын дәлелдейік.
Егер n кез келген сандарды қабылдап , шексіздікке ұмтылса, онда да xn= 1+1nn айнымалының шегі e болатынын дәлелдейік.
n оң рационал немесе иррационал мәндерді қабылдап, шексіздікке ұмтылатын болсын.Алдымен осы жағдайды қарайық. n -ге жуық бүтін оң санды m арқылы белгілесек,
m<n<m+1;
бұл арадан
1m > 1n > 1m+1 ,
Теңсіздіктің әрбір жағына бір бірден қосайық, сонда
1+ 1m > 1+ 1n >1 + 1m+1 ,
бұл арадан
1+1mm+1>1+1nn >1+1m+1m.
немесе
1+1mm (1+ 1m) > 1+1nn > 1+1m+1m+1 : (1 + 1m+1) (13)
Егер n шексіздікке ұмтылса, онда бүтін сандар, m және m+1, оларда шексіздікке ұмтылады.(12) теңдік бойынша.
limm→∞1+1mm=e, limm→∞1+1m+1m+1= e.
Ал
limm→∞1+1m=1, limm→∞1+1m+1=1.
n-ді шексіздікке ұмтылып, (13) теңсіздіктердің әрбір жағынан шек алсақ:
e ≥ limn→∞1+1nn ≥ e.
Сондықтан
limn→∞1+1nn = e.
Біз тағы да (12) теңдікке келдік.
Енді n теріс рационал немесе иррационал мәндерді қабылдап, шексіздікке ұмтылсын, яғни n→-∞.Онда
1+1nn=1-1r-r = r-1r-r= rr-1r= 1+1r-1r-1 1+1r-1 .
Мұнда r-оң сан, сондықтан
limr→∞1+1r-1r-1= e,
ал
limr→∞1+1r-1 = 1.
Сонымен бұл жолы да
limn→-∞1+1nn = e.
Сөйтіп,
limx→±∞1+1xx = e. (14)
(14) теңдіктегі 1x –тің орнына α- ны алсақ,яғни былай ұйғарсақ 1x = α онда
limα→01+α1α = e. (15)
§ 5. Сандар тізбегінің жоғарғы және төменгі шектері
Жоғарғы және төменгі жағынан шектелген сандар тізбегін
қарайық, ол
x1,x2, … ,xn, … (27)
болсын.
(27) тізбек жоғарғы және төменгі жағынан шектелгендіктен оның дәл жоғарғы шекаралығы M1, ал дәл төменгі шекаралығы m1, болуға тиіс.
(27) тізбектің бірінші мүшесін шығарып тастап, біз мынандай тізбекті:
x2,x3, x4,… ,xn, … (28)
қарайық. Әрине, бұл тізбектің (27) бөлігі болып табылады.
(28) тізбек те жоғарғы және төменгі жағынан шектелген. Содықтан мұның да дәл жоғарғы шекаралығы M2, дәл төменгі шекаралығы m2 болуға тиіс.
Дәл жоғарғы және дәл төменгі шекаралықтардың қасиеттері бойынша:
M2≤M1, m2≥ m1. Енді (28) тізбектің бірінші мүшесін алып тастасақ, сонда мынандай тізбек:
x3,x4, … ,xn, … (29)
қалған болар еді, бұл тізбекте жоғарғы және төменгі жағынан шектелген тізбек екендігі айқын; сондықтан бұл тізбектің дәл жоғарғы шекаралығы M3, дәл төменгі шекаралығы m3 болуы керек. Дәл жоғарғы және төменгі шекаралықтардың қасиеттері бойынша
M3≤M2, m3≥ m2 Енді (29) тізбектің бірінші мүшесі x3-ні, сонан әрі қарай осы тәсілді шексіздікке дейін соза берсе, онда біз әрқайсысы алғашқы өткен тізбектің бөлігі болып табылатын, жоғарғы және төменгі жағынан шектелген шексіз тізбектерді табамыз. Бұл тізбектердің дәл жоғарғы шекаралықтары M1M2 ,… Mn… , ал дәл төменгі шекаралықтары m1,m2... mn… болады және мұнда
M1≥M2≥M3≥… ≥Mn… , (30)
m1≤m2≤m3≤… ≤mn≤… (31)
Олай болса бұл арадан, қарастырылып отырған (30) және (31) тізбектердің дәл жоғарғы шекаралықтары мен дәл төменгі шекаралықтардың тізбектері біркелкі тізбектер екендігі байқалады. Дәл шекаралықтардың қасиеті бойынша әрбір n үшін
Mn≥mn≥m1 ,
mn≤Mn≤M1.
орындалады.
Сондықтан тізбек Mn жоғарғы жағынан, ал тізбек mn төменгі жағынан шектелген. Олай болса, 3- параграфтағы 1, 2- теоремалар бойынша (30) және (31) тізбектердің шектеулі шектері болады. Айталық
limn→∞Mn=L, limn→∞mn=lболсын.
L санын (27) тізбектің ең үлкен немесе жоғарғы шегі дейді, ал l санын оның ең кіші немесе төменгі шегі дейді. Бұларды мынадай символдармен белгілеп көрсетеді:
2339340222250 L=limxn, l=limxn
немесе
L=lim⁡supxn, l=liminfxn. Осы айтылған мысал келесі тізбекті:
-2, 32, -43, 54, -65, 76,-87,… ,-1nn+1n , …қарайық.
Мұнда
M1=32, m1=-2. Енді осы тізбектің бірінші мүшесі – 2-ні шығарып тастайық, онда тізбек мына түрде болады:
32, -43, 54, -65, 76,-87,… ,-1nn+1n , …
Мұнда
M2=32, m2=-43. Ал, енді кейінгі тізбектің мүшесі 32 – ті шығарып тастағанда, мынадай тізбек
-43, 54, -65, 76,-87,… ,-1nn+1n , …
келіп шығады. Бұл тізбектің дәл жоғарғы шекаралығы
M3=54,Ал дәл төменгі шекаралығы:
m3=-43.
Міне, осылай етіп осы тәсілді одан әрі қарай бірте-бірте шексіздікке дейін соза берсек, жоғарғы шекаралықтың тізбегі мына түрде
Mn:32,32,54,54,76,76,…2n+12n, …болады, ал дәл төменгі шекаралықтың тізбегі мына түрде:
mn:-2,-43,-43,-65,-65, …-2n2n-1, …
болады.
limn→∞Mn=1 limn→∞mn-1.
Сонымен, қарастырып отырған мына тізбек үшін ең үлкен шек пен кіші шек 1 мен – 1-ге тең болады:
18535652628901200152476500 limn→∞xn=1 limn→∞xn-1.

Приложенные файлы

  • docx 14652965
    Размер файла: 64 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий