УМК_Вертоградов_Цифровые методы обработки сигна..

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
физический факультет


Рассмотрен и рекомендован к утверждению
на заседании кафедры радиофизики

протокол от 11.09.2012 г. № 2
Зав.кафедрой Г.Ф. Заргано
«_____»_______________2012 г.

Утвержден
Декан факультета
В.С. Малышевский


«____»__________________2012 г.










Учебно-методический комплекс дисциплины

«Цифровые методы обработки сигналов»






Направление подготовки
210400 – Телекоммуникации

Профиль подготовки


Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр

Форма обучения
Очная



Разработчик профессор кафедра радиофизики, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Вертоградов Г.Г.





Ростов-на-Дону – 2012г.
СОДЕРЖАНИЕ

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc336965539" 141. Рабочая программа по курсу "Цифровые метода обработки сигналов" 13 PAGEREF _Toc336965539 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc336965540" 141.1. Цели освоения дисциплины 13 PAGEREF _Toc336965540 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc336965541" 141.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата 13 PAGEREF _Toc336965541 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc336965542" 141.3. Структура и содержание дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов" 13 PAGEREF _Toc336965542 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc336965543" 142. Учебно-тематический план занятий. 13 PAGEREF _Toc336965543 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc336965544" 142.1.Учебно-тематический план лекционных занятий. 13 PAGEREF _Toc336965544 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc336965545" 142.2. Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов. 13 PAGEREF _Toc336965545 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc336965546" 142.3. Литература для самостоятельной работы по учебно-тематическому плану. 13 PAGEREF _Toc336965546 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc336965547" 142.4. Материально-техническое обеспечение дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов" 13 PAGEREF _Toc336965547 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc336965548" 143. Учебные модули. 13 PAGEREF _Toc336965548 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc336965549" 143.1. Содержание модуля 1. 13 PAGEREF _Toc336965549 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc336965550" 143.2. Контрольные задания для модуля 1. 13 PAGEREF _Toc336965550 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc336965551" 143.3. Содержание модуля 2. 13 PAGEREF _Toc336965551 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc336965552" 143.4. Контрольные задания для модуля 2. 13 PAGEREF _Toc336965552 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc336965553" 143.5. Содержание модуля 3. 13 PAGEREF _Toc336965553 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc336965554" 143.6. Контрольные задания для модуля 3. 13 PAGEREF _Toc336965554 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc336965555" 144. Самостоятельная работа студентов. 13 PAGEREF _Toc336965555 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc336965556" 145. Мониторинг процесса обучения. 13 PAGEREF _Toc336965556 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc336965557" 146. Перечень возможных вариантов экзаменационных вопросов. 13 PAGEREF _Toc336965557 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc336965558" 146.1. Перечень билетов с вопросами, выносимых на экзамен 13 PAGEREF _Toc336965558 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc336965559" 147. Глоссарий (толковый словарь терминов) 13 PAGEREF _Toc336965559 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc336965560" 148. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов" 13 PAGEREF _Toc336965560 \h 14301515
15
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
физический факультет


УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
________________ В.С. Малышевский

«_____»______________2012 г.





РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Цифровые методы обработки сигналов»


Направление подготовки 210400 – Телекоммуникации

Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр

Кафедра _________радиофизики_________


Курс __4______ семестр __7_________

Форма обучения ______очная_____________


Программа разработана
профессором кафедра радиофизики,
доктором физико-математических наук,
старшим научным сотрудником Вертоградовым Г.Г.








Рецензент(ы) зав. кафедры радиофизики, д.ф.-м.н., профессор Заргано Г.Ф.
(должность, Ф.И.О., ученая степень, звание рецензента(ов) программы)


Ростов-на-Дону – 2012г.

Рекомендована к утверждению решением учебно-методического совета физического факультета

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании выпускающей кафедры радиофизики физического факультета, реализующей ООП ВПО

протокол заседания № 2 от

протокол заседания № 2 от

« 29» августа 2012 г.

«11» сентября 2012 г.

А.С. Богатин

Г.Ф. Заргано

(подпись, Ф.И.О. председателя)

(подпись, Ф.И.О. зав. кафедрой,)


1. Рабочая программа по курсу "Цифровые метода обработки сигналов"
1.1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов" являются:
Изложить основные этапы анализа случайных данных: сбор и предварительная обработка, оценивание корреляционных функций, спектральных характеристик, оценка надежности полученных результатов.
Дать достаточно полный обзор существующих методов спектрального оценивания и их практических реализаций.
Познакомить студентов с практикой цифровой фильтрации и спектрального оценивания, которая в большей степени базируется на эмпирическом опыте, а не на солидной теоретической основе.
Основными задачами изучения дисциплины являются:
Сформировать у студентов теоретические понятия и представления, используемые современными цифровыми методами спектрального оценивания.
Изучить классические цифровые методы оценивания моментов случайных процессов и спектральных характеристик.
Сформировать у студентов представления об основных современных методах спектрального оценивания и способах их алгоритмической реализации.
Рассмотреть вопросы возможности организации процессов спектральной обработки информации в реальном масштабе времени на основании наиболее популярных алгоритмов оценок СПМ.
Дать студентам ясное представление о границах применимости различных методов спектрального оценивания, их преимуществах и недостатках.
В результате изучения курса студенты должны освоить основные понятия и принципы современной теории цифрового спектрального анализа. Научиться применять полученные знания для цифровой спектральной обработки случайных сигналов ограниченной длительности.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина " Цифровая обработка сигналов " относится к блоку – профессиональный цикл и связана с дисциплинами "Дискретная математика", "Теория вероятности и математическая статистика", "Информатика".
Перечень дисциплин, освоение которых необходимо студентам для изучения курса.
Математический анализ.
Линейная алгебра.
Основы теории функций комплексного переменного.
Основы теории вероятности.
Математическая статистика.
Цифровая схемотехника.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: базовые теоретические положения, которые лежат в основе современных цифровых методов корреляционного и спектрального оценивания; классические методы оценивания математического ожидания, корреляционной функции и спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса; современные непараметрические и параметрические методы цифрового спектрального оценивания; современные нелинейные методы цифрового спектрального оценивания.
Уметь: правильно представлять возможности существующих цифровых методов спектрального оценивания и область их применения; представлять возможности цифровых методов нелинейного спектрального оценивания и область их применения.
Владеть: навыками использования линейных и нелинейных методов цифровой обработки сигналов.

1.3. Структура и содержание дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов"
Общая трудоемкость дисциплины составляет 36 часов.




п/п

Раздел
Дисциплины
Семестр
Неделя семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации (по семестрам)




6

Лекция
Прак.
С.работа
КСР


1
Введение. Задачи курса, его содержание. Общая характеристика современных методов спектрального оценивания. Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.

1
2





2
Методы описания случайных функций. Моменты случайной функции. Корреляционная теория. Стационарность. Свойства корреляционной функции.

2
2





3
Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.

3
2





4
Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для математического ожидания. Рекурсивное оценивание математического ожидания. Первое определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.

4
2





5
Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии. Второе определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.

5
2





6
Дисперсия оценки математического ожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.


6
2


1
контрольная работа №1

7
Оценивание спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса. Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.

7,
8
2,
2





8
Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности. Метод осреднения по ансамблю. Метод осреднения по частоте. Спектральное окно.

9
2





9
Практическое оценивание СПМ классическими методами. Классические методы спектрального анализа (периодограммный метод). Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ; Комбинированные периодограммные-коррелограммные оценки.

10,
11
2,
1





10
Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Связь дискретного и непрерывного преобразований. Равенство Парсеваля в непрерывном и дискретном случаях. Линейная и круговая свертки. Эффекты элайзинга в частотной и временной областях, эффекты подмены.

11,
12
1,
1





11
Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье. Спаренное преобразование Фурье. Преобразование Фурье двойной длины. Алгоритмы Кули-Тьюки. Разрешение и произведение «устойчивость *длительность *ширина полосы».

12
1


1
контрольная работа №2

12
Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции. Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.

13
2





13
Уравнения Юла-Уокера. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.

14
1





14
Фильтры линейного предсказания. Спектральная факторизация. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения. Свойства спектральной плотности мощности авторегрессионного процесса.

14,15
1,
1





15
Методы оценивания параметров АР-модели. АР-оценивание параметров. Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок. Последовательная оценка АР-параметров. Рекурсивные ав-торегрессионные методы наименьших квадратов. Выбор порядка модели. Аномалии и коррекция спектральных АР-оценок.

15,
16
1,
2





16
Метод Прони. Исходный подход Прони. Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони. Оценивание спектральных линий по методу Прони.


17
2





17
Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона (по методу минимума дисперсии ).

18
1





18
Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Метод гармонического разложения Писаренко.

18
1


1
контрольная работа №3


Итого


36


3
экзамен


2. Учебно-тематический план занятий.
2.1.Учебно-тематический план лекционных занятий.
Учебно-тематический план лекций таблично (таблица 1) структурирован по модулям. План содержит три модуля, темы лекций с их кратким содержанием и числом аудиторных лекционных часов.
Таблица 1
Модуль
Номер темы
Тема
Краткое содержание
Число
часов

1
1
Введение.
Задачи курса, его содержание. Общая характеристика современных методов спектрального оценивания. Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.
2


2
Методы описания случайных функций.
Моменты случайной функции. Корреляционная теория. Стационарность. Свойства корреляционной функции.
2


3
Спектральное разложение случайного процесса.
Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Уравнение Крамера. Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.
2


4
Оценка математического ожидания случайного процесса.
Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для математического ожидания. Рекурсивное оценивание математического ожидания. Оценка математического ожидания ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (первое определение).
2


5
Оценка корреляционной функции случайного процесса.
Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии. Оценка корреляционной функции ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (второе определение).
2


6
Дисперсия оценок ограниченного по полосе белого шума.

Дисперсия оценки математического ожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2

2
1
Оценка спектральной плотности мощности случайного процесса.
Оценивание спектральной плотности мощности стационарного (СПМ) случайного процесса. Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.
4


2

Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности.
Метод осреднения по ансамблю. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ.
Метод осреднения по частоте. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ. Спектральное окно.
2


3
Практическое оценивание СПМ классическими методами.
Классические методы спектрального анализа (периодограммный метод). Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ; Комбинированные периодограммные-коррелограммные оценки.
3


4

Дискретное преобразование Фурье и его свойства.
Связь дискретного и непрерывного преобразований. Равенство Парсеваля в непрерывном и дискретном случаях. Линейная и круговая свертки. Эффекты элайзинга в частотной и временной областях, эффекты подмены.
2


5

Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье.
Алгоритмы Кули-Тьюки, Гуда-Томаса, Герцеля, Винограда. Разрешение и произведение «устойчивость*длительность*ширина полосы».
1

3

1
Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции.
Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.
2


2
Уравнения Юла-Уокера.
Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.
1


3
Фильтры линейного предсказания.
Спектральная факторизация. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения. Свойства спектральной плотности мощности авторегрессионного процесса. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии. Автокорреляционное обобщение АР-оценки.
2


4
Методы оценивания параметров АР-модели.
Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок.
Последовательная оценка АР-параметров. Рекурсивные ав-торегрессионные методы наименьших квадратов.
Выбор порядка модели.
Аномалии и коррекция спектральных АР-оценок.
3


5
Метод Прони.
Исходный подход Прони. Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони. Оценивание спектральных линий по методу Прони.
2


6
Метод Кейпона.
Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона ( по методу минимума дисперсии ).
1


7
Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.
Метод гармонического разложения Писаренко.
1


Итого
36 часов


2.2. Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов.
Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов таблично (таблица 2) структурирован по модулям. План содержит три модуля, темы самостоятельной работы с их кратким содержанием и числом часов, необходимых для самостоятельного изучения тем.

Таблица 2
Модуль
Номер темы
Тема
Краткое содержание
Число
часов

1
1
Введение.
Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.
2


2
Методы описания случайных функций.
Свойства корреляционной функции.
2


3

Спектральное разложение случайного процесса.
Уравнение Крамера. Спектральное разложение корреляционной функции.
2


4
Оценка математического ожидания случайного процесса.
Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Рекурсивное оценивание математического ожидания.
2


5
Оценка корреляционной функции случайного процесса.
Практическая оценка корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии.
2


6
Дисперсия оценок ограниченного по полосе белого шума.

Дисперсия оценки математического ожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.

2

2
7
Оценка спектральной плотности мощности случайного процесса.
Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.
2


8

Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности.
Метод осреднения по ансамблю.
Метод осреднения по частоте. Спектральное окно.
2


9
Практическое оценивание СПМ классическими методами.
Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ.
2


10

Дискретное преобразование Фурье.
Связь дискретного и непрерывного преобразований. Равенство Парсеваля в непрерывном и дискретном случаях. Линейная и круговая свертки. Эффекты элайзинга в частотной и временной областях, эффекты подмены.
2


11
Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье.
Алгоритмы Кули-Тьюки, Гуда-Томаса.
2

3

12
Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции.
Подходы к моделированию и идентификации параметров.
2


13
Уравнения Юла-Уокера.
Построение уравнений Юла-Уокера для оценки параметров АР-модели.
2


14
Фильтры линейного предсказания.
Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии.
2


15
Методы оценивания параметров АР-модели.
Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.
Выбор порядка модели.
2


16
Метод Прони.
Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони.
2


17
Метод Кейпона.
Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии .
2


18
Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.
Метод гармонического разложения Писаренко, модификация метода линейного предсказания (Тафтс). Метод MUSIC.
2


Итого
36 часов


2.3. Литература для самостоятельной работы по учебно-тематическому плану.
Модуль 1.
Тема 1. Осн.: Л1 с. 7-35, Л2, Л 9. Доп.: Л10, Л11.
Тема 2. Осн.: Л1 с. 35-54, Л2, Л9. Доп.: Л10, Л11.
Тема 3. Осн.: Л1 с. 97-116, Л2, Л3, Л7. Доп.: Л8, Л10.
Тема 4. Осн.: Л1 с. 54-65, Л9 с. 153 - 157.
Тема 5. Осн.: Л1 с. 65-77, Л9 с. 163 – 165. Доп.: Л1, Л10.
Тема 6. Осн.: Л15 с. 113-136. Доп.: Л10.

Модуль 2.
Тема 7. Осн.: Л1 с. 184-189, Л9 с. 276 – 280, Л2, Л3, Л8. Доп.: Л10.
Тема 8. Осн.: Л1 с. 190-205, Л9 с. 385 – 415, Л2, Л3, Л5. Доп.: Л10
Тема 9. Осн.: Л3, Л5, Л8. Доп.: Л10.
Тема 10. Осн.: Л1, Л2, Л3, Л5, Л8.
Тема 11. Осн.: Л2, Л3, Л4, Л5, Л8. Доп.: Л10.
Модуль 3.
Тема 12. Осн.: Л3 с. 214 – 229. Доп.: Л5, Л10.
Тема 13. Осн.: Л3 с. 252 – 285. Доп.: Л5, Л10.
Тема 14. Осн.: Л1, Л3 с.344-360, Доп.: Л5, Л10.
Тема 15. Осн.: Л3 с. 252 – 285
Тема 16. Осн.: Л3 с. 365 – 390.
Тема 17. Осн.: Л3 с. 418 – 427.
Тема 18. Осн.: Л3 с. 430 – 446., Доп.: Л3.

2.4. Материально-техническое обеспечение дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов"
Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий.
Стандартно оборудованные лекционные аудитории. Для проведения отдельных занятий (по заявке) – выделение компьютерного класса, а также аудитории для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, экран настенный, др. оборудование.

Требования к специальному программному обеспечению.
При использовании электронных учебных пособий каждый обучающийся во время занятий и самостоятельной подготовки должен быть обеспечен рабочим местом в компьютерном классе с выходом в Интернет и корпоративную сеть факультета.

Требования к перечню и объему расходных материалов.
Фломастеры цветные, губки, бумага формата А4, канцелярские товары, картриджи принтеров, диски, флеш-накопители и др. в объеме, необходимом для организации и проведения занятий, по заявкам преподавателей, подаваемым в установленные сроки.

Учебно методический комплекс составлен в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 210700 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи.

3. Учебные модули.
3.1. Содержание модуля 1.
Материал модуля 1 включает в себя изложение основных понятий теории случайных функций; корреляционной и спектральной тории стационарных случайных процессов; теории оценивания; теоретического обоснования классических способов получения асимптотически несмещенных состоятельных оценок математического ожидания и корреляционной функции. Основное внимание уделяется корректному описанию спектральных характеристик случайных процессов. Модуль 1 является базовым для второго модуля, так как в нем излагаются основные понятия, доказываются все теоретические положения, необходимые для понимания как классических, так и новых современных методов цифрового спектрального оценивания.
Комплексная цель модуля 1 – ввести основные понятия, доказать базовые теоретические положения, которые лежат в основе современных цифровых методов корреляционного и спектрального оценивания; дать обоснование классических методов оценивания математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.
3.2. Контрольные задания для модуля 1.
3.2.1. Дайте определение случайной функции.
3.2.2. Дайте определение стационарного в узком и широком смысле процесса.
3.2.3. Приведите примеры стационарных сигналов.
3.2.4. Приведите примеры случайных сигналов допускающих полное статистическое описание.
3.2.5. Назовите основное фундаментальное свойство корреляционной функции.
3.2.6. Как и по каким причинам используется рекурсивное оценивание математического ожидания в реальном масштабе времени.
3.2.7. Как и по каким причинам используется рекурсивное оценивание дисперсии в реальном масштабе времени.
3.2.8. Поясните смысл радиуса корреляции.
3.2.9. Как связана дисперсия оценки математического ожидания стационарного процесса по конечной выборке с дисперсией стационарного случайного процесса?
3.2.10. Как связана дисперсия оценки дисперсии стационарного процесса по конечной выборке с дисперсией стационарного случайного процесса?
3.2.11. Назовите основные свойства спектра стационарного случайного процесса.
3.2.12. Какие случайные процессы связывает уравнение Крамера?
3.2.13. Назовите основное фундаментальное свойство спектральной плотности мощности, и с каким свойством корреляционной функции оно связано.
3.2.14. Как связаны между собой спектральная плотность мощности и спектр стационарного случайного процесса.
3.2.15. Что Вы можете сказать о статистических свойствах оценок математического ожидания и корреляционной функции?
3.2.16. Приведите формулы для оценок математического ожидания и корреляционной функции по дискретной выборке конечной длины.
3.2.17. Приведите рекурсивную формулу для оценки математического ожидания.
3.2.18. Приведите рекурсивную формулу для оценки дисперсии.
3.2.19. Для каких целей используют корреляционные окна?
3.2.20. Приведите формулы для несмещенной и смещенной оценок корреляционной функции.
3.2.21. Поясните смысл несмещенности оценки.
3.2.22. Поясните смысл состоятельности оценки.
3.2.23. Поясните смысл эффективности оценки.
3.2.23. Сформулируйте теорему Бохнера-Хинчина.
3.2.24. Сформулируйте теорему Винера-Хинчина.
3.2.25. Дайте определение положительно определенной функции.
3.2.26. Поясните операцию центрирования случайного процесса.
3.2.27. Установите связь между корреляционной функции случайного процесса и корреляционной функции центрированного случайного процесса.
3.2.28. Чему равно значение корреляционной функции стационарного процесса в нуле?
3.2.29. Сформулируйте свойство непрерывности корреляционной функции.
3.3. Содержание модуля 2.
Материал модуля 2 включает теоретическое обоснование получения классических состоятельных оценок спектральной плотности мощности; изучение практических классических методов и алгоритмов спектрального оценивания. Здесь рассматриваются вопросы, касающиеся практического оценивания спектральной плотности мощности, как классическими корреляционными методами, так и современными методами с использованием алгоритмов быстрого дискретного преобразования Фурье. Рассматриваются возможные ограничения изученных методов и области их применения.
Комплексная цель модуля 2 – изучить различные современные классические непараметрические методы цифрового спектрального оценивания, сформировать у студентов основы правильных представлений о возможностях существующих цифровых методов спектрального оценивания и областях их применения.
3.4. Контрольные задания для модуля 2.
3.4.1. Что Вы можете сказать о статистических свойствах оценок спектральной плотности мощности периодограммным методом?
3.4.2. Какие методы получения состоятельных оценок на основе периодограммного метода Вы знаете?
3.4.3. Для каких целей применяются спектральные окна?
3.4.4. Чем определяется предельное спектральное разрешение спектрального анализа на основе периодограммного метода?
3.4.5. Как влияет использование спектральных окон на спектральное разрешение?
3.4.6. Как изменяет дисперсию оценок СПМ использование спектральных окон?
3.4.7. Поясните, из каких соображений должно выбираться то или иное спектральное окно.
3.4.8. Как связаны между собой корреляционные и спектральные окна?
3.4.9. Поясните причины возникновения эффекта утечки.
3.4.10. Назовите способы борьбы с эффектом утечки.
3.4.11. Для чего применяются окна на данные? Поясните правила их выбора.
3.4.12. Назовите преимущества и недостатки спектрального оценивания на основе алгоритма Блэкмена-Тьки.
3.4.13. Назовите преимущества и недостатки спектрального оценивания на основе алгоритма Кули-Тьки.
3.4.14. Поясните, как можно использовать алгоритм комплексного ДПФ для вычисления спектра действительной последовательности?
3.4.15. Объясните, за счет чего появляется вычислительный выигрыш в алгоритме БПФ Кули-Тьюки?
3.4.16. Что такое круговая свертка?
3.4.17. Поясните эффект элайзинга (наложения) в частотной области.
3.4.18. Поясните эффект элайзинга (наложения) во временной области.
3.4.19. Поясните эффект подмены частоты.
3.4.20. Что такое линейная свертка?
3.4.21. Как вычислить линейную свертку с помощью дискретного преобразования Фурье?
3.4.22. Как влияет на спектральное разрешение дополнение временного ряда нулями?
3.4.23. На что влияет дополнение временного ряда нулями?
3.4.24. Как используются окна на данные во временной и частотной областях?
3.4.25. Как влияет окно на данные на спектральное разрешение?
3.4.26. Изменяет ли окно на данные оценку дисперсии сигнала и как бороться с этим эффектом?
3.4.27. Дайте физическую интерпретацию классических периодограммых методов спектрального оценивания.
3.4.28. Чем определяется предельное спектральное разрешение классических спектральных оценок?
3.4.29. Временной ряд, дискретизированный с шагом 13 EMBED Equation.3 1415, состоит из 13 EMBED Equation.3 1415 отчетов. Чем определяется предельное спектральное разрешение?
3.4.30. При дискретизации аналогового сигнала его спектр повторяется с периодом, равным ?
3.4.31. Поясните, почему корреляционную функцию эффективнее в вычислительном отношении оценивать с использованием дискретного преобразования Фурье?

3.5. Содержание модуля 3.
Материал модуля 3 включает изучение современных методов и алгоритмов спектрального анализа с высоким спектральным разрешением. Рассматриваются вопросы практического оценивания спектральной плотности мощности нелинейными методами. Внимание уделено методам, основанным на анализе собственных значений корреляционной матрицы. Рассматриваются возможные ограничения изученных методов и области их применения.
Комплексная цель модуля 3 – изучить различные современные методы цифрового спектрального анализа с высоким спектральным разрешением, сформировать у студентов основы правильных представлений о возможностях цифровых методов нелинейного спектрального оценивания и областях их применения.
3.6. Контрольные задания для модуля 3.
3.6.1. Сформулируйте основные этапы спектрального оценивания на основе методов моделирования.
3.6.2. В каких случаях методы моделирования могут обеспечить спектральное разрешение большее по сравнению с периодограммным методом?
3.6.3. Для каких процессов АР-метод оценки СПМ совпадает с методом максимальной энтропии?
3.6.4. Дайте эвристическое обоснование метода максимальной энтропии.
3.6.5. Как связаны между собой параметры АР-фильтра с параметрами фильтров предсказания вперед и назад?
3.6.6. Сформулируйте положения для выбора порядка модели в известных Вам параметрических методах.
3.6.7. Что означает понятие казуальный фильтр?
3.6.8. Какими свойствами симметрии обладает автокорреляционная матрица?
3.6.9. Как выбирается порядок АР-фильтра при оценивании СПМ на основе метода моделирования с использование дробно рациональной передаточной функции?
3.6.10. Из каких соображений выбирается порядок модели в методе Писаренко?
3.6.11. Из каких соображений выбирается порядок модели в методе Прони?
3.6.12. Если процесс состоит из действительных синусоид и аддитивного белого шума, что Вы можете сказать о минимальных собственных значениях автокорреляционной матрицы?
3.6.13. Сформулируйте основные свойства собственных значений автокорреляционной матрицы для случая синусоид в белом шуме.
3.6.14. Для каких случайных процессов метод максимальной энтропии и АР-метод оценки СПМ идентичны?
3.6.15. Дайте физическую интерпретацию метода Кейпона и его отличие от классических периодограммных методов спектрального оценивания.
3.6.16. На каких свойствах корреляционной матрицы основан метод MUSIC.
3.6.17. Опишите модель сигнала в методе Писаренко.
3.6.18. Опишите модель сигнала в методе Прони.
3.6.19. Изложите основы метода Берга.
3.6.20. Критерии выбора порядка АР-модели Акайка.
3.6.21. Критерии выбора порядка АР-модели Парзена.
3.6.22. Запишите выражение оптимального фильтра предсказания вперед.
3.6.23. Запишите выражение оптимального фильтра предсказания назад.
3.6.24. Можно ли в методе Писаренко оценить начальную фазу действительных гармонических составляющих исследуемого сигнала?
3.6.25. Можно ли в обобщенном методе Прони оценить начальную фазу гармонических составляющих исследуемого сигнала?
3.6.26. Какие параметры сигнала можно оценить с помощью метода MUSIC?
3.6.27. Поясните смысл спектра Кейпона, чем он отличается от классических периодограммных оценок?
3.6.28. Изложите основные недостатки метода Берга и возможные пути их устранения.
3.6.29. Дайте определение авторегрессионной модели сигнала со скользящим средним (АРСС-модель).
3.6.30. Дайте определение авторегрессионной модели сигнала (АР-модель).
3.6.31. Дайте определение модели сигнала со скользящим средним (СС-модель).
3.6.32. Оценка СПМ в АРСС-модели.
3.6.33. Оценка СПМ в АР-модели.
3.6.34. Оценка СПМ в СС-модели.
3.6.35. Как модель сигнала в методе Писаренко связана с АРСС-моделью?
3.6.36. Как модель сигнала в методе Прони связана с АРСС-моделью?
3.6.37. Как решается проблема нелинейности метода Прони в обобщенном методе Прони?

4. Самостоятельная работа студентов.
Самостоятельная работа студента предусматривает:
Проработку лекционного материала.
Проработку теоретического материала по учебно-тематическому плану самостоятельной работы.
Конспектирование теоретического материала в процессе самостоятельного изучения.
При проработке тем по учебно-тематическому плану самостоятельной работы студенту рекомендуется воспользоваться литературой, указанной в разделе 2.3.

5. Мониторинг процесса обучения.
В процессе обучения предполагается использовать контроль освоения материала по модулям. Изучение каждого модуля должно заканчиваться письменным промежуточным тестированием (1 час) с использованием контрольных вопросов, приведенных в разделах 3.2, 3.4 и 3.6 данного УМК. Положительные оценки, полученные ответов по тестовым заданиям, учитываются при сдаче итогового экзамена.
Итоговый контроль обучения по курсу "Цифровые методы обработки сигналов" производится в виде устного или письменного экзамена, перечень возможных билетов с вопросами для которого указан в разделе 6.1 данного УМК.

6. Перечень возможных вариантов экзаменационных вопросов.
6.1. Перечень билетов с вопросами, выносимых на экзамен

Билет 1.
Определение случайной функции. Свойства многомерных функций распределения. Примеры случайных процессов, допускающих полное статистическое описание.
Подход Блекмена-Тьюки к оцениванию спектральной плотности мощности (СПМ). Практический алгоритм оценивания СПМ.
Билет №2
Моменты случайной функции. Корреляционная функция и ее основные свойства. Стационарность. Свойства корреляционной функции стационарных случайных процессов.
Спаренное преобразование Фурье. Преобразование двойной длины. Идея алгоритма БПФ по основанию 2.
Билет №3
Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Несмещенность и состоятельность оценки математического ожидания стационарного случайного процесса по результатам наблюдений. Определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.
Практическое оценивание корреляционной функции. Корреляционные окна. Рекурсивное вычисление матожидания и дисперсии.
Билет №4
Практическое оценивание математического ожидания и корреляционной функции непрерывного и дискретного случайного процесса. Рекурсивное оценивание матожидания и дисперсии дискретного сигнала. Определения эффективного радиуса корреляции и их смысл.
Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Спаренное преобразование Фурье. Преобразование Фурье двойной длины. Идея алгоритма БПФ Кули-Тьюки.
Билет №5
Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Определение эффективного радиуса корреляции и его смысл.
Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Теорема о спектральном разложении. Определение спектра стационарного случайного процесса и его свойства.
Билет №6
Дисперсия оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.
Описание случайных процессов с помощью моментов. Стационарные случайные процессы. Примеры стационарных процессов.
Билет №7
Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.
Оценивание спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса. Периодограммная оценка плотности спектра мощности через оценку корреляционной функции и через выборку стационарного случайного процесса. О смещенности оценки спектральной плотности мощности.
Билет №8
Получить выражение для корреляционной функции оценки спектральной плотности мощность. Обосновать несостоятельность оценки.
Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Круговая свертка.
Билет №9
Получить корреляционную функцию оценки спектральной плотности мощности в аналитическом виде, исходя из ее интегрального представления. Обосновать несостоятельность оценки. Сделать выводы о корреляционных свойствах оценки СПМ.
Эффект утечки. Способы борьбы с эффектом перетекания мощности.
Билет №10
Периодограммный метод получения состоятельной оценки спектральной плотности мощности осреднением по частоте. Обосновать асимптотическую несмещенность и состоятельность этой оценки.
Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.
Билет №11
Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции. Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.
Периодограммый метод получения состоятельной оценки СПМ осреднением по ансамблю. Обосновать асимптотическую несмещенность и состоятельность этой оценки.
Билет №12
Уравнения Юла-Уокера. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.
Дискретное преобразование Фурье и его свойства. Равенство Парсеваля.
Билет №13
Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.
Метод Кейпона.
Билет №14.
Определение случайной функции. Свойства многомерных функций распределения. Примеры случайных процессов, допускающих полное статистическое описание.
Метод Писаренко.
Билет №15
Дисперсии оценки матожидания белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Дисперсия оценки корреляционной функции белого шума на выходе низкочастотного фильтра. Смысл и интерпретация полученных соотношений.
Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Выбор порядка модели.
Билет №16
Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.
Метод Прони.


7. Глоссарий (толковый словарь терминов)
Глоссарий по цифровой обработке сигналов [11]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
Сигнал (Signal) – то, что математики обычно называют функцией. Под сигналом можно понимать какое-то упорядоченное множество чисел, несущих информацию о некотором процессе. Обычно описывается двумя (одномерный сигнал), тремя (двумерный сигнал) или более (многомерный сигнал) параметрами. Представляется в виде конечной или бесконечной совокупности точек. Одним из параметров для всех типов сигналов является значение уровня сигнала (его энергии) во всех точках. В качестве других параметров обычно выступают время (одномерный сигнал), пространственные координаты (двумерный и многомерные сигналы). Значения всех параметров могут быть непрерывными или дискретными. Таким образом, для каждой размерности можно различать 2L сигналов, где L- размерность сигнала. Например, в одномерном случае существуют сигналы, непрерывные по времени и уровню, дискретные по времени и уровню, дискретные по времени и непрерывные по уровню, непрерывные по времени и дискретные по уровню. Преобразование непрерывного по времени и уровню сигнала в дискретный по времени и уровню сигнал называется аналого-цифровым преобразованием (АЦП), обратное преобразование - ЦАП. Так как эти вопросы выходят за рамки глоссария, в дальнейшем все сигналы считаются дискретными по времени и уровню, то есть цифровыми.
Преобразования сигналов (Signal Transform) – понятие, вообще говоря, очень широкое и включает в себя любую операцию, производимую над сигналом. В рамках словаря под преобразованием мы будем понимать лишь обобщенное преобразование Фурье (см. Преобразование Фурье). Преобразование переводит сигнал из одной области представления в другую. Прямое преобразование 13 EMBED Equation.3 1415 переводит сигнал из временной (пространственной) области в область спектра, которая еще называется трансформантой. Обратное преобразование 13 EMBED Equation.3 1415 переводит сигнал из области трансформанты во временную (пространственную) область.
Преобразования сигналов используются для разных целей: его сжатия, анализа и т.д. Анализ заключается в выполнении каких-нибудь действий над сигналом и формулировке выводов на основе полученных данных.
Спектр (Spectr) – представление сигнала в виде конечной или бесконечной суммы некоторых элементарных сигналов, умноженных на некоторые числа. В качестве элементарных сигналов обычно выступают ортогональные функции, такие как Фурье, Уолша, Хаара, Адамара, Хартли, вейвлеты и т.д. Поэтому говорят о спектре Фурье, Уолша и т.д. Числа, на которые умножаются элементарные сигналы называются спектральными коэффициентами (коэффициентами трансформанты). Часто просто говорят о коэффициентах Фурье, Уолша и т.д.
Базис (Basis) – совокупность векторов пространства 13 EMBED Equation.3 1415 обладающих следующим свойством: любой вектор пространства может быть представлен единственным образом как их линейная комбинация 13 EMBED Equation.3 1415. Число базисных векторов равно размерности пространства. Аналогично и последовательность функций 13 EMBED Equation.3 1415 является базисом функционального пространства, если любая функция из этого пространства может быть
представлена единственным образом как 13 EMBED Equation.3 1415 . Числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются коэффициентами разложения.
Биортогональный базис (дуальный базис). Дуальный базис 13 EMBED Equation.3 1415 биортогонален исходному базису: 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда коэффициенты разложения 13 EMBED Equation.3 1415(находятся на этапе анализа) и 13 EMBED Equation.3 1415 (вычисляется при синтезе).
Ортогональный базис – частный случай биортогонального базиса, когда базисные векторы биортогональны самим себе. В этом случае дуальный базис идентичен исходному базису.
Линейное преобразование (Linear transform) – преобразование, удовлетворяющее условию: преобразование суммы сигналов равно сумме преобразований каждого сигнала. Большинство рассматриваемых в ЦОС преобразований – линейно.
Унитарное преобразование (Unitary transform)– преобразование, сохраняющее норму сигнала. Вещественное унитарное преобразование называется ортогональным. Его базисные функции ортогональны между собой. Важным свойством ортогонального преобразования является простая формула вычисления обратного преобразования. Все упомянутые выше преобразования являются унитарными.
Преобразование Фурье – (Fourier transform).
13 EMBED Equation.3 1415 - непрерывное.
13 EMBED Equation.3 1415 - дискретное.
Оконное (Short-Time) преобразование Фурье (STFT) - (ОПФ) - определяется как преобразование Фурье сигнала, умноженного на некоторую взвешивающую функцию (окно). Так как окно локализовано по времени, ОПФ применяется для получения частотно-временного представления сигнала. В настоящее время предложено большое число различных окон: прямоугольное, треугольное, Ханна, Хэмминга и др. Простейшим из них является прямоугольное, соответствующее случаю умножения сигнала на константу. Так как преобразованием Фурье прямоугольника служит осциллирующая sinc-функция, то применять такое окно не рекомендуется.
Преобразование Габора – оконное преобразование Фурье с окном 13 EMBED Equation.3 1415.
Преобразование Карунена-Лоэва (ПКЛ) – базисные функции есть собственные векторы ковариационной матрицы входного сигнала. Является оптимальным по критерию достижения декорреляции входного сигнала. Энергия входного сигнала максимально перераспределяется в коэффициентах ПКЛ. Гарантируется, что процентное содержание энергии входного сигнала в данном количестве наибольших коэффициентов будет не меньше, чем в том же числе коэффициентов любого другого преобразования. Вычислительно трудоемко, кроме того, для вычисления обратного преобразования декодеру надо передавать базисные функции, найденные кодером. Поэтому, на практике не применяется. Все остальные преобразования часто сравниваются с ПКЛ.
Дискретное преобразование Хаара (Haar transform) – разложение сигналов по ортонормальному базису вейвлетов Хаара.
Дискретное косинусное преобразование - ДКП (Discrete cosine transform - DCT). Существует четыре основных типа ДКП: Определяется и дискретное синусное преобразование (косинусы заменяются на синусы). Оба преобразования являются ортогональными.
Перекрывающееся ортогональное преобразование (ПОП) (Lapped Orthogonal Transform - LOT). При ПОП почти отсутствуют эффекты блочности, присущие ДКП.
Обобщенное перекрывающееся ортогональное преобразование (GenLOT) – результат ПОП умножается на дополнительные матрицы. И ДКП, и ПОП являются частными случаями этого преобразования.
Преобразование Хартли (Hartley) – одно альтернатив ДПФ, использует вещественные функции. Одно время рассматривалось как панацея ЦОС, но потом оказалось в тени вейвлет-преобразования.
Свертка (Convolution). Сверткой двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, n -й элемент которого равен 13 EMBED Equation.3 1415.
ФИЛЬТРЫ
Фильтр (Filter) – линейная стационарная система, то есть свойства фильтра не зависят от времени. Независимость свойств фильтра от времени означает, что задержка входа приводит к такой же задержке выхода. К основным характеристикам фильтров относятся импульсная характеристика 13 EMBED Equation.3 1415, передаточная характеристика 13 EMBED Equation.3 1415, частотная характеристика, порядок фильтра.
Каузальный (Causal) фильтр - реакция фильтра не может предшествовать приложенному воздействию. Система каузальна, если выходной сигнал зависит от входного сигнала только в моменты времени до момента наблюдения.
Стабильный фильтр (физически реализуемый) – сумма коэффициентов импульсной характеристики небесконечна. У каузального и стабильного фильтра все нули передаточной функции находятся внутри единичного круга.
M -полосный фильтр (фильтр Найквиста) - один из наиболее часто использующихся типов фильтров. Находит применение при обработке сигналов, в связи, в многоскоростных системах, при построении сигма-дельта АЦП, фильтров децимации и интерполяции.
Всепропускающий (Allpass) фильтр – фильтр, частотная характеристика которого вещественна, а ее модуль равен 1.
Фильтр Баттерворта (максимально плоский фильтр) – в полосе пропускания практически нет колебаний. Это является преимуществом для многих приложений, где требуется постоянство коэффициента ослабления фильтра для всех частот полосы пропускания. Недостатком такого фильтра является невысокая крутизна полосы перехода.
Дополнительные по мощности (Power Complementary) фильтры - Примерами могут служить фильтры параунитарного банка фильтров.
Квадратурно-зеркальный фильтр – КЗФ (Quadrature Mirror Filter - QMF) – пара фильтров ВЧ и НЧ характеристики которых симметричны относительно средней частоты. Эта частота называется квадратурной, отсюда и название фильтров. КЗФ могут быть как с КИХ, так и с БИХ. Банк фильтров КЗФ может быть М-полосным.
БАНКИ ФИЛЬТРОВ
Банк фильтров (Filter Bank) – совокупность фильтров и следующих за ними дециматоров или следующих перед ними интерполяторов. Под дециматором понимается устройство, осуществляющее децимацию (прореживание) сигнала. Интерполятор выполняет интерполяцию сигнала. Банки фильтров бывают равномерные и неравномерные, ортогональные, биортогональные, двухканальные и многоканальные и т.д. Каждый фильтр банка фильтров образует канал. Поэтому говорят об M -канальном банке фильтров. Сигнал в канале назыается субполосой. Отсюда название субполосная фильтрация (субполосное кодирование). В случае если число каналов равно коэффициенту децимации (интерполяции) говорят о максимально (критически) децимированном банке фильтров. Быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования строится именно на основе таких банков фильтров. Равномерный банк фильтров – децимация в каждом канале одинаковая. В противном случае – неравномерный банк фильтров. Частный случай неравномерного банка фильтров - древовидный банк фильтров.
Децимация (прореживание) (Decimation) – операция, заключающаяся в выбрасывании отсчетов, чей порядковый номер кратен определенному числу. Например, при децимации в два раза выбрасывается каждый второй отсчет, при прореживании в три раза – каждый третий и т.д. Спектр выходного сигнала при операции децимации содержит M копий «расширенного» в M раз спектра входного сигнала. Если сигнал не ограничен полосой частот, то происходит наложение спектров копий, то есть элайзинг. Поэтому в банке фильтров перед децимацией выполняется НЧ фильтрация. Совокупность фильтра и дециматора называется фильтром-дециматором.
Интерполяция (Interpolation) – операция, заключающаяся во встраивании между отсчетами, чей порядковый номер кратен определенному числу, некоторой константы (обычно нуля).
Банк фильтров анализа (Analysis Filter Bank).
Банк фильтров синтеза (Synthesis Filter Bank) :
Система анализа-синтеза (А-С) – совокупность банка фильтров анализа и банка фильтров синтеза. Сигнал вначале декомпозируется на субполосы, в каждой из них выполняется некоторая его обработка и, затем, выполняется синтез сигнала (реконструкция). Надо отметить, что иногда нужен обратный порядок операций: сначала синтез, потом анализ. Такая последовательность действий встречается при использовании банков фильтров в связи. При этом НЧ сигналы от разных источников интерполируются, фильтруются, объединяются и передаются по каналу связи. На приеме групповой сигнал подается на схему анализа для выделения сигналов отдельных абонентов. Такая схема, называется трансмультиплексором.
Lazy («ленивый») банк фильтров – система А-С без фильтров. Применяется при доказательстве теорем в банках фильтров.
Элайзинг (Aliasing) – наложение спектра, то есть два сигнала накладываются один на другой.
Устранение элайзинга (Alias Cancellation). Выходной будет свободен от элайзинговой составляющей.
ВЕЙВЛЕТЫ И ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
Вейвлеты - это математические функции, обладающие некоторыми свойствами. В научном сообществе до сих пор не решен вопрос, какие функции относить к вейвлетам. В узком смысле это семейство функций, получающихся путем масштабирования и сдвигов одной, материнской функции. Именно за счет изменения масштабов вейвлеты способны выявить особенности сигнала на разных шкалах, а за счет сдвигов они способны пронализировать сигнал во всех точках. В широком смысле вейвлеты - это функции, обладающие хорошей частотно-временной локализацией, чье среднее значение равно нулю. При этом они могут вовсе не иметь функции-прототипа (например, вейвлеты второго поколения, названные так В.Свелденсом). В математических кругах вейвлеты назывались одно время всплесками, но сейчас этот термин встречается редко. В приложениях чаще всего используют дискретные вейвлеты, так как непрерывные вейвлеты не образуют ортонормированного базиса и бесконечно протяжены (имеют экспоненциальный спад). С другой стороны, применение непрерывного вейвлет-анализа позволяет лучше визуализовать результаты анализа (получить более «красивые картинки») и, возможно, выявить какие-то скрытые от других видов анализа свойства сигнала. Хотя я бы лично рекомендовал использовать для анализа сигналов частотно-временные разложения Вигнера и им подобные - там, где скорость анализа не имеет первостепенной важности. Рассмотрим основные термины, использующиеся в этой области. При этом надо учесть, что если англоязычные термины являются устоявшимися, то этого нельзя сказать о русских терминах. Даже перевод и издание «библии вейвлетов» - книги И.Добеши «Десять лекций по вейвлетам» - не исправил до конца положения. Так, по мнению одного из авторитетов в этой области - Л.Левковича-Маслюка - перевод терминологии (в редакции проф. А.Петухова) выполнен неудачно. Что ж, сколько людей - столько мнений.
Непрерывное (Continuos) вейвлет-преобразование (CWT). Под CWT функции понимается разложение по всем возможным сдвигам и сжатиям некоторой функции (порождающего вейвлета).
Вейвлет-ряды (Ортогональное дискретное (диадное) вейвлет- преобразование). В этом случае рассматриваются не все сдвиги и растяжения базисной функции, но только взятые на некоторой дискретной сетке (обычно логарифмической). Заметьте, что если сигнал остается непрерывным, то называть это преобразование дискретным неверно и приводит к путанице. Иногда его называют диадным. Мне кажется (и не только мне), что лучше называть это преобразование рядами вейвлетов непрерывного времени (CTWS) по аналогии с рядами Фурье. Если же сигнал - дискретный, то аналогичное преобразование правильно называть дискретным вейвлет-преобразованием. Формулами вычисления прямого ДВП является, по сути, масштабирующее уравнение (см. ниже) для вейвлет- функции и для масштабирующей функции. Обратное ДВП всегда существует.
Кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА) - Multiresolution Analysis (MRA) - математическая конструкция, схема представления сигналов. Эта конструкция позволяет «с другой стороны» зайти к построению вейвлет-рядов и заключается в представлении пространства в виде бесконечной последовательности вложенных подпространств, являющихся отмасштабированными версиями друг друга и связанных определенными свойствами. Различают ортогональный и биортогональный КМА. Значение КМА заключается также и в том, что при его помощи мы можем дать более точные определения масштабирующей и вейвлет функциям, а также найти связь между ними.
Избыточное (redundancy) и безизбыточное преобразования. Преобразование считается безизбыточным, если в коэффициентах содержится ровно столько информации, чтобы можно было совершить обратное преобразование. При анализе сигнала этой информации нам может показаться мало, а обратное преобразование и не потребоваться. В этом случае прибегают к избыточному преобразованию. Например, в случае вейвлет-фреймов (см.ниже) число коэффициентов на каждом уровне может равняться числу отсчетов в исходном сигнале, а число уровней быть весьма значительным (например, 64, 128).
Компактный носитель масштабирующей функции или вейвлета. Носитель - часть области определения функции, где она не равна нулю. Свойство компактности функций означает, что соответствующие им фильтры будут фильтрами с конечной импульсной характеристикой, то есть иметь конечное число коэффициентов.
Быстрое вейвлет-преобразование (Fast Wavelet Transform) - пирамида Малла (Mallat). Входной сигнал подается на пару фильтров- дециматоров. Выход ВЧ фильтра-дециматора считается коэффициентами, а выход НЧ фильтра поступает на точно такую же схему (то есть в алгоритме выполняется итерация по НЧ каналу). Сложность - не более 2LN, где L - длина фильтра, N - длина сигнала. В самом деле, на первом уровне сложность выполнения фильтрации LN, на втором - LN/2 и т.д.; сумма последовательности 1+1/2+1/4+... сходится к 2.
Маска (Mask) - в литературе по аппроксимации так называется вектор, в ЦОС называющийся вектором коэффициентов фильтра.
Масштабограмма (Scalogram) - квадрат амплитуды коэффициентов непрерывного вейвлет-преобразования. Изображается обычно на плоскости. По оси абсцисс откладывается, например, время, а по оси ординат - масштабы, на которых сигнал анализировался. Масштабограмма аналогична спектрограмме, построенной при спектральном анализе с постоянной относительной полосой (constant-Q). Под спекттрограммой понимается квадрат амплитуды коэффициентов оконного преобразования Фурье.
Гладкость (Smoothness) - параметр, ограничивающий сверху число производных функции. Различные вейвлет-фильтры обладают различной гладкостью (то есть, конечно, гладкостью обладают функции, получаемые в пределе при бесконечном числе итераций пирамиды Малла) Например, считается что сигнал изображения имеет гладкость 1,5-2. Поэтому, для его анализа, сжатия можно применять вейвлет-фильтры соответствующей или большей гладкости. Как правило, чем больше коэффициентов у вейвлет-фильтра, тем больше гладкость соответствующей ему функции.
Симметрия (антисимметрия) базисных функций - симметрия означает, что если перенести центр функции в начало координат, то функция будет четной. Антисимметрия означает, что функция после переноса будет нечетной.
Принцип неопределенности (Uncertainty Principle) Гейзенберга - в рамках рассматриваемой темы означает, что невозможно одновременно произвольно точно зафиксировать частоту сигнала и время ее возникновения. То и другое фиксируется с ошибкой, то есть истинное значение параметров находится внутри некоторого окна. Если считать это окно прямоугольным, то его площадь будет равна произведению частоты и времени. Площадь окна величина постоянная. Именно поэтому улучшению разрешения по частоте соответствует ухудшение разрешения по времени и наоборот.
Вейвлет-пакеты (Wavelet Packet). Если в пирамиде Малла выполнять разложения не только по НЧ, но и по ВЧ каналу, то в конечном счете мы получим дерево базисов, аналогичное получаемому при выполнении быстрого преобразования Фурье. Это множество базисов и называется вейвлет-пакетами. Функции вейвлет-пакетов ортогональны между собой на каждом уровне, а также и между уровнями.
Алгоритм нахождения наилучшего базиса (Best basis). Вначале строится полное дерево вейвлет-пакетов, затем по нему ищется оптимальный в каком-то смысле путь. Для поиска оптимального пути каждому узлу дерева сопоставляется некая стоимость. Алгоритм стремится максимизировать суммарную стоимость. Он обходит дерево снизу вверх и на каждом уровне принимает решение: что выгоднее - оставить два узла-потомка или же их удалить.
Лифтинговая (Lifting) схема вычисления вейвлет-преобразования. Альтернативный пирамиде Малла способ быстрого вычисления ВП. По некоторым оценкам снижает вычислительную стоимость в два раза, позволяет экономить память и конструировать вейвлеты, которые другим способом не построить (вейвлеты второго поколения). Лифтинговая схема состоит из трех звеньев: разбиения, предсказания и обновления.
Целочисленное (Integer) вейвлет-преобразование - применяется в двух смыслах: 1)использование целочисленных фильтров; 2)получение целых значений коэффициентов преобразования целочисленного сигнала. В первом случае повышается скорость вычислений, во втором случае появляется возможность выполнения преобразования без потерь.
Мультивейвлеты получаются за счет отказа от стационарности характеристик фильтров. Они могут применяться для многоканальных сигналов, причем каждый канал обрабатывается «своим» фильтром. Мультивейвлеты могут применяться и для обычных сигналов после их полифазной декомпозиции. Интересной особенностью мультивейвлетов является возможность строить ортогональные симметричные базисы, что было невозможным в случае обычных вейвлетов (кроме фильтров Хаара).
М-полосные вейвлеты. В этом случае имеется одна масштабирующая функция и несколько вейвлет-функций на каждом уровне анализа. В пирамиде Малла сигнал на каждом уровне пропускается через М фильтров.
Вейвлет-фрейм (Frame) - преобразование, сочетающее в себе свойства вейвлет-рядов и непрерывного вейвлет-преобразования. Вейвлеты соседних уровней являются сжатыми копиями друг друга (как у вейвлет-рядов), а преобразование ведется для всех сдвигов вейвлета (как при непрерывном ВП).
СТЕГАНОГРАФИЯ
Стеганография – наука о скрытии самого факта наличия информации. В этом ее отличие от криптографии, которая занимается скрытием содержания информации. В связи с появлением компьютеров в последние годы получила определенное развитие компьютерная стеганография. Особенно активно ведутся исследования в области цифровой стеганографии, или встраивания одних данных в другие с применением методов цифровой обработки сигналов.
Цифровая стеганография. Исследования ведутся по следующим направлениям: скрытая передача данных, внедрение цифровых водяных знаков (Watermarking), встраивание заголовков (Captioning), идентификационных номеров (Fingerprinting). Несмотря на полное различие областей применения, а также предъявляемых с их стороны требований, используемые методы встраивания во многом идентичны.
Контейнер – сообщение, в которое внедряется скрытая информация. Обычно представляет собой речь, изображение, видео, аудиосигнал. Различают потоковый (формируемый в реальном времени) и фиксированный (например, изображение) контейнеры. Контейнеры могут быть случайными, выбранными из некоторого множества, навязанными, а также являться функцией скрытого сообщения. Ясно, что в зависимости от типа контейнера, появляются различные особенности встраивания скрытых сообщений. Стего – контейнер, заполненный скрытым сообщением.
Стегосообщение – скрываемое сообщение.
Стегосистема – система, выполняющая встраивание сообщений в контейнер, а также (как правило) их обнаружение или выделение. Состоит из предварительного кодера, стегокодера, стегодетектора (стегодекодера). Предварительный кодер преобразует стегосообщение к виду, удобному для внедрения. Стегокодер осуществляет это внедрение с использованием некоторого ключа. Стегодетектор осуществляет определение наличия стегосообщения в сигнале. Стегодекодер выделяет это сообщение. Стегосистема считается успешной в случае, если нарушитель никаким образом не может определить факт наличия стегосообщения в сигнале.
СЖАТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Сжатие изображений (Image compression) – сокращение объема их цифрового представления. Под изображением понимается прямоугольная матрица, элементы которой обычно принимают значения (0..28-1) (полутоновые изображения), (0..224-1) (цветные изображения), (0,1) (бинарные изображения). Цветные изображения могут быть в RGB-формате (по 8 бит на канал), YCH- формате (яркостная и две цветоразностные составляющие), а также и в других форматах. Как правило, большинство алгоритмов сжатия разрабатываются для полутоновых изображений (256 градаций серого). Это связано с тем, что такие алгоритмы легко обобщить на случай цветного изображения. Различают сжатие без потерь и с потерями.
Сжатие без потерь (lossless compression) – восстановленное после сжатия изображение полностью идентично исходному («бит в бит»). То есть при сжатии используется только статистическая избыточность, имеющаяся в изображении. Ее используют так называемые энтропийные кодеры (Хаффмана, арифметический). Понятно, что таким образом большого коэффициента сжатия достичь нельзя (обычно, коэффициент сжатия не более 1.5-2). Сжатие без потерь находит ограниченное применение в некоторых областях, например, медицине или астрономии. Алгоритмы сжатия JPEG, JPEG2000 имеют режимы работы без потерь. Иногда рассматривается сжатие «почти без потерь», то есть с незаметными для человека потерями. При этом достигаются коэффициенты сжатия порядка (6..10). Для сжатия изображений без потерь находит применение целочисленное вейвлет-преобразование. Его преимуществом является то, что коэффициенты преобразования - целые числа, поэтому после обратного преобразования можно восстановить изображение «бит в бит». Целочисленное вейвлет-преобразование выполняется для перераспределения энергии исходного изображения, так как в этом случе можно построить более эффективные энтропийные кодеры
Сжатие с потерями (Lossy Compression) - восстановленное изображение визуально мало отличается от исходного. Это различие называется искажением. Говорят, что сжатие с потерями вносит искажение. Мерой искажения может быть визуальное отличие двух изображений. Однако, эта характеристика плохо описывается на языке формул. Поэтому, на практике в качестве меры искажения используется среднеквадратическая ошибка. В среде исследователей не прекращаются споры об адекватности этой меры, однако ничего лучшего по сей день не придумано. Сжатие с потерями выполняется, как правило, в три этапа: линейное преобразование (ДКП, вейвлет), квантование, энтропийное кодирование. Целей первого этапа несколько: перераспределение энергии между отсчетами, декорреляция отсчетов и придание коэффициентам удобной для квантования структуры (например, нульдерева). Квантование бывает скалярное (каждый отсчет в отдельности)и векторное. В качестве энтропийного кодера обычно используется арифметический (более эффективный, но и более вычислительно сложный) или кодер Хаффмана.
Перераспределение энергии - одним из предназначений линейного преобразования изображения при его сжатии является перераспределение энергии. Оно заключается в том, что большая часть энергии изображения после преобразования оказывается сосредоточенной в малой части коэффициентов (низкочастотных). Поэтому многие коэффициенты можно «обнулить», не передавать приемнику и, тем самым, достичь сжатия. Кроме того известно, что квантование неравномерно распределенной случайной величины более эффективно, чем равномерно распределенной.
Декорреляция - одним из предназначений линейного преобразования изображения при его сжатии является декорреляция коэффициентов преобразования. Отсчеты исходного изображения коррелированы друг с другом (коэффициент корреляции достигает 0.95). Это означает, что любой можно довольно точно восстановить по соседним отсчетам, то есть имеется избыточность. Оптимальным декоррелирующим преобразованием (для гауссовского процесса) является преобразование Карунена-Лоэва. Все остальные преобразования только приближаются к нему. Средняя квадратическая ошибка – основная мера искажения, возникающего при сжатии изображений. Определяется как сумма квадратов разностей значений пикселов исходного и восстановленного изображений. Некоторые исследователи считают, что СКО слабо коррелировано с субъективным восприятием искажений изображения. Однако, ничего лучшего не придумано. Вариацией является взвешенное СКО, когда измеренное в субполосах преобразования СКО умножатся на весовой коэффициент с учетом свойств системы человеческого зрения.
Нульдерево – одна из наиболее эффективных структур, упорядочивающих множество вейвлет-коэффициентов изображения для целей их сжатия. Заключается в следующем: вейвлет-коэффициенты более НЧ областей «отвечают» за четыре коэффициента более ВЧ областей. Тем, в свою очередь, соответствуют 16 коэффициентов еще более ВЧ областей и т.д. Таким образом, получаем дерево коэффициентов с вершиной в самой НЧ области. Выберем некоторый порог и назовем меньшие этого порога (по абсолютной величине) коэффициенты незначащими. Начиная с самой НЧ области проверяем значимость коэффициентов относительно текущего порога. Если коэффициент незначащий, проверяем его потомков по дереву. Если все потомки незначащие, то на месте коэффициента ставится признак нульдерева. Таким образом одним символом обозначаем большое множество коэффициентов. После «обхода» всех коэффициентов порог уменьшается в два раза, и процесс повторяется. Сжатие на основе нульдерева была впервые предложена Льюисом и Ноулесом (1992) и улучшено в дальнейшем Шапиро (1993) и Саидом-Перельманом (1995).
Скалярное квантование – квантование каждого отсчета в отдельности. Под квантованием цифрового сигнала понимается процесс замены значения отсчета из одного счетного множества значением из другого счетного множества меньшей мощности. За счет этого достигается уменьшение числа требуемых для кодирования отсчета бит, но возникает ошибка кодирования. Расстояния между соседними возможными значениями квантованных отсчетов называют интервалами квантования. Различают равномерное квантование,
логарифмическое квантование, оптимальное квантование. Оптимальные интервалы квантования находятся с применением процедуры Ллойда-Макса (квантователь Макса).
Векторное квантование – квантуется сразу некоторое множество отсчетов (вектор). Если скалярное квантование одномерный процесс, то векторное - многомерный, то есть гораздо более сложный. Построение оптимального векторного квантователя основано также на применение алгоритма Ллойда- Макса. Сложность кодирования и декодирования намного выше, чем при скалярном квантовании. Поэтому, обычно применяются структурированные методы векторного квантования (то есть кодовой книге придается структура): древовидное, решетчатое, пирамидальное ВК. Древовидный векторный квантователь – кодовые слова упорядочены в виде дерева. Таким образом. сложность поиска по дереву высотой N будет NlogN вместо N*N, как было бы при не структурированной кодовой книге. Проигрыш заключается в неоптимальности найденных кодовых слов. Разновидностью является усеченный древовидный векторный квантователь (PTSVQ), суть которого заключается в следующем. Вначале строится полное дерево, затем оно усекается (аналогично, как в алгоритме вейвлет-пакетов). Таким образом получается адаптивный квантователь.
Решетчатый квантователь – кодовые слова книги расположены в узлах решетки. Каких-то преимуществ по сравнению с древовидным я не знаю. По поводу теории решеток смотрите замечательную книгу Конвэя и Слоэна.
Стандарты на сжатие изображений – сжатие бинарных изображений - JBIG, сжатие полутоновых и цветных - JPEG, JPEG2000. В стандарте JPEG в качестве линейного преобразования используется ДКП, в JPEG2000 - вейвлет- преобразование. На роль стандарта де-факто для сжатия смешанных тексто- графических изображений претендует алгоритм DjVu («дежавю»), основанный на распознавании образов и последующем применении различных алгоритмов к различным типам изображений.
Стандарты на сжатие видео – MPEG-2, MPEG-4 (ДКП и вейвлеты, соответственно), рекомендация МСЭ H.263, H263+ и др. Сжатие видео состоит из двух частей: сжатие неподвижного кадра (во многом аналогично сжатию изображений) и межкадровое кодирование (в основном применяют что-то типа ДИКМ).

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины "Цифровые методы обработки сигналов"
а) основная литература:
Яглом А.М. Корреляционная теория стационарных случайных процессов. Ленинград гидрометеоиздат, 1981 г. – 280 с.
Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. - М.: Техносфера, 2006. – 856 с.
Марпл-мл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.:Мир, 1990 г., – 584 с., ил.
Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1989 г., – 448 с., ил.
Введение в цифровую фильтрацию. Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 216 с.
Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. - 848 с.
Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: – СПб.: Питер, 2002. - 608 с.
Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.:Мир, 1982 г. – 428 с., ил.
Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных М.:Мир, 1989. –540 с.

б) дополнительная литература:
Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2003. - 1104 с.
Л.В. Новиков Основы вейвлет–анализа сигналов. Санкт-Петербург, 1999г. – 152 с.
Д.У.Тафтс, Р.Кумаресан. Оценка частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методом максимального правдоподобия.//ТИИЭР, т.70, №9, 1982.С.77-94.
Х.Л. Никиас, М.Р.Рагувер Биспектральное оценивание применительно к цифровой обработке сигналов//ТИИР, т.75,N7,1987. С.5-30.
С.Н.Кей, С.Л.Марпл Современные методы спектрального анализа. Обзор. //ТИИЭР, т.69, №11, 1981. С.5-51.
М.И.Миллер, Д.Л.Снайдер. Роль правдоподобия и энтропии в задачах с неполными данными: Приложения к задачам оценивания интенсивности точечных процессов и условных теплецевых ковариаций.//ТИИЭР, т.75, №7. 1987г. С.31-50.
Э.Т.Джейнс. О логическом обосновании методов максимальной энтропиию.//ТИИЭР, т.70, №9. 1982. С.33-51.
Д.Дж.Томсон. Спектральное оценивание и гармонический анализ.//ТИИЭР, т.70, №9. 1982г., С.171–219.
Д.Дж.Чайлдерс, Д.П.Скиннер, Р.Ч.Кемерейт Кепстр и его применение при обработке данных. Обзор.//ТИИЭР, т.65, №10, 1977. С.5-21.
Макс Ж Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. М.:Мир, 1983. Т.1. –312 с.
Грибунин В.Г. Глоссарий по цифровой обработке сигналов (предварительная версия) / [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] –28с.
Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, –608 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], http://www.dsplib.ru.

Примечание: Учебным планом по курсу «Цифровая обработка сигналов» такие виды работы как подготовка рефератов и курсовых работ, выполнение лабораторных работ, прохождение практики не предусмотрены.










13PAGE 15


 13PAGE 14215 





Приложенные файлы

  • doc 11258247
    Размер файла: 423 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий