питання екзамену з диф. геометрії


І. КРИВІ В ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Вектор-функції скалярного аргументу. Границя, неперервність, диференційовність.
Годограф вектор-функції скалярного аргументу. Звичайні точки. Проста дуга. Теорема про просту дугу. Еквівалентні параметризації.
Дві леми про вектор-функції скалярного аргументу.
Ряд Тейлора для вектор-функції. Дотична до кривої в звичайній та в особливій точках.
Топологічні відображення метричних просторів, Поняття елементарної кривої. Основна лема про відображення точок відрізка в дугу кривої.
Довжина дуги кривої. Природна параметризація.
Порядок дотику кривих.
Дотична до кривої, що визначена системою рівнянь.
Стична площина просторової кривої. Точки розпрямлення.
Тригранник Френе. Його одиничні вектори.
Рівняння елементів тригранника Френе.
Кривина кривої. Умова виродження кривої в пряму.
Формули Френе.
Скрут. Його геометричний зміст. Умова сплощення кривої.
Обчислювальні формули для кривини та скруту у випадку природної параметризації.
Обчислювальні формули для кривини та скруту у випадку довільної параметризації.
II. ПЛОСКІ КРИВІ
Стичне коло плоскої кривої. Центр і радіус кривини.
Еволюта та її властивості.
Евольвента та її властивості.
Натуральне рівняння плоскої кривої. Основні теореми.
Будова плоскої аналітичної кривої в околі довільної точки.
III. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОВЕРХОНЬ
Поняття поверхні. Елементарні поверхні. Координатна сітка.
Звичайні точки. Проста параметризація. Еквівалентні параметризації.
Дотична площина і нормаль до елементарної поверхні.
Перша квадратична форма. Довжина дуги кривої на поверхні.
Кут між кривими на поверхні. Кут між координатними лініями.
Площа куска поверхні.
Друга квадратична форма та обчислення її коефіцієнтів.
Подання другої квадратичної форми у вигляді скалярного добутку.
Основна формула для кривини кривої на поверхні.
Теорема Меньє та наслідок з неї.
Основна вектор-функція поверхні. Її існування та симетричність.
Власні напрямки та власні значення.Теорема про їх існування у симетричної вектор- функції.
Основна вектор-функція поверхні. Головні напрямки.
Теорема Ейлера. Головні кривини.
Формули Родріга. Обчислення головних кривин.
Обчислення головних напрямків.
Гаусова та середня кривини поверхні та їх обчислення. Типи точок на поверхні.
Лінії кривини. Умови їх співпадання з координатною сіткою.
Асимптотичні лінії. Умови їх співпадання з координатною сіткою.
Геодезичні лінії. Теорема Гауса-Бонне (без доведення) та наслідки з неї.
ЕЛЕМЕНТИ ТОПОЛОГІЇ
Поняття топологічного простору. Звязок з метричним. Приклади.
Поняття топологічного многовиду. Приклади. Сфера як двовимірний топологічний многовид.
Неперервні відображення та гомеоморфізми топологічних просторів. Збереження топології при гомеоморфізмі.
Критерій неперервності відображення. Необхідна і достатня умова відкритості множини в топологічному просторі.
Вкладення та занурення. Поняття кривої в топологічному многовиді. Приклади.
Поняття поверхні в топологічному многовиді. Приклади.
Клітчасті многовиди. Теорема Ейлера. Орієнтовані та неорієнтовані
клітчасті многовиди. Приклади.
ТИПИ ЗАДАЧ, ЩО ВИНОСЯТЬСЯ НА ЕКЗАМЕН (збірник задач за редакцією Воднева)
№№ 15, 18-20, 26а, 31, 42, 43, 66,68, 69,73, 80, 184, 187, 188, 552, 553, 557, 558, 159, 165, 164, 172, 174, 126, 510, 511, 513, 522, 523, 689, 696, 697, 703, 537, 548, 543, 541, 571, 572, 573, 577, 587, 603, 605, 532, 362, 368, 369, 370, 371, 391, 373, 378, 383, 401, 406, 422, 424, 425, 435, 440, 447, 450,451, 683, 685, 686-688, 762-764, 773, 804, 805, 813, 806-809, 814, 818, 819, 828, 834, 836, 837, 838, 840(1), 858, 859, 880, 881, 892,914, 932, 934,912.
ЗАУВАЖЕННЯ. В екзаменаційний білет вносяться одне питання з розділів І, II та одне питання з розділів III, IV. Крім того, вноситься три задачі типу тих, що вказано в розділі V.

Приложенные файлы

  • docx 14772142
    Размер файла: 18 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий