СМО Беркетов Г А


Моделирование систем массового обслуживания
1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
Рассмотренный в гл. 2 марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания.
Системы массового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
• посты технического обслуживания автомобилей;
• посты ремонта автомобилей;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:
• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.
Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.
Для описания входного потока требований нужно задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди - это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
• первым пришел — первым обслуживаешься;
• пришел последним - обслуживаешься первым;
• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности;
• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:
• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди;
• мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• среднее время ожидания в очереди;
• средняя длина очереди;
• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т. п.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:
• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и9 ждет, пока не освободится один из каналов.
Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:
• длина очереди;
• время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживания неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:
• одноканальные системы;
• многоканальные системы.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
2. Определение характеристик систем массового обслуживания
Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
Простейшая одноканальная модель. Такой моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
f1t=λe-λt (1)
где λ - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
f2t=μe-μt , (2)
где μ - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.1), у которого имеются два состояния:
S0 - канал свободен (ожидание);
S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

λ
μРис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»;
Р1(t) — вероятность состояния «канал занят».
По размеченному графу состояний (рис. 1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
dP0(t)dt=-λP0t+μP1t;dP1(t)dt=-μP1t;+λP0t. (3)
Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия P0t+P1t= 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:
P0t=λλ+μe-λ+μt+μλ+μ; (4)
P1t=1-P0t. (5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, Р0 - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0t, т. е.
q = P0t . (6)
По истечении большого интервала времени (t→∞) достигается стационарный (установившийся) режим:
q=P0=μμ+λ. (7)
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
A=λq=λμλ+μ . (8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
Pотк=P1=1-P0=1-λμλ+μ=λλ+μ. (9)
Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.
Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Pотк.
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
μ=1tоб=11.8=0,555.2. Вычислим относительную пропускную способность:
q=μμ+λ=0,5551+0,555=0,356.
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
A=λ •q= 1 • 0,356 = 0,356.
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
3. Вероятность отказа:
Pотк=1-q=1-0,356=0,644.Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
4. Определим номинальную пропускную способность системы:
Aном=1tобсл=11.8=0,555 (автомобилей в час).
Оказывается, что Aном в 1,5 раза 0,5550,356≈1,5 больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
Одноканальная СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.
λ λ λ λ λ λ
μ μ μ μ μ μ
Рис. 2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 - канал свободен;
S1 - канал занят (очереди нет);
S2- канал занят (одна заявка стоит в очереди);
……………………
Sn - канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);
…………………...
SN - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
-ρP0+P1=0, n=0;…………………-1-ρPn+Pn+1+ρPn-1=0, 0<n<N;…………………-PN+ρPN-1=0, n=N. (10)где ρ=λμ п - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (10) для нашей модели СМО имеет вид
Pn=1-ρ1-ρN-1∙ρn, ρ≠1, n=0,1,2,…, N1N+1, ρ=1; (11)
P0=1-ρ1-ρN+1 (12)
Тогда
Pn=P0∙ρn, ρ≠1, n=0,1,2,…, N1N+1, ρ=1.Следует отметить, что выполнение условия стационарности ρ=λμ<1 для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением λμ=ρОпределим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N—1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
Pотк=PN=1-ρ1-ρN+1ρN,ρ≠1,1(N+1),ρ=1; (13)

относительная пропускная способность системы:
q=1-Pотк=1-1-ρ1-ρN+1ρN,ρ≠11-1(N+1), ρ=1; (14)
абсолютная пропускная способность:
А = q • 𝝀; (15)
среднее число находящихся в системе заявок:
LS=n=0Nn∙Pn=2,ρ≠1N2, ρ=1; (16)
среднее время пребывания заявки в системе:
WS=LSλ(1-PN); (17)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
Wq=WS-1μ; (18)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
Lq = (1 - PN)Wq. (19)
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность 𝝀 = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей:
μ=1t=11,05=0,952.
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей 𝝀 и µ, т. е.
ρ=λμ=0,850,952=0,893.3. Вычислим финальные вероятности системы:
P0=1-ρ1-ρN+1=1-0,8931-0,8935≈0,248;
P1=ρP0=0,893∙0,248≈0,221;P2=ρ2P0=0,8932∙0,248≈0,198;P3=ρ3P0=0,8933∙0,248≈0,177;P4=ρ4P0=0,8934∙0,248≈0,158.4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
Pотк=P4=ρ4P0≈0,158.5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
q=1-Pотк=1-0,158=0,842.6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А = 𝝀 • q = 0,85 • 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
LS=ρ1-N-1∙ρN+N∙ρN+11-ρ∙1-ρN+1=0,8931-4-1∙0,8934+N∙0,89351-0,893∙1-0,8935=1,77.8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
WS=LSλ1-PN=WS=1,770,851-0,158≈2,473 часа.9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
Wq=WS-1μ=2,473-10,952=1,423 часа.10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
Lq = (1 - PN)Wq = 0,85 • (1 - 0,158) • 1,423 = 1,02.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк = 0,158).
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N→∞ ). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t→∞ для любого n = 0, 1, 2,... и когда 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t→∞ для любого п=0,1,2,…, имеет вид
-λP0+µP1=0, n=0;λPn-1+µPn+1-λ+µPn=0, n>0; (20)
Решение данной системы уравнений имеет вид
Pn=1-ρρn, n=0,1,2,…, (21)
где ρ=λμ<1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
LS=n=0∞nPn=ρ1-ρ; (22)

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
WS=LSλ=1μ1-ρ; (23)
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
Lq=Ls-λµ=ρ21-ρ; (24)средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
Wq=Lqλ=1μ1-ρ. (25)Пример 3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
• вероятности состояний системы (поста диагностики);
• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
Решение
1. Параметр потока обслуживания μ и приведенная интенсивность потока автомобилей ρ определены в примере 2:
μ=0,952; ρ=0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P0=1-ρ=1-0,893=0,107; P1=1-ρρ=(1-0,893)∙0,893=0,096; P2=1-ρρ2=(1-0,893)∙0,8932=0,085; P3=1-ρρ3=(1-0,893)∙0,8933=0,076; P4=1-ρρ4=1-0,893∙0,8934=0,068; P5=1-ρρ5=1-0,893∙0,8935=0,061 и т.д.Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р0 = 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
LS=ρ1-ρ=0,8931-0,893=8,346 ед.4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
WS=LSλ=1μ1-ρ=10,952∙1-0,893=9,817 час.5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
Lq=Ls-λµ=ρ21-ρ=0,89321-0,893=7,453. 6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
Wq=1μ1-ρ=10,9521-0,893=8,766 час.7. Относительная пропускная способность системы:
q=1,
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность:
A = λq = 0,85 • 1 = 0,85.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего, интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
т =λPN.
В нашем примере при N=3 + 1= 4 и ρ = 0,893,
т = λ Р0 ρ4 = 0,85 • 0,248 • 0,8934 = 0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
Модели с n обслуживающими каналами. В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/μ. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.
λ λ λ λ λ λ

μ 2μ 3μ kμ ( k+1)μ nμРис. 3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 — все каналы свободны;
S1 - занят один канал, остальные свободны;
………………
Sk - заняты ровно к каналов, остальные свободны;
………………
Sn - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р0.....Рк, .... ,Рn будут иметь следующий вид:
dP0dt=-λ∙P0+μ∙P1;……………dPkdt=-λ∙Pk-1-λ+k∙μ∙Pk+μ∙k+1∙Pk+1 1≤k≤n-1 (26)……………dPndt=λ∙Pn-1-μ∙n∙Pn;Начальные условия решения системы таковы:
P0(0)=1, P1(0)= P2(0)=…= Pk(0)=…=Pn(0)=0.
Стационарное решение системы имеет вид:
Pk=ρkk!k=0nρkk!=ρkk!∙P0, k=0,1,2,…,nPk=1k=0nρkk! k=0,1,2,…,n (27)
где ρ=λμ.
Формулы для вычисления вероятностей Рк называются формулами Эрланга.
Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме. Вероятность отказа определяет формула
Pотк=Pn=ρkk!∙P0. (28)Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все п каналов заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслуживания
входящего потока.
Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q ) дополняет Ротк до единицы:
q=1-Pотк=1-ρkk!∙P0. (29)Абсолютная пропускная способность показывается формулой

A= λ∙q=λ∙1-Pотк. (30)Среднее число каналов, занятых обслуживанием (к), следующее:

k= k=0nk∙Pk=ρ∙1-Pотк. (31)Величина k характеризует степень загрузки СМО.
Пример 4. Пусть п-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ= 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания tобсл= 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Требуется вычислить финальные значения:
вероятности состояний ВЦ;
вероятности отказа в обслуживании заявки;
относительной пропускной способности ВЦ;
абсолютной пропускной способности ВЦ;
среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
Решение
1. Определим параметр μ потока обслуживании:
μ=1tобсл=11,8=0,555.2. Приведенная интенсивность потока заявок равна:
ρ = λ/ρ = 1/0,555 = 1,8.
3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (3.27):
P1=ρ1!∙P0=1,8∙P0;P2=ρ22!∙P0=1,62∙P0;P3=ρ33!∙P0=0,97∙P0;P0=1k=03ρkk!=11,8+1,62+0,97≈0,186;P1≈1,8∙0,186≈0,334;P2≈1,62∙0,186≈0,301;P3≈0,97∙0,186≈0,180.4. Вероятность отказа в обслуживании заявки
Pотк=P3=0,180.5. Относительная пропускная способность ВЦ
q=1-Pотк=1-0,180=0,820.6. Абсолютная пропускная способность ВЦ
A= λ∙q=1∙0,820=0,820. 7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ
k=ρ∙1-Pотк=1,8∙1-0,180=1,476. Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P3 = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3.28):
Pотк=ρnn!∙P0.Составим следующую таблицу:
n 1 2 3 4 5 6
Р00,357 0,226 0,186 0,172 0,167 0,166
Pотк0,643 0,367 0,18 0,075 0,026 0,0078
Анализируя данные таблицы, следует отметить что Расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позолит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при п = 6 вероятность отказа в обслуживании (Ротк) составляет 0,0078.
Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием.
Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/μ.
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:
0=λPn-1-(λ+n∙μ)Pn+(n+1)μPn+1при 1≤n≤C;
(32)
0=λPn-1-(λ+C∙μ)Pn+CμPn+1при 1≤n≤C;
Решение системы уравнений (3.32) имеет вид:
Pn=ρnn!∙P0, при 0 ≤n≤C (33)Pотк=ρnC!Cn-c∙P0, при n≥C, (34)где
P0=n=0C-1ρnn!+ρCC!1-ρC (35) Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: λμС<1.
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:
вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслуживании, определяется по формулам (33) и (34);
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
Lq=C∙ρC-ρ2PC; (36)среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
LS=Lq+LS; (37)средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
Wq=Lqλ; (38)средняя продолжительность пребывания клиента в системе
WS=Wq+1μ; (39)Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример 5. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t= 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
вероятности состояний системы;
среднее число заявок в очереди на обслуживание;
среднее число находящихся в системе заявок;
среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
1. Определим параметр потока обслуживаний
μ=1t=1/0,5=2.
2. Приведенная интенсивность потока заявок
ρ = λ/μ = 2,5/2,0 = 1,25,
при этом λ/μ • с = 2,5/2 • 3 = 0,41.
Поскольку λ/μ • с <, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
P0=n=0C-1ρnn!+ρCC!1-ρC -1 =11+ρ11!+ρ22!+ρ33!1-ρ3=11+ρ+ρ22!+ρ36∙1-ρ3=11+1,25+1,2522!+1,2536∙1-1,253=0,279; P1=ρ11!∙P0=1,25∙0,279=0,349;P2=ρ22!∙P0=1,2522!∙0,279=0,218;P3=ρ33!∙P0=1,2533!∙0,279=0,091;P4=ρ44!∙P0=1,2544!∙0,279=0,028.4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской
Pот.о=P0+P1+P2+P3=0,279+0,349+0,218+0,091=0,937.5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание
Lq=C∙ρC-ρ2PC=3∙1,253-1,252∙0,091=0,111.6. Среднее число находящихся в системе заявок
Ls = Lq + ρ = 0,111 + 1,25 = 1,361.
7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
Wq=Lqλ=0,1112,5=0,444 суток. 8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)
WS=Wq+1μ=0,444+12=0,544 суток. Модель обслуживания машинного парка
Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания.
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность λ входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых λ зависит от состояния системы, причем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.
Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность λ зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (к).
В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - к), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - к) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью λ независимо от других объектов; общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N — к) . λ. Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.
Состояние Sk системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, к = 0, 1,2, .... N. При этом, если система находится в состоянии Sk, то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N - к).
Если λ - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то
λk=N-k∙λ 0≤k≤N,0 k>N,
μk=k∙μ 0≤k≤R,R∙μ R≤k≤N,0 k>N.
Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:
0=-ρNP0+P1; 0=N-k+1ρPk-1-N-kρ+kPk+k+1Pk+1 0<k<R,0=N-k+1ρPk-1-N-kρ+RPk+RPk+1 R<k<N,0=ρPN-1-RPN. (40)
Решая данную систему, находим вероятность k-го состояния:
Pk=N!ρkk!∙N-k!∙P0 1≤k<R,N!ρkR!∙Rk-R∙N-k!∙P0 R≤k≤N. (41)
Величина P0 определяется из условия нормирования k=0NPk=1 полученных результатов по формулам (41) для Рk, к = 1, 2,...,N.
Определим следующие вероятностные характеристики системы:
среднее число требований в очереди на обслуживание
Lq=k=RN(k-R)Pk; (42) среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)
LS=R=1NkPk; (43)среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за отсутствия работы
Rn=k=0R-1R-kPk; (44)коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди
α1=LqN; (45)коэффициент использования объектов (машин)
α2=1-LqN; (46)коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)
α3=RnR; (47)среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)
Wq=1λ∙1-α2α2-1μ. (48)Пример 6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера -пуассоновский с интенсивностью λ= 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: t =1,25 час.
Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:
• оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;
• каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.
Решение
1. Вычислим параметр обслуживания
μ=1t=11,25=0,8.
2. Приведенная интенсивность
ρ = λ/μ = 0,2/0,8 = 0,25,
3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации обслуживания ПК.
Вариант 1
• Определим вероятности состояний системы:
Pk=N!ρkk!∙N-k!∙P0 1≤k<R,N!ρkR!∙Rk-R∙N-k!∙P0 R≤k≤N. P1=10!∙0,2511!∙10-1!∙P0=2,5∙P0;P2=10!∙0,252∙P02!∙22-2∙10-2!=2,812∙P0;P3=10!∙0,2532!∙23-2∙10-3!∙P0=2,812∙P0;P4=10!∙0,254∙P02!∙24-2∙10-4!=2,461∙P0;P5=10!∙0,255∙P02!∙25-2∙10-2!=1,846∙P0;P6=10!∙0,256∙P02!∙26-2∙10-6!=1,154∙P0;P7=10!∙0,257∙P02!∙27-2∙10-7!=0,577∙P0;P8=10!∙0,258∙P02!∙28-2∙10-8!=0,216∙P0;P9=10!∙0,259∙P02!∙29-2∙10-9!=0,054∙P0;P10=10!∙0,2510∙P02!∙210-2∙10-10!=0,007∙P0;• Учитывая, что k=0NPk , и используя результаты расчета Рк, ВЫЧИСЛИМ P0:
k=1NPk=P0+2,5∙P0+2,812∙P0+2,81∙P0+…+0,007∙P0=1. Откуда Р0 = 0,065,
тогда
P1≈0,162; P2≈0,183; P3≈0,182;P4≈0,160;P5≈0,11; P6≈0,075; P7≈0,37; P8≈0,014; P9≈0,003; P10≈0,000. Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание:
Lq=R=1Nk-RPk==0+3-2∙0,182+4-2∙0,160+5-2∙0,11+6-2∙0,075+7-2∙0,037+8-2∙0,014+9-2∙0,003=0,182+0,32+0,33+0,3+0,185+0,084+0,21=1,42. Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
LS=R=1NkPk=1∙P1+2∙P2+3∙P3+4∙P4+5∙P5+6∙P6+7∙P7+8∙P8+9∙P9+10∙P10=0,162+2∙0,183+3∙0,182+4∙0,16+5∙0,11+6∙0,075+7∙0,037+8∙0,014+9∙0,003+10∙0=3,11.Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
Rn=k=0R-1R-k∙Pk=2-0∙P0+2-1∙P1=2∙0,065+1∙0,162=0,292. Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:
α1=LqN=1,4210=0,142.Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле
α2=1-LqN=1-3,1110=0,689. Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так:
α3=RnR=0,2922≈0,146. Среднее время ожидания ПК обслуживания
Wq=1λ∙1-α2α2-1μ=10,2∙1-0,6890,689-10,8=1,01 час . Вариант 2
Определим вероятности состояний системы:
Pk=N!ρkk!∙N-k!∙P0 1≤k<R,N!ρkR!∙Rk-R∙N-k!∙P0 R≤k≤N. P1=5!0,255-1!∙P0=1,25∙P0; P2=5!0,2521!∙12-1∙5-2!∙P0=1,25∙P0;P3=5!0,2535-3!∙P0=0,938∙P0; P4=5!0,2545-4!∙P0=0,469∙P0; P5=5!0,255∙P0=0,117∙P0; k=05Pk=P0+1,25∙P0+1,25∙P0+0,938∙P0+0,469∙P0+0,117∙P0=1. Откуда P0 = 0,199,
Тогда
P1≈0,249;P2≈0,249; P3≈0,187; P4≈0,093; P5≈0,023.Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково:
Lq=k=RN(k-R)Pk=2-1∙0,249+3-1∙0,187+4-1∙0,093+5-1∙0,023=0,994.Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди, рассчитывается так:
LS=R=1NkPk=P1+2∙P2+3∙P3+4∙P4+5∙P5=0,249+2∙0,249+3∙0,187+4∙0,093+5∙0,023=1,8. Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
Rn=k=0R-1R-k∙Pk=1-0∙P0=0,199. Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:
α1=LqN=0,9945=0,199.Коэффициент использования компьютеров:
α2=1-LqN=1-1,85=0,64. Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:
α3=RnR=0,1991=0,199. Среднее время ожидания ПК обслуживания:
Wq=1λ∙1-α2α2-1μ=10,2∙1-0,640,64-10,8=1,56 час.Сведем полученные результаты по двум вариантам в следующую таблицу:
Итоговые вероятностные
характеристики Варианты
1 2
α1
α2
α3
Wq, час. 0,142
0,689
0,146
1,01 0,199
0,64
0,199
1,56
Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна 12 = 0,689 > 22 = 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.
Задачи
1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока 𝝀= 0,95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора t= 1 мин.
Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.
2. В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью 𝝀=0,5 заявки в минуту. Время обслуживания заявки имеет показательное распределение с t =1,5 мин.
Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.
3. В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность 𝝀 = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты.
Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).
4. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью 𝝀 = 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована.
Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.
5. На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности 𝝀 = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей.
Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
6. Используйте условия задачи 3.5 (𝝀= 4; t=17 мин.). Однако ограничения на очередь сняты.
Вычислите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
Определите, эффективно ли снятие ограничения на длину очереди.
7. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой 𝝀 = 10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в среднем t= 3 мин. Распределение моментов возникновения отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных работ распределена экспоненциально. Возможно организовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия.
Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков.
8. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения.
Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме и определите целесообразность приема третьего кассира на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.
9. В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за 1 мин. за инструментом приходят 0,8 рабочего (𝝀 = 0,8). Обслуживание одного рабочего занимает у кладовщика t= 1,0 мин. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом - пуассоновский, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стоимость 1 мин. работы рабочего равна 30 д. е., а кладовщика - 15 д. е.
Найдите средние потери цеха при данной организации обслуживания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы.
10. Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания - 2 мин. на каждого человека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты и кассе в течение одного часа, равно 𝝀= 20 пасс/час. Все потоки в системе простейшие.
Определите среднюю длину очереди, вероятность простоя кассира, среднее время нахождения пассажира в билетной кассе (в очереди и на обслуживании), среднее время ожидания в очереди в условиях стационарного режима работы кассы.
11. Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику 𝝀 =0,5 автомобиля в час. Средняя продолжительность диагностики t=1,2 ч. Все потоки событий в системе простейшие.
Определите в установившемся режиме вероятностные характеристики системы.
12. Используйте условия задачи 3.11 (𝝀 = 0,5; t = 1,2 час). Однако вместо одноканальной СМО (n=1) рассматривается трехканальная (n= 3), т. е. число постов диагностики автомобилей увеличено до трех.
Найдите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме.
13. Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомобилей одновременно. Если в очереди уже находится три автомобиля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 𝝀= 0,7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие.
Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.
14. Используйте условия задачи 3.13. Однако ограничения на длину очереди сняты.
Найдите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.
Определите, выгодно ли в данной ситуации снятие ограничения на длину очереди в предположении, что дополнительных финансовых ресурсов не требуется для расширения площадки при АЗС.
15. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 𝝀 = 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие.
При установившемся режиме найдите:
среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);
среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях;
среднее время ожидания состава в системе обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях.
16. Рассматривается работа АЗС, на которой имеются три заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие.
Определите вероятностные характеристики работы АЗС в стационарном режиме.
17. На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Среднее время обслуживания одной машины - 2 часа. Все потоки в системе простейшие.
Определите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей.
18. Используйте условия задачи 17, однако на СТО нет возможности организовать стоянку для автомобилей, ожидающих обслуживания. Каждый автомобиль, прибывающий в момент, когда все посты заняты, получает отказ в обслуживании.
Определите вероятностные характеристики СТО автомобилей.
19. В вычислительном центре работают 9 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток неисправностей имеет интенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной неисправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслуживают три инженера с одинаковой производительностью. Все потоки событий простейшие. Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:
три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 3; N = 9;
каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1; N = 3.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.
20. Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов автомобилей имеет интенсивность 𝝀= 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком равно 2 час. Все потоки событий простейшие. Возможны два варианта обслуживания:
все автомобили обслуживают два механика с одинаковой производительностью;
все автомобили предприятия обслуживают три механика с одинаковой производительностью.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания автомобилей.
21. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслуживания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки в системе простейшие.
Определите вероятностные характеристики телефонной станции, выступающей в качестве СМО.
22. В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей простейший с интенсивностью, равной 60 покупателям в час. Все покупатели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие.
Определите следующие вероятностные характеристики магазина для стационарного режима работы:
вероятность обслуживания покупателя;
абсолютную пропускную способность магазина;
среднюю длину очереди; среднее время ожидания в очереди;
среднее время всего обслуживания;
вероятность простоя продавца.
23. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется пять заправочных колонок. Заправка одной машины длится в среднем мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, дожидаются своей очереди. Все потоки событий простейшие.
Определите вероятностные характеристики АЗС для стационарного режима.
24. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 𝝀 = 3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки t = 0,5 час. Каждая обслуженная заявка приносит доход 5 д. е. Содержание канала обходится 3 д. е./час.
Решите, выгодно ли в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех.
25. Подсчитайте вероятностные характеристики для простейшей одноканальной СМО с тремя местами в очереди при условиях 𝝀= 4 заявки/час; t = 0,5 час.
Выясните, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.
26. Как изменятся характеристики эффективности СМО в задаче 3.25, если 𝝀 и µ остаются прежними, а ограничение на число мест в очереди снято.
27. Одноканальная СМО - ЭВМ, на которую поступают заявки (требования на расчеты). Поток заявок простейший со средним интервалом между заявками / = 10 мин. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием t = 8 мин.
Определите среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и в очереди.
28. Система массового обслуживания - билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения.
Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.
29. Технические устройства (ТУ) могут время от времени выходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с интенсивностью 𝝀= 1,6 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание времени обслуживания t= 0,5 суток. Количество каналов, выполняющих обслуживание ТУ, равно 5 ед. Количество заявок в очереди не ограничено.
Определите вероятностные характеристики СМО, выполняющие обслуживание ТУ в установившемся режиме.
30. Как изменятся вероятностные характеристики СМО задачи 3.29, если 𝝀 и µ остаются прежними, но число каналов обслуживания уменьшится до двух?

Приложенные файлы

  • docx 14736828
    Размер файла: 201 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий