Геометрія_Істер_7 полный


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
 . \b.

юнi друзi!
∈– поч–’«єте в–вч«т– од’у з ’«—д«в’Іш–ц І ’«—цІк«вІш–ц
’«ук
°
геометр№ю
. Ф перекл«дІ з грецької слово
вд’лдсріь
оз’«ч«є
ждлкдлірпс»’
ãåî
° земля,
ìåòðåî
° мІрят–). Ця
’«зв« пояс’юється т–м, що в–’–к’е’’я геометрІї пов’яз«’е
з пр«кт–ч’ою дІяль’Істю люд–’–. ще
д«в’І єг–птя’– т«
грек– »л–зько трьоц т–сяч рокІв тому вмІл– в–ко’ув«т–
рІз’І в–мІрюв«’’я, ’ео»цІд’І для розмІчув«’’я дІля’ок,
спорудже’’я »удІвель, прокл«д«’’я дорІг тощо. Ф
процесІ
пр«кт–ч’ої дІяль’остІ землемІрІв, »удІвель’–кІв, «стро’омІв,
морепл«вцІв, цудож’–кІв поступово скл«д«л–ся пр«в–л« гео
метр–ч’–ц в–мІрюв«’ь, по»удов т« о»ч–сле’ь.
СІз’Іше з«вдяк– д«в’ьогрецьк–м уче’–м ф«лесу, СІф«гору,
евклІду т« І’ш–м дед«лІ »Ільшу роль у геометрІї ст«л– вІдІ
гр«в«т– с–стем– мІркув«’ь, якІ д«в«л– змогу довод–т– ’овІ
формул– І ф«кт– ’« ос’овІ вже вІдом–ц. О« поч«ток ’«шої
ер– геометрІя вже сформув«л«ся як ’«ук«, у якІ— вл«ст–востІ
геометр–ч’–ц фІгур в–вч«ють шляцом мІркув«’ь.
Отже, геометрІя в–’–кл« ’« ос’овІ ж–ттєдІяль’остІ люд–’–.
Тпоч«тку во’« в–кор–стовув«л«ся суто пр«кт–ч’о, «ле згодом
сформув«л«ся як с«мостІ—’« м«тем«т–ч’« ’«ук«.
ОволодІт– м«терІ«лом курсу в«м допоможе це— пІдруч’–к.
∈І’ скл«д«ється Із чот–рьоц роздІлІв, що мІстять 27 п«р«
гр«фІв. СІд ч«с в–вче’’я теорет–ч’ого м«терІ«лу звер’Іть
ув«гу ’«
текст, ’«друков«’–—
æèðíèì
шр–фтом. Кого тре»«
з«п«м’ят«т–.
Ф пІдруч’–ку в– по»«ч–те умов’І поз’«че’’я. Ось що во’–
оз’«ч«ють:
°
в«жл–вІ геометр–ч’І твердже’’я (оз’«че’’я, «ксІом–,
вл«ст–востІ);
° з«п–т«’’я до в–вче’ого теорет–ч’ого м«терІ«лу;
° з«кІ’че’’я доведе’’я теорем– «»о з«д«чІ;
°
«ключов«» з«д«ч«, в–с’овк– якої в–кор–стовуються
пІд ч«с розв’язув«’’я І’ш–ц з«д«ч;
° впр«в– для повторе’’я;
° впр«в– пІдв–ще’ої скл«д’остІ;
° ру»р–к« «ЦІк«вІ з«д«чІ для уч’Ів ’елед«ч–ц».
Чор’–м кольором поз’«че’о ’омер– впр«в для розв’язув«’’я
в кл«сІ, «
с–’№м
° для розв’язув«’’я вдом«.
ФсІ впр«в– м«ють поз’«че’’я з«леж’о вІд рІв’я ’«вч«ль’–ц
досяг’е’ь, якому во’– вІдповІд«ють.
із поз’«чк–
поч–’«ються впр«в– поч«ткового рІв’я;
із поз’«чк–
поч–’«ються впр«в– серед’ього рІв’я;
із поз’«чк–
поч–’«ються впр«в– дост«т’ього рІв’я;
із поз’«чк–
поч–’«ються впр«в– в–сокого рІв’я.
СеревІр–т– свої з’«’’я т« пІдготув«т–ся до тем«т–ч’ого
оцІ’юв«’’я в– зможете, якщо в–ко’«єте з«вд«’’я «∠ом«ш
’ьої с«мостІ—’ої ро»от–», якІ под«’о в тестовІ— формІ, т«
«З«вд«’’я для перевІрк– з’«’ь». СІсля кож’ого роздІлу
’«веде’о впр«в– для —ого повторе’’я, « в кІ’цІ пІдруч’–к« °
«З«вд«’’я для перевІрк– з’«’ь з« курс геометрІї 7 кл«су» т«
«З«д«чІ пІдв–ще’ої скл«д’остІ». Фч’ям, якІ цІк«вляться гео
метрІєю, в«рто розгля’ут– впр«в– ру»р–к– «ЦІк«вІ з«д«чІ для
уч’Ів ’елед«ч–ц».
Уеорет–ч’–— м«терІ«л пІдруч’–к« в–кл«де’о простою,
доступ’ою мовою, проІлюстров«’о з’«ч’ою кІлькІстю пр–
кл«дІв. СІсля в–вче’’я теорет–ч’ого м«терІ«лу в школІ —ого
о»о
в’язково потрІ»’о доопр«цюв«т– вдом«.
СІдруч’–к мІст–ть вел–ку кІлькІсть впр«в. ВІльшІсть Із
’–ц в– розгля’ете ’« урок«ц І пІд ч«с дом«ш’ьої ро»от–; І’шІ
впр«в– рекоме’дується розв’яз«т– с«мостІ—’о.
Ааеаю тпоіфі» » ’оамт»аммі —трпт!
шановні вчителі!
Сропо’ов«’–— пІдруч’–к мІст–ть вел–ку кІлькІсть впр«в;
впр«в– »ІльшостІ п«р«гр«фІв под«’о «Із з«п«сом». Уож о»–
р«—те їц для в–кор–ст«’’я ’« урок«ц т« як дом«ш’І з«вд«’’я
з«леж’о вІд пост«вле’ої мет–, рІв’я пІдготовле’остІ уч’Ів,
ступе’я І’д–вІ ду«лІз«цІї тощо. ∈пр«в–, що ’е розгляд«л–ся
’« уроцІ, мож’« в–кор–ст«т– ’« дод«тков–ц, ф«культ«т–в’–ц
т« І’д–вІду«ль’–ц з«’яттяц.
∠од«тковІ впр«в– у «З«вд«’’яц для перевІрк– з’«’ь» пр–
з’«че’о для уч’Ів, якІ впор«л–ся з ос’ов
’–м– з«вд«’’ям–
р«’Іше з« І’ш–ц уч’Ів. Ср«в–ль’е їц розв’яз«’’я вч–тель
може оцІ’–т– окремо.
∈пр«в– для повторе’’я роздІлІв мож’« з«пропо’ув«т–
уч’ям, ’«пр–кл«д, пІд ч«с уз«г«ль’ююч–ц урокІв «»о пІд ч«с
повторе’’я І с–стем«т–з«цІї ’«вч«ль’ого м«терІ«лу в кІ’цІ
’«вч«ль’ого року.
шановні батьки!
акщо в«ш« д–т–’« пропуст–ть од–’ ч– кІльк« урокІв у
школІ, потрІ»’о з«пропо’ув«т– ї— с«мостІ—’о опр«цюв«т–
це— м«терІ«л з« пІдруч’–ком удом«. Тпоч«тку д–т–’« м«є
проч–т«т– теоре
т–ч’–— м«терІ«л, як–— в–кл«де’о простою,
доступ’ою мовою т« проІлюстров«’о з’«ч’ою кІлькІстю пр–
кл«дІв. СІсля цього во’« пов–’’« розв’яз«т– впр«в–, що ї—
пос–ль’І, з розгля’утого п«р«гр«ф«.
Фпродовж опр«цюв«’’я д–т–’ою курсу геометрІї 7­го
кл«су
в– можете пропо’ув«т– ї— дод«тково розв’язув«т– вдом«
впр«в–, якІ ’е розгля’ул– пІд ч«с уроку. Це спр–ят–ме як’«—
кр«щому з«своє’’ю ’«вч«ль’ого м«терІ«лу.
Кож’« тем« з«кІ’чується тем«т–ч’–м оцІ’юв«’’ям. Серед
—ого проведе’’ям з«пропо’у—те д–т–’І розв’яз«т– з«вд«’’я
«∠ом«ш’ьої с«мостІ—’ої ро»от–», якІ под«’о в тестовІ— формІ,
т« «З«вд«’’я для перевІрк– з’«’ь». Це допоможе пр–г«д«т–
ос’ов’І т–п– впр«в т« якІс’о пІдготув«т–ся до тем«т–ч’ого
оцІ’юв«’’я.
ЕЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
цьому розділі ви:
пригадаєте
елементарні геометричні фігури: точку, пря
му, промінь, кут, відрізок;
дізнаєтеся
про основні властивості елементарних гео
метричних фігур;
навчитеся
розв’язувати задачі, пов’язані з відрізками та
кутами.
ТОЧКА
ПРЯМА
З урокІв м«тем«т–к– в«м уже вІдомІ деякІ геометр–ч’І фІгур–:
точк«, прям«, вІдрІзок, промІ’ь, кут (м«л. 1), тр–кут’–к, пря
мокут’–к, коло (м«л.
2). О« урок«ц геометрІї в– розш–р–те
— погл–»–те з’«’’я про цІ фІгур–, оз’«—ом–теся з І’ш–м–
в«жл–в–м– фІгур«м– т« їц вл«ст–востям–.
∈д’лдсріь
цд мат—а ор’ »капсз»’псі вд’лдсрзцмзф уівтр
О«—простІшою геометр–ч’ою фІгурою є
òî÷êà
. Фявле’’я
про точку мож’« отр–м«т–, якщо ’« «ркуш п«перу ’«т–с’ут–
до»ре з«гостре’–м олІвцем «»о ’« шкІль’у дошку ° до»ре
з«гостре’–м шм«тком кре—д–.
ОЧКА
ОЧКА
ПРЯМА
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
З точок скл«д«ються всІ І’шІ геометр–ч’І фІгур–. Отже,
»удь
­як« м’ож–’« точок є
геометр–ч’ою фігурою
Ч«ст–’« геометр–ч’ої фІгур– теж є геометр–ч’ою фІгурою.
∉еометр–ч’ою фІгурою є — о»’єд’«’’я кІлькоц геометр–ч’–ц
фІгур. О« м«лю’ку 3 фІгур« скл«д«ється з прямокут’–к« І
двоц тр–кут’–кІв.
Од’Ією з ос’ов’–ц геометр–ч’–ц фІгур є
ïëîùèíà
. Фявле’’я
про ч«ст–’у площ–’– д«є поверц’я стол«, ш–»к–, стелІ тощо.
Слощ–’у в геометрІї вв«ж«ють рІв’ою т« ’ео»меже’ою; во’«
’е м«є «’І кр«ю, «’І товщ–’–. Ф 7–9­ц кл«с«ц в– опр«цьовув«
т–мете ч«ст–’у шкІль’ого курсу геометрІї °
пл«’імет
рію
Сл«’ІметрІя в–вч«є вл«ст–востІ фІгур ’« площ–’І.
Ос’ов’–м– геометр–ч’–м– фІгур«м– ’« площ–’І є
òî÷êà
ïðÿìà
. СрямІ мож’« провод–т– з« допомогою лІ’І—к–
(м«л.
4). Ср– цьому м– зо»р«жуємо л–ше ч«ст–’у прямої, «
всю пряму уявляємо ’ескІ’че’’ою в о»–дв« »ок–. СрямІ ’«—
ч«стІше поз’«ч«ють м«ле’ьк–м– л«т–’ськ–м– »укв«м–
, ..., « точк–
°
вел–к–м– л«т–’ськ–м– »укв«м–
О« м«лю’ку
5 зо»р«же’о пряму
І точк–
. Òî÷-
к–
І
ëåæàòü
’« прямІ—
; к«жуть т«кож, що точк–
макдеась орьлі– α
«»о що прям«
ор’ф’гзсь цдрдж
с’ц—з
І
. Уочк«
мд кдезсь
’« прямІ—
; І’«кше к«жуч–,
точк«
мд макдезсь
прямІ—
«»о прям«
мд ор’ф’гзсь
цдрдж с’ц—т C
Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать,
і точки, які їй не належать.
∠ля зруч’остІ з«мІсть слІв «точк«
’«леж–ть прямІ—
в–кор–стовують з«п–с
, « з«мІсть слІв «точк«
’е ’«ле
ж–ть прямІ—
» ° з«п–с
З«ув«ж–мо, що через точк–
І
’е мож’« провест– І’шої
прямої, як« » ’е з»Іг«л«ся з прямою
Через будь­які дві точки можна провести пряму і до того
ж тільки одну.
Розділ 1
Уут І д«лІ, говоряч– про «двІ точк–», «двІ прямІ», вв«ж«т–
мемо, що цІ точк–, прямІ ° рІз’І.
Сряму, ’« якІ— поз’«че’о двІ точк–, ’«пр–кл«д
І
мож’« з«п–с«т– двом« »укв«м–:
«»о
. О« м«лю’ку 5
точк«
’е ’«леж–ть прямІ—
(це з«п–сують т«к:
),
к«жуть т«кож, що
с’ц—з A
B і C мд кдеась ма ’гмі– орьлі–
Уочк–
І
леж«ть ’« од’І— прямІ— (м«л. 6), пр–чому
точк«
леж–ть мІж точк«м–
З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
акщо двІ прямІ м«ють спІль’у точку, то к«жуть, що во’–
одрдсзмаюсьпь
в цІ— точцІ. О« м«лю’ку 7 прямІ
І
пере
т–’«ються в точцІ
, « прямІ
’е перет–’«ються.
Сроведемо пряму т« поз’«ч–мо ’« ’І— точку
(м«л.
8). Ця
точк« дІл–ть пряму ’« двІ ч«ст–’–, кож’у з як–ц р«зом з
точкою
’«з–в«ють
ïðîìåíåì
, що в–цод–ть з точк–
. Уочк«
’«з–в«ється
ïî÷àòêîì
кож’ого з проме’Ів. Сроме’І поз’«
ч«ють двом« вел–к–м– л«т–’ськ–м– »укв«м–, перш« з як–ц
оз’«ч«є поч«ток проме’я, « друг« ° деяку точку ’« проме’І
(’«пр–кл«д, промІ’ь
’« м«лю’ку
9).
∠в« проме’І, що м«ють спІль’–— поч«ток І допов’юють од–’
од’ого до прямої, ’«з–в«ють
äîïîâíÿëüíèìè
. О« м«лю’ку
10
промІ’ь
є допов’яль’–м для проме’я
, І ’«вп«к–, про
мІ’ь
є допов’яль’–м для проме’я
Перші відомості про властивості геометричних фігур люди отримували з практичної
діяльності та спостережень за навколишнім світом
Перший твір
що містить найпро
стіші геометричні відомості про знаходження площ деяких фігур та об’ємів тіл
дійшов
до нас із Давнього Єгипту
Він датується XVII
до н
е
Описані в цьому творі правила
обчислення площ та об’ємів були отримані з практики
Ніяких логічних доведень їх
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
істинності не наводилося
Самі ж значення площ та
обчислені за такими правилами
були при
Про зародження геометрії у Давньому Єгипті дав
ньогрецький історик Геродот (V ст
до
н
е
) писав
єгипетський фараон
розділив землю
давши кожному єгиптянину ділянку за жеребкуванням,
та стягував відповідним чином податок з кожної
Бувало
що Ніл заливав ту чи іншу ділянку
тоді потерпілий звертався до фараона
а той посилав
щоб установити
на скільки зменшилася
ділянка, і відповідно зменшував податок
Так виникла
геометрія в Єгипті
а звідти перейшла в Грецію»
Саме в Давній Греції і відбулося становлення гео
метрії як науки
Завдяки грецьким геометрам Фалесу
Демокріту (бл
460–370 рр. до н
е
) відбувся
поступовий перехід від практичної до теоретичної гео
Ці та інші вчені зробили кроки до строгого
обґрунтування геометричних фактів і теорем
збагати
ли науку численними теоремами
які ми використовує
Таким чином
було створено науку
що вивчає
форми
розміри
властивості
взаємне розташування
геометричних фігур
Цю науку
як і раніше
називають
хоча її зміст вийшов далеко за межі вчен
що в–вч«є геометрІя?
О«ведІть пр–кл«д– геометр–ч’–ц
О«звІть ос’ов’І геометр–ч’І фІгур– ’« площ–
ак поз’«ч«ють прямІ т« точк–?
ТкІльк– прям–ц
мож’« провест– через двІ точк–?
що т«ке промІ’ь?
ак поз’«ч«ють проме’І?
акІ проме’І ’«з–в«ють до
О«звІть з« м«лю’ком
11:
3) точку, що ’«леж–ть І прямІ—
, І
4) точк–, що ’«леж«ть прямІ—
, «ле
точк–, що ’е ’«леж«ть «’І пря
Розділ 1
Соз’«чте в зош–тІ точк–
І
т« проведІть через ’–ц
пряму. О«звІть цю пряму. Соз’«чте точку
, що ’«леж–ть
по»у
дов«’І— прямІ—, т« точку
, як« ї— ’е ’«леж–ть. Зро»Іть
вІдповІд’І з«п–с–.
СроведІть пряму
. Соз’«чте двІ точк–, що ’«леж«ть цІ—
прямІ—, І двІ точк–, якІ ї— ’е ’«леж«ть. О«звІть точк– т« з«п–
шІть вз«єм’е розт«шув«’’я прямої І точок, в–кор–стовуюч–
с–мвол–
О« м«лю’ку 12 прям«
перет–’«є прямІ
І
у
точк«ц
. З«п–шІть:
З«п–шІть усІ проме’І, зо»р«же’І ’« м«лю’ку
13.
Соз’«чте в зош–тІ точк–
т«к, що» через ’–ц мож’«
»уло провест– пряму. З«п–шІть усІ можл–вІ ’«зв– цІєї прямої.
Соз’«чте в зош–тІ точк–
І
т«к, що» з«п–с–
І
поз’«ч«л– од’у — ту с«му пряму. ак ще мож’« ’«зв«т–
пряму?
∈–кор–стовуюч– м«лю’ок
1) з’ясу—те, ч– перет–’«ються прямІ
2) з«п–шІть усІ точк–, якІ ’«леж«ть
3) з«п–шІть усІ точк–, якІ ’«леж«ть
4) з«п–шІть точк–, якІ ’е ’«леж«ть
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Соз’«чте в зош–тІ точк–
, як
’« м«лю’ку
15.
1) Через кож’І двІ точк– проведІть пряму.
3) О« скІльк– ч«ст–’ цІ прямІ роз»–в«ють
Соз’«чте в зош–тІ тр– точк–
І
що ’е леж«ть ’« од’І— прямІ—.
1) Через кож’І двІ точк– проведІть пряму. З«п–шІть усІ утво
2) ТкІльк– всього прям–ц утвор–лося?
3) О« скІльк– ч«ст–’ цІ прямІ роз»–в«ють площ–’у?
Уочк«
дІл–ть пряму
’« дв« проме’І. З« якої умов–
точ
к–
І
цІєї прямої ’«леж«ть од’ому проме’ю; рІз’–м
проме’ям?
. О« площ–’І проведе’о тр– прямІ. О« першІ— по
з’«че’о 2017 точок, ’« другІ— ° 2018, « ’« третІ— °
2019 точок. аку ’«—ме’шу з«г«ль’у кІлькІсть точок пр– цьому
може »ут– поз’«че’о?
ВІДРІЗОК
ВИМІРюВАННЯ ВІДРІЗКІВ
ВІДСТАНь МІж ДВОМА ТОЧКАМИ
називають частину прямої, яка складається з
усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками,
разом із цими точками. Ці точки називають
кінцями від­
різка
О« м«лю’ку
16 зо»р«же’о вІдрІзок
(—ого т«кож мож’«
’«зв«т– вІдрІзком
); точк–
І
° —ого кІ’цІ. О« м«лю’ку
17
точк«
’«леж–ть вІдрІзку
(її ще ’«з–в«ють
»мтсрічмь’ю
с’ц—’ю
вІдрІзк«), « точк«
—ому ’е ’«леж–ть.
ВІДРІЗОК
ВІДСТАНь МІж Д
ОМА ТОЧКАМИ
Розділ 1
О« м«лю’ку
18 вІдрІзк–
І
м«ють єд–’у спІль’у
точку
. К«жуть, що вІдрІзк–
І
одрдсзмаюсьпь
в
точцІ
О« пр«кт–цІ ч«сто довод–ться в–мІрюв«т– вІдрІзк–. ∠ля
цього ’ео»цІд’о м«т–
од–’–ч’–— відрізок
(од–’–цю в–мІрю
в«’’я). Од–’–цям– в–мІрюв«’’я довж–’– є 1
мм, 1 см, 1
дм,
1 м, 1
км.
∠ля в–мІрюв«’’я вІдрІзкІв в–кор–стовують рІз’І в–мІрю
в«ль’І І’струме’т–. Од’–м з т«к–ц І’струме’тІв є лІ’І—к« з
подІлк«м–. О« м«лю’ку
19 довж–’« вІдрІзк«
дорІв’ює 3
см.
Коротко к«жуть: «∈ІдрІзок
дорІв’ює 3
см». О« м«лю’ку
20
довж–’« вІдрІзк«
дорІв’ює 1
см 5
мм, «»о
1,5
см, «»о 15
мм.
З«п–сують це т«к:
см,
1,5
мм.
Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.
і’ш–м– І’струме’т«м–, як–м– мож’« в–мІрюв«т– вІдрІзк–,
є скл«д«’–— метр (м«л.
21), рулетк« (м«л.
22), кле—о’ч«ст–—
с«’т–метр (м«л. 23).
О« м«лю’ку
24 зо»р«же’о вІдрІзок
. Уочк«
дІл–ть —ого
’« дв« вІдрІзк–:
І
(к«жуть т«кож, що точк«
’«леж–ть
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
вІдрІзку
). В«ч–мо, що
4
см,
1
см,
5
см.
Отже,
М«ємо
’пм’»мт »капсз»іпсь »злірю»аммь
вІдрІзкІв.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він
розбивається будь­якою його внутрішньою точкою.
∠овж–’у вІдрІзк« ’«з–в«ють т«кож
відст«’’ю між —ого
кі’цям–
. О« м«лю’ку
24 вІдст«’ь мІж точк«м–
І
дорІв’ює
см.
Два відрізки називають
, якщо рівні їх довжини.
З двоц вІдрІзкІв »Ільш–м вв«ж«ють то—, довж–’« якого
»Ільш«. О« м«лю’ку
25 довж–’« вІдрІзк«
дорІв’ює
довж–’І вІдрІзк«
, тому цІ вІдрІзк– рІв’І. Мож’« з«п–с«т–:
. О« цьому с«мому м«лю’ку довж–’« вІдрІзк«
»Ільш« з« довж–’у
вІдрІзк«
. К«жуть, що вІдрІзок
»Ільш–— з« вІдрІзок
, з«п–сують це т«к:
О« м«лю’к«ц рІв’І вІдрІзк– пр–—’ято поз’«ч«т– од’«­
ковою кІлькІстю р–сочок, « вІдрІзк– ’еод’«кової довж–’– °
рІз’ою кІлькІстю р–сочок.
Уочку вІдрІзк«, як« дІл–ть —ого ’«впІл, то»то ’« дв« рІв’І
вІдрІзк–, ’«з–в«ють
серед–’ою відрізк«
О« м«лю’ку
26
2
см,
2 см, тому точк«
° серед–’« вІд
рІзк«
Çàäà÷à
. Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
, довж–’« якого
см. З’«—
дІть довж–’– вІдрІзкІв
AK
, якщо
AK
»Ільш–—
з«
’« 3
Розділ 1
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Розгля’емо
м«лю’ок 27, ’« якому точк«
’«ле
ж–ть вІдрІзку
см.
Оец«—
см, тодІ
AK
+ 3)
см.
ОскІльк–
AB
(з« ос’ов’ою вл«ст–вІстю в–мІрю
в«’’я вІдрІзкІв), м«ємо рІв’я’’я:
+ 3) +
15.
Розв’яжемо от р–м«’е рІв’я’’я: 2
15;
6 (см).
Отже,
см,
9 (см).
∈ І д п о в І д ь.
6 см,
9 см.
що ’«з–в«ють вІдрІзком?
що т«ке кІ’цІ вІдрІзк«?
акІ од–’–цІ в–мІрюв«’’я довж–’– в– з’«єте?
ак–­
м– І’струме’т«м– в–мІрюють довж–’– вІдрІзкІв?
що
’«з–в«ють вІдст«’’ю мІж двом« точк«м–?
Тформу
лю—те ос’ов’у вл«ст–вІсть в–мІрюв«’’я довж–’ вІдрІз
акІ вІдрІз к– ’«з–в«ють рІв’–м–?
аку точку
’«з–в«ють сере д– ’ою вІдрІзк«?
О«звІть усІ вІдрІзк–, зо»р«же’І ’« м«лю’ку 28. ∈–мІря—те
довж–’– двоц з ’–ц.
З«п–шІть усІ вІдрІзк–, зо»р«же’І ’« м«лю’ку 29, т« в–мІ
ря—те довж–’– трьоц з ’–ц.
Соз’«чте в зош–тІ точк–
І
т« з’«—дІть вІдст«’ь мІж
’–м–.
О«креслІть вІдрІзк–
І
т«к, що»
7
см 2
мм,
6 см 3 мм. СорІв’я—те довж–’– вІдрІзкІв
О«креслІть вІдрІзк–
І
т«к, що»
5
см 9
мм,
6 см 8 мм. СорІв’я—те довж–’– вІдрІзкІв
Уочк«
леж–ть мІж точк«м–
І
(м«л. 30). З’«—
дІть:
, якщо
5 см,
2
см;
, якщо
12 дм,
9
дм.
Уочк«
леж–ть мІж точк«м–
І
(м«л.
31). З’«—
дІть:
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
, якщо
3
дм,
7
дм;
, якщо
8 см,
6
см.
Ч– леж«ть точк–
’« од’І— прямІ—, якщо:
8 см,
3
см,
см;
5 см,
9
см,
8
см?
Ф р«зІ поз–т–в’ої вІдповІдІ вк«жІть, як« з точок леж–ть мІж
двом« І’ш–м–.
Ч– леж«ть точк–
’« од’І— прямІ—, якщо:
7 см,
3
см,
9
см;
5 см,
2
см,
7
см?
Ф р«зІ поз–т–в’ої вІдповІдІ вк«жІть, як« з точок леж–ть мІж
двом« І’ш–м–.
О« прямІ— поз’«че’о точк–
І
, пр–чому
мм,
3 см 2 мм,
0,74
дм. ак« з точок леж–ть мІж двом«
І’ш–м–? ∈ІдповІдь о»№ру’ту—те.
Ч– леж«ть точк–
І
’« од’І— прямІ—, якщо
см,
1,5 дм,
мм?
О« м«лю’ку 32 довж–’– вІдрІзкІв
од’«ковІ. О»´ру’ту—те, чому
О« м«лю’ку 32 довж–’– вІдрІзкІв
І
од’«ковІ. О»´ру’ту—те, чому
Уочк–
І
’«леж«ть вІдрІзку
. З’«—
дІть довж–’у вІд
рІзк«
, якщо
40 см,
25 см,
32 см.
Уочк–
І
’«леж«ть вІдрІзку
. З’«—
дІть довж–’у
вІдрІзк«
, якщо
50 см,
40 см,
16 см.
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
7,6
дм. ∈–з’«чте довж–’–
вІдрІзкІв
І
, якщо: 1)
втр–чІ ме’ш–— вІд
; 2)
»Ільш–— з«
’« 2,8 дм.
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
8,4
см. ∈–з’«чте довж–’–
вІдрІзкІв
І
, якщо: 1)
»Ільш–— з«
’« 0,6
см;
1 : 3.
Уочк–
І
леж«ть ’« од’І— прямІ—. З’«—
дІть вІд
ст«’ь мІж точк«м–
І
, якщо вІдст«’ь мІж точк«м–
І
дорІв’ює 5,2
см, « вІдст«’ь мІж точк«м–
І
° 4,9
см.
ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
О« прямІ— поз’«че’о точк–
І
, пр–чому
7,2
см,
2,5
см. З’«—
дІть вІдст«’ь мІж точк«м–
І
. ТкІльк–
розв’язкІв м«є з«д«ч«?
РоздІлІть тр–кут’–к двом« прям–м– ’«:
дв« тр–кут’–к– І од–’ чот–р–кут’–к;
дв« тр–кут’–к–, од–’ чот–р–кут’–к І од–’ п’ят–кут
’–к.
Розділ 1
ВИМІРюВАННЯ КУТІВ
БІСЕКТРИСА КУТА
Кут
— це геометрична фігура, яка складається з двох
променів, що виходять з однієї точки.
Сроме’І ’«з
–в«ють
сторо’«м– кут«
, « їц спІль’–—
поч«ток
верш–’ою кут«
О« м«лю’ку
33 зо»р«же’о кут з верш–’ою
І сторо’«м–
І
. У«к–— кут мож’« ’«зв«т– по­
рІз’ому: кут
, «»о
кут
AOB
, «»о кут
BOA
. Ф другому т« третьому в«рІ«’т«ц ’«зв–
кут« »укв«
, що поз’«ч«є —ого верш–’у, ст«в–ться посеред–’І.
Тлово «кут» мож’« з«мІ’–т– з’«ком
, з«п–с«вш– кут
т«к:
, «»о
AOB
, «»о
BOA
Розгор’ут–— кут
° це кут, сторо’– якого є допов’яль
’–м– проме’ям–
(м«л.
34).
Вудь
як–— кут дІл–ть площ–’у ’« двІ ч«ст–’–. акщо кут
’е є розгор’ут–м, то од’у Із ч«ст–’ ’«з–в«ють
в’утріш’ьою
о»л«стю
кут«, « І’шу
зов’іш’ьою
(м«л.
35). О« м«лю’ку
36
точк–
І
’«леж«ть в’утрІш’І— о»л«стІ кут« (леж«ть усе
ред–’І кут«), точк–
І
’«леж«ть сторо’«м кут«, « точк–
’«леж«ть зов’Іш’І— о»л«стІ кут« (леж«ть поз« кутом).
акщо кут є розгор’ут–м, то »удь
яку з двоц ч«ст–’, ’« якІ вІ’
дІл–ть площ–’у, мож’« вв«ж«т– в’утрІш’ьою о»л«стю кут«.
БІСЕКТРИСА КУТА
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
од–’–цю в–мІрюв«’’я кутІв
пр–—м«ють
гр«дус
° кут, як–—
ст«’ов–ть
розгор’утого кут«.
Соз’«ч«ють гр«дус з’«ком
∠ля
в–мІрюв«’’я кутІв в–кор–сто
вують
срампо’рсзр
° І’стру
ме’т, як–— в– з’«єте з молодш–ц
кл«сІв.
О« м«лю’ку
37 гр«дус’«
мІр« кут«
AOB
дорІв’ює 50
, «
кут«
COD
° 110
. Коротко к«жуть: кут
AOB
дорІв’ює 50
, кут
COD
дорІв’ює 110
; з«п–сують т«к:
AOB
COD
110
Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль.
Розгорнутий кут дорівнює 180
∠уже м«лІ кут– в–мІрюють у мІ’ут«ц І секу’д«ц.
Мімтса
°
це
ч«ст–’« гр«дус«,
пд—тмга
°
ч«ст–’« мІ’ут–. МІ’ут–
поз’«ч«ють з’«ком
, секу’д–
° з’«ком
. Отже, 1
мІсцевостІ кут– в–мІрюють
апср’кь«іію
(м«л.
38).
Вудемо вв«ж«т–, що промІ’ь
ïðîõî
д–ть між сторо’«м– кут«
AOB
, якщо вІ’
в–цод–ть з —ого верш–’– І леж–ть у —ого в’у
трІш’І— о»л«стІ (м«л.
39).
О« м«лю’ку
40 промІ’ь
процод–ть
мІж сторо’«м– кут«
AOB
І дІл–ть —ого ’« дв«
кут–:
BOM
І
MOA
. В«ч–мо, що
BOM
MOA
AOB
120
. Отже,
Розділ 1
М«ємо
’пм’»мт »капсз»іпсь »злірю»аммь —тсі»
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на
які він розбивається будь­яким променем, що проходить
між його сторонами.
З’ясуємо, як порІв’юв«т– кут–.
Два кути називають
рівними
, якщо в них однакові градус­
ні міри.
З двоц кутІв »Ільш–м вв«ж«ють то—, гр«дус’« мІр« якого є
»Ільшою. О« м«лю’ку
41 гр«дус’« мІр« кут«
дорІв’ює 50
гр«дус’« мІр« кут«
т«кож дорІв’ює 50
. Уому цІ кут– рІв’І.
Мож’« з«п–с«т–:
. О« м«лю’ку
42 гр«дус’« мІр«
кут«
дорІв’ює 70
, тому кут
»Ільш–— з« кут
.
З«п–сують
це т«к:

. О« м«лю’к«ц рІв’І кут– пр–—’ято поз’«
ч«т– од’«ковою кІлькІстю дужок пр– верш–’І, « якщо кут–
’е є рІв’–м–, ° рІз’ою кІлькІстю дужок.
Кут ’«з–в«ють
ïðÿìèì
, якщо —ого гр«дус’« мІр« дорІв’ює
гостр–м
, якщо вІ’ ме’ш–— вІд прямого,
туп–м
, якщо
вІ’ »Ільш–— з« прям–—, «ле ме’ш–— вІд розгор’утого (м«л.
43).
Срям–— кут ’« м«лю’к«ц поз’«ч«ють з’«ком
Бісектрисою кута
називають промінь, який виходить з
його вершини і ділить кут навпіл.
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
О« м«лю’ку
44 промІ’ь
° »Ісект
р–с« кут«
AOB
Çàäà÷à
ABC
100
° »Ісектр–с«
кут«
ABC
, «
° »Ісектр–с« кут«
KBC
З’«—
т–
ABL
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Розгля’емо м«л. 45.
KBC
50
LBC
25
ABL
ABC

LBC
100
– 25
75
∈ І д п о в І д ь. 75
аку фІгуру ’«з–в«ють кутом?
ак поз’«ч«ють кут?
що т«ке верш–’« кут«; сторо’« кут«?
ак–— кут
’«з–в«ють розгор’ут–м?
ак–м– І’струме’т«м– в–­
мІрюють кут–?
Ф як–ц од–’–цяц в–мІрюють кут–?
що оз’«ч«є в–р«з: «СромІ’ь процод–ть мІж сторо’«
м– кут«»?
Тформулю—те ос’ов’у вл«ст–вІсть в–мІрю
в«’’я кутІв.
акІ кут– ’«з–в«ють рІв’–м–?
ак–—
кут ’«з–в«ють прям–м; гостр–м; туп–м?
ак–— про
О«звІть верш–’– І сторо’– кутІв, зо»р«же’–ц ’« м«лю’ку 46.
З«п–шІть верш–’у І сторо’– кут«: 1)
MOP
; 2)
BLK
ак–— з д«’–ц кутІв гостр–—, туп–—, прям–—, розгор’ут–—:
39
; 2)
90

91
170
; 5)
180

79
1
; 8)
173
Розділ 1
∈–п–шІть, якІ з д«’–ц кутІв гострІ, тупІ, прямІ, розгор’утІ:
121
; 2)
90
12
; 4)
180
89
; 6)
93
Упм’
) Ч– є промІ’ь
»Ісектр–сою кут«
AOB
(м«л.
47–49)?
З« м«лю’ком 50:
з«п–шІть усІ зо»р«же’І кут–;
кор–стуюч–сь тр«’спорт–ром, з’«—
дІть
гр«дус’І мІр–
деяк–ц двоц з ’–ц;
3)
о»ч–слІть гр«дус’у мІру третього кут«.
Кор–стуюч–сь тр«’спорт–ром, з’«
—дІть гр«дус’І мІр– кутІв, зо»р«же’–ц
’« м«лю’ку
46. ∈–з’«чте в–д кож’ого
з ’–ц.
О«креслІть кут гр«дус’ої мІр–:
1) 30
; 2) 90
; 3) 115
; 4) 75
О«креслІть кут, гр«дус’« мІр« якого:
1) 65
; 2) 100
; 3) 20
; 4) 155
О«креслІть кут, гр«дус’« мІр« якого дорІв’ює 140
, т« про
ведІть —ого »Ісектр–су.
О«креслІть кут, гр«дус’« мІр« якого дорІв’ює 50
, т« про
ведІть —ого »Ісектр–су.
∈–ко’«—те дІї:
1) 7
+ 12
; 2)
52
– 45
∈–р«зІть у мІ’ут«ц: 4
2) ∈–р«зІть у секу’д«ц: 5
; 2
; 1
СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
BOC
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«
BOC
, якщо
BOK
KOC
∈–ко’«—те м«лю’ок.
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
APB
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«
CPB
, якщо
APB
108
APC
∈–ко’«—те м«лю’ок.
Ч– процод–ть промІ’ь
мІж сторо’«м– кут«
ABC
, якщо
ABC
ABK
? ∈ІдповІдь о»№ру’ту—те.
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– кутІв мІж год–’’ою т« цв–л–’’ою
стрІлк«м– год–’’–к«:
1) о 18 год;

2) о 3 год;
3) о 1 год;

4) о 20 год.
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут« мІж год–’’ою т« цв–л–’’ою
стрІлк«м– год–’’–к«:
1) о 21 год;

2) о 6 год;
3) о 19 год;

4) о 2 год.
СромІ’ь
дІл–ть кут
AOB
’« дв« кут–. З’«—
дІть гр«
дус’у мІру кут«
BOC
, якщо
AOB
AOC
AOB
СромІ’ь
дІл–ть кут
MAK
’« дв« кут–. З’«—
дІть гр«
дус’у мІру кут«
MAK
, якщо
MAB
, « кут
BAK
скл«д«є
% вІд кут«
MAB
Кут мІж »Ісектр–сою кут« І продовже’’ям од’Ієї з —ого
сторІ’ з« верш–’у кут« дорІв’ює 142
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру
цього кут«.
ак–— кут утворює »Ісектр–с« кут« 98
з продовже’’ям
од’Ієї з —ого сторІ’ з« верш–’у кут«?
MQB
120
. МІж сторо’«м– кут« процод–ть промІ’ь
т«к, що кут
PQB
у 4 р«з– ме’ш–— вІд кут«
MQP
. З’«—
дІть
кут–
PQB
MQP
СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
MAN
, як–—
дорІв’ює 86
. З’«—
дІть кут–
MAC
І
CAN
, якщо кут
MAC
»Ільш–— з« кут
CAN
’« 14
Розгор’ут–— кут
AOB
проме’ям–
І
подІле’о ’« тр–
кут– т«к, що
AOK
140
BOL
100
. З’«—
дІть гр«дус’у
мІру кут«
LOK
Срям–— кут
COD
проме’ям–
І
подІле’о ’« тр–
кут– т«к, що
CON
MOD
. З’«—
дІть гр«дус’у
мІру кут«
MON
Ср–г«д«—те ’«зв– геометр–ч’–ц фІгур, якІ в– роз
гля’ул– в цьому роздІлІ, І фІгур, якІ вІдомІ в«м з попе
ред’Іц кл«сІв. З«п–шІть їц’І ’«зв– в рядк«ц (д–в.
22).
акщо ’«зв– фІгур з«п–с«’о пр«в–ль’о, то у в–дІле’ому
стовпч–ку мож’« проч–т«т– прІзв–ще в–д«т’ого укр«ї’ського
м«тем«т–к«.
Розділ 1
З’«—
дІть у лІтер«турІ ч– і’тер’етІ вІдомостІ про ж–ттєв–—
І творч–— шляц цього м«тем«т–к«.
Вправи для повторення розділу 1
З« м«лю’ком 51 ук«жІть:
точку перет–’у пря
м–ц
І
якІ точк– ’«леж«ть прямІ—
ч– ’«леж–ть точк«
прямІ—
як І’«кше мож’« ’«зв«т– пряму
Со»уду—те проме’І
І
т«к, що» промІ’ь
»ув допов
’яль’–м для проме’я
Со»уду—те проме’І
І
т«к, що» серед по»удов«’–ц проме’Ів
’е »уло жод’ої п«р– допов’яль’–ц.
Соз’«чте точк–
І
т«к, що» з«п–с–
І
оз’«ч«л–
двІ рІз’І прямІ.
Од’« з двоц прям–ц, що перет–’«ються, процод–ть через
точку
, як« ’«леж–ть І’шІ— прямІ—. що мож’« ск«з«т– про
точку
І точку перет–’у ц–ц прям–ц?
Уочк–
І
’«леж«ть прямІ—
. Срям«
вІдмІ’’« вІд
прямої
І процод–ть через точку
. Ч– може точк«
’«ле
ж«т– прямІ—
? ∈ІдповІдь о»№ру’ту—те.
ЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Соз’«чте в зош–тІ точк–
І
, якІ ’е леж«ть ’«
од’І— прямІ—, т« з’«—дІть вІдст«’І мІж кож’ою п«рою точок.
Соз’«чте в зош–тІ точк–
І
, якІ леж«ть ’« од’І—
прямІ—, т« з’«—дІть вІдст«’І мІж кож’ою п«рою точок.
О«креслІть вІдрІзок
см 8
мм. Соз’«чте ’« ’ьому
точку
т«к, що
мм. З’«—
дІть довж–’у вІдрІзк«
з«
допомогою о»ч–сле’ь.
Тумою як–ц двоц вІдрІзкІв є вІд
рІзок
(м«л.
52)? Розгля’ьте всІ
можл–вІ в–п«дк–.
Ур– прямІ перет–’«ють вІдрІзок
, пр–чому жод’« з
точок перет–’у прям–ц І вІдрІзк« ’е з»Іг«ється з кІ’цям– вІд
рІзк«. О« скІльк– ч«ст–’ цІ точк– можуть подІл–т– вІдрІзок?
О« скІльк– ч«ст–’ подІл–ться вІдрІзок, якщо кІлькІсть
прям–ц дорІв’ює
Уочк«
° серед–’« вІдрІзк«
, точк«
° серед–’« вІд
рІзк«
. З’«—
дІть:
CB
І
, якщо
20 см;
AC
І
, якщо
12 дм.
Уочк–
І
’«леж«ть вІдрІзку
см,
см,
см. З’«—
дІть довж–’у вІдрІзк«
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
. О« прямІ—
поз’«чте
т«ку точку
, що
. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч« ?
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
, довж–’« якого
см. З’«—
дІть вІдст«’ь мІж серед–’«м– вІдрІзкІв
З’«—
дІть гр«дус’І мІ
р– ку
тІв, зо»р«же’–ц ’« м«лю’
53.
Розділ 1
∠в« уч’І ’«кресл–л– кут– по 70
. Од–’ з уч’Ів ск«з«в,
що в ’ього кут »Ільш–—, оскІльк– сторо’– —ого кут« м«ють
»Ільшу довж–’у. Ч– пр«в–— це— уче’ь?
∈–кор–стовуюч– м«лю’ок 54, ук«жІть усІ можл–вІ ’«зв–
кут« з верш–’ою
з д«’–ц:
KAC
BAM
CAM
KMA
BAC
AKM
ABC
MAK
KAM
CAK
О«креслІть од–’ гостр–— кут І од–’ туп–—. Со»уду—те
»Ісектр–с– ц–ц кутІв з« допомогою тр«’спорт–р«.
О« як–— кут поверт«ється цв–л–’’« стрІлк« год–’’–к«
протягом 15 цв; 7 цв; 23
цв?
О« як–— кут поверт«ється год–’’« стрІлк« год–’’–к« про
тягом 1
цв; 6
цв; 40 цв?
° »Ісектр–с« кут«
AOB
° »Ісектр–с« кут«
KOB
З’«—
дІть:
, якщо
120
, якщо
37
AOB
BOC
COD
DOE
(м«л.
55). З’«—
дІть:
, якщо
140
, якщо
73
AOB
168
, промІ’ь
процод–ть мІж —ого сторо’«м–.
AOM
:
MOB
3 : 4. З’«— дІть цІ кут–.
ВЗАЄМНЕ
РОЗМІЩЕННЯ
ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
цьому розділі ви:
пригадаєте
паралельні та перпендикулярні прямі;
дізнаєтеся
, що таке аксіома, теорема, означення, ознака,
наслідок; суміжні і вертикальні кути; кут між двома прями
ми; кути, що утворилися при перетині двох прямих січною;
навчитеся
зображувати паралельні та перпендикулярні
прямі за допомогою косинця і лінійки; застосовувати
властивості суміжних і вертикальних кутів та кутів, що
утворилися при перетині паралельних прямих січною, до
роз
в’я
зування задач; доводити теореми.
АКСІОМИ
ОЗНАЧЕННЯ
Аксіом– геометрії
° це твердже’’я про ос’ов’І вл«ст–востІ
’«—простІш–ц геометр–ч’–ц фІгур, пр–—’ятІ як поч«тковІ
положе’’я.
Ф перекл«дІ з грецької слово
а—пі’ла
оз’«ч«є
орз–мьсд
о’к’едммь
О«г«д«ємо деякІ вже вІдомІ в«м «ксІом–.
І. Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать, і
точки, які їй не належать.
ІІ. Через будь­які дві точки можна провести пряму і до
того ж тільки одну.
ІІІ. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
IV.
Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які
він розбивається будь­якою його внутрішньою точкою.
VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль.
Розгорнутий кут дорівнює 180
VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів,
на які він розбивається будь­яким променем, що про­
ходить між його сторонами.
КСІОМИ
ОЗНАЧЕННЯ
Розділ 2
М«тем«т–ч’е твердже’’я, спр«ведл–вІсть якого вст«’овлю
ється з« допомогою мІркув«’ь, ’«з–в«ють
òåîðåìîþ
, « с«ме
мІркув«’’я ’«з–в«ють
г’»дгдммьл сд’рдлз
Кож’« теорем« мІст–ть
умову
(те, що д«’о) І
в–с’овок
(те,
що ’ео»цІд’о довест–). Фмову теорем– пр–—’ято з«п–сув«т–
пІсля слов« «д«’о», « в–с’овок
° пІсля слов« «довест–».
∠оводяч– теорему, мож’« кор–стув«т–ся «ксІом«м–, « т«кож
р«’Іше доведе’–м– теорем«м–. ОІякІ І’шІ вл«ст–востІ геоме
тр–ч’–ц фІгур (’«вІть якщо во’– зд«ються ’«м очев–д’–м–)
в–кор–стовув«т– ’е мож’«.
Увердже’’я, у якому пояс’юється змІст пев’ого по’яття
(термІ’), ’«з–в«ють
оз’«че’’ям
. ∈– вже з’«єте деякІ оз’«
че’’я, ’«пр–кл«д оз’«че’’я вІдрІзк«, кут«, »Ісектр–с– кут«.
Давньогрецький учений Евклід у своїй видатній праці
«Основи» зібрав і узагальнив багаторічний науковий
досвід
Головним здобутком Евкліда було те
що він
запропонував і розвинув аксіоматичний підхід до побудо
ви курсу геометрії
Цей підхід полягає в тому
що спо
чатку формулюються основні положення (аксіоми)
а
потім на їх основі за допомогою логічних міркувань дово
дять інші твердження (теореми)
Такий підхід до по
­
будови курсу геометрії використовують і досі
формулю
ючи деякі з аксіом Евкліда в більш сучасному вигляді
«Основи» згодом було перекладено на більшість євро
пейських мов
У 1880
р. видатний український ма
тематик
Михайло Єгорович Ващенко
Захарченко опуб
лікував
переклад «Основ», додавши пояснення інших питань гео
чевського).
Саму науку, викладену в «Основах», називають
Значний внесок у розвиток геометрії зробили й інші
давньогрецькі вчені
зокрема
(бл
287–212 рр. до
Аналіз системи аксіом
запропонованих Евклідом
три
вав не одне століття
Його на межі XIX і XX ст. завершив
ви
датний німецький математик Давид Гільберт (1862–
Він створив повну і несупе
речливу систему аксіом
що т«ке «ксІом«?
О«ведІть пр– кл«д– «ксІом.
що
т«ке теорем«; доведе’’я теорем–?
що т«ке оз’«че’’я?
М.Є. Вашдм—’­
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
СУМІжНІ
Два кути називають
суміжними
, якщо одна сторона в них
є спільною, а дві інші сторони цих кутів є доповняль ними
променями.
О« м«лю’ку
56 кут–
AOK
І
KOB
° сумІж’І, сторо’«
у
° спІль’«, «
є допов’яль’–м– проме’ям–.
У е о р е м « (вл«ст–вІсть сумІж’–ц кутІв).
Тум« сум№ж’–ц
кут№в дор№в’ює
180
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
AOK
І
KOB
° сумІж’І кут–
(м«л.
56). ОскІльк– проме’І
І
утворюють розгор’ут–—
кут, то
AOK
+
KOB
AOB
180
. Отже, сум« сумІж’–ц
кутІв дорІв’ює 180
. Уеорему доведе’о.
Увердже’’я, якІ в–пл–в«ють »езпосеред’ьо з «ксІом ч–
теорем, ’«з–в«ють
’«слідк«м–
. Розгля’емо ’«слІдк– з дове
де’ої теорем–.
О « с л І д о к
1.
Кут, сум№ж’–— з прям–м кутом, °
прям–—.
О « с л І д о к
2.
Кут, сум№ж’–— з гостр–м кутом, °
туп–—, кут сум№ж’–— з туп–м кутом,
° гостр–—.
Çàäà÷à
. З’«—
т– гр«дус’у мІру кож’ого Із сумІж’–ц кутІв,
якщо од–’ з ’–ц ’« 56
»Ільш–— з« друг–—.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. ∠ля зруч’остІ з«п–сІв поз’«ч–мо
ме’ш–— з д«’–ц кутІв °
, « »Ільш–— °
. Оец«—
тодІ
+
. ОскІльк–
+
180
(з« вл«ст–вІстю
сумІж’–ц кутІв), м«ємо рІв’я’’я:
+
+
180, звІдк–
. Отже, од–’ Із шук«’–ц кутІв дорІв’ює 62
, « друг–—
118
∈ І д п о в І д ь. 62
; 118
акІ кут– ’«з–в«ють сумІж’–м–?
Тформулю—те І до
Розділ 2
. (
Упм’
) О« як–ц з м«лю’кІв 57–60 кут–
І
є сумІж’–м–
?
Ч– можуть дв« сумІж’–ц кут– дорІв’юв«т–:
І 148
І 90
166
І 14
І 156
Ч– можуть дв« сумІж’–ц кут– дорІв’юв«т–:
І 167
5
І 165
І 179
І 89
З’«—
дІть кут, сумІж’–— з кутом:

113
З’«—
дІть кут, сумІж’–— з кутом:
127

О«креслІть з« допомогою тр«’спорт–р«
MON
Со»уду—те сумІж’–— з ’–м кут з« умов–, що
° їц спІль’«
сторо’«. О»ч–слІть —ого гр«дус’у мІру.
О«креслІть з« допомогою тр«’спорт–р«
APB
115
Со»уду—те сумІж’–— з ’–м кут з« умов–, що
° їц спІль’«
сторо’«. О»ч–слІть —ого гр«дус’у мІру.
СромІ’ь, що процод–ть мІж сторо’«м– кут«, дІл–ть —ого
’« кут–, що дорІв’юють 15
І 72
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«,
сумІж’ого з д«’–м.
ВІсектр–с« кут«
утворює з —ого сторо’ою кут, що
дорІв’ює 36
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«, як–— сумІж’–—
кутом
О«креслІть дв« сумІж’–ц кут– т«к, що» їц спІль’« сторо’«
»ул« верт–к«ль’ою, « гр«дус’І мІр–
° ’еод’«ков–м–.
О«креслІть дв« сумІж’–ц кут– рІз’ої гр«дус’ої мІр– т«к,
що» їц спІль’« сторо’« »ул« гор–зо’т«ль’ою.
. акщо сумІж’І кут– рІв’І, то во’– прямІ. ∠оведІть
це твердже’’я.
акщо кут– рІв’І, то — сумІж’І з ’–м– кут– рІв’І. ∠ове
дІть
це твердже’’я.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо од–’ з ’–ц ’« 18
ме’ш–—
вІд І’шого.
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо од–’ з ’–ц утр–чІ »Ільш–—
з« І’ш–—.
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо од–’ з ’–ц скл«д«є
вІд
І’шого.
∠«’о туп–— кут
І гостр–— кут
, гр«дус’І мІр– як–ц
вІд’осяться як 4
:
3. З’«—
дІть гр«дус’І мІр– ц–ц кутІв, якщо
кут, сумІж’–— з од’–м з ’–ц, дорІв’ює 80
З’«—
дІть кут мІж »Ісектр–с«м– сумІж’–ц кутІв.
∠в« кут– вІд’осяться як 1 : 2, « сумІж’І з ’–м– ° як
7 : 5. З’«— дІть д«’І кут–.
100
Од–’ з двоц д«’–ц кутІв ’« 20
»Ільш–— з« друг–—,
« сумІж’І з ’–м– вІд’осяться як 5 : 6. З’«— дІть д«’І кут–.
101
Од–’ Із сумІж’–ц кутІв удвІчІ »Ільш–— з« рІз’–цю ц–ц
кутІв. З’«— дІть цІ кут–.
102
. О«креслІть кут, гр«дус’« мІр« якого дорІв’ює:
; 2)
119
103
Уочк–
І
леж«ть ’« од’І— прямІ—;
2,7
см,
3,6 см. Ч– може вІдст«’ь мІж точк«м–
дорІв’юв«т–:
0,8 см;
0,9 см;
1 см;
6,1 см;
6,3 см;
6,5 см?
104
Àíàãðàìè
. Ф цІ— з«д«чІ тре»« розш–фрув«т– кож­
’–— з«п–с, перест«в–вш– »укв– в ’ьому т«к, що» отр–
м«т– вІдоме слово. У«кІ перест«’овк– ’«з–в«ють «’«гр«м«м–.
О«пр–кл«д, розв’яз«т– «’«гр«му ∈∠АКУАР оз’«ч«є з’«—т–
слово, скл«де’е з д«’–ц »укв, ° це К∈А∠РАУ.
Розв’яжІть «’«гр«м–:
УФК;
2)
АРаМС;
КМеі∈∠;
МОРУеіа∉е.
ВЕРТИКАЛьНІ КУТИ
КУТ МІж ДВОМА ПРЯМИМИ
ЩО ПЕРЕТИНАюТьСЯ
Два кути називають
вертикальними
, якщо сторони одно­
го з них є доповняльними променями сторін другого.
О« м«лю’ку 61 прямІ
І
перет–’«ються в точцІ
Кут–
AKC
І
DKB
° верт–к«ль’І, кут–
AKD
І
CKB
теж верт–
к«ль’І.
ВЕРТИКАЛьНІ КУТИ
ОМА ПРЯМИМИ
ЩО ПЕРЕТИНАюТьСЯ
Розділ 2
У е о р е м
« (вл«ст–вІсть верт–к«ль’–ц кутІв).
∈ерт–к«ль’№
кут– р№в’№.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«—
AKC
І
DKB
° верт–к«ль’І кут– (м«л.
61).
ОскІльк– кут–
AKC
І
AKD
сумІж’І, то
AKC
+
AKD
180
У«кож сумІж’І кут–
AKD
І
DKB
, тому
AKD
+
DKB
180
М«ємо:
AKC
180
AKD
DKB
180
AKD
Ср«вІ ч«ст–’– ц–ц рІв’осте— рІв’І, тому рІв’–м– є І лІвІ їц
ч«ст–’–. Отже,
AKC
DKB
. Уеорему доведе’о.
Çàäà÷à
. ∠в« Із чот–рьоц кутІв, що утвор–л–ся пр– пере
т–’І двоц прям–ц, вІд’осяться як 4
:
5. З’«—
т– гр«дус’у мІру
кож’ого з кутІв, що утвор–л–ся.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Кож’І дв« кут–, якІ утвор–л–ся в ре
зульт«тІ
перет–’у двоц прям–ц, є «»о сумІж’–м–, «»о верт–к«ль’–м–
(м«л.
62). ОскІльк– верт–к«ль’І кут– рІв’І:
AKD
CKB
AKC
BKD
, то в з«д«чІ —деться про сумІж’І кут–. О«пр–
кл«д
AKD
І
AKC
. З« умовою
AKD
AKC
4 : 5, тому
можемо ввест– поз’«че’’я:
AKD
4
AKC
5
. ОскІльк–
AKD
+
AKC
180
, м«ємо рІв’я’’я: 4
+ 5
180
, звІдк–
. УодІ
AKD
4
AKC
5
100
. ∠«лІ:
CKB
AKD
BKD
AKC
100
∈ І д п о в І д ь. 80
, 100
, 100
Кутом між прямими, що перетинаються
, називають
ший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих.
О«пр–кл«д, кут мІж прям–м–
І
з поперед’ьої з«д«чІ
дорІв’ює 80
. Кут мІж прям–м– ’е може перев–щув«т– 90
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
акІ кут– ’«з–в«ють верт–к«ль’–м–?
аку вл«ст–вІсть
ють верт–к«ль’І кут–?
ак–— кут ’«з–в«ють кутом
105
Упм’
) О«звІть п«р– верт–к«ль’–ц кутІв ’« м«лю’ку
63.
106
Упм’
) Ч– є ’« м«лю’ку 64 верт–к«ль’І кут–?
107
Од–’ з верт–к«ль’–ц кутІв дорІв’ює: 1)
; 2)
129
. З’«—
дІть друг–— кут.
108
Од–’ з верт–к«ль’–ц кутІв дорІв’ює: 1)
; 2)
139
. З’«—
дІть друг–— кут.
109
О« м«лю’ку
65 прямІ
І
перет–’«ються в
точцІ
. З’«— дІть усІ п«р– верт–к«ль’–ц кутІв.
110
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц,
дорІв’ює 40
. З’«— дІть І’шІ кут–.
О« м«лю’ку
66
AML
120
. З’«—
дІть
AMP
PMB
І
BML
112
. (
Упм’
) Фче’ь ’«кресл–в двІ прямІ, що перет–’«ються, т«
в–мІрявш– тр«’спорт–ром од–’ з кутІв, якІ пр– цьому утво
р–л–ся, отр–м«в 130
. Ч– може вІ’ стверджув«т–, що кут мІж
прям–м– дорІв’ює 130
? ∈ІдповІдь пояс’Іть.
113
СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
(м«л.
67).
POB
118
. З’«— дІть кут мІж прям–м–
114
О«креслІть двІ прямІ, що перет–’«ються, т« з’«—дІть з«
допомогою тр«’спорт–р« кут мІж ’–м–.
115
О«креслІть кут
MON
, що дорІв’ює 110
. Со»уду—те допов
’яль’І проме’І
І
до —ого сторІ’
І
вІдповІд’о.
Розділ 2
О»ч–слІть гр«дус’І мІр– трьоц ’ерозгор’ут–ц кутІв, що утво
р–л–ся, І порІв’я—те з результ«т«м– в–мІрюв«’’я.
116
О«креслІть кут
AOB
, що дорІв’ює 30
. Со»уду—те допов
’яль’І проме’І
І
до —ого сторІ’
І
вІдповІд’о.
О»ч–слІть гр«дус’І мІр– трьоц ’ерозгор’ут–ц кутІв, що утво
р–л–ся, І порІв’я—те з результ«т«м– в–мІрюв«’’я.
117
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з кутІв, якІ утвор–л–ся
пр– перет–’І двоц прям–ц, якщо:
118
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з кутІв, якІ утвор–л–ся
пр– перет–’І двоц прям–ц, якщо:
119
З’«—
дІть кут мІж прям–м–, що перет–’«ються, якщо:
120
З’«—
дІть кут мІж прям–м–, що перет–’«ються, якщо
од–’ з кутІв, що утвор–л–ся, удвІчІ ме’ш–— вІд І’шого.
121
О« м«л.
68 прямІ
І
перет–’«ються в точцІ
BMC
LMP
. З’«—
дІть
AMK
122
О« м«л.
68 прямІ
І
перет–’«ються в точцІ
CMP
105
KML
. З’«—
дІть
AMB
123
О« м«лю’ку 69 зо»р«же’о тр– прямІ, що перет–’«ються
в од’І— точцІ. З’«— дІть суму кутІв
124
∠оведІть, що »Ісектр–с– верт–к«ль’–ц кутІв є допов’яль
’–м– проме’ям–.
125
. О« прямІ— послІдов’о поз’«че’о 10 точок т«к, що
вІдст«’ь мІж »удь­
як–м– двом« сусІд’Ім– точк«м–
дорІв’ює 2
см. З’«—
дІть вІдст«’ь мІж двом« кр«—’Ім–
точ
к«м–.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
126
∈Ідомо, що
ABC
, «
CBD
. Ч– може
гр«дус’« мІр« кут«
ABD
дорІв’юв«т–:
; 2)
; 3)
; 5)
; 6)
100
127
. О« м«лю’ку 70 фІгуру скл«де’о
з восьм– сІр’–кІв.
ТкІльк– кв«др«тІв пр– цьому утвор–
2) ак пр–»р«т– дв« сІр’–к– т«к, що» з«л–
∠ом«ш’я с«мост№—’« ро»от« № 1 (§ 1°§ 6)
К’емд жа»гаммь лаі ц’сзрз »аріамсз »іго’»ігі
пдрдг
ь—зф кзчд ’гзм і ора»зкьмзл. О«дрісь ора»зкьмз– »аріамс
. ак« з точок ’« м«лю’ку 71 ’«леж–ть як прямІ—
, т«к І
прямІ—
. ак–— Із з«пропо’ов«’–ц кутІв є туп–м?
129
180
. С«р« сумІж’–ц кутІв може дорІв’юв«т–...
18
І 172
І 153
25
І 145
47
І 134
. СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
AOB
. З’«—
дІть
гр«дус’у мІру кут«
AOB
, якщо
AOP
20
POB
50
30
110
’еможл–во в–з’«ч–т–.
. Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
. З’«—
дІть
, якщо
5
см,
8 см.
13 см;
9 см;
4 см;
3 см.
. Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц,
дорІв’ює 160
. З’«— дІть кут мІж прям–м–.
160
100
80
20
Розділ 2
. ∈Ідомо, що
4 см,
7 см,
3 см. Фк«жІть вз«єм’е
розт«шув«’’я точок
точк«
леж–ть мІж точк«м–
точк«
леж–ть мІж точк«м–
точк«
леж–ть мІж точк«м–
жод’« з точок ’е леж–ть мІж двом« І’ш–м–.
. СромІ’ь
є »Ісектр–сою кут«
COB
COB
70
(м«л.
72). З’«—
дІть
AOK
110
135
145
155
. Од–’ Із сумІж’–ц кутІв удвІчІ
ме’ш–— з« друг–—. З’«—
дІть »Ільш–—
Із ц–ц кутІв.
60
100
120
. О« площ–’І поз’«че’о п’ять точок т«к, що жод’І тр– з ’–ц
’е леж«ть ’« од’І— прямІ—. ТкІльк– рІз’–ц прям–ц, кож’« з
як–ц процод–ть через деякІ двІ з д«’–ц точок, мож’« провест–?
5;
10;
15.
. Розгор’ут–— кут
MON
подІле’о проме’ям–
І
’« тр–
кут–.
MOA
120
110
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру
кут«
AOB
50
70
80
. ∠«’о дв« кут–, гр«дус’І мІр– як–ц вІд’осяться як 1 :
2.
РІз’–ця кутІв, сумІж’–ц з ’–м–, дорІв’ює 70
. З’«—
дІть
»Ільш–— з д«’–ц кутІв.
70
110
140
З«вд«’’я для перевірк– з’«’ь № 1 (§
1°§
О«звІть точк–, що ’«леж«ть пря­
, т« точк–, що ї— ’е ’«леж«ть
(м«л.
73). Зро»Іть вІдповІд’І з«п–с–.
. ак–— з д«’–ц кутІв гостр–—,
туп–—, прям–—, розгор’ут–—:
. З« м«лю’ком 74 ’«звІть п«р– вер
т–к«ль’–ц кутІв.
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
З’«—
дІть довж–’у вІдрІзк«
, якщо
7,2 см,
3,4
см.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
З« допомогою тр«’спорт–р« ’«креслІть кут, гр«дус’« мІр«
якого дорІв’ює 70
, т« проведІть —ого »Ісектр–су.
. СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
AOC
132
З’«—
дІть кут мІж прям–м–
Уочк–
І
’«леж«ть вІдрІзку
, довж–’« якого дорІв’ює
30 см. З’«—
дІть довж–’у вІдрІзк«
, якщо
см,
см.
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо од–’ з ’–ц ’« 12
ме’ш–— вІд
другого.
Уочк–
І
леж«ть ’« од’І— прямІ—. З’«— дІть довж–’у
вІдрІзк«
, якщо
9,3
см,
3,7
см. ТкІльк– розв’язкІв
м«є з«д«ч«?
∉’гас—’»і »ора»з
ак–— кут утворює »Ісектр–с« кут« 48
з проме’ем, що є
допов’яль’–м до од’Ієї з —ого сторІ’?
. ∠в« кут– вІд’осяться як 1 : 3, « сумІж’І з ’–м– ° як
7 : 3. З’«— дІть д«’І кут–.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ
ПЕРПЕНДИКУЛЯР
ВІДСТАНь ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ
Оец«— пр–
перет–’І двоц прям–ц
І
од–’ з кутІв, що
утвор–л–ся, є прям–м, ’«пр–кл«д
90
(м«л.
75).
° верт–к«ль’І, тому
90

І

сумІж’І, тому


180


180

° верт–к«ль’І, тому
Отже, якщо од–’ Із чот–рьоц кутІв, що утвор–л–ся пр–
перет–’І двоц прям–ц, дорІв’ює 90
, то решт« кутІв т«кож
прямІ. Ф т«кому в–п«дку к«жуть, що прямІ перет–’«ються
пІд прям–м кутом, «»о що во’– перпе’д–куляр’І.
Дві прямі називають
перпендикулярними
, якщо вони
пе ретинаються під прямим кутом.
О« м«лю’ку
75 прямІ
І
перпе’д–ку
ляр’І. Серпе’д–
куляр’Ість прям–ц мож’«
з«п–с«т– з« допомогою з’«к«
.
З«п–с
ч–т«ють т«к: «прям«
перпе’д–ку
ляр’« до прямої
∠ля по»удов– перпе’д–куляр’–ц
пря м–ц в–кор–стовують креслярськ–—
ЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ
ЕРПЕНДИКУЛЯР
ВІДСТАНь
ІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ
Розділ 2
кос–’ець. О« м«лю’ку
76 через точку
, як« ’е ’«леж–ть
прямІ—
, проведе’о пряму
, перпе’
д–куляр’у до прямої
О« м«лю’ку 77 точк«
’«леж–ть прямІ—
, І через ’еї перпе’
д–куляр’о до прямої
проведе’о пряму
. ∈ о»оц в–п«дк«ц
по»удов«’о єд–’у пряму, як« процод–ть через з«д«’у точку І є
перпе’д–куляр’ою до прямої
Отже,
через будь­яку точку площини можна провести лише одну
пряму, перпендикулярну до даної прямої.
Çàäà÷à
. СрямІ
І
перет–’«
ються в точцІ
, пр–чому
(м«л.
78).
З’«—
т–
AOK
, якщо
COL
160
Р о з в ’ я з « ’ ’
я. 1)
ОскІльк–
то
COB
90
BOL
COL
COB
160
– 90
AOK
BOL
(як верт–к«ль’І), тому
AOK
70
∈ І д п о в І д ь. 70
Вігріж—з
«»о
ор’лдмі
’«з–в«ють
ïåð
пе’д–куляр’–м–
, якщо во’– леж«ть ’«
перпе’д–куляр’–ц прям–ц. О«пр–кл«д,
’« м«
лю’
79 вІдрІзок
перпе’д–ку
ляр’–— до вІдрІзк«
, ’« м«лю’ку
80
промІ’ь
перпе’д–куляр’–— до вІдрІзк«
, « ’« м«лю’ку
81 промІ’ь
перпе’
д–куляр’–— до проме’я
. ∠ля з«п–су
перпе’д–куляр’остІ вІдрІзкІв І проме’Ів
т«кож в–кор–стовують з’«к
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Перпендикуляром до прямої
, проведеним з даної точки,
називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної,
один з кінців якого — дана точка, а другий — точка пе
ретину прямих. Довжину цього відрізка називають
відстанню від точки до прямої
О« м«лю’ку
82 з точк–
проведе’о перпе’д–куляр
до
прямої
. Уочк«
°
ос’ов« перпе’д–куляр«
, « довж–’« вІд
рІзк«
° вІдст«’ь вІд точк–
до прямої
акІ прямІ ’«з–в«ють перпе’д–куляр’–м–?
ак по»у
дув«т– пряму, перпе’д–куляр’у до д«’ої прямої?
що
’«з–в«ють перпе’д–куляром до прямої, проведе’–м з
д«’ої точк–?
що ’«з–в«ють вІдст«’’ю вІд точк– до
128
О« як–ц з м«лю’кІв
83–86 зо»р«же’о перпе’д–куляр’І
прямІ? Ф р«зІ потре»– в–кор–ст«—те кос–’ець. ∈–ко’«—те вІд
повІд’І з«п–с–.
129
О«креслІть пряму
т« поз’«чте точку
, що ї— ’«леж–ть,
І точку
, що ї— ’е ’«леж–ть. Сро
ведІть з« допомогою кос–’ця
прямІ через точк–
І
т«к, що» во’– »ул– перпе’д–куляр
’–м– до прямої
Розділ 2
130
Сере’есІть м«лю’к–
87 І 88 у зош–т т« для кож’ого
в–п«дку з« допомогою кос–’ця проведІть пряму
, що
процо
д–ть через точку
перпе’д–куляр’о до прямої
131
О« м«лю’ку 89 прямІ
І
перпе’д–куляр’І. Ч– перпе’
д–куляр’І:
132
О« м«лю’ку 89 прямІ
І
пер
пе’д–куляр’І. Ч– перпе’д–куляр’І:
133
О«креслІть пряму
, поз’«чте точку
, що з’«цод–ться
’« вІдст«’І 2,5 см вІд прямої
, т« точку
, що з’«цод–ться ’«
вІдст«’І 4 см вІд прямої
134
СроведІть пряму
, поз’«чте точку
, що з’«цод–ться
’« вІдст«’І 3
см вІд прямої
, т« точку
, що з’«цод–ться ’«
вІдст«’І 1,5 см вІд прямої
135
О«креслІть вІдрІзк–
І
т«к, що» во’– »ул– перпе’
д–куляр’–м– т« ’е перет–’«л–ся.
136
О«креслІть проме’І
І
т«к, що» во’– »ул– перпе’
д–куляр’–м– т« перет–’«л–ся.
137
СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
(м«л. 90).
Ч– є перпе’д–куляр’–м– прямІ
, якщо
138
СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
(м«л. 90).
Ч– є перпе’д–куляр’–м– прямІ
, якщо
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
139
. (
Упм’
) Ч– є пр«в–ль’–м оз’«че’’я: «Серпе’д–куляр до
прямої
° це »удь­
як–— вІдрІзок, перпе’д–куляр’–— до д«’ої
прямої»? Чому?
140
СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
, пр–чому
(м«л.
91). З’«—
дІть:
141
СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
, пр–чому
(м«л.
92). З’«—
дІть:
142
Кут–
ABC
І
CBM
прямІ. ∠оведІть, що точк–
І
леж«ть ’« од’І— прямІ—.
143
∠в« сумІж’–ц кут–, що утвор–л–ся в результ«тІ пере
т–’у двоц прям–ц, рІв’І мІж со»ою. ∠оведІть, що це перпе’
д–куляр’І прямІ.
144
(м«л. 93),
EON
110
. З’«—
дІть
CON
, якщо
AOE
145
(м«л. 93),
CON
135
AOE
. З’«—
дІть
EOD
146
О« м«лю’ку
94
AOB
COD
BOC
DOE
. ∠ове
дІть, що
Розділ 2
147
∠оведІть, що промІ’ь, проведе’–— через верш–’у кут«
перпе’д–куляр’о до —ого »Ісектр–с–, є »Ісектр–сою кут«,
сумІж’ого з д«’–м.
148
Сроме’І
І
є »Ісектр–с«м– кутІв
AOB
І
BOC
вІд
повІд’о, пр–чому
. ∠оведІть, що кут–
AOB
І
BOC
°
сумІж’І.
149
. О« прямІ— послІдов’о поз’«че’о точк–
І
З’«—
дІть:
150
З’«—
дІть сумІж’І кут–, рІз’–ця як–ц дорІв’ює 36
151
. Сер–метр прямокут’–к« дорІв’ює 32 см, « довж–’«
кож’ої з —ого сторІ’ є цІл–м ч–слом с«’т–метрІв. Ч–
може площ« прямокут’–к« дорІв’юв«т–:




ПАРАЛЕЛьНІ
ПРЯМІ
∠вІ прямІ ’« площ–’І можуть м«т– спІль’у точку (пере
т–’«т–ся) «»о ’е м«т– спІль’–ц точок (’е перет–’«т–ся).
Дві прямі на площині називають
паралельними
, якщо
вони не перетинаються.
О« м«л
ю’ку
95 прямІ
І
п«р«лель’І. С«р«лель’Ість
прям–ц з«п–сують з« допомогою з’«к« |
|. З«п–с
|
ч–т«ють
т«к: «прям«
п«р«лель’« прямІ—
О«вколо ’«с є »«г«то пр–кл«дІв п«р«лель’–ц прям–ц: прямо
лІ’І—’І дІля’к– шляцу з«лІз’–цІ, гор–зо’т«ль’І ч– верт–к«ль’І
прямІ зош–т« в клІт–’ку, прот–леж’І сторо’– р«м– тощо.
∠ля по»удов– п«р«лель’–ц прям–ц в–кор–стовують кресляр
ськ–— кос–’ець І лІ’І—ку. О« м«л.
96 пок«з«’о, як через точку
, як« ’е ’«леж–ть пр
ямІ—
, проведе’о пряму
, п«р«лель’у
прямІ—
АРАЛЕЛьНІ
АРАЛЕЛьНІ
ПРЯМІ
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Зд«в’« Іст–’’ою вв«ж«ють т«ку «ксІому, що в–р«ж«є
м’»мт »капсз»іпсь оаракдкьмзф орьлзф
VIII. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна про­
вести тільки одну пряму, паралельну даній.
Цю «ксІому ’«з–в«ють
а—пі’л’ю оаракдкьм’псі орьлзф
, «»о
а—пі’л’ю ∠»—кіга
. Т«ме вІ’ перш–— її з«пропо’ув«в як п’ят–—
постул«т. (
О’псткас
° пр–пуще’’я, в–цІд’е положе’’я, яке
пр–—м«ють »ез доведе’’я; «ксІом«.)
Вігріж—з
«»о
ор’лдмі
’«з–в«ють
ïàðàëåëüíèìè
, якщо
во’– леж«ть ’« п«р«лель’–ц прям–ц. О« м«лю’ку
97 вІдрІзок
п«р«лель’–— вІдрІзку
, ’« м«лю’ку 98 вІдрІзок
п«р«лель’–— проме’ю
, « ’« м«лю’ку 99 промІ’ь
п«р«
лель’–— проме’ю
. ∠ля з«п–су п«р«лель’остІ вІдрІзкІв І
проме’Ів т«кож в–кор–стовують з’«к |
Çàäà
. ∠оведІть, що кол– прям« перет–’«є од’у з двоц
п«р«лель’–ц прям–ц, то во’« перет–’«є І другу пряму.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
І
°
п«р«лель’І прямІ І прям«
перет–’«є
пряму
в точцІ
(м«л.
100).
Ср–пуст–мо, що прям«
’е пере
т–’«є пряму
, то»то
||
. Отже,
через точку
процодять двІ прямІ
Розділ 2
, І о»–двІ п«р«лель’І прямІ—
. Це
супереч–ть «ксІомІ п«р«
лель’остІ прям–ц.
Отже, ’«ше пр–пуще’’я є ц–»’–м, з’«ч–ть пр«в–ль’–м є
те, що прям«
перет–’«є пряму
. Увердже’’я дове
де’о.
З«ув«ж–мо, що спосІ» мІркув«’’я, як–м м– довел– твер
дже’’я поперед’ьої з«д«чІ, ’«з–в«ють
г’»дгдммьл »іг птор’
сз»м’в’
. що» довест–, що прямІ
І
перет–’«ються, м– пр–
пуст–л– прот–леж’е, то»то що
І
’е перет–’«ються. Ф про
цесІ мІркув«’ь, в–цодяч– Із цього пр–пуще’’я, м– пр–—шл–
до прот–рІччя з «ксІомою п«р«лель’остІ прям–ц. Це оз’«ч«є,
що ’«ше пр–пуще’’я »уло ц–»’–м, отже, пр«в–ль’–м є про
т–леж’е до ’ього пр–пуще’’я, то»то що прям«
перет–’«є
пряму
Туть доведе’’я вІд супрот–в’ого поляг«є в тому, що ’«
поч«тку доведе’’я пр–пуск«ється Іст–’’Ість твердже’’я,
прот–леж’ого тому, що тре»« довест–. ∠оведе’’я (мІркув«’’я)
’« ос’овІ цього пр–пуще’’я пр–звод–ть до в–с’овку, як–—
супереч–ть «»о умовІ теорем– (з«д«чІ) «»о деякому з Іст–’’–ц
твердже’ь («ксІомІ, теоремІ тощо), що оз’«ч«т–ме, що пр–
пуще’’я, прот–леж’е тому, що тре»« »уло довест–, є ц–»’–м.
Отже, Іст–’’–м є те, що — тре»« »уло довест–.
Протягом понад двох тисячоліть вчені намагалися
довести п’ятий постулат Евкліда
що, по суті, є ак
сіомою
паралельності прямих
На початку XIX ст
три видатних
учених
росіянин М
Лобачевський
німець К
Гаусс
(1777–1855) та угорець Я
Больяй (1802–1860)
незалежно
один від одного
прийшли до висновку
що довести п’ятий
постулат Евкліда неможливо
оскільки він є очевидним,
Микола Іванович Лобачевський пішов далі
і, замі нивши
аксіому паралельності на таку
«через точку поза даною
прямою можна провести щонайменше дві прямі
паралель
ні даній», побудував нову геометрію
— не
евклідову
Її
акІ прямІ ’«з–в«ють п«р«лель’–м–?
акІ І’струме’т–
в–кор–стовують для по»удов– п«р«лель’–ц прям–ц?
Тформулю—те «ксІому п«р«лель’остІ прям–ц.
М.І. К’«ацд»пь—з–
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
152
З«п–шІть з в–кор–ст«’’ям с–мволІв:
153
О« як–ц з м«лю’кІв 101–104 зо»р«же’о п«р«лель’І прямІ?
М«л. 101М«л. 102М«л. 103М«л. 104
154
Фк«жІть п«р– п«р«лель’–ц прям–ц ’« м«лю’ку
105.
155
∠«’о пряму
І точку
, що ї— ’е ’«леж–ть (м«л.
106).
ТкІльк– мож’« провест– через точку
прям–ц, п«р«лель’–ц
прямІ—
2) ТкІльк– вз«г«лІ мож’« провест– прям–ц, п«р«лель’–ц пря
156
СроведІть пряму
І поз’«чте точку
, що ї— ’е ’«ле
ж–ть. З« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– через точку
проведІть
пряму, п«р«лель’у прямІ—
157
Соз’«чте точку
І проведІть пряму
, що ’е процод–ть
через цю точку. З« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– через точку
проведІть пряму, п«р«лель’у прямІ—
158
О«креслІть вІдрІзк–
І
т« промІ’ь
т«к, що» вІд
рІзок
»ув п«р«лель’–— проме’ю
І перпе’д–куляр’–—
до вІдрІзк«
159
О«креслІть проме’І
І
т« вІдрІзок
т«к, що» про
мІ’ь
»ув п«р«лель’–— проме’ю
І перпе’д–куляр’–—
до вІдрІзк«
Розділ 2
160
О«креслІть кут
ABC
, як–— дорІв’ює 120
, т« поз’«чте
точку
, що леж–ть у в’утрІш’І— о»л«стІ цього кут«.
Через точку
з« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– проведІть
пряму
, п«р«лель’у проме’ю
, т« пряму
, п«р«лель’у
проме’ю
∈–кор–стовуюч– тр«’спорт–р, з’«—дІть кут мІж прям–м–
Зро»Іть в–с’овк–.
161
О«креслІть кут
MNL
, як–— дорІв’ює 50
, т« поз’«чте
точку
, що ’«леж–ть в’утрІш’І— о»л«стІ цього кут«.
Через точку
з« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– проведІть
пряму
, п«р«лель’у проме’ю
, т« пряму
, п«р«лель’у
проме’ю
∈–кор–стовуюч– тр«’спорт–р, з’«—дІть кут мІж прям–м–
Зро»Іть в–с’овк–.
162
СрямІ
І
перет–’«ються. Срям«
п«р«лель’« прямІ—
∠оведІть, що прямІ
перет–’«ються.
163
СрямІ
І
п«р«лель’І. Срям«
’е перет–’«є пряму
∠оведІть, що прям«
’е перет–’«є пряму
164
СрямІ
І
(м«л.
107) перет–’«ються. Через точку
проведе’о пряму
, п«р«лель’у пря­
мІ—
, « через точку
проведе’о
пряму
, п«р«лель’у прямІ—
ведІть, що прямІ
І
перет–’«
ються.
165
СрямІ
І
° п«р«лель’І, прямІ
І
т«кож п«р«лель’І. Срям«
пере
т–’«є пряму
. ∠оведІть, що прям«
перет–’«є прямІ
166
Соз’«чте ’« прямІ—
точк–
І
т« точку
як« ’е ’«леж–ть прямІ—
2) ∈–мІря—те вІдст«’І
І
т« порІв’я—те
з
+
3) Зро»Іть в–с’овк–.
167
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц
прям–ц, скл«д«є 25 % вІд І’шого. З’«— дІть кут мІж
прям–м–.
168
Ч– мож’« кв«др«т, довж–’« сторо’– якого дорІв’ює
2017 клІт–’ок, розрІз«т– ’« двІ рІв’І фІгур– т«к, що»
лІ’Ії розрІзІв процод–л– по сторо’«ц клІт–’ок?
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
УТВОРЕНІ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ
ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛьНОСТІ ПРЯМИХ
Срям«
з–в«ється
січ’ою
для прям–ц
І
, якщо во’« перет–’«є їц у двоц точк«ц
(м«л.
108).
Ср– перет–’І прям–ц
І
сІч’ою
утвор–лося вІсІм кутІв, поз’«че’–ц ’«
м«лю’ку
108. ∠еякІ п«р– ц–ц кутІв м«ють
спецІ«ль’І ’«
зв–:
внутрішні односторонні кути:
і
і
внутрішні різносторонні кути:
і
і
відповідні кути:
і
і
і
і
Ср–пуст–мо, що в з«д«чІ ’ео»цІд’о вст«’ов–т– п«р«лель
’Ість прям–ц. ∈–цодяч– з оз’«че’’я, це зро»–т– ’еможл–во,
оскІльк– для цього прямІ потрІ»’о продовж–т– до ’ескІ’че’
’остІ. Сроте вст«’ов–т–, п«р«лель’І прямІ ч– ’І, мож’«, в–ко
р–ст«вш– спецІ«ль’І теорем–, якІ ’«з–в«ють оз’«к«м–.
Оз’«к«
(у геометрІї)
° це теорем«, що вк«зує умов–, пр–
в–ко’«’’І як–ц мож’« стверджув«т– про пев’І вл«ст–востІ
фІгур, ’«леж’Ість їц до пев’ого кл«су тощо.
Розгля’емо
жма—з
п«р«лель’остІ прям–ц.
У е о р е м « (оз’«к« п«р«лель’остІ прям–ц).
акщо пр–
перет–’№ двоц прям–ц с№ч’ою в№дпов№д’№ кут– р№в’№, то прям№
п«р«лель’№.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«— пр– пере
т–’І прям–ц
І
сІч’ою
утво
р–л–ся рІв’І вІдповІд’І кут–
KMB
MND
(м«л.
109).
∠оведемо теорему методом вІд су
про
т–в’ого.
Ср–пуст–мо, що д«’І прямІ
І
’е п«р«лель’І, « перет–’«ються
в деякІ— точцІ
(м«л.
110). Ое змІ
’ююч– мІр– кут«
KMB
, пере’есемо —ого т«к, що» верш–’«
кут«
° точк«
° з»Ігл«ся з точкою
, промІ’ь
з»Ігся з
проме’ем
, «
промІ’ь
з«—’яв положе’’я проме’я
(м«л.
111). УодІ
MNF
KMF
. ОскІльк– промІ’ь
’е з»Іг«ється з
проме’ем
, »о
, то
MNF
MNF
Але ж »уло вст«’овле’о, що
MNF
MNF
ОХ ПРЯМИХ
ЗНАКИ ПАРАЛЕЛьНОСТІ ПРЯМИХ
Розділ 2
Ср–—шл– до
прот–рІччя, »о ’«ше пр–пуще’’я про те, що
прямІ
І
’е п«р«лель’І, »уло ц–»’–м. А з’«ч–ть, прямІ
п«р«лел
ь’І, що — тре»« »уло довест–.
О « с л І д о к
акщо пр– перет–’№ двоц прям–ц с№ч’ою
в’утр№ш’№ р№з’осторо’’№ кут– р№в’№, то прям№ п«р«лель’№.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«— пр– пере
т–’І прям–ц
І
сІч’ою
в’утрІш’І
рІз’осторо’’І кут– в–яв–л–ся рІв
’–м–, ’«пр–кл«д
(м«л.
112).
Але кут–
І
° верт–к«ль’І,
тому
. Отже,
. Кут–
І
° вІдповІд’І, тому з« оз’«кою
п«р«лель’остІ прям–ц м«ємо
О « с л І д о к
2.
акщо пр– перет–’№ двоц прям–ц с№ч’ою
сум« в’утр№ш’№ц од’осторо’’№ц кут№в дор№в’ює 180
, òî
прям№ п«р«лель’№.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«— пр– пере
т–’І прям–ц
І
сІч’ою
сум« в’у
трІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв дорІв’ює
180
, ’«пр–кл«д
+
180
(м«л.
113). Кут–
І
° сумІж’І, тому
180
із ц–ц двоц рІв’осте— в–пл–в«є,
що
. ЦІ кут– є вІдповІд’–м–,
« тому прямІ
І
β °
п«р«лель’І з«
оз’«кою п«р«лель’остІ прям–ц.
О « с л І д о к
3.
∠в№ прям№, перпе’д–куляр’№ до третьої
прямої, п«р«лель’№.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
О« м«лю’ку
114:
І
. ∈р«цовуюч– ’«слІдок 2,
м«ємо
З«ув«ж–мо, що ’«слІдк– 1–3 мож’« т«кож розгляд«т– як
оз’«к– п«р«лель’остІ прям–ц.
Çàäà÷à
. Ч– п«р«лель’І прямІ
’« м«лю’ку 115?
Р о з в ’ я з « ’ ’
BCD
ACK
(як верт–к«ль’І).
BCD
. ОскІльк– 27
+
153
180
, то сум« в’утрІш’Іц
од’осторо’’Іц кутІв
BCD
І
CDN
дорІв’ює 180
. Уому, з«
’«слІдком
2,
∈ І д п о в І д ь. У«к.
що т«ке сІч’«?
З« м«лю’ком 108 ’«звІть п«р– в’у
трІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв; в’утрІш’Іц рІз’осторо’’Іц
кутІв; вІдповІд’–ц кутІв.
Тформулю—те І доведІть
169
Упм’
) ак ’«з–в«ються кут–
’« м«лю’к«ц
116–118?
170
З«п–шІть, як ’«з–в«ються кут–
І
’« м«лю’к«ц
119–121.
Розділ 2
171
З«п–шІть усІ п«р– в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв; в’у
трІш’Іц рІз’осторо’’Іц кутІв; вІдповІд’–ц кутІв (м«л.
122).
172
З«п–шІть усІ п«р– в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв; в’у
трІш’Іц рІз’осторо’’Іц кутІв; вІдповІд’–ц кутІв (м«л.
123).
173
. (
Упм’
) Ч– п«р«лель’І прямІ
І
’« м«лю’ку
124?
Чому?
174
ак–м– є прямІ
І
(п«р«лель’–м– ч– т«к–м–, що пере
т–’«ються) ’« м«лю’к«ц 125–130?
175
О« м«лю’ку
131 поз’«че’о мІр– двоц кутІв, що утво­
р–л–ся пр– перет–’І прям–ц
І
сІч’ою
. О»ч–слІть мІр–
всІц І’ш–ц кутІв, що утвор–л–ся. Ч– п«р«лель’І прямІ
І
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
176
О« м«лю’ку
132 поз’«че’о мІр– двоц кутІв, що утво­
р–л–ся пр– перет–’І прям–ц
І
сІч’ою
. О»ч–слІть мІр–
всІц І’ш–ц кутІв, що утвор–л–ся. Ч– п«р«лель’І прямІ
177
∠опов’Іть м«лю’ок
133: проведІть пряму
т«к, що»
кут–
ABC
І
BCM
»ул– в’утрІш’Ім– рІз’осторо’’Ім– ку
т«м– для прям–ц
І
т« сІч’ої
. ак розмІстяться точк–
вІд’ос’о прямої
178
∠опов’Іть м«лю’ок
134: проведІть пряму
т«к, що»
кут–
AKN
І
KNP
»ул– в’утрІш’Ім– од’осторо’’Ім– кут«м–
для прям–ц
І
т« сІч’ої
. ак розмІстяться точк–
І
вІд’ос’о прямої
179
О« м«лю’ку 135 ук«жІть п«р«лель’І прямІ, якщо
118
180
О« м«лю’ку 135 ук«жІть п«р«лель’І прямІ, якщо
121
181
Через точку
з« допомогою двоц креслярськ–ц кос–’цІв
провел– пряму
(м«л.
136). Ч– п«р«лель’І прямІ
І
? ∈Ідпо
вІдь о»№ру’ту—те.
182
∈–мІря—те
ABC
(м«л.
137) І ’«крес
лІть —ого в зош–тІ.
Со»уду—те кут
, що дорІв’ює куту
3) О«звІть п«р«лель’І прямІ, якІ утвор–л–
Розділ 2
183
∈–мІря—те
MNP
(м«л.
138) І
’«креслІть —ого в зош–тІ.
, що дорІв’ює
О«звІть п«р«лель’І прямІ, якІ утво
р–л–ся. О»№ру’ту—те їц п«р«лель’Ість.
184
Срям«
перет–’«є пряму
у точцІ
, « пряму
° у точцІ
CAB
ABN
. Ч– п«р«лель’І прямІ
185
О« м«лю’ку
139
180
. ∠оведІть, що
| |
186
О« м«лю’ку
140
. ∠оведІть, що прямІ
| |
187
О« м«лю’ку
141
190
. З’«—
дІть:
188
О« м«лю’ку
141
160
. З’«—
дІть:
189
ABC
70
BCD
100
. Ч– можуть прямІ
І
»ут– п«р«лель’–м–? ∈ІдповІдь о»№ру’
ту—те.
190
MNP
60
NPK
120
. Ч– можуть прямІ
І
»ут– п«р«лель’–м–? ∈ІдповІдь о»№ру’
ту—те.
191
Кут мІж прям–м–
І
дорІв’ює куту мІж прям–м–
І
Ч– мож’« стверджув«т–, що прямІ
п«р«лель’І?
192
Срям«
є сІч’ою для прям–ц
І
. Чот–р– з восьм–
кутІв, що утвор–л–ся, дорІв’юють по 30
, « решт« чот–р– °
по 150
. Ч– мож’« стверджув«т–, що прямІ
п«р«лель’І?
193
° »Ісектр–с« кут«
KMN
°
»Ісектр–с« кут«
MKP
(м«л.
142).
MKF
+
FMK
. ∠оведІть, що
| |
194
СрямІ
І
перпе’д–куляр’І до
прямої
. Срям«
перет–’«є пряму
Ч– перет–’«ються прямІ
І
? ∈Ідпо
вІдь о»№ру’ту—те.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
195
О«креслІть кут
ABC
, як–— дорІв’ює 70
, т«
поз’«чте точку
, що ’«леж–ть проме’ю
2) Через точку
з« допомогою кос–’ця проведІть
, перпе’д–куляр’у до проме’я
, т« пряму
перпе’д–куляр’у до проме’я
3) Кор–стуюч–сь тр«’спорт–ром, з’«—дІть кут мІж пря
І
196
∈Ідомо, що
AOB
BOC
130
. З’«—
дІть
AOC
197
. Ч– мож’« тр–кут’–к розрІз«т– ’« ч«ст–’– т«к,
що» утвор–лося тр– чот–р–кут’–к–? акщо т«к, то
в–ко’«—те це.
10.
ВЛАСТИ
ВІСТь ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ
ВЛАСТИ
ВОСТІ КУТІВ
УТВОРЕНИХ ПРИ
ПЕРЕТИНІ ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ СІЧНОю
Розгля’емо вл«ст–вІсть п«р«лель’–ц прям–ц.
У е о р е м «
1 (вл«ст–вІсть п«р«лель’–ц прям–ц).
∠в№
прям№, п«р«лель’№ трет№— прям№—, п«р«лель’№ од’« од’№—.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«— прямІ
І
п«р«лель’І прямІ—
. ∠оведемо, що
| |
З«стосуємо доведе’’я вІд супро
т–в’ого. Ср–пуст–мо, що прямІ
І
’е п«р«лель’І, « перет–’«ються в
деякІ— точцІ
(м«л.
143). Отже, через
точку
процодять двІ прямІ
І
, що п«р«лель’І прямІ—
Це супереч–ть «ксІомІ п«р«лель’остІ прям–ц. Отже, ’«ше пр–
пуще’’я є ц–»’–м. Уому
|
|
. Уеорему доведе’о.
∠«лІ розгля’емо вл«ст–востІ кутІв, що утвор–л–ся пр–
перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою.
У е о р е м «
2 (вл«ст–вІсть вІдповІд’–ц кутІв, що утвор–
л–ся пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою).
∈№дпов№д’№
кут–, що утвор–л–ся пр– перет–’№ п«р«лель’–ц прям–ц
с№ч’ою, р№в’№.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«— п«р«лель’І
прямІ
І
перет–’«є сІч’«
(м«л.
144). ∠оведемо, що
NAB
ACD
Ср–пуст–мо, що
NAB
ACD
. Сро
ведемо пряму
т«к, що» в–ко’ув«л«ся
10.
ВЛАСТИ
ІСТь ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ
ІСТь ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ
ІСТь ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ
ВЛАСТИ
ОСТІ КУТІ
ПЕРЕТИНІ ПАРАЛЕЛьНИХ ПРЯМИХ СІЧНОю
Розділ 2
рІв’Ість
NAB
ACD
. З« оз’«кою п«р«лель’остІ пря
м–ц
прямІ
І
п«р«лель’І. Але ж з« умовою І
|
|
. Ср–
—шл– до того, що через точку
процодять двІ прямІ
І
п«р«лель’І прямІ—
, що супереч–ть «ксІомІ п«р«лель’остІ
прям–ц. Отже, ’«ше пр–пуще’’я є ц–»’–м І тому вІдповІд’І
кут–, утворе’І пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою,
рІв’І:
NAB
ACD
. Уеорему доведе’о.
Уеорем« про
вл«ст–вІсть вІдповІд’–ц кутІв, утворе’–ц пр–
перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, є
’«дрмдм’ю
до оз’«к–
п«р«лель’остІ прям–ц.
Сояс’–мо, як це слІд розумІт–. Кож’« теорем« мІст–ть
умову І в–с’овок. акщо помІ’ят– мІсцям– умову І в–с’овок
теорем–, то одерж–мо ’ове твердже’’я (пр«в–ль’е «»о
’епр«в–ль’е), умовою якого »уде в–с’овок д«’ої теорем–, «
в–с’ов
ком
° її умов«. акщо одерж«’е пр– цьому твердже’’я
є Іст–’’–м, —ого ’«з–в«ють теоремою, о»ер’е’ою до д«’ої, «
д«’у теорему ° прямою.
Ф теоремІ, як« в–р«ж«є оз’«ку п«р«лель’остІ прям–ц,
умовою є перш« ч«ст–’« твердже’’я: «пр– перет–’І двоц
прям–ц сІч’ою вІдповІд’І кут– рІв’І» (це д«’о), « в–с’ов
ком
°
друг« ч«ст–’«: «прямІ п«р«лель’І» (це тре»« довест–). В«ч–мо,
що ост«’’я розгля’ут« ’«м– теорем« І є о»ер’е’ою до оз’«к–
п«р«лель’остІ прям–ц. Фмов« цІєї теорем–: «прямІ п«р«лель’І»
(це д«’о), « в–с’овок
° «вІдповІд’І кут–, утворе’І пр– пере
т–’І прям–ц сІч’ою, рІв’І» (це тре»« довест–).
Ое для кож’ої теорем– »уде спр«ведл–вою І о»ер’е’« тео
рем«. О«пр–кл«д, для теорем– про вл«ст–вІсть верт–к«ль’–ц
кутІв ’е Іс’ує о»ер’е’ої, оскІльк– твердже’’я: «якщо дв«
кут– рІв’І, то во’– верт–к«ль’І»
° ’епр«в–ль’е.
Т–стем«т–зуємо
в–кл«де’е в–ще у т«»л–цІ.
Ч«ст–’«
твердже’’я
(теорем–)
Оз’«к« п«р«лель’остІ
прям–ц (
орьла сд’рдла
∈л«ст–вІсть вІдповІд’–ц
кутІв, утворе’–ц пр– пере
т–’І п«р«лель’–ц прям–ц
сІч’ою (
’«дрмдма сд’рдла
Фмов«
∈ІдповІд’І кут–, утворе’І
пр– перет–’І прям–ц сІч­
’ою, рІв’І
СрямІ п«р«лель’І
∈–с’овок
СрямІ п«р«лель’І
∈ІдповІд’І кут–, утво
ре’І пр– перет–’І пря­
м–ц сІч’ою, рІв’І
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Розгля’емо ’«слІдк– з теорем– 2.
О « с л І д о к
1 (вл«ст–вІсть в’утрІш’Іц рІз’осторо’’Іц
кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою).
∈’утр№ш’№ р№з’осторо’’№ кут–, утворе’№ пр– перет–’№ п«р«
лель’–ц прям–ц с№ч’ою, р№в’№.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«— п«р«лель’І прямІ
І
перет–’«є
сІч’«
(м«л.
145). ∠оведемо, що в’утрІш’І рІз’осторо’’І кут–,
’«пр–кл«д
, рІв’І.
ОскІльк–
|
|
, то вІдповІд’І кут–
І
рІв’І. Кут–
І
рІв’І, як верт–к«ль’І. З
рІв’осте—
І
в–пл–в«є, що
.
О « с л І д о к
2 (вл«ст–вІсть в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц
кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою).
Тум« в’утр№ш’№ц од’осторо’’№ц кут№в, утворе’–ц пр– пере
т–’№ п«р«лель’–ц прям–ц с№ч’ою, дор№в’ює 180
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«— п«р«лель’І прямІ
І
перет–’«є
сІч’«
(м«л.
146). ∠оведемо, що сум« в’утрІш’Іц од’осто
ро’’Іц кутІв, ’«пр–кл«д
, дорІв’ює 180
ОскІльк–
|
, то вІдповІд’І кут–
І
рІв’І. Кут–
І
° сумІж’І, тому
+
180
, «ле ж
. Уому
180
Уеорему 2 т« ’«слІдк– з ’еї т«кож мож’« розгляд«т– як
»капсз»’псі оаракдкьмзф орьлзф
Çàäà÷à
. З’«— дІть ’евІдом–— кут
з« м«лю’ком 147.
Р о з в ’ я з « ’ ’
я. ОскІльк– в’утрІш’І рІз’осторо’’І кут–,
утворе’І пр– перет–’І сІч’ою
прям–ц
І
, рІв’І (о»–дв« по
), то
|
|
. ∈ІдповІд’І кут–, утворе’І пр– перет–’І сІч’ою
п«р«лель’–ц прям–ц
, рІв’І. Уому
∈ І д п о в І д ь. 70
Розділ 2
Тформулю—те т« доведІть вл«ст–вІсть п«р«лель’–ц пря
Тформулю—те т« доведІть теорему про вл«ст–
вІсть вІдповІд’–ц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І
п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, т« ’«слІдк– з ’еї.
Сояс
198
Упм’
) О« м«лю’ку
148
||
° сІч’«.
199
О« м«лю’ку 148 прямІ
п«р«лель’І,
° сІч’«.
200
||
° сІч’« (м«л. 149). З’«—
дІть
201
||
° сІч’« (м«л. 150). З’«—
дІть
202
∉р«дус’« мІр« од’ого з кутІв, що утвор–л–ся пр– пере
т–’І двоц п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 140
. З’«—
дІть гр«дус’І мІр– решт– сем– кутІв.
203
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«
лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 50
. З’«—
дІть І’шІ сІм кутІв.
204
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«
лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 37
. Ч– може од–’ з решт–
сем– кутІв дорІв’юв«т–:
205
∠«’о п«р«лель’І прямІ
І
т« точку
, що ’е ’«леж–ть
жод’І— з прям–ц. Через точку
п«р«лель’о до прямої
про
веде’о пряму
. Ч– п«р«лель’І прямІ
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
206
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з двоц в’утрІш’Іц
рІз’осторо’’Іц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«
лель’–ц прям–ц сІч’ою, якщо їц сум« дорІв’ює 240
207
Тум« двоц вІдповІд’–ц кутІв, що утвор–л–ся пр– пере
т–’І двоц п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 108
. З’«—
дІть цІ кут–.
208
О« м«лю’ку
151
. ∠оведІть, що
+
180
209
О« м«лю’ку
152
+
180
. ∠оведІть, що
210
О« м«лю’ку
153
. ∠оведІть, що
211
О« м«лю’ку
154
. ∠оведІть, що
212
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з двоц в’утрІш’Іц
од’осторо’’Іц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«
лель’–ц прям–ц сІч’ою, якщо:
213
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з двоц в’утрІш’Іц
од’осторо’’Іц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«
лель’–ц прям–ц сІч’ою, якщо:
ме’ш–— з« друг–—;
:
Розділ 2
214
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«
’« кож’ому з м«
лю’
кІв
155–
157.
215
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут«
’« кож’ому з м«
лю’
кІв
158,
159.
216
СрямІ
І
’е п«р«лель’І прямІ—
. Ч– мож’« зро»–т–
в–с’овок, що прямІ
’е п«р«лель’І мІж со»ою?
217
Тум« гр«дус’–ц мІр трьоц з восьм– кутІв, що утвор–л–ся
пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 120
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– кож’ого з восьм– кутІв.
218
Тум« гр«дус’–ц мІр чот–рьоц з восьм– кутІв, що утвор–
л–ся пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 128
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– кож’ого з восьм– кутІв.
219
О« м«лю’ку
160
| |
. З’«—
дІть
CMA
220
О« м«лю’ку
161
| |
. З’«—
дІть
MKP
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
221
∠оведІть, що »Ісектр–с– п«р– в’утрІш’Іц рІз’осторо’’Іц
кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«лель’–ц прям–ц
сІч’ою, п«р«лель’І.
∠оведІть, що »Ісектр–с– п«р– вІдповІд’–ц кутІв, що
утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою,
п«р«лель’І.
223
. О«креслІть вІдрІзок
, промІ’ь
т« пряму
т«к, що» вІдрІзок
»ув перпе’д–куляр’–м до проме’я
, «ле ’е перет–’«в —ого, « промІ’ь
»ув п«р«
лель’–м прямІ—
224
Розв’яжІть з«д«чІ, умов– як–ц под«’о в т«»л–цІ, т«
з’«—дІть прІзв–ще в–д«т’ого укр«ї’ського п–сьме’’–к«.
Уочк«
’«леж–ть вІдрІзку
з«вдовжк– 16 см.
З’«—
дІть вІдрІзк–
AC
, якщо:
AC
»Ільш–— з«
’« 2 см
НА
AC
»Ільш–— з«
утр–чІ
ОФ
AC
КР
4 см6 см7 см9 см10 см12 см
225
. Ое вІдр–в«юч– олІвця вІд п«перу,
проведІть через дев’ять точок (м«л.
162)
чот–р– вІдрІзк–.
∠ом«ш’я с«мост№—’« ро»от« № 2 (§ 7°§ 10)
К’емд жа»гаммь лаі ц’сзрз »аріамсз »іго’»ігі
пдрдг
ь—зф кзчд ’гзм і ора»зкьмзл. О«дрісь ора»зкьмз– »аріамс
. О« якому з м«лю’кІв 163–166 зо»р«же’о перпе’д–куляр’І
прямІ?
м«л. 163;
м«л. 164;
м«л. 165;
м«л. 166.
Розділ 2
. Фк«жІть, ’« якому з м«лю’кІв 163–166 зо»р«же’о п«р«
лель’І прямІ:
м«л. 163;
м«л. 164;
м«л. 165;
м«л. 166.
ак ’«з–в«ють кут–
’« м«лю’
167?
в’утрІш’І од’осторо’’І;
вІдповІд’І;
верт–к«ль’І;
в’утрІш’І рІз’осторо’’І.
Фк«жІть, яке з ’«веде’–ц твердже’ь
пр«в–ль’–м:
перпе’д–куляр’І вІдрІзк– з«вжд– м«ють спІль’у точку;
перпе’д–куляр’І прямІ з«вжд– м«ють спІль’у точку;
перпе’д–куляр’І проме’І з«вжд– м«ють спІль’у точку;
перпе’д–куляр’І промІ’ь І вІдрІзок з«вжд– м«ють спІль’у
точку.
. О« якому з м«лю’кІв 168–171 прямІ
п«р«лель’І?
м«л. 168;
м«л. 169;
м«л. 170;
м«л. 171.
. Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«лель’–ц
прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 35
. акою може »ут– гр«дус’« мІр«
од’ого з І’ш–ц сем– кутІв?
50
105
145
55
.
СрямІ
І
перпе’д–куляр’І т« перет–’«ються в точцІ
Ф в’утрІш’І— о»л«стІ кут«
AOD
взято точку
т«к, що

MOD
. Срям«
процод–ть через точку
. З’«—
дІть гр«дус’у
мІру кут«
AON
20
110
160
. О« м«лю’ку 172
175
. З’«—
дІть
195
185
175
165
. З« м«лю’ком 173 з’«— дІть гр«дус’у мІру кут«
80
100
110
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
. О« м«лю’ку 174
AOC
BOD
COK
DOK
. З’«—
дІть, якщо це можл–во, гр«дус’у мІру кут«
AOK
з’«—т– ’еможл–во;
90
100
.
СрямІ
І
п«р«лель’І (м«л.
175).
УодІ
BPD
100
110
130
150
. Од–’ Із двоц д«’–ц кутІв ’« 60
»Ільш–— з« друг–—, « сумІж’І з ’–м–
кут– вІд’осяться як 5 :
8. З’«—
дІть
ме’ш–— Із д«’–ц кутІв.
60
40
20
З«вд«’’я для перевірк– з’«’ь № 2 (§
7°§
10)
. О« якому з м«лю’кІв 176–178 зо»р«же’о п«р«лель’І прямІ,
« ’« якому
° перпе’д–куляр’І? ∈–ко’«—те вІдповІд’І з«п–с–.
Розділ 2
. О«креслІть пряму
т« поз’«чте точку
, як« ї— ’е ’«ле
ж–ть. З« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– через точку
про
ведІть:
. З« м«лю’ком 179 ук«жІть, як ’«з–в«ють п«ру кутІв:
. СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
(м«л. 180). Ч–
перпе’д–куляр’І прямІ
, якщо
О«креслІть проме’І
І
т« вІдрІзок
т«к, що» про
мІ’ь
»ув п«р«лель’–— вІдрІзку
І перпе’д–куляр’–— до
проме’я
. Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«лель’–ц
прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 78
. З’«—
дІть гр«дус’І мІр– решт–
сем– кутІв.
. СрямІ
І
перет–’«ються в точцІ
, пр–чому
(м«л.
181). З’«—
дІть
AOK
, якщо
DOL
. З« м«лю’ком 182 з’«— дІть гр«дус’у мІру кут«
. О« м«лю’ку 183
| |
. З’«—
дІть
BKD
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
∉’гас—’»і »ора»з
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з двоц в’утрІш’Іц од’осто
ро’’Іц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«лель’–ц
прям–ц сІч’ою, якщо од–’ з ’–ц у 4 р«з– »Ільш–— з« друг–—.
. Срям«
є сІч’ою для прям–ц
І
. Чот–р– з восьм– кутІв,
що утвор–л–ся, дорІв’юють по 50
, « решт« ° по 130
. ×è
мож’« стверджув«т–, що прямІ
мІж со»ою п«р«лель’І ?
Вправи для повторення розділу 2
226
Теред кутІв, якІ зо»р«же’о ’« м«лю’к«ц
184–186, ук«
жІть тІ, що є сумІж’–м–.
227
Ч– мож’«, в–кор–стовуюч– л–ше олІвець т« лІ’І—ку,
по»удув«т– кут, сумІж’–— з д«’–м?
228
Кут
ABC
ме’ш–— вІд кут«
MNP
. Ф якого з кутІв »уде
»Ільш–м сумІж’–— кут? ∈ІдповІдь о»№ру’ту—те.
229
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо їц гр«дус’І мІр– вІд’о
сяться як 3 : 7.
230
Од–’ Із сумІж’–ц кутІв скл«д«є 20 % вІд І’шого. З’«—­
дІть цІ кут–.
231
Од–’ Із сумІж’–ц кутІв ’« 20 % ме’ш–— вІд І’шого.
З’«—
дІть цІ кут–.
232
ВІсектр–с« кут«
ABC
утворює зІ сторо’ою кут, удвІчІ
»Ільш–— з« кут, сумІж’–— з кутом
ABC
. З’«—
дІть
ABC
ак–— предмет дом«ш’ього вж–тку д«є уявле’’я про вер
т–к«ль’І кут–?
Розділ 2
234
Ч– є кут–
верт–к«ль’–м– (м«л. 187–191)?
235
Ч– є пр«в–ль’–м– твердже’’я:
2) якщо дв« кут– зІ спІль’ою верш–’ою рІв’І, то во’– верт–
3) для кож’ого кут«, ме’шого вІд розгор’утого, мож’« до»у
4) для кож’ого кут«, ме’шого вІд розгор’утого, мож’« до»у
236
Ср– перет–’І двоц прям–ц утвор–лося чот–р– кут–. Ч–
можуть деякІ дв« з ’–ц дорІв’юв«т–:
237
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц,
’« 48
»Ільш–— з« І’ш–—. З’«— дІть кут мІж прям–м–.
238
Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц,
дорІв’ює сумІ двоц сумІж’–ц з ’–м. З’«— дІть це— кут.
239
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого Із чот–рьоц кутІв, що
утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц, якщо сум« двоц Із ц–ц
кутІв:
240
З’«—
дІть кут мІж прям–м–, якІ перет–’«ються, якщо
од–’ з кутІв, що утвор–л–ся, у 8 р«зІв ме’ш–— вІд сум– трьоц
І’ш–ц кутІв.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
241
О«креслІть пряму
т« поз’«чте точку
, що ї— ’е ’«ле
ж–ть. З« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– проведІть з точк–
перпе’д–куляр до прямої
. ∈–мІря—те вІдст«’ь вІд точк–
до прямої
О«креслІть гостр–— кут
KAM
, поз’«чте ’« сторо’І
точку
. Со»уду—те з« допомогою кос–’ця І лІ’І—к– пря
му,
що процод–ть через точку
перпе’д–куляр’о до
243
О«креслІть промІ’ь
І вІдрІзок
т«к, що» во’– »ул–
перпе’д–куляр’–м– І ’е перет–’«л–ся.
244
О«звІть усІ п«р– перпе’д–куляр’–ц мІж со»ою вІдрІзкІв
’« м«лю’ку 192. ∈–ко’«—те вІдповІд’І з«п–с–.
О« м«лю’ку
193:
KOC
COL
246
Ч– можуть дв« гостр–ц кут– »ут– рІв’–м–, якщо в
’–ц од’« сторо’« спІль’«, « двІ І’шІ ° перпе’д–куляр’І мІж
со»ою?
247
ак, в–кор–стовуюч– ш«»ло’ кут« в 6
, по»удув«т– вз«
єм’о перпе’д–куляр’І прямІ?
248
∠оведІть, що кол– »Ісектр–с– кутІв
ABC
І
CBD
вз«єм’о
перпе’д–куляр’І, то точк–
леж«ть ’« од’І— прямІ—.
249
О«креслІть вІдрІзк–
І
т«к, що» во’– »ул– п«р«
лель’–м– мІж со»ою.
Розділ 2
250
О« м«лю’ку
194 зо»р«же’о двІ
прямІ
І
, що перет–’«ються, т«
точ
, що ’е ’«леж–ть жод’І— з ’–ц.
СроведІть через точку
прямІ, п«р«
лель’І прям–м
251
СрямІ
І
’е перет–’«ються.
Ч– мож’« стверджув«т–, що во’– мІж
со»ою п«р«лель’І?
2) ∈ІдрІзк–
І
’е перет–’«ються. Ч– мож’« стверджув«
3) Сроме’І
І
’е перет–’«ються. Ч– мож’« стверджу
252
∠«’о пряму
І точку
, що ї— ’е ’«леж–ть. Через точку
провел– двІ прямІ
І
. ак можуть розмІщув«т–ся цІ прямІ
вІд’ос’о прямої
? Розгля’ьте всІ в–п«дк– т« в–ко’«—те до
’–ц м«лю’к–.
253
СрямІ
І
° п«р«лель’І, « прямІ
І
° перет–’«ються.
Срям«
п«р«лель’« прямІ—
. ∠оведІть, що прям«
перет–’«є
пряму
І п«р«лель’« прямІ—
254
О«креслІть двІ прямІ т« їц сІч’у. Сро’умеру—те кут–,
що утвор–л–ся, ч–сл«м– вІд 1 до 8. акІ Із ц–ц кутІв »удуть
в’утрІш’Ім– од’осторо’’Ім–, якІ
° в’утрІш’Ім– рІз’осто
ро’’Ім–, « якІ
° вІдповІд’–м–?
255
Ч– є прямІ
п«р«лель’–м– ’« м«лю’к«ц
195–198?
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Ср– перет–’І прям–ц
І
сІч’ою
утвор–лося дв« рІв’–ц
гостр–ц кут–. Ч– мож’« стверджув«т–, що
| |
257
О« м«лю’ку
199
+
180
. Ч– є прямІ
п«р«лель’–м– мІж со»ою?
258
О« м«лю’ку
200 прямІ
І
° п«р«лель’І,
° сІч’«.
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– кутІв
259
∠«’о:
| |
| |
| |
. ∠оведІть, що
| |
260
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого з двоц в’утрІш’Іц од
’осторо’’Іц кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц п«р«­
лель’–ц прям–ц сІч’ою, якщо од–’ з ’–ц скл«д«є 80
% вІд
другого.
261
О« м«лю’ку
201
| |
| |
100
. З’«—
дІть гр«дус’І
мІр– кутІв
262
Од–’ з в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв, що утвор–л–ся
пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою, дорІв’ює 72
. З’«—
дІть кут мІж »Ісектр–с«м– в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц кутІв.
263
СрямІ
п«р«лель’І (м«л. 202). З’«—
дІть
MNB
Розділ 2
М–ц«—ло Кр«вчук ° в№дом–— у св№т№
— ’ез’«’–— в Фкр«ї’№
∈–слІв «Рукоп–с– ’е горять!», ’«
щ«стя, І’одІ спр«вджується… Ф селІ
Т«в«рк«, що ’« Вогусл«вщ–’І, ’« гор–щІ
ц«т–’–, у якІ— у 20­тІ рок– ЦЦ ст. меш
к«л– вч–телІ, через 80
рокІв в–п«дково
вІд’«—шл– мІшок, ’«пов’е’–— п«пе
р«м– — к’–жк«м–… СожовклІ зш–тк–
зош–тІв в–яв–л–ся ко’спект«м– уч–
телІв, якІ пр«цюв«л– в Т«в«рськІ— школІ
’« поч«тку м–’улого столІття. і серед
° рукоп–с’–— пІдруч’–к М–ц«—л«
Кр«вчук«!
«ркушІв густо сп–с«’ого зош–т«, ’« першІ— сторІ’цІ якого
’«п–с:
«∉еометр№я для сем–р№ч’–ц трудов–ц шк№л, 1920
р№к»
в–яв–
л–ся сторІ’к«м– ’еопу»лІков«’ого пІдруч’–к« ге’Ія укр«ї’ської
м«тем«т–к–!
М–ц«—ло С–л–пов–ч
Кр«вчук
(1892–
1942)
° ’«—в–з’«ч’Іш–— укр«ї’ськ–—
м«тем«т–к ЦЦ ст., всесвІт’ьо вІдом–—
уче’–—, пед«гог, гром«дськ–— дІяч,
дІ—с’–— чле’ ∈сеукр«ї’ської «к«демІї
’«ук, уче’–— свІтової сл«в–. Кого Ім’я
до»ре вІдоме у свІтовІ— м«тем«т–ч’І—
’«уцІ, «ле свІт ’е з’«в л–ше, що вІ’
°
укр«ї’ець. Кого ’«уковІ пр«цІ з рІз’–ц
г«лузе— м«тем«т–к– увІч’–л–ся в »ез
цІ’’І— ск«р»’–цІ свІтової ’«ук–. Уво
рець першого у свІтІ електро’’ого
ц–фрового комп’ютер«
° «мер–к«’
ськ–— фІз–к ∠жо’ ∈І’се’т Ат«’«сов пІд ч«с розро»к– свого
творІ’’я щедро кор–ст«вся теорет–ч’–м– ’«пр«цюв«’’ям–
М–ц«—л« Кр«вчук«, з«свІдч–вш– т«к–м ч–’ом
° ’«ш спІввІт
ч–з’–к з«служе’о ’«леж–ть до спІвз«с’ов’–кІв еОМ (елек
тро’’о
о»ч–слюв«ль’ої м«ш–’–). Уеорет–ч’І розро»к–
Кр«вчук« »ул– в–кор–ст«’І — пІд ч«с формув«’’я перш–ц
мереж теле»«че’’я у ТшА т« апо’Ії.
О«род–вся М–ц«—ло Кр«вчук у селІ Чов’–ця ’« ∈ол–’І в
род–’І землемІр« — уч–тельк–. СІсля з«кІ’че’’я чоловІчої
гІм’«зІї з 1910
по 1914
рІк ’«вч«вся ’« м«тем«т–ч’ому вІд
дІле’’І фІз–ко
м«тем«т–ч’ого ф«культету Ф’Іверс–тету Твя
того ∈олод–м–р« в К–євІ (’–’І
° К–ївськ–— ’«цІо’«ль’–—
у’Іверс–тет Ім. У.∉.
шевче’к«). ∈–кл«д«чІ одр«зу в–рІз’–л–
—ого з
помІж І’ш–ц з« п«р«докс«ль’Ість м–сле’’я. Ак«демІк
∉р«ве, як–— створ–в «лге»р«їч’у школу, д«в«в молодому
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
вче’ому чудовІ рекоме’д«цІї, вв«ж«в —ого од’–м з ’«—т«л«
’ов–тІш–ц своїц уч’Ів І прос–в з«л–ш–т–ся пр– у’Іверс–тетІ
професорськ–м ст–пе’дІ«том для пІдготовк– до ’«укової
т« в–кл«д«цької ро»от–. ∈Іль’І вІд студІюв«’’я вечор–
М–ц«—ло провод–в в Фкр«ї’ському клу»І, у О«род’ому домІ
’« Мук’я’ІвцІ, де ст«в–в свої в–ст«в– укр«ї’ськ–— те«тр пІд
керІв’–цтвом М.
Тт«р–цького.
СІсля отр–м«’’я зв«’’я пр–в«т­доце’т« М–ц«—ло Кр«вчук
пр«цює як м«тем«т–к
­’«уковець І як пед«гог. ∈–кл«д«є у
двоц ’овостворе’–ц укр«ї’ськ–ц гІм’«зІяц т« Фкр«ї’ському
’«род’ому у’Іверс–тетІ, з 1918­
° спІвро»Іт’–к Фкр«ї’ської
«к«демІї ’«ук. К«жуть, що в Кр«вчук« »ул« т«к« кр«с–в« —
м–лозвуч’« укр«ї’ськ« мов«, що ’« —ого м«тем«т–ч’І лекцІї
Із з«цопле’’ям пр–цод–л– — фІлолог–
° слуц«т– ’е—мовІр’у
в–мову в–кл«д«ч«. МекцІї вІдз’«ч«л–ся вел–к–м »«г«тством
І гл–»–’ою змІсту, логІкою — чІткІстю в–кл«ду, ш–ротою
оцопле’’я м«терІ«лу, осо»л–вою кр«сою т« в–то’че’Істю
в–кл«ду. ∈од’оч«с ’«—скл«д’ІшІ м«тем«т–ч’І положе’’я
М–ц«—ло С–л–пов–ч под«в«в доцІдл–во — зрозумІло, «ле
’е в спроще’І— формІ. О« лекцІяц Кр«вчук« ’Ікол– ’е »уло
вІль’–ц мІсць: слуц«т– —ого пр–цод–л– ще — »Іолог–, цІмІк–,
фІлософ–… ∈І’ перш–— в Фкр«ї’І поч«в п–с«т– м«тем«т–ч’І
пр«цІ укр«ї’ською мовою. СІдкомІсІя м«тем«т–ч’ої секцІї
пр–род’–чого вІддІлу і’ст–туту укр«ї’ської ’«укової мов–
пІд головув«’’ям Кр«вчук« створ–л« — перш–— тр–том’–—
м«тем«т–ч’–— слов’–к.
М–ц«—ло С–л–пов–ч пІдготув«в кІльк« пІдруч’–кІв укр«
ї’ською мовою з м«тем«т–к–. Ф 1919 р. в–—шов друком —ого
курс лекцІ— з геометрІї, як–— вІ’ проч–т«в в Фкр«ї’ському
’«род’ому у’Іверс–тетІ. Ф тому ж роцІ опу»лІков«’о перш–—
перекл«д укр«ї’ською мовою ш–роковІдомого пІдруч’–к« з
геометрІї К–сельов«, здІ—с’е’–— Кр«вчуком.
еко’омІч’« ру—’«цІя поч«тку 20
­ц рокІв пр–мус–л«
’«уковця в–їц«т– в село Т«в«рк« Вогусл«вського р«—о’у ’«
К–ївщ–’І, де вІ’ ст«в д–ректором школ–. Уут М.
Кр«вчук м«в
можл–вІсть ре«ль’о втІл–т– свої пед«гогІч’І з«дум–. КрІм
»езпосеред’ього ’«вч«’’я, Кр«вчук пр–дІляв вел–ку ув«гу
в–явле’’ю т« в–цов«’’ю о»д«ров«’–ц уч’Ів. ∈І’ ’«вч«в м«те
м«т–к–
Арц–п« Мюльку
(«втор«
­ко’структор« першого в свІтІ
двоко’тур’ого тур»оре«кт–в’ого дв–гу’«, творця лІт«кІв з
’«дзвуковою шв–дкІстю), « пІз’Іше °
Терг№я Корольов«
(уче
’ого
ко’структор«, ос’овополож’–к« р«дя’ської космо’«в
т–к–),
∈олод–м–р« Челомея
(провІд’ого творця р«дя’ського
«ядер’ого щ–т«», ко’структор« р«кет’о
­космІч’ої — «вІ«цІ—’ої
тец’Ік–, розро»’–к« перш–ц супут’–кІв).
Розділ 2
Кр«вчук« з«прошують до ро»от– у ∈сеукр«ї’ську
«к«демІю пед«гогІч’–ц ’«ук (∈ФАО), де вІ’ очолює комІсІю
м«тем«т–ч’ої ст«т–ст–к–, о»І—м«є пос«ду вче’ого секрет«ря
през–дІї Ак«демІї, з«вІдує вІддІлом м«тем«т–ч’ої ст«т–ст–к–
і’ст–туту м«тем«т–к– ∈ФАО.
∈од’оч«с вІ’
° чле’ упр«в–
К–ївського І’ст–туту ’«род’ої освІт–, дек«’ ф«культету про
фесІ—’ої освІт–, «кт–в’–— гром«дськ–— дІяч
° чле’ секцІї
’«уков–ц пр«цІв’–кІв мІської Р«д–, орг«’Із«тор першої в
Фкр«ї’І
м«тем«т–ч’ої ол№м﹫д–
для о»д«ров«’–ц школярІв
(1935
р.).
∠о»ре володІюч– п’ятьм« мов«м– (фр«’цузькою, ’Імецькою,
Іт«лІ—ською, польською — росІ—ською), молод–— уче’–— л–с
тув«вся з колег«м– з рІз’–ц кр«ї’. М. Кр«вчук »ув о»р«’–—
чле’ом м«тем«т–ч’–ц тов«р–ств фр«’цІї, ОІмечч–’–, іт«лІї.
Але в сум’озвІс’ому 1937 роцІ в тодІш’І— г«зетІ «Кому’Іст»
з’яв–л«ся ’«клеп’–цьк« ст«ття «Ак«демІк Кр«вчук пІдтр–мує
ворогІв ’«роду». Кому дорІк«л– л–стув«’’ям з львІвськ–м–
вче’–м–, ’«цІо’«лІзмом. Ф 1938
роцІ М.
Кр«вчук« з««ре
штув«л–, І’кр–мІ’ув«вш– —ому «в»–вч–—» ’« то— ч«с ’«»Ір
ко’трреволюцІ—’–ц стереот–пІв: ’«цІо’«лІст, шп–гу’. Туд
’«д М–ц«—лом Кр«вчуком тр–в«в усього 30
цв–л–’, «ле
в–рок
° 20
рокІв тюрем’ого ув’яз’е’’я т« 5 рокІв з«сл«’’я.
∈ ост«’’ьому словІ ’« судІ М.
Кр«вчук прос–в д«т– —ому мож
л–вІсть з«кІ’ч–т– розпоч«ту пр«цю з м«тем«т–к–.
Оезв«ж«юч– ’« цворе серце т« пов’Істю пІдІрв«’е у в’яз’–цІ
здоров’я, М.
Кр«вчук І вде’ь, І в’очІ ’евтом’о з«—м«вся
’«укою. Твоєї ре«»ІлІт«цІї уче’–— ’е дочек«вся. Кого »уло
посмерт’о ре«»ІлІтов«’о л–ше в 1956
р., « в 1992
р. по’овле’о
у скл«дІ дІ—с’–ц чле’Ів Ак«демІї ’«ук Фкр«ї’–.
Кого сп«док ’«лІчує по’«д 180
’«уков–ц пр«ць. Кого
п«м’ять вш«’овують — ’–’І.
Ф 1987
р. у с. Чов’–ця, ’« »«тькІвщ–’І «к«демІк«, »уло
вст«’овле’о —ого погруддя т« вІдкр–то музе— М.
Кр«вчук«.
Ф 2003
р. ’« тер–торІї СолІтец’Іч’ого І’ст–туту в К–євІ,
вперше в Фкр«ї’І, вІдкр–то п«м’ят’–к М–ц«—ловІ Кр«вчуку.
«Моя лю»ов
° Фкр«ї’« І м«тем«т–к«»
° в–к«р»ов«’о ’«
пост«ме’тІ п«м’ят’–к«. щороку в цьому ’«вч«ль’ому з«кл«дІ
проводяться ко’фере’цІї Іме’І «к«демІк« Кр«вчук«, з«с’ов«’о
ст–пе’дІю М. Кр«вчук« для кр«щ–ц студе’тІв.
Ф 2009
р. у К–євІ, ’« Ц«ркІвському ж–тловому м«с–вІ, од’у
з ’ов–ц вул–ць »уло ’«зв«’о ’« честь М–ц«—л« Кр«вчук«.
ім’я м«тем«т–к« пр–своє’о МуцькІ— гІм’«зІї № 21, що з’«
цод–ться ’« вул–цІ «к«демІк« Кр«вчук«, де т«кож, до 110­
рІччя вІд д’я ’«родже’’я, »уло вІдкр–то музе— в–д«т’ого
вче’ого.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Ф 2012
р. О«цІо’«ль’–— »«’к Фкр«ї’– ввІв в о»Іг п«м’ят’у
мо’ету ’омІ’«лом 2
гр–в’І, пр–свяче’у М.С.
Кр«вчуку.
Фже в ЦЦі столІттІ рОеТКО в’есл« Ім’я М.С. Кр«вчук« до
перелІку ’«—в–з’«ч’Іш–ц люде— пл«’ет–.
А ч– зможете в– розв’яз«т– геометр–ч’І з«д«чІ К–ївськ–ц
мІськ–ц олІмпІ«д з м«тем«т–к–, що пропо’ув«л–ся в тІ ч«с–?
(1950
р.) РоздІлІть прямокут’–к розмІром 18
8 ’« двІ
ч«ст–’– т«к, що» з ’–ц мож’« »уло утвор–т– кв«др«т.
(1975
р.) Ф деякІ— кр«ї’І 1000
дорІг з’єд’ують 200
мІст,
пр–чому з кож’ого мІст« в–цод–ть цоч« » по од’І— дорозІ.
аку ’«—»Ільшу кІлькІсть дорІг мож’« од’оч«с’о з«кр–т– ’«
ремо’т, ’е порушуюч– пр– цьому зв’язок мІж мІст«м–?
Віго’»ігь
. 801.
(1978
р.) Уочк–
розт«шов«’І т«к, що ’ез«леж’о вІд
в–»ору точк–
вІдрІзок
коротш–— вІд од’ого з вІдрІзкІв
«»о
. ∠оведІть, що точк«
’«леж–ть вІдрІзку
(1979
р.) РозмІстІть 6 точок ’« площ–’І т«к, що» кож’І
3 з ’–ц »ул– верш–’«м– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«.
(1985
р.) ∠овІль’–— тр–кут’–к розрІжте ’« 3
ч«ст–’–
т«к, що» з ’–ц мож’« »уло скл«ст– прямокут’–к.
(1987
р.) Ч– мож’« кв«др«т розмІром 6
6 розрІз«т– ’«
прямокут’–к– розмІром 1
ТРИКУТНИКИ.
ОЗНАКИ РІВНОСТІ
ТРИКУТНИКІВ
цьому розділі ви:
пригадаєте
поняття трикутника і його основних елемен
тів та види трикутників;
дізнаєтеся
про висоту, медіану і бісектрису трикутника,
нерівність трикутника та співвідношення між сторонами і
кутами трикутника; суму кутів трикутника;
навчитеся
доводити рівність трикутників на основі ознак;
застосовувати властивість рівнобедреного та прямокут
ного трикутників до розв’язування задач.
11.
ТРИКУТНИК
І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ
Соз’«ч–мо тр– точк–
І
, якІ ’е леж«ть ’« од’І—
прямІ—, І сполуч–мо їц вІдрІзк«м– (м«л.
203).
Трикутником
називають фігуру, яка складається з трьох
точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які
сполучають ці точки.
Уочк– ’«з–в«ють
âåðøèíàìè
тр–кут’–к«, « вІдрІзк–
° —ого
сторо’«м–
. О« м«л. 203 зо»р«же’о тр–кут’–к
ABC
. Кого вер
ш–’«м– є точк–
B
, « сторо’«м–
° вІдрІзк–
BC
CA
З«мІсть слов« «тр–кут’–к» в м«тем«т–цІ мож’« вж–в«т– с–мвол
, тодІ з«п–с
{
ABC
ч–т«ють т«к: «тр–кут’–к
ABC
». О«зв« тр–
кут’–к« скл«д«ється з »укв, як–м– поз’«че’о
—ого верш–’–, І з«п–сув«т– їц мож’« в »удь
якому порядку:
{
ACB
{
BCA
{
CAB
тощо.
Кут«м– тр–кут’–к«
ABC
’«з–в«ють кут–
BAC
ABC
І
BCA
акщо з верш–’– тр–кут’–к«
’е проведе’о жод’–ц І’ш–ц лІ’І—, окрІм —ого
сторІ’, то кут– тр–кут’–к« мож’« ’«з–в«т–
л–ше їц верш–’ою: од’Ією »уквою
І
.
Тторо’– тр–кут’–к« т«кож мож’« поз’«ч«т–
м«л–м– »укв«м– л«т–’ського «лф«вІту
І

вІдповІд’о до поз’«че’’я прот–леж’–ц їм
верш–’.
11.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Кож’–— тр–кут’–к м«є тр– верш–’–, тр– сторо’– І тр–
кут–
, якІ ще ’«з–в«ють
дкдлдмсалз срз—тсмз—а
Туму довж–’ усІц сторІ’ тр–кут’–к« ’«
з–в«ють —ого
ïåðè
ìåòðîì
. Сер–метр поз’«ч«ють »уквою
, ’«пр–кл«д, пер–
метр тр–кут’–к«
ABC
мож’« поз’«ч–т– т«к:
ABC
М«ємо:
+
+
Çàäà÷à
. Од’« зІ сторІ’ тр–кут’–к« ’« 7 см ме’ш« з« другу
І вдвІчІ ме’ш« з« третю. З’«—
т– сторо’– тр–кут’–к«, якщо
—ого пер–метр дорІв’ює 47
см.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— довж–’« ’«—ме’шої сторо’–
тр–кут’–к« дорІв’ює
см, тодІ довж–’« другої ° (
+
см,
третьої
см. ОскІльк–
47 см, м«ємо рІв’я’’я:
47.
Розв’яз«вш– це рІв’я’’я, отр–м«ємо
(см).
Отже, довж–’« од’Ієї сторо’– тр–кут’–к« дорІв’ює 10
см,
другої
° 17 см, третьої ° 20
см.
∈ І д п о в І д ь. 10 см, 17 см, 20 см.
З«леж’о вІд вел–ч–’– кутІв розрІз’яють т«кІ
»згз срз
—тсмз—і»
гострокут’і
прямокут’і
тупокут’і
. ∉остро
кут’І тр–кут’–к– ° це тІ, у як–ц всІ кут– гострІ (м«л.
204),
прямокут’І ° це тІ, що м«ють прям–— кут (м«л.
205), тупо
кут’І ° це тІ, що м«ють туп–— кут (м«л.
206).
Трикутник вважався найпростішою замкненою прямолінійною фігурою
Властивості цієї
фігури людство вивчало та використовувало у практичній діяльності ще з давніх
давен
Так, наприклад
у будівництві здавна використовують властивість жорсткості трикут
Зображення трикутників і задач
пов’язаних із трикутниками, дослідники знаходили
У Давній Греції ще в VII ст
до н
були відомі деякі важливі факти
пов’язані з три
Так
наприклад
Фалес довів
що трикутник можна однозначно задати сторо
Розділ 3
аку фІгуру ’«з–в«ють тр–кут’–ком?
що ’«з–в«ють
верш–’«м– тр–кут’–к«, сторо’«м– тр–кут’–к«, кут«м–
що ’«з–в«ють пер–метром тр–кут’–к«?
акІ в–д– тр–кут’–кІв розрІз’яють з«леж’о вІд кутІв?
264
Упм’
З« м«лю’ком 207 з’«—
дІть
пер–метр тр–кут’–к«
KLM
265
Упм’
) О« якому з м«лю’кІв 208–
210 тр– точк– можуть »ут– верш–’«м–
тр–кут’–к«, « ’« яко
° ’І?
266
О«креслІть тр–кут’–к І поз’«чте
—ого верш–’– »укв«м–
І
О«звІть сторо’– І кут– цього тр–кут
’–к«. ∈–ко’«—те вІдповІд’І з«п–с–.
267
О«креслІть тр–кут’–к
PKL
. З«п–шІть верш–’–, сторо’–
т« кут– цього тр–кут’–к«.
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к« зІ сторо’«м– 25
мм,
3,2
см, 0,4
дм.
269
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«, сторо’– якого дорІв
’юють 4,3 см, 29 мм, 0,3
дм.
270
О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к
ABC
. ∈–мІря—те
—ого сторо’– т« з’«—дІть —ого пер–метр.
271
О«креслІть тупокут’–— тр–кут’–к, верш–’«м– якого
є
точк–
І
. ∈–мІря—те сторо’– цього тр–кут’–к« т« з’«—­
дІть —ого пер–метр.
272
Од’« сторо’« тр–кут’–к« втр–чІ ме’ш« з« другу І ’« 7
см
ме’ш« з« третю. З’«— дІть сторо’– тр–кут’–к«, якщо —ого
пер–метр дорІв’ює 32
см.
273
Од’« сторо’« тр–кут’–к« ’« 2 дм »Ільш« з« другу І в
1,5
р«з« ме’ш« з« третю сторо’у. З’«— дІть сторо’– тр–кут
’–к«, якщо —ого пер–метр дорІв’ює 40
дм.
274
∈–кор–стовуюч– лІ’І—ку з подІлк«м– т« тр«’спорт–р,
по»уду—те тр–кут’–к
ABC
, у якого
3
см,
см.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
275
Со»уду—те з« допомогою лІ’І—к– з подІлк«м– т« кос–’ця
тр–кут’–к
PKL
, у якого
3
см,
4 см. ак
’«з–в«ють т«к–— тр–кут’–к? ∈–мІря—те довж–’у сторо’–
276
З’«—
дІть сторо’– тр–кут’–к«, якщо во’– пропорцІ—’І
ч–сл«м 3, 4 І 6, « пер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 52
дм.
277
Сер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 72
см. З’«—
дІть сторо’–
цього тр–кут’–к«, якщо во’– пропорцІ—’І ч–сл«м 2, 3 І 4.
278
Фк«жІть, скІльком« спосо»«м– мож’« ’«зв«т– тр–кут’–к
з верш–’«м– в точк«ц
. З«п–шІть усІ цІ ’«зв–.
279
Тум« першої І другої сторІ’ тр–кут’–к« дорІв’ює 11
см,
другої І третьої
° 14 см, « першої І третьої
° 13 см. З’«—
дІть
пер–метр тр–кут’–к«.
280
. О«креслІть вІдрІзок
з«в
довжк– 2
см 7
мм. О«креслІть вІд
рІзок
, що дорІв’ює вІдрІзку
281
ак–— кут утворює »Ісектр–с«
кут« 78
з проме’ем, що є допов
’яль’–м до од’Ієї з —ого сторІ’?
282
.
ТкІльк– чот–р–кут’–кІв у п’ят–
кут’І— зІрцІ (м«л.
211)?
12.
РІВНІСТь ГЕОМЕТРИЧНИХ
О«г«д«ємо, що дв« вІдрІзк– ’«з–в«ють рІв’–м–, якщо во’–
м«ють од’«кову довж–’у, « дв« кут– ’«з–в«ють рІв’–м–,
якщо во’– м«ють од’«кову гр«дус’у мІру.
Розгля’емо дв« рІв’–ц вІдрІзк–
т«
, довж–’« кож’ого з як–ц
см (м«л.
212). ФявІмо, ’«пр–кл«д,
що вІдрІзок
’«кресле’о ’« про
зорІ— плІвцІ. СеремІщуюч– плІвку,
вІдрІзок
мож’« сумІст–т– з
вІдрІзком
. Отже, рІв’І вІдрІзк–
І
мож’«
птліпсзсз ма—ка
гаммьл
У«к с«мо мож’« сумІст–т– ’«кл«
д«’’ям дв« рІв’–ц кут– (м«л.
213).
У«к–м ч–’ом, пр–цод–мо до з«г«ль
’ого оз’«че’’я рІв’–ц фІгур:
геометричні фігури називають
, якщо їх можна
сумістити накладанням.
12.
СТь
Розділ 3
З«ув«ж–мо, що це оз’«че’’я ’е супереч–ть оз’«че’’ям
рІв’–ц вІдрІзкІв І рІв’–ц кутІв, якІ в– вже з’«єте.
Уепер звер’емо ув«гу ’« п–т«’’я рІв’остІ тр–кут’–кІв. О«
м«лю’ку
214 зо»
р«же’о рІв’І тр–кут’–к–
ABC
І
KLM
. Кож’–—
з ’–ц мож’« ’«кл«
ст– ’« І’ш–— т«к, що во’– з»Іг«т–муться.
Ср– цьому поп«р’о сумІстяться їц верш–’–
І
І
І
, « отже, І їц сторо’–
І
І
І
т« кут–
І
І
І
. У«к–м ч–’ом, якщо тр–кут’–к– рІв’І, то
елеме’т– (то»то сторо’– І кут–) од’ого тр–кут’–к« вІдповІд’о
дорІв’юють елеме’т«м другого тр–кут’–к«:
∠ля поз’«че’’я рІв’остІ тр–кут’–кІв в–кор–стовують
зв–ч«—’–— з’«к рІв’остІ:
ABC
KLM
. З«
ув«ж–мо, що
у т«кІ— рІв’остІ м«є з’«че’’я послІдов’Ість з«п–су верш–’
тр–кут’–к«. З«п–с
ABC
KLM
оз’«ч«є, що
, «
з«п–с
ABC
LKM
І’ше:
акІ геометр–ч’І фІгур– ’«з–в«ють рІв’–м–?
як–ц елеме’тІв тр–кут’–к« мож’« вст«’ов–т–, в–цодя
283
∈–мІря—те довж–’– вІдрІзкІв
І
’« м«лю’ку
215
т« вст«’овІть, ч– рІв’І во’–.
2) ∈–мІря—те кут–
І
’« м«лю’ку 216 т« вст«’овІть, ч–
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
284
∈–мІря—те довж–’– вІдрІзкІв
І
’« м«лю’ку
217
т« вст«’овІть, ч– рІв’І во’–.
2) ∈–мІря—те кут–
І
’« м«лю’ку 218 т« вст«’овІть, ч–
285
Упм’
) 1)
Ч– мож’« сумІст–т– ’«кл«д«’’ям вІдрІзк–
, якщо
1,5
см, «
мм?
Ч– мож’« сумІст–т– ’«кл«д«’’ям кут–, гр«дус’І мІр–
286
∠«’о:
ABC
MPL
. ∠опов’Іть з«п–с–:
… ; 2)
… ; 3)
287
∠«’о:
MPT
DCK
. ∠опов’Іть з«п–с–:
… ; 2)
… ; 3)
288
О« м«лю’ку 219 зо»р«же’о рІв’І тр–кут’–к–. ∠опов’Іть
з«п–с– рІв’остІ тр–кут’–кІв:

289
О« м«лю’ку 220 зо»р«же’о рІв’І тр–кут’–к–. ∠опов’Іть
з«п–с– рІв’остІ тр–кут’–кІв:

290
∈Ідомо, що
ABC
KLP
5
см,
9
см,
8
см.
З’«—
дІть ’евІдомІ сторо’– тр–кут’–кІв
ABC
KLP
Розділ 3
291
∈Ідомо, що
PMT
DCF
З’«—
дІть ’евІдомІ кут– тр–кут’–кІв
PMT
DCF
292
Сер–метр– двоц тр–кут’–кІв рІв’І. Ч– мож’« ствер
джув«т–, що цІ тр–кут’–к– рІв’І?
2) Сер–метр од’ого тр–кут’–к« »Ільш–— з« пер–метр другого.
293
∈Ідомо, що
ABC
CBA
. Ч– є у тр–кут’–к«
ABC
рІв’І
сторо’–? акщо т«к, ’«звІть їц.
294
∈Ідомо, що
MNK
MKN
. Ч– є у тр–кут’–к«
MNK
рІв’І кут–? акщо т«к, ’«звІть їц.
295
∠«’о:
ABC
BCA
. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«
ABC
, якщо
см.
296
∠«’о:
PKL
KLP
. З’«—
дІть
, якщо пер–метр тр–
кут’–к«
PKL
дорІв’ює 24
см.
297
. О« прямІ— поз’«че’о вІсІм точок т«к, що вІдст«’ь
мІж кож’–м– двом« сусІд’Ім– точк«м– ° од’«ков«.
∈Ідст«’ь мІж кр«—’Ім– точк«м– дорІв’ює 112
см. З’«—
дІть вІдст«’ь мІж двом« сусІд’Ім– точк«м–.
298
Розгор’ут–— кут подІл–л– проме’ям– ’« тр– т«к–ц
кут–, од–’ з як–ц удвІчІ ме’ш–— з« друг–— І втр–чІ
ме’ш–— з« третІ—. З’«—дІть гр«дус’І мІр– ц–ц трьоц кутІв.
299
. РозрІжте прямокут’–к, од’« сторо’« якого
дорІв’ює 3 клІт–’к–, « друг« ° 9 клІт–’ок, ’« вІсІм
кв«др«тІв т«к, що» розрІз– процод–л– по сторо’«ц клІт–’ок.
13.
ПЕРшА ТА ДРУГА ОЗНАКИ
РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
РІв’Ість двоц тр–кут’–кІв мож’« вст«’ов–т–, ’е ’«кл«
д«юч– од–’ тр–кут’–к ’« друг–—, « порІв’ююч– л–ше деякІ
їц елеме’т–. Це в«жл–во для пр«кт–к–, ’«пр–кл«д для вст«
’овле’’я рІв’остІ двоц земель’–ц дІля’ок тр–кут’ої форм–,
якІ ’е мож’« ’«кл«ст– од’« ’« од’у.
СІд ч«с розв’язув«’’я »«г«тьоц теорет–ч’–ц І пр«кт–ч’–ц
з«д«ч зруч’о в–кор–стовув«т–
’жма—з рі»м’псі срз—тсмз—і»
У е о р е м « 1 (перш« оз’«к« рІв’остІ тр–кут’–кІв).
дв№ сторо’– № кут м№ж ’–м– од’ого тр–кут’–к« дор№в’юють
в№дпов№д’о двом сторо’«м № куту м№ж ’–м– №’шого тр–кут’–
то т«к№ тр–кут’–к– р№в’№
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо тр–кут’–к–
ABC
І
, у
як–ц
(м«л.
221).
13.
ЕРшА ТА ДРУ
ЕРшА ТА ДРУ
ЕРшА ТА ДРУ
НОСТ
НОСТ
НОСТ
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ОскІльк–


, то тр–кут’–к
ABC
мож’« ’«кл«ст– ’«
тр–кут’–к
т«к, що верш–’«
сумІст–ться з верш–’ою
, сторо’«
’«кл«деться ’« промІ’ь
, « сторо’«
° ’«
промІ’ь
. ОскІльк–
І
, то сумІстяться
точк–
І
І
. Ф результ«тІ тр– верш–’– тр–кут’–к«
ABC
сумІстяться з вІдповІд’–м– верш–’«м– тр–кут’–к«
Отже, пІсля ’«кл«д«’’я тр–кут’–к–
ABC
І
з»Іг«т–
муться. Уому
{
ABC
{
. Уеорему доведе’о.
Çàäà÷à 1
. ∈ІдрІзк–
І
перет–’«ються в точцІ
т«к, що точк«
є серед–’ою кож’ого з ’–ц. ∠овест–, що
AOC
BOD
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо м«л. 222. З« умовою
. ОкрІм того,
AOC
BOD
(як верт–к«ль’І). Уому
з« першою оз’«кою рІв’остІ тр–кут’–кІв
AOC
BOD
У е о р е м « 2 (друг« оз’«к« рІв’остІ тр–кут’–кІв).
сторо’« № дв« пр–легл–ц до ’еї кут– од’ого тр–кут’–к«
дор№в’юють в№дпов№д’о сторо’№ № двом пр–легл–м до ’еї
кут«м №’шого тр–кут’–к«
то т«к№ тр–кут’–к– р№в’№
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо тр–кут
’–к–
ABC
І
, у як–ц
(м«л. 223).
ОскІльк–
, то
ABC
мож’«
’«кл«ст– ’«
т«к, що верш–’«
з»Іг«т–меться з верш–’ою
, вер
ш–’«
° з верш–’ою
, « верш–’–
леж«т–муть по од–’ »Ік вІд
прямої
. Але
І
тому пр– ’«кл«д«’’І промІ’ь
’«кл«
деться ’« промІ’ь
, « промІ’ь
°
’« промІ’ь
. УодІ точк«
° спІль’«
точк« проме’Ів
І
° з»Іг«т–меться
Розділ 3
з точкою
° спІль’ою точкою проме’Ів
І
. Отже, тр–
верш–’– тр–кут’–к«
ABC
сумІстяться з вІдповІд
’–м– верш–
’«м– тр–кут’–к«
; тр–кут’–к–
ABC
І
пов’Істю
сумІст–л–ся. Уому
{
ABC
{
Уеорему доведе’о.
Çàäà÷à 2
. ∠овест– рІв’Ість кутІв
(м«л. 224), якщо
ADB
CDB
І
ABD
CBD
∠ о в е д е ’ ’ я. Тторо’«
спІль’«
для тр–кут’–кІв
ABD
І
CBD
. З« умовою
ADB
CDB
ABD
CBD
. Уому
з« другою оз’«кою рІв’остІ тр–кут
’–кІв
{
ABD
{
CBD
. РІв’–м– є всІ
вІдповІд’І елеме’т– ц–ц тр–кут’–кІв.
Отже,
Тформулю—те І доведІть першу оз’«ку рІв’остІ тр–кут
Тформулю—те І доведІть другу оз’«ку рІв’остІ
300
Упм’
) Ур–кут’–к– ’« м«лю’к«ц 225, 226 рІв’І мІж
со»ою. З« якою оз’«кою?
301
Ур–кут’–к– ’« м«лю’к«ц 227, 228 рІв’І мІж со»ою. З«
якою оз’«кою?
302
О«звІть спІль’–— елеме’т тр–кут’–кІв
ABC
І
CDA
(м«л.
229) т« тр–кут’–кІв
KML
KNP
(м«л.
230).
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
303
∠оведІть, що
ABC
ADC
(м«л. 231), якщо
І
ACB
ACD
304
∠«’о:
(м«л. 232).
∠овест–:
ABK
CBK
305
∠«’о:
(м«л. 233).
∠овест–:
MKP
NKL
306
∠оведІть, що
ABK
DCK
(м«л. 234), якщо
І
ABK
DCK
Розділ 3
307
∠оведІть, що
ABC
DCB
(м«л.
235), якщо
І
ABC
BCD
308
СромІ’ь
є »Ісектр–сою кут«
AOB
(м«л.
236),
OCM
OCN
. ∠оведІть, що
OMC
ONC
309
СромІ’ь
є »Ісектр–сою кут«
ABC
(м«л.
237),
∠оведІть, що
310
∠«’о:
(м«л. 238).
∠овест–:
311
∠«’о:
BAC
DCA
(м«л. 239).
∠овест–:
ABC
CDA
312
∠оведІть рІв’Ість тр–кут’–кІв
MKL
І
KMP
, зо»р«же’–ц
’« м«лю’ку 240, якщо
LMK
PKM
LKM
PMK
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
313
ABC
. О« сторо’«ц
І
поз’«че’о вІд
повІд’о точк–
І
т«кІ, що
LAC
(м«л.
241).
∠оведІть, що
ALC
314
ABC
. О« сторо’«ц
І
поз’«че’о вІдпо
вІд’о точк–
І
т«кІ, що
(м«л.
242). ∠оведІть,
що
ABM
315
Ч– мож’« стверджув«т–, що кол– двІ сторо’– І кут од’ого
тр–кут’–к« дорІв’юють двом сторо’«м І куту І’шого тр–
кут’–к«, то т«кІ тр–кут’–к– мІж со»ою рІв’І? О»´ру’ту—те,
под«вш– сцем«т–ч’І м«лю’к–.
316
Ч– мож’« стверджув«т–, що кол– сторо’« І дв« кут–
од’ого тр–кут’–к« дорІв’юють сторо’І І двом кут«м І’шого
тр–кут’–к«, то т«кІ тр–кут’–к– мІж со»ою рІв’І? О»´ру’­
ту—те, под«вш– сцем«т–ч’І м«лю’к–.
317
ABK
CBL
(м«л.
243). ∠оведІть, що
ABL
CBK
318
AKC
ALC
(м«л.
244). ∠оведІть, що
BKC
BLC
Розділ 3
319
О« »Ісектр–сІ кут«
поз’«ч–л– точку
, « ’« —ого сто
ро’«ц т«кІ точк–
І
, що
ABM
ABN
. ∠оведІть, що
320
Од’« зІ сторІ’ тр–кут’–к« дорІв’ює 4 дм, що ’«
см ме’ше вІд другої сторо’– І вдвІчІ »Ільше з« третю.
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«.
321
Тум« трьоц з восьм– кутІв, що утвор–л–ся пр–
перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц
І
сІч’ою
, дорІв’ює
270
. Ч– перпе’д–куляр’І прямІ
322
. ак з прямокут’–кІв, що м«ють розмІр– 1
1, 1
2,
3, 1
4, ..., 1
100, скл«ст– прямокут’–к, кож’« сто
ро’« якого »Ільш« з« 1?
14.
РІВНОБЕДРЕНИЙ
∈– вже вмІєте кл«с–фІкув«т– тр–кут’–к– з« кут«м–. Роз
гля’емо кл«с–фІк«цІю тр–кут’–кІв з«леж’о вІд їц сторІ’.
Трикутник називають
рівнобедреним
, якщо в нього дві
сторони рівні.
РІв’І сторо’– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« ’«з–в«ють
»іч’–м– сторо’«м–
, « —ого третю сторо’у °
ос’овою
. О«
м«лю’ку 245 зо»р«же’о рІв’о»едре’–— тр–кут’–к
ABC
°
—ого ос’ов«,
° »Іч’І сторо’–.
Трикутник, усі сторони якого мають різні довжини, нази­
вають
різностороннім
Трикутник, усі сторони якого рівні, називають рівносто­
О« м«лю’ку 246 зо»р«же’о рІз’осторо’’І— тр–кут’–к
KLM
, « ’« м«лю’ку 247 ° рІв’осторо’’І— тр–кут’–к
EFT
14.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Отже, з«леж’о вІд сторІ’, розрІз’яють т«кІ в–д– тр–кут
’–кІв:
різ’осторо’’і
рів’о»едре’і
рів’осторо’’і
Розгля’емо вл«ст–востІ т« оз’«к– рІв’о»едре’ого тр–кут­
’–к«.
У е о р е м « 1 (вл«ст–вІсть кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут­
Ф р№в’о»едре’ому тр–кут’–ку кут– пр– ос’ов№ р№в’№.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
ABC
° рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з
ос’овою
(м«л.
245). ∠оведемо, що в ’ього
ОскІльк–
І
° спІль’–— для тр–кут
’–кІв
ACB
І
BCA
, то
ACB
BCA
(з« першою оз’«кою).
рІв
’остІ тр–кут’–кІв в–пл–в«є, що
. Уеорему дове
де’о.
О « с л І д о к.
Ф р№в’осторо’’ьому тр–кут’–ку вс№ кут–
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо рІв’осторо’’І— тр–кут’–к
EFT
(м«л.
247), у якого
У е о р е м « 2 (оз’«к« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«).
в тр–кут’–ку дв« кут– р№в’№, то в№’ р№в’о»едре’–—.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
ABC
° тр–кут’–к, у якого
(м«л.
249). ∠оведемо, що вІ’ рІв’о»едре’–— з ос’овою
Розділ 3
ОскІльк–
І
° спІль’« сторо’«
для тр–кут’–кІв
ACB
І
BCA
, то
ACB
BCA
(з« другою
оз’«кою). З
рІв’остІ тр–кут’–кІв в–пл–в«є, що
. Уому
ABC
° рІв’о»едре’–— з ос’овою
. Уеорему доведе’о.
З«ув«ж–мо, що розгля’ут« теорем« є о»ер’е’ою до теорем–
про вл«ст–вІсть кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«.
О « с л І д о к.
акщо у тр–кут’–ку вс№ кут– р№в’№, то в№’
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
ABC
т«к–—, що
ОскІльк–
, то
. ОскІльк–
, то
. Отже,
, то»то
ABC
° рІв’осторо’’І—.
Çàäà÷à 2
. ∠«’о:
(м«л. 250).
∠овест–:
KLM
° рІв’о»едре’–—.
∠ о в е д е ’ ’
я.
KLM
(як
верт–к«ль’І),
KML
(як верт–
к«ль’І). Але з« умовою
. Уому
KLM
KML
. Отже, з« оз’«кою
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«,
KLM
°
рІв’о»едре’–—.
ак–— тр–кут’–к ’«з–в«ють рІв’о»едре’–м; рІз’осторо’
’Ім; рІв’осторо’’Ім?
Тформулю—те т« доведІть теорему
про вл«ст–вІсть кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« т« ’«
слІдок з ’еї.
Тформулю—те т« доведІть оз’«ку рІв’о
323
Упм’
) ак–— з тр–кут’–кІв, зо»р«же’–ц ’« м«лю’ку
251,
є рІв’о»едре’–м, як–— ° рІв’осторо’’Ім, « як–—
° рІз’о
сторо’’Ім? З’«—
дІть пер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«,
зо»р«же’ого ’« цьому м«лю’ку.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
324
Фк«жІть ос’ову т« »Іч’І сторо’– тр–кут
’–к«
DTP
(м«л.
252). що мож’« ск«з«т– про
кут–
цього тр–кут’–к«?
325
Од–’ з кутІв пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого
тр–кут’–к« дорІв’ює 50
. З’«—
дІть друг–—
кут пр– ос’овІ цього тр–кут’–к«.
326
Ос’ов« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 8
см, ще од’« сторо’« ° 7 см. ак«
довж–’« третьої сторо’–?
327
.
{
ABC
° рІв’осторо’’І—,
10
см. З’«—
дІть —ого пер–
метр.
328
Сер–метр рІв’осторо’’ього тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює
см. З’«—
дІть довж–’у сторо’–
цього тр–кут
’–к«.
329
З’«—
дІть пер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, »Іч’« сто
ро’« якого дорІв’ює 9 см, « ос’ов« ’« 2 см ме’ш« вІд »Іч’ої
сторо’–.
330
З’«—
дІть пер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, ос’ов«
якого дорІв’ює 10
см, « »Іч’« сторо’« ’« 4 см »Ільш« з« ос’ову.
331
Упм’
) Ч– може »ут– рІв’о»едре’–м тр–кут’–к, усІ кут–
якого рІз’І? ∈ІдповІдь о»№ру’ту—те.
332
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 20
см, «
»Іч’« сторо’«
см. З’«—
дІть ос’ову тр–кут’–к«.
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
AMN
з ос’овою
дорІв’ює 18
дм. З’«—
дІть довж–’у ос’ов–
, якщо
7
дм.
334
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
ACD
з »Іч’–м–
сторо’«м–
І
дорІв’ює 30
дм. З’«—
дІть довж–’у »Іч’ої
сторо’–, якщо
дм.
335
З’«—
дІть »Іч’у сторо’у рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо
—ого пер–метр дорІв’ює 17 см, « ос’ов« ° 5
см.
336
ABC
° рІв’о»едре’–— з ос’овою
(м«л.
253). ∠ове
дІть, що
KAC
MBC
337
KLM
° рІв’о»едре’–— з ос’овою
(м«л.
254). ∠ове
дІть, що
MKL
PLN
Розділ 3
338
Ч– пр«в–ль’І твердже’’я:
339
З’«—
дІть сторо’– рІв’о»ед
ре’ого тр–кут’–к«, якщо —ого
пер–метр дорІв’ює 14
см І вІ’ »Ільш–— з« суму двоц »Іч’–ц
сторІ’ ’« 6
см.
340
З’«—
дІть сторо’– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо
—ого
пер–метр 44
см, « »Іч’« сторо’« ’« 4
см »Ільш« з« ос’ову.
341
З’«—
дІть сторо’– рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к«, якщо —ого
пер–метр дорІв’ює
дм, « ос’ов« вдвІчІ ме’ш« вІд »Іч’ої сто
ро’–.
342
О« »Іч’–ц сторо’«ц
І
рІв’о»едре
’ого тр–кут’–к«
ABC
поз’«че’о точк–
І
т«к, що
(м«л.
255). ∠оведІть, що
343
О« »Іч’–ц сторо’«ц
І
рІв’о»едре
’ого тр–кут’–к«
ABC
поз’«че’о точк–
І
т«к, що
KCA
LAC
(м«л.
255). ∠оведІть,
що вІдрІзк–
рІв’І.
344
Тторо’– рІв’осторо’’ього тр–кут’–к«
ABC
продовже’о
’« рІв’І вІдрІзк–
І
(м«л.
256). ∠оведІть, що тр–
кут’–к
KLM
° рІв’осторо’’І—.
345
О« сторо’«ц рІв’осторо’’ього тр–кут’–к«
ABC
вІд
кл«де’о рІв’І вІдрІзк–
І
(м«л.
257). ∠оведІть, що
тр–кут’–к
PKL
° рІв’осторо’’І—.
∠оведІть, що з двоц сумІж’–ц кутІв цоч« » од–’ ’е
»Ільш–— з« 90
347
∈ІдрІзк–
І
перет–’«ються в точцІ
т«к,
що
AOB
COD
(м«л.
258). Уочк«
’«леж–ть вІд
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
рІзку
, « точк«
° вІдрІзку
, пр–чому
про
цод–ть через точку
. ∠оведІть, що
348
О« вІдрІзку
48
см поз’«че’о точку
т«к, що
. З’«— дІть довж–’– вІдрІзкІв
349
. З’«—
дІть по дв« розв’язк– кож’ої з «’«гр«м, якщо
од–’ з ’–ц є геометр–ч’–м термІ’ом, вІдом–м з
поперед
’Іц кл«сІв.
1) ООТФК;
2) УТОРеК.
15.
БІСЕКТРИСА І ВИСОТА
ВЛАСТИВІСТь БІСЕКТРИСИ
РІВНОБЕДРЕНОГО ТРИКУТНИКА
Ф кож’ому тр–кут’–ку мож’« провест– кІльк« вІдрІзкІв,
якІ м«ють спецІ«ль’І ’«зв–.
Медіаною трикутника
називають відрізок, що сполучає
вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
О« м«лю’ку 259
вІдрІзок
° медІ«’« тр–кут’–к«
ABC
Уочку
’«з–в«ють ос’овою медІ«’–
. Вудь
як–— тр–
кут’–к м«є тр– медІ«’–. О« м«лю’ку 260 вІдрІзк–
° медІ«’– тр–кут’–к«
ABC
. МедІ«’– тр–кут’–к« м«ють
цІк«ву вл«ст–вІсть.
У «тгь
ь—’лт срз—тсмз—т лдгіамз одрдсзмаюсьпь » ’гмі–
с’цці (її мажз»аюсь
це’троїдом
срз—тсмз—а) і гікьсьпь
ціію с’ц—’ю т »ігм’чдммі
1,
о’цзмаюцз »іг »дрчзмз
О« м«лю’ку 260 точк«
° це’троїд тр–кут’–к«
ABC
Цю вл«ст–вІсть »уде доведе’о у ст«рш–ц кл«с«ц.
15.
ІСЕКТРИСА І
ИСОТА
ВЛАСТИ
ІСТь
Розділ 3
Бісектрисою трикутника
називають відрізок бісектриси
кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точ­
кою протилежної сторони.
О« м«лю’ку 261 вІ
дрІзок
° »Ісектр–с« тр–кут’–к«
ABC
. Уочку
’«з–в«ють ос’овою »Ісектр–с–
. Вудь
як–—
тр–кут’–к м«є тр– »Ісектр–с–. О« м«лю’ку 262 вІдрІзк–
° »Ісектр–с– тр–кут’–к«
ABC
Ф §
23 доведемо, що
» «тгь
ь—’лт срз—тсмз—т «іпд—с
рзпз
одрдсзмаюсьпь » ’гмі– с’цці
(її ’«з–в«ють
і’це’тром
О« м«лю’ку 262 точк«
° І’це’тр тр–кут’–к«
ABC
Висотою трикутника
називають перпендикуляр, прове­
дений з вершини трикутника до прямої, що містить його
протилежну сторону.
О« м«лю’ку 263 вІдрІзок
° в–сот« тр–кут’–к«
ABC
Уочку
’«з–в«ють ос’овою в–сот–
. Вудь
як–— тр–кут’–к
м«є тр– в–сот–. О« м«лю’ку 264 вІдрІзк–
°
в–сот– гострокут’ого тр–кут’–к«
ABC
, ’« м«лю’ку 265 цІ
вІдрІзк–
° в–сот– прямокут’ого тр–кут’–к«
ABC
з прям–м
кутом
, « ’« м«лю’ку 266 цІ вІдрІзк–
° в–сот– тупокут’ого
тр–кут’–к«
ABC
з туп–м к
утом
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Ф ст«рш
–ц кл«с«ц »уде доведе’о, що
» «тгь
ь—’лт срз
—тсмз—т срз »зп’сз а«’ їф ор’г’»едммь одрдсзмаюсьпь
» ’гмі– с’цці
(її ’«з–в«ють
ортоце’тром
тр–кут
’–к«). О«
м«лю’к«ц
264 І 266 точк«
тоце’тр тр–кут’–к«
ABC
, ’«
м«лю’ку 265
ортоце’тр тр–кут’–к« з»Іг«ється з точкою
°
верш–’ою прямого кут« тр–кут
’–к«
ABC
Розгля’емо ще од’у в«жл–ву вл«ст–вІсть рІв’о»едре’ого
–кут’–к«.
У е о р е м « (вл«ст–вІсть »Ісектр–с– рІв’о»едре’ого тр–
Ф р№в’о»едре’ому тр–кут’–ку »№сектр–с«, прове
де’« до ос’ов–, є ме乫’ою № в–сотою.
∠ о в е д е ’ ’
я.
Оец«—
ABC
° рІв’о»едре’–— тр–кут’–к
з ос’овою
° —ого »Ісектр–с« (м«л.
267). ∠оведемо, що
є т«кож медІ«’ою І в–сотою.
ОскІльк–
, І тому
BAN
CAN
, « вІд
рІзок
є
спІль’ою сторо’ою тр–кут’–кІв
BAN
І
CAN
, то
BAN
CAN
(з« першою оз’«кою).
Уому
. Отже,
° медІ«’« тр–кут’–к«.
У«кож м«ємо
BNA
CNA
. ОскІльк– цІ кут– сумІж’І
І рІв’І, то
BNA
CNA
. Отже,
є т«кож в–сотою.
Уеорему доведе’о.
ОскІльк– »Ісектр–с«, медІ«’« І в–сот« рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к«, проведе’І до ос’ов–, з»Іг«ються, то спр«ведл–в–м– є
т«кІ ’«слІдк– з теорем–.
О « с л І д о к 1.
Ме乫’« р№в’о»едре’ого тр–кут’–к«,
проведе’« до ос’ов–, є в–сотою № »№сектр–сою.
О « с л І д о к 2.
∈–сот« р№в’о»едре’ого тр–кут’–к«, про
веде’« до ос’ов–, є ме乫’ою № »№сектр–сою.
Розділ 3
ак–— вІдрІзок ’«з–в«ють медІ«’ою тр–кут’–к«?
ТкІль к– медІ«’ м«є тр–кут’–к?
ак–— вІдрІзок ’«
з–в«ють »Ісектр–сою тр–кут’–к«?
ТкІльк– »Ісектр–с
м«є тр–кут’–к?
ак–— вІдрІзок ’«з–в«ють в–сотою
ТкІльк– в–сот м«є тр–кут’–к?
Тфор
мулю—те І доведІть теорему про вл«ст–вІсть »Ісектр–с–
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«. Тформулю—те ’«слІдк– Із
350
Упм’
) ак ’«з–в«ють вІдрІзок
у тр–кут’–ку
ABC
(м«л.
268–270)?
351
ак у
ABC
’«з–в«ють вІд
рІзок
(м«л.
271), якщо вІ’
є перпе’д–куляром до прямої
ак у
{
ABC
’«з–в«ють вІдрІ
ак у
{
ABC
’«з–в«ють вІдрІ
352
Ф тр–кут’–ку
ABC
вІдрІзок
° в–сот« (м«л.
268). З’«—
дІть
гр«дус’І мІр– кутІв
BKA
CKA
Ф тр–кут’–ку
ABC
вІдрІзок
° »Ісектр–с« (м«л.
269). Кут
BAK
дорІв’ює 35
. З’«— дІть гр«дус’у мІру кут«
BAC
354
Ф тр–кут’–ку
ABC
вІдрІзок
° медІ«’« (м«л.
270).
см. З’«—
дІть довж–’– вІдрІзкІв
355
О«креслІть тр–кут’–к. З« допомогою лІ’І—к– з подІл
к«м– проведІть —ого медІ«’–.
356
О«креслІть тр–кут’–к. З« допомогою тр«’спорт–р« І
лІ’І—к– проведІть —ого »Ісектр–с–.
357
О«креслІть тупокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою крес
лярського кос–’ця проведІть —ого в–сот–.
358
О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою крес
лярського кос–’ця проведІть —ого в–сот–.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
359
О« м«лю’ку 272 вІдрІзок
° в–сот« рІв’о»едре’ого
тр–кут’–к«
ABC
з ос’овою
. З«п–шІть тр– п«р– рІв’–ц
кутІв І двІ п«р– рІв’–ц вІдрІзкІв, що є ’« цьому м«лю’ку.
360
О« м«лю’ку 273 вІдрІзок
° »Ісектр–с« рІв’о»едре
’ого тр–кут’–к«
DEF
з ос’овою
. З«п–шІть тр– п«р– рІв’–ц
кутІв І двІ п«р– рІв’–ц вІдрІзкІв, що є ’« цьому м«лю’ку.
361
. (
Упм’
) Чому ’е мож’« стверджув«т–, що тр– в–сот– тр–
кут’–к« з«вжд– перет–’«ються в од’І— точцІ?
362
Ф тр–кут’–ку
ABC
. ВІсектр–с«, проведе’« до
якої Із сторІ’, є од’оч«с’о І медІ«’ою, І в–сотою?
Упм’
) акІ елеме’т– тр–кут’–к« «»о їц ч«ст–’– сумІс
тяться, якщо —ого зІг’ут– по: 1)
»Ісектр–сІ; 2)
в–сотІ?
364
. ∠оведІть, що кол– »Ісектр–с« тр–кут’–к« є —ого
в–сотою, то тр–кут’–к ° рІв’о»едре’–—.
365
∠оведІть, що кол– медІ«’« тр–кут’–к« є —ого
в–сотою, то тр–кут’–к ° рІв’о»едре’–—.
С р – м І т к «. Увердже’’я з«д«ч 364°365 мож’« вв«ж«т–
366
І
° вІдповІд’о »Ісектр–с– рІв’–ц тр–кут’–кІв
ABC
. ∠оведІть, що
ADC
367
∠оведІть, що в рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку медІ«’–, про
веде’І до »Іч’–ц сторІ’, ° рІв’І.
368
∠оведІть, що в рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку »Ісектр–с–,
проведе’І до »Іч’–ц сторІ’, ° рІв’І.
369
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку
ABC
з ос’овою
прове
де’о в–соту
. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«
ABC
, якщо
10 см, « пер–метр тр–кут’–к«
ABD
дорІв’ює 40
см.
Розділ 3
370
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку
ABC
з ос’овою
про
веде’о медІ«’у
. З’«—
дІть її довж–’у, якщо пер–метр тр–
кут’–к«
ACK
дорІв’ює 12
см, « пер–метр тр–кут’–к«
ABC
°
16 см.
371
. ∠оведІть, що кол– медІ«’« тр–кут’–к« є —ого
»Ісектр–сою, то тр–кут’–к ° рІв’о»едре’–—.
С р – м І т к «. Увердже’’я з«д«чІ 371 мож’« вв«ж«т– оз’«
372
. ∠в« з восьм– кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І
прям–ц
І
сІч’ою
, дорІв’юють 30
І 140
. Ч– можуть
прямІ
»ут– п«р«лель’–м–?
373
Сер–метр рІв’осторо’’ього тр–кут’–к« дорІв’ює
12 см. О« —ого сторо’І по»удув«л– рІв’о»едре’–— тр–
кут’–к т«к, що сторо’« д«’ого тр–кут’–к« є ос’овою
рІв’о»едре’ого. З’«—
дІть сторо’– рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к«, якщо —ого пер–метр 18 см.
374
З’«—
дІть сторо’– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« з
пер–метром 69 см, якщо —ого ос’ов« скл«д«є 30 % вІд
»Іч’ої сторо’–.
375
. Олесь пр–д»«в «кв«рІум у формІ ку»«, що вмІщує
125
л вод–. ∈І’ ’«пов’–в «кв«рІум, ’е дол–вш– до кр«ю
6 см. ТкІльк– лІтрІв вод– Олесь з«л–в в «кв«рІум?
16.
ТРЕТЯ ОЗНАКА РІВНОСТІ
∈– вже з’«єте двІ оз’«к– рІв’остІ тр–кут’–кІв (з« двом«
сторо’«м– І кутом мІж ’–м– т« з« сторо’ою І двом« пр–лег­
л–м– кут«м–). Розгля’емо ще од’у оз’«ку рІв’остІ тр–кут
’–кІв
° з« трьом« сторо’«м–.
У е о р е м
« (третя оз’«к« рІв’остІ
ßêùî òðè ñòîðîíè îäíîãî
тр–кут’–к« в№дпов№д’о дор№в’юють трьом
сторо’«м №’шого тр–кут’–к«, то т«к№
тр–кут’–к– р№в’№.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«—
ABC
І
°
дв« тр–кут’–к–, у як–ц
(м«л.
274). ∠ове
демо, що
ABC
. Ср–кл«демо
тр–кут’–к
до тр–кут’–к«
ABC
т«к, що» верш–’«
сумІст–л«ся з вер
16.
НОСТ
НОСТ
НОСТ
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ш–’ою
, верш–’«
° з верш–’ою
, « верш–’–
І
»ул–
по рІз’І »ок– вІд прямої
. Можл–вІ тр– в–п«дк–: промІ’ь
процод–ть всеред–’І кут«
ABC
(м«л.
275), промІ’ь
з»Іг«ється з од’Ією Із сторІ’ цього кут« (м«л. 276), промІ’ь
процод–ть поз« кутом
ABC
(м«л.
277).
Розгля’емо перш–— в–п«док (І’шІ в–п«дк– розгля’ьте
с«мостІ—’о). ОскІльк– з« умовою
І
, то
тр–кут’–к–
ABB
І
CBB
° рІв’о»едре’І з ос’овою
. УодІ
ABB
CBB
. Уому
ABC
Отже,
ABC
. Уому
ABC
(з« першою оз’«кою рІв’остІ тр–кут’–кІв).
Уеорему доведе’о.
Çàäà÷à
. О« м«лю’ку 278
І
. ∠оведІть, що
∠ о в е д е ’ ’
я. 1)
Розгля’емо
ABC
ABD
(з«
умовою),
° спІль’« сторо’«. Отже,
ABC
ABD
(з« третьою оз’«кою
рІв’остІ тр–кут’–кІв).
УодІ
CAB
DAB
, з’«ч–ть
° »Ісектр–с« кут«
CAD
Уому
° »Ісектр–с« рІв’о»е
дре’ого тр–кут’–к«
ACD
, проведе’«
до ос’ов–. Ця »Ісектр–с« є т«кож медІ
«’ою. Отже,
, що — тре»« »уло
довест–.
Тформулю—те І доведІть третю оз’«ку рІв’остІ тр–кут­
Розділ 3
376
Упм’
) Ч– є тр–кут’–к–, зо»р«же’І ’« м«лю’ку
279, мІж
со»ою рІв’–м–? З« якою оз’«кою?
377
∠оведІть рІв’Ість тр–кут’–кІв
ABC
І
CDA
, зо»р«же’–ц ’«
м«лю’ку 280, якщо
378
∠оведІть, що
ACD
ABD
(м«л.
281), якщо
І
379
О« м«лю’ку 282
. ∠оведІть, що
380
О« м«лю’ку 283
. ∠оведІть, що
PKM
LMK
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
381
О« м«лю’ку 284
. ∠оведІть, що
°
»Ісектр–с« кут«
ABC
382
О« м«лю’ку 285
. ∠оведІть, що
°
»Ісектр–с« кут«
PMK
∠«’о:
(м«л.
286).
∠овест–:
AOD
° рІв’о»едре’–—.
384
∠«’о:
(м«л.
287).
∠овест–:
ABC
BAD
385
Сро тр–кут’–к–
ABC
І
MNP
вІдомо, що
. Ч– можуть »ут– рІв’–м– т«кІ тр–кут
’–к–?
386
Ур–кут’–к–
ABC
І
MNP
° рІв’о»едре’І. ∈Ідомо, що
5 см, «
7 см. Ч– мож’« стверджув«т–,
що цІ тр–кут’–к– рІв’І?
387
∈серед–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
ABC
взято точку
т«к, що
. ∠оведІть, що прям«
пер
пе’д–куляр’« до
388
∈серед–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
DMN
взято точку
т«к, що
. ∠оведІть, що прям«
дІл–ть
’«впІл сторо’у
389
ак, в–кор–стовуюч– ш«»ло’ кут« в 10
, по»удув«т–
перпе’д–куляр’І прямІ?
390
СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
BAC
BAC
126
. ∈Ідомо, що 4
BAK
5
KAC
. З’«—
дІть
гр«дус’І мІр– кутІв
BAK
KAC
391
. О«креслІть прямокут’–к розмІром 4
6 клІт–’ок.
Сок«
жІть, як «з«мост–т–» (покр–т– »ез ’«кл«д«’ь І
вІль’–ц клІт–’ок) —ого куточк«м–, кож’–— з як–ц скл«д«
ється з трьоц клІт–’ок, т«к, що» жод’І дв« з ’–ц ’е утворю
в«л– прямокут’–к«.
Розділ 3
∠ом«ш’я с«мост№—’« ро»от« № 3 (§ 11 – § 16)
∠«’о
KLM
, у
якого
4 см,
см,
10
см.
З’«—
дІть —ого пер–метр.



PTK
° рІз’осторо’’І—,
ABC
PTK
. УодІ спр«ведл–в«
рІв’Ість



∠«’о
І
, де
УодІ…
. Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 17 см, « —ого
ос’ов«
° 5 см. З’«— дІть »Іч’у сторо’у тр–кут’–к«.


О« м«лю’ку 288
KOL
LOM
. Фк«жІть
пр«в–ль’у рІв’Ість.
І
° медІ«’– тр–кут’–к«
ABC
. ак« з ’–ц є ще —
»Ісектр–сою І в–сотою, якщо



. Од’« зІ сторІ’ тр–кут’–к« вдвІчІ ме’ш« з« другу І ’« 2
см
ме’ш« з« третю. З’«—
дІть »Ільшу зІ сторІ’ тр–кут’–к«, якщо
—ого пер–метр дорІв’ює 22 см.



∈Ідомо, що
KLM
MLK
. З’«—дІть пер–метр тр–кут
’–к«
KLM
, якщо
6 см,
5 см.

° в–сот« тр–кут’–к«
. Фк«жІть ’епр«
в–ль’е твердже’’я.


∠«’о:
ABC
BCA
5 см. З’«—
т–:
6 см,
7 см;

ВС
4 см,
3 см;
4 см,
4 см;

5 см,
5 см.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
° ос’ов« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
ABC
° —ого
»Ісектр–с«. З’«—
дІть довж–’у цІєї »Ісектр–с–, якщо пер–метр
тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює 36 см, « пер–метр тр–кут’–к«
ACK
дорІв’ює 30 см.
6 см;

8 см;

10 см;

12 см.
Ф тр–кут’–ку
ABC
. Уочк«
т«к«, що
Фк«жІть ’епр«в–ль’е твердже’’я.
МВС
МСВ


МВА
ÌÑÀ
ВМА
ÑÌÀ

ВАМ
ÑÀÌ
З«вд«’’я для перевірк– з’«’ь № 3 (§ 11 – § 16)
О«креслІть тр–кут’–к
MNK
. З«п–шІть ’«зв– —ого верш–’,
сторІ’ т« кутІв.
ак–— Із зо»р«же’–ц ’« м«лю’ку 289 тр–кут’–кІв є гостро
кут’–м, як–—
° прямокут’–м, « як–—
° тупокут’–м?
ак–— Із зо»р«же’–ц ’« м«лю’ку 290 тр–кут’–кІв є рІв’о
»едре’–м, як–—
° рІв’осторо’’Ім, « як–—
° рІз’осторо’’Ім?
ABC
KMF
. ∈Ідомо, що
5
см,
4
см,
7
см. З’«—
дІть ’евІдомІ
сторо’– тр–кут’–кІв
ABC
KMF
. О« м«лю’ку 291
LKM
LKN
. ∠оведІть, що
MKL
NKL
Розділ 3
З’«—
дІть пер–метр рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к« з ос’овою з«вдовжк– 12 см, »Іч’«
сторо’« якого ’« 3 см »Ільш« з« ос’ову.
. О« м«лю’ку 292
∠оведІть, що
BCD
ADC
. Од’« сторо’« тр–кут’–к« вдвІчІ ме’ш«
вІд другої І ’« 3 см ме’ш« вІд третьої.
З’«—
дІть сторо’– тр–кут’–к«, якщо —ого
пер–метр дорІв’ює 23 см.
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку
KML
з ос’овою
прове
де’о медІ«’у
. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«
KML
, якщо
8 дм, « пер–метр тр–кут’–к«
MKP
дорІв’ює 24
дм.
∠од«ткові впр«в–
. О« м«лю’ку 293
ANB
AMB
∠оведІть, що
∈Ідомо, що
MKL
KLM
. З’«—
дІть
пер–метр тр–кут’–к«
MKL
, якщо вІ’ ’«
10 см »Ільш–— з« сторо’у
17.
СУМА КУТІВ
Розгля’емо од’у з ’«—в«жл–вІш–ц теорем геометрІї.
У е о р е м « (про суму кутІв тр–кут’–к«).
Тум« кут№в
тр–кут’–к« дор№в’ює 180
∠ о в
е д е ’ ’ я. Розгля’емо тр–кут’–к
ABC
І доведемо, що
180
Сроведемо через верш–’у
пряму
п«р«лель’о
прямІ—
(м«л.
294). Соз’«ч–мо
BAC
MAB
NAC
Кут–
І
° в’ут
рІш’І рІз’осторо’’І кут– пр– перет–’І
п«р«лель’–ц прям–ц
І
сІч’ою
, « кут–
І
°
в’утрІш’І рІз’осторо’’І кут– пр–
перет–’І т–ц с«м–ц прям–ц сІч’ою
. Уому
MAN
° розгор’ут–—, тому:
180
ОскІльк–




то
+
+



, то»то

+

+

17.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
О « с л І д о к.
Ф »удь­якому тр–кут’–ку пр–’«—м’№ дв«
кут– гостр№; тр–кут’–к ’е може м«т– »№льше ’№ж од–’ пря
м–— «»о туп–— кут.
∠ о в е д е ’ ’
я. Ср–пуст–мо, що в тр–кут’–ку л–ше од–’
кут є гостр–м. УодІ сум« двоц І’ш–ц кутІв, що ’е є гостр–м–,
’е ме’ш« з« 180
. А отже, в сумІ з гостр–м перев–щ–ть 180
що супереч–ть доведе’І— теоремІ. Ср–—шл– до прот–рІччя, »о
’«ше пр–пуще’’я є ’епр«в–ль’–м. Отже, у кож’ого тр–кут
’–к« пр–’«—м’І дв« кут– гострІ, « тому тр–кут’–к ’е може
м«т– »Ільше ’Іж од–’ прям–— «»о туп–— кут.
∈р«цовуюч– це— ’«слІдок, мож’« ск«з«т–, що гострокут’–—
тр–кут’–к м«є тр– гостр–ц кут–; прямокут’–— тр–кут’–к

м«є од–’ прям–— І дв« гостр–ц кут–; тупокут’–— тр–кут’–к
м«є од–’ туп–— І дв« гостр–ц кут–.
Çàäà÷à 1
. ВІсектр–с– кутІв
І
тр–кут’–к«
ABC
перет–’«ються в точцІ
. ∠оведІть, що
BIC
∠ о в е д е ’ ’
я.
ICB
IBC
(м«л.
295).
УодІ

ВIС
180

– (

ICB
+

IBC
180

180

180

180

+
+
(скор–ст«л–ся т–м, що сум«
кутІв кож’ого з
тр–кут’–кІв
BCI
І
ABC
дорІв’ює 180
), що — тре»« »уло довест–.
Çàäà÷à 2
. ∈–сот–
І
гостро
кут’ого тр–кут’–к«
ABC
перет–’«
ються в точцІ
(м«л.
296).
З’«—
дІть
BHC
Р о з
я з « ’ ’
я. Розгля’емо тр–
кут’–к
180

(90
+
АCB
90
ACB
180

(90
ABC
ABC
УодІ у
HCB
BHC
180
HBC
HCB
180
(90
ACB
ABC
ACB
ABC
180
180
. Отже,
BHC
180
∈ І д п о в І д ь. 180
Розділ 3
Çàäà÷à 3
. МедІ«’«
тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює поло
в–’І сторо’–
. ∠оведІть, що в тр–кут’–ку
ABC

∠ о в е д е ’ ’
я (м«л.
297). ОскІльк–
І
°
серед–’«
вІдрІзк«
, то
Отже
, тр–кут’–к–
ANC
І
CNB
°
рІв’о»едре’І. Уому
AÑN
BСN
. У«к–м
ч–’ом,
+
. Але ж
+
+
180
. Уому
+
180

. Отже,
180

. ЗвІдс–
Ур–кут
ABC
° прямокут’–—
з прям–м кутом
, що — тре»« »уло
довест–.
Властивість про суму кутів трикутника експеримен
тальним шляхом було встановлено в Давньому Єгипті
проте відомості про різні способи доведення цієї теоре
яке ми розглянули вище, є в коментарях
Прокла до «Основ» Евкліда
Він же стверджував
що це
доведення було відоме ще учням школи Піфагора (піфа
Сам же Евклід у першій книжці «Основ» запропону
вав доведення теореми про суму кутів трикутника у спо
сіб, який можна побачити на малюнку 298 (виконайте це
Тформулю—те І доведІть теорему про суму кутІв тр–кут­
Тформулю—те І доведІть ’«слІдок Із цІєї теоре
392
. (
Упм’
) ∠«’о тр–кут’–к
PLK
. З’«—дІть з’«че’’я сум–
Ч– Іс’ує тр–кут’–к з кут«м–:

394
Ч– Іс’ує тр–кут’–к з кут«м–:

ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
З’«—
дІть третІ— кут тр–кут’–к«, якщо дв« —ого кут–
дорІв’юють:

396
З’«—
дІть третІ— кут тр–кут’–к«, якщо перш–— І друг–—
кут– дорІв’юють:

397
Упм’
) З«кІ’чІть рече’’я:
398
Тум« двоц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 125
. З’«—
дІть
третІ— кут тр–кут’–к«.
399
Ф тр–кут’–ку
ABC
94
. З’«—
дІть
400
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 62
. З’«—
дІть суму
гр«дус’–ц мІр двоц І’ш–ц кутІв.
401
. ∠оведІть, що кож’–— з кутІв рІв’осторо’’ього тр–
кут’–к« дорІв’ює 60
402
Кут пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 70
З’«—
дІть кут пр– верш–’І.
403
З’«—
дІть кут пр– верш–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«,
якщо кут пр– ос’овІ дорІв’ює 45
404
З’«—
дІть кут– пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«,
якщо кут пр– верш–’І дорІв’ює 80
405
Кут пр– верш–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює
З’«—
дІть кут– пр– ос’овІ.
406
З’«—
дІть ’евІдомІ кут– тр–кут’–к«
ABC
’« м«лю’к«ц
299, 300.
Розділ 3
407
З’«—
дІть ’евІдомІ кут– тр–кут’–к«
MNL
’« м«
лю’
к«ц
301, 302.
408
Ф тр–кут’–ку
ABC
проведе’о »Ісектр–су
(м«л.
303).
З’«—
дІть
PCB
, якщо
409
Ф тр–кут’–ку
ABC
проведе’о »Ісектр–су
(м«л.
303).
З’«—
дІть
, якщо
ACP
410
З’«—
дІть кут– тр–кут’–к«
MNL
, якщо
+
120
140
411
З’«—
дІть кут– тр–кут’–к«
ABC
, якщо
+
100
130
412
∠оведІть, що в кож’ому тр–кут’–ку є кут, ’е ме’ш–—
вІд
413
∠оведІть, що в кож’ому тр–кут’–ку є кут, ’е »Ільш–—
414
Ф тр–кут’–ку
ABC
:
:
3 : 4 : 5. З’«—дІть цІ
кут–.
415
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– кутІв тр–кут’–к«, якщо во’– вІд
’осяться як 2 : 3 :
416
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо кут пр–
ос’овІ ’« 15
»Ільш–— з« кут пр– верш–’І.
417
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–кут
’–к«,
якщо кут пр–
верш–’І ’« 24
»Ільш–— з« кут пр– ос’овІ.
418
∠оведІть, що кут– пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к« гострІ.
419
. акщо од–’ з кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« до
рІв
’ює 60
, то тр–кут’–к
° рІв’осторо’’І—. ∠оведІть це
твердже’’я. (Роз
гля’ь
те дв« в–п«дк–.)
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
420
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 80
, « друг–— ’« 14
»Ільш–— з« третІ—. З’«— дІть ’евІдомІ кут– тр–кут
’–к«.
421
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« вдвІчІ »Ільш–— з« друг–—. З’«—
дІть цІ кут–, якщо третІ— кут дорІв’ює 36
422
О« м«лю’ку 304
∠оведІть, що
AOB
423
∠оведІть рІв’Ість тр–кут’–кІв
ABC
, якщо
Ф тр–кут’–ку дв« кут– дорІв’юють
І 64
. З’«—
дІть кут мІж прям–м–, ’«
як–ц леж«ть »Ісектр–с– ц–ц кутІв.
425
Ф тр–кут’–ку дв« кут– дорІв’юють
І 80
. З’«—
дІть кут мІж прям–м–, ’«
як–ц леж«ть в–сот– ц–ц кутІв.
426
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к«, якщо од–’ з ’–ц дорІв’ює:
; 2)
427
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо од–’ з
’–ц дорІв’ює: 1)
; 2)
106
428
∠оведІть, що »Ісектр–с– двоц в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц
кутІв пр– двоц п«р«лель’–ц прям–ц І сІч’І— пере
т–’«ються
пІд прям–м кутом.
429
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо од–’ з
’–ц удвІчІ
»Ільш–— з« І’ш–—. ТкІльк– в–п«дкІв слІд розгля
’ут–?
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо од–’ з
’–ц ’« 15
»Ільш–— з« І’ш–—. ТкІльк– в–п«дкІв слІд розгля
’ут–?
431
Кут пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 72
« »Ісектр–с« кут« пр– ос’овІ цього ж тр–кут’–к« ° 5
см.
З’«—
дІть ос’ову тр–кут’–к«.
432
Уочк«
леж–ть мІж точк«м–
. З’«—
дІть
, якщо
мм,
3 см 4 мм.
433
∠«’о
(м«л.
305).
∠оведІть, що
||
434
AOB
AOC
З’«—
дІть
BOC
. ТкІльк– в–п«дкІв
слІд розгля’ут–?
435
Ур–кут’–к–
ABC
І
ABD
° рІв’осторо’’І. ∠оведІть,
що
Розділ 3
436
.
Ч– мож’« двом« уд«р«м– сок–р–
розру»«т– пІдкову (м«л.
306) ’«
6
ч«ст–’, ’е перемІщ«юч– ч«ст–’ пІсля пер
шого уд«ру? акщо вІдповІдь поз–т–в’«, ук«
жІть, як це зро»–т–.
18.
ЗОВНІшНІЙ КУТ ТРИКУТНИКА ТА
ЙОГО В
ЛАСТИ
ОСТ
Зовнішнім кутом трикутника
називають кут, суміжний
з кутом цього трикутника.
О« м«лю’ку 307 кут
BAK
° зов’Іш’І— кут тр–кут’–к«
ABC
що» ’е плут«т– кут тр–кут’–к« Із зов’Іш’Ім кутом, —ого
І’одІ ’«з–в«ють
»мтсрічміл —тс’л
У е о р е м « 1 (вл«ст–вІсть зов’Іш’ього кут« тр–кут’–
Зов’№ш’№— кут тр–кут’–к« дор№в’ює сум№ двоц в’утр№ш
’№ц кут№в, ’е сум№ж’–ц з ’–м.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
BAK
° зов’Іш’І— кут тр–
кут’–к«
ABC
(м«л.
307). ∈р«цовуюч– вл«ст–вІсть сумІж’–ц
кутІв, отр–м«ємо
BAK
180
BAC
З І’шого »оку, вр«цув«вш– теорему про суму кутІв тр–кут
’–к«,
+
180

BAC
. Уому
BAK
+
, що
— тре»« »уло довест–.
О « с л І д о к.
Зов’№ш’№— кут тр–кут’–к« »№льш–— з«
»удь­як–— в’ут р№ш’№— кут, ’е сум№ж’–— з ’–м.
Çàäà÷à
. Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 120
З’«—
дІть в’утрІш’І кут–, ’е сумІж’І з ’–м, якщо во’– вІд
’осяться як 3 :
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«—
BAK
°
зов’Іш’І— кут
тр–кут’–к«
ABC
(м«л.
307),
BAK
120
. ОскІльк–
:
3 : 5, то мо жемо поз’«ч–т–
3
5
ОскІльк–
BAK
+
(з« вл«ст–вІстю зов’Іш’ього
кут«), м«ємо рІв’я’’я: 3
+ 5
120
, звІдк–
. УодІ
∈ І д п о в І д ь. 45
; 75
18.
НІшНІЙ КУТ ТРИКУТНИКА ТА
ЛАСТИ
ЛАСТИ
ОСТ
ОСТ
ОСТ
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Розгля’емо ще од’у в«жл–ву вл«ст–вІсть тр–кут’–к«.
У е о р е м « 2 (про спІввІд’оше’’я мІж сторо’«м– І кут«
м– тр–кут’–к«).
Ф тр–кут’–ку: 1) прот– »№льшої сторо’–
леж–ть »№льш–— кут; 2) прот– »№льшого кут« леж–ть »№льш«
∠ о в е д е ’ ’
я. 1)
Оец«— у тр–кут’–ку
ABC
(м«л.
308). ∠оведемо, що
> ∠
. ∈Ідкл«демо ’« сторо’І
вІдрІзок
, що дорІв’ює вІдрІзку
(м«л.
309). ОскІльк–
, то точк«
’«леж–ть вІдрІзку
. Уому
ACK
є
ч«ст–’ою кут«
ACB
ACK
ACB
Ур–кут’–к
AKC
° рІв’о»едре’–—, тому
AKC
ACK
Але кут
AKC
° зов’Іш’І— кут тр–кут’–к«
KBC
. Уому
AKC
. Отже, І
ACK
, « тому
ACB
Оец«— у тр–кут’–ку
ABC


(м«л.
308). ∠ове
демо, що
. Ср–пуст–мо прот–леж’е, то»то що
«»о
. акщо
, то
{
ABC
° рІв’о
»едре’–—, І тодІ


. Це супереч–ть умовІ. акщо ж
пр–пуст–т–, що
, то з« першою ч«ст–’ою теорем–
отр–м«ємо, що


, що т«кож супереч–ть умовІ. О«ше
пр–пуще’’я ’епр«в–ль’е. Отже,
, що — тре»« »уло
довест–.
що т«ке зов’Іш’І— кут тр–кут’–к«?
Тформулю—те І
доведІть теорему про вл«ст–вІсть зов’Іш’ього кут« тр–
Тформулю—те ’«слІдок Із цІєї теорем–.
Тформулю—те теорему про спІввІд’оше’’я мІж сторо
’«м– І кут«м– тр–кут ’–к«.
Розділ 3
437
Упм’
) О« як–ц з м«лю’кІв 310–312 кут
є зов’Іш’Ім
кутом тр–кут’–к«
ABC
438
О«креслІть
{
ABC
т« —ого зов’Іш’І— кут пр– верш–’І
439
О«креслІть
{
DMN
т« —ого зов’Іш’І— кут пр– верш–’І
440
Упм’
) Фк«жІть суму в’утрІш’ього кут« тр–кут’–к« І
—ого зов’Іш’ього кут« пр– тІ— с«мІ— верш–’І.
441
Зов’Іш’І— кут пр– верш–’І
тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює
(м«л.
312). З’«—
дІть суму в’утрІш’Іц кутІв
І
цього
тр–кут’–к«.
442
Тум« в’утрІш’Іц кутІв
І
тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює
(м«л.
312). З’«—
дІть зов’Іш’І— кут цього тр–кут’–к« пр–
верш–’І
443
Упм’
) Ф
PLK

(м«л.
313).
СорІв’я—те кут–
цього тр–кут’–к«.
PLK

(м«л.
313). СорІв
’я—те сторо’–
цього тр–кут’–к«.
445
∠в« кут– тр–кут’–к« дорІв’юють 61
І 38
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру зов’Іш’ього
кут« пр– третІ— верш–’І.
446
Ф тр–кут’–ку
ABC
101
. З’«—
дІть гр«
дус’у мІру зов’Іш’ього кут« пр– верш–’І
447
. (
Упм’
) ТкІльк– гостр–ц кутІв може »ут– серед зов’Іш’Іц
кутІв тр–кут’–к«?
Зов’Іш’І— кут пр– верш–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 100
. З’«— дІть кут пр– ос’овІ тр–кут’–к«.
449
Кут пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 55
З’«—
дІть зов’Іш’І— кут пр– верш–’І кут« мІж »Іч’–м– сторо’«м–.
450
Зов’Іш’І— кут пр– верш–’І
тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює
105
. З’«—
дІть
, якщо
45
451
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 120
. З’«—
дІть в’утрІш’І— кут тр–кут’–к«, ’е сумІж’–— з ’–м, якщо
друг–— в’утрІш’І— кут тр–кут’–к«, ’е сумІж’–— з ’–м,
дорІв’ює
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
452
∈’утрІш’І кут– тр–кут’–к« дорІв’юють 45
І 70
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к«, взят–ц по
од’ому пр– кож’І— з —ого верш–’.
453
Зов’Іш’І кут– пр– двоц верш–’«ц тр–кут’–к« вІдпо
вІд’о дорІв’юють 110
І 140
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого
з трьоц в’утрІш’Іц —ого кутІв.
454
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 140
. З’«—
дІть в’утрІш’І кут–, ’е сумІж’І з ’–м, якщо:
455
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 120
. З’«—
дІть в’утрІш’І кут–, якІ ’е сумІж’І з ’–м, якщо:
456
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 118
. З’«—
дІть гр«дус’І мІр– в’утрІш’Іц кутІв тр–
кут’–к«. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
457
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 42
. З’«—
дІть гр«дус’І мІр– в’утрІш’Іц кутІв тр–
кут’–к«. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
458
. ∠оведІть, що сум« зов’Іш’Іц кутІв »удь­
якого тр–
кут’–к«, взят–ц по од’ому пр– кож’І— верш–’І,
дорІв’ює 360
459
Зов’Іш’І кут– тр–кут’–к« вІд’осяться як 3
4. З’«—
дІть вІд’оше’’я —ого в’утрІш’Іц кутІв.
460
∈’утрІш’І кут– тр–кут’–к« вІд’осяться як 7
9.
З’«—
дІть вІд’оше’’я зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к«, ’е з’«цо
дяч– їц гр«дус’–ц мІр.
461
∠оведІть, що »Ісектр–с– зов’Іш’ього І в’утрІш’ього кутІв
тр–кут’–к« пр– од’І— верш–’І перпе’д–куляр’І мІж со»ою.
462
. СромІ’ь, що процод–ть мІж сторо’«м– прямого
кут«, дІл–ть —ого ’« дв« кут–, рІз’–ця як–ц скл«д«є
вІд їц сум–. З’«— дІть гр«дус’І мІр– ц–ц кутІв.
463
∈ІдрІзок
, довж–’« якого 22,8 см, подІле’о ’«
тр– ч«ст–’–. ∈Ід’оше’’я двоц з ’–ц дорІв’ює 1 :
2,
« третя
° ’« 1,8 см »Ільш« з« »Ільшу з двоц перш–ц
ч«ст–’. З’«—
дІть довж–’– кож’ої з трьоц ч«ст–’ вІд
рІзк«.
464
. РозрІжте деяк–— кв«др«т ’« дв« рІв’–ц мІж со»ою
п’ят–
кут’–к–.
Розділ 3
19.
ПРЯМОКУТНІ ТРИКУТНИКИ
ВЛАСТИ
ВОСТІ ТА ОЗНАКИ РІВНОСТІ
ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ
О«г«д«ємо, що
срз—тсмз—
’«з–в«ють
орь
л’—тсмзл
, якщо од–’ з —ого кутІв прям–—.
О« м«лю’ку 314 зо»р«же’о прямокут’–— тр–
кут’–к
ABC
, у
’ього
. Тторо’у пря
мокут’ого тр–кут’–к«, як« леж–ть прот–
прямого кут«, ’«з–в«ють
гіпоте’узою
, « двІ
І’шІ сторо’–
êàòåòàìè
Розгля’емо вл«ст–востІ прямокут’–ц тр–
кут’–кІв.
1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорів­
нює 90
Тпр«вдІ, сум« кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 180
, прям–—
кут скл«д«є 90
. Уому сум« двоц гостр–ц кутІв прямокут’ого
тр–кут’–к« дорІв’ює: 180
2. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь­
який з його катетів.
Ця вл«ст–вІсть є ’«слІдком теорем– про спІввІд’оше’’я
мІж сторо’«м– І кут«м– тр–кут’–к«, оскІльк– прям–— кут
»Ільш–— з« гостр–—.
3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута
, дорівнює половині гіпотенузи.
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо прямокут’–—
ABC
з прям–м
кутом
І кутом
, що дорІв’ює 30
(м«л.
315). Ср–кл«демо
до тр–кут’–к«
ABC
тр–кут’–к
ADC
, що —ому дорІв’ює. УодІ

І
DAB
+
. Отже,
ABD
° рІв’осторо’’І—. Уому
. ОскІльк–
4. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює полови­
ні гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорів­
нює 30
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо прямокут’–—
ABC
, у
якого
к«тет
дорІв’ює полов–’І гІпоте’уз–
(м«л.
316). Ср–кл«
демо до тр–кут’–к«
ABC
тр–кут’–к
ADC
, що —ому дорІв’ює.
19.
РЯМОКУТНІ ТРИКУТНИКИ
ВЛАСТИ
ОСТІ ТА ОЗНАКИ РІ
НОСТІ
ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІ
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ОскІльк–
, то
. М«ємо рІв’о
сто
ро’’І— тр–
кут
’–к
ABD
то
му
. Ф тр–кут’–ку
ABC
BAC
, що — тре »« »у
ло до
с
т–.
Розгля’емо
’жма—з рі»м’псі орьл’—тсмзф срз—тсмз—і»
З першої оз’«к– рІв’остІ тр–кут’–кІв в–пл–в«є:
якщо катети одного прямокутного трикутника відпо
відно дорівнюють катетам іншого, то такі трикутники
З другої оз’«к– рІв’остІ тр–кут’–кІв в–пл–в«є:
якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного пря­
мокутного трикутника відповідно дорівнюють катету і
прилеглому до нього куту іншого, то такі трикутники рівні.
акщо у двоц прямокут’–ц тр–кут’–кІв є од’« п«р« рІв’–ц
мІж со»ою гостр–ц кутІв, то — І’ш« п«р« гостр–ц кутІв °
т«кож рІв’І мІж со»ою кут– (це в–пл–в«є з вл«ст–востІ 1 пря
мокут’–ц тр–кут’–кІв). Уому м«ємо ще двІ оз’«к– рІв’остІ
прямокут’–ц тр–кут’–кІв:
якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикут­
ника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту
іншого, то такі трикутники рівні;
якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного
трикутника відповідно дорівнюють катету і протилежно­
му йому куту іншого, то такі трикутники рівні.
У е о р е м « (оз’«к« рІв’остІ прямокут’–ц тр–кут’–кІв
з« к«тетом І гІпоте’узою).
акщо к«тет № г№поте’уз« од’ого
прямокут’ого тр–кут’–к« дор№в’юють в№дпов№д’о к«тету №
г№поте’уз№ №’шого, то т«к№ тр–кут’–к– р№в’№.
110
Розділ 3
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо тр–кут’–к–
ABC
І
, у
як–ц кут–
І
° прямІ І
(м«л.
317).
∠оведемо, що
ABC
Ср–кл«демо
ABC
т«к, що» верш–’«
сумІст–л«ся з верш–’ою
, « верш–’«
° з верш–’ою
(м«л.
317, пр«воруч). ОскІльк–
АСВ
90
, то
BCB
° розгор’ут–—, « тому точк–
леж«ть ’« од’І—
прямІ—.
ABB
° рІв’о»едре’–—, »о
° —ого
в–сот«, проведе’« до ос’ов–. ЗвІдс–
є т«кож І медІ«’ою,
тому
. Отже,
ABC
з« третьою оз’«кою
рІв’остІ тр–кут’–кІв.
Розгля’емо ще од’у вл«ст–вІсть прямокут’ого тр–кут’–к«.
5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпо­
тенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
∠ о в е д е ’ ’
я. Сроведемо перпе’д–
куляр
до сторо’–
т«к, що
(м«л.
318). УодІ
ABC
І
KCB
° прямо
кут’І,
° їц спІль’–— к«тет,
(з«
по»удовою). Уому
{
ABC
{
KCB
(з« двом«
к«тет«м–), тодІ
АВС
KСВ
. Отже,
NBC
° рІв’о»едре’–— І
. А’«ло
гІч’о мож’« довест–, що
. У«к–м
ч–’ом,
. Уому
медІ«’« І
, що — тре»« »уло довест–.
ак–— тр–кут’–к ’«з–в«ють прямокут’–м?
акІ ’« зв–
м«ють сторо’– прямокут’ого тр–кут’–к«?
Тформу
лю—те І доведІть вл«ст–востІ прямокут’ого тр–кут’–к«.
Тформулю—те І доведІть оз’«к– рІв’остІ прямокут’–ц
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Про прямокутний трикутник згадується в папірусі Ахмеса
Деякі відомості про нього
знали також вавилонські геометри
Ще тоді землеміри використовували ці властивості
Термін «гіпотенуза» походить від грецького слова «іпотейнуза» і перекладається як
«що тягнеться під чим­небудь»
«та
що стягує»
Походить це слово, найімовірніше, від
давньоєгипетських арф
струни яких натягувалися на кінцях двох взаємно перпендику
Термін «катет» походить від грецького слова «катетос»
що перекладається як
Евклід у своїх роботах для катетів використовував формулювання «сторони
що
465
Упм’
ак ’«з–в«ється тр–кут’–к, зо»р«же’–— ’«
м«лю’ку 319?
О«звІть гІпоте’узу І к«тет– цього тр–кут’–к«.
ак« зІ сторІ’ цього тр–кут’–к« ’«—довш«?
466
О«звІть гІпоте’узу І к«тет– прямокут’ого тр–кут’–к«
PFL
(м«л.
320).
467
З« як–м– елеме’т«м– прямокут’І тр–кут’–к– ’«
м«лю’к«ц 321 І 322 є рІв’–м–? З«п–шІть вІдповІд’І рІв’остІ.
112
Розділ 3
468
З« як–м– елеме’т«м– є рІв’–м– прямокут’І тр–кут’–к–
’« м«лю’к«ц 323 І 324? З«п–шІть вІдповІд’І рІв’остІ.
469
З’«—
дІть гостр–— кут прямокут’ого тр–кут’–к«, якщо
І’ш–— —ого гостр–— кут дорІв’ює:

470
З’«—
дІть гостр–— кут прямокут’ого тр–кут’–к«, якщо
І’ш–— —ого гостр–— кут дорІв’ює:

471
З’«—
дІть кут– рІв’о»едре’ого прямокут’ого тр–кут
’–к«.
472
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку од–’ з кутІв пр– ос’овІ
дорІв’ює 45
. Ч– мож’« стверджув«т–, що це— тр–кут’–к
прямокут’–—?
473
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
ABC
(м«л.
325). З’«—
дІть:

474
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
PFL
(м«л.
326). З’«—
дІть:

113
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
475
О« м«лю’ку 327
° в–сот« тр–кут’–к«
ABC
. З’«—
дІть
кут– тр–кут’–к«
ABC
, якщо
ABK
KBC
476
О« м«лю’ку 328
KLM
° рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з
ос’овою
° —ого медІ«’«. З’«— дІть кут– тр–кут’–к«
KLM
, якщо
KLN
477
О« м«лю’ку 329
. ∠оведІть,
що
ABC
KLC
478
О« м«лю’ку 330
PMK
LMK
. ∠оведІть, що
MPK
MLK
479
З’«—дІть гострІ кут– прямокут’ого тр–кут’–к«, якщо:
од–’ з ’–ц ’« 28
»Ільш–— з« друг–—;
од–’ з ’–ц у 5 р«зІв ме’ш–— з« друг–—;
їц гр«дус’І мІр– вІд’осяться як 2 :
480
З’«—дІть гострІ кут– прямокут’ого тр–кут’–к«, якщо:
од–’ з ’–ц у 4 р«з– »Ільш–— з« друг–—;
2) од–’ з ’–ц ’« 16
ме’ш–— з« друг–—;
їц гр«дус’І мІр– вІд’осяться як 5 :
114
Розділ 3
481
З’«—
дІть ме’ш–— з кутІв, що утворює »Ісектр–с« прямого
кут« тр–кут’–к« з гІпоте’узою, якщо од–’ з гостр–ц кутІв
тр–кут’–к« дорІв’ює 26
482
З’«—
дІть »Ільш–— з кутІв, що утворює »Ісектр–с« прямого
кут« тр–кут’–к« з гІпоте’узою, якщо од–’ з гостр–ц кутІв
тр–кут’–к« дорІв’ює 68
483
. ∠оведІть, що точк«, як« леж–ть у в’утрІш’І—
о»л«стІ кут« І рІв’овІдд«ле’« вІд —ого сторІ’, ’«леж–ть
»Ісектр–сІ цього кут«.
484
Кут мІж в–сотою прямокут’ого тр–кут’–к«, проведе’ою
до гІпоте’уз–, І од’–м з к«тетІв дорІв’ює 32
. З’«—
дІть гострІ
кут– тр–кут’–к«.
485
Од–’ з кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І »Ісектр–с прямого
І гострого кутІв тр–кут’–к«, дорІв’ює 115
. З’«—
дІть гострІ
кут– цього тр–кут’–к«.
486
∠оведІть, що дв« рІв’о»едре’–ц тр–кут’–к– рІв’І, якщо
вІдповІд’о рІв’І їц »Іч’І сторо’– І в–сот–, проведе’І до ос’ов.
487
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку од–’ з кутІв дорІв’ює 60
, «
сум« гІпоте’уз– І ме’шого к«тет« ° 30 см. З’«—
дІть довж–’у
гІпоте’уз– т« медІ«’–, що проведе’« до ’еї.
488
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку гостр–— кут дорІв’ює 60
« »Ісектр–с« цього кут«
° 4 см. З’«— дІть довж–’у к«тет«, що
леж–ть прот– цього кут«.
489
РІз’–ця гр«дус’–ц мІр двоц зов’Іш’Іц кутІв пр– вер
ш–’«ц гостр–ц кутІв прямокут’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 20
З’«—
дІть гострІ кут– тр–кут’–к«.
490
З’«—
дІть гр«дус’І мІр– гостр–ц кутІв прямокут’ого тр–
кут’–к«, якщо гр«дус’І мІр– їц зов’Іш’Іц кутІв вІд’осяться
як 2 :
491
. ∠оведІть, що кол– медІ«’« тр–кут’–к« дІл–ть —ого
’« дв« тр–кут’–к– з од’«ков–м– пер–метр«м–, то цоч«
» дв« кут– тр–кут’–к« мІж со»ою рІв’І.
492
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« ’« 20
ме’ш–— з« дру
г–— І втр–чІ ме’ш–— з« третІ—. З’«— дІть кож’–— з кутІв
тр–кут’–к«.
493
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку ос’ов« »Ільш« з«
»Іч’у сторо’у ’« 3 см, «ле ме’ш« вІд сум– »Іч’–ц сторІ’
’« 4 см. З’«— дІть пер–метр цього тр–кут’–к«.
494
Соз’«чте вІсІм точок І сполучІть їц вІдрІзк«м– т«к,
що» жод’І дв« з ’–ц ’е перет–’«л–ся І з кож’ої точк–
в–цод–ло по чот–р– вІдрІзк–.
115
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
20.
НЕРІВНІСТь
Розгля’емо в«жл–ву вл«ст–вІсть сторІ’ тр–кут’–к«.
У е о р е м « (’ерІв’Ість тр–кут’–к«).
тр–кут’–к« ме’ш« в№д сум– двоц №’ш–ц —ого стор№’
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо до
вІль’–—
ABC
І доведемо, що —ого сторо’«, ’«пр–
кл«д
, ме’ш« вІд сум– двоц І’ш–ц
сторІ’
∈Ідкл«демо ’« продовже’’І сторо’–
вІдрІзок
, що дорІв’ює сторо’І
(м«л.
331). УодІ
BCK
°
рІв’о»едре’–— І
тому
CBK
CKB
ABK
CBK
, тому
ABK
AKB
. ОскІльк– в
тр–кут’–ку прот– »Ільшого кут« леж–ть »Ільш« сторо’«, то
. Але ж
+
+
. Отже,
+
А’«логІч’о мож’« довест–, що
+
+
Уеорему доведе’о.
О « с л І д о к.
Кож’« з№ стор№’ тр–кут’–к« »№льш« з«
р№з ’–цю двоц №’ш–ц —ого стор№’
∠ о в е д е ’ ’ я. З«п–шемо ’ерІв’Ість тр–кут’–к« для
тр–кут’–к«
ABC
+
∈Ід’явш– вІд о»оц її ч«ст–’,
’«пр–кл«д
, м«т–мемо:

. У«ку дІю мож’«
в–ко’«т–, в–кор–стовуюч– вл«ст–востІ ’ерІв’осте—, якІ роз
гляд«т–муться в курсІ «лге»р–. Отже,

. А’«ло
гІч’о:
ОскІльк–, ’«пр–кл«д,

І

, то,
уз«г«ль’ююч–, отр–м«ємо
З теорем– про ’ерІв’Ість тр–кут’–к« т« ’«слІдку з ’еї отр–
м«ємо в«жл–ве спІввІд’оше’’я мІж сторо’«м– тр–кут’–к«:
кож’« сторо’« тр–кут’–к« ме’ш« в№д сум– двоц №’ш–ц
стор№’, «ле »№льш« з« модуль їц р№з’–ц№.
О«пр–кл«д, |
Çàäà÷à 1
. ∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 0,7 см І
1,7
см. З’«—т– довж–’у третьої сторо’–, якщо її довж–’«
дорІв’ює цІлому ч–слу с«’т–метрІв.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— ’евІдом« сторо’« тр–кут’–к«
дорІв’ює
см. УодІ 1,7

0,7
1,7
+
0,7, то»то 1
2,4.
ОскІльк–
° цІле ч–сло, то
2 (см).
∈ І д п о в І д ь. 2 см.
20.
НІСТь
116
Розділ 3
Çàäà÷à 2
. Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« 60 см, « двІ
—ого сторо’– вІд’осяться як 2
:
5. З’«—
т– сторо’– тр–кут
’–к«.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Соз’«ч–мо сторо’– тр–кут’–к«, вІд
’оше’’я як–ц 2
5, як 2
см І 5
см. ОскІльк– ’евІдомо, як« з
° ос’ов«, « як«
° »Іч’« сторо’«, розгля’емо дв« в–п«дк–.
Ос’ов« дорІв’ює 5
см, « »Іч’І сторо’–
° по 2
см. Але
тодІ 2
+ 2
5
, що супереч–ть ’ерІв’остІ тр–кут’–к«, то»то
тр–кут’–к« зІ сторо’«м– 2
’е Іс’ує.
Ос’ов« дорІв’ює 2
см, « »Іч’І сторо’–
° по 5
см. ∠ля
цього в–п«дку ’ерІв’Ість тр–кут’–к« в–ко’ується.
Отже, з« умовою з«д«чІ м«ємо рІв’я’’я:
+ 5
+ 5
60,
5 (см).
УодІ 2
10 (см)
° ос’ов«, 5
25 (см)
° »Іч’« сторо’«.
∈ І д п о в І д ь. 10 см; 25 см; 25 см.
Тформулю—те теорему про ’ерІв’Ість тр–кут’–к« т« ’«
слІдок з ’еї.
ак–м– спІввІд’оше’’ям– пов’яз«’І мІж
со»ою сторо’– тр–кут’–к«?
495
Ч– Іс’ує тр–кут’–к зІ сторо’«м–:
1) 1 см, 2 см І 4 см; 2) 7 дм, 6 дм І 5 дм; 3) 3 см, 4 см І 7 см?
496
Ч– Іс’ує тр–кут’–к зІ сторо’«м–:
1) 2 дм, 5 дм І 7 дм; 2) 2 см, 3 см І 6 см;
5 дм, 2 дм І 4
497
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 2,9 см І 8,3 см.
акому ’«—»Ільшому цІлому ч–слу с«’т–метрІв може дорІв’ю
в«т– третя сторо’«?
498
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 2,9 см І 4,5
см.
акому ’«—ме’шому цІлому ч–слу с«’т–метрІв може дорІв’ю
в«т– третя сторо’«?
499
Ч– можуть сторо’– тр–кут’–к« »ут– пропорцІ—’–м–
ч–сл«м:
1) 2, 3, 4; 2) 7, 8, 15; 3) 5, 3, 7?
500
Ч– можуть сторо’– тр–кут’–к« »ут– пропорцІ—’–м–
ч–сл«м:
1) 5, 1, 4; 2) 5, 6, 7; 3) 8, 2, 11?
501
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 12
см. Ч–
може »Іч’« сторо’« цього тр–кут’–к« дорІв’юв«т– 3
см?
502
∠вІ сторо’– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’юють 5
см
І 11
см. З’«—
дІть пер–метр цього тр–кут’–к«.
503
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 2,5 см І 1,2
см.
ак–м може »ут– пер–метр тр–кут’–к«, якщо довж–’« третьої
сторо’– дорІв’ює цІлому ч–слу с«’т–метрІв?
117
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
504
Сер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 30 см. Ч– може од’« з
—ого сторІ’ дорІв’юв«т–:


Сер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 40
дм. Ч– може од’« з
—ого сторІ’ дорІв’юв«т–:


506
Ч– Іс’ує тр–кут’–к з пер–метром 20 см, од’« сторо’«
якого ’« 2 см »Ільш« з« другу І ’« 4 см ме’ш« вІд третьої?
507
Ч– Іс’ує тр–кут’–к з пер–метром 23 см, од’« сторо’«
якого ’« 6 см ме’ш« вІд другої І ’« 1 см »Ільш« з« третю?
508
З’«—
дІть кут– тр–кут’–к«
ABC
, якщо кут
втр–чІ
ме’ш–— вІд кут«
І ’« 15
»Ільш–— з« кут
509
∠оведІть, що дв« прямокут’–ц тр–кут’–к– рІв’І,
якщо в–сот«, проведе’« до гІпоте’уз–, І к«тет од’ого
тр–кут’–к« дорІв’юють вІдповІд’о в–сотІ, проведе’І—
до гІпоте’уз–, І к«тету другого тр–кут’–к«.
510
Ко’–к
­стр–»у’ець може перемІщув«т–ся вздовж
д«’ої прямої ’« 4 см «»о 6 см (у »удь­як–— »Ік). Ч–
зможе вІ’ з« кІльк« стр–»кІв оп–’–т–ся в точцІ, що з’«цо
д–ться вІд поч«ткової ’« вІдст«’І:

∠ом«ш’я с«мост№—’« ро»от« № 4 (§ 17 – § 20)
. Ур– кут– тр–кут’–к« можуть дорІв’юв«т–…


ABC
. СорІв’я—те
І
цього тр–кут
’–к«.
< ∠


> ∠

порІв’ят– ’емож л–во.
З’«—
дІть друг–— гостр–— кут прямокут’ого тр–кут’–к«,
якщо перш–— дорІв’ює 40



. Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 72
. З’«—
дІть суму двоц
І’ш–ц кутІв тр–кут’–к«.



Зов’Іш’І— кут пр– верш–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 140
. З’«— дІть кут пр– ос’овІ цього тр–кут’–к«.



118
Розділ 3
. ∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 2,7 см І 4,2 см. акому
цІлому ч–слу с«’т–метрІв Ое може дорІв’юв«т– третя сторо’«
тр–кут’–к«?



. Од–’ з гостр–ц кутІв прямокут’ого тр–кут’–к« ’« 30
ме’ш–— вІд другого, « гІпоте’уз« тр–кут’–к« дорІв’ює 8 см.
З’«—
дІть ме’ш–— з —ого к«тетІв.


Ф тр–кут’–ку дв« кут– дорІв’юють 60
І 50
. З’«—
дІть кут
мІж прям–м–, що мІстять »Ісектр–с– ц–ц кутІв.


Сер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 16 см. акою Ое може »ут–
довж–’« од’Ієї з —ого сторІ’?

7,5 см;

ВІсектр–с« кут« пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює ос’овІ цього тр–кут’–к«. З’«— дІть кут пр– ос’овІ
цього тр–кут’–к«.



. Зов’Іш’І кут– тр–кут’–к« вІд’осяться як 3 : 5 : 7. З’«—­
дІть ме’ш–— з в’утрІш’Іц кутІв тр–кут’–к«.



. Ф прямокут’ому тр–кут’–ку од–’ з кутІв дорІв’ює 60
« сум« ме’шого к«тет« І медІ«’–, проведе’ої до гІпоте’уз–,
дорІв’ює 10 см. З’«— дІть гІпоте’узу тр–кут’–к«.


З«вд«’’я для перевірк– з’«’ь № 4 (§
20)
З’«—
дІть третІ— кут тр–кут’–к«, якщо дв« з —ого кутІв
дорІв’юють 30
І 80
О«креслІть
PLK
т« —ого зов’Іш’І— кут пр– верш–’І
. З« як–м– елеме’т«м– рІв’І мІж со»ою прямокут’І тр–
кут’–к–, зо»р«же’І ’« м«лю’ку 332? З«п–шІть вІдповІд’І
рІв’остІ.
. Кут пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 71
З’«—
дІть кут пр– верш–’І цього тр–кут’–к«.
О« м«лю’ку 333
° в–сот« тр–кут’–к«
ABC
ABP
PBC
. З’«— дІть кут– тр–кут’–к«
ABC
119
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 5,2
см І 6,3 см. акому
’«—»Ільшому цІлому ч–слу с«’т–метрІв може дорІв’юв«т–
третя сторо’«?
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« вдвІчІ ме’ш–— з« друг–— І ’« 16
»Ільш–— з« третІ—. З’«— дІть кут– тр–кут’–к«.
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 112
. З’«—
дІть в’утрІш’І кут–, ’е сумІж’І з ’–м, якщо во’– вІд’осяться
як 3 :
. Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
BCD
° »Ісек
тр–с« тр–кут’–к«,
CBD
. З’«—
дІть довж–’у к«тет«
якщо
см.
∠од«ткові впр«в–
Зов’Іш’І кут– тр–кут’–к« вІд’осяться як 4
6. З’«—
дІть вІд’оше’’я в’утрІш’Іц кутІв тр–кут’–к«.
Ч– Іс’ує тр–кут’–к з пер–метром 23 см, од’« сторо’«
якого ’« 3 см »Ільш« з« другу І ’« 5 см ме’ш« вІд третьої?
Вправи для повторення розділу 3
511
О«креслІть прямокут’–— тр–кут’–к
KLP
. З«п–шІть
’«зв– верш–’, сторІ’ т« кутІв цього тр–кут’–к«.
512
Од’« сторо’« тр–кут’–к« дорІв’ює 18
см, друг« сторо’«
’« 6 см »Ільш« з« першу, « третя сторо’« вдвІчІ ме’ш« вІд
другої. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«.
513
З« допомогою тр«’спорт–р« т« лІ’І—к– з подІлк«м– ’«
креслІть
MLP
, у якого
5 см,
514
Од’« сторо’« тр–кут’–к« удвІчІ ме’ш« вІд другої, «
третя
° скл«д«є 80
% вІд другої. З’«— дІть сторо’– тр–кут
’–к«, якщо —ого пер–метр дорІв’ює 46
см.
Розділ 3
515
З’«—
дІть сторо’– тр–кут’–к«
ABC
, якщо
+
см,
см,
см.
516
Тторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 3
см, 7
см І 8
см.
З’«—
дІть сторо’– рІв’ого —ому тр–кут’–к«.
2) Кут– тр–кут’–к« дорІв’юють 40
, 60
І 80
. З’«— дІть кут–
рІв’ого —ому
517
Ч– мож’« сумІст–т– ’«кл«д«’’ям верт–к«ль’І кут–?
518
Ч– можуть »ут– рІв’–м– тр–кут’–к–, ’«—»ІльшІ сторо’–
як–ц ’е є рІв’–м–?
519
∠«’о:
ABC
ACB
7 см,
4
см. З’«—т–:
ABC
520
О«звІть спІль’–— елеме’т тр–кут’–кІв, зо»р«же’–ц ’«
м«лю’к«ц 334 т« 335, І оз’«ку, з« якою цІ тр–кут’–к– рІв’І.
521
∠оведІть, що
AOD
COB
(м«л.
336), якщо
522
∠оведІть, що
MKN
MPN
(м«л.
337), якщо
KMN
PMN
KNM
PNM
523
О« м«лю’ку 338
MAB
PDC
∠оведІть, що
524
що» з’«—т– вІдст«’ь вІд пу’кту
до ’едосяж’ого
пу’кту
(м«л.
339), ’« »ерезІ поз’«ч«ють точк–
І
т«к,
що»
XAB
CAB
XBA
CBA
. УодІ
. Чому?
525
О« м«лю’ку 340 зо»р«же’о фІгуру, у якої
BCF
EFK
. ∠оведІть, що
ABC
DEF
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
526
О« сторо’«ц кут«
поз’«че’о точк–
І
т«к, що
(м«л.
341). ∠оведІть, що: 1)
° »Ісектр–с« кут«
527
° ос’ов« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
AKP
5 см. З’«— дІть
. З’«— дІть
528
Ос’ов« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 5
см, «
»Іч’« сторо’«
° 4
см.
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«.
529
О« м«лю’ку 342
BAC
CAD
. ∠оведІть, що
BCD
°
рІв’о»едре’–—.
530
Ос’ов« І пр–легл–— до ’еї кут од’ого
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« вІдповІд’о
дорІв’юють ос’овІ т« пр–леглому до ’еї
Розділ 3
куту І’шого рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«. Ч– »удуть рІв’–м–
мІж со»ою цІ тр–кут’–к–?
531
Ос’ов« т« »Іч’« сторо’« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« вІд
’осяться як 3
4. З’«—
дІть сторо’– цього тр–кут’–к«, якщо
—ого пер–метр дорІв’ює 88
см.
532
ABC
І
ABD
рІв’о»едре’І зІ спІль’ою ос’овою
Уочк–
І
леж«ть по рІз’І »ок– вІд прямої
. ∠оведІть, що
ACD
BCD
533
ак ’«з–в«ють у тр–кут’–ку:
вІдрІзок, що сполуч«є —ого верш–’у Із серед–’ою прот–
2) перпе’д–куляр, проведе’–— з —ого верш–’– до прямої, що
3) вІдрІзок »Ісектр–с– кут« тр–кут’–к«, що сполуч«є верш–
534
ВІсектр–с« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, проведе’« до
ос’ов–, дорІв’ює 5
см. З’«—
дІть в–соту цього тр–кут’–к«,
проведе’у до ос’ов–; медІ«’у цього тр–кут’–к«, проведе’у до
ос’ов–.
О« м«лю’ку 343 вІдрІзок
° медІ«’« рІв’о»едре’ого
тр–кут’–к«
MNL
з ос’овою
. З«п–шІть тр– п«р– рІв’–ц
кутІв І двІ п«р– рІв’–ц вІдрІзкІв, що є ’« цьому м«лю’ку.
536
І
° вІдповІд’о медІ«’– рІв’–ц мІж со»ою тр–
кут’–кІв
ABC
. ∠оведІть, що
ABM
537
∠оведІть, що в рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку »удь­
як«
точк« проведе’ої до ос’ов– в–сот–, рІв’овІдд«ле’« вІд кІ’цІв
ос’ов– тр–кут’–к«.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
538
О« м«лю’ку 344
ABD
ADB
CBD
CDB
. ∠ове
дІть, що
539
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку
ABC
см.
точк–
° серед–’–
° проведе’о перпе’д–куляр до
як–— перет–’«є
в точцІ
(м«л.
345). З’«—
дІть довж–’у
сторо’–
т« пер–метр тр–кут’–к«
ABC
, якщо пер–метр тр–
кут’–к«
AKC
дорІв’ює
см (
540
∠оведІть, що
ABC
CDA
(м«л. 346),
якщо
541
Тторо’« од’ого рІв’осторо’’ього тр–кут
’–к« дорІв’ює сторо’І І’шого рІв’осторо’
’ього тр–кут’–к«. Ч– мож’« стверджув«т–,
що тр–кут’–к– рІв’І?
542
∠оведІть рІв’Ість тр–кут’–кІв з« двом«
сторо’«м– т« медІ«’ою, проведе’ою до од’Ієї з ’–ц.
543
З’«—
дІть кут
тр–кут’–к«
ABC
, якщо:

2)
544
О« м«лю’ку 347
° »Ісектр–с« рІв’о»едре’ого тр–кут
’–к«
ABC
з ос’овою
. З’«—
дІть:
545
∈–з’«чте в–д тр–кут’–к«
ABC
з« сторо’«м–, якщо
546
З« м«лю’ком 348 з’«—дІть гр«дус’у мІру кут«
547
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 60
, « дв« І’ш–ц вІд
’осяться як 2 : 3. З’«— дІть цІ кут–.
Розділ 3
548
З’«—
дІть кут мІж двом« прям–м–, що мІстять медІ«’–
рІв’осторо’’ього тр–кут’–к«.
549
ВІсектр–с« од’ого з кутІв тр–кут’–к« утворює з в–сотою,
проведе’ою з тІєї с«мої верш–’–, кут 16
, « ме’ш–— з двоц
І’ш–ц кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 50
. З’«—
дІть ’евІдомІ кут–
тр–кут’–к«.
550
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут« тр–кут’–к«, якщо вІ’:
551
Ф рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку
ABC
з ос’овою
прове
де’о »Ісектр–су
. З’«—
дІть:
, якщо
AKB
, якщо
AKC
552
О«креслІть
MNK
т« по од’ому зов’Іш’ьому куту пр–
кож’І— верш–’І цього тр–кут’–к«.
553
Зов’Іш’І— кут пр– ос’овІ рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 150
. З’«— дІть в’утрІш’І кут– тр–кут’–к«.
554
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 80
. Ч– може зов’Іш’І—
кут тр–кут’–к«, ’е сумІж’–— з ’–м, дорІв’юв«т–:


Зов’Іш’І кут– пр– двоц верш–’«ц тр–кут’–к« дорІв
’юють 115
І 137
. З’«—
дІть гр«дус’у мІру зов’Іш’ього кут«
пр– третІ— верш–’І.
556
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює полов–’І зов’Іш’ього
кут«, ’е сумІж’ого з ’–м. ∠оведІть, що тр–кут’–к
° рІв’о
»едре’–—.
557
∠в« в’утрІш’Іц кут– тр–кут’–к« вІд’осяться як 2 :
3,
« зов’Іш’І— кут третього кут« дорІв’ює 140
. З’«—
дІть кут–
тр–кут’–к«.
558
Тум« в’утрІш’Іц кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« р«зом
з од’–м Із зов’Іш’Іц кутІв дорІв’ює 260
. З’«—
дІть гр«дус’І
мІр– в’утрІш’Іц кутІв тр–кут’–к«.
559
∠оведІть, що ’е Іс’ує тр–кут’–к«, у якому зов’Іш’І кут–
пр– кож’І— з верш–’ »ІльшІ з« 120
560
∈’утрІш’І— кут тр–кут’–к« дорІв’ює рІз’–цІ зов’Іш’Іц
кутІв, ’е сумІж’–ц з ’–м. ∠оведІть, що тр–кут’–к ° прямо
кут’–—.
ТРИКУТНИКИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
561
Фк«жІть умов–, з як–ц слІдує рІв’Ість двоц прямокут’–ц
тр–кут’–кІв:
к«тет од’ого тр–кут’–к« дорІв’ює к«тету другого тр–кут
2) к«тет І пр–легл–— до ’ього кут од’ого тр–кут’–к« дорІв
’ює к«тету І пр–леглому до ’ього куту другого тр–кут’–к« ;
дв« гострІ кут– од’ого тр–кут’–к« дорІв’юють двом
4) к«тет І гІпоте’уз« од’ого тр–кут’–к« дорІв’юють к«тету І
562
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
MKP
(м«л.
349).
З’«—
дІть:
, якщо
24 см;
, якщо
мм.
563
О« м«лю’ку 350
° »Ісектр–с« кут«
∠оведІть, що
ABC
APC
564
З’«—
дІть гострІ кут– прямокут’ого тр–кут’–к«, якщо їц
гр«дус’І мІр– вІд’осяться як 7 :
565
З верш–’– прямого кут« прямокут’ого тр–кут’–к« про
веде’о »Ісектр–су І в–соту, кут мІж як–м– 15
. З’«—
дІть гострІ
кут– тр–кут’–к«.
566
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
ABC
. З’«—
дІть
довж–’у гІпоте’уз–, якщо в–сот«, проведе’« до ’еї, дорІв’ює
см.
567
З’«—
дІть кут мІж »Ісектр–с«м– гостр–ц кутІв прямокут
’ого тр–кут’–к«.
Розділ 3
568
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку к«тет з«вдовжк– 24
см пр–
ляг«є до кут« 30
. З’«—
дІть »Ісектр–су другого гострого кут«
тр–кут’–к«.
569
Кут пр– верш–’І рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює
120
, « в–сот«, проведе’« до »Іч’ої сторо’–, °
см. З’«—
дІть
ос’ову тр–кут’–к«.
570
МедІ«’«, проведе’« до гІпоте’уз– прямокут’ого тр–кут
’–к«, дорІв’ює 10
см І дІл–ть прям–— кут у вІд’о
ше’’І 1
2.
З’«—
дІть гІпоте’узу т« ме’ш–— к«тет тр–кут’–к«.
571
∠оведІть, що в ’ерІв’о»едре’ому прямокут’ому тр–
кут’–ку »Ісектр–с« прямого кут« дІл–ть кут мІж в–сотою
І медІ«’ою, проведе’–м– з тІєї с«мої верш–’–, ’«впІл.
572
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 5 см І 8 см. Ч– може
третя сторо’« тр–кут’–к« дорІв’юв«т–:




573
∠вІ сторо’– тр–кут’–к« дорІв’юють 5,2 см І 8,7 см.
акому ’«—ме’шому цІлому ч–слу с«’т–метрІв може дорІв­
’юв«т– третя сторо’« І якому ’«—»Ільшому?
574
О« сторо’«ц
І
тр–кут’–к«
ABC
поз’«че’о точк–
, пр–чому точк«
° серед–’«
6 см,
4
см.
Ч– може довж–’« сторо’–
дорІв’юв«т– 21
см?
575
З’«—
дІть сторо’у рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, якщо двІ
І’шІ сторо’– дорІв’юють:


576
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 51
см,
двІ —ого сторо’– вІд’осяться як 3
7. З’«—
дІть сторо’– тр–
кут’–к«.
КОЛО І КРУГ.
ГЕОМЕТРИЧНІ
ПОБУДОВИ
цьому розділі ви:
пригадаєте
поняття кола, круга та їх елементів;
ознайомитеся
з поняттями дотичної до кола, серединно
го перпендикуляра до відрізка, кола, описаного навколо
трикутника, і
кола, вписаного в трикутник; поняттям гео
метричного місця точок;
навчитеся
застосовувати означення та властивості до
розв’язування задач, у тому числі задач на побудову.
21.
ОЛО
Ф поперед’Іц кл«с«ц в– вже з’«—ом–л–ся з по’яттям–
кол« т« —ого елеме’тІв. Ср–г«д«ємо їц.
Колом
називають геометричну фігуру, яка складається з
усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки.
Цю точку ’«з–в«ють
цдмср’л
кол«. ∈ІдрІзок, що сполуч«є
це’тр з »удь­якою точкою кол«, ’«з–в«ють
р«діусом
О« м«лю’ку 351 зо»р«же’о коло Із це’тром у точцІ
І
р«дІусом
. З оз’«че’’я кол« в–пл–в«є, що всІ р«дІус– од’ого
— того с«мого кол« м«ють
од’«кову довж–’у. Р«дІус кол« ч«сто
поз’«ч«ють »уквою
∈ІдрІзок, що сполуч«є двІ точк– кол«, ’«з–в«ють
õîðäîþ
. Цорду, що процод–ть через це’тр кол«, ’«з–в«ють
ді«мет
ром
. О« м«лю’ку 352 вІдрІзок
є цордою кол«, «
21.
ОЛО
ОЛО
Розділ 4
вІдрІзок
° —ого дІ«метром. ∠І«метр кол« ч«сто поз’«ч«ють
»уквою
ОскІльк– дІ«метр кол« скл«д«ється з двоц р«дІусІв
(’«пр–кл«д,
), то —ого довж–’« удвІчІ »Ільш« з«
довж–’у р«дІус«, то»то
2
. КрІм того, це’тр кол« є серед
–’ою »удь
­якого дІ«метр«.
Коло ’« п«перІ зо»р«жують з« допомогою ц–ркуля
(м«л.
353). О« мІсцевостІ для по»удов– кол« мож’« в–кор–с
т«т– мотузку (м«л.
354).
Розгля’емо деякІ вл«ст–востІ елеме’тІв кол«.
У е о р е м « 1 (про порІв’я’’я дІ«метр« І цорд–).
є ’«—»№льшою №з цорд
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
° довІль’–— дІ«метр кол«,
р«дІус якого дорІв’ює
, «
° вІдмІ’’« вІд дІ«метр« цорд«
кол« (м«л.
355). ∠оведемо, що
. Ф тр–кут’–ку
MON
, в–кор–стовуюч– ’ерІв’Ість
тр–кут’–к«, м«ємо
. Отже,
< 2
. Уому
. Уеорему доведе’о.
У е о р е м
« 2 (про кут, пІд як–м в–д’о дІ«метр з точк–
кол«).
∠№«метр з »удь­якої точк– кол« в–д’о п№д прям–м
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
° дІ«метр кол«, «
° довІль’«
точк« кол« (м«л.
356). ∠оведемо, що
APB
90
Ф тр–кут’–ку
AOP
(як р«дІус–). Уому
AOP
°
рІв’о»едре’–— І
OAP
OPA
А’«логІч’о
OPB
OBP
Отже,
APB
+
. Але ж у
APB
APB
+
180
. Уому
APB
+
APB
180
; 2
APB
180
APB
90
. Уеорему доведе’о.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
У е о р е м « 3 (вл«ст–вІсть дІ«метр« кол«, перпе’д–ку
ляр’ого до цорд–).
∠№«метр кол«
перпе’д–куляр’–— до
д№л–ть її ’«вп№л
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
° дІ«метр кол«,
°
вІд
мІ’’« вІд дІ«метр« цорд« кол«,
(м«л.
357). ∠оведемо,
що
, де
° точк« перет–’у
MON
° рІв’о»едре’–—, »о
(як р«дІус–).
°
—ого в–сот«, проведе’« до ос’ов–. Уому
є т«кож І медІ«’ою.
Отже,
акщо цорд«
є дІ«метром кол«, то твердже’’я теорем–
є очев–д’–м. Уеорему до
веде’о.
У е о р е м « 4 (вл«ст–вІсть дІ«метр« кол«, що процод–ть
через се
ред–’у цорд–).
∠№«метр кол«
що процод–ть через
серед–’у цор д–
як« ’е є 乫метром
перпе’д–куляр’–— до
ц№єї цорд–
∠ о в е д е ’ ’
я.
Оец«— дІ«метр
процод–ть через
точку
° серед–’у цорд–
, як« ’е є дІ«метром кол«
(м«л.
358). ∠оведемо, що
MON
° рІв’о»едре’–—, »о
(як р«дІус–).
°
медІ«’« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, проведе’« до ос’ов–.
Уому
є т«кож в–сотою. Отже,
, « тому І
Уеорему доведе’о.
Розділ 4
Коло разом із його внутрішньою
областю називають
кругом
О« м«лю’ку 359 зо»р«же’о круг.
Цдмср’л
рагітп’л
гіалдср’л
ф’рг’ю
—ртва
’«з–в«ють вІдповІд’о це’тр, р«дІус,
дІ«метр, цорду кол«, яке є межею д«’ого
круг«.
Çàäà÷à
. О« м«лю’ку 360 точк«
°
це’тр кол«,
LKM
. З’«—
дІть
MOL
ОскІльк– точк«
° це’тр кол«, то
(як р«дІус–).
Уому
KOM
° рІв’о»едре’–—. А отже,
Кут
MOL
є зов’Іш’Ім кутом тр–кут’–к«
KOM
, тому
MOL
∈ І д п о в І д ь. 50
що ’«з–в«ють колом; це’тром кол«; р«дІусом кол«?
ак–— вІдрІзок ’«з–в«ють цордою кол«, « як–— °
дІ«мет ром кол«?
що ’«з–в«ють кругом?
лю—те І доведІть теорем– про вл«ст–востІ елеме’тІв кол«.
577
Упм’
) акІ з вІдрІзкІв, зо»р«же’–ц ’« м«лю’ку 361, є:
цорд«м– кол«; 2) дІ«метр«м– кол«; 3) р«дІус«м– кол«?
578
З’«—
дІть ’« м«лю’ку 361 цорду, що процод–ть через
це’тр кол«. ак ’«з–в«ють т«ку цорду?
579
О»ч–слІть дІ«метр кол«, якщо —ого р«дІус дорІв’ює:
см;

4,7 дм.
580
З’«—
дІть дІ«метр кол«, якщо —ого р«дІус дорІв’ює:

КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
581
З’«—
дІть р«дІус кол«, якщо —ого дІ«метр дорІв’ює:

582
О»ч–слІть р«дІус кол«, якщо —ого дІ«метр дорІв’ює:

583
О«креслІть коло, р«дІус якого дорІв’ює 4 см. СроведІть у
’ьому дІ«метр
т« цорду
. З’«—
дІть
NKM
584
О«креслІть коло, р«дІус якого дорІв’ює 3,6 см. Срове
дІть у ’ьому дІ«метр
т« цорду
. СеревІрте з« допомогою
кос–’ця «»о тр«’спорт–р«, що кут
BDA
° прям–—.
Фсеред–’І кол« взято довІль’у точку, вІдмІ’’у вІд це’т­
р«. ТкІльк– дІ«метрІв І скІльк– цорд мож’« провест– через цю
точку?
586
О« колІ взято довІль’у точку. ТкІльк– дІ«метрІв І скІльк–
цорд мож’« через ’еї провест–?
587
Р«дІус кол« дорІв’ює 5 см. Ч– може цорд« цього кол«
дорІв’юв«т–:




588
Р«дІус кол« дорІв’ює 4 дм. Ч– може цорд« цього кол«
дорІв’юв«т–:




589
Ф колІ проведе’о дІ«метр–
І
(м«л.
362). ∠оведІть,
що
AOD
BOC
590
Ф колІ Із це’тром
проведе’о цорд–
І
т« дІ«метр
POK
MON
(м«л.
363). ∠оведІть, що
MON
POK
591
О« м«лю’ку 364 точк«
° це’тр кол«. З’«—
дІть гр«
дус’у мІру:

592
О« м«лю’ку 364 точк«
° це’тр кол«. З’«—
дІть гр«
дус’у мІру:

Розділ 4
593
О« м«лю’ку 365 точк«
° це’тр кол«,
COA
З’«—
дІть
CBA
594
О« м«лю’ку 365 точк«
° це’тр кол«,
BCO
З’«—
дІть
AOC
595
∠«’о
коло р«дІус« 5 см. 1) СроведІть у ’ьому цорду
з«вдовжк– 6 см. ТкІльк– т«к–ц цорд мож’« провест–?
Уочк«
’«леж–ть д«’ому колу. ТкІльк– цорд з«вдовжк–
6 см мож’« провест– з д«’ої точк–?
596
Ф колІ ’« м«лю’ку 366
° дІ«метр,
ABM
60
5 см. З’«— дІть дІ«метр кол«.
597
Ф колІ ’« м«лю’ку 366
° дІ«метр,
ABM
60
18 см. З’«— дІть довж–’у цорд–
598
∠оведІть, що кол– цорд– рІв’овІдд«ле’І вІд це’тр« кол«,
то во’– рІв’І.
599
∠оведІть, що рІв’І цорд– кол« рІв’овІдд«ле’І вІд —ого
це’тр«.
600
Цорд« кол« перет–’«є —ого дІ«метр пІд кутом 30
І
дІл–ться дІ«метром ’« вІдрІзк– з«вдовжк– 4 см І 7 см. З’«—­
дІть вІдст«’ь вІд кІ’цІв цорд– до прямої, що мІст–ть дІ«метр
кол«.
601
. Со»уду—те пряму
, точку
, що з’«цод–ться ’«
вІдст«’І 3 см вІд прямої, т« точку
, що з’«цод–ться ’«
вІдст«’І 2 см вІд прямої, т«к, що» вІдрІзок
пере
т–’«в пряму.
602
∠в« рІв’–ц мІж со»ою туп–ц кут– м«ють спІль’у
сторо’у, « двІ І’шІ сторо’– вз«єм’о перпе’д–куляр’І.
З’«—
дІть гр«дус’у мІру тупого кут«.
603
∠оведІть рІв’Ість двоц гострокут’–ц рІв’о»едре’–ц
тр–кут’–кІв з« ос’овою І в–сотою, проведе’ою до »Іч’ої
сторо’–.
604
. Ф коро»цІ шокол«д’І цукерк– кв«др«т’ої форм–
в–кл«де’о у в–глядІ кв«др«т« в од–’ ш«р. М«рІ—к« з’їл«
всІ цукерк– по пер–метру кв«др«т«
° всього 20 цукерок.
ТкІльк– цукерок з«л–ш–лось у коро»цІ?
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
22.
ДОТИЧНА ДО КОЛА
ЛАСТИ
ВОСТІ
Розгля’емо вз«єм’е розт«шув«’’я прямої І кол«.
Срям« І коло можуть м«т– двІ спІль’І точк– (м«л.
367),
од’у
спІль’у точку (м«л.
368) «»о ’е м«т– спІль’–ц точок (м«л.
369).
Сряму, як« м«є двІ спІль’І точк– з колом, ’«з–в«ють
січ’ою
. О« м«лю’ку 367
° вІдст«’ь вІд це’тр« кол« °
точк–
° до сІч’ої. Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
OKA
сто
ро’«
OK
є к«тетом, «
° гІпоте’узою. Уому
<
. Отже,
»ігпсамь »іг цдмсра —’ка г’ піцм’ї лдмча »іг рагітпа
до кола називають пряму, яка має з колом лише
одну спільну точку. Цю точку називають
точкою дотику
О« м«л. 368 прям«
° дот–ч’« до кол«,
° точк« дот–ку.
акщо прям« І коло ’е м«ють спІль’–ц точок, то вІдст«’ь
»Ільш« з« р«дІус кол«
(м«л.
369).
Вігпсамь »іг цдмсра
—’ка г’ орьл’ї
ь—а мд одрдсзмаі цд —’к’
«ікьча жа рагітп
У е о р е м
« 1
(вл«ст–вІсть дот–ч’ої).
∠от–ч’« до кол« є
перпе’д–куляр’ою до р«д№ус«
як–— проведе’–— в точку дот–ку
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«— прям«
дот–ч’« до кол« Із це’тром
у точцІ
, точк«
° точк« дот–ку (м«л.
370). ∠оведемо, що
Ср–пуст–мо, що прям«
’е є пер
пе’д–куляр’ою до
. Сроведемо з
точк–
перпе’д–куляр
OM
до прямої
УодІ
° к«тет прямокут’ого тр–кут
’–к«
KOM
ОскІльк– у прямої з колом
л–ше од’« спІль’« точк«
, то точк«
, що ’«леж–ть прямІ—
, леж–ть
поз« колом. Уому довж–’« вІдрІзк«
»Ільш« з« довж–’у вІдрІзк«
, як–— є
22.
ОТИЧНА ДО КОЛА
ЛАСТИ
ЛАСТИ
ОСТІ
Розділ 4
р«дІусом кол«. ОскІльк–
OK
(як р«дІус–), то

Але ж, з« пр–пуще’’ям,
° к«тет прямокут’ого тр–кут
’–к«
KOM
, «
° —ого гІпоте’уз«. Ср–—
шл– до прот–рІччя
зІ спІввІд’оше’’ям мІж к«тетом І гІпоте’узою прямокут’ого
тр–кут’–к« (д–в.
19, вл«ст–вІсть
2).
Отже, ’«ше пр–пуще’’я є ’епр«в–ль’–м, тому
Уеорему доведе’о.
О « с л І д о к.
∈№дст«’ь в№д це’тр« кол« до дот–ч’ої до
цього кол« дор№в’ює р«д№усу кол«
У е о р е м « 2 (о»ер’е’« до теорем– про вл«ст–вІсть
акщо прям« процод–ть через к№’ець р«д№ус« кол«
№ перпе’д–куляр’« до цього р«д№ус«, то ця прям« є дот–ч
’ою до д«’ого кол«.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
° р«дІус кол« Із це’тром у
точцІ
. Срям«
процод–ть через точку
т«к, що
(м«л.
371). ∠оведемо, що
° дот–ч’« до кол«.
Ср–пуст–мо, що прям«
м«є з колом
ще од’у спІль’у точку
° точку
. УодІ
(як р«дІус–) І
OMK
° рІв
’о»едре’–—.
OMK
OKM
90
Отр–м«л–, що в тр–кут’–ку
OMK
є дв«
прям–ц кут–, що супереч–ть теоремІ про
суму кутІв тр–кут’–к«.
О«ше пр–пуще’’я ’епр«в–ль’е.
Отже, прям«
’е м«є І’ш–ц спІль’–ц
точок з колом, окрІм точк–
. Уому
прям«
є дот–ч’ою до кол«.
Уеорему доведе’о.
Çàäà÷à
Через д«’у точку
кол« Із це’тром
проведІть
дот–ч’у до цього кол« (м«л.
372).
Р о з в ’ я з « ’ ’
я. Сроведемо р«дІус
, « потІм по»удуємо пряму
, пер
пе’д–куляр’у до р«дІус« (’«пр–кл«д,
з« допомогою кос–’ця). З« теоремою 2
прям«
є дот–ч’ою до кол«.
Розгля’емо двІ дот–ч’І до кол« Із
це’тром у точцІ
, якІ процодять через
точку
І дот–к«ються до кол« в точк«ц
(м«л.
373). ∈ІдрІзк–
AB
AC
’«з–
в«ють
»ігріж—алз г’сзцмзф
ор’»дгдмзф
ж с’ц—з А
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
У е о р е м « 3 (вл«ст–вІсть вІдрІзкІв дот–ч’–ц, проведе
’–ц з од’Ієї точк–).
∈№др№зк– дот–ч’–ц
проведе’–ц з од’№єї
р№в’№ м№ж со»ою
∠ о в е д е ’ ’
О« м«лю’ку 373
тр–кут’–к–
OBA
OCA
° прямокут’І,
(як р«дІус–),
OA
° спІль’«
сторо’« ц–ц тр–кут’–кІв.
OBA
OCA
(з« к«тетом І гІпоте’узою).
Уому
AB
. Уеорему доведе’о.
ак–м може »ут– вз«єм’е розмІще’’я кол« І прямої?
аку пряму ’«з–в«ють сІч’ою до кол«?
що »Ільше:
вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до сІч’ої ч– р« дІус кол«?
що
»Ільше: вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до прямої, як« ’е пере
т–’«є коло, ч– р«дІус?
аку пряму ’«з–в«ють дот–ч
’ою до кол«?
Тформулю—те І доведІть вл«ст–вІсть до
Тформулю—те І доведІть вл«ст–вІсть, о»ер’е’у
до теорем– про вл«ст–вІсть дот–ч’ої.
Тформулю—те І
доведІть теорему про вл«ст–вІсть вІдрІзкІв дот–ч’–ц, про
605
Упм’
) О« якому з м«лю’кІв 374–376 прям«
є дот–ч’ою
до кол«, « ’« якому
° сІч’ою?
606
Упм’
) ТкІльк– рІз’–ц дот–ч’–ц мож’« провест– до кол«
через точку, що леж–ть:


О«креслІть коло, р«дІус якого дорІв’ює 3 см, поз’«чте ’«
’ьому точку
. З« допомогою кос–’ця проведІть через точку
дот–ч’у до цього кол«.
Розділ 4
608
О«креслІть коло, р«дІус якого дорІв’ює 3,5 см, поз’«чте
’« ’ьому точку
. З« допомогою кос–’ця «»о тр«’спор
т–р«
проведІть дот–ч’у через точку
до цього кол«.
609
Р«дІус кол« дорІв’ює 8 см. ак розмІще’І прям«
І коло,
якщо вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до прямої дорІв’ює:


610
Р«дІус кол« дорІв’ює 2 дм. ак розмІще’І прям«
І коло,
якщо вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до прямої дорІв’ює:


611
О« м«л. 377
° дот–ч’« до кол«,
точк«
° це’тр кол«. З’«—
дІть:
612
О« м«л. 377
° дот–ч’« до кол«,
точк«
° це’тр кол«. З’«—
дІть:
613
З точк–
до кол« Із це’тром у точцІ
проведе’о двІ
т–ч’І
І
І
° точк– дот–ку). ∠оведІть, що про
мІ’ь
° »Ісектр–с« кут«
BOC
614
З точк–
до кол« Із це’тром у точцІ
проведе’о дот–ч’І
. ∠оведІть, що промІ’ь
° »Ісектр–с« кут«
MPN
615
Срям«
° дот–ч’« до кол«,
точк«
° це’тр кол« (м«л.
378). З’«—
дІть
NMK
, якщо
MON
82
616
Срям«
° дот–ч’« до кол«,
точк«
° це’тр кол« (м«л.
378). З’«—
дІть
, якщо
KMN
53
617
З точк–
, що леж–ть поз« колом,
проведе’о двІ дот–ч’І. ∈Ідст«’ь вІд точк–
до це’тр« кол« вдвІчІ »Ільш« з« р«дІус
кол«. З’«— дІть кут мІж дот–ч’–м–.
618
СрямІ
І
дот–к«ються до кол« Із це’тром
в
точк«ц
. З’«—
дІть
, якщо
OMN
30
7 см.
619
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює полов–’І зов’Іш
’ього кут«, ’е сумІж’ого з ’–м. ∠оведІть, що тр–кут’–к
рІв’о»едре’–—.
620
О« м«лю’ку 379
90
ABC
30
ADB
6 см. З’«—
дІть
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
621
. Сост«вте п’ять ш«шок ’« ш«цову дошку (розмІр
якої 8
8) т«к, що» »удь­як–— кв«др«т, що скл«д«ється з
дев’ят– клІт–’ок, мІст–в тІльк– од’у ш«шку.
23.
ОЛО
ВПИСАНЕ В ТРИКУТНИК
Розгля’емо в«жл–ву вл«ст–вІсть »Ісектр–с– кут«.
У е о р е м « 1 (вл«ст–вІсть »Ісектр–с– кут«).
точк« »№сектр–с– кут« р№в’ов№дд«ле’« в№д стор№’ цього кут«
∠ о в е д е ’ ’
я.
∈–»еремо ’« »Ісек
тр–сІ кут«
довІль’у точку
І прове
демо з точк–
перпе’д–куляр–
KB
до сторІ’ кут« (м«л.
380). УодІ
KB
° вІдст«’І вІд точк–
до сторІ’
кут«
. ∠оведемо, що
KC
Розгля’емо
AKB
AKC
AK
° їц спІль’« гІпоте
’уз«,
BAK
CAK
(»о
° »Ісек
тр–с«).
Отже,
AKB
AKC
(з« гІпоте
’узою І гостр–м кутом). Уому
Уеорему доведе’о.
Коло
називають
вписаним у трикутник
, якщо воно доти­
кається до всіх сторін цього трикутника.
Ср– цьому тр–кут’–к ’«з–в«ють
’озпамзл ма»—’к’ —’ка
У е о р е м « 2 (про коло, вп–с«’е у тр–кут’–к).
Ф »удь­як–— тр–кут’–к мож’« вп–с«т– коло
∠ о в е д е ’ ’ я. Розгля’емо довІль’–—
ABC
. Оец«—
»Ісектр–с– кутІв
цього тр–кут’–к« перет–’«ються в
23.
ОЛО
ОЛО
ПИСАНЕ
Розділ 4
точцІ
(м«л.
381). ∠оведемо, що ця точк« є це’тром вп–с«’ого
у тр–кут’–к кол«.
ОскІльк– точк«
I
леж–ть ’« »Ісектр–сІ
кут«
, то во’« рІв’овІдд«ле’« вІд сторІ’
AB
AC
тр–кут’–к«, то»то
IM
, де
M
° ос’ов– перпе’д–кулярІв, проведе’–ц
Із точк–
до сторІ’
AC
AB
вІдповІд’о.
А’«логІч’о
IK
IL
, де
° ос’ов«
перпе’д–куляр«, проведе’ого з точк–
I
до
сторо’–
Отже,
IK
IL
Уому коло Із це’
тром у точцІ
, р«дІус якого
IM,
процод–ть
через точк–
K
. Тторо’– тр–кут’–к«
ABC
дот–к«ються до цього кол« у точк«ц
K
оскІльк– во’– перпе’д–куляр’І
до р«дІусІв
IM
IK
IL
Уому коло Із це’тром у точцІ
, р«дІус якого
, є вп–
с«’–м у
ABC
Уеорему доведе’о.
О « с л І д о к 1.
В№сектр–с– тр–кут’–к« перет–’«ються
в од’№— точц№
я. З« доведе’’ям поперед’ьої теорем–
точк«
° точк« перет–’у »Ісектр–с кутІв
тр–кут
’–к«
ABC
. ∠оведемо, що »Ісектр–с« кут«
т«кож процод–ть
через точку
Розгля’емо прямокут’І тр–кут’–к–
CMI
CLI
(м«л.
381).
ОскІльк–
IM
, «
° спІль’« гІпоте’уз« ц–ц тр–
кут’–кІв, то
CMI
CLI
(з«
к«тетом І гІпоте’узою). УодІ
MCI
LCI
(як вІдповІд’І кут– рІв’–ц тр–кут’–кІв), «
° »Ісектр–с« кут«
тр–кут’–к«
ABC
Отже, »Ісектр–с– всІц трьоц кутІв тр–кут’–к«
ABC
про
цодять через точку
, то»то всІ тр– »Ісектр–с– тр–кут’–к«
перет–’«ються в од’І— точцІ.
О«слІдок доведе’о.
О«г«д«ємо, що точку перет–’у »Ісектр–с тр–кут’–к« ’«з–
в«ють
імцдмср’л
О « с л І д о к 2.
вп–с«’ого у тр–кут’–к
є точк« перет–’у »№сектр–с цього тр–кут’–к«
Çàäà÷à
. Коло, вп–с«’е у
ABC
, дот–к«ється до сторо’–
у точцІ
, до сторо’–
BC
° у точцІ
, « до сторо’–
° у
точцІ
. ∠оведІть, що:
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
AM
p – BC
BL
p –
CL
p –
де
° пІвпе
р–метр тр–кут’–к«
ABC
∠ о в е д е ’ ’ я. З« вл«ст–вІстю вІдрІзкІв
дот–ч’–ц, проведе’–ц з од’Ієї точк–, м«ємо:
BL
CM
(м«л.
382).
Соз’«ч–мо
x
CM
УодІ
ABC
2(
).
Уому
x
+
+
, звІдк–
p –
y + z
); то»то
p – BC
. М«ємо:
p – BC
А’«логІч’о довод–ться, що
p –
CL
p –
Тформулю—те І доведІть вл«ст–вІсть »Ісектр–с– кут«.
аке коло ’«з–в«ють вп–с«’–м у тр–кут’–к?
лю—те І доведІть теорему про коло, вп–с«’е в тр–кут’–к,
622
Упм’
) О« як–ц з м«лю’кІв 383–386 зо»р«же’о коло, вп–
с«’е у тр–кут’–к?
Розділ 4
623
О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою тр«’
спорт–р«, ц–ркуля І лІ’І—к– по»уду—те коло, вп–с«’е в це—
тр–кут’–к.
624
О«креслІть прямокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою тр«’
спорт–р«, ц–ркуля І лІ’І—к– по»уду—те коло, вп–с«’е в це—
тр–кут’–к.
625
ABC
вп–с«’о коло Із це’тром у точцІ
(м«л. 381).
З’«—
дІть кут– тр–кут’–к«
ABC
, якщо
IBK
MCI
626
ABC
вп–с«’о коло Із це’тром у точцІ
(м«л. 381).
CAB
CBA
. З’«— дІть кут
MCI
627
О« м«лю’ку 381 точк«
° це’тр кол«, вп–с«’ого у рІз’о
сторо’’І— тр–кут’–к
ABC
І
° точк– дот–ку. З’«—
дІть
усІ п«р– рІв’–ц тр–кут’–кІв ’« цьому м«лю’ку.
628
∠оведІть, що це’тр кол«, яке дот–к«ється до сторІ’ кут«,
леж–ть ’« »Ісектр–сІ цього кут«.
629
О«креслІть кут гр«дус’ої мІр– 110
. З« допомогою ц–р
куля, кос–’ця І тр«’спорт–р« вп–шІть у ’ього коло довІль
’ого р«дІус«, то»то по»уду—те коло, яке дот–к«ється до сторІ’
д«’ого кут«.
630
О«креслІть кут гр«дус’ої мІр– 70
. З« допомогою ц–р
куля, кос–’ця І тр«’спорт–р« вп–шІть у ’ього коло довІль’ого
р«дІус«.
631
Ф тр–кут’–ку це’тр вп–с«’ого кол« леж–ть ’« медІ«’І.
∠оведІть, що це рІв’о»едре’–— тр–кут’–к.
632
Ф тр–кут’–ку це’тр вп–с«’ого кол« леж–ть ’« в–сотІ.
∠оведІть, що це— тр–кут’–к є рІв’о»едре’–м.
633
ABC
вп–с«’о коло, яке дот–к«ється до сторІ’
в точк«ц
І
вІдповІд’о. З’«—
дІть
, якщо
см,
6 см,
12 см.
634
З’«—
дІть довж–’– сторІ’ тр–кут’–к«, якщо точк– дот–ку
кол«, вп–с«’ого в це— тр–кут’–к, дІлять —ого сторо’– ’« вІд
рІзк–, тр– з як–ц дорІв’юють 4 см, 6 см І 8
см.
635
Коло, вп–с«’е в рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, дІл–ть —ого
»Іч’у сторо’у ’« вІдрІзк– 3 см І 4 см, поч–’«юч– вІд ос’ов–.
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«.
Коло, вп–с«’е у рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, дІл–ть —ого
»Іч’у сторо’у ’« вІдрІзк– 5 см І 7 см, поч–’«юч– вІд верш–’–,
що прот–леж’« ос’овІ. З’«— дІть пер–метр тр–кут’–к« .
637
∠оведІть, що в–сот–, проведе’І до »Іч’–ц сторІ’
гострокут’ого рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«, мІж со»ою
рІв’І.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
638
∉острІ кут– прямокут’ого тр–кут’–к« вІд’осяться
як 2 :
3. З’«—
дІть кут мІж »Ісектр–сою І в–сотою, про
веде’–м– з верш–’– прямого кут«.
639
Кв«др«т розрІз«л– ’« вІсІм кв«др«тІв. Ч– о»ов’яз­
во п’ять з ’–ц рІв’І мІж со»ою?
24.
ОЛО
ОПИСАНЕ
НАВКОЛО ТРИКУТНИКА
Серединним перпендикуляром до відрізка
називають
пряму, що проходить через середину відрізка перпендику­
лярно до нього.
О« м«лю’ку 387 прям«
° серед–’’–— перпе’д–куляр до
вІдрІзк«
У е о р е м
« 1 (вл«ст–вІсть серед–’’ого перпе’д–куляр«
до вІдрІзк«).
Кож’« точк« серед–’’ого перпе’д–куляр« до
в№др№зк« р№в’ов№дд«ле’« в№д к№’ц№в цього в№др№зк«
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«— прям«
°
ред–’’–— перпе’д–куляр до вІдрІзк«
° серед–’« цього вІдрІзк« (м«л.
387).
Розгля’емо довІль’у точку
серед–’’ого
перпе’д–куляр« І доведемо, що
PA
акщо точк«
з»Іг«ється з
, то рІв’Ість
очев–д’«. акщо точк«
вІдмІ’’«
вІд
, то прямокут’І тр–кут’–к–
PKA
PKB
рІв’І з« двом« к«тет«м–. Уому
Уеорему доведе’о.
Коло
називають
описаним навколо трикутника
, якщо
воно проходить через усі вершини цього трикутника.
Ср– цьому тр–кут’–к ’«з–в«ють
»озпамзл т —’к’
У е о р е м « 2 (про коло, оп–с«’е ’«вколо тр–кут’–к«).
О«вколо »удь­якого тр–кут’–к« мож’« оп–с«т– коло
∠ о в е д е ’ ’
я. Розгля’емо
ABC
. Оец«— серед–’
’І перпе’
д–куляр– до сторІ’
AB
цього тр–кут’–к« перет–’«ються
у точцІ
(м«л.
388). ∠оведемо, що точк«
є це’тром оп–с«
’ого ’«вколо тр–кут’–к« кол«.
Уочк«
леж–ть ’« серед–’’ому перпе’д–кулярІ до
тому во’« рІв’овІдд«ле’« вІд верш–’
, то»то
24.
ОЛО
ОЛО
ОПИСАНЕ
КОЛО ТРИКУТНИКА
Розділ 4
А’«логІч’о
, оскІльк– точк«
леж–ть ’«
ред–’’ому перпе’д–кулярІ до
3) М«ємо:
. Уому коло Із це’тром у точцІ
процод–ть через верш–’–
B
тр–кут’–к«
ABC
, « вІд
рІзк–
І
є —ого р«дІус«м–. Отже, це коло є оп–с«’–м
’«вколо тр–кут’–к«
ABC
Уеорему доведе’о
.
О « с л І д о к 1.
Теред–’’№ перпе’д–куляр– до стор№’
тр–кут’–к« перет–’«ються в од’№— точц№
∠ о в е д е ’ ’
я. Сроведемо з точк–
перпе’д–куляр
до сторо’–
BC
(м«л.
388). Це— перпе’д–куляр є в–сотою
рІв’о
»едре’ого тр–кут’–к«
OBC
, що
проведе’« до ос’ов–
. Уому вІ’ т«кож
є І медІ«’ою.
∈ІдрІзок
леж–ть ’«
серед–’
’ому перпе’д–
кулярІ до сто­
ро’–
. Отже, всІ тр– серед–’’І перпе’
д–ку
ляр– тр–кут’–к«
ABC
процодять
через точку
, то»то перет–’«ються в
од’І— точцІ. О«слІдок доведе’о.
О « с л І д о к 2.
оп–с«’ого ’«вколо тр–
є точк« перет–’у серед–’’–ц перпе’д–куляр№в до
—ого стор№’
. ∠оведІть, що це’тром кол«, оп–с«’ого ’«вколо
прямокут’ого тр–кут’–к«, є серед–’« гІпоте’уз–, «
р«дІус цього кол« дорІв’ює полов–’І гІпоте’уз–.
∠ о в е д е ’ ’ я. Оец«—
ABC
° прямокут’–—
),
° —ого медІ«’« (м«л. 389). ОскІльк– медІ«’«
прямокут’ого тр–кут’–к«, що проведе’« до гІпоте’уз–,
дорІв’ює полов–’І гІпоте’уз– (д–в. §
19, вл«ст–вІсть
5),
то
. Але
. Уому
Отже, точк«
рІв’овІдд«ле’« вІд
верш–’ тр–кут’–к«
ABC
. Уому коло,
це’тром якого є точк«
, « р«дІусом
°
, процод–ть через усІ верш–’– тр–
кут’–к«
ABC
. Отже, коло, це’тром якого
є серед–’« гІпоте’уз–, « р«дІус дорІв’ює
полов–’І гІпоте’уз–, є оп–с«’–м ’«вколо
прямокут’ого тр–кут’–к«
ABC
.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
що ’«з–в«ють серед–’’–м перпе’д–куляром до вІдрІз
Тформулю—те І доведІть вл«ст–вІсть серед–’’ого
перпе’д–куляр« до вІдрІзк«.
аке коло ’«з–в«ють оп–
с«’–м ’«вколо тр–кут’–к«?
Тформулю—те І доведІть
теорему про коло, оп–с«’е ’«вколо тр–кут’–к«, т« ’«
слІдок 1 з ’еї.
ак« с«ме точк« є це’тром кол«, оп–с«
640
. (
Упм’
) О« як–ц з м«лю’кІв 390–392 прям«
є сере
д–’’–м
перпе’д–куляром до вІдрІзк«
641
О« якому з м«лю’кІв 393–396 зо»р«же’о коло, оп–с«’е
’«вколо тр–кут’–к«?
М«л. 393М«л. 394М«л. 395
642
О«креслІть вІдрІзок
, довж–’« якого 5,6
см. З« допо
могою лІ’І—к– з подІлк«м– І кос–’ця проведІть се
ред–’
’–—
перпе’д–куляр до вІдрІзк«
Соз’«чте д
еяку точку
що ’«леж–ть серед–’’ому пер
пе’д–куляру, І переко’«—теся, що
PM
PN
643
О«креслІть вІдрІзок
з«вдовжк– 4,8
см. З« допо
могою лІ’І—к– з подІлк«м– І кос–’ця проведІть серед–’’–—
перпе’д–
куляр до вІдрІзк«
Соз’«чте деяку точку
, що ’«леж–ть серед–’’ому пер
пе’д–куляру, І переко’«—теся, що
Розділ 4
644
О« м«лю’ку 397 точк«
° це’тр
кол«, оп–с«’ого ’«вколо рІз’осторо’
’ього тр–кут’–к«
ABC
. З’«—
дІть усІ п«р–
рІв’–ц тр–кут’–кІв ’« цьому м«лю’ку.
645
ТкІльк– кІл мож’« провест– через:

3) тр– точк–, що ’е леж«ть ’« од’І—
646
. 1) О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к. З« допо
могою креслярськ–ц І’струме’тІв оп–шІть ’«вколо
’ього коло.
2) ∠е леж«т–ме це’тр цього кол« (поз« тр–кут’–ком,
усеред–
’І тр–кут’–к«, ’« од’І— з —ого сторІ’)?
647
О«креслІть тр–кут’–к, дв« кут– якого дорІв’юють
. З« допомогою креслярськ–ц І’струме’тІв оп–шІть
’«вколо ’ього коло.
648
О«креслІть тупокут’–— тр–кут’–к. З« допомо
гою
креслярськ–ц І’струме’тІв оп–шІть ’«вколо ’ього
коло.
∠е леж«т–ме це’тр цього кол« (поз« тр–кут’–ком, усе
ред–’І тр–кут’–к«, ’« од’І— з —ого сторІ’)?
649
О«креслІть рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з кутом 120
пр–
верш–’І. З« допомогою креслярськ–ц І’струме’тІв оп–шІть
’«вколо ’ього коло.
650
Ф тр–кут’–ку це’тр оп–с«’ого кол« леж–ть ’« медІ«’І.
∠оведІть, що тр–кут’–к рІв’о»едре’–—.
651
Ф тр–кут’–ку це’тр оп–с«’ого кол« леж–ть ’« в–сотІ.
∠оведІть, що тр–кут’–к рІв’о»едре’–—.
652
∠оведІть, що р«дІус кол«, оп–с«’ого ’«вколо рІв’осторо’
’ього тр–кут’–к«, удвІчІ »Ільш–— з« р«дІус кол«, вп–с«’ого в
’ього.
° дІ«метр кол«, цорд–
І
° рІв’І мІж
со»ою. З’«— дІть кут– тр–кут’–к«
KLM
654
° точк« перет–’у »Ісектр–с
І
рІв’о»ед
ре’ого тр–кут’–к«
ABC
з ос’овою
. ∠оведІть, що
655
. ∈ІдрІзок з«вдовжк– 32 см подІле’о двом« точк«м–
’« тр– ’е рІв’–ц мІж со»ою вІдрІзк–. ∈Ідст«’ь мІж
серед–’«м– кр«—’Іц вІдрІзкІв дорІв’ює 20 см. З’«—
дІть
довж–’у серед’ього вІдрІзк«.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
25.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ
ДВОХ КІЛ
Розгля’емо вз«єм’е розмІще’’я двоц кІл Із це’тр«м– в
точк«ц
І р«дІус«м–
вІдповІд’о.
∉»а —’ка л’етсь мд одрдсзмасзпь
, то»то ’е м«т–
спІль’–ц точок (м«л.
398 І 399). Можл–вІ дв« в–п«дк– їц роз
мІще’’я:
О« м«лю’ку 398 вІдст«’ь мІж це’тр«м– кІл »Ільш« з«
суму р«дІусІв:
O
+ A
+ A
+ A

+ r
. Отже,
О« м«лю’ку
399
+
+ r
+
. Уому
– r
) –

– r
. Отже,
– r
, де
r
, то»то вІдст«’ь мІж це’тр«м– кІл
ме’ш« з« рІз’–цю р«дІусІв.
∠в« кол« ’«з–в«ють
ко’це’тр–ч’–м–
, якщо во’– м«ють
спІль’–— це’тр (м«л. 400). Ф цьому в–п«дку
0.
Очев–д’о, що ко’це’тр–ч’–м– може »ут– »удь
­як« кІль
кІсть кІл.
25.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ
ОХ КІЛ
Розділ 4
іі.
∉»а —’ка л’етсь ласз ’гмт поікьмт с’ц—т
(м«л.
401 І
402). Ф
т«кому р«зІ к«жуть, що кол«
г’сз—аюсьпь
« спІль’у
точку ’«з–
в«ють
с’ц—’ю г’сз—т —ік
. Можл–вІ дв« в–п«дк–
т«кого розмІще’’я.
Кол« м«ють зов’Іш’І— дот–к. ∠от–к двоц кІл ’«з–в«ють
ж’»мічміл
, якщо це’тр– кІл леж«ть по рІз’І »ок– вІд точк–
дот–ку (м«л. 401). Ф цьому в–п«дку:
O
A +
+ r
(вІдст«’ь мІж це’тр«м– кІл
дорІв’ює сумІ їц р«дІусІв);
у точцІ
Іс’ує спІль’« дот–ч’«
до двоц кІл;
Кол« м«ють в’утрІш’І— дот–к. ∠от–к двоц кІл ’«з–
в«ють
»мтсрічміл
, якщо це’тр– кІл леж«ть по од–’ »Ік вІд
точк– дот–ку (м«л. 402). Ф цьому в–п«дку:
O
A – O
– r
, де

(вІдст«’ь мІж
це’тр«м– кІл дорІв’ює рІз’–цІ їц р«дІусІв);
у то
чцІ
Іс’ує спІль’« дот–ч’«
до двоц кІл;
ііі.
∉»а —’ка л’етсь ласз г»і поікьмі с’ц—з
(м«л.
403),
то»то кол«
одрдсзмаюсьпь
. Ф цьому в–п«дку вІдст«’ь мІж
це’тр«м– кІл ме’ш« з« суму їц р«дІусІв. ∠І—с’о, з« ’ерІв’Істю
тр–кут’–к« І ’«слІдком з ’еї для тр–кут’–к«
м«ємо:
– r

+ r
, де
r
Çàäà÷à
Ідст«’ь мІж це’тр«м–
двоц кІл
10 см. ∈–з’«ч–т–
вз«єм’е розмІще’’я ц–ц кІл,
якщо:
6 см,
4 см;
8 см,
4 см;
м,
3 см.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
Р о з в ’ я з « ’ ’
я. 1)
ОскІльк– 10
6 +
4, то»то
+ r
то кол« дот–к«ються (зов’Іш’І— дот–к кІл);
ОскІльк– 8 – 4 <
< 8 +
4, то»то
– r

+ r
то кол« перет–’«ються;
ОскІльк– 10 > 5 + 3, то»то
+ r
; то кол« ’е
перет–’«ються.
∈ І д п о в І д
ь: 1)
дот–к«ються; 2) перет–’«ються; 3) ’е
перет–’«ються.
що оз’«ч«є: дв« кол« ’е перет–’«ються?
що оз’«ч«є:
кол« дот–к«ються?
ак–— дот–к кІл ’«з–в«ють зов’Іш
’Ім, « як–— ° в’утрІш’Ім?
що оз’«ч«є: дв« кол«
перет–’« ються?
656
що мож’« ск«з«т– про вз«єм’е розмІще’’я кІл ’«
м«лю’к«ц 404–406?
657
О«креслІть дв« кол«, р«дІус– як–ц дорІв’юють 3 см І
2 см, т«к, що» во’–:

658
О«креслІть дв« кол«, р«дІус– як–ц дорІв’юють 2 см І
1,5
см, т«к, що» во’–:

659
О«креслІть вІдрІзок з«вдовжк– 4 см. Со»уду—те дв« кол«, що
м«ють зов’Іш’І— дот–к, це’тр«м– як–ц є кІ’цІ цього вІдрІзк«.
О«креслІть вІдрІзок з«вдовжк– 2 см. Со»уду—те дв« кол«, що
м«ють в’утрІш’І— дот–к, це’тр«м– як–ц є кІ’цІ цього вІдрІзк«.
661
Р«дІус– двоц кІл дорІв’юють 7 см І 5
см. З’«—
дІть вІд
ст«’ь мІж їц це’тр«м–, якщо кол« м«ють:

662
Р«дІус– двоц кІл дорІв’юють 3 см І 8 см. З’«—
дІть вІд
ст«’ь мІж їц це’тр«м–, якщо кол« м«ють:
Розділ 4
663
∠в« кол« м«ють в’утрІш’І— дот–к. ∈Ідст«’ь мІж їц це’тр«м–
12 дм. З’«—
дІть р«дІус– кІл, якщо во’– вІд’осяться як 2
:
664
∠в« кол« м«ють зов’Іш’І— дот–к. ∈Ідст«’ь мІж їц це’тр«м–
15 см. З’«—
дІть р«дІус– кІл, якщо во’– вІд’осяться як 2
:
665
∈Ідст«’ь мІж це’тр«м– двоц кІл дорІв’ює 12 см. ∈–з’«чте
вз«єм’е розмІще’’я ц–ц кІл, якщо їц р«дІус– дорІв’юють:


∈Ідст«’ь мІж це’тр«м– двоц кІл дорІв’ює 14 см. ∈–з’«чте
вз«єм’е розмІще’’я ц–ц кІл, якщо їц р«дІус– дорІв’юють:


667
∠в« кол« перет–’«ються в точк«ц
І
. Уочк–
І
°
це’тр– ц–ц кІл. ∠оведІть, що
668
∠в« кол« перет–’«ються в точк«ц
І
. Уочк–
І
°
це’тр– кІл. ∠оведІть, що промІ’ь
° »Ісектр–с« кут«
669
Ур– кол« поп«р’о м«ють зов’Іш’І— дот–к. ∈ІдрІзк–, що
сполуч«ють їц це’тр–, утворюють тр–кут’–к зІ сторо’«м–
5 см, 7 см І 8 см. З’«— дІть р«дІус– ц–ц кІл.
670
Ур– кол« поп«р’о дот–к«ються зов’І. Р«дІус од’ого з кІл
дорІв’ює 6 см, « вІдрІзок, що сполуч«є це’тр– двоц І’ш–ц кІл
дорІв’ює 14 см. З’«—дІть пер–метр тр–кут’–к«, верш–’«м–
якого є це’тр– ц–ц кІл.
671
. Ф прямокут’ому тр–кут’–ку
ABC
гІпоте’уз«
дорІв’ює 20 см,
60
. ∠овж–’у якого з к«тетІв
мож’« з’«—т–? З’«— дІть її.
672
О« м«лю’ку 407 коло вп– с«’о в чот–р–кут’–к
ABCD
(дот–к«ється до всІц —ого сторІ’). ∠оведІть, що
1213
673
. Срямокут’–к подІле’о ’« дев’ять прямокут’–кІв
(м«л.
408). Сер–метр– трьоц з ’–ц вІдомІ, І їц вк«з«’о ’«
м«лю’ку. З’«— дІть пер–метр з«ф«р»ов«’ого прямокут’–к«.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
26.
ЗАДАЧІ НА ПОБ
УДО
ВУ
ТА ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
СІд ч«с в–вче’’я курсу геометрІї в– ’еод’ор«зово в–ко’у
в«л– рІз’І геометр–ч’І по»удов–: провод–л– прямІ, вІдкл«д«л–
вІдрІзк–, що дорІв’юють д«’–м, »удув«л– кут– тощо. Ср– цьому
в–кор–стовув«л– лІ’І—ку з подІлк«м–, тр«’спорт–р, кос–’ець,
ц–ркуль. Уепер розгля’емо по»удов– фІгур, якІ
мож’« здІ—с’–т–
з« допомогою л–ше двоц І’струме’тІв: лІ’І—к– »ез подІлок І
ц–ркуля. Ц–м– І’струме’т«м– кор–стув«л–ся ще в ∠«в’І—
∉рецІї, тому їц пр–—’ято вв«ж«т– кл«с–ч’–м– І’струме’т«м–.
що мож’« зро»–т– з« допомогою двоц вк«з«’–ц І’стру
ме’тІв? МІ’І—к« д«є змогу провест– довІль’у пряму, по»удув«т–
пряму, що процод–ть через д«’у точку, І пряму, що процод–ть
через двІ д«’І точк–. З« допомогою ц–ркуля мож’« провест–
коло довІль’ого р«дІус«, коло Із це’тром у д«’І— точцІ І
р«дІу
сом, що дорІв’ює д«’ому вІдрІзку. Ф деяк–ц в–п«дк«ц
з«мІсть кол« потрІ»’« »уде деяк« —ого ч«ст–’« (дуг« кол«).
З«ув«ж–мо, що ’Іяк–ц І’ш–ц по»удов у з«д«ч«ц ’« по»у
дову в–ко’ув«т– ’е дозволяється. О«пр–кл«д, з« допомогою
лІ’І—к– (’«вІть з подІлк«м–) ’е дозволяється вІдкл«д«т– вІд
рІзок з«д«’ої довж–’–, ’е мож’« в–кор–стовув«т– кос–’ець
для по»удов– перпе’д–куляр’–ц прям–ц тощо.
Р’ж»’ьжасз жагацт ма о’«тг’»т
оз’«ч«є вк«з«т– послІдов
’Ість ’«—простІш–ц по»удов, пІсля в–ко’«’’я як–ц отр–м«ємо
з«д«’у фІгуру; д«лІ
° довест–, що по»удов«’« фІгур« м«є
вл«ст–востІ, перед»«че’І умовою, то»то є шук«’ою фІгурою.
і’одІ, для ’«—»Ільш скл«д’–ц з«д«ч, ’ео»цІд’о в–ко’«т–
«’«лІз, то»то провест– мІркув«’’я, ’« ос’овІ як–ц І »уде
розв’яз«’« з«д«ч«.
Розгля’емо ’«—простІшІ з«д«чІ ’« по»удову.
Со»удов« в№др№зк«
що дор№в’ює д«’ому
Çàäà÷à 1
. О« д«’ому проме’І вІд —ого поч«тку вІдкл«ст–
вІдрІзок, що дорІв’ює д«’ому.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Зо»р«з–мо фІгур–, що д«’о в умовІ
з«д«чІ: вІдрІзок
І промІ’ь з поч«тком у точцІ
(м«л.
409).
26.
АДАЧІ НА ПО
АДАЧІ НА ПО
УДО
ТА ЇХ РОЗ
’ЯЗУ
’ЯЗУ
’ЯЗУ
Розділ 4
Со»удуємо ц–ркулем коло Із це’тром у точцІ
, р«дІус якого
дорІв’ює
(м«л.
410). Це коло перет’е промІ’ь у деякІ—
точцІ
. Очев–д’о, що
. Уому
° шук«’–— вІд
рІзок.
З«ув«ж–мо, що з«мІсть кол« мож’« »уло провест– ту
—ого ч«ст–’у (деяку д
угу), як« » м«л« перет–’ з проме’ем
(м«л.
411). Цю дугу ще ’«з–в«ють
жапіц—’ю
Со»удов« тр–кут’–к« з« трьом« сторо’«м–
Çàäà÷à 2
Со»уду—те тр–кут’–к з« трьом« —ого сторо’«м–
Р о з в ’ я з « ’ ’
я. О
ец«— з«д«’о тр– вІдрІзк–
β
(м«л.
412).
З« допомогою лІ’І—к– проведемо довІль’у пряму
І
поз’«ч–мо ’« ’І— довІль’у точку
((1) ’« м«л.
413).
З« допомогою ц–ркуля вІдкл«демо з«сІчкою ’« прямІ—
вІдрІзок
(дуг« (2) ’« м«л.
413).
Розц–лом ц–ркуля, що дорІв’ює
, оп–шемо дугу (3)
кол« Із це’тром у точцІ
(м«л.
413).
Розц–лом ц–ркуля, що дорІв’ює
, оп–шемо дугу (4) кол« Із
це’тром у точцІ
(м«л.
413). Уочк«
° точк« перет–’у дуг (3) І (4).
Тполуч–мо точк–
вІдрІзк«м–. Ур–кут’–к
ABC
°
шук«’–—.
∠оведе’’я цього ф«кту є очев–д’–м, оскІльк– сторо’– тр–­
кут’–к«
ABC
дорІв’юють з«д«’–м вІдрІзк«м
β
AB
З « у в « ж е ’ ’ я. ак»– по»удов«’І дуг– (3) І (4) ’е
перет’ул–ся, то тр–кут’–к по»удув«т– »уло » ’еможл–во. З«
’ерІв’Істю тр–кут’–к«: кож’« Із сторІ’ пов–’’« »ут– ме’шою
вІд сум– двоц І’ш–ц.
Со»удов« кут«
що дор№в’ює д«’ому
Çàäà÷à 3
∈Ід д«’ого проме’я вІдкл«дІть д«’–— кут.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— д«’о кут
І промІ’ь з поч«тком у
точцІ
(м«л.
414). Уре»« по»удув«т– кут, що дорІв’ює куту
т«к, що» од’« з —ого сторІ’ з»Іг«л«ся з д«’–м проме’ем.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
Соз’«ч–мо ’« сторо’«ц д«’ого кут«
двІ довІль’І точк–
(м«л.
414).
Со»удуємо тр–кут’–к
OKM
, що дорІв’ює тр–кут’–ку
ABC
, т«к, що»
KM
(м«л. 415).
УодІ
KOM
BAC
(як вІдповІд’І кут– рІв’–ц тр–кут
’–кІв)
Отже,
KOM
° шук«’–—.
∠оведе’’я цього в–пл–в«є з по»удов–, »о
OKM
ABC
« тому
KOM
Со»удов« »№сектр–с– з«д«’ого кут«
Çàäà÷
. Со»уду—те »Ісектр–су
д«’ого кут«.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— д«’о
потрІ»’о по»удув«т– —ого »Ісектр–су
(м«л.
416).
Сроведемо дугу кол« довІль’ого
р«дІус« Із це’тром у точцІ
(дуг« (1) ’«
м«л.
416), як« перет–’«є сторо’– кут« в
точк«ц
З точок
оп–шемо дуг– т«к–м
с«м–м р«дІусом (дуг– (2) І (3)) у в’у
трІш’І— о»л«стІ кут« до їц перет–’у.
Отр–м«ємо точку
Сроведемо промІ’ь
AD
. СромІ’ь
AD
° шук«’« »Ісек
тр–с« кут«
∠ о в е д е ’ ’
ABD
ACD
(з« трьом« сторо’«м–),
тому
BAD
CAD
(як вІдповІд’І кут– рІв’–ц тр–кут’–кІв)
отже,
° »Ісектр–с« кут«
Сод№л д«’ого в№др№зк« ’«вп№л
Çàäà÷à 5
. СодІлІть д«’–— вІдрІзок ’«впІл.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«—
° д«’–— вІдрІзок, як–—
тре»« подІл–т– ’«впІл, то»то по»удув«т– —ого серед–’у.
Розділ 4
З точк–
р«дІусом ц–ркуля,
»Ільш–м з« полов–’у вІдрІзк«
оп–шемо дугу (1) (м«л.
417).
З точк–
т«к–м с«м–м р«дІу
сом
ц–ркуля оп–шемо дугу (2) до пере
т–’у з дугою (1) в точк«ц
Через точк–
І
проведемо
пряму
. Срям«
MN
перет–’«є вІд
рІзок
в точцІ
° шук«’« точк«.
∠ о в е д е ’ ’
AMN
BMN
(з« трьом« сторо’«м–). Уому
AMP
BMP
, «
° »Ісектр–с«
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
AMB
з
ос’овою
, тому во’« є т«кож медІ
«’ою. Отже,
° сер
ед–’«
З«ув«ж–мо, що прям«
є
серед–’’–м перпе’д–куляром до вІдрІзк«
AB.
Со»удов« прямої
перпе’д–куляр’ої до д«’ої
Çàäà÷à 6
Через д«’у точку
проведІть пряму, перпе’д–
куляр’у до д«’ої прямої
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. З«д«ч« м«є дв« в–п«дк–.
Оец«— точк«
’«леж–ть прямІ—
О« д«’І— прямІ—
довІль’–м р«дІусом ц–ркуля вІдкл«демо
вІд точк–
дв« рІв’–ц вІдрІзк–
І
(дуг– (1) ’« м«л.
418).
із точок
р«дІусом, що дорІв’ює
, оп–шемо дуг–
(2) І (3) до їц перет–’у. Отр–м«ємо точку
Сроведемо пряму
. Срям«
° шук«’«.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
∠ о в е д е ’ ’
KL
KB
LB
, отже,
° медІ«’« рІв’о
сторо’’ього тр–кут’–к«
BKL
, тому во’« є т«кож І в–сотою.
Отже,
Оец«— точк«
’е ’«леж–ть прямІ—
З точк–
довІль’–м р«дІусом ц–ркуля (»Ільш–м з«
вІдст«’ь вІд точк–
до прямої
) проведемо дугу (1), як«
перет–’«є пряму
в точк«ц
(м«л.
419).
із точок
т–м с«м–м р«дІусом ц–ркуля оп–
шемо
дуг–
(2) І (3) до їц перет–’у в точцІ
по І’ш–— »Ік вІд
точк–
Сроведемо пряму
MN.
Срям«
° шук«’« прям«.
∠ о в е д е ’ ’
я. Оец«— точк«
° точк« перет–’у прям–ц
MN
BMN
CMN
(з« трьом« сторо’«м–). Уому
BMN
CMN
MF
° »Ісектр–с« рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
BМC
, проведе’« до —ого ос’ов–. Уому
є т«кож І в–сотою.
Отже,
MF
тому
«. Ф з«д«ч«ц цього п«р«гр«ф« для з«д«’’я умов з«д«чІ
(’«пр–кл«д, довж–’– вІдрІзк« ч– гр«дус’ої мІр– кут«) в–кор–с
товуємо лІ
’І—ку з подІлк«м– І тр«’спорт–р, « для розв’язув«’’я
з«д«чІ
° л–ше лІ’І—ку »ез подІлок І ц–ркуль.
акІ І’струме’т– в–кор–стовують для розв’язув«’’я з«
д«ч ’« по»удову?
акІ по»удов– мож’« в–ко’«т– з«
допомогою лІ’І—к– »ез подІлок?
акІ по»удов– мож’«
в–ко’«т– з« допомогою ц–ркуля?
що оз’«ч«є: розв’я­
з«т– з«д«чу ’« по»удову?
ак по»удув«т– вІдрІзок, що
дорІв’ює д«’ому?
ак по»уду в«т– тр–кут’–к з« трьом«
сторо’«м–? ак по»удув«т– кут, що дорІв’ює д«’ому?
ак по»удув«т– »Ісектр–су д«’ого кут«? ак подІл–т–
д«’–— вІдрІзок ’«впІл?
ак по»удув«т– пряму, перпе’
674
СроведІть довІль’у пряму т« вІдкл«дІть ’« ’І— вІдрІзок,
що дорІв’ює вІдрІзку ’« м«лю’ку
420.
675
СроведІть довІль’–— промІ’ь т« вІдкл«дІть вІд —ого
поч«тку вІдрІзок, що дорІв’ює вІдрІзку ’« м«лю’ку
421.
676
СроведІть довІль’у пряму
, в–»ерІть ’« ’І— точку
І
оп–шІть коло Із це’тром у точцІ
, р«дІус якого дорІв’ює вІд
рІзку, зо»р«же’ому ’« м«лю’ку 422. Ф скІлькоц точк«ц коло
перет’уло пряму?
677
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок
. Со»уду—те коло Із
це’тром у точцІ
, р«дІус якого дорІв’ює
Розділ 4
678
Со»уду—те тр–кут’–к зІ сторо’«м–
8
см,
7
см,
см.
679
Со»уду—те
ABC
, якщо
4 см,
6 см,
7 см.
680
О«креслІть довІль’–— тр–кут’–к
ABC
І по»уду—те тр–
кут’–к
ABD
т«к–—, що дорІв’ює тр–кут’–ку
ABC
681
О«креслІть довІль’–— тр–кут’–к І по»уду—те тр–кут’–к,
що —ому дорІв’ює.
682
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок
. Со»уду—те рІв’осто
ро’’І—
ABC
683
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–
кут
’–к, у якого ос’ов« дорІв’ює
вІдрІзку
, « »Іч’« сторо’«
° вІд
рІзку
(м«л.
423).
684
Со»уду—те кут, що дорІв’ює
д«’ому (м«л.
424).
685
Со»уду—те кут, що дорІв’ює д«’ому (м«л.
425).
686
Со»уду—те з« допомогою тр«’спорт–р« кут, що дорІв’ює
, т« »ез допомог– тр«’спорт–р« ° —ого »Ісектр–су.
687
Со»уду—те з« допомогою тр«’спорт–р« кут, що дорІв’ює
110
, т« »ез допомог– тр«’спорт–р« ° —ого »Ісектр–су.
688
Со»уду—те вІдрІзок, що дорІв’ює д«’ому (м«л. 426), т«
подІлІть —ого ’«впІл.
689
Со»уду—те вІдрІзок, що дорІв’ює д«’ому (м«л. 427), т«
подІлІть —ого ’«впІл.
690
О«креслІть пряму
т« точку
, що ї— ’е ’«леж–ть. Сро
ведІть пряму
перпе’д–куляр’о до прямої
691
О«креслІть пряму
т« точку
, що ї— ’«леж–ть. Сро
ведІть пряму
перпе’д–куляр’о до прямої
692
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к, к«тет– якого дорІв
’юють 5 см І 3 см.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
693
О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к
ABC
т« по»уду—те
—ого медІ«’у
694
О«креслІть прямокут’–— тр–кут’–к
ABC
).
Со»уду—те —ого медІ«’у
т« »Ісектр–су
695
О«креслІть прямокут’–— тр–кут’–к
KLM
).
Со»уду—те —ого »Ісектр–су
т« медІ«’у
696
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок. Со»уду—те вІдрІзок, що
697
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок. Со»уду—те вІдрІзок, що
698
О« д«’І— прямІ—
з’«—дІть точк–, вІдд«ле’І вІд з«д«’ої
точк–
: 1)
’« 4 см; 2) ’« вІдст«’ь »Ільшу ’Іж 4 см; 3)
’« вІд
ст«’ь ме’шу ’Іж 4 см.
699
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з« »Іч’ою сторо’ою
І р«дІусом оп–с«’ого кол«.
700
Со»уду—те
ABC
, якщо
3 см,
5 см,
105
701
Со»уду—те
KLM
, якщо
6 см,
4
см,

80
702
Со»уду—те
DEF
, якщо
6 см,
40
80
703
Со»уду—те тр–кут’–к
NPT
, якщо
4 см,
50
100
704
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, ос’ов« якого 4
см,
« кут пр– ос’овІ 70
705
Со»уду—те рІв’осторо’’І— тр–кут’–к зІ сторо’ою 5 см І
вп–шІть у ’ього коло.
706
Со»уду—те довІль’–— тр–кут’–к т« оп–шІть ’«вколо
’ього коло.
707
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, у якого ос’ов«
дорІв’ює 6 см, « в–сот«, проведе’« до ’еї, ° 4 см.
708
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І гІпоте
’узою.
709
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І »Ісек
тр–сою прямого кут«.
710
Со»уду—те тр–кут’–к з« двом« сторо’«м– І медІ«’ою,
проведе’ою до од’Ієї з ’–ц.
711
Со»уду—те коло, р«дІус якого 4 см, поз’«чте ’« цьому
колІ деяку точку
І проведІть через ’еї дот–ч’у до кол«
°
пряму
712
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І медІ
«’ою, проведе’ою до другого к«тет«.
Розділ 4
713
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І медІ
«’ою, проведе’ою до ’ього.
714
Со»уду—те тр–кут’–к з« сторо’ою, пр–легл–м до ’еї
кутом І р«дІусом оп–с«’ого кол«.
715
Со»уду—те тр–кут’–к з« сторо’ою, пр–легл–м до ’еї
кутом І »Ісектр–сою, проведе’ою з верш–’– цього кут«.
716
Со»уду—те тр–кут’–к з« двом« ’ерІв’–м– сторо’«м–
І р«дІусом оп–с«’ого кол«. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
717
Со»уду—те
ABC
, якщо
4 см,
40
105
718
Ое кор–стуюч–сь тр«’спорт–ром, по»уду—те кут– 30
І 60
719
Ое кор–стуюч–сь тр«’спорт–ром, по»уду—те кут, що
дорІв’ює 15
720
Со»уду—те »ез тр«’спорт–р«
ABC
, у якого:
1)
5 см,
60
45
2)
см,
150
721
Со»уду—те »ез тр«’спорт–р«
KMP
, у якого:
1)
см,
30
45
2)
см,
120
722
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, ос’ов« якого
дорІв’ює 4 см, « кут пр– верш–’І ° 80
723
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, ос’ов« якого
дорІв’ює 6 см, « кут пр– верш–’І ° 100
724
Со»уду—те рІв’осторо’’І— тр–кут’–к з« —ого медІ«’ою.
725
. ∠«’о кут 30
. Коло р«дІус« 5 см дот–к«ється до
сторо’– кут« І м«є це’тр ’« —ого І’шІ— сторо’І. О»ч–с
лІть вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до верш–’– кут«.
726
Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв’ює 15
, « дв« І’ш–ц
вІд’осяться як 7
8. З’«—
дІть ’«—ме’ш–— Із зов’Іш’Іц
кутІв тр–кут’–к«.
727
∠оведІть, що в рІв’–ц мІж со»ою тр–кут’–к«ц
»Ісектр–с–, проведе’І з верш–’ вІдповІд’–ц кутІв, є
рІв’–м–.
728
Од–’ з кутІв прямокут’ого тр–кут’–к« дорІв’ює
, « гІпоте’уз« ° 60 см. З’«— дІть вІдрІзк–, ’« якІ
дІл–ть гІпоте’узу в–сот«, проведе’« до ’еї.
729
. Срямокут’у пл–тку шокол«ду розл«м«л– ’«
чот–р– прямокут’–ц шм«тк–. Од–’ з ’–ц мІст–ть
6 кв«др«т’–ц ч«ст–’ок, друг–—
° 15, « третІ— ° 16. ТкІльк–
кв«др«т’–ц ч«ст–’ок у четвертому шм«тку цІєї пл–тк–?
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
27.
МІСЦЕ ТОЧОК
Ф геометрІї є з«д«чІ, пов’яз«’І з геометр–ч’–ц мІсцем точок,
яке з«леж’о вІд умов– з«д«чІ тре»« «»о з’«—т– (по»удув«т–),
«»о в–кор–ст«т– для розв’язув«’’я з«д«чІ.
Геометричним місцем точок
площини називають фігуру,
що складається з усіх точок площини, які мають певну
властивість.
Розгля’емо кІльк« геометр–ч’–ц мІсць точок площ–’–.
∈д’лдсрзцмд ліпцд с’ц’—
рі»м’»іггакдмзф »іг гам’ї
с’ц—з ма гамт »ігпсамь
, ° коло, р«дІус якого дорІв’ює д«’І—
вІдст«’І.
∈д’лдсрзцмд ліпцд с’ц’—
»ігпсамь »іг ь—зф г’ гам’ї
с’ц—з мд одрд»зшті гам’ї »ігпсамі
°
круг, р«дІус якого
дорІв’ює д«’І— вІдст«’І.
∈д’лдсрзцм
ліпцд с’ц’—
рі»м’»іггакдмзф »іг пс’рім
—тса са
ь—і макдеась –’в’ »мтсрічмі– ’«капсі
°
»Ісек
тр–с« д«’ого кут«.
∠ о в е д е ’ ’
Оец«— точк«
рІв’овІдд«ле’« вІд
сторІ’
AB
AC
кут«
І ’«леж–ть в’утрІш’І— о»л«стІ кут«
(м«л.
428). Уо»то перпе’д–куляр–
І
, проведе’І Із цІєї
точк– до сторІ’ кут«,
° рІв’І. УодІ
ABK
ACK
(з« к«тетом
І гІпоте’узою), «
BAK
CAK
(як вІдповІд’І кут–)
. Отже,
° »Ісектр–с« кут«.
Оец«— точк«
’«леж–ть »Ісектр–сІ кут«. З« вл«ст–вІстю
»Ісектр–с– кут« (д–в. § 23, теорем« 1):
Отже, м– довел–, що геометр–ч’–м мІсцем точок, рІв’о
вІдд«ле’–ц вІд сторІ’ кут« т« якІ ’«леж«ть —ого в’утрІш’І—
о»л«стІ, є »Ісектр–с« д«’ого кут«.
∈д’лдсрзцмд ліпцд с’ц’—
рі»м’»іггакдмзф »іг —імці»
»ігріж—а
серед–’’–— перпе’д–куляр до д«’ого вІдрІзк«.
27.
МІСЦЕ ТОЧОК
Розділ 4
∠ о в е д е ’ ’
я. 1)
Оец«— точк«
рІв’овІдд«ле’« вІд кІ’цІв
вІдрІзк«
, то»то
PB
(м«л.
429). УодІ
ABP
°
рІв’о
»едре’–— з ос’овою
, « тому медІ«’«
PK
цього тр–кут’–к«
є —ого в–сотою. Отже,
KB
PK
AB
. Уому
° сере
д–’’–— перпе’д–куляр до вІдрІзк«
Оец«— точк«
’«леж–ть серед–’’ому перпе’д–куляру
до вІдрІзк«
. З« вл«ст–вІстю серед–’’ого перпе’д–куляр«
(д–в.
§ 24, теорем« 1):
PA
PB
Отже, м– довел–, що геометр–ч’–м мІсцем точок, рІв’о
вІдд«ле’–ц вІд кІ’цІв вІдрІзк«, є серед–’’–— перпе’д–куляр
до д«’ого вІдрІзк«.
∈д’лдсрзцмд ліпцд с’ц’—
рі»м’»іггакдмзф »іг гам’ї орь
л’ї ма жагамт »ігпсамь
° двІ прямІ, п«р«лель’І д«’І— прямІ—,
кож’« точк« як–ц з’«цод–ться ’« з«д«’І— вІдст«’І вІд прямої.
∠ о в е д е ’ ’
я. 1)
∠оведемо, що кол– прям«
п«р«лель’«
прямІ—
, то двІ довІль’І точк– прямої
рІв’овІдд«ле’І вІд
прямої
Оец«—
° довІль’І точк– прямої
. Сроведемо пер
пе’д–куляр–
до прямої
(м«л.
430).
. ОскІльк–
, то
Сроведемо сІч’у
. УодІ
(як в’утрІш’І
рІз’осторо’’І). Уому
(з« гІпоте’узою
І гостр–м кутом), звІдк–
N
, то»то точк–
прямої
рІв’овІдд«ле’І вІд прямої
∠оведемо, що кол– двІ довІль’І точк–
прямої
леж«ть ’« од’«ковІ— вІдст«’І вІд прямої
І по од–’ »Ік вІд ’еї,
то прям«
° п«р«лель’« прямІ—
(м«л.
431).
Оец«—
° перпе’д–куляр– до прямої
. З«
умовою
ОскІльк–
, то
. Уому
N
N
(як в’утрІш’І рІз’осторо’’І кут–). Отже,
(з« першою оз’«кою). Уому
У«кож м«ємо
N
. Але
M
N
° в’у
трІш’І рІз’осторо’’І для прям–ц
. Уому
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
Отже, геометр–ч’–м мІсцем точок, вІдд«ле’–ц вІд д«’ої
прямої ’« з«д«’у вІдст«’ь
, є двІ прямІ, п«р«лель’І
д«’І—,
кож’« точк« як–ц з’«цод–ться ’« з«д«’І— вІдст«’І вІд прямої.
О« м«лю’ку
432
. ∈Ідст«’ь
т«кож
’«з–в«ють
»ігпсаммю ліе оаракдкь
мзлз орьлзлз
(’«пр–кл«д, мІж
Туть методу геометр–ч’–ц мІсць
у з«д«ч«ц ’« по»удову поляг«є в
т«кому. Оец«— ’ео»цІд’о по»удув«т–
точку
, що з«доволь’яє двІ
умов–.
Вудуємо геометр–ч’е мІсце точок,
що з«доволь’яють першу умову, °
фІгур«
, І геометр–ч’е мІсце точок,
що з«доволь’яють другу умову, ° фІгур«
шук«’« точк«
’«леж–ть як
, т«к І
, « тому є точкою їц перет–’у.
Çàäà÷à
Ф д«’–— кут вп–с«т– коло з«д«’ого р«дІус«.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— д«’о кут
(м«л.
433), у як–—
тре»« вп–с«т– коло р«дІус«
(то»то т«ке коло р«дІус«
, яке
дот–к«лося » до сторІ’ кут«).
Тпоч«тку з’«—демо це’тр цього кол« ° точку
. Ця точк«
з«доволь’яє двІ умов–: 1)
’«леж–ть »Ісектр–сІ кут« (»о є рІв
’овІдд«ле’ою вІд сторІ’ кут«); 2)
з’«цод–ться ’« вІдст«’І
’«пр–кл«д вІд сторо’–
AC
кут«.
ЗвІдс– по»удов«:
»удуємо »Ісектр–су кут«
° промІ’ь
(м«л.
434);
»удуємо пряму, перпе’д–куляр’у до прямої
, що про
цод–ть через деяку точку
, як« леж–ть усеред–’І кут«;
в–з’«ч«ємо ’« по»удов«’І— прямІ— точку
, що з’«цо
д–ться ’« вІдст«’І
вІд прямої
провод–мо через точку
пряму
, перпе’д–куляр’у
до прямої
; тодІ прямІ
PT
AC
° п«р«лель’І, кож’« точк«
прямої
з’«цод–ться ’« вІдст«’І
вІд прямої
прям«
перет–’«є промІ’ь
у точцІ
. Ця точк« І є
це’тром кол« р«дІус«
, вп–с«’ого в кут
Розділ 4
оп–суємо коло р«дІус«
Із це’тром у точцІ
, во’о дот–
к«ється до сторІ’ кут«.
∠ о в е д е ’ ’ я того, що по»удов«’е коло є шук«’–м,
в–пл–в«є з по»удов–.
що ’«з–в«ють геометр–ч’–м мІсцем точок?
що являє
со»ою геометр–ч’е мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд д«
’ої точк–, вІдст«’ь вІд як–ц до д«’ої точк– ’е перев–
щує д«’ої вІдст«’І; рІв’овІдд«ле’–ц вІд сторІ’ кут«;
рІв’овІдд«ле’–ц вІд кІ’цІв вІдрІзк«; вІдд«ле’–ц вІд д«’ої
точк– ’« з«д«’у вІдст«’ь?
Ф чому поляг«є суть методу
геомет р–ч’–ц мІсць точок?
730
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце точок, вІдд«ле’–ц вІд д«’ої
точк– ’«:
1) вІдст«’ь 2 см;

2) вІдст«’ь, ’е »Ільшу з« 2 см.
731
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце точок, вІдд«ле’–ц вІд д«’ої
точк– ’«:

2) вІдст«’ь ’е »Ільшу з«
732
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок
І з’«—дІть геомет
р–ч
’е
мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд кІ’цІв цього вІд
рІзк«.
733
Со»уду—те вІдрІзок
з«вдовжк– 4 см І геометр–ч’е
мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд —ого кІ’цІв.
734
Со»уду—те туп–— кут І геометр–ч’е мІсце точок, що ’«леж«ть
в’утрІш’І— о»л«стІ кут«, рІв’овІдд«ле’–ц вІд сторІ’ цього кут«.
735
Со»уду—те гостр–— кут І геометр–ч’е мІсце точок, що
’«леж«ть в’утрІш’І— о»л«стІ кут«, рІв’овІдд«ле’–ц вІд сторІ’
цього кут«.
736
Соз’«чте точк–
І
, вІдст«’ь мІж як–м– 4 см. З’«—
дІть
геометр–ч’е мІсце точок, вІдд«ле’–ц вІд кож’ої з ’–ц ’« вІд
ст«’ь 3 см.
737
Со»уду—те геометр–ч’е мІсце точок, що з’«цодяться вІд
д«’ої прямої ’« вІдст«’І, що дорІв’ює д«’ому вІдрІзку
738
Со»уду—те геометр–ч’е мІсце точок, що з’«цодяться ’«
вІдст«’І 4 см вІд д«’ої прямої.
739
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце це’трІв кІл р«дІус«
, що про
цодять через точку
740
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце це’трІв кІл, що дот–к«ються
до д«’ої прямої у д«’І— точцІ
741
∠«’о ос’ову
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«. З’«—дІть гео
метр–ч’е мІсце точок
° верш–’ рІв’о»едре’–ц тр–кут’–кІв
ос’овою
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
742
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце це’трІв кІл, що процодять
через двІ д«’І точк– °
743
Со»уду—те геометр–ч’е мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд
двоц д«’–ц п«р«лель’–ц прям–ц.
744
∠«’о пряму
І точку
. З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце
точок, що вІдд«ле’І вІд прямої
’« 3 см, « вІд точк–
° ’«
2 см. ТкІльк– розв’язкІв може м«т– з«д«ч« з«леж’о вІд роз
мІще’’я точк–
І прямої
745
ТкопІю—те м«лю’ок 435 у зош–т. Со»уду—те т«ку точку
що»
746
Со»уду—те коло д«’ого р«дІус«, яке дот–к«ється до двоц
д«’–ц кІл, що м«ють зов’Іш’І— дот–к.
747
Це’тр коло, р«дІус якого дорІв’ює 1,5 см, ’«леж–ть
прямІ—
. Со»уду—те коло р«дІус« 2 см, що дот–к«ється д«’–ц
прямої І кол«.
748
∠в« ’«селе’–ц пу’кт–
І
розт«шов«’І по рІз’І »ок–
вІд
рІчк–
(м«л.
436). Ф якому мІсцІ потрІ»’о по»удув«т–
мІст
через рІчку, що» вІ’ »ув рІв’овІдд«ле’–— вІд пу’ктІв
І
749
Со»уду—те тр–кут’–к з« двом« сторо’«м– т« в–сотою, що
проведе’« до од’Ієї з ’–ц. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
750
Со»уду—те тр–кут’–к з« сторо’ою, пр–легл–м до ’еї
кутом І в–сотою, що проведе’« до цІєї сторо’–.
751
∈–п–шІть в порядку зрост«’’я в’утрІш’І кут–
тр–кут’–к«
ABC
, якщо
5 см,
9 см,
см.
752
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« ’« 18 см
»Ільш–— з« —ого ос’ову. Ч– можл–во з’«—т– довж–’у
»Іч’ої сторо’–?
753
Од–’ Із зов’Іш’Іц кутІв прямокут’ого тр–кут’–к«
дорІв’ює 120
. З’«—
дІть вІд’оше’’я ме’шого к«тет« до
гІпоте’уз–.
754
∠в« кол« Із це’тр«м– в точк«ц
І
перет–’«
ються в точк«ц
І
, І кож’е з ’–ц процод–ть через
це’тр І’шого. З’«—
дІть
Розділ 4
755
. Розв’яжІть з«д«чу т« проч–т«—те прІзв–ще першого
през–де’т« ’ез«леж’ої Фкр«ї’–.
СромІ’ь
процод–ть мІж сторо’«м– кут«
АВC
З’«—
дІть
АВK
KВC
, якщо
АВC
120
Фмов«
АВK
KВC
АВK
íà
ме’ш–— вІд
KВC
АВK
утр–чІ »Ільш–— з«
KВC
ÓK
АВK
KВC

∠ом«ш’я с«мост№—’« ро»от« № 5 (§ 21 – § 27)
З’«—
дІть р«дІус кол«, дІ«метр якого дорІв’ює 8 см.



. З од’Ієї точк– до кол« проведе’о двІ дот–ч’І. ∈ІдрІзок од’Ієї
з дот–ч’–ц дорІв’ює 7 см. З’«— дІть вІдрІзок другої дот–ч’ої.



. ТкІльк– точок мІст–ть геометр–ч’е мІсце точок, рІв’о
вІдд«ле’–ц вІд сторІ’ кут« т« якІ ’«леж«ть —ого в’утрІш’І—
о»л«стІ?



. Р«дІус кол« дорІв’ює 4 см. ак розмІще’І прям«
І коло,
якщо вІдст«’ь вІд це’тр« кол« до прямої дорІв’ює 3 см?
. Уочк«
° це’тр кол«,
° —ого цорд«. З’«—
дІть
MON
якщо
OMN
70



. Кол«, р«дІус– як–ц 6 см І 2 см, м«ють в’утрІш’І— дот–к.
З’«—
дІть вІдст«’ь мІж їц це’тр«м–.



. Уочк«
° це’тр кол«,
° —ого дІ«метр,
° —ого
цорд«,
COA
. З’«—
дІть
BCO



КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
. ∠в« кол« м«ють зов’Іш’І— дот–к, « вІдст«’ь мІж їц це’
тр«м– дорІв’ює 14 см. З’«— дІть р«дІус– ц–ц кІл, якщо р«дІус
од’ого з ’–ц ’« 4 см »Ільш–— з« р«дІус другого.


. ∉еометр–ч’–м мІсцем це’трІв кІл, що дот–к«ються до д«’ої
прямої в точцІ
, є…


. З точк–
, що леж–ть поз« колом, проведе’о до кол« двІ
дот–ч’І
І
; де
І
° точк– дот–ку,
MBA
60
З’«—
дІть вІдст«’ь вІд точк–
до це’тр« кол«, якщо р«дІус
кол« дорІв’ює 10 см.



. Це’тр кол«, оп–с«’ого ’«вколо тр–кут’–к«, з»Іг«ється Із
серед–’ою сторо’– в...
прямокут’ому тр–кут’–ку;
гострокут’ому тр–кут’–ку;
тупокут’ому тр–кут’–ку;
рІв’осторо’’ьому тр–кут’–ку.
. Ур– кол«, р«дІус– як–ц 3 см, 4 см І 5 см, поп«р’о дот–
к«ються зов’І. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«, верш–’«м–
якого є це’тр– ц–ц кІл.



З«вд«’’я для перевірк– з’«’ь № 5 (§
27)
З’«—
дІть дІ«метр кол«, якщо —ого р«дІус дорІв’ює 26
мм.
. О« якому з м«лю’кІв 437–439 прям«
є дот–ч’ою до кол«,
« ’« якому
° сІч’ою?
Розділ 4
. О« якому з м«лю’кІв 440–442 зо»р«же’о коло, оп–с«’е
’«вколо тр–кут’–к«, « ’« якому ° вп–с«’е у тр–кут’–к?
. О«креслІть коло, р«дІус якого дорІв’ює 4 см. СроведІть
’ьому дІ«метр
І цорду
. Со»уду—те з« допомогою
кос–’ця дот–ч’у до кол«, що процод–ть через точку
Со»уду—те
ABC
, якщо
7 см,
6 см,
4 см.
. О«креслІть вІдрІзок
з«вдовжк– 5 см. Со»уду—те геомет­
р–ч’е мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд —ого кІ’цІв.
. ∠в« кол« м«ють зов’Іш’І— дот–к. ∈Ідст«’ь мІж їц це’тр«м–
дорІв’ює 20 см. З’«—
дІть р«дІус– кІл, якщо од–’ з ’–ц утр–чІ
»Ільш–— з« І’ш–—.
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, ос’ов« якого дорІв’ює
55 мм, « кут пр– ос’овІ ° 65
.
Коло, вп–с«’е в рІв’о»едре’–— тр–кут’–к, дІл–ть —ого »Іч’у
сторо’у ’« вІдрІзк– з«вдовжк– 5 см І 2 см, поч–’«юч– вІд вер
ш–’–, що прот–леж’« ос’овІ. З’«—
дІть пер–метр тр–кут
’–к«.
∠од«ткові впр«в–
. З точк–
, що леж–ть поз« колом, проведе’о до ’ього двІ
дот–ч’І
І
, де
І
° точк– дот–ку,
BAC
60
. З’«—
дІть р«дІус кол«, якщо вІдст«’ь вІд точк–
до це’тр« кол«
дорІв’ює 8 см.
Ое кор–стуюч–сь
тр«’спорт–ром, по»уду—те кут, що
дорІв’ює 120
Вправи для повторення розділу 4
756
О«креслІть коло. СроведІть в ’ьому р«дІус, дІ«метр І цорду.
757
∠«’о коло Із це’тром у точцІ
. ТкІльк– спІль’–ц точок
м«є коло з: 1)
проме’ем
прямою
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
758
Ф колІ Із це’тром
проведе’о цорд–
І
(м«л.
443).
∈Ідомо, що
AOB
BOC
. ∠оведІть, що
759
Ф колІ Із це’тром
проведе’о дІ«метр
І цорд–
І
(м«л.
444). З’«—
дІть кут– тр–кут’–к«
AKB
, якщо
KOB
130
760
ФсІ р«дІус– кол« продовж–л– зов’І кол« ’« їц довж–’у.
аку лІ’Ію утворять їц кІ’цІ?
761
РоздІлІть цорду ’«впІл з« допомогою л–ше кос–’ця, якщо
д«’о це’тр кол«.
762
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кут« мІж двом« цорд«м–, що
в–цодять з од’Ієї точк– І дорІв’юють р«дІусу.
763
° дІ«метр кол«,
° деяк« точк« кол«. З’«—
дІть кут–
тр–кут’–к«
ABK
, якщо ’«—ме’ш–— —ого кут у 4 р«з– ме’ш–—
вІд серед’ього з« вел–ч–’ою кут«.
764
Ф колІ через серед–’у р«дІус«
перпе’д–
куляр’о до
’ього проведе’о цорду
. З’«— дІть кут– тр–кут’–к«
MON
765
Цорд« перет–’«є дІ«метр пІд кутом 30
І дІл–ть —ого ’«
дв« вІдрІзк– з«вдовжк– 7 см І 1 см. З’«— дІть вІдст«’ь вІд
це’тр« кол« до цІєї цорд–.
766
О«креслІть коло, р«дІус якого 2,5 см. Соз’«чте ’« ’ьому
точку
. СроведІть з« допомогою кос–’ця сІч’у
т« дот–ч’у
до кол«.
767
Оец«—
° вІдст«’ь вІд це’тр« кол«
до прямої
, «
° р«дІус кол«. ак–м є вз«єм’е розмІще’’я прямої І кол«,
якщо:


Розділ 4
768
Ч– перет–’«ються дот–ч’І до кол«, що процодять через
кІ’цІ —ого дІ«метр«?
769
Срям« в точцІ
дот–к«ється до кол« Із це’тром
. О«
дот–ч’І— по рІз’І »ок– вІд точк–
вІдкл«де’о рІв’І вІдрІзк–
. ∠оведІть, що
770
Р«дІус кол« дІл–ть ’«впІл цорду, як« ’е є дІ«метром.
∠оведІть, що дот–ч’«, проведе’« через кІ’ець д«’ого р«дІус«,
п«р«лель’« д«’І— цордІ.
771
О«креслІть тупокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою тр«’
спорт–р«, ц–ркуля т« лІ’І—к– по»уду—те коло, вп–с«’е в це—
тр–кут’–к.
772
О«креслІть кут 80
. З« допомогою ц–ркуля, кос–’ця,
тр«’спорт–р« т« лІ’І—к– з подІлк«м– вп–шІть у це— кут коло
т«к, що» точк« дот–ку до сторІ’ кут« з’«цод–л«ся ’« вІдст«’І
2 см вІд —ого верш–’–.
773
Це’тр кол«, вп–с«’ого у тр–кут’–к, леж–ть ’« перет–’І
двоц медІ«’ тр–кут’–к«. ∠оведІть, що тр–кут’–к рІв’осто
ро’’І—.
774
∈п–с«’е в рІв’о»едре’–— тр–кут’–к коло дІл–ть »Іч’у
сторо’у у вІд’оше’’І 2
: 3, поч–’«юч– вІд ос’ов–. З’«—
дІть
сторо’– тр–кут’–к«, якщо —ого пер–метр дорІв’ює 70 см.
775
О«креслІть прямокут’–— тр–кут’–к. З« допомогою крес
лярськ–ц І’струме’тІв оп–шІть ’«вколо ’ього коло.
776
∠оведІть, що в рІв’о»едре’ому тр–кут’–ку це’тр оп–с«
’ого кол« ’«леж–ть прямІ—, що мІст–ть в–соту тр–кут’–к«,
проведе’у до ос’ов–.
∠оведІть, що це’тр кол«, оп–с«’ого ’«вколо рІв’осторо’
’ього тр–кут’–к«, з»Іг«ється Із це’тром кол«, вп–с«’ого в це—
тр–кут’–к.
778
О«креслІть вІдрІзок з«вдовжк– 4 см. Со»уду—те дв« кол«,
це’тр«м– як–ц є кІ’цІ з«д«’ого вІдрІзк«, т«кІ, що:

779
∠І«метр »Ільшого з ко’це’тр–ч’–ц кІл дІл–ться ме’ш–м
колом ’« тр– ч«ст–’–, що дорІв’юють 3
см, 8
см І 3
см. З’«—
дІть р«дІус– кІл.
КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
780
О« м«лю’ку 445 зо»р«же’о ко’це’
тр–ч’І кол«, р«дІус– як–ц вІд’осяться
як 10
7. З’«—
дІть цІ р«дІус–, якщо
см.
781
Ср– якому розт«шув«’’І двоц кІл
до ’–ц мож’« провест– л–ше тр– спІль’І
дот–ч’І?
782
∈Ідст«’ь мІж це’тр«м– двоц кІл, що
дот–к«ються,
дорІв’ює 16 см. З’«—
дІть
р«дІус– ц–ц кІл, якщо во’– вІд’осяться
як 5 : 3. Розгля’ьте всІ можл–вІ в–п«дк–.
783
О«креслІть довІль’–— кут
І по»уду—те коло Із це’тром
у —ого верш–’І, р«дІус якого дорІв’ює вІдрІзку, зо»р«же’ому
’« м«лю’ку 446. Ч– перет–’«є коло кож’у зІ сторІ’ кут«?
784
Со»уду—те вІдрІзок, довж–’« якого удвІчІ »Ільш« з«
довж–’у вІдрІзк« ’« м«лю’ку 446.
785
О«креслІть з« допомогою тр«’спорт–р« кут, гр«дус’«
мІр« якого дорІв’ює 80
. Со»уду—те (»ез тр«’спорт–р«) кут,
що дорІв’ює д«’ому, І —ого »Ісектр–су.
786
О«креслІть довІль’–— тр–кут’–к І проведІть —ого »Ісек
тр–с–.
787
О«креслІть гострокут’–— тр–кут’–к т« проведІть —ого
медІ«’–. Фпев’Іться в тому, що медІ«’– перет’ул–ся в од’І—
точцІ.
788
О«креслІть довІль’–— туп–— кут. Со»уду—те кут, що
дорІв’ює:

789
З« двом« д«’–м– кут«м– тр–кут’–к« по»уду—те кут, що
дорІв’ює —ого третьому куту.
790
Со»уду—те рІв’о»едре’–— прямокут’–— тр–кут’–к з«
—ого гІпоте’узою.
791
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І гостр–м
кутом.
792
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з« ос’овою
т«
р«дІусом оп–с«’ого кол«
< 2
). ТкІльк– розв’язкІв м«є
з«д«ч«?
Розділ 4
793
Со»уду—те тр–кут’–к з« двом« сторо’«м– т« кутом, що
леж–ть прот– ме’шої з ’–ц.
794
Со»уду—те рІв’о»едре’–— тр–кут’–к з« кутом мІж »Іч
’–м– сторо’«м– І »Ісектр–сою, проведе’ою з верш–’– кут«
пр– ос’овІ.
795
Со»уду—те прямокут’–— тр–кут’–к з« к«тетом І сумою
другого к«тет« І гІпоте’уз–.
796
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце точок, вІдд«ле’–ц вІд д«’ої
точк– ’« з«д«’у вІдст«’ь.
797
Со»уду—те прям–— кут І геометр–ч’е мІсце точок, рІв
’овІдд«ле’–ц вІд сторІ’ цього кут«, що ’«леж«ть —ого в’у
трІш’І— о»л«стІ.
798
Ч– »уде прям«, що мІст–ть в–соту рІв’о»едре’ого тр–
кут’–к«, проведе’у до ос’ов–, геометр–ч’–м мІсцем точок,
рІв’овІдд«ле’–ц вІд кІ’цІв ос’ов–?
799
Со»уду—те коло р«дІус«
, що процод–ть через двІ д«’І
точк–. ТкІльк– розв’язкІв м«є з«д«ч«?
800
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце точок, рІв’овІдд«ле’–ц вІд
усІц верш–’ тр–кут’–к«.
801
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце це’трІв кІл, р«дІус кож’ого з
як–ц дорІв’ює
, що дот–к«ються до д«’ої прямої.
802
О« сторо’І тр–кут’–к« з’«—дІть точку, рІв’овІдд«ле’у
вІд двоц І’ш–ц —ого сторІ’.
803
З’«—
дІть геометр–ч’е мІсце точок, що з’«цодяться ’«
вІдст«’І, як« ’е перев–щує 3 см вІд д«’ої прямої.
804
Со»уду—те коло, що процод–ть через д«’у точку
І
дот–к«ється до д«’ої прямої
у д«’І— точцІ
805
Со»уду—те тр–кут’–к з« —ого кутом, »Ісектр–сою, про
веде’ою Із цього кут«, І в–сотою, що проведе’« до пр–леглої
до цього кут« сторо’–.
806
Со»уду—те тр–кут’–к з« р«дІусом оп–с«’ого кол«, сто
ро’ою т« в–сотою, що проведе’« до цІєї сторо’–.
А∈∠АООа
∠Ма
СеРе∈іРК
ЗОАО
КФРТ
∉еОМеУРії 7
КМАТФ
. СроведІть пряму
, поз’«чте точку
, що ’«леж–ть
прямІ—
, І точку
, що прямІ—
’е ’«леж–ть. ∈–ко’«—те
вІдповІд’І з«п–с–.
О«креслІть довІль’–— вІдрІзок
т« коло Із це’тром у
точцІ
, р«дІус якого дорІв’ює
Ф тр–кут’–ку
CDE
кут
° прям–—. ак ’«з–в«ють сторо’у
цього тр–кут’–к«? ак ’«з–в«ють сторо’–
І
цього
тр–кут’–к«?
. Од–’ з кутІв, що утвор–л–ся пр– перет–’І двоц прям–ц,
дорІв’ює 119
. З’«—
дІть решту кутІв. З’«— дІть гр«дус’у мІру
кут« мІж ц–м– прям–м–.
Сер–метр рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« дорІв’ює 24
см, «
»Іч’« сторо’« ° 9
см. З’«—
дІть ос’ову тр–кут’–к«.
∠«’о:
CDN
DNM
(м«л.
447).
∠овест–:
CDN
MND
. Од–’ з кутІв тр–кут’–к« дорІв­
’ює
, « друг–— ° ’« 14
»Ільш–— з«
третІ—. З’«— дІть ’евІдомІ кут– тр–кут
’–к«.
Со»уду—те
ABC
, якщо
6
см,
З’«—
дІть гострІ кут– прямокут’ого
тр–кут’–к«, якщо зов’Іш’І кут– пр–
верш–’«ц ц–ц кутІв вІд’осяться як
25.
А∠АЧ
і Сі
ище
ОЇ
ТКМА∠О
ОТ
Розд№л 1
елеме’т«р’№ геометр–ч’№ ф№гур– т« їц вл«ст–вост№
807
∠«’о вІдрІзок
. Соз’«чте всІ т«кІ точк–
’« вІдрІзку
, для як–ц в–ко’ується спІввІд’оше’’я:

3
808
∉р«дус’« мІр« кут«
AOB
дорІв’ює 120
. Со»уду—те про
мІ’ь
, як–— процод–ть мІж сторо’«м– д«’ого кут« т«к, що
AOK
KOB
10
809
ТкІльк– рІз’–ц прям–ц мож’« провест– через чот–р–
точк–? Розгля’ьте всІ можл–вІ в–п«дк–. ∠о кож’ого зро»Іть
м«лю’ок.
810
ТкІльк– рІз’–ц точок перет–’у можуть м«т– чот–р–
прямІ, кож’І двІ з як–ц перет–’«ються?
Розгля’ьте всІ можл–вІ в–п«дк–. ∠о
кож’ого в–ко’«—те м«лю’ок.
811
Уочк–
І
’«леж«ть прямІ—
пр–чому точк«
леж–ть мІж точк«м–
. ∈Ідомо, що
<
1,9
. СорІв’я—те
довж–’– вІдрІзкІв
812
О« м«лю’ку 448
AOC
BOD
І
° »Ісектр–с– кутІв
AOD
І
COB
СорІв’я—те кут–:

Розд№л 2
∈з«єм’е розм№ще’’я прям–ц ’« площ–’№
813
∠«’о п’ять прям–ц, кож’І двІ з як–ц перет–’«ються.
∈Ідомо, що через точку перет–’у »удь­
як–ц двоц з ’–ц про
цод–ть пр–’«—м’І ще од’« з д«’–ц прям–ц. ∠оведІть, що всІ
цІ прямІ процодять через од’у точку.
814
Ч– мож’« гр«дус’І мІр– двоц сумІж’–ц кутІв з«п–с«т–:
815
З’«—
дІть сумІж’І кут–, якщо:
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
816
Ф якому з в–п«дкІв утвор–ться »Ільше п«р верт–к«ль’–ц
кутІв: пр– перет–’І трьоц прям–ц в од’І— точцІ ч– в трьоц точк«ц?
817
З’«—
дІть кут мІж двом« прям–м–, що перет–’«ються,
якщо сум«
од’ого з утворе’–ц кутІв І
І’шого дорІв’ює 90
818
Через верш–’у тупого кут«, гр«дус’« мІр« якого дорІв
’ює
, проведе’о проме’І, перпе’д–куляр’І до сторІ’ кут«.
Сроме’І утвор–л– гостр–— кут
. ∠оведІть, що
+
180
Ч– є п«р«лель’–м– прямІ
І
(м«л.
449)?
820
Ч– мож’«, в–кор–стовуюч– ш«»ло’
кут« 27
, по»удув«т– перпе’д–куляр’І
прямІ?
821
З’«—
дІть гр«дус’у мІру кож’ого
з кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І двоц
прям–ц, якщо од–’ з ’–ц у 2,6 р«з«
ме’ш–— вІд сум– трьоц І’ш–ц.
Розд№л 3
р–кут’–к–.
з’«к– р№в’ост№ тр–кут’–к№в
822
Сер–метр тр–кут’–к« ’« 10 см »Ільш–— з« од’у Із сторІ’,
’« 13
° з« другу І ’« 9
° з« третю. З’«—
дІть пер–метр
тр–кут’–к«.
823
Уочк–
І
° серед–’– сторІ’
І
тр–кут
’–к«
ABC
(м«л.
450). ∠оведІть,
NLK
MKL
824
СрямІ, що мІстять »Ісектр–с– зов’Іш’Іц кутІв пр– вер
ш–’«ц
І
тр–кут’–к«
ABC
, перет–’«ються в точцІ
. З’«—
дІть
BOC
, якщо
825
О« м«лю’ку 451
ABC
CDA
40 см,
10 см. Сер–метр тр–кут’–к«
ABC
дорІв’ює 100
см.
З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«
AOC
, якщо
»Ільш« з«
’« 30 см.
М«л. 451
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
826
ABC
° рІв’о»едре’–— з ос’овою
. МедІ«’–
І
продовже’о з« точк–
І
’« вІдрІзк–
І
вІдповІд’о
т«к, що
. ∠оведІть, що
ALC
BKC
827
∠оведІть, що з точк– перет–’у »Ісектр–с кож’у зІ сторІ’
тр–кут’–к« в–д’о пІд туп–м кутом.
828
∠вІ сторо’– І в–сот«, що проведе’« до третьої сторо’–
од’ого тр–кут’–к«, вІдповІд’о дорІв’юють двом сторо’«м І
в–сотІ, що проведе’« до третьої сторо’– другого тр–кут’–к«.
Ч– мож’« стверджув«т–, що тр–кут’–к– рІв’І?
829
∠вІ сторо’– І медІ«’«, що проведе’« до третьої сторо’–
од’ого тр–кут’–к«, дорІв’юють вІдповІд’о двом сторо’«м І
медІ«’І, проведе’І— до третьої сторо’– другого тр–кут’–к«.
∠оведІть, що д«’І тр–кут’–к– рІв’І.
830
∈–з’«чте в–д тр–кут’–к« (з« кут«м–), якщо:
831
Ф тр–кут’–ку
ABC
кут
° прям–—. Тторо’у
тр–кут
’–к« продовже’о з« точку
’« вІдрІзок
І з« точку
’« вІдрІзок
. З’«—
дІть суму гр«дус’–ц мІр кутІв
CPT
CTP
832
Ф тр–кут’–ку
ABC
° точк« перет–’у »Ісек
тр–с тр–кут’–к«, « точк«
° це’тр кол«, оп–с«’ого ’«вколо
тр–кут’–к«. ∈ІдрІзок
перет–’«є сторо’у
тр–кут’–к« в
точцІ
І дІл–ться цІєю точкою ’«впІл. З’«—
дІть кут– тр–кут
’–к«
ABC
833
∈ІдрІзк–
І
перет–’«ються. ∈Ідомо, що

∠оведІть, що
Ф тр–кут’–ку
ABC

° медІ«’«. ∠оведІть, що
CAM
MAB
835
Фсеред–’І рІв’осторо’’ього тр–кут’–к«
ABC
узято
довІль’у точку
. ∠оведІть, що
836
Ф прямокут’ому тр–кут’–ку од–’ з гостр–ц кутІв удвІчІ
ме’ш–— вІд другого, « сум« гІпоте’уз– т« ме’шого к«тет«
дорІв’ює
см. З’«—
дІть р«дІус кол«, оп–с«’ого ’«вколо тр–
кут’–к«.
837
Ф тр–кут’–ку
ABC
90
. О« сторо’«ц
поз’«че’о точк–
І
т«к, що
LCK
10
З’«—
дІть
LKC
Ф тр–кут’–ку
ABC
в–сот–
І
рІв’І —
З’«—
дІть
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
Розд№л 4
Коло № круг
∉еометр–ч’№ по»удов–
839
∈ІдрІзок
° в–сот« гострокут’ого тр–кут’–к«
ABC
∈Ід
верш–’–
’« прямІ—
вІдкл«де’о вІдрІзк–
І
довж–’– як–ц дорІв’юють довж–’І сторо’–
. О« сторо’І
вІд точк–
вІдкл«де’о вІдрІзок
, що дорІв’ює
. ∠оведІть,
що точк–
леж«ть ’« од’ому колІ.
840
О«вколо рІв’о»едре’ого тр–кут’–к« з кутом пр– верш–’І
120
І »Іч’ою сторо’ою, що дорІв’ює
см, оп–с«’о коло. З’«—
дІть —ого р«дІус.
841
І
° дот–ч’І до кол«
(м«л.
452),
см. Срям«
дот–к«ється до кол« в точцІ
. З’«—
дІть пер–метр тр–кут’–к«
ABC
842
∠в« кол« од’«кового р«дІус«,
що дот–к«ються мІж со»ою, в’у
трІш’ьо дот–к«ються до третього
кол«. Тполуч–вш– це’тр– трьоц
кІл, отр–м«л– тр–кут’–к, пер–
метр якого 20
см. З’«—
дІть р«дІус
»Ільшого кол«.
843
Оец«—
° р«дІус кол«, вп– с«’ого в прямокут’–—
тр–
кут’–к з к«тет«м–
І
т« гІпоте’узою
. ∠оведІть, що
844
∠в« кол« м«ють зов’Іш’І— дот–к у точцІ
. Уочк–
° точк– дот–ку спІль’ої зов’Іш’ьої дот–ч’ої до кІл.
∠оведІть, що
845
З« допомогою ц–ркуля І лІ’І—к– подІлІть кут 54
’« тр–
рІв’І ч«ст–’–.
846
З’«юч– суму І рІз’–цю двоц кутІв по»уду—те їц.
847
Со»уду—те
ABC
з« сторо’ою
, пр–легл–м до ’еї
кутом
І сумою двоц І’ш–ц сторІ’
848
Со»уду—те
ABC
з« двом« кут«м–
І
т« пер–метром
849
∠«’о пряму
І вІдрІзок
, що перет–’«є цю пряму.
Со»уду—те ’« прямІ—
точку
т«к, що» прям« мІст–л« »Ісект
р–су тр–кут’–к«
ABC
850
Со»уду—те точку, як« леж–ть ’« д«’ому колІ — рІв’о­
вІдд«ле’« вІд кІ’цІв д«’ого вІдрІзк«. ТкІльк– розв’язкІв м«є
з«д«ч«?
∈і∠СО∈і∠і, ∈КАЗі∈Ки УА
озд№л 1
6; 3)
16.
3; 3)
7.
6051.
см.
6
см.
1)

1,9
дм;
5,7
дм; 2)

5,2
дм;
2,4
дм.
1)
4,5
см;
3,9
см; 2)
2,1
см;
6,3
см.
.
10,1
см «»о 0,3
см;
дв« розв’язк–.
9,7
см «»о 4,7
см; дв« розв’язк–.
1) 180
; 2) 90
; 4) 120
1) 90
; 2) 180
; 3) 150
; 4) 60
112
131

PQB

MQP
96

CAN

MAC

∠в«, «»о тр–, «»о чот–р–. 2)
∈Ід двоц до
+ 1
ч«ст–’.
8
см.
.
см.
90
; 42
; 138
; 2)
; 3
; 20
148
; 2)
146

AOM

Розд№л 2
І 99
І 135
І 126
100
І 80
100
І 60
101
І 108
«»о 60
І 120
104
Кут; 2)
прям«; 3)
евклІд; 4)
геометрІя.
113
117
ФсІ
по 90
; 2)
; 91
; 89
; 91
118
8
; 172
; 8
; 172
; 2)
усІ по 90
119
; 2)
120
121
100
122
123.
180
125
см.
140
; 2)
141
; 2)
127
144
140
145
110
150
І 108
160
161
167
168
ОІ.
179
180
187
190
; 2)
170
; 3)
170
188
200
; 2)
160
; 3)
200
189
ОІ.
190
У«к.
191
ОІ.
192
ОІ.
196
100
197
У«к.
212
І 98
І 135
; 3)
І 105
213
І 94
; 2)
І 144
; 3)
100
І 80
214
’« м«лю’ку 155;
’« м«лю’ку 156;
129
íà
м«лю’ку 157.
215
’« м«лю’ку 158;
110
’« м«лю’ку 159.
216
ОІ.
217
Чот–р– кут– по 40
І чот–р– кут– по 140
218
Чот–р–
кут– по 32
І чот–р– кут– по 148
219
130
220
100
224
фр«’ко.
229
І 126
230
І 150
231
І 100
232
144
237
238
120
239
; 144
; 36
; 144
; 2)
; 130
; 50
; 130
240
246
У«к; 2)
т«к.
ОІ.
257
У«к.
260
І 100
262
263
Розд№л 3
272
см; 15
см; 12
см.
273
дм; 10
дм; 18
дм.
276
дм;
дм; 24
дм.
277
см; 24
см; 32
см.
279
см.
281
141
282
чот–
р–кут’–кІв.
292
ОІ; 2)
’І.
293
У«к,
AB
BC
294
У«к,
295
см.
296
см.
297
см.
298
; 60
; 90
319
∈ к « з І в к
«.
Оец«— точк«
° точк« перет–’у
AB
. ∠оведІть, що
{
AOM
{
AON
339
4
см; 4
см; 6
см.
340
см; 16
см; 16
см.
ВІДПО
ІДІ,
КАЗІ
КИ ТА Р
В’Я
ННЯ
341
7
дм; 14
дм; 14
дм.
348
28
см;
20
см.
349
Ко’ус, сук’о; 2)
сектор; корсет.
369
см.
370
см.
371
∈ к « з І в к
«.
Оец«—
° »Ісектр–с«
І медІ«’« тр–кут’–к«
ABC
(м«л.
453). Сродовжте
BK
з« точку
’« вІдст«’ь вІдрІзк«
KM
). ∠ове
дІть рІв’Ість тр–кут’–кІв
ABK
І
373
см; 7
см;
см.
374
см; 30
см; 30
см.
375
110
л.
390
KAC
BAK
408
409
410
60
80
411
80
414
45
75
415
; 54
; 90
416
; 65
; 65
417
; 52
420
; 57
421
; 96
425
426
; 12
; 156
«»о 12
; 84
; 84
; 2)
; 44
; 44
427
; 28
; 124
«»о 28
; 76
; 76
; 2)
106
; 37
; 37
429
; 72
; 72
«»о 45
; 45
; 90
430
; 55
; 70
«»о
; 65
; 50
431
см.
434
«»о 100
454
; 2)
; 112
455
; 70
; 2)
; 90
456
; 62
І 56
«»о 62
; 59
457
138
; 21
; 21
459
2.
460
:
:
15.
462
І
463
4,2
см; 8,4
см; 10,2
см.
479
1) 31
І 59
; 2) 15
І 75
; 3) 36
І
480
1) 18
І 72
; 2) 37
І 53
; 3) 50
І 40
481
482
113
484
І 32
485
І 50
487
см; 10
см.
488
см.
489
І
490
І 18
492
; 52
І 96
493
см.
494
М«л.
454.
501
ОІ.
502
см.
503
5,7
см «»о 6,7
см.
504
У«к; 2),
’І.
1), 2)
ОІ; 3)
т«к.
506
ОІ.
507
ОІ.
508
117
510
У«к; 2)
’І.
514
см; 20
см;
см.
515
см;
см;
см.
518
ОІ.
519
см.
530
У«к.
531
см; 32
см;
см.
539
β – α
+ β
546
547
; 72
548
549
; 48
550
551
; 2)
554
У«к; 2), 3)
’І.
108
557
; 56
; 84
558
100
; 40
; 40
564
; 63
565
І 60
566
см.
567
568
см.
569
см.
570
см; 10
см.
573
4 см І 13 см.
574
ОІ.
575
4
см «»о 7
см;
5 см; 3)
см.
576
9 см; 21 см; 21
см.
Розд№л 4
593
594
595
ВезлІч; 2)
двІ.
596
см.
597
. 9
см.
600
. 2
см І 3,5
см.
602
135
604
16.
615
616
106
617
618
. 7
см.
620
см.
621
. М«л. 455.
633
см;
1
см;
см.
634
см;
см; 14
см.
635
см.
см.
638
. 9
ВІДПО
ІДІ,
КАЗІ
КИ ТА Р
В’Я
ННЯ
639
. Ое о»ов’язково, д–в. м«л.
456.
645
1),
ВезлІч; 3)
од’е.
655
. 8
см.
663
. 8 дм І
дм.
664
. 6 см І 9
см.
665
Зов’Іш’І—
дот–к кІл; 2)
кол« ’е перет–’«ються; 3)
в’у
трІш’І— дот–к кІл; 4)
кол« перет–’«ються.
Кол« ’е перет–’«ються; 2)
в’у
трІш’І— дот–к кІл; 3)
кол« перет–’«ються;
зов’Іш’І— дот–к кІл.
669
. 2
см; 3
см; 5
см.
670
см.
673
17.
718
. ∈ к « з І в к
Со»у
ду—те прямокут’–— тр–кут’–к, у якого
од–’ з к«тетІв удвІчІ ме’ш–— вІд гІпоте
’уз–.
722
. ∈ к « з І в к
З’«—
дІть кут пр– ос’овІ тр–кут’–к«. ∠ля
цього по»уду—те д«’–— кут, сумІж’–— з ’–м, І подІлІть ост«’’І—
’«впІл.
723
. ∠–в. вк«зІвку до з«д«чІ 722.
725
см.
726
.
728
см І 45
см.
729
40.
745
. ∈ к « з І в к
шук«’« точк«
°
точк« перет–’у серед–’’–ц пер
пе’д–кулярІв до вІдрІзкІв
І
746
. ∈ к « з І в к
Оец«— д«’о кол« Із це’тр«м–
І
, р«дІус–
як–ц
І
, « ’ео»цІд’о по»удув«т– коло р«дІус«
, що дот–к«ється
до д«’–ц. Со»уду—те кол« Із це’тр«м– у точк«ц
І
, р«дІус– як–ц
т«
вІдповІд’о.
748
. ∈ к « з І в к
«. шук«’« точк«
° точк«
перет–’у серед–’’ого перпе’д–куляр« до
т« прямої
752
У«к,
во’« дорІв’ює 9
см.
753
. 1 :
2.
754
120
759
.
AKB
KBA
KAB
762
120
763
; 72
764
.
; 30
; 120
765
.
1,5
см.
768
ОІ.
774
см; 25
см; 25
см.
779
. 4
см; 7
см.
см; 28
см.
781
Зов’Іш’І— дот–к двоц кІл.
782
см І 6 см «»о 40 см І 24
см.
«д«ч№ п№дв–ще’ої скл«д’ост№
808
. ∈ к « з І в к
«.
AOK
50

812
AOL
COP
; 2)
LOP
AOC
814
У«к, ’«пр–кл«д, 1
І 179
’І.
815
108
І 72
; 2)
І 100
816
. Од’«ково, по 6.
817
«»о
818
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«— д«’о туп–—
(м«л. 457).
°
90

+
+ 90

+
180
, що — тре»« »уло
ОІ.
820
У«к.
821
; 100
; 80
; 100
822
16 см.
ВІДПО
ІДІ,
КАЗІ
КИ ТА Р
В’Я
ННЯ
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. Оец«—
см,
см,
° сторо’– тр–
кут’–к«, «
° —ого пер–метр.
+
+
. З« умо
вою

10,

13,

9. М«ємо
+
+

10, то»то
+
10. А’«логІч’о
+
13,
+
9. М«ємо с–
стему:

10,
13,
Ткл«вш– почле’’о
всІ тр– рІв’я’’я, одерж–мо: 2
α
2
+ 2
32; 2(
+
+
32;
+
16. Отже, пер–метр тр–кут’–к« дорІв’ює 16 см.
824
825
90 см. Р
о з в ’ я з « ’ ’ я. 1) ОскІльк–

. Але
. 3) Соз’«ч–мо
ф
см, тодІ
ф –
4) Сер–метр
100 см. М«ємо:
ВО + ОС
100, 40 + 10 +
– 30
100. ЗвІдс–
40 (см). 5)
– 30
– 30
40 – 30
90 (см).
830
∉острокут’–—; 2)
гострокут’–—.
831
832
, 108
835
∈ к « з І в к
«. Розгля’ьте тр–кут’–к–
AKC
І
BKC
.
836
см.
837
60
. ∈ к « з І в к
«.
ACA
BAB
(з« двом« к«тет«м–).
839
∈ к « з І в к
«. Розгля’ьте коло
Із це’тром у точцІ
, р«дІус якого
BA
840
см.
841
см.
Р о з в ’ я з « ’ ’ я. З« вл«ст–вІстю вІдрІзкІв дот–ч’–ц, проведе’–ц
до кол« з од’Ієї точк–, м«ємо
см,
І
Оец«—
° пер–метр тр–кут’–к«
ABC
. УодІ
+
+
+
+
+
+
+
+
(
+
) +
+ (
+
+
+
2
(см).
842
см.
845
∈ к « з І в к «. ОскІльк– 54
• 3
162
, то мож’« по»удув«т– кут 18

(18
180

162
).
847
∈ к « з І в к «. Со»уду—те
BCD
, у якого
DBC
BD
+
(м«л.
458). УодІ точк«
в–з’«ч«ється з
умов–
ADC
ACD
848
∈ к « з І в к «. ТлІд розгля’ут–
CMN
у якого
MN

N

ВІДПО
ІДІ,
КАЗІ
КИ ТА Р
В’Я
ННЯ
849
∈ к « з І в к
«. Оец«— прям«
перет–’«є
у точцІ
. Со»у
ду—те вІдрІзок
BO
(м«л.
459). шук«’« точк«
є точкою
перет–’у прям–ц
AE
850
Зод’ого; од–’ «»о дв« розв’язк–.
∈і∠СО∈і∠і ∠О ЗА∈∠АОь Ф УеТУО∈іК фОРМі
«∠ОМАшОа ТАМОТУіКОА РОВОУА»
123456789101112
АВВ
ÃÃ
ÂÃÂ
ВА
ÂÂ
ВА
3ВВВ
ÃÂÂÃ
АА
ÃÃ
ÃÃ
АВА

ÂÃ
АВВАВ
ÂÂ
∠ М
иК СО
КА
ксІом« п«р«лель’остІ 41
АксІом– геометрІї 25
Ісектр–с« кут« 18
тр–кут’–к« 88
ВІч’І сторо’– рІв’о»едре’ого
тр–кут’–к« 82
ерш–’« кут« 16
тр–кут’–к« 70
∈з«єм’е розмІще’’я двоц кІл
145
∈–д– тр–кут’–кІв 71, 82
∈–с’овок теорем– 26
∈–сот« тр–кут’–к« 88
∈ІдповІд’І кут– 45
∈ІдрІзок 11
∈Ідст«’ь вІд точк– до прямої
– мІж кІ’цям– вІдрІзк« 13
– –
п«р«лель’–м– прям–м–
159
∈л«ст–вІсть »Ісектр–с– кут«
137
– –
рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
– вІдповІд’–ц кутІв, утворе’–ц
пр– перет–’І п«р«лель’–ц
прям–ц сІч’ою 51
– вІдрІзкІв дот–ч’–ц, прове
де’–ц з од’Ієї точк– 135
в’утрІш’Іц од’осторо’’Іц
кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І
п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою 53
в’утрІш’Іц рІз’осторо’’Іц
кутІв, утворе’–ц пр– перет–’І
п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою 53
дот–ч’ої 133
зов’Іш’ього кут« тр–кут
’–к« 104
кутІв рІв’о»едре’ого тр–кут
’–к« 83
∈л«ст–вІсть п«р«лель’–ц пря
м–ц 51
серед–’’ого перпе’д–куляр«
до вІдрІзк« 141
∈л«ст–востІ елеме’тІв кол«
128, 129
прямокут’–ц тр–кут’–кІв
108, 109, 110
∈’утрІш’І од’осторо’’І кут–
– рІз’осторо’’І кут– 45
∈’утрІш’я о»л«сть кут« 16
еометр–ч’« фІгур« 7
∉еометр–ч’е мІсце точок 157
∉еометрІя 6
∉Іпоте’уз« 108
∉р«дус 17
І«метр кол« 127
круг« 130
∠оведе’’я теорем– 26
∠от–к двоц кІл 146
в’утрІш’І— 146
зов’Іш’І— 146
∠от–ч’« 133
«сІчк« 150
Зов’Іш’І— кут тр–кут’–к« 104
Зов’Іш’я о»л«сть кут« 16
’це’тр тр–кут’–к« 88
«тет 108
КІ’цІ вІдрІзк« 11
Кол« ко’це’тр–ч’І 145
Кол«, що перет–’«ються 146
Коло 127
– вп–с«’е в тр–кут’–к 137
– оп–с«’е ’«вколо тр–кут’–к«
141
Круг 130
Кут 16
– гостр–— 18
– мІж прям–м– 30
прям–— 18
ПРЕД МЕТ НИЙ
О КАж ЧИК
– розгор’ут–— 16
– туп–— 18
Кут– верт–к«ль’І 29
– сумІж’І 27
тр–кут’–к« 70
едІ«’« тр–кут’–к« 87
Метод геометр–ч’–ц мІсць 159
– доведе’’я вІд супрот–в’ого
МІ’ут« 17
«слІдок з теорем– 27
ОерІв’Ість тр–кут’–к« 115
д–’–ч’–— вІдрІзок 12
Оз’«к« 45
– п«р«лель’остІ прям–ц 45

рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
– рІв’остІ тр–кут’–кІв 76
– – – друг« 77
– – – перш« 76
– – – третя 92
Оз’«к–
рІв’остІ прямокут’–ц
тр–кут’–кІв 109
Оз’«че’’я 26
Ортоце’тр тр–кут’–к« 89
Ос’ов« перпе’д–куляр« 37

рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
Ос’ов’« вл«ст–вІсть п«р«
лель’–ц прям–ц 41
«р«лель’І вІдрІзк– 41
– проме’І 41
– прямІ 40
Сер–метр тр–кут’–к« 71
Серпе’д–куляр 35
Серпе’д–куляр’І вІдрІзк– 36
– проме’І 36
– прямІ 35
Сл«’ІметрІя 7
Слощ–’« 7
Со»удов« »Ісектр–с– д«’ого
кут« 151
– вІдрІзк«, що дорІв’ює д«’ому
149
– кут«, що дорІв’ює д«’ому
150
– прямої, перпе’д–куляр’ої до
д«’ої прямої 152
тр–кут’–к« з« трьом« сторо
’«м– 150
СодІл вІдрІзк« ’«впІл 151
Соч«ток проме’я 8
Сроме’І допов’яль’І 8
СромІ’ь 8
Срям« 7
«дІус кол« 127
круг« 130
РІв’І вІдрІзк– 13
– кут– 18
РІв’Ість геометр–ч’–ц фІгур
еку’д« 17
Теред–’« вІдрІзк« 13
Теред–’’–— перпе’д–куляр до
вІдрІзк« 141
ТІч’« 45
ТпІввІд’оше’’я мІж сторо
’«м– І кут«м– тр–кут’–к« 105
Тторо’– кут« 16
тр–кут’–к« 70
Тум« кутІв тр–кут’–к« 98
еорем« 26
о»ер’е’« 52
Уочк« 6
– дот–ку 133, 146
Ур«’спорт–р 17
Ур–кут’–к 70
гострокут’–— 71
прямокут’–— 71
– рІв’о»едре’–— 82
рІв’осторо’’І— 82
рІз’осторо’’І— 82
тупокут’–— 71
мов« теорем– 26
орд« кол« 127
круг« 130
е’тр кол« 127
круг« 130
Це’троїд тр–кут’–к« 87
З М і Т
р’І друзІ!
3
ш«’ов’І вч–телІ!
5
ш«’ов’І »«тьк–!
5
Розд№л 1
елеме’т«р’№ геометр–ч’№ ф№гур– т« їц вл«ст–вост№
∉еометр–ч’І фІгур–. Уочк«, прям«, промІ’ь
6
∈ІдрІзок. ∈–мІрюв«’’я вІдрІзкІв. ∈Ідст«’ь
мІж двом« точк«м–
Кут. ∈–мІрюв«’’я кутІв. ВІсектр–с« кут«
∈пр«в– для повторе’’я роздІлу 1
Розд№л 2
∈з«єм’е розм№ще’’я прям–ц ’« площ–’№
АксІом–, теорем–, оз’«че’’я
ТумІж’І кут–
∈ерт–к«ль’І кут–. Кут мІж двом« прям–м–,
що перет–’«ються
∉’лачмь пал’псі–ма р’«’са № 1
1 – §
За»гаммь гкь одрд»ір—з жмамь № 1
1 – §
Серпе’д–куляр’І прямІ. Серпе’д–куляр. ∈Ідст«’ь
вІд точк– до прямої
С«р«лель’І прямІ
Кут–, утворе’І пр– перет–’І двоц прям–ц сІч’ою.
Оз’«к– п«р«лель’остІ прям–ц
10.
∈л«ст–вІсть п«р«лель’–ц прям–ц. ∈л«ст–востІ кутІв,
утворе’–ц пр– перет–’І п«р«лель’–ц прям–ц сІч’ою
∉’лачмь пал’псі–ма р’«’са № 2
7 – §
10)
За»гаммь гкь одрд»ір—з жмамь
№ 2
7 – §
10)
∈пр«в– для повторе’’я роздІлу 2
М–ц«—ло Кр«вчук ° вІдом–— у свІтІ — ’ез’«’–—
в Фкр«ї’І
Розд№л 3
р–кут’–к–.
з’«к– р№в’ост№ тр–кут’–к№в
11.
Ур–кут’–к І —ого елеме’т–
12.
РІв’Ість геометр–ч’–ц фІгур
13.
Серш« т« друг« оз’«к– рІв’остІ тр–кут’–кІв
14.
РІв’о»едре’–— тр–кут’–к
15.
МедІ«’«, »Ісектр–с« І в–сот« тр–кут’–к«. ∈л«ст–вІсть
»Ісектр–с– рІв’о»едре’ого тр–кут’–к«
16.
Уретя оз’«к« рІв’остІ тр–кут’–кІв
∉’лачмь пал’псі–ма р’«’са
№ 3
16)
За»гаммь гкь одрд»ір—з жмамь
№ 3
16)
17.
Тум« кутІв тр–кут’–к«
18.
Зов’Іш’І— кут тр–кут’–к« т« —ого вл«ст–востІ
104
19.
Срямокут’І тр–кут’–к–. ∈л«ст–востІ т« оз’«к–
рІв’остІ прямокут’–ц тр–кут’–кІв
108
20.
ОерІв’Ість тр–кут’–к«
115
∉’лачмь пал’псі–ма р’«’са № 4
20)
117
За»гаммь гкь одрд»ір—з жмамь № 4
20)
118
∈пр«в– для повторе’’я роздІлу 3
119
Розд№л 4
Коло № круг
∉еометр–ч’№ по»удов–
21.
Коло. Круг
127
22.
∠от–ч’« до кол«, її вл«ст–востІ
133
23.
Коло, вп–с«’е в тр–кут’–к
137
24.
Коло, оп–с«’е ’«вколо тр–кут’–к«
141
25.
∈з«єм’е розмІще’’я двоц кІл
145
26.
З«д«чІ ’« по»удову т« їц розв’язув«’’я
149
27.
∉еометр–ч’е мІсце точок
157
∉’лачмь пал’псі–ма р’«’са № 5
27)
162
За»гаммь гкь одрд»ір—з жмамь № 5
27)
163
∈пр«в– для повторе’’я роздІлу 4
164
З«вд«’’я для перевІрк– з’«’ь з« курс геометрІї 7
кл«су
169
З«д«чІ пІдв–ще’ої скл«д’остІ
170
∈ІдповІдІ, вк«зІвк– т« розв’яз«’’я
174
Средмет’–— пок«жч–к
179

Приложенные файлы

  • pdf 14785457
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий