Підготовчі завдання геометрія


Завдання з геометрії
для підготовки до ДПА з математики
II курс
1. a) У правильній трикутній призмі сторона основи дорівнює 8 см, а діагональ бічної грані – 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом . Площа бічної поверхні призми дорівнює 128 см2, а площа її повної поверхні – 160 см2. Знайдіть висоту призми.
в) В основі прямої призми лежить трикутник зі стороною і прилеглими до неї кутами та . Діагональ бічної грані, що містить цю сторону, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм призми.
2. a) У правильній чотирикутній призмі сторона дорівнює 8 см, а бічне ребро – 15 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
б) У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 15 см, 15 см і 18 см. Через бічне ребро призми і меншу за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого дорівнює 120 см2. Знайдіть об’єм призми.
в) Площа бічної поверхні похилої трикутної призми дорівнює 480 см2, а відстані між її бічними ребрами – 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть об’єм цієї призми.
3. a) Основою прямої призми є трикутник зі стороною 10 см і висотою 12 см, яка проведена до цієї сторони. Знайдіть висоту призми, якщо її об’єм дорівнює 240 см3.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедренний трикутник з основою 12 см і бічною стороною 10 см. Через основу цього трикутника проведено переріз, який утворює кут із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.
в) Сторони основ похилої трикутної призми дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Бічне ребро призми завдовжки 20 см утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм цієї призми.
4. a) У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює см, а бічне ребро – 8 см. Знайдіть площу діагонального перерізу призми.
б) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см. Знайти об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 13 см.
в) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із гострим кутом . Діагональ грані, що містить гіпотенузу, дорівнює і нахилена до площини основи призми під кутом . Визначити об’єм призми.
5. a) Площа основи трикутної призми дорівнює 12 см2, а площі бічних граней – 15 см2, 22 см2 і 30 см2. Знайдіть площу повної поверхні призми.
б) Основою прямого паралелепіпеда є ромб з периметром 40 см і діагоналлю 12 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 20 см. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.
в) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною і гострим кутом . Перерізом призми площиною, проведеною через більшу діагональ її основи та вершину тупого кута іншої основи, є прямокутний трикутник. Знайдіть об’єм призми.
6. a) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота призми 13 см. Знайти площу бічної поверхні призми.
б) Основою прямої призми є ромб з діагоналями 12 см і 16 см. Бічне ребро призми дорівнює 20 см. Знайти площу бічної поверхні призми.
в) Основою прямої призми є прямокутник, діагональ якого утворює зі стороною кут . Діагональ призми дорівнює і нахилена до площини основи під кутом . Визначити площу бічної поверхні призми.
7. a) Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють см і 7 см та утворюють кут . Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо його бічне ребро дорівнює 14 см.
б) Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат зі стороною см. Діагональ бічної грані паралелепіпеда утворює з площиною основи кут . Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.
в) Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 6 м і 8 м. Одна з діагоналей паралелепіпеда дорівнює 10 м, а інша – 14 м. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.
8. a) Знайти висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи дорівнюють 3 см і 4 см, а його діагональ нахилена до площини основи під кутом .
б) У прямокутному паралелепіпеді сторони основи відносяться як 3:2, а діагональний переріз є квадратом з площею 169 см2. Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.
в) Діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з площиною основи кут , а діагональ однієї з бічних граней дорівнює і утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм паралелепіпеда.
9. a) Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см і утворює кут з бічним ребром. Знайдіть об’єм піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 9 см і 12 см. Висота піраміди дорівнює 10 см і проходить через точку перетину діагоналей основи. Знайти площу діагонального перерізу піраміди.
в) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник із кутом при основі і радіусом описаного кола . Визначити об’єм піраміди, якщо всі її бічні ребра утворюють із площиною основи кут .
10. a) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а апофема – 12 см. Знайти площу повної поверхні піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутник довжини сторін якого 6 см і 8 см. Основою висоти, яка дорівнює 12 см, є точка перетину діагоналей основи. Знайти площу діагонального перерізу піраміди.
в) У правильній чотирикутній піраміді бічні грані утворюють із площиною основи кут . Визначити повну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює   см.
11. a) У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 4 см, а площа бічної поверхні – 120 см2. Знайдіть апофему піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайдіть об’єм піраміди.
в) В основі піраміди лежить трикутник зі сторонами 15 см, 17 см і 21 см. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.
12. a) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, а апофема – 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює см і утворює кут із площиною основи. Знайдіть апофему піраміди.
в) Основою піраміди є трапеція, паралельні сторони якої дорівнюють 6 см і 8 см, а висота 7 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайдіть висоту піраміди.
13. a) Знайдіть об’єм піраміди, площа основи якої дорівнює 30 см2, а висота – 8 см.
б) У правильній трикутній піраміді бічні грані утворюють з площиною основи кути . Знайдіть площу повної поверхні піраміди, якщо сторона основи піраміди дорівнює 6 см.
в) В основі піраміди лежить квадрат. Основою висоти піраміди є одна з вершин квадрата. Найбільше бічне ребро піраміди нахилене до площини основи під кутом . Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від основи її висоти до цього бічного ребра дорівнює .
14. a) Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює см і утворює кут з основою циліндра. Знайдіть радіус циліндра.
б) Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює і утворює з твірною кут . Визначити площу осьового перерізу.
в) Паралельно до осі циліндра проведено площину, що перетинає основу по хорді, яка стягує дугу . Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом . Визначити площу перерізу, якщо відстань від центра верхньої основи циліндра до хорди, що знаходиться в нижній основі, дорівнює .
15. a) Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого дорівнює 64 см2. Знайдіть радіус основи циліндра.
б) Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є квадрат, що відтинає від кола оcнови дугу . Знайдіть відстань від осі циліндра до цього перерізу, якщо висота циліндра дорівнює 15 см.
в) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа утвореного перерізу дорівнює .
16. a) Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 13 см, а висота – 12 см. Знайдіть об’єм циліндра.
б) Хорда, що лежить в основі циліндра, дорівнює см і стягує дугу . Відрізок, що сполучає один кінець хорди із центром іншої основи, утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
в) Діагональ прямокутника дорівнює і утворює з його стороною кут . Обчислити площу повної поверхні циліндра, утвореного при обертанні прямокутника навколо осі, що проходить через цю сторону.
17. a) Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює см і утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
б) Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 20 см, а висота циліндра на 4 см більша за його радіус. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.
в) Циліндр, висота якого , перетнуто площиною, паралельною до осі циліндра і віддаленою від осі на відстань . Січна площина відтинає від кола основи дугу . Знайти площу перерізу.
18. a) Радіус основи циліндра дорівнює 8 см, а висота – 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
б) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який є квадратом зі стороною 10 см і відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
в) У циліндрі проведено площину паралельно до його осі, яка відтинає від кола основи дугу . Знайти площу перерізу, якщо радіус кола основи дорівнює , а відрізок, що сполучає центр верхньої основи з серединою хорди нижньої основи, яка стягує дану дугу, нахилений до площини основи теж під кутом .
19. a) Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота – 16 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра.
б) Діагональ перерізу циліндра, який паралельний його осі, дорівнює 16 см і утворює з площиною основи кут . Переріз відтинає від кола основи дугу . Знайдіть радіус основи циліндра.
в) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює . Площа перерізу дорівнює см2, а його діагональ утворює з твірною циліндра кут . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
20. a) Площа основи конуса дорівнює см2, а його об’єм см3. Знайдіть висоту конуса.
б) В основі конуса проведено хорду завдовжки 24 см, яку видно із центра основи під кутом . Знайдіть об’єм конуса. Якщо його твірна дорівнює 16 см.
в) Висота конуса дорівнює м, а твірна утворює з площиною основи кут . Через дві твірні конуса, які утворюють кут , проведена площина. Знайдіть відстань від центра основи конуса до хорди, по якій площина перерізу перетинає площину основи хорди.
21. a) Висота конуса дорівнює 3 см, а твірна – 5 см. Знайдіть радіус основи конуса.
б) Через вершину конуса проведено площину під кутом до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді завдовжки см, яку видно із центра основи під кутом . Знайдіть об’єм конуса.
в) Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює см2, а площі нижньої та верхньої основ відповідно см2 і см2. Знайдіть кут між твірною і площиною основи цього конуса.
22. a) Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник із гіпотенузою завдовжки 20 см. Знайдіть висоту конуса.
б) Хорду, що лежить в основі конуса, з його вершини видно під кутом , а з центра основи – під прямим кутом. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його твірна дорівнює 12 см.
в) Через дві твірні конуса, кут між якими , проведено переріз, який утворює з площиною основи конуса – кут . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює .
23. a) Осьовий переріз конуса – правильний трикутник, висота якого дорівнює  см. Знайдіть об’єм конуса.
б) Хорда основи конуса дорівнює 10 см і стягує дугу . Через цю хорду і вершину конуса проведено переріз. Знайдіть його площу, якщо висота конуса дорівнює 8 см.
в) Радіус основи конуса дорівнює 8 см. Через вершину конуса та хорду основи, що стягує дугу , побудовано переріз. Площина перерізу утворює з площиною основи кут . Знайдіть площу перерізу.
24. a) Радіус основи конуса дорівнює 7 см, а твірна – 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
б) Твірна конуса утворює з площиною основи кут і дорівнює см. Знайти об’єм конуса.
в) Через вершину конуса під кутом до основи проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу . Відстань від центра основи до площини дорівнює . Знайти об’єм конуса.
25. a) Радіус основи конуса дорівнює 12 см, а твірна нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть твірну конуса.
б) Висота конуса завдовжки 6 см, а різниця твірної і радіуса основи дорівнює 2 см. Знайдіть площу осьового перерізу конуса.
в) Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює , його твірна – , а висота – . Знайдіть площу осьового перерізу цього зрізаного конуса.
26. a) Радіус основи конуса – 10 дм, висота – 24 дм. Знайти периметр осьового перерізу конуса.
б) Радіуси основ зрізаного конуса R1 і R2, твірна нахилена до площини основи під кутом . Знайти висоту зрізаного конуса.
в) Через вершину конуса проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу і утворює з площиною основи кут . Знайти кут при вершині цього перерізу.
27. a) Перерізом кулі площиною, яка проведена на відстані 8 см від центра, є круг площею см2. Знайдіть об’єм кулі.
б) Вершини рівностороннього трикутника зі стороною 6 см лежать на поверхні кулі, радіус якої дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від центра кулі до площини трикутника.
в) Діаметр основи кульового сегмента дорівнює 20 см. Дуга осьового перерізу дорівнює . Визначити площу поверхні цього сегмента.
28. a) Діаметр кулі дорівнює 24 см. Точка А належить дотичній площині до кулі і знаходиться на відстані 5 см від точки дотику кулі і площини. Знайдіть відстань від точки А до центра кулі.
б) У кулі, об’єм якої см3, проведено переріз. Радіус кулі, один з кінців якого належить перерізу, утворює із площиною перерізу кут . Знайдіть площу перерізу.
в) Радіуси двох куль 8 см і 10 см. Відстань між їх центрами 12,5 см. Знайти довжину кола, по якому перетинаються їх поверхні.
29. a) Знайдіть площу поверхні кулі, діаметр якої дорівнює 20 см.
б) Кулю, діаметр якої 13 см, перетнуто площиною на відстані 8 см від центра кулі. Знайти площу утвореного перерізу.
в) Куля радіуса 58 см дотикається до всіх сторін рівнобічної трапеції з основами 64 см і 100 см. На якій відстані від площини трапеції міститься центр кулі?
30. a) На відстані 12 см від центра сфери проведено переріз, що перетинає сферу по колу, довжина якого дорівнює см. Знайдіть площу сфери.
б) Площа великого круга кулі дорівнює см2. Знайти площу поверхні кулі.
в) У кулі проведені по різні сторони від центра два паралельні перерізи з площами см2 і см2 і віддаллю між ними 17 см. Визначити площу поверхні кулі.
31. a) До площини з точки А проведено перпендикуляр АК і похилу АL. Знайдіть LK, якщо АL=10 см; АК=8 см.
б) З точки А до площини проведені дві рівні похилі по 8 см кожна. Знайдіть проекції похилих на площину, якщо кут між похилими дорівнює , а кут між їхніми проекціями – прямий.
в) Відрізок завдовжки 25 см спирається кінцями на дві перпендикулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють 49 см і 15 см. Обчислити відстань від кінців відрізка до даних площин.
32. a) З точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АК; АВ=15 см; ВК=9 см; КС=5 см. Знайдіть АС.
б) Точка М знаходиться поза площиною трикутника АВС, у якого ; АС=16 см; ВС=12 см. Точка М знаходиться на однакових відстанях від вершин трикутника. Знайдіть цю відстань, якщо відстань від точки М до площини трикутника дорівнює 24 см.
в) Точка К віддалена від кожної сторони рівнобічної трапеції на 22 см. Знаючи, що основи трапеції 32 см і 60 см, знайти відстань від точки М до площини трапеції.
33. a) Знайдіть довжину вектора , якщо , .
б) Дано і . Знайдіть модуль вектора .
в) Дано вектори і . Знайти скалярний добуток векторів і .

Приложенные файлы

  • docx 14785494
    Размер файла: 222 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий