MNM_DE

ПРОФІЛЬНЕ НАВЧАННЯ В СТАРШІЙ ШКОЛІ.
Мета профільного навчання - забезпечення можливостей для рівного доступу учнівської молоді до здобуття загальноосвітньої профільної та початкової допрофесійної підготовки, неперервної освіти впродовж усього життя, виховання особистості, здатної до самореалізації, професійного зростання й мобільності в умовах реформування сучасного суспільства. Профільне навчання спрямоване на набуття старшокласниками навичок самостійної науково-практичної, дослідницько-пошукової діяльності, розвиток їхніх інтелектуальних, психічних, творчих, моральних, фізичних, соціальних якостей, прагнення до саморозвитку та самоосвіти
Основними завданнями профільного навчання є:
1) створення умов для врахування й розвитку навчально-пізнавальних і професійних інтересів, нахилів, здібностей і потреб учнів старшої школи в процесі їхньої загальноосвітньої підготовки;
2) виховання в учнів любові до праці, забезпечення умов для їхнього життєвого і професійного самовизначення, формування готовності до свідомого вибору й оволодіння майбутньою професією;
3) формування соціальної, комунікативної, інформаційної, технічної, технологічної компетенції учнів на допрофільному рівні, спрямування підлітків щодо майбутньої професійної діяльності;
4) забезпечення наступно-перспективних зв'язків між загальною середньою і професійною освітою відповідно до обраного профілю
Профільне навчання ґрунтується на таких принципах:
1) фуркації (розподіл учнів за рівнем освітньої підготовки, інтересами, потребами, здібностями і нахилами);
2) варіативності й альтернативності (освітніх програм, технологій навчання і навчально-методичного забезпечення);
3) наступності та неперервності (між допрофільною підготовкою і профільним навчанням, професійною підготовкою);
4) гнучкості (змісту і форм організації профільного навчання, у тому числі дистанційного; забезпечення можливості зміни профілю);
5) діагностико-прогностичної реалізованості (виявлення здібностей учнів для їх обґрунтованої орієнтації на профіль навчання
Профіль навчання - це спосіб організації диференційованого навчання, який передбачає поглиблене і професійно зорієнтоване вивчення циклу споріднених предметів.
Профіль навчання визначається з урахуванням наступних чинників:
- освітніх потреб замовників освіти;
- кадрових, матеріально-технічних, інформаційних ресурсів школи ;
- соціокультурної і виробничої інфраструктури району, регіону;
- перспектив здобуття подальшої освіти і життєвих планів учнівської молоді.
Профільне навчання у 10-12 класах здійснюється за такими основними напрямами: суспільно-гуманітарний, природничо-математичний, технологічний, художньо-естетичний, спортивний.
Їх набір відповідає соціально-диференційованим видам діяльності, що зумовлені суспільним розподілом праці, і містить знання про природу, людину, суспільство, культуру, науку та виробництво. За основними напрямами профілізації визначаються різноманітні навчальні профілі.
Профільність визначається як добором предметів, так і їх змістом.
Засвоєння змісту освіти в загальноосвітніх закладах з профільним навчанням має забезпечувати, по-перше, загальноосвітню підготовку учнів, а по-друге - спеціалізовану поглиблену підготовку до майбутньої професійної діяльності.
Профіль навчання охоплює таку сукупність предметів: базові загальноосвітні, профільні та курси за вибором.
Базові загальноосвітні предмети становлять інваріантну складову змісту середньої освіти і є обов'язковими для всіх профілів. Ці предмети реалізують цілі й завдання середньої загальної освіти. Зміст навчання і вимоги до підготовки старшокласників визначаються державним загальноосвітнім стандартом. Зміст базових навчальних предметів може інтегруватися, скорочуватися на користь профільних предметів, що регулюється типовим навчальним планом.
Профільні загальноосвітні предмети - це цикл предметів, які реалізують цілі, завдання і зміст кожного конкретного профілю. Вони обов'язкові для учнів, які обрали даний профіль навчання. Профільні предмети вивчаються поглиблено. Особливостями вивчення є:
- більш глибоке і повне опанування понять, законів, теорій, передбачених стандартом освіти;
- дотримання системного викладу навчального матеріалу, його логічного впорядкування;
- широке використання знань із споріднених предметів;
- застосування активних методів навчання, організація дослідницької, проектної діяльності учнів.
Поглиблене вивчення саме циклу предметів запобігає вузькій спеціалізації, яка здебільшого не відповідає реальним потребам, інтересам старшокласників, оскільки нерідко їх цікавить не один предмет, а група предметів, не одна професія, а кілька близьких професій. Профільні предмети забезпечують також прикладну спрямованість навчання за рахунок інтеграції знань і методів пізнання та застосування їх у різних сферах діяльності, у тому числі і професійній, яка визначається специфікою профілю навчання.
Зміст профільних предметів реалізується як варіативна складова змісту загальної середньої освіти, а частково - як інваріативна складова.
У профільних загальноосвітніх закладах передбачається опанування змісту базових предметів на різних рівнях за такими програмами:
1) програма загальнокультурної підготовки - обов'язковий мінімум змісту навчального предмета, який не передбачає подальшого її вивчення (наприклад, математика на філологічному профілі; хімія та біологія у профілі інформатика або їх інтегрований варіант у цих профілях);
2) програма загальноосвітньої підготовки - обсяг змісту достатній для подальшого вивчення предмета у вищому навчальному закладі - застосовується, коли навчальний предмет не є профільним, але базовим або близьким до профільного (наприклад, загальноосвітні курси біології, хімії у фізико-технічному профілі або загальноосвітній курс фізики у хіміко-біологічному профілі);
3) програма профільної підготовки - обсяг змісту навчального предмета поглиблений, передбачає орієнтацію на майбутню професію (наприклад, курси фізики і математики у фізико-математичному профілі або курси біології та хімії у хіміко-біологічному профілі).
Профіль навчання може мати кілька модифікацій, залежно від базових предметів, обраних учнем як профільні. Їх має бути не більш як два-три з однієї або споріднених освітніх галузей (наприклад, фізика, інформатика і математика, хімія і технології, біологія і екологія, географія і економіка). Так, у профілях, де профільними обрано природничі предмети біологія і хімія, решта природознавчих предметів (фізика, географія) вивчається за програмою загальноосвітнього рівня. Зміст навчальних предметів природничо-математичної галузі в соціально-гуманітарному, технологічному і художньо-естетичному напрямах може бути інтегрований за програмою-мінімумом в єдиний курс природознавства.
Курси за вибором - це навчальні курси, які входять до складу профілю навчання. Основні їх функції полягають у поглибленні і розширенні змісту профільних предметів або забезпеченні профільної прикладної і початкової професійної спеціалізації навчання. Курси за вибором створюються за рахунок варіативного (шкільного та регіонального) компонента змісту освіти. Усі курси варіативного компонента можна поділити на три групи:
1) поглиблення знань з профілюючих предметів базового компонента;
2) розвиток інтересів та здібностей учнів з урахуванням спеціалізації профільних класів;
3) загальний розвиток учнів (інформатика, політологія, бібліографія, світова культура, історія релігій).
Орієнтовне співвідношення обсягу базових загальноосвітніх, профільних предметів і курсів за вибором визначається пропорцією 60:30:10. Загальне навантаження учнів визначено Законом України „Про загальну середню освіту” .
Загальноосвітні школи створюють ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором. Цим самим забезпечується гнучка система профільного навчання, яка дає змогу обрати старшокласнику індивідуальну освітню програму.
Форми організації профільного навчання регламентують діяльність суб'єктів навчально-виховного процесу в системі профільних загальноосвітніх навчальних закладів і забезпечують умови для підготовки учнівської молоді до свідомого життєвого самовизначення, професійного вибору та професійної адаптації. За характером взаємодії суб'єктів профільного навчання виділяються такі форми його організації.
Внутрішньошкільні: профільні класи в загальноосвітніх навчальних закладах; профільні групи в багатопрофільних загальноосвітніх навчальних закладах; профільне навчання за індивідуальними навчальними планами і програмами загальноосвітніх навчальних закладів; динамічні профільні групи (в тому числі різновікові).
Зовнішні: міжшкільні профільні групи району, шкільного округу; профільна школа інтернатного типу; опорна старша школа з пришкільним інтернатом; навчально-виховний комплекс (НВК); міжшкільний навчально-виробничий комбінат (МНВК); загальноосвітні навчальні заклади на базі вищих навчальних закладів.
Профільне навчання організується через навчальні заняття (уроки, лекції, семінари тощо), факультативи, дистанційні курси, екстернат.
Профільне навчання здійснюється у загальноосвітніх навчальних закладах різного типу: однопрофільних і багатопрофільних школах; профільних школах інтернатного типу; ліцеях; гімназіях; колегіумах; навчально-виховних комплексах;
міжшкільних навчально-виробничих комбінатах; опорних старших школах із пришкільним інтернатом, у тому числі в поєднанні з початковою професійною підготовкою; загальноосвітніх навчальних закладах на базі вищих навчальних закладів; профільних загальноосвітніх навчальних закладах із ресурсним центром для використання іншими закладами освіти мікрорайону, регіону, шкільного округу.
Загальноосвітній навчальний заклад може мати один або кілька профілів. В окремих випадках загальноосвітній навчальний заклад (клас) може бути не орієнтований на конкретний профіль навчання. Тоді задоволення освітніх запитів учнів здійснюється за рахунок введення курсів за вибором, які дають змогу поглибити або професійно спрямувати зміст споріднених базових предметів.
Профільні групи у багатопрофільних загальноосвітніх навчальних закладах передбачають профільну спеціалізацію груп учнів у класах певного напряму профілізації. Наприклад, у класі суспільно-гуманітарного напряму можуть бути організовані групи для навчання за філологічним та історико-правовим профілями. Профільне навчання за індивідуальними навчальними планами і програмами у загальноосвітніх навчальних закладах здійснюється для задоволення індивідуальних запитів обдарованих учнів.
Динамічні профільні групи створюються за бажанням учнів та їхніх батьків у профільних школах, що мають належне матеріально-технічне, професійно-педагогічне забезпечення. Вони можуть функціонувати у паралельних класах старшої школи (за наявності не менш як 12 учнів у групі); у малокомплектних школах можуть організовуватись різновікові динамічні профільні групи. Протягом навчального року учні мають право переходити з однієї профільної групи в іншу. Це забезпечить умови для самостійного вибору учнями профільних навчальних курсів, випробування власних сил, реалізації їхніх освітніх, професійних інтересів.
Міжшкільні профільні групи організуються в міжшкільному навчально-виробничому комбінаті (МНВК), навчально-виховному комплексі (НВК), опорній старшій школі з пришкільним інтернатом, профільній школі інтернатного типу за рахунок кооперації ресурсів і коштів закладів освіти, приватних осіб тощо. Старшокласники мають можливість більш змістовно й організовано вивчати спецкурси, які забезпечать допрофесійну підготовку та їх дійову професійну орієнтацію.
Профільна школа інтернатного типу здійснює загальну освіту і має на меті цільову професійну підготовку молоді з числа випускників основної школи (за умови наявності кадрових, фінансових, інформаційних ресурсів, сучасної навчально-матеріальної бази). Опорна старша школа з пришкільним інтернатом створюється переважно в сільських районах, де школи не мають паралельних класів для реалізації профільного навчання, для початкової професійної підготовки, за наявності відповідного ресурсного забезпечення в районі і потреб замовників освіти.
Міжшкільний навчально-виробничий комбінат (МНВК) - це навчальний заклад, який здійснює трудову, профільну, початкову професійну, підприємницьку підготовку учнівської молоді від 14 років і забезпечує задоволення освітніх запитів з профільного і професійного навчання на підвищеному рівні та адаптацію молоді в умовах ринкової економіки поряд з отриманням загальноосвітньої підготовки у закладах освіти.
Навчально-виховний комплекс (НВК) - це заклад, в якому організація профільного навчання передбачає об'єднання освітніх, фінансових, інформаційних ресурсів основної та старшої ланки школи, міжшкільного навчально-виробничого комбінату, закладу початкової професійної освіти, позашкільних освітніх закладів. У НВК можуть функціонувати профільні класи і групи, де вивчаються профільно зорієнтовані курси початкової професійної підготовки. У сільській місцевості до організаційної структури НВК можуть входити дитячі дошкільні заклади, школи I - III ступенів, професійно-технічні училища, міжшкільні виробничі комбінати.
Загальноосвітні навчальні заклади на базі вищих навчальних закладів функціонують переважно на III ступені навчання і забезпечують загальноосвітню підготовку та профільну підготовку, яка відповідає професійній спеціалізації факультетів цих закладів і реалізується в основному його науково-педагогічними працівниками.
ДОПРОФІЛЬНА ПІДГОТОВКА
Здійснюється у 8-9 класах для професійної орієнтації учнів, сприяння у виборі ними напряму профільного навчання у старшій школі. Форми її реалізації - введення курсів за вибором, поглиблене вивчення окремих предметів на диференційованій основі.
Основна функція курсів за вибором - профорієнтаційна. Вимоги до організації вивчення курсів: достатня їх кількість для визначення напряму профільного навчання; поступове введення за рахунок годин варіативного освітнього компонента; поділ класу на групи, однорідні за підготовленістю та інтересами учнів.
Поглиблене вивчення предмета, крім розширення і поглиблення змісту, має сприяти формуванню стійкого інтересу до предмета, розвитку відповідних здібностей і орієнтації на професійну діяльність, де використовуються одержані знання. Поглиблене вивчення здійснюється або за спеціальними програмами і підручниками, або за модульним принципом - програма загальноосвітньої школи доповнюється набором модулів, які поглиблюють відповідні теми.
Допрофільна підготовка має здійснюватися також через факультативи, предметні гуртки, наукові товариства учнів, Малу академію наук, предметні олімпіади. Ефективність допрофільного навчання потребує налагодження дійової діагностики рівня навчальних досягнень учнів основної школи, профконсультаційної психодіагностики з метою визначення професійних інтересів і якостей школярів для створення однорідних за підготовленістю і інтересами мікроколективів (класів, груп).

2. Алгебра і початки аналізу як навчальний предмет у профільній школі
Рівень профільної підготовки. Мета навчання математики в класах математичного та фізико-математичного профілів полягає у забезпеченні загальноосвітньої підготовки з математики, необхідної для успішної самореалізації особистості у динамічному соціальному середовищі, її соціалізації, і достатньої для успішного вивчення фізики та інших, в першу чергу, природничих предметів, продовження навчання у вищих закладах освіти за спеціальностями, або безпосередньо пов’язаними з математикою, або за спеціальностями, де математика відіграє роль апарату для вивчення й аналізу закономірностей реальних явищ і процесів.
У класах з поглибленим вивченням математики рівня підготовки учнів з математики має забезпечувати у майбутньому, крім сказаного вище, успішне опанування професією, яка потребує високого рівня математичних знань, тобто за спеціальностями теоретичної і прикладної математики або спеціальностями тих галузей, які потребують розвиненого математичного апарату для вивчення й аналізу закономірностей реальних явищ і процесів; у підготовці до навчання у вищому навчальному закладі з відповідним фаховим спрямуванням.
Програми для профільного рівня і класів з поглибленим вивченням математики відрізняються змістовим наповненням і структурно.
Алгебра і початки аналізу
Математика займає особливе місце у системі знань людства, виконуючи роль універсального та потужного методу сучасної науки. Тому, крім забезпечення засвоєння учнями більш широкого порівняно з загальноосвітнім рівнем обсягу теоретичних знань, окрему увагу слід приділити формуванню поняття про прикладну і інструментальну роль математики в сферах її застосувань. Тому збільшення навчального часу на вивчення математичних дисциплін, порівняно з академічним рівнем, має вирішити подвійну задачу: перша – це розширити коло теоретичних питань, які вивчаються, і поглибити рівень їх вивчення; друга – сформувати навички застосування засвоєних теоретичних знань до розв`язування широкого кола прикладних задач.
Старшокласники мають засвоїти загальні принципи математичного моделювання, тобто усвідомити, що процес застосування математичних знань до розв’язування будь-яких прикладних задач розчленовується на три етапи: 1) формалізація (перехід від ситуації, описаної у задачі, до формальної математичної моделі цієї ситуації, і від неї – до чітко сформульованої математичної задачі); 2) розв’язування задачі у межах побудованої моделі; 3) інтерпретація одержаного розв’язання задачі та його застосування до вихідної ситуації.

3.Функціональна лінія в основній школі.
У старшій школі поняття функції традиційно (впродовж останніх 30-40 років) виділялося як стрижневе, всі інші змістові лінії курсу алгебри доповнюють, розширюють і відповідно узгоджуються з функціональною лінією, залежно від рівня опанування математикою для учнів відповідних класів мають по різному розставлятись акценти щодо теоретизації рівня задач та частки прикладної спрямованості виучуваного змісту. Рівень стандарту до даної теми бере державний стандарт з математики роблячи основний акцент загальнокультурні загальноосвітні значенні функції в реальному світі, зокрема підкреслюючи модельний аспект, тому найперше у свідомості учнів, що навчаються за рівнем стандарту має сформуватися уявлення про функції як про засіб пізнання навколишнього світу, інструмент дослідження реальних явищ і процесів. Для цього залучаються традиційний набір елементарних функцій, простіші базові задачі на відпрацювання базових умінь і навичок та задачі які розкривають ідею математичного моделювання, залежно від профілю класу розкриття модельного аспекту передбачає використання задач з відсутніми фабулами.
Традиційно на початку курсу 10 класу, відводиться більше 10 годин на повторення знань систематизацію їх про функції вивчених в основній школі (на всіх рівнях), це створить підґрунтя для таких дій:
- розширення списку функцій, що вивчаються в школі;
- розширення та завершення загальної схеми дослідження функцій елементарними засобами;більш свідоме опанування елементами математичного аналізу та узагальнення вивченого з виходом на універсальну схему дослідження функції(з похідною де графік результат).
Академічний рівень маючи більшу кількість годин на опанування відповідного матеріалу розширює і поглиблює далі питання в основному через задачі. Приорітетною є також ідея математичного моделювання.
Профільний рівень при істотному збільшенні годин вносить також певні зміни щодо змісту вивчення та глибини опанування.
Важливим є знання теоретичних фактів, означень, тверджень, відповідних теорем методів їх одержання та застосування. Разом з тим проводиться також проводиться належна мотивація щодо вивчення теми.
Перехід від вивчення функцій основної школи до функцій старшої школи супроводжується не лише розстановкою акцентів на повторенні і систематизації попереднього, а й на розширенні даної змістової лінії.
Важливо показати особливе введення означення даної теми, кожне наступне означення спирається на попереднє, розширюючи сферу його застосування шляхом доповнення нових сфер застосування.

4. Методика вивчення тригонометричного матеріалу в ШКМ.
Тригонометричний матеріал в ШКМ традиційно вивчається в кілька етапів:1)вивчення триг.ф-й гострого кута прямок.тр-ка(геометрія 8кл)2)вивчення триг.ф-й для кутів від 00 до 1800(геом 8-9) 3)вивчення триг.ф-й довільного кута повороту та триг.ф-й чис.арг-ту (алгебра і поч.аналізу 10кл). На 1-х 2-х етапах кут трактується як геом.фігурає на 3-му – як міра повороту і довільне число. На 2-му етапі недоцільно відразу переходити до кола одиничного радіуса. Варто спочатку перенести знайому інф-ю(прямок.тр-к) в нову ситуацію(в с-му коор-т), скласти відповідні відношення для sin
·, cos
·, tg
· і лише після цього розглянути одиничне коло. Таким чином в учнів збережеться інф-я про триг.ф-ї як відношення відповідних сторін в прям.тр-ку. При введенні поняття кута повороту треба показати учням включення попередньої інф-ї в нове трактування. Головне, щоб учні не сприйняли триг.ф-ї в алгебрі та геометрії по-різному. Перед вивченням триг.ф-й в курсі алгебри необхідно повторити все вивчене про нього в курсі геометрії, наголосити про переваги введення одиничного кола. Також слід повторити інф-ю про радіанну міру кута, роз-ти вправи на перехід від однієї с-ми вимірювання кутів до іншої. Вказати переваги рад.міри, особливо виділити співвідношення sin
·~
·, tg
·~
· при малих
·. Далі розглядають геометричне тлумачення відповідності між точками чис.прямої і точками кола одиничного радіуса. Учням пояснюють ідею повторюваності тих самих значень триг.ф-й через певні проміжки, розкриваючи тим самим вл-ть періодичності.
Серед триг.ф-й 1-ю роз-ся y=sinx. Вона розг-ся за такою схемою:1обл.виз-я.обл.зн-нь 2парність.неп 3 періодичність 4нулі ф-ї, проміжки зр, спад, проміжки знакосталості, макс, мін ф=ї. Наступні ф-ї cosx, tgx, ctgx розглядаються за такою ж схемою. Всю цю інф-ю доцільно подавати в табличній ф-мі, використавши порівняння.
Щодо введення обер.триг.ф-й, то є 2 підходи:1поняття “об.тр.ф-ї” вводиться на основі поняття “оберненої ф-ї” і алгоритму побудови ф-ї, оберненої до даної. 2 об.тр.ф-ї вводяться в темі триг.рів-ня, як роз-ки відповідних р-нь. Вл-ті і графіки об.тр.ф-й вивчають за вже відомою схемою вивчення ф-й, з врахуванням поняття “обер.ф-ї”. Цю інф-ю доцільно також подати у табл.ф-мі і провести порівняльний аналіз між прямою та об.ф-ю.

5. Обернені тригонометричні функції.
Залежно від профілю навчання обсяг теоретичної інформації про обернені тригонометричні функції може істотно відрізнятися. Для гуманітарного профілю допустимий варіант, коли ці функції взагалі не вивчаються, а для обґрунтування загальних міркувань щодо розв’язування тригонометричних рівнянь розглядують наприклад теорему про корінь.
Якщо обернені тригонометричні функції вивчаються у належному обсязі, то обов’язково має бути проведена систематизаційна робота за такими напрямками: спорідні функції, тригонометричні і обернені; зведення інформації про обернені тригонометричні функції та їх графіки.
Для класів математичного профілів можна пропонувати завдання, схеми, складені таблиці, використовувати інші форми систематизації матеріалу.
Щодо введ обер.триг.ф-й, то є 2 підходи:1)поняття “оберн.тр.ф-ї” вводиться на основі поняття “оберненої ф-ї” і алгоритму побудови ф-ї, оберненої до даної. 2) об.тр.ф-ї вводяться в темі триг.рів-ня, як роз-ки відповідних р-нь. Вл-ті і графіки об.тр.ф-й вивчають за вже відомою схемою вивчення ф-й, з врахуванням поняття “обер.ф-ї”. Цю інф-ю доцільно також подати у табл.ф-мі і провести порівняльний аналіз між прямою та об.ф-ю

6. Показникова і логарифмічна функції в старшій школі
Показникова: Раніше пок. ф-я вводилася відповідно до підходу з використанням степеневої ф-ї або узагальненого поняття степеня. В діючих програмах та підручниках як мотивація введення розглядаються задачі прикладного характеру (розмноження бактерій, розростання дерева), на основі яких виділяється певний тип залежностей між змінними і вводиться відповідне означення показ. ф-ї. Далі будуються графіки ф-й наприклад: y=2x, y=(1/2)x, за якими виділяються властивості пок. ф-ї і залежність поведінки графіка від основи цієї ф-ї. Всі ці властивості обґрунтовуються і вся одержана інформація використовується в розвязанні показ. р-нь і нерівностей, а також для введення логар. ф-ї, як оберненої до даної.
Логарифмічна: Лог. ф-я вводиться як ф-я,обернена до показникової. Існує 2 підходи щодо введення матеріалу про лог. ф-ю: 1) спочатку вводиться лог.ф-я, потім розглядається поняття логарифма числа і властивості логарифмів 2)спочатку вводиться поняття логарифма, властивості логарифмів, а потім лог. ф-я, обернена до показ. Інформацію про лог. та показ. ф-ю доцільно подати у табличній формі як порівняння, а також розглянути відповідні співвідношення для цих ф-й . Обов’язково треба звернути увагу на 2 таких записи ax=b logab=x, учні повинні бачити, що вони означають одне й те саме. Робота з графіками лог. ф-ї має проводитися у тісному взаємозв’язку з графіками пок. ф-ї. У зв’язку з вивченням лог. ф-ї достатню увагу треба приділити засвоєнню логарифмічних тотожностей і їх застосуванню до обчислення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних виразів, розв’язання лог. рівнянь, нерівностей і їх систем.

7. Числа та обчислення у профільній школі
У профільній школі починається вивчення складних функцій, зокрема тригонометричні, логарифмічні, показникові, степеневі функції. При їхньому вивченні виникають трансцендентні числа, що є особливістю обчислення у профільній школі. Слід звертати увагу учнів на своєрідність (періодичність) розвязків тригонометричних рівнянь, при розвязуванні яких обчислення відбувається додаванням певного кута одиничного кола. Прикладом чисел притаманних профільній школі є Log43, дробові степені чисел, інколи комплексні числа.

8. Рівняння, нерівності та їх системи у старшій школі
Змістова лінія РНС в ст. школі відіграє особливу роль, тому що цей матеріал вивчається у нерозривному зв’язку з відповідними функціями. Загалом на вивчення даної змістової лінії програма відводить небагато часу. Тут поняття рівняння вже трактується по-іншому: перехід від невідомого як числа до невідомого як функції. Вивчення р-нь і нер-й у ст. школі має ряд особливостей. Базою для їх розв’язання є вміння і навички, здобуті в осн. школі(цілі і дроб.рац.р-ння). На вивчення РНС у ст. школі значно впливає якість знань учнів щодо властивостей відповідних функцій. Осн.етапи вивчення лінії:в 10кл: тригонометричні Р і Н, ірраціональні Р(іноді Н), логарифмічні Р і Н, показникові Р і Н, в 11кл – диф.рів-ня.
Триг.р-ня починають розвязувати з найпростіших триг. рівнянь виду sinx=a, cosx=a, tgx=a. відразу ж слід показати учням як записється множина їх розвязків sinx=a, x=(-1)narcsina+
·n при
·a
·<=1, cosx=a, x=+-arccosa+2
·n при
·a
·<=1. tgx=a, x=arctga+
·n, aєR. Розв’язання найпростіших тригон р-нь обов’язково треба супроводжувати зображенням коренів на числових колах і графіках ф-й. Коли учні зрозуміють як розв’язувати такі рівняння слід їх поступово ускладнювати, розглядаючи р-ння виду T(kx+
·)=a де T-кос,сін, тан чи кот, а потім р-ння виду aT2+bT+c=0. такі р-ння розв’язуються різними способами з використанням різних триг. формул.
Пок-ві і лог.р-ня: це р-ня, в яких змінні міститься відповідно в показнику чи під знаком логарифма. До основних способів роз-ня пок. р-нь належать зведення обох частин до спільної основи, зведення до спільного показника, заміни, зведення до квадр. р-ння. При роз-ні пок. нерівностей викор. властивість монотонності пок. ф-ї. Методи роз-ня лог. р-нь: потенціювання, логарифмування обох частин. Р-ня даного типу зводяться до розв’язання р-нь виду logax=b. Існують також показникові-логарифмічні (змінна і там і там) р-ня, найчастіше їх розвязують логарифмуванням обох частин р-ня, або зведенням до спільної основи. При роз-ні лог. нерівності при а>1 більшому лог. відпов. більше значення ф-ї, при а<1 більшому-менше.
Іррац. р-ня - змінна міститься під знаком кореня. Методи їх роз-ня:піднесення до квадрата, заміна

9. Початки математичного аналізу в профільній школі: похідна
У класах загальноосвітнього профілю П і її застосування вивчаються в 11кл, а в класах мат. профілю – в 10. Мета вивчення: ознайомити учнів із універсальним мат. апаратом дослідження ф-й, як моделей реальних процесів і явищ. Існує 2 підходи до вивчення П: логічний(базується на класичному викладі матеріалу, починаючи від задач, що прив. до пон. П і до застосування П - він реалізований в діючих підручниках) і наочно-інтуїтивний (означенння П вводиться без пон. границі, опора на графічні ілюстрації). Зазвичай поняття П вивчається за такими пунктами: 1) задачі, що приводять до поняття П (про миттєву швидкість, про дотичну) 2) означення П, її геометричний та фізичний зміст (працюючи над означенням поняття П треба розглянути ряд вправ за допомогою яких на основі означення можна виділити алгоритм знаходження П і вправи, на яких цей алгоритм закріпиться) 3) правила диференціювання (теореми про П суми, добутку, частки ф-й) 4) похідні елементарних ф-й 5) похідні складених ф-й, похідні вищих порядків. Методика вивчення застосувань П складається з таких етапів: 1)проміжки зростання-спадання ф-ї; 2)критичні точки, точки мін і макс. ф-ї; 3) екстремуми функції, правила дослідження ф-ї на екстремум; 4)знаходження найбільшого і найменшого значення ф-ї. На даних етапах дуже важливим є алгоритмічний підхід, слід дати учням чіткі правила наприклад на дослідження ф-й на екстремуми, знаходження найб. і найм. значення ф-ї в точці. Іноді розглядають опуклість і вгнутість кривої, точки перегину. Потім подають загальну схему дослідження ф-ції за допомогою П. Вивчається також застосування П у фізиці і техніці, зокрема розглядаються задачі на оптимізацію (знаходження найб. і найм значень).
Основні напрямки пропедевтики поняття П: 1)вивчення лінійної ф-ї (слід закцентувати увагу учнів на розумінні коефіцієнта k як tg кута нахилу графіка лінійної ф-ї до + напрямку осі Ох); 2)з’ясування змісту понять
·х,
·у,
·у/
·х, і тлумачення
·у і
·у/
·х як ф-й від х; 3)з’ясування суті поняття границі ф-ї в точці(це число) і ідей граничного переходу; 4) засвоєння знань про дотичну(спочатку цей матеріал розглядають в геометрії(дотична до кола). Далі це поняття узагальнюється як дотична до незалежної кривої. Вводиться поняття січної, і дотична тлумачиться як граничне положення січної. Важливу роль тут має відігравати наочність; 5)вивчення у фізиці рівномірного та нерівномірного руху, понять середньої та миттєвої швидкості.

10 Початки математичного аналізу у профільній школі: первісна та інтеграл.
У курсі алгебри і початків аналізу далі розвиваються основні змістові лінії курсу алгебри і завершується розробка аналітичного апарату, що застосовується в предметах природничо-математичного циклу. Чималу частину цього курсу становлять початки диференціального та інтегрального числення, які завершують у шкільному курсі вчення про функцію. Поняття про методи диференціального та інтегрального числення відкривають широкі можливості для застосування математики в різних галузях науки і практики, формують науковий світогляд, дають можливість складати і розв’язувати моделі задач, що характеризують різноманітні процеси.
Під час вивчення курсу алгебри і початків аналізу є широкі можливості для реалізації між предметних зв’язків. У геометрії, зокрема, похідна та інтеграл використовується для обчислення об’ємів і розв’язування задач на найменші і найбільші значення геометричних величин.
У фізиці похідна та диференціальні рівняння використовується під час вивчення явищ радіоактивного розпаду.
Дана тема вив-ся в 11кл після вив-ня теми “пох-на та її заст-ня”. На вив-ня цієї теми програма відводить майже в половину менше часу ніж на пох. Осн.мета вивч.теми: розглянути операцію, обер.до оп-ї дифер-ня, ввести поняття первісної та інтегала; показати заст-ня інтеграла до обчислення площ кривол.трапецій і об’ємів найпростіших тіл обертання(в геометрії). Введення первісної варто починати з того, що кожна дія(операція), яка вивчалась у шкільному курсі має до себе обернену. Основною операцією дифер.числення є оп-я відшукання похідної f/ даної ф-ції f. Але при роз-ні задач з фізики, геометрії доводиться виконувати обернену операцію, т.т за відомою похідною ф-ї обчислювати саму ф-ю. Таку ф-цію наз.первісною. Це можна показати на такому прикладі: знайти ф-ю, похідна якої дорів.x2. учні самі мають назвати таку ф-ю. Потім слід задати таке пит-ня: чи існують ще ф-ї, похідні яких дорів.x2.(учні мають наводити приклади).тоді робиться висновик про те, що існує безліч ф-й, пох-ні яких = x2. Мнж-ну всіх первісних записують у вигляді F(x)+C, де C-довільна стала. Цей вираз наз.заг.виглядом первісної. Доцільно було б щоб учні користуючись таблицею похідних самі заповнили таблицю первісних. Властивості первісної:1)якщо ф-я F(x) є первісною для f(x), то і ф-я F(x)+C теж буде пер-ю для ф-ї f(x) 2) будь-які 2 первісні для тієї самої ф-ї різняться між собою лише одним доданком. Правила знах-ня пер-ї:1якщо F(x) є пер-ю для f(x), а G(x) для g(x), тоF(x)+G(x) є пер-ю дляf(x)+g(x) 2Якщо F(x) є пер-ю для f(x)а k-стале число, то kF(x)-пер-на для kf(x). 3якщо F(x) є пер-ю для f(x), а k і b-сталі числа, причому k не =0, то 1/k*F(kx+b ) є пер-ю для f(kx+b).
У діючій програмі і шкіл.під-х прийнято традиційний підхід до введення поняття інтеграла у звязку із задачею про площу кривол.тр-ї. Потім на основі цієї задачі вводиться означення інтеграла, вказуються де межі інт-ня, підінтегр.вираз, змінні інтегрування. Доцільно підкреслити геометричний зміст інт-ла: це площа крив.тр-ї, обмеженої графіком ф-ї y=f(x), відрізком осі Ох і прямими x=a, x=b. Доцільно звернути увагу учнів на те, що безпосередньо за озн-м інт-ли легко обч-ти лише для найпростіших ф-й, але з ускладенням ф-ї стаєскладним і обч-ня. Тому існує універ.ф-ла Ньютона
·Лейбніца13 EMBED Equation.3 1415
11. Методика вивчення елементів стохастики
Елементи стохастики передбачено вивчати в школі в два етапи. На першому етапі - у 9 класі основної школи передбачено ввести поняття про статистику і способи подання даних, про гістограму розподілу значень, середнє значення та розкид. Після вивчення комбінаторики можна ввести поняття про ймовірність, сприятливі випадки, розглянути простіші приклади підрахунку дати ширшу систему знань початків теорії ймовірностей і елементів статистики.
Ще до введення перших понять і відомостей з початків теорії ймовірностей та елементів статистики на завершенні вивчення алгебри в 9 класі доцільно систематично проводити пропедевтику щодо вивчення елементів стохастики при вивченні звичайних дробів. В 5-6 класах є можливість ознайомити учнів з поняттями класичної ймовірності, розв'язуючи задачі на підрахунок «шансів на виграш», а при вивченні дій над звичайними дробами можна розв'язувати найпростіші задачі на додавання та множення ймовірностей.
Експериментальна робота щодо вивчення початків теорії ймовірностей у старшій школі свідчить про те, що починати її слід з уведення елементарних випадкових подій та класичної ймовірності, так само, як вивчення числових множин починається та досить довго продовжується для точних чисел. В геометрії вивчаються ідеальні абстрактні об'єкти (геометричні фігури). Лише в 8 класі вводяться наближені значення чисел і величин та дії над ними. Поняття статистичної ймовірності, закон великих чисел природно розглянути на завершенні вивчення теми.
Важливо не постулювати, а на прикладах власної діяльності учнів (підкидання монети, дослід із записками, розподіл шроту на дошці Гальтона тощо) переконати їх в тому, що в масових випадкових подіях існують закономірності, які і вивчає теорія ймовірностей. Вирішальну роль для усвідомлення учнями навчального матеріалу цієї теми відіграє система раціонально відібраних задач, серед яких має бути значна кількість задач прикладного змісту.

12. Геометрія як навчальний предмет у профільній школі
У профільній школі вивчення геометрії зводиться до вивчення стереометрії. Мета навчання курсу стереометрії – систематичне вивчення властивостей геометричних фігур у просторі, розвиток просторових уявлень і уяви, засвоєння учнями способів обчислення важливих для практики геометричних величин і дальший розвиток логічного мислення. Зміст шкільного курсу стереометрії групується в основному навколо чотирьох основних змістовних ліній:
Просторові геометричні фігури та їх властивості;
Геометричні перетворення;
Координати і вектори в просторі;
Геометричні величини.
В курсі стереометрії далі розвиваються основні змістові лінії курсу планіметрії основної школи, тому йому властивий систематизуючий і узагальнюючий характер викладу, широке використання аналогій, спрямованість на закріплення і розвиток умінь і навичок, набутих в основній школі.
На рівні стандарту програма вимагає від учнів:
уміти зображувати на площині просторові геометричні фігури, вказані в умовах теорем і задач;
виділяти відомі фігури на рисунках і моделях;
Розв’язувати типові задачі на обчислення та доведення, спираючись на засвоєні теоретичні відомості;
На рівні академічному програма вимагає від учнів:
уміти зображувати на площині просторові геометричні фігури, вказані в умовах теорем і задач;
виділяти відомі фігури на рисунках і моделях;
Розв’язувати типові задачі на обчислення та доведення, спираючись на засвоєні теоретичні відомості;
Проводити обґрунтовані міркування під час розв’язування типових задач, використовуючи теоретичні відомості, набуті учнями в ході вивчення планіметрії та стереометрії;
Застосовувати апарат алгебри, початків аналізу та тригонометрії для розв’язування геометричних задач та доведенні теорем;
На профільному рівні програма вимагає від учнів:
Розв’язувати нестандартні задачі на обчислення та доведення, спираючись не тільки на засвоєні теоретичні відомості;
Проводити обґрунтовані міркування під час розв’язування більш складних задач, використовуючи теоретичні відомості, набуті учнями в ході вивчення планіметрії та стереометрії;
Застосовувати апарат алгебри, початків аналізу та тригонометрії для розв’язування геометричних задач та доведенні теорем;
Використовувати вектори та координати, розв’язуючи нестандартні задачі.
Учні, які вивчають математику на профільному рівні належна увага у програмі приділяється побудові перерізів многогранників методом слідів та методом внутрішнього проектування. Водночас треба навчити всіх учнів зображувати просторові фігури на площині, спираючись на властивості паралельної проекції.
Всі основні види геометричних перетворень, які вивчались у планіметрії, переходять до стереометрії. Крім того відбувається розширення видів симетрії розглядається симетрія відносно площини. У просторі розширюються властивості гомотетії.
Для формування в учнів просторових уявлень і розвитку уяви важливо починати введення понять, теорем і аксіом і багатьох стереометричних задач з розгляду моделі і наочного рисунку. Модель і рисунок дають змогу учням виділити ознаки просторових фігурі абстрагуватися від несуттєвих, виконати узагальнення, помітити потрібні відношення і зв’язки між елементами фігур, здійснити аналіз через синтез при доведенні теорем і розв’язуванні задач, узагальнити проведене доведення, поширивши твердження на всі фігури певного класу.
При вивченні стереометрії ефективними виявляються різні варіанти лекційно-практичної системи навчання. У формі шкільної лекції можна подати відомості про аксіоматичну побудову геометрії, провести перші уроки з тем «Паралельність прямих і площин», «Перпендикулярність прямих і площин», дати відомості про геометричні перетворення в просторі, правильні многогранники, об’єми многогранників. У формі підсумкової лекції доцільно систематизувати знання з теми «Многогранники». Урок-семінар можна ефективно провести на завершення вивчення теми «Многогрананники».

13. Особливості перших уроків стереометрії
До перших уроків стереометрії ми відносимо ті, які стосуються першої теми курсу – «Аксіоми стереометрії, їх найпростіші наслідки». Слід мати на увазі, що при вивченні перших тем стереометрії, а отже і при проведенні перших уроків, учні натрапляють на труднощі. Ці труднощі пов’язані передусім з недостатнім розвитком в учнів просторових уявлень й уяви, значною абстрактністю навчального матеріалу порівняно з планіметричними, перевантаженістю теоремами, у тому числі і дрібними наявністю багатьох аналогій і відмінностей між відповідними поняттями і твердженнями планіметрії і стереометрії. З метою зменшення першої із зазначених труднощів учитель повинен використовувати наочність. Зменшити другу трудність (абстрактність навчального матеріалу) дасть змогу конкретизація вчителем означень, аксіом, теорем їх різноманітними застосуваннями у навколишньому житті і техніці. Перевантаженість теорем і їх доведень учитель може зменшити, якщо зосередить увагу учнів на вузлових твердженнях, які будуть потрібні надалі. Щодо аналогій і відмінностей у навчальному матеріалі планіметрії і стереометрії, то вчитель повинен скористатися тими аналогіями, які дають змогу учням краще усвідомити і запам’ятати факти із стереометрії, і застерегти учнів від тих аналогій, які можуть призвести до помилок. Основна мета вивчення першої теми повторення аксіом планіметрії і засвоєння учнями аксіом стереометрії. Учні повинні знати аксіоми стереометрії і основні наслідки з них, вміти їх застосовувати при розв’язуванні задач. Як і на перших уроках планіметрії, вимога все доводити з обов’язковими посиланнями на аксіоми і доведені раніше теореми.
Перший урок доцільно присвятити поясненню учням ідеї дедуктивної побудови геометрії на прикладі планіметрії, походження та ролі первісних понять і аксіом, повторення аксіом планіметрії і схеми логічної будови геометрії.
Потреба у первісних поняттях і їх роль у геометрії пов’язані з дедуктивним характером її побудови. У геометрії кожне поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Крім точки і прямої первісним поняттям планіметрії є поняття «належать» для точок і прямих, «лежать між» для трьох точок і прямих, «довжина відрізка», «градусна міра кута». Доцільно зауважити, що вибір первісних понять це справа домовленості того, хто будує курс.
Первісні поняття, як і більшість означуваних походить від об’єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття «площина» походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмеженою, продовженою, вона не має товщини. Пряма – образ туго натягнутої нитки. Проте пряма у геометрії не має ні початку ні кінця і уявляється необмежено продовженою, вона не має товщини.
Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твердженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур і сприймаються без доведення називаються аксіомами. Твердження, що виражають властивості геометричних фігур і сприймаються із доведеннями називаються теоремами.
На другому уроці доцільно звернути увагу учнів на розділ стереометрія, як про розділ геометрії, що вивчає властивості фігур у просторі, звернути увагу на те, що найпростішими фігурами є точка, пряма і площина. Оскільки, площина нова найпростіша стереометрична фігура, тому необхідно сформулювати аксіоми, що виражають властивості площини. На перших уроках доцільно наочно пояснити учням аксіоми стереометрії. Оскільки точка і також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом стереометрії складається з дев’яти аксіом планіметрії і трьох аксіом групи С. Теореми на перших уроках доводяться методом від супротивного. Система задач перших уроків стереометрії містить небагато задач, але переважна їх кількість – це задачі на доведення. Доцільно звернути увагу учнів на те, що вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них дають можливість розв’язувати найпростіші задачі на побудову в просторі.

14.Взаємне розміщенняпрямих і площинупросторі: паралельність.
Однією з головнихособливостейвикладаннястереометрії повинно бути широкезастосуваннягеометричнихобразів, їх моделей і зображень. Учніповиннінавчитися перш за все “бачити” розміщенняпрямих і площин, відповідні кути і відстані, а вжепотімвмітиобґрунтуватисвоїпросторовіуявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та іншітвердження. Післявведенняаксіом та наслідків з них обов’язковоознайомитиучнів з технікоювиконаннянайпростішихстереометричнихкреслень та побудовоюперерізів. При розглядівзаємногорозташуванняпрямих у просторідоцільно довести теореми про транзитивністьпаралельностіпрямих у просторі, про рівністьдвохкутівізспівнапрямленими сторонами, датиучнямуявлення про напрямупросторі, про кути міжмимобіжнимипрямими. Корисним буде розв’язування задач на побудову у просторі: проведення через точку прямої, паралельної до даної, прямої, щоперетинаєданупідзаданим кутом, прямої, мимобіжної до даної, проведення через точку прямої, паралельної до даноїплощини і площини, паралельноїданійпрямій. Доцільнообговорити з учнями число розв’язків задач на побудову.Післятеореми про відрізкипаралельнихпрямих, щомістятьсяміждвомапаралельнимиплощинамислідрозглянутипросторову теорему Фалеса. Щостосуєтьсявідстаней у просторі, то, окрімвідстанейміжрізнимигеометричнимиоб’єктами (точки, прямі, площини, фігури, мимобіжніпрямі), слідрозглянутигеометричнімісцяточок простору, пов’язані з відстанями, способизнаходженнявідстанейміжфігурами у просторі. 
Формуванняпросторовихуявленьучнів є головнимзавданнямданої теми. Тому важливемісце треба відвестиїхнавчаннюзображатипросторовіфігури на площині, а такожвиконуватипобудови на зображеннях. Перш за все мається на увазіпобудоварізнихелементівфігур (медіан, середніхліній та ін.), точокперетинупрямої і площини, двохплощин. Крім того, достатнюувагу треба звернути на побудовуперерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра. Безумовноцітілаповинніз’явитисяякомогараніше, тому що на них зручноілюструватиусіпоняття і твердження. 

15. Задачі на побудову в стереометрії.
Всівиди призм і пірамідслідзображувати так, щобнайбільшукількість граней і ребер було видно, а ребра не збігалися. До того ж слідрекомендуватиучнямпочинативиконуватизображення призм з верхньоїоснови, оскількивсісторониверхньоїоснови видно, а ребра зручнішепроводитизверху вниз. Виконуватизображенняпірамідизручно в такійпослідовності: 1) на площинізображуютьдеякиймногокутник; 2) поза площиноюмногокутникаобираютьдовільну точку S, і з’єднуютьїї з вершинами основи, суцільнимивідрізкамиті,які видно і штрихованими – ті,які не видно. При побудовімногогранників, в основіяких лежать правильнімногокутники, треба дотримуватися правил-орієнтирівїхзображення. Учнямпотрібноознайомити з методами побудовиперерізівтіл. Мається на увазі метод внутрішньогопроектування і метод слідів при паралельному і центральному проектуванні. Розв’язування задач на побудовуперерізівзводиться до знаходженняточокперерізусічноїплощини з ребрами многогранника. Під час побудовиперерізівпірамідзручноскористатисяцентральнимпроектуванням. Суть методу слідів: Якщоплощинаграні многогранника і площинаперерізумаютьдвіспільні точки, то вони перетинаються по прямій, щопроходить через ці точки.Цюпрямуназиваютьлінієюперетинуданихплощин.Площинаперерізу многогранника маєспільніпрямі з площинами граней многогранника. Пряму, по якійплощинаперерізуперетинаєплощину будь-якоїгранімногогранника,називаютьслідомплощиниперерізу. Слідівстільки, скількиплощин граней перетинаються з площиноюперерізу.Під час побудовиперерізувартопам’ятати:
– через дві точки, що належать площині, проходить тількиодна пряма, і ця пряма тежналежитьційплощині;
– щобпобудуватилініюперетинудвохплощин, необхідновідшукатидві точки, які належать обомплощинам, і через них провести лініюперетину;
– при побудовіперерізівмногогранниківсічноюплощиноютребавідшукативідрізки, по якихсічнаплощинаперетинається з гранями многогранника.
Метод внутрішньогопроектування. Маєдеякіпереваги перед методом слідів, особливо коли, слідсічноїплощинизнаходяться далеко за межами малюнка.

16. Взаємнерозміщенняпрямих і площинупросторі: перпендикулярність.
Зміст навчального матеріалу можна умовно розділити на три блоки: 1)перпендикулярність прямих у просторі; 2)перпендикулярність прямої і площини; 3)перпендикулярність площин. Спочатку вводиться [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] перпендикулярності відповідних обєктів, потім формулюється і доводиться ознака їх перпендикулярності. Для прямої та площини розглядається [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] на побудову перпендикулярних прямої і площини, доводяться єдиність такої площини та властивість перпендикулярної прямої і площини. Особливе місце і роль у цій темі належать навчальному матеріалу, що стосується перпендикуляра і похилої до площини та теореми про три перпендикуляри. Остання застосовується при розв'язуванні задач, пов'язаних з багатогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї теореми часто користуються при розвязуванні задач.
У зв'язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі треба повторити відповідний матеріал з планіметрії і стереометрії. У навчальній і методичній літературі відомі два види означень перпендикулярних прямих у просторі:1)дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом; 2) дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90°.
Друге [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] охоплює і прямі, які не перетинаються, зокрема мимобіжні прямі. Відповідно до цього прийнято і два види означень перпендикулярних прямої і площини:1)пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину; 2)пряма і площина називаються перпендикулярними, якщо пряма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині. Перевага першого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] для прямої і площини полягає в тому, що включення умови їх перетину в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] позбавляє необхідності спеціально доводити цей факт. Друге [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Можна ввести в класах з поглибленим вивченням математики, доповнивши його умовою перетину прямої і площини (умова проходження прямої площини через точку перетину прямої і площини тут не вимагається). Таке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] полегшить доведення деяких теорем і розв'язування задач, зокрема теореми про три перпендикуляри. Щодо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] перпендикулярних площин, то в учнів, за аналогією з означенням перпендикулярних прямих, виникає бажання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом.

17. Кути і відстані в просторі.
Відстаньміжмимобіжнимипрямими – цедовжинаїхспільного перпендикуляра, тобтодовжинавідрізка (або вектора), перпендикулярного кожнійіззаданихпрямих  з кінцями на цихпрямих.
Спільним перпендикуляром до двохмимобіжнихпрямихназиваєтьсявідрізокізкінцями на цихпрямих, перпендикулярний до кожної з них.Теорема. Двімимобіжніпрямімаютьспільний перпендикуляр, і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельнихплощин, якіпроходять через ціпрямі. Відстаннюміжмимобіжнимипрямими називаєтьсядовжинаїхньогоспільногоперпендикуляра.Відстаньміжмимобіжнимипрямимизнаходять:яквідстаньміжпаралельнимиплощинами, щопроходять через ціпрямі;яквідстаньвідоднієїізцихпрямих до площини, щопаралельнаїй і проходить через другу пряму.
Двіпрямі, щоперетинаються, утворюютьсуміжні та вертикальні кути. Кутоваміраменшогоізсуміжнихкутівназивається кутом міжпрямими. Кут міжперпендикулярнимипрямимидорівнює 90 за означенням.Кутміжпаралельнимипрямимивважаємо таким, щодорівнюєнулю.Кутомміжмимобіжнимипрямими називається кут міжпрямими, якіперетинаються й паралельніданиммимобіжним прямим. Цей кут не залежитьвідвиборупрямих, щоперетинаються. Мимобіжніпрямі, кут міжякимидорівнює 90, тежназиваютьсяперпендикулярними.Отже, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якоїпрямої на ційплощині.Теорема. Будь-яка пряма на площині перпендикулярна до проекціїпохилої на цюплощинутоді й тількитоді, коли цяпряма перпендикулярна до самоїпохилої. 
Кутом між прямою та площиною називається кут міжцією прямою і їїпроекцію (ортогональною) на площину.Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиноювважається таким, щодорівнює 90, а міжпаралельними прямою та площиною таким, щодорівнює 0.
Кут міжпрямою та площиною і кут міжцією прямою й перпендикуляром до площини в сумідорівнюють 90. Кут міжпаралельнимиплощинамивважається таким, щодорівнює 0.Нехай даніплощиниперетинаються (див.рисунок). Проведемоплощину, перпендикулярну до прямоїїхперетину. Цяплощинаперетинаєданіплощинипо двохпрямих. Кут міжцимипрямиминазивається кутом міжданимиплощинами. Означений таким чином кут міжплощинами не залежитьвідвиборусічноїплощини.
Перпендикуляром, опущенимізданої точки на дануплощину, називаєтьсявідрізок, щосполучаєдану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінецьцьоговідрізка, якийлежить у площині, називається основою перпендикуляра. Відстаннювід точки до площини називаєтьсядовжина перпендикуляра, опущеногоізцієї точки на площину. Відстаннювідпрямої до паралельноїїйплощининазиваєтьсявідстаньвід будь-якої точки цієїпрямої до площини.Відстаннюміжпаралельнимиплощинами називаєтьсявідстаньвід будь-якої точки однієїплощини до другоїплощини.Похилою, проведеною з даної точки до даноїплощини, називається будь-якийвідрізок, якийсполучаєдану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінецьвідрізка, щолежить у площині, називається основою похилої.Відрізок, якийсполучаєоснови перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієїсамої точки, називається проекцієюпохилої.

18.Координати і вектори в просторі: основні поняття та факти, розв’язування основних типів задач; координатний і векторний методи.
Векторомназ величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком. Нульовим векторомназ вектор, початок і кінець якого співпадають. Такий вектор позначають 13 EMBED Equation.3 1415, його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний. Рівниминаз вектори, які мають однакові довжини та напрямки: 13 EMBED Equation.3 1415.
Координатаминаз проекції вектора на осі координат. Координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415дор різниці відповідних координат кінця та початку вектора. Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е2).Проекцією вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вісь із знаком «-», якщо напрями протилежні
Дано точки A(1;-3; 0) і В (4; 2; 3). Знайдіть координати вектора 13 QUOTE 1415і його модуль.

Визначтенапрямрухутіла (всісили, щодіють на тіло, позначено в певномумасштабі). На тілодіютьсили: земноготяжіння, реакції опори, тертя.Знайдемонапрямрівнодійноїсили. (тілорухається вниз)
Векторний метод розв’язання стереометричних задач пов’язаний з використанням властивостей векторів. Розв’язуючи задачу векторним методом, спочатку подані в задачі співвідношення перекладають на “мову векторів”, і, нарешті, від мови векторів знову переходять до мови геометрії.
Якщо, розв’язуючи геометричну задачу оперують координатами окремих точок, рівняннями ліній або поверхонь, то використовують координатний метод.
Координатний метод часто поєднують з векторним, розглядаючи вектори, задані своїми координатами.

19.Геометричні перетворення в просторі: основні поняття і факти; рухи та перетворення подібності в просторі; метод геометричних перетворень.
Поняття перетворення для фігур у просторі означають так само, як і на площині.
Рухом називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками. Властивості руху в просторі:Прямі переходять у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки, кути між півпрямими зберігаються, площина переходить у площину.Зразки рухів у просторі:Симетрія відносно точки; симетрія відносно прямої; симетрія відносно площини (аналогічна симетрії відносно прямої).
Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка  переходить у точку , де числа a, b, c  одні й ті самі для всіх точок .Паралельне перенесення є рухом. У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань. 1. У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе). 2. Які б не були точки А і А’, існує єдине паралельне перенесення, у результаті якого точка Апереходить у точку . 3. У результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.
Подібність просторових фігур
Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюють себе в одну й ту саму кількість разів.Як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Перетворенняподібності переводить площини у площини.Аналогічногомотетії на площинівизначається гомотетія в просторі.Гомотетія є перетвореннямподібності.Перетвореннягомотетії у просторі пере водить довільнуплощину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельнуплощину .

20.Многогранники і тіла обертання. Многогранники: основні поняття і факти, основні види многогранників. Тіла і поверхні обертання: основні поняття і факти, основні види.
Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.Гранями многогранника називаютьсячастиниплощин (многокутники), якіобмежуютьмногогранник.Ребрами многогранника називаютьсяспільністоронисуміжних граней (многокутників).Вершинами многогранника називаютьсявершинимногограннихкутів, утворенихйого гранями, щосходяться в однійточці.Діагоналлю многогранника називаєтьсявідрізокпрямої, яка сполучаєдвівершини многогранника, що не лежать в однійграні.Діагональноюплощиною многогранника називаєтьсяплощина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в однійграні.Перерізом многогранника площиноюназиваєтьсячастинацієїплощини, яка обмеженалінієюперетинуповерхні многогранника з цієюплощиною.
Многогранник називається опуклим, якщовінцілкомлежить по одну сторону відплощинибудь-якоїйогограні. Гранями опуклого многогранника можуть бути тількиопуклімногокутники.
Призма – многогранник, дві паралельні грані (основи) якого рівні n - кутники, а інші n граней (бічні грані) – паралелограми.
Піраміда – многогранник, одна грань (основа) якого n - кутник, а інші n граней (бічні грані) – трикутники, що мають спільну вершину. Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди, називаєтьсяправильною. Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.
Циліндр-тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Твірною циліндра називаються відрізки, що сполучають точки кіл кругів. Радіус циліндра-радіус його основи. Осьовий переріз циліндра-переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь. Площина, паралельна площині основи циліндра=колу основи. Призма називається вписаною у циліндр, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра. Описаною навколо циліндра називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра.
Конус-тіло, яке складається з круга основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Висота конуса-перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. Конус називається прямим, якщо пряма, що сполучає вершину конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Осьовим перерізом конуса назив. переріз, який проходить через вісь конуса. Дотичною площиною до конуса назив. площина, яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну. Піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною вершина конуса. піраміда, в основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.
Куля-тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.Радіус кулі-відрізок, що сполучає центр кулі з будь-якою точкою її поверхні. Переріз кулі її діаметральною площиною називають великим кругом. екватором кулі назив. коло одного з великих кругів. Якщо відстань до площини набагато більша ніж радіус кулі, то якою є вони не дотикаються, Якщо радіус менший за відстань від площини, товони перетинаються в двох точках
Конус є вписаним у циліндр, коли (основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса центр верхньоїосновициліндра.Осіциліндра і конуса в цьомувипадкузбігаються).
Циліндр, вписанийуконус (якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи).
Призмою, вписаною в циліндрназивається (така призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами твірні циліндра. Отже, висоти призми й циліндра збігаються, а основи призми є вписаними многокутниками для основ циліндра).
Циліндр, вписаний у кулюОснови циліндра є рівновіддаленими від центра кулі. Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. У перерізі тіла такою площиною дістанемо прямокутник і описане навколо нього коло Прямокутник ABCD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло велике коло даної кулі. Отже, діагональ AC є діаметром описаної кулі.
Циліндр, описаний навколо кулі.Площина, проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла. У цьому випадку висота циліндра дорівнює діаметру кулі. В осьовому перерізі цього тіла отримаємо прямокутник, у який вписане коло. Але із цього випливає, що осьовий переріз даного циліндра квадрат. Отже, діаметр циліндра дорівнює діаметру кулі.
Конус, вписаний у кулю.Вершина конуса лежить на сфері. Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло.
Трикутник рівнобедрений. Бічні сторони твірні конуса, коло велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.
Куля, вписана в конус.Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії. Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло. Трикутник це осьовий переріз конуса, тобто   твірні конуса, AB  діаметр основи конуса, а коло велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в .
Інші комбінації геометричних тіл
Конус є вписаним у циліндр , коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса центр верхньої основи циліндра. Осі циліндра і конуса в цьому випадку збігаються.
Циліндр, вписаний у конус , якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи.

21.Об’єми та площі поверхонь. Об’єми основних видів многогранників і тіл обертання. Поняття про об’єм тіла, основні властивості об’ємів. Площі поверхонь многогранників і тіл обертання.
Повнаплощаповерхні [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

r та h  радіус та висотавідповідно.

Площабічноїповерхні [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2
·rh
r та h  радіустависотавідповідно.

Повнаплоща [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

r та l  радіус та висотабічноїповерхнівідповідно.

Площабічноїповерхні [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

·rl
r та l  радіустависотабічноїповерхнівідповідно.

Площаповерхні [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
 або 
r та d радіус та діаметрвідповідно.


Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.
Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи та висоти.
Об’єм циліндра  дорівнює добутку площі його основи та висоти.
Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
Об’єм кулі: , де R  радіус кулі.
Об’єм кульового сегмента: , де H  висота кульового сегмента, R  радіус кулі.
Об’єм кульового сектора:

Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 14764390
    Размер файла: 247 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий