Аналітична і диференціальна геометрія.Топологія..

1. Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення площин, прямих і площин в просторі.
Нехай пряма (на площині чи в просторі) проходить через задану точку 13EMBED Equation.DSMT41415 паралельно заданому ненульовому в-ру 13EMBED Equation.DSMT41415, який наз. напрямним в-ром прямої. Точка 13EMBED Equation.DSMT41415 і її напрямний ве-р цілком визначають пряму, паралельно в-ру 13EMBED Equation.DSMT41415. Складемо р-ня цієї прямої. Позначимо через 13EMBED Equation.DSMT41415довільну точку прямої і розглянемо радіуси-вектори 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 точок 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 і в-р 13EMBED Equation.DSMT41415, що лежить на даній прямій. Оскільки в-ри 13EMBED Equation.DSMT41415=13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 колінеарні, то 13EMBED Equation.DSMT41415=13EMBED Equation.DSMT41415, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415(1)–векторне параметричне р-ня прямої. Якщо пряма 13EMBED Equation.DSMT41415 задається т.13EMBED Equation.DSMT41415 та напрямним в-ром 13EMBED Equation.DSMT41415, то, прирівнюючи відповідні координати векторів 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 за ф-лою (1), маємо: 13EMBED Equation.DSMT41415–параметричні р-ня прямої, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415канонічне рня. Якщо пряма не 13EMBED Equation.DSMT41415, то р-ня (3) можна записати: 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT41415. Позначимо 13EMBED Equation.DSMT41415, тоді 13EMBED Equation.DSMT41415(4)–р-ня прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.13EMBED Equation.DSMT41415(5)–р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки 13EMBED Equation.DSMT41415, дістанемо з р-ня прямої, що проходить через точку 13EMBED Equation.DSMT41415 і має напрямний вектор 13EMBED Equation.DSMT41415(6). Якщо пряма проходить через точки 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто відтинає на осях відрізки 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415(7)–р-ня прямої у відрізках на осях. Розглянемо р-ня прямої, яка проходить через задану точку 13EMBED Equation.DSMT41415 перпендикулярно до заданого ненульового вектора 13EMBED Equation.DSMT41415нормальний в-р прямої. 13EMBED Equation.DSMT41415(8)–р-ня прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого в-ра. Загальне р-ня прямої 13EMBED Equation.DSMT41415. Це р-ня I-го степеня. Чи всяке р-ня (*) задає пряму? Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415– розв’язок р-ня (*).13EMBED Equation.DSMT41415. (*)–(**)13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415||13EMBED Equation.DSMT41415, де 13EMBED Equation.DSMT41415– деяка пряма(13EMBED Equation.DSMT41415). Отримаємо 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415колінеарні. 13EMBED Equation.DSMT41415пряма проходить через початок координат; 13EMBED Equation.DSMT41415вісь 13EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT41415вісь 13EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT41415 отже 13EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT41415 отже 13EMBED Equation.DSMT41415.
Кут між двома прямими. а) Нехай прямі 13EMBED Equation.DSMT41415 задано канонічними рівняннями: 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415–кут між цими прямими, 13EMBED Equation.DSMT41415.Оскільки в-ри 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 є напрямними в-рами даних прямих і 13EMBED Equation.DSMT41415, тоді маємо
13EMBED Equation.DSMT41415(1). Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415||13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415||13EMBED Equation.DSMT41415, тому їх координати пропорційні, тобто 13EMBED Equation.DSMT41415–умова паралельності двох прямих. Якщо 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 і їхній скалярний добуток = нулю, отже, 13EMBED Equation.DSMT41415умова перпендикулярності двох прямих. б) Нехай прямі 13EMBED Equation.DSMT41415 задано загальними р-ми: 13EMBED Equation.DSMT41415, тоді кут 13EMBED Equation.DSMT41415 між ними = куту між їхніми нормальними векторами 13EMBED Equation.DSMT41415, тому 13EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT41415– умова паралельності прямих 13EMBED Equation.DSMT41415; 13EMBED Equation.DSMT41415– умова перпендикулярності прямих 13EMBED Equation.DSMT41415. в) Нехай прямі 13EMBED Equation.DSMT41415 задані р-ми з кутовими коефіцієнтами 13EMBED Equation.DSMT41415, де 13EMBED Equation.DSMT41415– кутові коефіцієнти.
13EMBED Equation.DSMT41415 Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415.Умовою паралельності двох прямих є 13EMBED Equation.DSMT41415, а перпендикулярності – 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT41415 Нехай задано пряму 13EMBED Equation.DSMT41415 р-ням 13EMBED Equation.DSMT41415і т. 13EMBED Equation.DSMT41415. Відстань 13EMBED Equation.DSMT41415 від точки 13EMBED Equation.DSMT41415 від прямої 13EMBED Equation.DSMT41415дорівнює: (13EMBED Equation.DSMT41415–напрям нормального вектора): 13EMBED Equation.DSMT41415.
Різні способи задання площини в просторі. Нехай задано т.13EMBED Equation.DSMT41415, вектори 13EMBED Equation.DSMT41415–біжуча точка. 13EMBED Equation.DSMT41415компланарні13EMBED Equation.DSMT41415мішаний добуток 13EMBED Equation.DSMT41415або 13EMBED Equation.DSMT41415 р-ня площини, яка проходить через т. 13EMBED Equation.DSMT41415. Загальне р-ня площини– 13EMBED Equation.DSMT41415. Р-ня площини, що проходить через три точки: 13EMBED Equation.DSMT41415
(1)13EMBED Equation.DSMT41415(3). 13EMBED Equation.DSMT41415р-ня площини у відрізках на осях. Р-ня площини, що проходить через дану точку 13EMBED Equation.DSMT41415в-ру(напряму): 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415. Задані дві площини 13EMBED Equation.DSMT41415, нормальні в-ри: 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415. Умова 13EMBED Equation.DSMT41415 площин – 13EMBED Equation.DSMT41415. Умова || площин – 13EMBED Equation.DSMT41415. Відстань 13EMBED Equation.DSMT41415 від точки 13EMBED Equation.DSMT41415 від площини (П):13EMBED Equation.DSMT41415 знах. за ф-лою 13EMBED Equation.DSMT41415. Нехай площина П і пряма 13EMBED Equation.DSMT41415задані р-ми: 13EMBED Equation.DSMT41415і 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415кут між нормальним в-ром 13EMBED Equation.DSMT41415 площини П і напрямним в-ром 13EMBED Equation.DSMT41415 прямої 13EMBED Equation.DSMT41415. Кут між прямою і площиною: 13EMBED Equation.DSMT41415. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415|| П, то 13EMBED Equation.DSMT41415, тому 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто 13EMBED Equation.DSMT41415– умова паралельності прямої і площини. Якщо 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415П, 13EMBED Equation.DSMT41415||13EMBED Equation.DSMT41415, тому 13EMBED Equation.DSMT41415умова перпендикулярності прямої і площини.
2. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні властивості та зображення.
Алгебраїчне рівняння 13EMBED Equation.DSMT41415задає на площині якусь лінію. Наприклад: 13EMBED Equation.DSMT41415 , 13EMBED Equation.DSMT41415 Загальне р-ня лінії 2-го порядку:13EMBED Equation.DSMT41415
Еліпс
Еліпсом назив. множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Розгл. на мн. 2 точки, відстань між якими 13EMBED Equation.DSMT41415.
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415- стала, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415-?, 13EMBED Equation.DSMT41415- координати точок13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415– канонічне рівняння еліпса (1)
Властивості
1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.
2)Всі точки еліпса лежать в прямокутнику: 13EMBED Equation.DSMT41415
3) Точки перетину з осями
13EMBED Equation.DSMT41415 Ці точки називають вершинами еліпса.
4) В першій чверті з (1): 13EMBED Equation.DSMT41415. Це означає, що
у I-й чверті графік спадає. 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415 - параметричне р-ня еліпса.
13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала
На площині розглядають точки 13EMBED Equation.DSMT41415 на відстані 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
Властивості
Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат
В смужці –a
13EMBED Equation.DSMT41415 - вісь y не перетинає; y=0 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 – вершини гіперболи
13EMBED Equation.DSMT41415 - 2–і асимптоти гіперболи, 13EMBED Equation.DSMT41415 . Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415. 13EMBED Equation.DSMT41415 –директриси гіперболи. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 то 13EMBED Equation.DSMT41415- рівностороння гіпербола (13EMBED Equation.DSMT41415)
Парабола
Парабола – це множина усіх точок на площині, рівновіддалених від даної точки і прямої.
13EMBED Equation.DSMT41415 - директриса.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415– канонічне р-ня параболи
Властивості
Симетрична відносно Ох.
13EMBED Equation.DSMT41415
(0; 0) – єдина точка перетину з осями – вершина параболи, асимптот немає
13EMBED Equation.DSMT41415 – ексцентриситет параболи
3. Зведення р-ня кривої другого порядку до канонічного вигляду. Афінна
класифікація кривих 2-го порядку
Спрощення рівнянь центральних ліній ІІ порядку за допомогою інваріантів.
До типу центральних ліній ІІ порядку належать еліпс, гіпербола і пара прямих, що перетинаються. Центр лінії в останньому випадку є точка перетину цих прямих. Коли задана лінія центральна то, щоб звести її р-ня до канонічного вигляду, спочатку, незміюючи напряму осей координат базису, перенесемо його початок в центр лінії. При цьому в р-ні зникають члени першого порядку відносно змінних. Далі повернемо координатний базис так, щоб його осі сумістилися з головними діаметрами, тобто осями симетрії лінії. Після цього перетворення в р-ні зникне член з добутком змінних, тобто р-ня стане канонічним. Але на практиці недоцільно щоразу виконувати всі ці перетворення. Канонічне р-ня лінії можна дістати обчисленням його коефіцієнтів за допомогою інваріантів. Справді, канонічне р-ня центральної лінії ІІ порядку має три члени:
13EMBED Equation.DSMT41415 (або два у випадку пари прямих).
Коефіцієнти 13EMBED Equation.DSMT41415і 13EMBED Equation.DSMT41415 при квадратах змінних в р-ні лінії ІІ порядку дорівнюють розв’язкам його характеристичного р-ня 13EMBED Equation.DSMT41415, а вільний член за формулою 13EMBED Equation.DSMT41415.
Отже розв’язавши характеристичне р-ня і визначивши вільний член , ми відразу можемо написати канонічне р-ня центральної лінії 13EMBED Equation.DSMT41415 Коли 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто коли лінія ІІ порядку не вироджена, легко визначити її параметри 13EMBED Equation.DSMT41415. Справді, 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, форма і розміри лінії відомі. Щоб знайти положення лінії і накреслити її, треба визначити координати центра і скласти р-ня осей симетрії. Для гіперболічного треба ще скласти р-ня її асимптот.
Класифікація лінії ІІ порядку.
Розглянемо рівняння 2-го порядку:
13EMBED Equation.DSMT41415 із варіантами: (1)
13EMBED Equation.DSMT41415
Повернемо с-му корд. на кут 13EMBED Equation.DSMT41415, щоб осі набули головних напрямків
13EMBED Equation.DSMT41415 (2)
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415. У р-ні (1) пропаде 13EMBED Equation.DSMT41415. Для (1) і (2) виписуємо матрицю і визначник
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415 (3)
I. Розглянемо 13EMBED Equation.DSMT41415 , 13EMBED Equation.DSMT41415 (13EMBED Equation.DSMT41415)
А) 13EMBED Equation.DSMT41415лінія невироджена,
13EMBED Equation.DSMT41415) 13EMBED Equation.DSMT41415 - одного знаку; 13EMBED Equation.DSMT41415 - протилежного–еліпс ; 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 - одного знаку – уявний еліпс; 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 - різних знаків – гіпербола
Б) 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 - різних знаків – дві прямі, що перетинаються
13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 - одного знаку – дві уявні прямі, що перетинаються у дійсній площині
ІІ. 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
С) 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 дві паралельні прямі; 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 дві прямі, що співпадають;13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 дві уявні паралельні прямі
Д) 13EMBED Equation.DSMT41415 Перенесемо поч. коорд у вершину параболи
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415

4. Поверхні другого порядку
Прикладами поверхонь другого порядкує такі:
1) 13EMBED Equation.DSMT41415-еліпсоїд,2)13EMBED Equation.DSMT41415-однопорожнинний гіперболоїд,
3)13EMBED Equation.DSMT41415-двопорожнинний гіперболоїд,4) 13EMBED Equation.DSMT41415-конус,
5) 13EMBED Equation.DSMT41415-еліптичний параболоїд,6) 13EMBED Equation.DSMT41415-гіперболічний параболоїд,
7) 13EMBED Equation.DSMT41415-еліптичний циліндр,8)13EMBED Equation.DSMT41415-гіперболічний циліндр,
9) y2=2px-параболічний циліндр.
Еліпсоїд. Властивості.
1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.
2)Всі точки еліпса розташовуються всередині паралелепіпеда, що характеризується системою:
13EMBED Equation.DSMT41415
3) Перетин з осями
z: x=0, y=0, z=+-c
x: y=0, z=0, x=+-a
y: x=0, z=0, y=+-b
3) Перетин поверхні з площинами
13EMBED Equation.DSMT41415
Аналогічно в площині хОz і yOz.
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415
Еліпсоїди обертання відповідно з осями z,x,y.
Одно порожнинний гіперболоїд. Властивості.
1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.
2) Перетин з осями
x=0, y=0, -
y=0, z=0, x=+-a
x=0, z=0, y=+-b
3) Перетин поверхні з площинами
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415

Еліптичний параболоїд. Властивості.
1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.
2) z
·0
3) (0;0;0)-єдина точка перетину поверхні з осями
4) 13EMBED Equation.DSMT41415-параболи однієї форми, вітки повернуті вгору, вершина піднімається при зростанні 13EMBED Equation.DSMT41415.
Аналогічно y=p.
Конус. Властивості.
1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.
2) (0;0;0)-єдина точка перетину з осями
3)13EMBED Equation.DSMT41415-гіпербола, при 13EMBED Equation.DSMT41415; при p=0-дві прямі.
4)13EMBED Equation.DSMT41415- еліпси, півосі зростають, при зростанні 13EMBED Equation.DSMT41415.
5. Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади.
Метрикою на множині X називається довільна функція двох аргументів d: X13EMBED Equation.DSMT41415XR, для якої виконано умови:
1) для довільних x,y є X: d(x,y)
·0 – невід’ємність;
2) для довільних x,y є X: d(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y – невиродженість;
3) для довільних x,y є X: d(x,y)=d(y,x) – симетричність;
4) для довільних x,y,z є X: d(x,z)
·d(x,y)+d(y,z) – нерівність трикутника;

Пара (X,d), де X–довільна множина, а d–метрика на X, називається метричним простором. Значення d(x,y) називають відстанню між точками x та y.
Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d(x,y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N,Z,Q,C.. Формула
d((x1,x2,,xn),(y1,y2,,yn))=13EMBED Equation.DSMT41415 задається відстань, яку наз стандартною,між точками (x1,x2,,xn) та (y1,y2,,yn)множини Nn, Zn, Qn, Cn.
На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною:
d(x,y)=13EMBED Equation.DSMT41415
Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді:
4’) для довільних x,y,z є X: d(x,z)
·max{d(x,y), d(y,z)}.
Очевидно, при 1) з 4’) випливає 4).Функція d: XxXR, для якої виконано 1), 2), 3), 4’), називається ультраметрикою, а пара (X,d) – ультраметричним простором.
Приклад ультраметрики – функція на X13EMBED Equation.DSMT41415X, де X=X113EMBED Equation.DSMT41415X213EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415Xn, задана для x=(x1,x2,,xn), y=(y1,y2,,yn) так:
d(x,y)=13EMBED Equation.DSMT41415
k=inf{i|xi
·yi}.
Якщо ж для d: X13EMBED Equation.DSMT41415XR виконано 1),3),4) та слабшу умову твердження 2):
2`) для довільного х є X: d(x,x)=0;
то d називають псевдометрикою, а множину X з заданою псевдометрикою –псевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою–нульова функція d(x,y)
·0.
На добутку X1xX2xxXn (псевдо)метричних просторів(X1,d1), (X2,d2),,(Xn,dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад:
13EMBED Equation.DSMT41415 ((x1,x2,,xn),(y1,y2,,yn))=(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p++dn(xn,yn)p)1/p для довільного p>1,а також 13EMBED Equation.DSMT41415 ((x1,x2,,xn),(y1,y2,,yn))=max{d1(x1,y1),d2(x2,y2),,dn(xn,yn)}
Ці формули узагальнюють метрики на Rn.
6. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення
метричного простору.
Числова послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 називається безмежно малою, якщо для довільного 13EMBED Equation.DSMT41415 існує таке 13EMBED Equation.DSMT41415, що 13EMBED Equation.DSMT41415 для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415 .
Озн1. Послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415точок метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається до точки 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо числова послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 є безмежно малою.
Озн2. Послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415точок метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається до точки 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 існує таке 13EMBED Equation.DSMT41415, що для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415 відстань 13EMBED Equation.DSMT41415.
Озн3. Послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415точок метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається до точки 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 всі члени 13EMBED Equation.DSMT41415, починаючи з певного моменту, містяться в кулі 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді точка 13EMBED Equation.DSMT41415називається границею послідовності 13EMBED Equation.DSMT41415, що записуємо 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT41415 Послідовність, яка має границю називається збіжною. Озн4. Послідовність називається фундаментальною, якщо для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 існує таке 13EMBED Equation.DSMT41415, що для всіх13EMBED Equation.DSMT41415 маємо 13EMBED Equation.DSMT41415 Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним.
Тв-ння. Якщо підпростір 13EMBED Equation.DSMT41415 метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 повний, то 13EMBED Equation.DSMT41415 замкнений в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Тв-ння. Замкнений підпростір 13EMBED Equation.DSMT41415 повного метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 теж є повним.
Озн6. Поповненням метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 називається довільний повний метричний простір 13EMBED Equation.DSMT41415 в який 13EMBED Equation.DSMT41415 ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.
Озн7. Якщо відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 зберігає відстані, ін’єктивне, і простір 13EMBED Equation.DSMT41415 ізометричний образу 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415 називають ізометричним вкладенням і кажуть, що 13EMBED Equation.DSMT41415 ізометрично вкладає простір 13EMBED Equation.DSMT41415 у вигляді підмножини 13EMBED Equation.DSMT41415 в простір 13EMBED Equation.DSMT41415
Теорема.(Ф.Гаусдорф). Для кожного метричного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 існує поповнення 13EMBED Equation.DSMT41415.
Доведення. Побудуємо поповнення 13EMBED Equation.DSMT41415. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415-множина всіх фундаментальних послідовностей в13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415- псевдометрика на 13EMBED Equation.DSMT41415. При 13EMBED Equation.DSMT41415маємо 13EMBED Equation.DSMT41415 Отже, на множині 13EMBED Equation.DSMT41415 класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику 13EMBED Equation.DSMT41415 Покажемо, що 13EMBED Equation.DSMT41415-шукане поповнення простору 13EMBED Equation.DSMT41415.
Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415- фундаментальна пос-сть пучків-елементів 13EMBED Equation.DSMT41415. Кожен 13EMBED Equation.DSMT41415є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415. За озн. фундаментальності для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415, що 13EMBED Equation.DSMT41415вик-ся 13EMBED Equation.DSMT41415 Утворимо пос-сть 13EMBED Equation.DSMT41415 Тоді для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 за нерівністю трикутника 13EMBED Equation.DSMT41415 При 13EMBED Equation.DSMT41415 маємо 13EMBED Equation.DSMT41415 то, спрямовуючи 13EMBED Equation.DSMT41415 отримаємо 13EMBED Equation.DSMT41415 Звідси випливає, що послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 теж є фундаментальною, і, отже, належить 13EMBED Equation.DSMT41415. Її клас еквівалентності 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 є границею 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415-повний. Ізометричне вкладення 13EMBED Equation.DSMT41415задається так: 13EMBED Equation.DSMT41415,тобто 13EMBED Equation.DSMT41415 відображається в єдиний пучок, який містить сталу послідовність з членами, рівними 13EMBED Equation.DSMT41415. Для довільного елемента 13EMBED Equation.DSMT41415, де 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 звідки образ 13EMBED Equation.DSMT41415 скрізь щільний в 13EMBED Equation.DSMT41415.
7.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.
Означення. Точка 13EMBED Equation.DSMT41415називається точкою дотику множини 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 послідовність в 13EMBED Equation.DSMT41415, збіжна в 13EMBED Equation.DSMT41415 до 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердження. Точка 13EMBED Equation.DSMT41415є точкою дотику множини 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі 13EMBED Equation.DSMT41415з центром 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься деякий елемент множини 13EMBED Equation.DSMT41415.
Доведення. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415є точкою дотику13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415- послідовність точок 13EMBED Equation.DSMT41415, збіжна до 13EMBED Equation.DSMT41415, то для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 за означенням збіжності всі члени 13EMBED Equation.DSMT41415, починаючи з деякого моменту, лежать в 13EMBED Equation.DSMT41415. І навпаки, якщо в кожній кулі13EMBED Equation.DSMT41415з центром 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься деякий елемент множини 13EMBED Equation.DSMT41415, то позначимо 13EMBED Equation.DSMT41415 довільний елемент 13EMBED Equation.DSMT41415, який лежить в 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається до 13EMBED Equation.DSMT41415. Доведено.
Кожна точка множини 13EMBED Equation.DSMT41415 є точкою дотику для 13EMBED Equation.DSMT41415. Якщо кожна точка дотику множини 13EMBED Equation.DSMT41415 належить 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415 називається замкненою в 13EMBED Equation.DSMT41415 множиною.
Твердження. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з 13EMBED Equation.DSMT41415 належить 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердження. В кожному метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415:
порожня множина та 13EMBED Equation.DSMT41415 є замкненими множинами;
об’єднання кожних двох замкнених множин 13EMBED Equation.DSMT41415і 13EMBED Equation.DSMT41415є замкненим;
перетин довільної сім’ї 13EMBED Equation.DSMT41415 замкнених в 13EMBED Equation.DSMT41415 множин є замкненим.
Твердження. Множина всіх точок дотику довільної множини 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 є найменшою з замкнених в 13EMBED Equation.DSMT41415 множин, які містять 13EMBED Equation.DSMT41415.
Цю множину називають замиканням множини 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 і позначають 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
Точку 13EMBED Equation.DSMT41415 в топологічному просторі називають точкою дотику множини 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо в кожному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься точка 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
Твердження. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 є замкненою в топологічному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 тоді і тільки тоді, коли 13EMBED Equation.DSMT41415 містить всі свої точки дотику.
Доведення. Для довільної множини 13EMBED Equation.DSMT41415 і точки 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415можливе одне з двох: або 13EMBED Equation.DSMT41415 внутрішня точка для 13EMBED Equation.DSMT41415, або 13EMBED Equation.DSMT41415-точка дотику для 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415- замкнена 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415-відкрита 13EMBED Equation.DSMT41415всі точки 13EMBED Equation.DSMT41415 внутрішні в 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415ніяка точка дотику 13EMBED Equation.DSMT41415 не лежить поза 13EMBED Equation.DSMT41415. Доведено.
Множину всіх точок дотику13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415називають замиканням множини 13EMBED Equation.DSMT41415 і позначають 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
В топологічному просторі справедливе аналогічне твердження, що 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415- найменша серед замкнених множин, які містять 13EMBED Equation.DSMT41415.
Відповідність, яка кожній множині 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору співставляє її замикання 13EMBED Equation.DSMT41415, називається оператором замикання на 13EMBED Equation.DSMT41415. Оператор замикання має такі властивості:
1) 13EMBED Equation.DSMT41415;
2) для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 виконується 13EMBED Equation.DSMT41415;
3) для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 виконується 13EMBED Equation.DSMT41415;
4) для довільних 13EMBED Equation.DSMT41415 виконується 13EMBED Equation.DSMT41415
8. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.
Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.
Нехай13EMBED Equation.DSMT41415довільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини А в метричному просторі13EMBED Equation.DSMT41415, якщо деяка куля 13EMBED Equation.DSMT41415міститься в А. Тоді ясно, що 13EMBED Equation.DSMT41415. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 називається відкритою в 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо кожна її точка є внутрішньою.
Можна дати рівносильне означення: Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 в метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо вона містить всі свої точки дотику.)
З нерівності трикутника 13EMBED Equation.DSMT41415що кожна куля 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритою, а замкнена куля13EMBED Equation.DSMT41415є замкненою множиною. Дійсно, якщо13EMBED Equation.DSMT41415, то13EMBED Equation.DSMT41415 і для 13EMBED Equation.DSMT41415з13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415,13EMBED Equation.DSMT41415. Отже 13EMBED Equation.DSMT41415 і кожна точка13EMBED Equation.DSMT41415 є внутрішньою, тобто13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритою. Доведення для 13EMBED Equation.DSMT41415аналогічне.
Твердження В кожному метричному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415:1)13EMBED Equation.DSMT41415є відкритими множинами.
2)перетин кожних двох відкритих множин 13EMBED Equation.DSMT41415є відкритим.
3)об’єднання довільної сімї F відкритих в 13EMBED Equation.DSMT41415множин є відкритим.
Доведення 1) 13EMBED Equation.DSMT41415із означення відкритої множини.Якщо в пункті 2) точка 13EMBED Equation.DSMT41415належить 13EMBED Equation.DSMT41415то вона є внутрішньою для 13EMBED Equation.DSMT41415, і існують кулі 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді куля 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 лежить в 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415є внутрішньою і для 13EMBED Equation.DSMT41415,13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415–відкрита. 3)Якщо13EMBED Equation.DSMT41415сімї відкритих множин, то 13EMBED Equation.DSMT41415 для деякої 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415 і кожна точка 13EMBED Equation.DSMT41415 є внутрішньою.13EMBED Equation.DSMT41415
З тверд.13EMBED Equation.DSMT41415що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Твердження Множина всіх внутрішніх точок довільної множини А в 13EMBED Equation.DSMT41415є найбільшою з відкритих в 13EMBED Equation.DSMT41415 множин, які містяться в А.
Цю множину наз внутрішністю множини А в 13EMBED Equation.DSMT41415і познач.13EMBED Equation.DSMT41415. Різницю 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини А і позн. 13EMBED Equation.DSMT41415або13EMBED Equation.DSMT41415. Межа завжди є замкненою множиною, оскільки 13EMBED Equation.DSMT41415.
Пара13EMBED Equation.DSMT41415, деХ–множина,13EMBED Equation.DSMT41415–топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом.
Твердження Множина А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді,коли кожна точка 13EMBED Equation.DSMT41415 є внутрішньою в А.
Доведення Якщо А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки13EMBED Equation.DSMT41415,який міститься вА Отже, всі точки А є внутрішніми. Якщо всі точки А– внутрішні,то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок 13EMBED Equation.DSMT41415, рівне А, звідки А – відкрита.
Твердження Нехай В – база 13EMBED Equation.DSMT41415.Точка 13EMBED Equation.DSMT41415є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в А міститься деякий окіл13EMBED Equation.DSMT41415, який належить В.
Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.
9.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші
Пара13EMBED Equation.DSMT41415,де Х–довільна множина,а 13EMBED Equation.DSMT41415–метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.
Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів 13EMBED Equation.DSMT41415називається неперервним в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо для довільної послідовності 13EMBED Equation.DSMT41415 вХ, яка збігається до точки 13EMBED Equation.DSMT41415, послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 збігається до 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415. Іншими словами, 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, коли при послідовному наближенні 13EMBED Equation.DSMT41415 до 13EMBED Equation.DSMT41415 значеня 13EMBED Equation.DSMT41415 теж збігається до 13EMBED Equation.DSMT41415. Відображення, яке не є неперервним в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, назив розривним в цій точці. Озн Відображення метричних просторів 13EMBED Equation.DSMT41415 називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці 13EMBED Equation.DSMT41415. Для неперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо,щоб 13EMBED Equation.DSMT41415вик: 13EMBED Equation.DSMT41415.Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 нерозтягуюче і 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415,звідки13EMBED Equation.DSMT41415, отже, 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в кожній точці13EMBED Equation.DSMT41415. Озн (за Коші) Відображення метричних просторів13EMBED Equation.DSMT41415 називається неперервним в точці 13EMBED Equation.DSMT41415,якщо для довільного 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 таке13EMBED Equation.DSMT41415 ,що для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415, вик 13EMBED Equation.DSMT41415. Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів 13EMBED Equation.DSMT41415 називається неперервним в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо для довільної кулі 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 з центром в 13EMBED Equation.DSMT41415 існує куля 13EMBED Equation.DSMT41415 в Х з центром в 13EMBED Equation.DSMT41415, образ 13EMBED Equation.DSMT41415 якої міститься в 13EMBED Equation.DSMT41415. Інакше кажучи, 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо образи точок, достатньо близьких до 13EMBED Equation.DSMT41415, є близькими до 13EMBED Equation.DSMT41415. Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою 13EMBED Equation.DSMT41415, а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей.
Твердження Довільне відображення метричних просторів 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в деякій точці 13EMBED Equation.DSMT41415 за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в 13EMBED Equation.DSMT41415 за Коші.
Доведення Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в точці 13EMBED Equation.DSMT41415 за Гейне. Припустимо,що 13EMBED Equation.DSMT41415 не є неперервним в 13EMBED Equation.DSMT41415за Коші. Тоді для деякого 13EMBED Equation.DSMT41415 в кожній кулі 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, міститься 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого 13EMBED Equation.DSMT41415. Позначимо ту точку з 13EMBED Equation.DSMT41415, образ якої не лежить в 13EMBED Equation.DSMT41415, як 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415 при 13EMBED Equation.DSMT41415, але 13EMBED Equation.DSMT41415, тому 13EMBED Equation.DSMT41415 не прямує до 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 не є неперервним в 13EMBED Equation.DSMT41415 за Гейне – отримано суперечність.
Нехай тепер 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в точці 13EMBED Equation.DSMT41415 за Коші, і послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 прямує до 13EMBED Equation.DSMT41415. Для кожного 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 таке13EMBED Equation.DSMT41415, що з 13EMBED Equation.DSMT41415 випливає 13EMBED Equation.DSMT41415. За означенням границі послідовності для цього 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 таке13EMBED Equation.DSMT41415, що для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415 маємо 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415 : 13EMBED Equation.DSMT41415 і послідовність 13EMBED Equation.DSMT41415 прямує до 13EMBED Equation.DSMT41415.Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415–неперервне
в точці 13EMBED Equation.DSMT41415 за Гейне.13EMBED Equation.DSMT41415
Озн Відображення метричних просторів13EMBED Equation.DSMT41415 називається рівномірно неперервним, якщо для довільного 13EMBED Equation.DSMT41415 13EMBED Equation.DSMT41415 таке13EMBED Equation.DSMT41415 в Х, що для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415, вик 13EMBED Equation.DSMT41415.
Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.
10. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.
Топологією на множині Х наз. довільна сім’я 13EMBED Equation.DSMT41415 її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини 13EMBED Equation.DSMT41415 та Х належать до 13EMBED Equation.DSMT41415; 2) для довільних 13EMBED Equation.DSMT41415 перетин 13EMBED Equation.DSMT41415; 3) для кожної сім’ї 13EMBED Equation.DSMT41415 об’єднання її елементів 13EMBED Equation.DSMT41415 належить до 13EMBED Equation.DSMT41415.
Пару (Х, 13EMBED Equation.DSMT41415), де Х – множина, 13EMBED Equation.DSMT41415 – топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи 13EMBED Equation.DSMT41415 наз. відкритими множинами в просторі (Х, 13EMBED Equation.DSMT41415). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердження. Множини в (псевдо)метричному просторі (Х,d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію 13EMBED Equation.DSMT41415 Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Отже, один з способів отримати топологію на множині Х – обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім’ю 13EMBED Equation.DSMT41415 з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія 13EMBED Equation.DSMT41415 породжується (псевдо)метрикою d.
Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в 13EMBED Equation.DSMT41415 всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія 13EMBED Equation.DSMT41415 наз. дискретною топологією на Х.
Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 – топології на Х, і 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415 наз. меншою або слабшою, 13EMBED Equation.DSMT41415 – більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність – антидискретна топологія 13EMBED Equation.DSMT41415, яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою13EMBED Equation.DSMT41415.
Сім’я В підмножин топологічного простору (Х, 13EMBED Equation.DSMT41415) наз. його базою або базою топології13EMBED Equation.DSMT41415, якщо всі елементи В відкриті (тобто 13EMBED Equation.DSMT41415), і відкрита кожна множина 13EMBED Equation.DSMT41415є об’єднанням деякої сім’ї F елементів В.
Твердження. Сім’я В підмножин множини Х є базою топології 13EMBED Equation.DSMT41415 на Х тоді і тільки тоді, коли 13EMBED Equation.DSMT41415, і для кожної точки х довільної відкритої множини 13EMBED Equation.DSMT41415 існує 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого13EMBED Equation.DSMT41415.
Отже, кулі утворюють базу топології, породженої метрикою. Кожна топологія 13EMBED Equation.DSMT41415 є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a,b), aТвердження. Нехай сім’я замкнених підмножин 13EMBED Equation.DSMT41415 множини Х задовольняє умови: 1) множини 13EMBED Equation.DSMT41415 та Х належать до 13EMBED Equation.DSMT41415;
2) для довільних F,G13EMBED Equation.DSMT41415 об’єднання F13EMBED Equation.DSMT41415G13EMBED Equation.DSMT41415;
3) для кожної сім’ї 13EMBED Equation.DSMT41415 перетин її елементів 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
Тоді сім’я 13EMBED Equation.DSMT41415 всіх доповнень X\F до елементів F13EMBED Equation.DSMT41415 є топологією на Х.
Доведення. Застосовуємо формули 13EMBED Equation.DSMT41415F13EMBED Equation.DSMT41415G13EMBED Equation.DSMT41415F13EMBED Equation.DSMT41415G13EMBED Equation.D
·SMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415F13EMBED Equation.DSMT41415F13EMBED Equation.DSMT41415.
























11.Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.
Аксіома 13EMBED Equation.DSMT41415. Для кожних точок 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, існує відкрита множина U, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 або 13EMBED Equation.DSMT41415. Х
х у U

Аксіома 13EMBED Equation.DSMT41415.Для кожних точок 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, існує відкрита множина U, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 Тоді і для у існує така відкрита множина V, що 13EMBED Equation.DSMT41415.
Х З 13EMBED Equation.DSMT41415 , але з 13EMBED Equation.DSMT41415 не випливає 13EMBED Equation.DSMT41415.
х U V у


Аксіома 13EMBED Equation.DSMT41415. Для кожних точок 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, існують відкриті множини U і V, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415.
Х З 13EMBED Equation.DSMT41415 випливає 13EMBED Equation.DSMT41415, але не навпаки
х у Топологічні простори, в яких виконано 13EMBED Equation.DSMT41415, наз. гаусдорфовими.
U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку
Відкриту множину 13EMBED Equation.DSMT41415, яка містить А.
Аксіома 13EMBED Equation.DSMT41415. Для кожної точки 13EMBED Equation.DSMT41415, яка не належить замкненій множині 13EMBED Equation.DSMT41415, існують відкриті множини U та V, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415.
Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х
не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F
х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля 13EMBED Equation.DSMT41415. Куля
13EMBED Equation.DSMT41415 та об’єднання 13EMBED Equation.DSMT41415 відкриті неперетинні
і містять відповідно х і F.
Аксіому 13EMBED Equation.DSMT41415 можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 існує окіл 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
Твердження. З аксіом 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 випливає 13EMBED Equation.DSMT41415.
Дов. Нехай в Х виконано 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415– довільні точки Х. Принаймні для однієї з них, наприклад, для х, існує окіл 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого 13EMBED Equation.DSMT41415. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 замкнена і не містить х, отже, існують відкриті неперетинні 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто виконано 13EMBED Equation.DSMT41415.
Топологічний простір Х, в якому виконано 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 (а, отже, 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415), наз. регулярним. Не всі гаусдорфові простори є регулярними.
Аксіома 13EMBED Equation.DSMT41415. Для довільних замкнених множин 13EMBED Equation.DSMT41415, які не перетинаються, існують неперетинні відкриті множини 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415.
Х Аксіому 13EMBED Equation.DSMT41415 можна сформулювати іншим способом: для кожного
околу U довільної замкненої множини 13EMBED Equation.DSMT41415 існує окіл 13EMBED Equation.DSMT41415,
F G для якого 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
U V Приклад анти дискретного простору доводить, що з 13EMBED Equation.DSMT41415 не
випливає 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 чи 13EMBED Equation.DSMT41415. Якщо ж в топологічному просторі Х виконано 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 (а тоді й 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415), то Х наз. нормальним простором. Всі метризовані простори є нормальними
12. Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.
Підмножини 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору відокремлені, якщо ніяка з них не містить точок дотику іншої, тобто 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Лема. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415– підпростір топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415(де 13EMBED Equation.DSMT41415та 13EMBED Equation.DSMT41415 – замикання відповідно в просторах 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415).
Довед. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 є точкою дотику 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415, а 13EMBED Equation.DSMT41415– довільний окіл в просторі 13EMBED Equation.DSMT41415, то в окілі 13EMBED Equation.DSMT41415 точки 13EMBED Equation.DSMT41415 в просторі 13EMBED Equation.DSMT41415, а тим більше в 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься деяка 13EMBED Equation.DSMT41415, отже, 13EMBED Equation.DSMT41415– точка дотику 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415. Якщо ж 13EMBED Equation.DSMT41415– точка дотику 13EMBED Equation.DSMT41415 в просторі 13EMBED Equation.DSMT41415, то кожен окіл 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 має вигляд 13EMBED Equation.DSMT41415, де 13EMBED Equation.DSMT41415– окіл 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415. За припущенням в 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься деяка 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415–точка дотику 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Нехай множини 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 лежать в довільному підпросторі 13EMBED Equation.DSMT41415 деякого простору 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415 т. і т. тоді, коли вони відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Довед. Згідно попередньої леми довільна точка однієї з множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 є точкою дотику іншої множини в 13EMBED Equation.DSMT41415 т. і т. тоді, коли вона є точкою дотику в 13EMBED Equation.DSMT41415. Звідси випливає, що 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415 т. і т. тоді, коли вони відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Озн. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 в топологічному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. зв’язною, якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 не можна отримати як диз’юнктне об’єднання двох відокремлених в 13EMBED Equation.DSMT41415 непорожніх множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Зокрема, топологічний простір називається зв’язним, якщо він є зв’язною множиною у собі (його не можна розбивати на дві непорожні відокремлені підмножини 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415). Якщо ж таке подання можливе, множину назив. незв’язною.
Твердж. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 в топологічному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 є зв’язною т. і т. тоді, коли 13EMBED Equation.DSMT41415 є зв’язним простором в топології підпростору в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Довед. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415 розбито на неперетинні непорожні множини 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415 т. і т. тоді, коли вони відокремлені в 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, незв’язність множини 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 рівносильна незв’язності підпростору 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Топологічний простір 13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язний т. і т. тоді, коли виконано будь-яке з рівносильних тверджень: 1) простір 13EMBED Equation.DSMT41415 не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об’єднання двох непорожніх замкнених множин; 2) простір 13EMBED Equation.DSMT41415 не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об’єднання двох непорожніх відкритих множин; 3) єдиними відкрито-замкненими множинами (тобто одночасно відкритими і замкненими) множинами в 13EMBED Equation.DSMT41415 є 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415.
Довед. Доведемо, що заперечення будь-якого з цих тверджень рівносильне незв’язності. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 незв’язний, і 13EMBED Equation.DSMT41415B, де 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415– непорожні і відокремлені, то 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415 – замкнена. Аналогічно замкнена і 13EMBED Equation.DSMT41415, тото виконано заперечення першого твердження. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415B, де 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415– непорожні і замкнені, то множина 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 одночасно є відкритими. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415B, де 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415–непорожні і відкриті, то множина 13EMBED Equation.DSMT41415– відкрито замкнена, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415– теж непорожня, і 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 відокремлені, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415– незв’язний.
Твердж. Простір 13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язний т. і т. тоді, коли єдиними в 13EMBED Equation.DSMT41415 множинами з порожньою межею є 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 з стандартною топологією є зв’язною.
Довед. Припустимо протилежне. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415 є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Будемо вважати, що існують 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415 не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань 13EMBED Equation.DSMT41415. За побудовою 13EMBED Equation.DSMT41415 в кожному проміжку 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься елемент з 13EMBED Equation.DSMT41415, а в кожному проміжку 13EMBED Equation.DSMT41415– елемент з 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415– спільна точка дотику диз’юнктних множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415, і вони не можуть одночасно бути замкненими.
Наслідок. Одиничний відрізок 13EMBED Equation.DSMT41415 з стандартною топологією є зв’язним.
Твердж. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.
Твердж. Неперервний образ 13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язного простору 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто простір 13EMBED Equation.DSMT41415, на який існує неперервне відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 з зв’язного простору, є зв’язним.
Довед. Припустимо, що в 13EMBED Equation.DSMT41415 існує не порожня відкрито-замкнена множина 13EMBED Equation.DSMT41415. За властивостями неперервних відображень її прообраз 13EMBED Equation.DSMT41415 теж є відкрито-замкненим, а за сюр’єктивністю 13EMBED Equation.DSMT41415 він є непорожнім і не рівним 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415 незв’язний, що суперечить умові.
Твердж. Довільне об’єднання сім’ї 13EMBED Equation.DSMT41415 ,13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язних множин простору 13EMBED Equation.DSMT41415, які мають спільну точку 13EMBED Equation.DSMT41415, є зв’язним.
Довед. Припустимо протилежне. Тоді підпростір 13EMBED Equation.DSMT41415 є незв’язним в індукованій топології і зображається як диз’юнктне об’єднання не порожніх відкрито-замкнених в 13EMBED Equation.DSMT41415 множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Принаймні одна з них, наприклад, 13EMBED Equation.DSMT41415 містить 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки кожен з 13EMBED Equation.DSMT41415 є підпростором 13EMBED Equation.DSMT41415, всі перетини 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкрито-замкнені в 13EMBED Equation.DSMT41415 і непорожні (оскільки містять 13EMBED Equation.DSMT41415). Зі зв’язності всіх 13EMBED Equation.DSMT41415 випливає, що 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто 13EMBED Equation.DSMT41415 для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415. Звідси 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, що суперечить припущенню.
Твердж. Якщо кожні дві точки 13EMBED Equation.DSMT41415 множини 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 лежать у зв’язній підмножині 13EMBED Equation.DSMT41415 , то множина 13EMBED Equation.DSMT41415– зв’язна.
Якщо для довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 об’єднати всі зв’язні множини, які містять 13EMBED Equation.DSMT41415, то отримаємо найбільшу в 13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язну множину серед тих, які містять 13EMBED Equation.DSMT41415. Вона назив. компонентою зв’язності або компонентою точки 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Замикання зв’язної множини 13EMBED Equation.DSMT41415 простору 13EMBED Equation.DSMT41415 є зв’язним.
Довед. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415 є об’єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених в 13EMBED Equation.DSMT41415 множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді їх сліди 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 є диз’юнктними і замкненими в 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки за зв’язністю 13EMBED Equation.DSMT41415 один з них, скажімо, 13EMBED Equation.DSMT41415, рівний 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415 лежить в замкненій в 13EMBED Equation.DSMT41415 множині 13EMBED Equation.DSMT41415, і в 13EMBED Equation.DSMT41415 немає точок дотику 13EMBED Equation.DSMT41415. Але за умовою, 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки 13EMBED Equation.DSMT41415– суперечність.
Озн. Простір 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. локально зв’язним, якщо в кожному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься зв’язна множина 13EMBED Equation.DSMT41415, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Компонента зв’язності кожної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 локально зв’язного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 у довільному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритою.
Довед. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415– згадана компонента точки 13EMBED Equation.DSMT41415. За означенням локальної зв’язності для довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 існує така зв’язна множина 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415– теж зв’язна, містить 13EMBED Equation.DSMT41415 і лежить в 13EMBED Equation.DSMT41415, звідки за максимальністю 13EMBED Equation.DSMT41415 маємо 13EMBED Equation.DSMT41415. Тому 13EMBED Equation.DSMT41415, і кожна точка 13EMBED Equation.DSMT41415 є внутрішньою, тобто 13EMBED Equation.DSMT41415– відкрита.
Наслідок. Компоненти зв’язності локально зв’язного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритими.
Озн. Кривою (параметризованою кривою) в топологічному просторі 13EMBED Equation.DSMT41415 з початком 13EMBED Equation.DSMT41415 та кінцем 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. довільне неперервне відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 з одиничного відрізка 13EMBED Equation.DSMT41415 з стандартною топологією в 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415. Аргумент 13EMBED Equation.DSMT41415 відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. параметром кривої, а образ 13EMBED Equation.DSMT41415– носієм кривої. Точки 13EMBED Equation.DSMT41415 множини 13EMBED Equation.DSMT41415 простору 13EMBED Equation.DSMT41415 можна сполучити кривою в 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо існує крива 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415 з початком 13EMBED Equation.DSMT41415 і кінцем 13EMBED Equation.DSMT41415, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415 для всіх 13EMBED Equation.DSMT41415. Множина 13EMBED Equation.DSMT41415, кожні дві точки 13EMBED Equation.DSMT41415 якої можна сполучити кривою в 13EMBED Equation.DSMT41415, назив. лінійно зв’язною.
Твердж. Лінійно зв’язна множина 13EMBED Equation.DSMT41415 є зв’язною.
Довед. Носій кожної кривої є зв’язним як неперервний образ зв’язного відрізка 13EMBED Equation.DSMT41415. Оберемо довільну точку 13EMBED Equation.DSMT41415. З кожною точкою 13EMBED Equation.DSMT41415 її з’єднує крива. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415– об’єднання зв’язних носіїв кривих з спільним початком 13EMBED Equation.DSMT41415, яке є зв’язним.
Клас еквівалентності точки 13EMBED Equation.DSMT41415, тобто точки, які можна сполучити з 13EMBED Equation.DSMT41415 кривими, називається компонентою лінійної зв’язності точки 13EMBED Equation.DSMT41415.
Простір 13EMBED Equation.DSMT41415 називається локально лінійно зв’язним, якщо в кожному околі точки 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься лінійно зв’язна множина 13EMBED Equation.DSMT41415, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Компонентою лінійної зв’язності кожної точки 13EMBED Equation.DSMT41415локально лінійно зв’язного простору13EMBED Equation.DSMT41415 у довільному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритою.
Довед. Якщо точка 13EMBED Equation.DSMT41415 лежить в компоненті лінійної зв’язності 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 в околі , то існує множина 13EMBED Equation.DSMT41415, з усіма точками якої 13EMBED Equation.DSMT41415можна сполучити кривими, які лежать в 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, кожну точку 13EMBED Equation.DSMT41415 можна сполучити з 13EMBED Equation.DSMT41415 кривою в межах 13EMBED Equation.DSMT41415, і 13EMBED Equation.DSMT41415. звідси 13EMBED Equation.DSMT41415, кожна точка 13EMBED Equation.DSMT41415 є внутрішньою, і 13EMBED Equation.DSMT41415– відкрита.
Наслідок. Компоненти лінійної зв’язності локально лінійно зв’язного простору є відкритими.
Твердж. Для топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 рівносильними є твердження: 1) в кожному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься лінійно зв’язна множина 13EMBED Equation.DSMT41415, для якої 13EMBED Equation.DSMT41415; 2) в кожному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься лінійно зв’язний окіл 13EMBED Equation.DSMT41415точки 13EMBED Equation.DSMT41415; 3) в кожному околі 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься окіл точки 13EMBED Equation.DSMT41415, з кожною точкою 13EMBED Equation.DSMT41415 якого 13EMBED Equation.DSMT41415 можна сполучити кривою, яка лежить в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Довед. (113EMBED Equation.DSMT414152) згідно останнього твердження за 13EMBED Equation.DSMT41415 можемо взяти компоненту лінійної зв’язності точки 13EMBED Equation.DSMT41415 в околі 13EMBED Equation.DSMT41415. (213EMBED Equation.DSMT414153) Очевидно, оскільки у випадку (2) ця крива лежатиме навіть у 13EMBED Equation.DSMT41415. (313EMBED Equation.DSMT414151) Твердження (3) означає, що компонента 13EMBED Equation.DSMT41415 лінійної зв’язності точки 13EMBED Equation.DSMT41415 в околі 13EMBED Equation.DSMT41415 містить окіл 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415 задовольняє вимоги (1).
Твердж. Зв’язний локально лінійно зв’язний простір 13EMBED Equation.DSMT41415 є лінійно зв’язним.
Довед. Компонента лінійної зв’язності 13EMBED Equation.DSMT41415 довільної точки 13EMBED Equation.DSMT41415 відкрита. Об’єднання 13EMBED Equation.DSMT41415 інших компонент лінійної зв’язності теж відкрите, отже, 13EMBED Equation.DSMT41415 рівне об’єднанню диз’юнктних відкритих множин 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки за умовою 13EMBED Equation.DSMT41415 зв’язний, а 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415– лінійно зв’язний.

13. Неперервні відображення топологічних просторів.
Озн. Відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 в топол. простір 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. неперервним в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, якщо для кожного околу 13EMBED Equation.DSMT41415 існує окіл 13EMBED Equation.DSMT41415, для якого 13EMBED Equation.DSMT41415. Відображеня, яке не є неперервним в точці називається розривним в ній.
Твердж. Якщо топології 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 на 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 породжені деякими метриками 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415, то відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в т. 13EMBED Equation.DSMT41415 відносно 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415 т. і т. тоді, коли 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в 13EMBED Equation.DSMT41415 відносно 13EMBED Equation.DSMT41415 і 13EMBED Equation.DSMT41415. Озн. Відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 в топологічний простір 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці 13EMBED Equation.DSMT41415.
Озн. Відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 топологічного простору 13EMBED Equation.DSMT41415 в топологічний простір 13EMBED Equation.DSMT41415 назив. неперервним, якщо прообраз 13EMBED Equation.DSMT41415 кожної відкритої множини 13EMBED Equation.DSMT41415 є відкритим в 13EMBED Equation.DSMT41415.
Твердж. Відображення топологічних просторів 13EMBED Equation.DSMT41415 є неперервним т. і т. тоді, коли виконано 13EMBED Equation.DSMT41415 з рівносильних тверджень: 1) прообраз 13EMBED Equation.DSMT41415 кожної замкненої множини 13EMBED Equation.DSMT41415 замкнений в 13EMBED Equation.DSMT41415; 2)для кожної множини 13EMBED Equation.DSMT41415 виконано 13EMBED Equation.DSMT41415.
Довед. Те, що перше твердження рівносильне неперервності, випливає з того, що 13EMBED Equation.DSMT41415. Доведемо, що з першого твердження випливає друге, а з другого – неперервність. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне, і 13EMBED Equation.DSMT41415– довільна множина в 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься в прообразі 13EMBED Equation.DSMT41415 замкненої множини 13EMBED Equation.DSMT41415, який є теж замкненим. Отже, й замикання 13EMBED Equation.DSMT41415 міститься в цьому прообразі, тому 13EMBED Equation.DSMT41415. Якщо ж включення 13EMBED Equation.DSMT41415 виконано для кожної 13EMBED Equation.DSMT41415, то оберемо довільну точку 13EMBED Equation.DSMT41415, окіл 13EMBED Equation.DSMT41415 та покладемо 13EMBED Equation.DSMT41415. Оскільки 13EMBED Equation.DSMT41415, то точка 13EMBED Equation.DSMT41415 не належить до 13EMBED Equation.DSMT41415. Згідно 13EMBED Equation.DSMT41415 точка 13EMBED Equation.DSMT41415 не належить 13EMBED Equation.DSMT41415. Отже, 13EMBED Equation.DSMT41415–окіл, який містить 13EMBED Equation.DSMT41415, не містить точок з 13EMBED Equation.DSMT41415 і тому відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415. Таким чином, відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в кожній точці 13EMBED Equation.DSMT41415.
·
Твердж. Нехай 13EMBED Equation.DSMT41415–відображення топологічних просторів, і в 13EMBED Equation.DSMT41415 обрано передбазу 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне т. і т. тоді, коли прообрази при 13EMBED Equation.DSMT41415 всіх елементів 13EMBED Equation.DSMT41415 відкриті.
Довед. Оскільки всі елементи 13EMBED Equation.DSMT41415 відкриті, то з неперервності випливає, що їх прообрази теж є відкритими. Якщо ж відкриті всі прообрази елементів 13EMBED Equation.DSMT41415, то для довільних 13EMBED Equation.DSMT41415 прообраз 13EMBED Equation.DSMT41415 теж відкритий. Оскільки елементи вигляду 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, утворюють базу 13EMBED Equation.DSMT41415 в 13EMBED Equation.DSMT41415, а кожна відкрита множина 13EMBED Equation.DSMT41415 є об’єднанням сім’ї елементів 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, то 13EMBED Equation.DSMT41415– теж відкрита множина.
Твердж. 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415– відображення топологічних просторів. Тоді: 1) Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервне в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, а 13EMBED Equation.DSMT41415–в точці 13EMBED Equation.DSMT41415, то композиція 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервна в 13EMBED Equation.DSMT41415. 2) Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415 неперервні, то композиція 13EMBED Equation.DSMT41415 теж неперервна.
Твердж. Якщо 13EMBED Equation.DSMT41415–неперервне відображення топологічних просторів, і 13EMBED Equation.DSMT41415 та 13EMBED Equation.DSMT41415– підпростори, для яких 13EMBED Equation.DSMT41415, то обмеження 13EMBED Equation.DSMT41415 відображення 13EMBED Equation.DSMT41415 теж є неперервним.
Довед. Кожна відкрита множина 13EMBED Equation.DSMT41415 має вигляд 13EMBED Equation.DSMT41415, де 13EMBED Equation.DSMT41415– відкрита в 13EMBED Equation.DSMT41415. Тоді 13EMBED Equation.DSMT41415– за неперервністю 13EMBED Equation.DSMT41415 і означення топології підпростору відкрита в 13EMBED Equation.DSMT41415.






14. Компактні простори і множини. Збереження компактності замкненими підпросторами і неперервними образами. Компактність відрізка. Компакти у скінченновимірних евклідових просторах.
Лема Гейне Бореля: з кожного покриття відкритими множинами замкненої і обмеженої множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в просторі 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна обрати скінченне під покриття.
Топологічний простір 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 називається компактним, якщо з кожного відкритого покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна обрати скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Компактними є всі простори зі скінченною кількістю відкритих множин, зокрема антидискретні простори та простори зі скінченною кількістю точок.
Твердження. Відрізок 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=[0,1] є компактним.
Доведення. Нехай 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- відкрите покриття відрізка. Множина тих точок 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 з відрізка, що з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна вибрати скінченне під покриття відрізка [0,а] не порожня, оскільки містить точку 0 і обмежене згори числом 1. Отже, ця множина має точну верхню грань 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежить в деякому околі 13 EMBED Equation.DSMT4 1415разом з базовим околом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.за означенням точної верхньої грані в цьому околі міститься деяке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для якого з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна вибрати скінченне підпокриття
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відрізка [0,а]. Отже, якщо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скінченне підпокриття покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відрізка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, де 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - суперечність. Отже, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скінченне підпокриття відрізка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Озн. Множина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 топологічного простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 називається компактною, якщо з кожного покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відкритими в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415множинами можна обрати скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Твердження. Множина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в топологічному просторі 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 є компактною тоді і тільки тоді, коли вона є компактним простором в індукованій з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 топології.
Доведення. Нехай підпростір 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 компактний, і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - покриття в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відкритими в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множинами. Тоді сім’я слідів13 EMBED Equation.DSMT4 1415 є покриттям 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множинами, відкритими в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.за умовою, з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна обрати скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тоді ті множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для яких 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 утворюють скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Якщо ж множина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 компактна, то елементи кожного відкритого покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 мають вигляд13 EMBED Equation.DSMT4 1415, де множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відкриті в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і утворюють покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тоді з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можна обрати скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отже, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скінченне підпокриття покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, який є компактним.
Твердження. Замкнена підмножина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 компактного простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 є компактною.
Доведення. Нехай 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - покриття множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 відкритими в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множинами. Тоді 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - відкрите покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 з якого можна обрати скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не перетинається з 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - скінченне підпокриття покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множинами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Твердження. Неперервний образ компактного простору є компактним.
Доведення. Нехай 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- неперервне відображення компактного простору 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на простір 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - відкрите покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тоді за неперервністю сім’я 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - відкрите покриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, з якого оберемо скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Оскільки, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і отримуємо скінченне підпокриття 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Як узагальнення можна сказати, що неперервне відображення компактного простору в гаусдорфів простір є замкненим, тобто відображає замкнені множини в замкнені.
Озн. Ком пактом називається компактний гаусдорфів простір.
Кожен компакт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 є нормальним простором.




15. Способи побудови нових топологічних просторів: підпростори, топологічні суми, фактор-простори, добутки.
Озн. Якщо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - фіксована підмножина множини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то слідом довільної підмножини 13 EMBED Equation.DSMT4 1415на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 називаємо перетин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для довільної топології 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на множині 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сліди всіх13 EMBED Equation.DSMT4 1415на довільній фіксованій підмножині 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 утворюють деяку топологію 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Кажемо, що топологія 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 індукована на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 топологією 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Зауважимо, що на 13 EMBED Equation.3 1415може бути задана довільна топологія 13 EMBED Equation.3 1415, не пов’язана з топологією 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Якщо ж 13 EMBED Equation.3 1415 збігається з індукованою топологією 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то топологічний простір 13 EMBED Equation.3 1415 називається підпростором топологічного простору 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 - топологією підпростору.
Твердження. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 - підпростір 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 - підпростір 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - підпростір 13 EMBED Equation.3 1415.
Доведення. З 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 - відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, де множина 13 EMBED Equation.3 1415 відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415. Для неї існує така відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415 множина 13 EMBED Equation.3 1415, що 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415, отже, кожна відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415 множина є слідом відкритої множини в 13 EMBED Equation.3 1415. З другого боку, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 - відкрита в 13 EMBED Equation.3 1415.
Диз’юнктне об’єднання 13 EMBED Equation.3 1415 з такою топологією називається топологічною сумою диз’юнктних просторів 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Топологічну суму 13 EMBED Equation.3 1415 диз’юнктних просторів 13 EMBED Equation.3 1415 вважаємо топологічною сумою довільних просторів.
Озн. Добуток 13 EMBED Equation.3 1415 сім’ї множин 13 EMBED Equation.3 1415 - це множина всіх таких функцій 13 EMBED Equation.3 1415, що 13 EMBED Equation.3 1415для кожного 13 EMBED Equation.3 1415
Озн. Відношення еквівалентності 13 EMBED Equation.3 1415 на топологічному просторі 13 EMBED Equation.3 1415 задає сюр’єктивне фактор відображення 13 EMBED Equation.3 1415 з 13 EMBED Equation.3 1415 в фактор-множину 13 EMBED Equation.3 1415. Множина 13 EMBED Equation.3 1415 з фактор-топологією, заданою 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 називається фактор-простором простору 13 EMBED Equation.3 1415 за відношенням 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415.





















16. Перша і друга квадратичнa форми поверхні.
Параметризована поверхня – це довільне відображення 13 EMBED Equation.3 1415 з деякої області U( R2 у трьохвимірний простір R3. Поверхня задана трьома числовими функціями 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо ці функції належать до деякого класу гладкості, то вважаємо, що і поверхня належить до цього класу. Надалі вважаємо, що x, y, z, неперервно-диференційовні по u і v. Маємо частинні похідні 13 EMBED Equation.3 1415. Це означає, що для u=u0+(u, v=v0+(v маємо 13 EMBED Equation.3 1415. Але рівняння 13 EMBED Equation.3 1415 при фіксованих 13 EMBED Equation.3 1415. Рівняння параметрично задає площину, яка проходить через 13 EMBED Equation.3 1415 покриття паралельно до 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Зокрема, рівність 13 EMBED Equation.3 1415 визначає площину, що проходить через точку поверхні 13 EMBED Equation.3 1415паралельно до 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, поверхня відхиляється від цієї площини на безмежно малу величину, меншу ніж першого порядку малості. Отже, ця площина є дотичною. Вивчимо відстань d між точками 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415, де u=u0+(u, v=v0+(v - безмежно малі. Але 13 EMBED Equation.3 1415
+ 13 EMBED Equation.3 1415. Вираз називають першою квадратичною формою і є наближеним значенням квадрата переміщення по поверхні при малій змінній параметра з точністю до малих порядку вищого, ніж другий. Кажуть, що перша квадратична форма визначає метрику на поверхні. З її допомогою можна знайти довжину будь-якої кривої на поверхні. Нехай в області U маємо криву u=u(t), v=v(t), a(t(b. Якщо підставити цю криву у функцію 13 EMBED Equation.3 1415, яка визначає поверхню, то отримаємо криву по поверхні. Тоді довжина кривої рівна: 13 EMBED Equation.3 1415. Також можна обчислити площу поверхні: 13 EMBED Equation.3 1415 .
Друга квадратична форма
Поверхню можна наблизити точніше, якщо крім членів першого порядку використати член другого порядку 13 EMBED Equation.3 1415 – формула Тейлора. Визначимо відхилення точки поверхні від дотичної площини. Для цього оберемо нормальний вектор 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
+13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, з точністю до нескінченно малих другого порядку відхилення точки від дотичної площини рівне 13 EMBED Equation.3 1415 - друга квадратична форма. Оскільки перша кв. форма є наближеним значенням квадрата відстані, вона є додатньовизначеною, тому 13 EMBED Equation.3 1415. Рівність може досягатись тільки в точках де порушується гладкість поверхні (в особливих точках). Друга кв. форма не обов’язково є знаковизначеною і може мати різні властивості залежно від розташування поверхні відносно дотичної площини.





17. Формули Френе для просторових кривих.
Гладкою параметризованою кривою називаємо неперервно-диференційовне відображення з дійсної прямої або її проміжка у R2(плоска крива) та R3(просторова крива). Крива задається двома або трьома числовими функціями, наприклад, r(t)=(x(t),y(t),z(t)). Дві параметризовані криві 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415називаємо еквівалентними і пишемо 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Якщо існує зростаюча в обидва боки бієкція 13 EMBED Equation.3 1415 (заміна координат), для якої r(t)=((((t)) для всіх t([a,b]. Клас еквівалентних між собою параметризованих кривих називаємо кривою
Зрозуміло, що заміна координат має бути такого самого порядку гладкості, як і дана крива. Параметризацію кривої називаємо натуральною, якщо для неї швидкість руху точки по кривій. (r((t) має одиничну довжину). Надалі вважаємо параметр натуральним і вважаємо 13 EMBED Equation.3 1415.
Лема. Якщо для вектор-функції 13 EMBED Equation.3 1415маємо 13 EMBED Equation.3 1415, то для кожного t, f(t)(f((t).
Доведення: 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. ( що для натурального параметра 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Позначимо 13 EMBED Equation.3 1415 - орт вектора 13 EMBED Equation.3 1415, а k – довжину 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415 -перша формула Френе. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 називаємо нормальним. Доповнимо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 третім перпендикулярним до них вектором – бінормальним . 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415 Знайдемо похідну від 13 EMBED Equation.3 1415, оскільки 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415. Звідси 13 EMBED Equation.3 1415 лежить в площині, паралельній до 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415=(13 EMBED Equation.3 1415+(13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415=0=const, то (13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)(=0(13 EMBED Equation.3 1415( (= –k. Позначимо (=ж і назвемо k-кривизна, ж-скрут. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415=-k13 EMBED Equation.3 1415+ ж13 EMBED Equation.3 1415 - друга формула Френе. Знайдемо похідну від 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415ж13 EMBED Equation.3 1415)=ж13 EMBED Equation.3 1415-ж13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415-ж13 EMBED Equation.3 1415 - третя формула Френе. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 утворюють базис простору і називаються натуральним тригранником. Це рухома ортогональна база, яка повзає по нашій кривій.


Приложенные файлы

  • doc 14783983
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий