Пособие ТАУ2

1.5. Типові діяння в системах автоматичного регулювання. Основні задачі теорії автоматичного керування

Системи автоматичного регулювання працюють в двох основних режимах: усталеному і неусталеному. Неусталений режим часто називають перехідним або динамічним. Він викликається зовнішніми збуреннями або зміною параметрів системи автоматичного регулювання. Під параметрами системи розуміють слідуючи показники регулятора і об'єкта регулювання: постійні часу, коефіцієнти передачі (підсилення), величини ємності конденсатора, величини індуктивностей дроселів, величини опорів резисторів електричних кіл.
Зовнішні діяння (збурення), що діють на систему регулювання, представляють функцію закон зміни якої в часі важко передбачити. Тому при дослідженні динамічних режимів систем автоматичного регулювання застосовують типові закони змін зовнішніх діянь:
одинична ступенева функція . Аналітично ступенева функція описується наступним чином
13 EMBED Equation.2 1415 (1.27)

Графік даної функції приведено на рис.1.20. Дана функція моделює, наприклад, ступінчате збільшення або зменшення навантаження. Дана функція також може моделювати ступінчату зміну вхідного діяння (див. рис.1.21) при дослідження динамічних властивостей системи автоматичного регулювання.
лінійно зростаюча функція (рис.1.22)
13 EMBED Equation.2 1415 (1.28)
Дана функція, наприклад, моделює вхідне діянні слідкуючої системи автоматичного регулювання. Вихідний сигнал система регулювання згідно із рис.1.21 визначається як
13 EMBED Equation.2 1415. (1.29)
гармонійне діяння (рис.1.23)

13 EMBED Equation.2 1415 (1.30)
Даний сигнал застосовується для моделювання, наприклад, дію вібрації або качки на об'єкт регулювання.

дельта функція (рис.1.24)
13 EMBED Equation.2 1415 (1.31)
Дельта функція представляє собою математичну ідеалізацію імпульсу безконечно малої тривалості площа якого дорівнює одиниці
13 EMBED Equation.2 1415 (1.32)
Дана функція застосовується для моделювання, наприклад, дії імпульсної завади.
Яким би не було зовнішнє діяння, воно завжди викликає в системі автоматичного регулювання перехідний процес. Якщо цей процес в часі затухає, то після його закінчення система приходить в усталений стан. При цьому початкові відхилення його вихідної координати зменшуються до нуля. Такі системи називають стійкими. В стійких системах перехідний процес з часом затухає. Якщо перехідний процес не затухає, то система не стійка. Поведінка стійкої системи автоматичного регулювання в перехідному режимі характеризує її якість. В загальному випадку вихідна величина такої системи складається з двох складових
13 EMBED Equation.2 1415, (1.33)
де: уy(t) – усталена складова ; уп(t) – перехідна складова.
Характер змін перехідної складової залежить від властивостей системи автоматичного регулювання. У достатньо сильно демпфіруваних системах перехідна складова змінюється по експоненті – крива 1 на рис.1.25. У слабо демпфірованих системах перехідна складова має коливальний характер – криві 2,3 на рис.1.25.
Основними задачами теорії автоматичного регулювання є:
аналіз – дослідження відомої системи автоматичного регулювання з метою визначення її властивостей та шляхів поліпшення;
синтез – проектування системи автоматичного регулювання, що відповідає заданим вимогам.
Основними етапами синтезу є:
Вивчення об'єкта регулювання, умов його роботи і основних збурю-
ючих діянь.
Формування вимог, що пред'являються до системи автоматичного регулювання.
Вибір принципу регулювання та первісної схеми регулятора.
Вибір елементів регулятора.
Розрахунки елементів регулятора на основі вимог в статичному і динамічному режимах.
Теоретичні дослідження статичного та динамічного режимів.
Експериментальні дослідження та корегування системи автоматичного регулювання.
Виготовлення та монтаж системи автоматичного регулювання.
Наладка системи автоматичного регулювання в реальних умовах роботи.
Дослідна експлуатація.
При проектуванні системи автоматичного регулювання використовують як теоретичні, так і експериментальні моделі. Застосування теоретичних методів аналізу і синтезу вимагає попереднього опису системи автоматичного регулювання. Систему рівнянь, що описують роботу системи автоматичного регулювання називають її математичною моделлю. В залежності від характеру математичної моделі системи автоматичного регулювання розрізняють як лінійні і нелінійні. Лінійна системи автоматичного регулювання – система яку із достатньо високим ступенем точності можна описати лінійними диференційними рівняннями. Нелінійна система описується нелінійними диференційними рівняннями.
В усталеному режимі властивості системи визначаються статичною ха-
рактеристикою. Статичною характеристикою системи (елемента) називається залежність між вхідною та вихідною величинами. Статичні характеристики елементів, на базі яких одержують статичну характеристику системи, розраховують, або одержують експериментально. Приклади статичних характеристик елементів наведені на рис.1.26.
13 EMBED Word.Picture.8 1415 Статична характеристика на рис.1.26,а є лінійною, на рис.1.26,б – нелінійна, а на рис.1.26,в,г – суттєво нелінійні.

1.6. Лініарізація нелінійних рівнянь системи автоматичного регулювання

Перший крок в дослідженні нелінійних систем полягає в побудові їх приблизних лінійних моделей, тобто в лініарізації вихідних рівнянь. Підставою для лініарізації є те, що в реальних системах автоматичного регулювання відхилення керуючого діяння та других змінних величин від усталених значень є незначними. Розглянемо динамічну ланку (рис.1.27,а) в якій зв'язок між вхідним і вихідним сигналами визначається функцією f. Нехай статична характеристика динамічної ланки має вигляд, показаний на рис.1.27,б. Лініарізація зводиться до заміни криволінійної характеристики на інтервалі (х1-х2), що називається робочим інтервалом, відрізком прямої. Крім робочого інтервалу визначається і положення робочої точки (хо, уо) на характеристиці із якої

починається або в яку прагне процес. Робоча точка повинна бути спільною як для вихідної так і для апроксимуючої прямої. При лініарізації відрізок нелінійної характеристики в робочому інтервалі замінюється відрізком дотичної до кривої в робочій точці. Аналітично рівняння лінійного наближення получають розкладом функції f(x) в (окресностях) робочої точки в ряд Тейлора, обмежившись лінійними членами (першими двома)
13 EMBED Equation.2 1415. (1.34)
Вираз (1.34) можна розбити на два рівняння
13 EMBED Equation.2 1415. (1.35)
Перше рівняння зв'язує вхідну і вихідну координати системи в робочій точці. Друге рівняння зв'язує відхилення (прирости) вхідної та вихідної координат. Коефіцієнт передачі лініарізованої ланки (системи) тоді визначається як
13 EMBED Equation.2 1415. (1.36)
В випадку, коли дотичну до статичної характеристики в робочій точці провести неможливо (розрив, злам, невизначеність), лініарізацію відносно вибраного режиму є неможливою.
В результаті лініарізації нелінійна ланка (рис.1.27,а) замінюється лінійною (рис.1.28) із коефіцієнтом передачі, що визначається формулою (1.36). В подальшому, для спрощення запису, позначення приростів вхідного та вихідного сигналів опускаються.
Приклад 1. Необхідно побудувати та лініарізувати статичну характеристику трифазного мостового керованого тиристорного випрямляча (рис.1.29).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Тиристорний випрямляч живиться від мережі змінного струму із лінійною напругою Uм=380 В і має в системі імпульсно - фазового керування (СІФК) лінійний опорний сигнал. Опорний сигнал одержують інтегруванням постійної напруги Uо за половину періоду напруги, що живить тиристорний випрямляч. Для п-го інтервалу роботи тиристорного випрямляча опорний сигнал визначається такою аналітичною залежністю
13 EMBED Equation.2 1415, (1.37)
де То- стала часу інтегратора; ( - змінна кутова координата; (о=2(fо, fо=50Гц.
Кут відкривання чергового тиристора випрямляча визначається умовою перемикання компаратора в системі керування
13 EMBED Equation.2 1415. (1.38)
На підставі цієї умови функціональна залежність кута керування тиристорного випрямляча від величини напруги Uу має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415. (1.39)
Середнє значення вихідної напруги тиристорного випрямляча при (=0
[ ]:
13 EMBED Equation.2 1415, (1.40)
де т- пульсність тиристорного випрямляча, яка для схеми на рис.1.29 визначається як т=6.
В керованому режимі середнє значення вихідної напруги для неперервного струму в навантаженні
13 EMBED Equation.2 1415. (1.41)
Підстановка формули (1.39) в формулу (1.41) дає вираз для статичної характеристики тиристорного випрямляча
13 EMBED Equation.2 1415. (1.42)
На рис.1.30 приведена статична характеристика тиристорного випрямляча
для випадку коли в системі керування (СІФУ)
13 EMBED Equation.2 1415. (1.43)
Лініарізуємо одержану статичну характеристику в робочій точці А із координатами Uy= 6 B, Ud(=300 B. Згідно з формулою (1.36) коефіцієнт передачі тиристорного випрямляча в робочій точці визначається як:
13 EMBED Equation.2 1415; (1.44) або як
13 EMBED Equation.2 1415. (1.45)
В результаті лініарізації статичної характеристики тиристорний випрямляч в (окресностях) робочої точки замінюється лінійною ланкою із коефіціє-
нтом передачі, що дорівнює КТВ.
2. Динамічні характеристики систем автоматичного регулювання

Диференційні рівняння динамічних ланок системи автоматичного регулювання

В відміну від усталеного режиму, динамічний режим характеризується змінами вхідного та вихідного сигналів: x(t)=var, y(t)=var. Поведінка системи автоматичного регулювання в динамічному режимі описується диференційними рівняннями п-го порядку
13 EMBED Equation.2 1415 (2.1)
де т ( п+1.
Розглянемо динамічну ланку (рис.2.1), динамічні процеси якої описуються функцією q(t). В залежності від виду функції q(t) змінюються динамічні властивості ланки.


2.1.1. Пропорційна ланка.
Для пропорційної ланки q(t)=К. Диференційне рівняння пропорційної ланки має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415. (2.2)
2.1.2. Диференційна ланка.
В цій динамічній ланці функція q(t) описує процес диференціювання в
часі вхідного діяння. Диференційне рівняння диференційної ланки має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415, (2.3)
де Т- стала часу.
Прикладами диференційних ланок є підключення індуктивності L (рис.2.2,а) до джерела струму I(t) та підключення конденсатора С (рис.2.2,б) до джерела напруги U(t).
2.1.3. Інтегруюча ланка.
В даній динамічній ланці функція q(t) описує процес інтегрування вхідного діяння. Диференційне рівняння інтегруючої ланки має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415. (2.4)
Прикладами диференційних ланок є підключення індуктивності L (рис.2.3,а) до джерела напруги U(t) та підключення конденсатора С (рис.2.3,б) до джерела струму I(t) . Динамічні процеси в ланці рис.2.3,а характеризуються рівнянням
13 EMBED Equation.2 1415, (2.5)
а в ланці рис.2.3,б – рівнянням

13 EMBED Equation.2 1415. (2.6)
2.1.4. Аперіодична ланка.
Динамічні процеси в аперіодичній ланці описуються диференційним рівнянням
13 EMBED Equation.2 1415. (2.7)
Замінивши в рівняння (2.7) операцію диференціювання на інтегрування і записавши одержаний результат відносно вихідного сигналу y(t) одержуємо
13 EMBED Equation.2 1415. (2.8)
Виразу (2.8) відповідає модель (рис.2.4) аперіодичної ланки.

Прикладом аперіодичної ланки є електрична схема RC -ланки, що показана на рис.2.5. Динамічні процеси в такій ланці описуються наступною системою диференційних рівнянь
13 EMBED Equation.2 1415 (2.9)
Розв'язавши систему рівнянь (2.9), одержуємо
13 EMBED Equation.2 1415, (2.10)
де RC=T- стала часу аперіодичної ланки.
Одержане рівняння (2.10) структурно співпадає із рівнянням (2.7) при К=1.
Другим прикладом аперіодичної ланки є генератор постійного струму. Генератор являє собою підсилювач в якому зміною струму збудження iз(t) відбувається керування струму iя(t) кола якоря. На схемі рис.2.6 Rз і Lз– активний опір та індуктивність кола збудження.
При постійних обертах якоря динамічні процеси в генераторі визначаються системою рівнянь
13 EMBED Equation.2 1415 (2.11)
де 13 EMBED Equation.2 1415- коефіцієнт підсилення по напрузі від кола збудження до якірного кола.
Виключивши струм із системи рівнянь (2.11), одержимо диференційне рівняння
13 EMBED Equation.2 1415, (2.12)
де 13 EMBED Equation.2 1415- електромагнітна стала часу кола збудження генератора.

2.1.5. Диференційна ланка із (замедлением).
Динамічні процеси в даній динамічній ланці описуються наступним диференційним рівнянням
13 EMBED Equation.2 1415. (2.13)
Виконавши перетворення аналогічні (2.8), одержуємо
13 EMBED Equation.2 1415. (2.14)
Виразу (2.14) відповідає модель, що показана на рис.2.7.

Прикладом диференційної ланки із (замедлением) є електрична схема RC- ланки, що показана на рис2.8. Процеси в цій ланці описуються системою диференційних рівнянь
13 EMBED Equation.2 1415. (2.15)
Розв'язавши систему рівнянь (2.15), одержуємо
13 EMBED Equation.2 1415, (2.16)
де T=RC.


2.1.6. Ізодромна ланка.
Динамічні процеси в ізодромній ланці описуються наступними диференційними рівняннями
13 EMBED Equation.2 1415. (2.17)
Проінтегрувавши і розділивши на Т1 обидві частини рівняння (2.17), одержуємо
13 EMBED Equation.2 1415. (2.18)
Виразу (2.18) відповідає модель (рис.2.9) ізодромної ланки і якій К=Т2/Т1.


2.1.7. Коливальна ланка.
Диференційне рівняння коливальної ланки має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415 (2.19)
Представивши (2.11) в вигляді аналогічному (2.8), одержимо модель (рис.2.6) коливальної ланки.

Прикладом коливальної ланки є електричний ланцюг принципова схема якого наведена на рис.2.11.



Розв'язавши систему рівнянь (2.20), одержуємо




Наведеній схемі відповідає наступна система диференційних рівнянь
13 EMBED E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15Times New RomanJakov ScherbakJakov Scherbak

Приложенные файлы

  • doc 14663312
    Размер файла: 682 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий